利用取倒数法求通项公式及前n项和

数列中“取倒数”类型探究

数列中有一类题型，利用“取倒数”的方法构建等差等比数列，从而求出数列通项或前n 项和。

例1：在数列{}n a 中，已知11112, 2.2n n n n n a a a a +++==+求数列{}n a 的通项式。 解析：观察条件等式的结构特点，现对两边的数式取倒数得：

111112n n n a a ++=+即111n n a a +-= 11

.2n +于是由2321321111111111,.222n n n a a a a a a --=-=-= 将以上(1)n -个式子相加得：111n a a -= 232111111112.1.222222221n

n n n n n n a a +++∴=+++=-∴=- 为所求。

例2:已知数列{n a }中，其中,11=a ，且当n ≥2时，1211

+=--n n n a a a ，求通项公式n a 。 解：将1211+=

--n n n a a a 两边取倒数得：2111=--n n a a ，这说明}1{n a 是一个等差数列，首项是111=a ，公差为2，所以122)1(11-=⨯-+=n n a n ，即

121-=n a n . 此类题型也可用求“特征根法”加以求解。

练习题1: 在数列{}n a 中满足,511=a 且当*,2N n n ∈≥时,有n n n

n a a a a 211211-+=--,求n a 练习题2:已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)2(021≥=+-n S S a n n n ，21

1=a ， ①求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S 1是等差数列；②求数列{}n a 的通项公式。