结构可靠性设计基础例题与习题1.
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*
2
M
X*
2
f
* W
2
W * f
g f
2
1 M
2
0.5138
f
X* 2
f
g W
W
X
*
g g f f M P X W * f
*
1.1
钢筋抗力Rs的统计参数： μRs=Asμfy=1964×380=746.3kN σRs=μRsδfy=746.3×0.06=44.8kN 构件抗力R的统计参数： μR=μRc+ μRs=3720+746.3=4466.3kN
2 2 R Rc Rs 744.02 44.82 745.3kN
2 Z n
i
Z 2.66 107 N m
1.3
Z 8.06 107 3.03 7 Z 2.66 10
(2) 取用应力作为功能函数
Z f
极限状态方程为
Zf
M W
则:
M 0 W
130.0 106 2 Z f 234 89.56N/m W 9.0 105 M
(3) 可靠指标β的计算。 R S 4466.3 1800.0 3.48 2 2 2 2 R S 745.3 180.0 查表可得，相应的失效概率Pf 为2.06×10-4。
1.2
W 9.0 10 mm 例2. 已知某钢梁截面的塑性抵抗矩服从正态分布， , W 0.04 ；钢梁材料的屈服强度ƒ服从对数正态分布， f 234N/mm3 f 0.12 钢梁承受确定性弯矩 M=130.0KN.m。试 用均值一次二阶矩法(中心点法)计算该梁的可靠指标β。 解：(1) 取用抗力作为功能函数
2 Z n
i
g 2 2 M 2 2 M 2 2 2 2 2 ( ) X f ( 2 ) W f f ( ) W 1623.05 W W i 1 X i
Z 40.29N/m 2 Z 89.56 2.22 Z 40.29
* MP M 1.3 107 N mm
(2) 计算α值。
g W g f
X
*
f *
W *
X
*
1.5
g M p
1
X
*
有：
W
g W g W
2
W
X
*
W
X*
g g f f M P X f * W
2
M
X*
2
f
* W
2
W * f
2
1 M
2
0.7535
1.6
M
g M P g W
2
M
X* 2
W
X*
g g f f M P X 1 M
5 3
Z fW M fW 130.0 106
极限状态方程为 则:
Z fW M fW 130.0 106 0
Z f W M 234 9.0 105 130.0 106 8.06 107 N m
g 2 2 2 2 2 2 2 2 2 14 ( ) X 2 ( ) 7.10 10 f W W f f W W f X i 1 i
*
Biblioteka Baidu
M
X*
2
f
* W
2
W * f
2
1 M
2
0.4101
(3) 计算 X i* 。
W * W W W 5.5 104 0.5138 0.3 104 (5.5 0.1541 ) 104 f * f f f 380.0 0.7535 30.4 380.0 22.9064 M * M M M 1.3 107 (0.4101) 0.091 107 (1.3 0.0373 ) 107
由上述比较可知，对于同一问题，由于所取的极限状态方程不 同，计算出的可靠指标有较大的差异。
1.4
例3 某钢梁截面抵抗矩为W，μW=5.5×104mm3,σW=0.3×104mm3； 钢材的屈服强度为f,μf=380.0N/mm2,σf=30.4N/mm2。钢梁在固定 荷载P作用下在跨中产生最大弯矩M，μM=1.3×107N.m， σM=0.091×107N.mm。随机变量W、Φ和MP均为互不相关服从正态 分布的随机变量。试用改进的一次二阶矩法(Hasofer-Lind法)计算 此梁的可靠指标。 解：建立极限状态方程 。 Z g (W，F，M ) Wf M 0 (1)取均值作为设计验算点的初值。 W * W 5.5 104 mm3 f * f 380.0N/mm 2
例1.某钢筋混凝土轴心受压短柱，截面尺寸为 Ac=b×h=(300×500)mm2，配有4根直径为25mm的HRB335钢筋， As=1964mm2。设荷载服从正态分布，轴力N的平均值μN=1800kN，变 异系数δN=0.10。钢筋屈服强度fy服从正态分布，其平均值 μfy=380N/mm2，变异系数δfy=0.06。混凝土轴心抗压强度fc也服从 正态分布，其平均值μfc=24.80N/mm2，变异系数δfc=0.20。不考 虑结构尺寸的变异和计算模式的不准确性，试计算该短柱的可靠指 标β。 解：(1) 荷载效应S的统计参数。 μS=μN=1800kN， σS=σN=μNδN=1800×0.10=180kN (2) 构件抗力R的统计参数。 短柱的抗力由混凝土抗力 Rc= fcAc 和钢筋的抗力 Rs=fyAs 两部分 组成，即： R=Rc+Rs=fcAc+fyAs 混凝土抗力Rc的统计参数为： μRc=Acμfc=500×300×24.8=3720kN σRc=μRcδfc=3720×0.20=744.0kN
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X*
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* W
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W * f
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g W
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g g f f M P X W * f
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1.1
钢筋抗力Rs的统计参数： μRs=Asμfy=1964×380=746.3kN σRs=μRsδfy=746.3×0.06=44.8kN 构件抗力R的统计参数： μR=μRc+ μRs=3720+746.3=4466.3kN
2 2 R Rc Rs 744.02 44.82 745.3kN
2 Z n
i
Z 2.66 107 N m
1.3
Z 8.06 107 3.03 7 Z 2.66 10
(2) 取用应力作为功能函数
Z f
极限状态方程为
Zf
M W
则:
M 0 W
130.0 106 2 Z f 234 89.56N/m W 9.0 105 M
(3) 可靠指标β的计算。 R S 4466.3 1800.0 3.48 2 2 2 2 R S 745.3 180.0 查表可得，相应的失效概率Pf 为2.06×10-4。
1.2
W 9.0 10 mm 例2. 已知某钢梁截面的塑性抵抗矩服从正态分布， , W 0.04 ；钢梁材料的屈服强度ƒ服从对数正态分布， f 234N/mm3 f 0.12 钢梁承受确定性弯矩 M=130.0KN.m。试 用均值一次二阶矩法(中心点法)计算该梁的可靠指标β。 解：(1) 取用抗力作为功能函数
2 Z n
i
g 2 2 M 2 2 M 2 2 2 2 2 ( ) X f ( 2 ) W f f ( ) W 1623.05 W W i 1 X i
Z 40.29N/m 2 Z 89.56 2.22 Z 40.29
* MP M 1.3 107 N mm
(2) 计算α值。
g W g f
X
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f *
W *
X
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1.5
g M p
1
X
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有：
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g W g W
2
W
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X*
g g f f M P X f * W
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X*
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* W
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W * f
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1 M
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g M P g W
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Z fW M fW 130.0 106
极限状态方程为 则:
Z fW M fW 130.0 106 0
Z f W M 234 9.0 105 130.0 106 8.06 107 N m
g 2 2 2 2 2 2 2 2 2 14 ( ) X 2 ( ) 7.10 10 f W W f f W W f X i 1 i
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W * f
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(3) 计算 X i* 。
W * W W W 5.5 104 0.5138 0.3 104 (5.5 0.1541 ) 104 f * f f f 380.0 0.7535 30.4 380.0 22.9064 M * M M M 1.3 107 (0.4101) 0.091 107 (1.3 0.0373 ) 107
由上述比较可知，对于同一问题，由于所取的极限状态方程不 同，计算出的可靠指标有较大的差异。
1.4
例3 某钢梁截面抵抗矩为W，μW=5.5×104mm3,σW=0.3×104mm3； 钢材的屈服强度为f,μf=380.0N/mm2,σf=30.4N/mm2。钢梁在固定 荷载P作用下在跨中产生最大弯矩M，μM=1.3×107N.m， σM=0.091×107N.mm。随机变量W、Φ和MP均为互不相关服从正态 分布的随机变量。试用改进的一次二阶矩法(Hasofer-Lind法)计算 此梁的可靠指标。 解：建立极限状态方程 。 Z g (W，F，M ) Wf M 0 (1)取均值作为设计验算点的初值。 W * W 5.5 104 mm3 f * f 380.0N/mm 2
例1.某钢筋混凝土轴心受压短柱，截面尺寸为 Ac=b×h=(300×500)mm2，配有4根直径为25mm的HRB335钢筋， As=1964mm2。设荷载服从正态分布，轴力N的平均值μN=1800kN，变 异系数δN=0.10。钢筋屈服强度fy服从正态分布，其平均值 μfy=380N/mm2，变异系数δfy=0.06。混凝土轴心抗压强度fc也服从 正态分布，其平均值μfc=24.80N/mm2，变异系数δfc=0.20。不考 虑结构尺寸的变异和计算模式的不准确性，试计算该短柱的可靠指 标β。 解：(1) 荷载效应S的统计参数。 μS=μN=1800kN， σS=σN=μNδN=1800×0.10=180kN (2) 构件抗力R的统计参数。 短柱的抗力由混凝土抗力 Rc= fcAc 和钢筋的抗力 Rs=fyAs 两部分 组成，即： R=Rc+Rs=fcAc+fyAs 混凝土抗力Rc的统计参数为： μRc=Acμfc=500×300×24.8=3720kN σRc=μRcδfc=3720×0.20=744.0kN