非晶第三章x
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4
2.硬球无规密堆模型：
什么叫拓扑学？
拓扑学就是以空间几何的形式来表现事物内部 的结构,原理,工作状况等. 比如计算机的搜索算法(广度优先(breathfirst)和深度优先(depth-first)算法)。在分析的 时候把所有的状态画成一个树状表,然后来看一步步 怎样查找的。这就是运用拓扑逻辑的方法。拓扑都 在处理离散的状态。系统逻辑流程图也是拓扑图。
17
图3.1 球的晶态密堆积模型。从层A开始，基于A层， 下一层 B 或 C 构建新层。层的顺序 ABCABCABC 对应 于立方密堆积，球心列于面心立方的晶格上。
Fig. 3.1. Crystalline close packing of spheres. Starting with layer A, the next layer, either B or C, nests above it as shown. The layer sequence ABCABCABC corresponds to cubic close packing, with the sphere centers arrayed on a face-centered cubic (fcc) lattice. 18
22
径向分布函数( RDF), 是以任一原子为 原点，(r)dr给出在距离为r及r+dr之间找 到一近邻原子的概率。对于每个原子核锁 定在其平衡位置（阵点）上的晶体点阵， RDF (r) 是一些函数之和，每一项与一 配位层相应：
clampedxtl(r ) zi (r ) (r ri )
15
（二）亚稳态性 晶态材料在熔点以下一般是处在自由能最 低的稳定平衡态。非晶态则是一种亚稳态。所 谓亚稳态是指该状态下系统的自由能比平衡态 高，有向平衡态转变的趋势。但是，从亚稳态 转变到自由能最低的平衡态必须克服一定的势 垒。因此，非晶态及其结构具有相对的稳定性。
16
§3－3 非晶态结构的模型 当前还难以从实验得到非晶态结构的全部 信息。为了较全面、深入地认识非晶态结构， 特别是关于原子分布的空间图象，借助于模型 化的研究方法是非常必要的。所谓模型化的方 法，就是根据原子互相作用的特点，建立理想 化的原子排布情况的具体模型。再将从模型得 出的性质（例如密度，弹性模量，或其他结构 测定的实验参数和物理性能参数）与实验比较， 如果相一致，则表明模型反映了实际结构的某 些殊征。
3
1.微晶模型：
这类模型认为非晶态材料是由晶粒非常细小 的微晶组成，晶粒大小为十几埃到几十埃，这 样晶粒内的短程有序与晶体的完全相同，而长 程无序是各晶粒的取向杂乱分布的结果。 这种模型计算得到的径向分布函数或双体关 联函数与实验难以定量符合，而且晶粒间界处 的原子排布情况是不清楚的。当晶粒非常细小 时，晶界上的原子数与晶粒内原子数可能有相 同的数量级。不考虑晶界上的原子排布情况是 不合理的。
10
源自文库
这种模型适用于描述以共价键结合的非晶态固体。上 图表示了这种模型在二维空间的示意图。图(a)是元素 非晶态固体的连续无规网络模型，右上角是相应的晶体 结构；图(b)是As2S3和As2Se3非晶态固体的连续无规网 络模型，右上角是相应的晶体结构。由图可见, 连续无 规网络结构具有以下特点： 配位数一定，键长(即原子与其最近邻之间的距离)近似 相等，并且不存在空键，这都反映了原子与其最近邻之 间保持了与晶态结构相同的物理的和化学的成键相互作 用，反映了短程有序性；但是键角有明显的不一致性， 这正是没有长程有序性的原因。可以想象，在键长相等 的情况下键角也保持一致，必将导致右上角的晶体结构， 从而表现出长程有序性。所以，键角的不一致，反映了 非晶态连续无规网络结构的重要特征。
i
(2.1)
23
在玻璃中存在短程序，即有很确定的近邻及次近 邻配位层的直接证据是在RDF中出现清晰可见的 第一峰和第二峰。玻璃中不存在长程序，表现在 RDF中第三近邻以后几乎没有可分辨的峰。 对于空间无规分布，单位体积平均粒子数密度为 n 的点粒子系统，RDF可直接从体积为4r2dr的 壳层中粒子数的期待值为体积元乘n而得到。
11
4. 无规线团模型
这种模型适用描述以有机高分子为基础的非晶态 固体的结构。每一个高分子长链可以看作为一根无 规线段，各线段之间互相交织、互相穿插，如图所 示的乱线团一样，故得名无规线团模型。实验测量 表明，每一条无规线段占据在一个球状空间范围内， 球状空间的半径大约为30 nm，并且发现，该球状 空间的半径与分子链的长度的平方根成正比。
(一) 结构的不完全的描写
非晶态结构的不完全的描写可通过配位数、径 向分布函数和泡沫来描写。 1、配位数
对于晶体，给出点阵结构不完全描述的最简单 的一个数字参数就是配位数Z，即最近邻数。对 于fcc结构的纯元素Z=12。 岩盐结构 Z(Na)=6, Z(Cl)=6 萤石： Z(Ca)=8, Z(F)=4 对于非晶态也可以采用相似的方法进行描述。
5
硬球无规密堆模型属于拓扑无序模型。该模型把非 晶态看作是一些均匀连续的，致密填充的，混乱无规 的原子硬球集合。 所谓均匀连续的是指不存在微晶与周围原子被晶界 所分开的情况；致密填充的是指硬球堆积中，没有足 以容纳另一球的空洞；混乱无规的是指在相隔五个或 更多球的直径的距离内，球的位置之间仅有很弱的相 关性。 为了描述这种图谱无序局域形貌，曾提出两种结构 单元，其一是贝纳尔（Bernal）空洞，它是由各球心 的连线所构成的多面体，另一种是伏罗洛矣（Voronoi） 多面体，它是以某个球作为中心，近邻的球心相连， 这些连线的垂直平分面所围成的多面体。显然两种多 面体都可以反映原子周围近邻的几何特征。
威格纳-赛兹原胞 （Wigner-Seitz Cell）
26
图 3.4 由一不规则点阵所确定的平面多边形划分。黑圆 点表示原子位置， Voronoi泡沫的Wigner-Seitz原胞由细 线表示（用阴影示出两个原胞），用粗线表示这简化图 中的化学键。
27
（二）硬球无规密堆模型 （rcp)
1．模型的建造及其分布函数 两个金属原子之间的排斥位能为 （r） 当r＞r0时，（r）＝0； r＜r0时，（r）, 即金属原子当作硬球来处理。 建造硬球密堆结构是伯纳尔（Bernal）在 研究流体的结构时首先采用的，通常称为实 验室模型 。还有一种是计算机模拟方法。
z 2 6, r2 D 2
z3 24, r3 D 3
ri D i
无
D 14 D 30
21
图 3.2 表示Zi与ri之间的关系对于fcc结构的前15个壳层
Fig. 3.2 Coordination shells for the fcc structure. Zi is the number of atoms centered at a distance ri from a given atom.
第三章 非晶态材料的结构
1
§3－1 非晶态材料的微观结构模型 非晶态固体材料从结构上看，其原子排列 仅具有短程有序，缺乏晶态结构的长程有序 性，与液态的结构特点类似。目前还难以精 确描述非晶态材料中原子的三维排布情况。
2
非晶态材料的微观结构模型有： (1) 微晶模型； (2) 硬球无规密堆模型； (3) 连续无规网络模型； (4) 无规线团模型
28
2．硬球无规密堆模 型的结构特征
伯纳尔发现硬球无规密 堆模型结构中不存在周期 性重复的晶态有序区。但 无序密堆结构仅由五种不 同的多面体组成。
图3.5：无序密堆硬球模型的伯纳尔结构 a）四面体 b）正八 面体 c）三角棱柱，附三个半八面体 d）阿基米德反棱柱，附 两个半八面体 e）四角十二面体 29
14
理论和实验都证明：非晶态材料的原子排列不是绝对无规 则的，其近邻原子的数目和排列是有规则的。一般来说，非 晶态结构的短程有序区的线度约为15 1（Å）。另外，从宏 观的特性看：非晶态金属通常表现为金属性；非晶态半导体 基本上保持半导体的性质；绝缘晶体制成非晶态仍然是绝缘 体。这也是由于非晶态具有与相应的晶态类似的短程有序性 有关来决定的。
random (r ) 4nr
2
(2.2)
24
图 3.3示意的给出了晶体、非晶体和气体的 径向分布函数 RDF
Fig. 3.3 (a) a crystalline solid, (b) an amorphous solid, (c) a gas
25
3、泡沫 原子原胞集合成的蜂房(Voronoi 多面体）和原 子多面体和多面体空位（Bernal多面体） 在晶体理论中，能反映晶体对称性的最小重复 单元叫威格纳-赛兹原胞（Wigner-Seitz Cell）。 它按以下方法选取: 最近邻或次近邻两两格点间 连线的垂直平分面(三维)垂直平分线(二维)所围 成的原胞威格纳-赛兹原胞。
3. 经验的无规密堆积结构
fcc 晶格: • Voronoi多面体为菱形十二面体. • 填充因子: 0.7405 rcp 结构 • 各种多面体的混合 • 填充因子: 0.637
30
4. 理论上得出的无规密堆积 rcp
几何推演的可能性是: Coxeter（1958）建议,一无规阵列产生Voronoi原胞充 满空间时, • 每个面由两个原胞共有, 每个边被三个原胞和每个顶 点被四个原胞共有; • 在普通空间中只有 p 边形的边数p=5.12 可形成规则蜂 房（ 3p2-13p-12=0的正根）; • 每个原胞的平均面数 F=12/(6-p)=13.6，与经验的rcp 点阵的观察值极为接近。
8
3.连续无规网络模型 这类模型属于拓扑无序模型。该模型认为 非晶态的结构单元是硅氧四面体，这些四面 体靠公有的氧原子连接。四面体相互无规的 连成网络而且组成非晶态。 该模型的基本点是：原子间保持着最近邻 的键长、键角关系的基本恒定，这些键无规 律的连成了空间的网络。
9
(此图取自R.Zallen著《非晶态固体物理学》)
6
(此图引自R.Zallen著《非晶态固体物理学》)
7
这是描述非晶态金属结构的最满意的模型。用实 验方法很容易得到这种模型的图像：如果我们把大 量大小相同的刚性球快速地放入壁面不规则的容器 中，就可以得到刚性球的一种无序、但是极为稳定 的位形。如果将刚性球比作金属原子，那么这种位 形可用来代表无规密堆积模型。面心立方的填充因 子是0.7405，而无规密堆积的填充因子是0.637， 这就是说，若用同样的刚性球，无规密堆积的致密 度是晶态密堆积的86%。上图是用计算机作出的 100个原子的无规密堆积图形。 非晶金属的无规密堆积结构虽然也可以看作亚稳 排列状态，但是这种结构是极其稳定的。要想通过 增加密度连续地从无规密堆积过渡到晶态密堆积结 构是不可能的。
19
2、径向分布函数 考察元素固体，把只用单个配位数的 想法推广成用一数字序列，它包括了距离 超过最近邻的“层”，这样，我们得到更 实在一些的结构特征的描述，称为径向分 布函数。
20
例如：fcc 晶体晶格。定义 D 表示想象中立 方密堆的小球直径，则D即为相应fcc点阵最近 邻距离。现任选一阵点，想象该点上有一个非 常小的，半径r可变的球。r从0增加向外扩展， 观察遇到阵点的数量。 当r从零增加，在r=D以前不会碰到近邻的阵 点，当r=D时球表面切过12个最近邻的阵点。 第一个配位层由一对数Z1和r1表示。 Z1=12 r1=D 进一步增加r会碰到第二组阵点。
无规线团模型与无规密堆积模型和连续无规网络 模型一样，也是均匀单相模型，非常成功地解释了 各种高聚合物玻璃的可混合性及其他性质。
12
(此图取自R.Zallen著《非晶态固体物理学》)
13
§3－2 非晶态材料结构的主要特征 （一）长程无序性而短程有序
晶体结构最基本的特点是原子排列的长程有序 性。即晶体的原子在三维空间的排列，沿着每个点 阵直线的方向，原于有规则地重复出现。这就是通 常所说的晶体结构的周期性。而在非晶态结构中， 原子排列没有这种规则的周期性。即原子的排列从 总体上是无规则的。但是，近邻原子的排列是有一 定规律的。例如，非晶硅的每个原子仍为四价共价 键，与最邻近原子构成四面体，这是有规律的；而 总体原子的排列却没有周期性的规律。
2.硬球无规密堆模型：
什么叫拓扑学？
拓扑学就是以空间几何的形式来表现事物内部 的结构,原理,工作状况等. 比如计算机的搜索算法(广度优先(breathfirst)和深度优先(depth-first)算法)。在分析的 时候把所有的状态画成一个树状表,然后来看一步步 怎样查找的。这就是运用拓扑逻辑的方法。拓扑都 在处理离散的状态。系统逻辑流程图也是拓扑图。
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图3.1 球的晶态密堆积模型。从层A开始，基于A层， 下一层 B 或 C 构建新层。层的顺序 ABCABCABC 对应 于立方密堆积，球心列于面心立方的晶格上。
Fig. 3.1. Crystalline close packing of spheres. Starting with layer A, the next layer, either B or C, nests above it as shown. The layer sequence ABCABCABC corresponds to cubic close packing, with the sphere centers arrayed on a face-centered cubic (fcc) lattice. 18
22
径向分布函数( RDF), 是以任一原子为 原点，(r)dr给出在距离为r及r+dr之间找 到一近邻原子的概率。对于每个原子核锁 定在其平衡位置（阵点）上的晶体点阵， RDF (r) 是一些函数之和，每一项与一 配位层相应：
clampedxtl(r ) zi (r ) (r ri )
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（二）亚稳态性 晶态材料在熔点以下一般是处在自由能最 低的稳定平衡态。非晶态则是一种亚稳态。所 谓亚稳态是指该状态下系统的自由能比平衡态 高，有向平衡态转变的趋势。但是，从亚稳态 转变到自由能最低的平衡态必须克服一定的势 垒。因此，非晶态及其结构具有相对的稳定性。
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§3－3 非晶态结构的模型 当前还难以从实验得到非晶态结构的全部 信息。为了较全面、深入地认识非晶态结构， 特别是关于原子分布的空间图象，借助于模型 化的研究方法是非常必要的。所谓模型化的方 法，就是根据原子互相作用的特点，建立理想 化的原子排布情况的具体模型。再将从模型得 出的性质（例如密度，弹性模量，或其他结构 测定的实验参数和物理性能参数）与实验比较， 如果相一致，则表明模型反映了实际结构的某 些殊征。
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1.微晶模型：
这类模型认为非晶态材料是由晶粒非常细小 的微晶组成，晶粒大小为十几埃到几十埃，这 样晶粒内的短程有序与晶体的完全相同，而长 程无序是各晶粒的取向杂乱分布的结果。 这种模型计算得到的径向分布函数或双体关 联函数与实验难以定量符合，而且晶粒间界处 的原子排布情况是不清楚的。当晶粒非常细小 时，晶界上的原子数与晶粒内原子数可能有相 同的数量级。不考虑晶界上的原子排布情况是 不合理的。
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源自文库
这种模型适用于描述以共价键结合的非晶态固体。上 图表示了这种模型在二维空间的示意图。图(a)是元素 非晶态固体的连续无规网络模型，右上角是相应的晶体 结构；图(b)是As2S3和As2Se3非晶态固体的连续无规网 络模型，右上角是相应的晶体结构。由图可见, 连续无 规网络结构具有以下特点： 配位数一定，键长(即原子与其最近邻之间的距离)近似 相等，并且不存在空键，这都反映了原子与其最近邻之 间保持了与晶态结构相同的物理的和化学的成键相互作 用，反映了短程有序性；但是键角有明显的不一致性， 这正是没有长程有序性的原因。可以想象，在键长相等 的情况下键角也保持一致，必将导致右上角的晶体结构， 从而表现出长程有序性。所以，键角的不一致，反映了 非晶态连续无规网络结构的重要特征。
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(2.1)
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在玻璃中存在短程序，即有很确定的近邻及次近 邻配位层的直接证据是在RDF中出现清晰可见的 第一峰和第二峰。玻璃中不存在长程序，表现在 RDF中第三近邻以后几乎没有可分辨的峰。 对于空间无规分布，单位体积平均粒子数密度为 n 的点粒子系统，RDF可直接从体积为4r2dr的 壳层中粒子数的期待值为体积元乘n而得到。
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4. 无规线团模型
这种模型适用描述以有机高分子为基础的非晶态 固体的结构。每一个高分子长链可以看作为一根无 规线段，各线段之间互相交织、互相穿插，如图所 示的乱线团一样，故得名无规线团模型。实验测量 表明，每一条无规线段占据在一个球状空间范围内， 球状空间的半径大约为30 nm，并且发现，该球状 空间的半径与分子链的长度的平方根成正比。
(一) 结构的不完全的描写
非晶态结构的不完全的描写可通过配位数、径 向分布函数和泡沫来描写。 1、配位数
对于晶体，给出点阵结构不完全描述的最简单 的一个数字参数就是配位数Z，即最近邻数。对 于fcc结构的纯元素Z=12。 岩盐结构 Z(Na)=6, Z(Cl)=6 萤石： Z(Ca)=8, Z(F)=4 对于非晶态也可以采用相似的方法进行描述。
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硬球无规密堆模型属于拓扑无序模型。该模型把非 晶态看作是一些均匀连续的，致密填充的，混乱无规 的原子硬球集合。 所谓均匀连续的是指不存在微晶与周围原子被晶界 所分开的情况；致密填充的是指硬球堆积中，没有足 以容纳另一球的空洞；混乱无规的是指在相隔五个或 更多球的直径的距离内，球的位置之间仅有很弱的相 关性。 为了描述这种图谱无序局域形貌，曾提出两种结构 单元，其一是贝纳尔（Bernal）空洞，它是由各球心 的连线所构成的多面体，另一种是伏罗洛矣（Voronoi） 多面体，它是以某个球作为中心，近邻的球心相连， 这些连线的垂直平分面所围成的多面体。显然两种多 面体都可以反映原子周围近邻的几何特征。
威格纳-赛兹原胞 （Wigner-Seitz Cell）
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图 3.4 由一不规则点阵所确定的平面多边形划分。黑圆 点表示原子位置， Voronoi泡沫的Wigner-Seitz原胞由细 线表示（用阴影示出两个原胞），用粗线表示这简化图 中的化学键。
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（二）硬球无规密堆模型 （rcp)
1．模型的建造及其分布函数 两个金属原子之间的排斥位能为 （r） 当r＞r0时，（r）＝0； r＜r0时，（r）, 即金属原子当作硬球来处理。 建造硬球密堆结构是伯纳尔（Bernal）在 研究流体的结构时首先采用的，通常称为实 验室模型 。还有一种是计算机模拟方法。
z 2 6, r2 D 2
z3 24, r3 D 3
ri D i
无
D 14 D 30
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图 3.2 表示Zi与ri之间的关系对于fcc结构的前15个壳层
Fig. 3.2 Coordination shells for the fcc structure. Zi is the number of atoms centered at a distance ri from a given atom.
第三章 非晶态材料的结构
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§3－1 非晶态材料的微观结构模型 非晶态固体材料从结构上看，其原子排列 仅具有短程有序，缺乏晶态结构的长程有序 性，与液态的结构特点类似。目前还难以精 确描述非晶态材料中原子的三维排布情况。
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非晶态材料的微观结构模型有： (1) 微晶模型； (2) 硬球无规密堆模型； (3) 连续无规网络模型； (4) 无规线团模型
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2．硬球无规密堆模 型的结构特征
伯纳尔发现硬球无规密 堆模型结构中不存在周期 性重复的晶态有序区。但 无序密堆结构仅由五种不 同的多面体组成。
图3.5：无序密堆硬球模型的伯纳尔结构 a）四面体 b）正八 面体 c）三角棱柱，附三个半八面体 d）阿基米德反棱柱，附 两个半八面体 e）四角十二面体 29
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理论和实验都证明：非晶态材料的原子排列不是绝对无规 则的，其近邻原子的数目和排列是有规则的。一般来说，非 晶态结构的短程有序区的线度约为15 1（Å）。另外，从宏 观的特性看：非晶态金属通常表现为金属性；非晶态半导体 基本上保持半导体的性质；绝缘晶体制成非晶态仍然是绝缘 体。这也是由于非晶态具有与相应的晶态类似的短程有序性 有关来决定的。
random (r ) 4nr
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图 3.3示意的给出了晶体、非晶体和气体的 径向分布函数 RDF
Fig. 3.3 (a) a crystalline solid, (b) an amorphous solid, (c) a gas
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3、泡沫 原子原胞集合成的蜂房(Voronoi 多面体）和原 子多面体和多面体空位（Bernal多面体） 在晶体理论中，能反映晶体对称性的最小重复 单元叫威格纳-赛兹原胞（Wigner-Seitz Cell）。 它按以下方法选取: 最近邻或次近邻两两格点间 连线的垂直平分面(三维)垂直平分线(二维)所围 成的原胞威格纳-赛兹原胞。
3. 经验的无规密堆积结构
fcc 晶格: • Voronoi多面体为菱形十二面体. • 填充因子: 0.7405 rcp 结构 • 各种多面体的混合 • 填充因子: 0.637
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4. 理论上得出的无规密堆积 rcp
几何推演的可能性是: Coxeter（1958）建议,一无规阵列产生Voronoi原胞充 满空间时, • 每个面由两个原胞共有, 每个边被三个原胞和每个顶 点被四个原胞共有; • 在普通空间中只有 p 边形的边数p=5.12 可形成规则蜂 房（ 3p2-13p-12=0的正根）; • 每个原胞的平均面数 F=12/(6-p)=13.6，与经验的rcp 点阵的观察值极为接近。
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3.连续无规网络模型 这类模型属于拓扑无序模型。该模型认为 非晶态的结构单元是硅氧四面体，这些四面 体靠公有的氧原子连接。四面体相互无规的 连成网络而且组成非晶态。 该模型的基本点是：原子间保持着最近邻 的键长、键角关系的基本恒定，这些键无规 律的连成了空间的网络。
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(此图取自R.Zallen著《非晶态固体物理学》)
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(此图引自R.Zallen著《非晶态固体物理学》)
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这是描述非晶态金属结构的最满意的模型。用实 验方法很容易得到这种模型的图像：如果我们把大 量大小相同的刚性球快速地放入壁面不规则的容器 中，就可以得到刚性球的一种无序、但是极为稳定 的位形。如果将刚性球比作金属原子，那么这种位 形可用来代表无规密堆积模型。面心立方的填充因 子是0.7405，而无规密堆积的填充因子是0.637， 这就是说，若用同样的刚性球，无规密堆积的致密 度是晶态密堆积的86%。上图是用计算机作出的 100个原子的无规密堆积图形。 非晶金属的无规密堆积结构虽然也可以看作亚稳 排列状态，但是这种结构是极其稳定的。要想通过 增加密度连续地从无规密堆积过渡到晶态密堆积结 构是不可能的。
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2、径向分布函数 考察元素固体，把只用单个配位数的 想法推广成用一数字序列，它包括了距离 超过最近邻的“层”，这样，我们得到更 实在一些的结构特征的描述，称为径向分 布函数。
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例如：fcc 晶体晶格。定义 D 表示想象中立 方密堆的小球直径，则D即为相应fcc点阵最近 邻距离。现任选一阵点，想象该点上有一个非 常小的，半径r可变的球。r从0增加向外扩展， 观察遇到阵点的数量。 当r从零增加，在r=D以前不会碰到近邻的阵 点，当r=D时球表面切过12个最近邻的阵点。 第一个配位层由一对数Z1和r1表示。 Z1=12 r1=D 进一步增加r会碰到第二组阵点。
无规线团模型与无规密堆积模型和连续无规网络 模型一样，也是均匀单相模型，非常成功地解释了 各种高聚合物玻璃的可混合性及其他性质。
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(此图取自R.Zallen著《非晶态固体物理学》)
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§3－2 非晶态材料结构的主要特征 （一）长程无序性而短程有序
晶体结构最基本的特点是原子排列的长程有序 性。即晶体的原子在三维空间的排列，沿着每个点 阵直线的方向，原于有规则地重复出现。这就是通 常所说的晶体结构的周期性。而在非晶态结构中， 原子排列没有这种规则的周期性。即原子的排列从 总体上是无规则的。但是，近邻原子的排列是有一 定规律的。例如，非晶硅的每个原子仍为四价共价 键，与最邻近原子构成四面体，这是有规律的；而 总体原子的排列却没有周期性的规律。