第4章 有限差分法-1
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且设在媒质ea中位函数ua满足泊松方 程，而在媒质eb中位函数ub满足拉普 拉斯方程。
现若将媒质eb换以媒质ea，则对于o点，据式（4-10）(泊松 方程的差分方程)可得
同理，若将媒质ea换以媒质eb，则对于o点，据式（4-11） (拉普拉斯方程的差分方程)可得
但实际上ua1和ub3是虚设的电位，所以应利用分界面上场量 遵循的边界条件[（1-66）和（1-69）]，把它们从以上两式 中消去－－
截断于2hf’(x0)项，略去了h3项以及更高幂次的项。
很明显，三种差商表达式中以载（4-4）所示的中心差商的截断误 差最小，其误差大致和h的二次方成正比。
二阶导数同样可以近似为差商的差商，即
这相当于把泰勒公式
截断于h2f’’(x)项，略去了h4项以及更高幂次的项，其误差亦 大致和h的二次方成正比。
采用双下标（i, j）的识别方法，设在这些离散节点上的待求 位函数u的近似值分别记作
参照式（4-7），二维泊松方程（4-8）可近似离散化表示为
即
此为对应于泊松方程的差分方程。
如果位函数u满足的是拉普拉斯方程（F=0），则差分离散化后所 得差分方程是
此时，节点O上的位函数值等于其周围四个相邻节点位函数值的平 均值。
同样需分两种情况讨论。
第一种情况是在边界处引入的相应节点恰好落在边
界L上。
这时，取决于边界L在该边界节点处的外法线方向是否与 网格线相重合，又对应有不同的差分离散化结果。
当边界L在边界节点o处的外法向n与网格线相重合时， 如图4-4所示，则问题在于如何用差商近似替代法向 u 导数 。 n
同理
以h和h1分别与以上两式相乘，且相加，然后截断 u 表达式为 于h的二次项，便得关于的差分
2
x o
2
同理可得
令h1=ah，h2=bh，代入以上两式，最终再代入给 定的泊松方程，即得这类边界情况所对应的差分计 算格式为
(2)第三类边界条件的差分离散化
首先，由式（1-66）得出分界面上电位的连续性，即
其次，假设在分界面上自由电荷的面密度s=0，则由式（169）有
以差分格式表示，即为
将ea乘以式（4-16）与eb乘以式（4-17）后相加，代入由式 （4-18）和（4-19）所给定的边界条件，并令K=ea/eb，便得 待求的两种不同媒质分界面上边界条件的差分计算格式为
n
u 0 n
4.3.3 不同媒质分界面上边界条件 的差分计算格式
当给定的边值问题含有多种媒质时，取决于不 同媒质的电磁场特性和不同媒质分界面的几何 形状，将对应有类型繁多的差分计算格式， 仅取两种典型情况进行分析。
(1)分界面与网格线相重合的情况
以二维电场问题为例，
设分界面L’与网络线相重合，如图48所示。
依照（4-2）、（4-5），偏导数也可近似地用相应的 差商来表达。
若设定函数u(x, y, z)，当其独立变量x得到一个很小的增量 Dx=h时，则x方向的一阶偏导数可以近似表达为
同样，相应的二阶偏导数可以近似表达为
4.3 差分格式的构造
以二维静态电、磁场泊松方程的第一类边值问题为例。 设具有平行平面场特征的电磁场场域D，如图4-２所示，为一由闭 合边界L所界定的平面域，其定解问题可表述为
由于差分方程（4-10）、（4-11）中只出现待求函数u在点o(xi, yj) 与其四个相邻点上的值，故通常称为五点差分格式。
为求解给定的边值问题，在完成上述泛定方程的差分格式构造后， 还必须对定解条件——边界条件，以及具体问题中可能存在的衔 接条件（即不同媒质分界面上的边界条件），进行差分离散化处 理。
若划分网格时引入的节点不落在边界 L上，则如图4-3所示，对于邻近边界 的典型节点o，由于h1≠h2≠h，这样， 点及其周围相邻的1、2、3、4点构成 一个不对称的星形。
此时，可仿照4.2节，采用泰勒公式进行 差分离散化处理，即能相当精确地导出 关于o点的差分计算格式。
应用二元函数的泰勒公式，节点1的位置数值u1可 通过u0表示为
4.2 差分与差商
有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算方法，它用离散 的函数值所构成的差商来近似逼近相应的偏导数。 差商是基于差分应用的数值微分表达式。 设一函数f(x)，其自变量x有一个很小的增量Dx=h，则函数f(x)的增 量
≈Hale Waihona Puke Baiduf
称为函数f(x)的一阶差分。 只要增量h很小，差分Df与微分df之间的差异将很小。 一阶差分仍是自变量x的函数
应用差分，显然，它可近似地表达为
向前
即有限小的差分Df(x)除以有限小的差分Dx的商，称为差商。
同理，一阶导数f’(x)还可近似表达为
向后
或
中心
式（4-2）、（4-3）、（4-4）分别称为一阶向 前、向后、中心差商。
如图4-1所示，对应于点P的一阶向前、向后、中心差 商，在几何意义上可分别表征为弧线PB、AP、AB的 斜率。
(2)分界面对于网格呈对角线形态的情况 此时差分计算格式的推导及其处理方法与上类同，
但为提高差分离散化的逼近度，尚需引入M、N两 个辅助节点（M、N二点分别是线段14 和 23的中 点），如图4-9所示。
对于节点O，如同前所述，当媒质依次代换时，相应的五点 差分格式分别与式（4-16）和（4-17）相同。
4.3.2 定解条件的离散化 ——各类差分计算格式
对于场域边界上给定的三类边界条件，第二类边界条 件可以看作为第三类边界条件的特殊情况，因此，只 需讨论第一、第三类边界条件的差分离散化处理。
(1)第一类边界条件的差分离散化 若如图4-２点M所示，划分网格时相应的网格节点 恰好落在边界L上，则只要直接把位函数 u | ML f (rM ) 的值赋给该对应的边界节点M即可。
o
最简洁的处理方法是依据（4-3），第三类边界条件在此情 况下的差分计算格式为
当边界L在边界节点o处的外法向n与网格线不重合时， 如图4-5所示，显然有
于是，关于o点的差分计算格式是
一般式
第二种情况是在边界处引入的相应节点不落
在边界L上，这时如图4-6所示，
可在邻近边界的节点o上仍按上述方法列出差分 计算格式， 只是需引入与节点o相关的边界节点o’，取点o’处 的外法向n 作为点o处的“外法向n”， 且近似地认为边界条件中给定的函数f1(ro)和f2(ro) 均在点o’上取值。即将式（4-14）中的f1(ro)和 f2(ro)改记为f1(ro’)和f2(ro’)，即得此种情况下关于 O点的差分计算格式。
对于包括电磁场在内的各种物理场，应用有限差分法 进行数值计算的步骤通常是：
1)采用一定的网格剖分方式离散化场域； 2)基于差分原理的应用，对场域内偏微分方程以及定解条件 进行差分离散化处理（称为构造差分格式）； 3)由所建立的差分格式（代数方程组），选用合适的代数方 程组的解法，编制计算程序，算出待求的离散解。
对于实际电、磁场问题，如图4-7所示 以通量线（如E线）为边界的第二类齐 次边界条件是常见的一种情况。
这时，边界条件的差分离散化可沿着场域 边界外侧安置一排虚设的网格节点，
显然，对于边界节点o，由于该处 ， 故必然有u1=u3，因此相应于第二类齐次边 界条件 u | L 0 的差分计算格式为
它们对应于该点一阶导数的逼近度可分别从以下泰勒 公式的展开式中得知，即由
可见，对应于式（4-2）、（4-3），它们都截断于hf’(x0)项，而把 h2项和更高幂次的项全部略去。 换句话说，就式（4-2）、（4-3）而言，略去余数项所引入的误差 将大致和h的一次方成正比。 而对于式（4-4）的一阶中心差商表达式则相当于把相应的泰勒公 式
4.3.1 偏微分方程的离散化 —五点差分格式
首先需从网格剖分着手决定离散点的分布方式。
原则上，可采用任意的网格剖分方式，但它直接影响所得差 分方程的具体内容，进而影响解题的经济性与计算精度。
为简化问题，通常采用完全有规律的分布方式，这样在每个 离散点上就能得出相同形式的差分方程，有效地提高解题速 度，
相类似地，按式（4-1）计算一阶差分的差分， 就得到D2f(x)，称之为原始函数f(x)的二阶差分。
同样，当h很小时，二阶差分D2f(x)逼近于二阶微分 d2f(x)。
依同理，可以定义更高阶的差分。
一阶导数
lim Df ( x)除以无限小的微分 dx lim Dx 即是无限小的微分 df D Dx 0 x 0 的商，
经常采用正方形网格的剖分方式。
部分场域D的正方形网格
用分别与x, y两坐标轴平行的两簇等距（步距为h）网格线 来生成正方形网格，网格线的交点称为节点，这样，场域D 就被离散化为由网格节点构成的离散点的集合。
对于场域内典型的内节点o(xi yj)， 如图4-2所示，它与周围相邻的节 点1、2、3、4构成一个所谓对称 的星形。
依据边界上的边界条件，现应有
注意到在以上各式中ua1、ua4、uaM、ub2、ub3、ubN都是虚设 电位值，应用线性插值，它们可由以下方程相互关联：
因此，由实际存在的电位值
可以消去所有虚设电位值，得出关于这类边界条件 的差分计算格式
4.3.4 对称线的差分计算格式
在实际分析电、磁场分布时，经常可观 察到场分布的对称性，因此，在数值计 算中计及场的对称线条件，即可缩小分 析计算的场域，从而在对计算机存贮容 量要求不变的情况下，可获得更为理想 的数值解。 设如图4-10所示，AA’线为二维泊松的对 称线。此时，对位于线上的任一节点O， 由式（4-10），并依据场的对称性，即 有u1=u3，因此相应的差分计算格式为
第4章 有限差分法(FDM)
内容：
－FDM：
以正方形网格划分的离散模式为主体， 重点讨论静态场中的方法应用。
－FDTD：
介绍时变电磁场中直接将麦克斯韦方程组中的旋度 方程表示为差分方程的时域有限差分法。
4.1 概述
有限差分法（Finite Difference Method, 简称FDM）是应用最早的 一种电磁场数值计算方法。
FDM主要用于静态和准静态问题的求解。
有限差分法与变分法相结合形成有限元法（FEM). 把旋度方程直接转化为差分方程形成时域有限差分法（Finite Difference Time Domain Method, 简称FDTD）
在高频电磁场的传输、辐射、散射和透入等工程问题中应用广泛。
求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型的有限 差分法的基本思想是
利用网格剖分将定解区域（场域）离散化为网格离散节点的 集合， 应用差分原理，以各离散点上函数的差商来近似替代该点的 偏导数，这样待求的偏微分方程定解问题转化为相应的差分 方程组（代数方程组）问题， 解出各离散点上的待求函数值，即为所求定解问题的离散解， 若再应用插值方法，便可从离散解得到定解问题在整个场域 上的近似解。
现若将媒质eb换以媒质ea，则对于o点，据式（4-10）(泊松 方程的差分方程)可得
同理，若将媒质ea换以媒质eb，则对于o点，据式（4-11） (拉普拉斯方程的差分方程)可得
但实际上ua1和ub3是虚设的电位，所以应利用分界面上场量 遵循的边界条件[（1-66）和（1-69）]，把它们从以上两式 中消去－－
截断于2hf’(x0)项，略去了h3项以及更高幂次的项。
很明显，三种差商表达式中以载（4-4）所示的中心差商的截断误 差最小，其误差大致和h的二次方成正比。
二阶导数同样可以近似为差商的差商，即
这相当于把泰勒公式
截断于h2f’’(x)项，略去了h4项以及更高幂次的项，其误差亦 大致和h的二次方成正比。
采用双下标（i, j）的识别方法，设在这些离散节点上的待求 位函数u的近似值分别记作
参照式（4-7），二维泊松方程（4-8）可近似离散化表示为
即
此为对应于泊松方程的差分方程。
如果位函数u满足的是拉普拉斯方程（F=0），则差分离散化后所 得差分方程是
此时，节点O上的位函数值等于其周围四个相邻节点位函数值的平 均值。
同样需分两种情况讨论。
第一种情况是在边界处引入的相应节点恰好落在边
界L上。
这时，取决于边界L在该边界节点处的外法线方向是否与 网格线相重合，又对应有不同的差分离散化结果。
当边界L在边界节点o处的外法向n与网格线相重合时， 如图4-4所示，则问题在于如何用差商近似替代法向 u 导数 。 n
同理
以h和h1分别与以上两式相乘，且相加，然后截断 u 表达式为 于h的二次项，便得关于的差分
2
x o
2
同理可得
令h1=ah，h2=bh，代入以上两式，最终再代入给 定的泊松方程，即得这类边界情况所对应的差分计 算格式为
(2)第三类边界条件的差分离散化
首先，由式（1-66）得出分界面上电位的连续性，即
其次，假设在分界面上自由电荷的面密度s=0，则由式（169）有
以差分格式表示，即为
将ea乘以式（4-16）与eb乘以式（4-17）后相加，代入由式 （4-18）和（4-19）所给定的边界条件，并令K=ea/eb，便得 待求的两种不同媒质分界面上边界条件的差分计算格式为
n
u 0 n
4.3.3 不同媒质分界面上边界条件 的差分计算格式
当给定的边值问题含有多种媒质时，取决于不 同媒质的电磁场特性和不同媒质分界面的几何 形状，将对应有类型繁多的差分计算格式， 仅取两种典型情况进行分析。
(1)分界面与网格线相重合的情况
以二维电场问题为例，
设分界面L’与网络线相重合，如图48所示。
依照（4-2）、（4-5），偏导数也可近似地用相应的 差商来表达。
若设定函数u(x, y, z)，当其独立变量x得到一个很小的增量 Dx=h时，则x方向的一阶偏导数可以近似表达为
同样，相应的二阶偏导数可以近似表达为
4.3 差分格式的构造
以二维静态电、磁场泊松方程的第一类边值问题为例。 设具有平行平面场特征的电磁场场域D，如图4-２所示，为一由闭 合边界L所界定的平面域，其定解问题可表述为
由于差分方程（4-10）、（4-11）中只出现待求函数u在点o(xi, yj) 与其四个相邻点上的值，故通常称为五点差分格式。
为求解给定的边值问题，在完成上述泛定方程的差分格式构造后， 还必须对定解条件——边界条件，以及具体问题中可能存在的衔 接条件（即不同媒质分界面上的边界条件），进行差分离散化处 理。
若划分网格时引入的节点不落在边界 L上，则如图4-3所示，对于邻近边界 的典型节点o，由于h1≠h2≠h，这样， 点及其周围相邻的1、2、3、4点构成 一个不对称的星形。
此时，可仿照4.2节，采用泰勒公式进行 差分离散化处理，即能相当精确地导出 关于o点的差分计算格式。
应用二元函数的泰勒公式，节点1的位置数值u1可 通过u0表示为
4.2 差分与差商
有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算方法，它用离散 的函数值所构成的差商来近似逼近相应的偏导数。 差商是基于差分应用的数值微分表达式。 设一函数f(x)，其自变量x有一个很小的增量Dx=h，则函数f(x)的增 量
≈Hale Waihona Puke Baiduf
称为函数f(x)的一阶差分。 只要增量h很小，差分Df与微分df之间的差异将很小。 一阶差分仍是自变量x的函数
应用差分，显然，它可近似地表达为
向前
即有限小的差分Df(x)除以有限小的差分Dx的商，称为差商。
同理，一阶导数f’(x)还可近似表达为
向后
或
中心
式（4-2）、（4-3）、（4-4）分别称为一阶向 前、向后、中心差商。
如图4-1所示，对应于点P的一阶向前、向后、中心差 商，在几何意义上可分别表征为弧线PB、AP、AB的 斜率。
(2)分界面对于网格呈对角线形态的情况 此时差分计算格式的推导及其处理方法与上类同，
但为提高差分离散化的逼近度，尚需引入M、N两 个辅助节点（M、N二点分别是线段14 和 23的中 点），如图4-9所示。
对于节点O，如同前所述，当媒质依次代换时，相应的五点 差分格式分别与式（4-16）和（4-17）相同。
4.3.2 定解条件的离散化 ——各类差分计算格式
对于场域边界上给定的三类边界条件，第二类边界条 件可以看作为第三类边界条件的特殊情况，因此，只 需讨论第一、第三类边界条件的差分离散化处理。
(1)第一类边界条件的差分离散化 若如图4-２点M所示，划分网格时相应的网格节点 恰好落在边界L上，则只要直接把位函数 u | ML f (rM ) 的值赋给该对应的边界节点M即可。
o
最简洁的处理方法是依据（4-3），第三类边界条件在此情 况下的差分计算格式为
当边界L在边界节点o处的外法向n与网格线不重合时， 如图4-5所示，显然有
于是，关于o点的差分计算格式是
一般式
第二种情况是在边界处引入的相应节点不落
在边界L上，这时如图4-6所示，
可在邻近边界的节点o上仍按上述方法列出差分 计算格式， 只是需引入与节点o相关的边界节点o’，取点o’处 的外法向n 作为点o处的“外法向n”， 且近似地认为边界条件中给定的函数f1(ro)和f2(ro) 均在点o’上取值。即将式（4-14）中的f1(ro)和 f2(ro)改记为f1(ro’)和f2(ro’)，即得此种情况下关于 O点的差分计算格式。
对于包括电磁场在内的各种物理场，应用有限差分法 进行数值计算的步骤通常是：
1)采用一定的网格剖分方式离散化场域； 2)基于差分原理的应用，对场域内偏微分方程以及定解条件 进行差分离散化处理（称为构造差分格式）； 3)由所建立的差分格式（代数方程组），选用合适的代数方 程组的解法，编制计算程序，算出待求的离散解。
对于实际电、磁场问题，如图4-7所示 以通量线（如E线）为边界的第二类齐 次边界条件是常见的一种情况。
这时，边界条件的差分离散化可沿着场域 边界外侧安置一排虚设的网格节点，
显然，对于边界节点o，由于该处 ， 故必然有u1=u3，因此相应于第二类齐次边 界条件 u | L 0 的差分计算格式为
它们对应于该点一阶导数的逼近度可分别从以下泰勒 公式的展开式中得知，即由
可见，对应于式（4-2）、（4-3），它们都截断于hf’(x0)项，而把 h2项和更高幂次的项全部略去。 换句话说，就式（4-2）、（4-3）而言，略去余数项所引入的误差 将大致和h的一次方成正比。 而对于式（4-4）的一阶中心差商表达式则相当于把相应的泰勒公 式
4.3.1 偏微分方程的离散化 —五点差分格式
首先需从网格剖分着手决定离散点的分布方式。
原则上，可采用任意的网格剖分方式，但它直接影响所得差 分方程的具体内容，进而影响解题的经济性与计算精度。
为简化问题，通常采用完全有规律的分布方式，这样在每个 离散点上就能得出相同形式的差分方程，有效地提高解题速 度，
相类似地，按式（4-1）计算一阶差分的差分， 就得到D2f(x)，称之为原始函数f(x)的二阶差分。
同样，当h很小时，二阶差分D2f(x)逼近于二阶微分 d2f(x)。
依同理，可以定义更高阶的差分。
一阶导数
lim Df ( x)除以无限小的微分 dx lim Dx 即是无限小的微分 df D Dx 0 x 0 的商，
经常采用正方形网格的剖分方式。
部分场域D的正方形网格
用分别与x, y两坐标轴平行的两簇等距（步距为h）网格线 来生成正方形网格，网格线的交点称为节点，这样，场域D 就被离散化为由网格节点构成的离散点的集合。
对于场域内典型的内节点o(xi yj)， 如图4-2所示，它与周围相邻的节 点1、2、3、4构成一个所谓对称 的星形。
依据边界上的边界条件，现应有
注意到在以上各式中ua1、ua4、uaM、ub2、ub3、ubN都是虚设 电位值，应用线性插值，它们可由以下方程相互关联：
因此，由实际存在的电位值
可以消去所有虚设电位值，得出关于这类边界条件 的差分计算格式
4.3.4 对称线的差分计算格式
在实际分析电、磁场分布时，经常可观 察到场分布的对称性，因此，在数值计 算中计及场的对称线条件，即可缩小分 析计算的场域，从而在对计算机存贮容 量要求不变的情况下，可获得更为理想 的数值解。 设如图4-10所示，AA’线为二维泊松的对 称线。此时，对位于线上的任一节点O， 由式（4-10），并依据场的对称性，即 有u1=u3，因此相应的差分计算格式为
第4章 有限差分法(FDM)
内容：
－FDM：
以正方形网格划分的离散模式为主体， 重点讨论静态场中的方法应用。
－FDTD：
介绍时变电磁场中直接将麦克斯韦方程组中的旋度 方程表示为差分方程的时域有限差分法。
4.1 概述
有限差分法（Finite Difference Method, 简称FDM）是应用最早的 一种电磁场数值计算方法。
FDM主要用于静态和准静态问题的求解。
有限差分法与变分法相结合形成有限元法（FEM). 把旋度方程直接转化为差分方程形成时域有限差分法（Finite Difference Time Domain Method, 简称FDTD）
在高频电磁场的传输、辐射、散射和透入等工程问题中应用广泛。
求解由偏微分方程定解问题所构造的数学模型的有限 差分法的基本思想是
利用网格剖分将定解区域（场域）离散化为网格离散节点的 集合， 应用差分原理，以各离散点上函数的差商来近似替代该点的 偏导数，这样待求的偏微分方程定解问题转化为相应的差分 方程组（代数方程组）问题， 解出各离散点上的待求函数值，即为所求定解问题的离散解， 若再应用插值方法，便可从离散解得到定解问题在整个场域 上的近似解。