第2课时-定理与证明PPT精品课件

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北师版数学八年级上册第2课时与三角形外角有关的定理课件

2 ∴∠DAC=∠C（等量代换）
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）
例3 已知：如图，P是△ABC 内一点，连接PB、PC. 求证：∠BPC > ∠A.
证明：如图，延长BP，交AC于点D
∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义）
∴ ∠BPC＞∠ PDC（三角形的一个外角大于
任何一个和它不相邻的内角）
∴ ∠1+∠2+∠3=2（∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB）=360°
1. 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个
三角形是（ C ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
2. 判断对错.
① 三角形的一个外角等于两个内角的和。（×） ② 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（√ ） ③ 三角形的一个外角大于任何一个内角。（ × ） ④ 三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（√ ）
定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
A
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.
2
求证： ∠1= ∠2+ ∠3
3 41
B
C
D
证明：∵ ∠4 +∠2+ ∠3=180°
（三角形内角和定理）
A
∴ ∠2+ ∠3= 180°-∠4（等式的性质）
2
∵ ∠1+ ∠4= 180°(1平角= 180°)
3. 如图所示，在△ABC 中，E、F 分别在AB、AC上，则下列各式不能成立
的是（）C
A.∠BOC=∠2+∠6+∠A B.∠2=∠5-∠A C.∠5=∠1+∠4 D.∠1=∠ABC+∠4

人教版高中数学必修2《正弦定理》PPT课件

2．正弦定理的常见变形：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R 为△ABC 外接圆的半径)．
(2)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR(R 为△ABC 外接圆的半径)．
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
题型一已知两角及一边解三角形
【学透用活】
[典例 1] (1)在△ABC 中，c＝ 3，A＝75°，B＝60°，则 b 等于 ( )
32 A. 2
3 B.2 2
3
6
C.2
D. 2
(2)在△ABC 中，已知 BC＝12，A＝60°，B＝45°，则 AC＝_________.
[解析] (1)因为 A＝75°，B＝60°，
[方法技巧] 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角
三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正
弦定理判断三角形形状的方法如下：
(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：①a＝2Rsin A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C(R
为△ABC
＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为
()
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
解析：由射影定理得 bcos C＋ccos B＝a，则 a＝asin A，于是 sin A＝ 1，即 A＝90°，所以△ABC 的形状为直角三角形．
答案：B
[应用二] 设△ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.已知 bcos
形，故选 D.
答案：D

318.45.北师大版八年级数学上册7.2 第2课时定理与证明(课件)

香。雪入窗，今
苍茫，罂粟纷纷
不若笑醉一回。
一杯？前尘旧梦
繁华，怎敌我浊
古韵清
风
中幽舞
梦明
国落月
花，间。
开离留去不念倾一为夜古
始，不别成，了丝何静去，终下离双道天纠泪谧；陌是相相，是涯缠悄，
路缠思思抹相的，落佳
韵风味
梦明
国落月
花，间。
…… …… ……
余
飞
恰惆壶红拾夜飘忆，酒世
生茫茫。
只叹伊人已去，
雪，茫然又一岁
举杯独醉，饮罢
如流年负了青春
怅泪溶了雪，
月光？谁酒三尺
颜刹那？谁饮一
弹指雪花？谁痴
无月亦无殇。谁
想一想：说明一个命题是假命题，通常举出一个例子就可以了，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。如何证实一个命题是真命题呢？
读一读
在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题。公元前3世纪，人们已经积累了大量知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得（公元前300前后）编写了一本书，书名叫《原本》，为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创新，挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的起始依据，其中的数学名词称为原名，公认的真命题称为公理，除了公理外，其他真命题的正确性都通过推理的方法证实，推理的过程称为证明，经过证明的真命题称为定理，而证明所需要的定义、公理和其他定理都编写在要证明的这个定理的前面。《原本》问世之前，世界上还没有一本数学书籍像《原本》这样编排，因此，《原本》是一部具有划时代意义的著作。

人教版数学七年级下册5-3-2命理、定理、证明(第2课时) 课件

①BC平分∠ABE； ②∠BCE＋∠D＝90°； ③AC∥BE； ④∠DBF＝2∠ABC. 其中正确的有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．若a＝b，则a2＝b2是____真_____命题(选填“真”或“假”)，其中“a＝b”是_题__设_______，“a2＝b2”是_结__论________．
7．如图，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1 ＝∠2，则图中互相平行的直线是__E_F_∥__C_D__，__B_C_∥__D_E___________．
8．如图，给出下面的推理，其中正确的是____①__②__④________． ①因为∠B＝∠BEF，所以AB∥EF； ②因为∠B＝∠CDE，所以AB∥CD； ③因为∠B＋∠BEC＝180°，所以AB∥EF； ④因为AB∥CD，CD∥EF，所以AB∥EF.
9．如图，AC⊥BC，垂足为点C，∠BCD是∠B的余角．求证： ∠ACD＝∠B.
证明：∵AC⊥BC(已知)， ∴∠ACB＝90°(______垂__直__的__定__义________)， ∴∠BCD是∠ACD的余角． ∵∠BCD是∠B的余角(已知)， ∴∠ACD＝∠B(____同__角__的__余__角__相__等______)．
c
2
a
证明的一般步骤： 1.分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； 2.根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； 3.经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程.
如何判定一个命题是假命题呢？
只要举出一个例子(反例)，它符合命题的题设，但不满足结论即可.
歌德的话蕴含了什么数学道理？
合作探究

定理与证明优质课件PPT

2021/02/01
13
C B
2021/02/01
9
2 如图，已知平行线AB,CD被直线EF所截，
（1）若∠1= 110o，则∠2=＿11＿0o（两直线平行，内错角相等）（2）若∠1= 110o，则∠3=＿11＿0o（两直线平行，同位角相等）（3）若∠1= 110o，则∠4=＿70＿o （两直线平行,同旁内角互补）
定理与证明
2021/02/01
2002年5月1
课时目标：
1进一步学习定理的证明，掌握证明的步骤。
2了解举反例证明假命题的方法。
2021/02/01
2
复习：
问：“邻补角的平分线互相垂直”的题
设、结论是什么？根据命题的题意画出图形，根据命题的
题设写出“已知”，根据命题的结论写出
“求证”。
2021/02/01
3
已知：如图，∠ AOB+ ∠ BOC=180
OE平分∠ AOB，
OF平分∠ BOC。
求证：OE ⊥OF。
2
1
2021/02/01
4
平行线的性质公理：
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。
简称：两直线平行，同位角相等。
2021/02/01
5
3 猜测一下，两直线平行，内错角之间有何
关系呢？为什区别
作业：P99
2021/02/01
性质中的条件和结论分别是判定中的结论和条件。
A组 9，10，11
12
Thank you
感谢聆听批评指导
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年XX月XX日
感谢您的观看！本教学内容具有更强的时代性和丰富性，更适合学习需要和特点。为了方便学习和使用，本文档的下载后可以随意修改，调整和打印。欢迎下载！

定理与证明PPT教学课件

代换)．又∵AB∥DC(已知)，∴∠1＝∠3(两直线平行，内错角相
等)．∴∠2＝∠3(等量代换)，∴DE∥FB(同位角相等，两直线平行)
8．(8分)如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2. 求证：DG∥BA.
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，∴AD∥EF(垂直于同一直线的两直线平行)，∴∠1＝∠BAD(两直线平行，同位角相等)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠2＝∠BAD(等量代换)，∴DG∥BA(内错角相等，两直线平行)
11．(10分)已知：如图，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，交AB于点G，交CA延长线于点E，∠1＝∠2.求证：AD平分∠BAC.
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，∴AD∥EF(垂直于同一条直线的两条直线成平行)，∠1＝∠DAG(两直线平行，内错角相等)，∠2＝ ∠CAD(两直线平行，同位角相等)，∵∠1＝∠2(已知)，∴∠DAG＝ ∠CAD(等量代换)，即AD平分∠BAC
7．(8分)已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF和DE分别是∠ABC和 ∠ADC的平分线，AB∥DC.
求证：DE∥FB.
解：∵BF和DE分别是∠ABC和∠ADC的平分线(已知)，∴∠2
＝
1 2
∠ABC，∠1＝
1 2
∠ADC(角平分线的定义)．∵∠ABC＝∠
ADC(已知)，∴
1 2
∠ABC＝
1 2
∠ADC(等式的性质)，∴∠2＝∠1(等量
求证：AD∥BE.
证明：∵AB∥CD(已知)， ∴∠4＝∠___B_A(F 两直线平行，同位角相等)． ∵∠3＝∠4(已知)， ∴∠3＝∠___B_A(F 等量代换)． ∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠1＋∠CAF＝∠2＋∠CAF( 等式性)质，即∠_B_A__F＝∠__D_A_，C ∴∠3＝∠__D__A(C 等量代换)． ∴AD∥BE( 内错角相等两直线平行)．

2 定义与命题第2课时定理与证明公开课获奖课件

【变式训练】 3. 已知∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，则∠1＝∠3，理由是 ___同__角__或__等__角__的__余__角__相__等_____． 4. 如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上，求证：∠1＋ ∠2＝90°.
解：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．又∵∠BAC ＝90°(已知)，∠1＋∠3＋∠BAC＝180°(平角的定义)，∴∠1＋∠3＝90°， ∴∠1＋∠2＝90°(等量代换)
A．公理和定理都是真命题
B．公理就是定理，定理也是公理
C．公理和定理都可以作为推理论证的依据
D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明
知识点二：证明
【典例导引】【例2】在下面的括号内，填上推理的根据：如图，已知AB∥CD，BE∥CF，求证：∠B＋∠C＝180°.
证明：∵AB∥CD(已知)， ∴∠B＝∠BGC(两直线平行，内错角相等)，又∵BE∥CF(已知)， ∴∠BGC＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∴∠B＋∠C＝180°(等量代换)．【方法点拨】证明题步骤：(1)审题，分清命题的条件和结论；(2)画图，结合图形写出已知、求证；(3)分析因果关系，找出证明途径；(4)有条理地写出证明过程.
撪撬撮撯撱揿撴撵撶撷撸撹撺挞撼撽挝擀擃掳擅擆擈擉擌擎擏擐擑擓携擖擗擘擙擛
擜擝擞擟抬擢擤擥举擨
9. (揭阳模拟)已知命题“两条直线被第三条直线所截，如果同位角的平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．
(1)画出符合命题的几何图形； (2)用几何符号表述这个命题； (3)证明这个命题是真命题．
北师版
第七章平行线的证明
2 定义与命题
第2课时定理与证明

华东师大版数学八年级上册1第2课命题、定理与证明课件

“内错角相等，两直线平行”是平行线的判定定理.
定理揭示了客观事物的本质属性.
基本事实、定理、命题、真命题、假命题之间有什关系？
命题
真命题
假命题
基本事实
定理
思考1：当n＝1，2，3，4，5时，代数式n2-3n+7的值是质数吗？你能肯定：对于所有的自然数，式子n2-3n+7的值都是质数吗？
解：当n=1时，n2-3n+7=5，是质数，当n=2时，n2-3n+7=5，是质数，当n=3时，n2-3n+7=7，是质数，当n=4时，n2-3n+7=11，是质数，当n=5时，n2-3n+7=17，是质数，
思考1：当n＝1，2，3，4，5时，代数式n2-3n+7的值是质数吗？你能肯定：对于所有的自然数，式子n2-3n+7的值都是质数吗？
所以，当n=1，2，3，4，5时，代数式n2-3n+7的值
全都是质数．
当n=6时，n2-3n+7=62-18+7=25=52. 所以，对于所有自然数，式子n2-3n+7的值不都是质数.
已知：如图，已知AB∥CD， OP，MN分别平分∠BOM， ∠OMD，OP、MN交于G点，求证：MN⊥OP.
证明：∵AB∥CD， ∴∠BOM+∠OMD=180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∵OP 、 MN分别平分∠BOM，∠OMD， ∴2∠POM+2∠NMO=180°. ∴∠POM+∠NMO=90°. ∴∠MGO=90°. ∴MN⊥OP．
新知讲授
上面这些命题是通过长期实践总结出来，被大家公认的真命题.我们将这些命题视为基本事实.
它们是我们在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原始根据，即出发点. “同位角相等，两直线平行”是基本事实，那么七年级我们学过的命题“内错角相等，两直线平行”是什么呢？

浙教版数学八年级上册证明第2课时三角形内角和定理及推论课件

A E
1
2
C
D
证明: 作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB，作辅助线
则∠1＝∠A（两直线平行，内错角相等）， ∠2＝∠B（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1+∠2+∠ACB＝180°, ∴∠Ａ+∠Ｂ+∠ACB＝180°（等量代换）.
三角形内角和定理三角形的内角和等于180°.
这两种添线根据都是通过平行线的性质，利用内错角
2、星期天，小明见爸爸愁眉苦脸地在看一张图纸，他便悄悄地来到爸爸身边，想看爸爸为什么犯愁．爸爸见到他，高兴地对他说：“来帮我一个忙，你看这是一个四边形零件的平面图，它要求∠BDC等于140°才算合格．”小明通过测量得∠A＝90°，∠B＝19°，∠C＝40°后就下结论说此零件不合格.于是爸爸让小明解释这是为什么？
已知：如图，直线AB∥CD，直线EF 分别交AB、CD于点E、F，EH、FG 分别平分∠BEI、∠DFE. 求证：EH∥FG.
I
1H
A
E
B
2G
CF
D
证明：∵直线AB∥CD（已知），
∴ ∠BEI=∠DFE（两直线平行，同位角相等），
又∵ EH、FG分别平分∠BEI、∠DFE，
∴∠1= ∠BEI，∠2= ∠DFE（角平分线的定义）， I
B
C
练习2、如图，在△ABC中，∠B=50°， ∠C=60°，点D是BC 边上的任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，那么∠EDF=_1_1_0_°.
解：在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和定理）， ∴∠A=180°-∠B-∠C =70°，又∵ DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠AED=∠DFA=90°，∴ ∠EDF=110°.

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第七章平行线的证明 7.2 定义与命题
八年级数学·北师版第2课时定理与证明
学习目标
1.了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公理．（重点） 2.体会命题证明的必要性，体验数学思维的严谨性．（难点）
导入新课
观察与思考
如何证实一个命题是真命题呢？
用我们以前学过的观察,实验,验证
特例等方法.
哦……那可怎么办
这些方法往往并不ຫໍສະໝຸດ 靠.能不能根据已经知道的真命题证实呢?
那已经知道的真命题又是如何证实的?
讲授新课
一公理与定理
思考：如何证实一个命题是真命题呢？了解《原本》与《几何原本》；了解古希腊数学家欧几里得
(Euclid,公元前300前后)；找出下列各个定义并举例． 1.原名:某些数学名词称为原名. 2.公理:公认的真命题称为公理. 3.证明:除了公理外,其他真命题的正确性都通过推理的方法证实.推理的过程称为证明. 4.定理:经过证明的真命题称为定理.
∴ ∠AOB与∠COD都是平角(
平)角的定义
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180° ∠BOD＋∠AOD＝180°
( 补角的定义)
∴ ∠AOC =∠BOD (
同角的补)角相等
典例精析
例2 已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c．证明： ∵ a ⊥b（已知）
b
c
1
2
a
∴ ∠1=90°（垂直的定义）
又 b ∥ c（已知）
其他公理
等式的有关性质和不等式的有关性质（以后将会学到）都可以看作公理． “在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替”.这一性质也看作公理,简称为“等量代换”.
典例精析
证明定理“对顶角相等”
例1：如图，直线AB与直线CD相交于点O， ∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC =∠BOD
证明： ∵直线AB与直线CD相交于点O ( ) 已知
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
当堂练习
1.“两点之间，线段最短”这个语句是（）
B
A.定理 B.公理
C.定义 D.只是命题
2.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是
（）
C
A.定理
B.公理 C.定义 D.只是命题
3.下列命题中，属于定义的是（ D ） A.两点确定一条直线； B.同角的余角相等； C.互补的两个角是邻补角； D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度.
总结归纳
一些条件 +
原名、公理
推理的过程叫证明
推理
证实其他命题的正确性
经过证明的真命题叫定理
公理
本套教科书选用九条，我们已经认识了其中的八条: 1.两点确定一条直线; 2.两点之间线段最短; 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）; 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等; 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等; 8.三边分别相等的两个三角形全等.
4.下列句子中，是定理的是（ B,C ），是公理的是（ A ）. A.若a=b，b=c，则a=c； B.对顶角相等 C.全等三角形的对应边相等，对应角相等
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汇报人：XXX
时间：20XX.XX.XX