高等数学(工本)课后习题答案

百度文库







a b cos = β a= c a c cos γ 可得
b cos β = c cos γ ，即
向量 b、c 在向量 a 上的投影相等，因此不能断定 b = c ．




= a {1,1, −4} ，= b {2, −2,1} ，求： 4．已知向量
2u − 3v = 2(i − j + 2k ) − 3(−i + 3 j − k ) = 5i − 11 j + 7 k
= a {3,5, −1) ， b = {2, 2,3} ， c = {4, −1, −3} ，求： 3．给定向量
（1） 2a ； （2） a + b − c ； （3） 2a − 3b + 4c ； （4） ma + nb ． （1） = 2a {6,10, −2} ； （2） a + b −= c {3,5, −1} + {2, 2,3} − {4, −1, −3) = {1,8,5} ； （3） ma + nb = {3m,5m, −m} + {2n, 2n,3n} = {3m + 2n,5m + 2n, − m + 3n} ． 4．给定两点 A（−3,−3,3）及 B（3,4,−3） ，求与 AB 平行的单位向量．


2
2
2
7．计算下列向量所对应的向量积 a × b ：
a {0,1, −1} ， b b {3, −2,1} ； = = {1, −1,0} ． （1） a = {1,1,1} ， = （2）
j k i （1） a × b = 1 1 1 = 3i + 2 j − 5k = {3, 2, −5} ； 3 −2 1 i j k （2） a × b =0 1 −1 = −i − j − k =− { 1, −1, −1} ． 1 −1 0
第一章 空间解析几何与向量代数
习题 1−1
1．研究空间直角坐标系各个卦限中点的坐标特征，指出下列点在哪个卦限： A（1, −2,3） ， B（2,3, −4） ，C（2, −3, −4） ，D（−2, −3,1） ，E（1,2,4） ． 空间直角坐标系中点 M（x，y，z）的坐标值与其所在卦限的关系如下： x + − 限． 2．研究在各个坐标面和坐标轴上的点的坐标各有什么特征，指出下列各点在哪个坐标面或坐标轴上： A（3,4,0）,B（0,4,3） ，C（3,0,0） ，D（0, −1,0） ，E（0,0,7） ． 空间直角坐标系中点 P ( x, y, z ) （ x, y, z 至少有一个为 0）的坐标特征如下： 在 x 轴上，y、z 必为 0，在 Oyz 平面上，x 必为 0；在 y 轴上，x、z 必为 0，在 Oxz 平面上，y 必为 0；在 z 轴上，x、y 必为 0，在 Oxy 平面上，z 必为 0．因此点 A（3,4,0）在 Oxy 平面上，点 B（0,4,3）在 Oyz 平面 上，点 C（3,0,0）在 x 轴上，点 D（0,−1,0）在 y 轴上，点 E（0,0,7）在 z 轴上． 3．点（a，b，c）关于各坐标面、各坐标轴、坐标原点的对称点的坐标是什么？ 如下表所示： 坐标 (a，b，c) Oxy 平面 (a，b， Oyz 平面 (−a，b，c) Oxz 平面 (a，−b， c) x轴 (a，−b， y轴 (−a，b， z轴 (−a，−b， c) 原点 (−a，−b， y + + z + + 卦限 第一卦限 第二卦限 x + y + z − 卦限 第五卦限 x + y − z + 卦限 第四卦限 x + y − z − 卦限 第八卦限
（3） (m − n)(a + b) − (m + n)(a − b) ．
(m − n)(a + b) − (m + n)(a − b)
= (m − n)a + (m − n)b − (m + n)a + (m + n)b = 2(mb − na )
2．设向量 u = i − j + 2k ， v =− i + 3 j − k ，计算 2u − 3v ．
量和坐标轴的关系如何？ （1）由 cos α = 0 可知该向量垂直于 x 轴； （2）由 cos β = 1 可知该向量与 y 轴同向； （3）由 cos α = 0 及 cos β = 0 可知该向量垂直于 x 轴与 y 轴，即该向量与 z 轴平行． 7．求向量 a = {1, 2,1} 的单位化向量 a ，并求 a 与各个坐标轴的夹角．
λ．



= λ a 0 ，故 λ = 0 或 a = 0 ；



λ = a λ= a λ．


习题 1−3
= a {3, 2, −1} ， b = {1, −1, 2} ，求： 1．已知向量
（1） a （2） 5a 3b ； （3） a i ， a j ， a k ． b； （1） a b= {3, 2, −1} {1, −1, 2} = −1 ； （2） 5a 3b = 15 {3, 2, −1} {1, −1, 2} = −15 ； （3） a i = {3, 2, −1} {1,0,0} = 3 ， a j = {3, 2, −1} {0,1,0} = 2 ， a k = {3, 2, −1} {0,0,1} = −1 ．
= a {3, 2, −1} 与= b {2, −3,0} 相互垂直． 5．证明向量
由 a {2, −3,0} = 0 可得 a 与 b 相互垂直． b = {3, 2, −1} 6．已知三角形的顶点为 A( −1, 2,3), B (1,1,1), C (0,0,5) ，证明此三角形是直角三角形，并求角 B ． 由已知得 AB = {2, −1, −2} ， AC = {1, −2, 2} , BC ={−1, −1, 4} 故 AB =





a {2, −3,5} ， = b {3,1, −2} ，求： 2．设向量= (a − b ) ； ( b − 2a ) ． （1） a （2） b ； （3） (a + b) ； （4） (a + b) （5） (3a + 2b) b；
2
2
（2） b = {3,1, −2} = 14 ； （1） a {2, −3,5} {3,1, −2} = b= −7 ；
= a {3, 2, −1} ， b = {1, −1, 2} ，求： 8．已知向量
（1） a × b ； （2） 2a × 7b ； （3） 7b × 2a ．
i j k （1） a × b = 3 2 −1 = 3i − 7 j − 5k = {3, −7, −5} ； 1 −1 2 i j k （2） 2a × 7b = 14 3 2 −1 = 14(3i − 7 j − 5k = ) {42, −98, −70} ； 1 −1 2 i j k （3） 7b × 2a = 14 1 −1 2 = 14(−3i + 7 j + 5k ) =− { 42,98,70} ． 3 2 −1

6 7 6 {6,7, −6} 6 7 6 AB 易得= AB {6,7, −6} ,因此 AB = { , , − } 或 {− , − , } ． ± = = 2 2 2 11 11 11 11 11 11 AB 6 + 7 + (−6)
5．给定两点 A（4,0,5）及 B（7,1,3） ，求与 AB 同向的单位向量．
第六卦限 第三卦限 第七卦限 − + − − − + − − − 因此点 A 处于第四卦限，点 B 处于第五卦限，点 C 处于第八卦限，点 D 处于第三卦限，点 E 处于第一卦
−c) −c) −c) −c) 4．对于空间中的点 M，如果经过 M 向某条直线做垂线，则称垂足为点 M 在直线上的投影点；如果经过 M 向某个平面做垂线，则称垂足为点 M 在该平面上的投影点．求点（a，b，c）在各个坐标面及各个坐标轴 上的投影点的坐标． 如下表所示： 坐标 (a，b，c) Oxy 平面 (a，b，0) Oyz 平面 (0，b，c) Oxz 平面 (a，0，c) x轴 (a，0，0) y轴 (0，b，0) z轴 (0，0，c)
（1） a （2） a ， b ； （2） a 与 b 的夹角 θ ． b；
= （1） a （2） a b= {1,1, −4} {2, −2,1} = −4 ；


2 12 + 12 + (−4)= 3 2， b =
2 22 + (−2) 2 + 1 = 3；
a b −4 2 2 2 2 ，故 θ= π − arctan ． （3） cos θ = = = − 9 9 3 a b 3 2
6．求点 A（4,-3,5）到各个坐标轴的距离，即求点 A 与其在各个坐标轴上投影点的距离． 如下表所示： 坐标 A（4,−3,5） 与 x 轴的距离 与 y 轴的距离 与 z 轴的距离
(−3) 2 + 52 = 34
4 2 + 52 = 41
42 + (−3) 2 = 5
习题 1−2
1．利用向量的运算化简下列向量的线性运算： （1） a + 2b − (a − 2b) ；
a + 2b − (a − 2b) = a + 2b − a + 2b = 4b
（2） a − b + 5 − b +
1 2
b − 3a ； 5
b − 3a 5 5 1 a − b + 5 − b + a − b − b + b − 3a = −2a − b = 5 2 2 2
5．求顶点为 A（2,5,0） ，B（11,3,8） ，C（5,1,11）的三角形各边的长度．
AB = AC =
(2 − 11) 2 + (5 − 3) 2 + (0 − 8) 2 = (2 − 5) 2 + (5 − 1) 2 + (0 − 11) 2 =
149 ； BC= 146 ．
(11 − 5) 2 + (3 − 1) 2 + (8 − 11) 2= 7 ；
2

2
（3） ( a + b ) =({2, −3,5) + {3,1, −2}) = {5, −2,3} =38 ；
2 2 2

（4） ( a + b ) (a − b ) = {5, −2,3} {−1, −4,7} = 24 ； （5） (3a + b ) (b − 2a ) =− {9, 8,13} {−1,7, −12} = −221 ． 3．设向量 a ≠ 0 且 a b = a c ，问：是否有 b = c ？为什么？ 设向量 a 与 b、c 的夹角分别为 β、γ ，由 a= b





(1 + 1) 2 + (1 − 2) 2 + (1 − 3) 2 = 3 ，
BC ，故此三角形是直角三角形，又 同理得 AC = 3 ， BC = 3 2 ，由于 AB + AC =
= cos B ABBC = AB BC 2 π ，因此 B = ． 4 2

易得 = AB {3,1, −2} ，因此 AB =
AB = AB
3 14 14 14 = { , , }． 14 14 7 32 + 12 + (−2) 2
{3,1, −2}
= cos α 0,cos = β 0 ．问：这些向 6．设向量的方向余弦分别满足： （1） cos α = 0 ； （2） cos β = 1 ； （3）
0
= 易得 a

a 1 2 1 2 1 1 = { , , } ，故 cos α = ， cos β = ， cos γ = ． a 2 2 2 2 2 2
8．证明下列结论： （1） λ a = 0 的充分必要条件是 λ = 0 或 a = 0 ； （2）如果 a 是单位向量且 β = λ α ，则 β = （1）由 λ a = 0 可得 λ = a （2）由 β = λ a 可得 = β