最新二次函数培优讲义

合集下载

二次函数(基础思想)讲义

二次函数1、二次函数的常见解析式及其三要素①a 的符号决定抛物线的的开口大小、形状相同；如果a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=， ④当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点⇔a b ac y 最小442-=；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点⇔ab ac y 最大442-=。

2、二次函数的性质：⑴增减性：以对称轴h x =为界，具有双向性。

⑵对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线的对称轴垂直平分对称点的连线. 即：若A 、B 两点是抛物线上关于对称轴h x =对称的两点，则有：①B A y y =；②h x x B A =+2(即abx x -=+21)。

基础练习题：1、抛物线y = - 2 ( x – 3 )2– 7 对称轴 x = , 顶点坐标为； 2、抛物线 y = 2x 2+ 12x – 25的对称轴为 x = , 顶点坐标为 . 3、若将二次函数y =x 2－2x + 3配方为y =（x －h ）2+ k 的形式，则y =4、抛物线y = - 4（x +2）2+5的对称轴是。

5、抛物线 y = - 3x 2+ 5x - 4开口 , y = 4x 2– 6x + 5 开口 .6、已知P 1（11y ,x ）、P 2（22y ,x ）、P 3（33y ,x ）是抛物线3x 2x y 2--=上的三个点，若321x x x 1<<<，则321y y y 、、的大小关系是____________。

7、已知函数y =x 2-2x -2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y ≥1成立的x 的取值范围是( )A ．-1≤x ≤3B ．-3≤x ≤1C ．x ≥-3D ．x ≤-1或x ≥38、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( ) A h=m B k=n C k ＞n D h ＞0,k ＞0 9、抛物线4)2(22-+-+=m x m x y 的顶点在原点，则m= 10、如图抛物线对称轴是x=1,与x 轴交于A 、B 两点,若B 点的坐标是(3,0),则A 点的坐标是 11、请选择一组你喜欢的的值，使二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象同时满足下列条件：（1）开口向下，（2）当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x的增大而减小。

二次函数培优专题

二次函数培优专题一、二次函数的基本概念1. 二次函数的定义- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。

- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b = 3，c=-1。

- 题目解析：判断一个函数是否为二次函数，关键看其是否符合y = ax^2+bx + c(a≠0)的形式。

比如y=3x + 2就不是二次函数，因为它不符合二次函数的定义形式，其中x的最高次数是1；而y=(1)/(x^2)也不是二次函数，因为它不是整式函数。

2. 二次函数的图象- 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。

- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 例如，对于二次函数y = x^2，a = 1>0，其图象开口向上；对于y=-2x^2，a=-2 < 0，其图象开口向下。

- 题目解析：给定二次函数，判断其图象开口方向是常见题型。

如y = 3x^2-2x + 1，因为a = 3>0，所以图象开口向上。

对于二次函数图象开口方向的理解，可以从二次函数的增减性角度来看，当a>0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a < 0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小。

3. 二次函数的对称轴和顶点坐标- 对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其对称轴公式为x =-(b)/(2a)，顶点坐标公式为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

- 例如，对于二次函数y = 2x^2-4x + 3，a = 2，b=-4，c = 3。

对称轴x=-(-4)/(2×2)=1，顶点纵坐标y=frac{4×2×3-(-4)^2}{4×2}=(24 - 16)/(8)=1，所以顶点坐标为(1,1)。

高一数学培优教材二次函数

高一年段数学培优教材第二讲二次函数一、基础知识： 1．二次函数的解析式（1）一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ （2）顶点式：2()()f x a x h k =-+，顶点为(,)h k （3）两根式：12()()()f x a x x x x =-- （4）三点式：132312321313221231213()()()()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x ------=++------2．二次函数的图像和性质（1）2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线，顶点坐标是24(,)24b ac b a a --，对称轴方程为2bx a=-，开口与a 有关。

（2）单调性：当0a >时，()f x 在(,]2b a -∞-上为减函数，在[,)2ba-+∞上为增函数；0a <时相反。

（3）奇偶性：当0b =时，()f x 为偶函数；若()()f a x f a x +=-对x R ∈恒成立，则x a =为()f x 的对称轴。

（4）最值：当x R ∈时，()f x 的最值为244ac b a -，当[,],[,]2b x m n m n a ∈-∈时，()f x 的最值可从(),(),()2bf m f n f a-中选取；当[,],[,]2bx m n m n a∈-∉时，()f x 的最值可从(),()f m f n 中选取。

常依轴与区间[,]m n 的位置分类讨论。

3．三个二次之间的关联及根的分布理论：二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的区间根问题，一般情况需要从三个方面考虑：判别式、区间端点函数值的符号；对称轴与区间端点的关系。

二、综合应用：例1：已知二次函数()f x 的图像经过三点(1,6),(1,0),(2.5,0)A B C --，求()f x 的解析式。

二次函数辅导讲义

名思教育辅导讲义6、根据二次函数图象提供得信息，确定某一个待定系数得范围例6、如图6所示得抛物线就是二次函数得图象,那么得值就是。

考点2、考抛物线得解析式求二次函数得解析式，就是重点内容。

１、已知抛物线上任意得三个点得坐标,求解析式例1、已知抛物线经过点A(1,２)、B(2,2）、C(3,４),求抛物线得解析式。

２、已知抛物线与x轴得交点坐标,与某一个点得坐标,求解析式例2、已知抛物线与x轴得交点就是A(-２,0)、B(１,0),且经过点C(2,8）。

求该抛物线得解析式。

3、已知抛物线得顶点坐标，与某一个点得坐标,求解析式例３、在直角坐标平面内,二次函数图象得顶点为Ａ(1,－4),且过点B(３，０).求该二次函数得解析式。

4、已知抛物线得对称轴,与某两个点得坐标,求解析式例4、有一座抛物线形拱桥,正常水位时,AB宽为20米,水位上升3米就达到警戒水位线CD,这时水面得宽度为10米。

请您在如图所示得平面直角坐标系中,求出二次函数得解析式。

5、已知一个抛物线得解析式，求平移得函数解析式例5、将抛物线y=x2得图象向右平移3个单位，接着再向上平移６个单位,则平移后得抛物线得解析式为___________。

例６、将抛物线y=2(ｘ+1)2-3向右平移1个单位，再向上平移３个单位,则所得抛物线得表达式为例７、在同一坐标平面内,图象不可能由函数ｙ＝2x2＋1 得图象通过平移变换、轴对称变换得到得函数就是( ）Ａ． y=２(x＋1)２－1 B. y=2x2+3Ｃ. y＝-2x2-1 D.６、抛物线关于x轴对称得抛物线得解析式结论：抛物线y= ａ＋bx＋c关于ｘ轴得对称抛物线为：y=-(a+bx＋c)。

例8、抛物线 y=2（x－１)2＋3关于ｘ轴对称得抛物线得解析式为。

７、抛物线关于y轴对称得抛物线得解析式结论:抛物线ｙ= a+bｘ+ｃ关于ｙ轴得对称抛物线为:y=a-bｘ+c。

例9、抛物线 y=2(x-1)2+3关于y轴对称得抛物线得解析式为。

二次函数复习讲义

二次函数复习讲义一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是指一个变量的二次多项式方程所定义的函数。

其一般形式可表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，且a不等于0。

2. 二次函数的图像二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

3. 二次函数的对称轴和顶点二次函数的对称轴是与抛物线对称的直线，由x = -b/2a表示。

抛物线的顶点坐标即为对称轴的交点。

二、性质与变换1. 平移变换二次函数可通过平移变换进行移动。

设二次函数为f(x)，平移的规则如下：a）水平平移：f(x + h)表示将抛物线沿x轴正方向移动h个单位；b）垂直平移：f(x) + k将抛物线沿y轴正方向移动k个单位。

2. 拉伸与压缩变换二次函数可通过拉伸或压缩变换进行缩放。

设二次函数为f(x)，变换的规则如下：a）水平拉伸或压缩：f(mx)表示将抛物线的横坐标压缩到原来的1/m倍；b）垂直拉伸或压缩：m*f(x)表示将抛物线的纵坐标拉伸到原来的m 倍。

3. 顶点形式与标准形式的转换二次函数可以通过顶点形式和标准形式之间的转换来说明抛物线的性质。

顶点形式可表示为：f(x) = a(x - h)^2 + k其中，(h, k)为抛物线的顶点坐标。

标准形式可表示为：f(x) = ax^2 + bx + c其中，(h, k)为对称轴的交点。

三、特殊二次函数1. 平方函数平方函数是一种特殊的二次函数，其形式为：f(x) = x^2平方函数的图像是一条开口向上的抛物线，其顶点在(0, 0)处。

2. 平移后的二次函数对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，进行平移变换可以得到新的二次函数g(x) = a(x - h)^2 + k。

3. 开口向上与开口向下的二次函数当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。

第5讲二次函数y=ax^2(a≠0)的图象与性质(培优课程讲义例题练习含答案)

二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）【学习目标】1．经历探索二次函数y=ax2和y=ax2＋c的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2．会作出y=ax2和y=ax2＋c的图象，并能比较它们与y=x2的异同，理解a与c对二次函数图象的影响．3．能说出y=ax2＋c与y=ax2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4．体会二次函数是某些实际问题的数学模型．5.掌握二次函数y=ax2(a≠0)与y=ax2+c (a≠0)的图象之间的关系.【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=ax2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y轴，它的顶点是坐标原点.当a＞ 0时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x的值，求出相应的y值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x和y的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点诠释：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x的值，然后计算出对应的y值.（2）二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax 2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 3.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象的性质二次函数y=ax 2（a≠0）的图象的性质，见下表：函数图象开口方向顶点坐标对称轴函数变化最大（小）值y=ax 2a ＞0向上（0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而增大； x ＜0时，y 随x 增大而减小.当x=0时，y 最小=0y=ax 2a ＜0向下（0，0） y 轴 x ＞0时，y 随x 增大而减小； x ＜0时，y 随x 增大而增大.当x=0时，y 最大=0要点诠释：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a │相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a │越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a │越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴. 要点二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质 1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象（1）0a >j xOy()0y ax c c =+>cjyxOc()0y ax c c =+<（2）0a <2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>> 2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向向上向下顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当0x >时，y 随x 的增大而增大；当0x <时，y 随x 的增大而减小.当0x >时，y 随x 的增大而减小；当0x <时，y 随x 的增大而增大.最大（小）值当0x =时，y c =最小值当0x =时，y c =最大值3.二次函数()20y axa =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系()20y ax a =≠的图象向上（c ＞0）【或向下（c ＜0）】平移│c │个单位得到()20y ax c a =+≠的图象. 要点诠释：j yxOc()20y ax c c =+>j y xOc()0y ax c c =+<抛物线2(0)y ax c a =+≠的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，c)，与抛物线2(0)y ax a =≠的形状相同．函数2(0)y ax c a =+≠的图象是由函数2(0)y ax a =≠的图象向上（或向下）平移||c 个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x ＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已．【典型例题】类型一、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象与性质1．（•宁夏）已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax 与y=ax 2的图象有可能是（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】本题可先由一次函数y=ax 图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax 2的图象相比较看是否一致．（也可以先固定二次函数y=ax 2图象中a 的正负，再与一次函数比较．）【答案】C ；【解析】A 、函数y=ax 中，a ＞0，y=ax 2中，a ＞0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a ），故A 错误；B 、函数y=ax 中，a ＜0，y=ax 2中，a ＞0，故B 错误；C 、函数y=ax 中，a ＜0，y=ax 2中，a ＜0，但当x=1时，两函数图象有交点（1，a ），故C 正确；D 、函数y=ax 中，a ＞0，y=ax 2中，a ＜0，故D 错误．故选：C ．【总结升华】解此类题的基本方法有两种：方法一，根据选项逐个验证；方法二，分a ＞0和a ＜0两种情况讨论直接找答案.但要注意图象的交点情况. 举一反三：【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax c =+与二次函数2y ax c =+的图象大致为（）．【答案】B.2.根据下列条件求a 的取值范围：(1)函数y ＝(a-2)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大； (2)函数y ＝(3a-2)x 2有最大值； (3)抛物线y ＝(a+2)x 2与抛物线212y x =-的形状相同； (4)函数2aay ax +=的图象是开口向上的抛物线．【思路点拨】根据二次函数y=2ax （a ≠0）的图形和性质，结合草图解决问题. 【答案与解析】(1)由题意得，a-2＜0，解得a ＜2． (2)由题意得，3a-2＜0，解得23a <． (3)由题意得，1|2|2a +=-，解得152a =-，232a =-． (4)由题意得，220a a a ⎧+=⎨>⎩，解得a 1＝-2，a 2＝1，但a ＞0，∴a ＝1．【总结升华】解答此类问题，要注意联想二次函数的图象和性质，抓住形状、开口、最值、增减性等特征，并结合草图去确定二次项系数的取值范围．举一反三：【变式】二次函数y ＝mx 22-m 有最高点，则m ＝___________．【答案】-2.3. 二次函数223y x =的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3，…，A 2013在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B 2013在二次函数223y x =位于第一象限的图象上，若△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2012B 2013A 2013都为等边三角形，求△A 2012B 2013A 2013的边长．【思路点拨】分别求出△A 0A 1B 1，△A 1A 2B 2，△A 2A 3B 3的边长，找出边长的变化规律. 【答案与解析】如图所示，作B 1C 1⊥y 轴，垂足为C 1． ∵△A 0A 1B 1为等边三角形，∴∠A 0B 1C 1＝30°．设A 0C 1＝a ，则A 0B 1＝2a ，B 1C 1＝3a ．∴B 1(3a ，a )， ∴22(3)3a a =，∴12a =，∴011A B =．作B 2C 2⊥y 轴，设A 1C 2＝m ，则A 1B 2＝2m ，C 2B 2＝3m ， ∴2(3,1)B m m +． ∴221(3)3m m +=． ∴2m 2-m-1＝0，即(2m+1)(m-1)＝0，∴m ＝1或12-(舍)． ∴A 1B 2＝2．同理可求A 2B 3＝3，A 3B 4＝4，… ∴△A 2012B 2013A 2013的边长为2013．【总结升华】在△A 0A 1B 1，△A 1A 2B 2，△A 2A 3B 3中，运用勾股定理表示出B 1、B 2、B 3的坐标，利用抛物线解析式223y x =建立等式是关键. 类型二、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质4.（•江阴市校级二模）关于二次函数y=2x 2+3，下列说法中正确的是（） A. 它的开口方向是向下；B. 当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而减小；C. 它的对称轴是x=2；D. 当x=0时，y 有最大值是3. 【答案】B. 【解析】A 、∵二次函数y=2x 2+3中，x=2＞0，∴此抛物线开口向上，故本选项错误；B 、∵抛物线的对称轴x=﹣=0，∴当x ＜﹣1时函数图象在对称轴左侧，y 随x 的增大而减小，故本选项正确；C 、抛物线的对称轴为x=0，故本选项错误；D 、∵抛物线开口向上，∴此函数有最小值，故本选项错误．故选B ．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，主要涉及开口方向，对称轴，与y 轴的交点坐标，最值问题，熟记二次函数的性质是解题的关键．举一反三：【变式】如图所示，抛物线2(0)y ax c a =+<交x 轴于G 、F ，交y 轴于点D ，在x 轴上方的抛物线上有两点B 、E ，它们关于y 轴对称，点G 、B 在y 轴左侧，BA ⊥OG 于点A ，BC ⊥OD 于点C ．四边形OABC 与四边形ODEF 的面积分别为6和10，则△ABG 与△BCD 的面积之和为________．【答案】4.（提示：10-6=4.）5.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m ，跨度为8m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P （如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m ．求灯与点B 的距离．【思路点拨】（1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y=ax 2+6，把点A （-4，0）代入即可；（2）灯离地面高4.5m ，即y=4.5时，求x 的值，再根据P 点坐标，勾股定理求PB 的值. 【答案与解析】解：（1）由题意，设抛物线所对应的函数关系为y=ax 2+6（a ＜0），∵点A （-4，0）或B （4，0）在抛物线上，∴0=a•（-4）2+6， 16a+6=0，16a=-6，38a =-．故抛物线的函数关系式为2368y x =-+. （2）过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，连接PB ，则PQ=4.5m ．将y=4.5代入2368y x =-+，得x=±2． ∴P （-2，4.5），Q （-2，0），于是|PQ|=4.5，|BQ|=6，从而|PB|=224.567.5m += 所以照明灯与点B 的距离为7.5m ．【总结升华】本题考查建系确定点的坐标，应用二次函数解决实际问题，建系的方法不唯一.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象与性质—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.若抛物线210(2)my m x -=+的开口向下，则m 的值为( )．A ．3B ．-3C ．23D ．23- 2.抛物线24y x =--的顶点坐标，对称轴分别是( )． A ．(2，0)，直线x ＝-4 B ．(-2，0)，直线x ＝4 C ．(1，3)，直线x ＝0 D ．(0，-4)，直线x ＝03.两条抛物线2y x =与2y x =-在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）A ．顶点相同B ．对称轴相同C ．开口方向相反D ．都有最小值 4.关于213y x =，2y x =，23y x =的图像，下列说法中不正确的是（） A ．顶点相同 B ．对称轴相同 C ．图像形状相同 D ．最低点相同5．（•市北区一模）在同一直角坐标系中，函数y=kx 2﹣k 和y=kx+k （k ≠0）的图象大致是（）.A. B. C. D.6.图中是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 处时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2 m ，水面宽4 m ．如图所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是( )．A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x =- D ．212y x = 二、填空题7.抛物线23y x =-的开口，对称轴是，顶点坐标是． 8.将抛物线2y x =-向上平移5个单位后，得到的抛物线的解析式是____ ____．9.已知(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是抛物线2y ax =(a ≠0)上的两点．当210x x <<时，21y y <，则a 的取值范围是________．10. （•巴中模拟）对于二次函数y=ax 2，已知当x 由1增加到2时，函数值减少4，则常数a 的值是．11.抛物线2y ax c =+与23y x =的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为． 12．如图，⊙O 的半径为2，1C 是函数212y x =的图象，2C 是函数212y x =-的图象，则阴影部分的面积是 .三、解答题13．（•仙桃）如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为多少米？14.已知直线1y x =+与x 轴交于点A ，抛物线22y x =-的顶点平移后与点A 重合．(1)求平移后的抛物线C 的解析式；(2)若点B(1x ，1y )，C(2x ，2y )在抛物线C 上，且1212x x -<<，试比较1y ，2y 的大小．15. 已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2．（1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．【答案与解析】一、选择题1.【答案】D ；【解析】依题意得m 2-10＝2且2+m ＜0，即m ＝±3m ＜-2，所以23m =-2．【答案】D ；【解析】由函数y=ax 2+c 的图象性质可得.3．【答案】D ；【解析】两条抛物线一个开口向上，有最小值，另一个开口向下，有最大值.4.【答案】C ；【解析】根据图象y=ax 2的性质，三个函数的顶点都是原点、对称轴都是y 轴、最低点都为0，由于a值不同，所以他们的图像形状不同.5.【答案】D ；【解析】A 、由一次函数y=kx+k 的图象可得：k ＞0，此时二次函数y=kx 2﹣kx 的图象应该开口向上，错误；B 、由一次函数y=kx+k 图象可知，k ＞0，此时二次函数y=kx 2﹣kx 的图象顶点应在y 轴的负半轴，错误；C 、由一次函数y=kx+k 可知，y 随x 增大而减小时，直线与y 轴交于负半轴，错误；D 、正确．故选：D ．6．【答案】C ；【解析】依题意知点(2，-2)在y ＝ax 2图象上，所以-2＝a ×22，12a =-．所以212y x =-．二、填空题7．【答案】向下；y 轴；（0,0）.8．【答案】25y x =-+；【解析】根据平移规律：上加下减.9．【答案】a ＜0 ；【解析】∵x 2＜x 1＜0，y 2＜y 1，所以y 随x 的增大而增大，结合图象知，抛物线开口向下．10．【答案】43-. 【解析】当x=1时，y=ax 2=a ；当x=2时，y=ax 2=4a ，所以a ﹣4a=4，解得a=43-．故答案为：43-． 11．【答案】y=3x 2+1或y=-3x 2+1.【解析】形状相同，说明a 相同，所以a=3±，再将顶点坐标（0，1）代入即可求出c.12．【答案】2π；【解析】根据抛物线的对称性，将x 轴下方的阴影翻到上方，正好形成一个半圆形，半圆的面积为21222ππ⨯=. 三、解答题13.【答案与解析】解：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y=ax 2+2，其中a 可通过代入A 点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x 2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x 2+2，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为：． 14.【解析】（1）∵1y x =+，∴令0y =，则1x =-，∴(1,0)A -，即抛物线C 的顶点坐标为(1,0)-，又抛物线C 是由抛物线22y x =-平移得到的，∴2a =-，∴抛物线C 的解析式为22(1)y x =-+．（2）由（1）知，抛物线C 的对称轴为直线1x =-．∵20a =-<，∴当1x >-时，y 随x 的增大而减小，又∵12112x x -<-<<，∴12y y >． 15.【解析】解：（1）由题意，得)0(1612>=C C S ．列表、描点、连线，图象如图：（2）根据图象得S=1cm 2时，正方形的周长是4cm ．（3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2．。

著名机构初中数学培优讲义.二次函数.第10讲(C).学生版

内容基本要求略高要求较高要求二次函数1.能根据实际情境了解二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的图像；1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式；2.能从函数图像上认识函数的性质；3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向；4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解；1.能用二次函数解决简单的实际问题；2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题；1．能从函数图像上认识函数的性质； 2．会确定图像的顶点、对称轴和开口方向； 3． .能用二次函数解决简单的实际问题．愤怒的小鸟和人类对抛物线的迷恋人类似乎沉迷于对抛物线轨迹的预测，否则，你如何解释高尔夫运动？或者我们为何如此尊敬橄榄球运动中的四分卫和板球运动中的出色投球手？我们的身体在对准目标投掷物品上很在行。

在投射物离开手指之前，首先在头脑中预测轨道，转动肩膀，活动肩胛骨，扭动屁股，弯曲胳膊，伸展手指。

中考要求重难点课前预习二次函数这是一系列运动的精确配合。

发射！当投射物全速冲向目标的时候，会有短暂的焦虑和期待。

人类的祖先在早期的狩猎活动中，就已经开始投射标枪，远程制服猎物。

这种活动展示了速度和力量，以及对运动轨迹的预测，并且有丰盛的食物作为报酬。

对抛物线的利用体现了人类作为高级生物的智慧，因为相比直线投射来说，抛物线投射通过对角度的调节，能够为攻击提供更多的灵活性和准确性。

其它动物的捕猎行为更多的是利用直线发射：除了射水鱼 ——它的捕猎行为是针对特定方位喷射水柱，将昆虫打下树叶——没有其它动物使用抛物线。

变色龙喷吐舌头（捕食）时是直线，狗能够捕捉球但无法投射。

没有其它动物有我们这样善于投射的臂膀……鸟类，无论疯狂与否，唯一接近投射的行为是埃及秃鹰向大致方位投射石头，试图打碎鸵鸟蛋的时候。

现代人早已无需通过狩猎获取食物，但是那种原始的快感却一直保留着。

也许这就是愤怒的小鸟成功的原因，当弹弓射出小鸟的那一刻，我们原始的欲望得到了满足，而焦虑得到了释放。

二次函数辅导讲义（学生版）

⼆次函数辅导讲义（学⽣版）⼆次函数辅导讲义⼀、基础知识讲解+中考考点、例题分析考点1：⼆次函数的图象和性质⼀、考点讲解：1．⼆次函数的定义：形如（a≠0，a，b，c为常数）的函数为⼆次函数．2．⼆次函数的图象及性质：⑴⼆次函数y=ax2 (a≠0）；当a＞0时，抛物线开⼝向上，顶点是最低点；当a＜0时，抛物线开⼝向下，顶点是最⾼点；a越⼩，抛物线开⼝越⼤．y=a(x－h)2＋k的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）。

⑵⼆次函数，顶点为（－，），对称轴x=－；当a＞0时，抛物线开⼝向上，图象有最低点，且x＞－，y随x的增⼤⽽增⼤，x＜－，y随x的增⼤⽽减⼩；当a＜0时，抛物线开⼝向下，图象有最⾼点，且x＞－，y随x的增⼤⽽减⼩，x＜－，y随x的增⼤⽽增⼤．解题⼩诀窍：⼆次函数上两点坐标为（），（），即两点纵坐标相等，则其对称轴为直线。

3．图象的平移：⼆次函数y=ax2 与y=－ax2 的图像关于x轴对称。

平移的简记⼝诀是“上加下减，左加右减”。

⼀、经典考题剖析：【考题1】在平⾯直⾓坐标系内，如果将抛物线向右平移2个单位，向下平移3个单位，平移后⼆次函数的关系式是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．⼆次函数的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）A． B. C. D.4．已知⼆次函数(a≠0）与⼀次函数y=kx+m(k≠0）的图象相交于点A（－2，4）,B(8，2)，如图1－2－7所⽰，能使y1＞y2成⽴的x取值范围是_______5．已知直线y=x 与⼆次函数y=ax 2 －2x －1的图象的⼀个交点 M 的横标为1，则a 的值为（）A 、2B 、1C 、3D 、 46．已知反⽐例函数y= x k 的图象在每个象限内y 随x 的增⼤⽽增⼤，则⼆次函数y=2kx 2 －x+k 2的图象⼤致为图1－2－3中的（）7、读材料：当抛物线的解析式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发⽣变化．例如：由抛物线①，有y=②，所以抛物线的顶点坐标为（m ，2m －1），即③④。

高考培优课程数学讲义：一元二次函数、二次方程及二次不等式的关系【学生版】

高考培优数学“一元二次函数、二次方程及二次不等式的关系”讲义编号：本讲义从以下两方面展开：1. 一元二次方程与一元二次不等式的基本解法有关一元二次方程与一元二次不等式的求解，是高考与会考考察内容的基础之一。

该部分内容或许不会独立形成题目，却是求解其他问题的基本工具。

这一部分内容，相对来说比较简单，却是最基本与最基础的，需要熟练掌握。

2. 利用一元二次函数的性质求解有关一元二次方程与一元二次不等式的问题一元二次函数是在高考以及会考当中是十分常考的一种函数，原因在于其性质比较容易研究，也相对简单。

因此，这部分内容也是基础的内容。

其主要问题大多在于一些含参数不等式（等式）恒成立（有解）条件的研究。

1. （★★★☆）已知函数2()f x x bx c =++，,b c R ∈，对于任意的x R ∈，不等式2()x b f x +≤恒成立，证明当0x ≥时，2()()f x x c ≤+2. （★★☆☆）已知不等式()22454(1)30m m x m x +---+>恒成立，求实数m 的取值范围。

知识点一：一元二次方程与一元二次不等式的基本解法✧ 子知识点一：一元二次不等式的基本解法。

一般地，对于一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠，其解集有如下形式：这个表格是求解一元二次不等式问题的基础，是需要学生牢牢掌握的。

✧ 子知识点二：注意有关含参数的一元二次方程与一元二次不等式求解时的讨论。

知识点二：利用一元二次函数的性质求解有关一元二次方程与一元二次不等式的问题✧ 子知识点一：要学会利用一元二次方程的解与相应的一元二次不等式的解集之间的内在联系。

具体可以参见知识点一中的表格。

✧ 子知识点二：一元二次方不等式（方程）的恒成立问题。

一元二次不等式恒大于0，那么可知对应的二次函数开口向上且无实数零点；类似地，一元二次不等式恒小于0，那么可知对应的二次函数开口向下且无实数零点。

不过这道题需要注意的是，该不等式虽然形如一元二次不等式，但是不一定就是一元二次不等式。

二次函数专题讲座九年级培优讲义

分析、探究、发展一、内容概述：本题为试卷的第25题，难度较大，知识点涉及初三的主要内容：相似、全等、函数、圆等内容.命题形式灵活：二选一，具有相当的的选拔功能.考察学生分析、观察、探究的能力，也具有一定的地域特色，是武汉市中考数学试卷的一大“亮点”. 二、结论形式：1、线段不变，角的大小不变，点不变；2、线段（角）和，差不变；3、线段比、积不变；4、比例式证明；5、位置关系判定；6、四边形的判定；7、其它. 三、题目来源：1、经典题的转移；2、传统题的改编；3、题目的迭加；4、创新题. 四、题型变化：一、题型特征：(1)、条件具有隐蔽性； (2)、结论具有探究性.引例：（1）已知二次函数y =x 2-2x -3, 与x 轴交于A 、B ,与y 轴交于C 点, 过C 的直线：y =kx -3（k ＞0），过B 作BE ⊥CE ，垂足为E ，不论k （k ＞0）取何值，在 ①OECE +，②BECE+中有一个为定值.请判断哪一个为定值，求出这个定值,并证明你的结论.OC =OB ）方法（1）如图：作OM ⊥OE 方法（2）如图：截取CM =BE(2) 已知二次函数y =12x 2-2x -2，与x 轴交于A 、B ,与y 轴交于C 点，顶点为P ,则直线PC 为过A 、B 、C 三点⊙O 1的切线.易得：OC 2=OA ·OB==>∠ACB =90º==> 点C 在以AB 为直径的⊙O 1上可求直线PC ：y =-x -2 ==> PC 为⊙O 1 的切线.（隐含条件：OC 2=OA ·OB ）二、方法概括：(1)方程==>坐标==>线段==>三角形==>圆； (2)以形导教==>以数入形==>数形结合； (3)观察==>猜想==>分析==>证明==>小结==>反思. 三、分类研究： 1、相似与圆：例1、已知y =ax 2+bx -3过（2,-3）,与x 轴交于A （-1,0）,B （x 2,0），与y 轴交于C 点. （1）、求二次函数的解析式：（2）、以OB 为直径作⊙O 1 ，连O 1 C 交⊙O 1于F ，连BF 交OC 于E ，则：①CE =EF ②CF =OE 选择正确的结论，并证明. 思路点拔： 1、易得：OB =OC =3；2、由∠1=∠2=∠3=∠4 ==> △CEF ∽△COF ==>3CF EFOF==> tan ∠4=tan ∠3=3OE==> CF =OE分析小结：1、关键之一：发现二次函数中隐含条件：OB =OC ；2、发现相似，运用中间比.说明：此题还有其它方法.对照训练：1、已知y =ax 2-ax-1，x 轴交于A （-1，0）,B （x 2,0）与y 轴交于C 点（1）、求二次函数的解析式；（2）、以OB 为直径⊙O 1 ， P 在⊙O 1上，连CP ，PF ⊥CP ，连BP 交y 轴于E ,则 ①OE ·BF 不变； ②OEBF 不变,选择正确的结论，并证明2、已知y =ax 2-4ax ，顶点为C ，且C 在第一象限，与x 轴交于A （x 1，0），x 1≠0，且AOC S ∆=8, （1）、求二次函数的解析式；(2)以OA 为直径作⊙O 1 ，P 为y 轴负半轴上一动点，连PA 交⊙O1 于M ，过M 、A 分别作⊙O 1的切线相交于E ，① OP EM g 不变； ② OPEM 不变,选择正确的结论，并证明.3、已知y =-x 2+mx +n 的顶点为（1，4），与y 轴交于C 点，交x 轴于A （x 1 ,o ），B （x 2 ，o ）x 1 >x 2 (1)求二次函数的解析式； (2)以OA 为直径作⊙O 1 ，P （12-，a ）在抛物线上， PA 交⊙O 1于E ，交y 轴于F 点,则 ①∠FCE =∠COE ； ②∠FCE =∠EOG ,选择正确的结论，并证明.4、已知y =x 2+bx +c 与x 轴交于A （-1，0），B （3，0），与y 轴交于C 点，（1）求二次函数的解析式；（2）以OC 为直径作⊙O 1 ， P 为⊙O 1上一动点，连AP ，PE ⊥AP ，OP 交切线CM 不变；② CM 不变，选择正确的结论，并证明.2、相似与共圆例2、已知y =ax 2+5ax +4a 交x 轴于A ，B （ A 点在B 的右边），与y 轴负半轴交于C 点，过C 点作x 轴平行线交抛物线于D 点，DE ⊥x 轴，CDEO S 四=5, (1)求二次函数的解析式；(2)如图:直线1y x k k=-+ (k ＞0)与坐标轴交于F 、H ，点G 在y 轴上,且OH =HG ,连BG 、AH 分别与FH 、FG 相交于MB 、N ,则：①∠GMN =∠MFB ② ∠GMN =∠GFM ，选择正确的结论，并证明. （07年四月调考题改编）思路点拨：（1）易求：A （-1，0）， B （-4，0）.（2）由（1）知：F （k 2,0），H （0，k ）, G （又知： OH 2=OA ·OF , OG 2=OB ·OF ==> AH ⊥HF , BG ⊥FG ==> M 、G 、N 、H 四点共圆 ==> ∠1=∠2=∠3=∠4 分析小结：1、此题关键条件是有隐蔽性:二个垂直的发现是证题的关键；2、四点共圆的证明，实现角的转换，是此题的第二个难点. 对照训练:1、已知二次函数：y =x 2-(m -2)x -23m 与x 轴交于A 、B 两点，（A 左B 右）与y 轴交于C ，对称轴与x 轴交于（12，0）， (1)求二次函数的解析式；(2)直线y =12x +12与直线y =12-kx +12k 2相交于H ，D 、E 为y =-12kx +12k 2与y 轴、x 轴的交点，则:①EH CE 不变 ②EHAH不变,选择正确的结论，并证明.E2、已知二次函数y =12x2+32mx -2m与直线y =-mx + m交于x轴上一点B ，直线交抛物线的对称轴于E点，C为抛物线与y轴的交点,C、D两点关于原点对称，则:①DE=1,②tan∠EDA=1,选择正确的结论，并证明.3、全等与圆例3：已知Rt△AOB , A（0，1）, B（ 3，0）抛物线y =ax2+bx+c的顶点为A，经过B点交x轴于另一点C ，(1)求抛物线的解析式；(2)如图：经过A、C二点作动圆交BA、OA的延长线M、N, 则：①AM -AN不变②AMAN不变，选择正确的结论，并证明.思路点拔：(1)由（1）知∠OAB=60º=∠CAO； (2)易证△MCN为正三角形；(3)取MH =AN易证△MHC≌△CAN ==>AM –AN = AH = AC = 2.分析小结：(1)此题关键:图中等边三角形具有隐蔽性；(2)常规辅助线的运用； (3)经典题的改编.对照训练：1、已知抛物线y =ax2-2ax +m交x轴于A（-1，0），B（x2，0），交y轴于C点，函数有最小值为-4，(1) 求抛物线的解析式；(2)过B、C二点作作⊙O1 ,交x轴于另一点E点，过E作EF⊥x轴交⊙O1于F,则：①BE EFOE-不变,②BE EFOE+不变, 选择正确的结论，并证明.4、函数与圆:运用函数，解析法的思想方法：例4：已知y =14x2向上平移1个单位得y =ax2+bx+c(1)求抛物线的解析式；(2)C（0，2）过C点作直线交抛物线于E 、F ；E、F在x轴正投影分别从M、N ,则：以MN为直径的圆是否一定过C点，试说明理由.思路点拔：(1)证FC=FN (2)证∠MCN =90º (3)取MN的中点O′，则C O′= M O′= N O分析小结：此题关键:运用计算的方法证出FC = FN5、勾股定理与圆例5：已知等腰直角三角形△ABC，斜边AB=4，如图，抛物线y=ax2+bx+c过A、B二点，顶点为C.(1) 求抛物线的解析式；(2)过A、B、C三点作⊙O，且»CN=¼AM，则：①MF2+NF2不变②MF2-NF2不变思路点拔：(1)∠MOC=∠NOC , 作OH⊥MN(2)MF2=（MH -FH）2(3)MF2+NF2=2(MH2+FH2）=2R2。

【精校版讲义+培优】九年级下数学北师大版第11讲《二次函数》全章复习与巩固

第十一讲：《二次函数》全章复习与巩固（培优）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用：(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点；②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a ≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点诠释：二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1. 已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在x 轴上截得的线段长为6，求抛物线的解析式．【思路点拨】已知抛物线的顶点是(3，-2)，可设抛物线解析式为顶点式，即2(3)2y a x =--，也就是2692y ax ax a =-+-，再由在x 轴上截得的线段长为6建立方程求出a ．也可根据抛物线的对称轴是直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，则与x 轴的交点为(0，0)和(6，0)，因此可设y ＝a(x-0)·(x-6)．【答案与解析】解法一：∵ 抛物线的顶点是(3，-2)，且与x 轴有交点，∴ 设解析式为y ＝a(x-3)2-2(a ＞0)，即2692y ax ax a =-+-，设抛物线与x 轴两交点分别为(x 1，0)，(x 2，0)．则12||6x x -==，解得29a =．∴ 抛物线的解析式为22(3)29y x =--，即22493y x x =-．解法二：∵ 抛物线的顶点为(3，-2)， ∴ 设抛物线解析式为2(3)2y a x =--．∵ 对称轴为直线x ＝3，在x 轴上截得的线段长为6，∴ 抛物线与x 轴的交点为(0，0)，(6，0)．把(0，0)代入关系式，得0＝a(0-3)2-2，解得29a =，∴ 抛物线的解析式为22(3)29y x =--，即22493y x x =-．解法三：求出抛物线与x 轴的两个交点的坐标(0，0)，(6，0)设抛物线解析式为y ＝a(x-0)(x-6)，把(3，-2)代入得3(36)2a ⨯⨯-=-，解得29a =． ∴ 抛物线的解析式为2(6)9y x x =-，即22493y x x =-．【点评】求抛物线解析式时，根据题目条件，恰当选择关系式，可使问题变得简单．举一反三：【变式】已知抛物线2442y mx mx m =-+-（m 是常数）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若155m <<，且抛物线与x 轴交于整数点，求此抛物线的解析式．【答案】（1）依题意，得0≠m ，∴2242=--=-=mm a b x ， m m m m a b ac y 442444422)()(---=-=241681622-=--=mm m m ∴抛物线的顶点坐标为)2,2(-．（2）∵抛物线与x 轴交于整数点，∴02442=-+-m mx mx 的根是整数．∴2x ==．∵0m >，∴2x =±2m是完全平方数． ∵155m <<， ∴22105m <<，∴2m取1，4，9，2x ==．当21m =时，2=m ；当24m =时，21=m ；当29m =时，29m =． ∴m 的值为2或21或29． ∴抛物线的解析式为6822+-=x x y 或x x y 2212-=或22810999y x x =--．类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2. （2016•鄂州）如图，二次函数y=ax 2+bx +c=0（a ≠0）的图象与x 轴正半轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，对称轴为直线x=2，且OA=OC ，则下列结论：①abc ＞0；②9a +3b +c ＜0；③c ＞﹣1；④关于x 的方程ax 2+bx +c=0（a ≠0）有一个根为﹣ 其中正确的结论个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路点拨】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y 轴的交点可分别判断出a 、b 、c 的符号，从而可判断①；由图象可知当x=3时，y ＜0，可判断②；由OA=OC ，且OA ＜1，可判断③；把﹣代入方程整理可得ac 2﹣bc +c=0，结合③可判断④；从而可得出答案．【答案】C ；【解析】解：由图象开口向下，可知a ＜0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c ＜0，又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b ＞0，∴abc ＞0，故①正确；由图象可知当x=3时，y ＞0，∴9a +3b +c ＞，故②错误；由图象可知OA ＜1，∵OA=OC ，∴OC ＜1，即﹣c ＜1，∴c ＞﹣1，故③正确；假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，整理可得ac ﹣b +1=0，两边同时乘c 可得ac 2﹣bc +c=0，即方程有一个根为x=﹣c，由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根，∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；综上可知正确的结论有三个，故选C．【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的OA=OC，是解题的关键．类型三、数形结合3.（2015•黔东南州）如图，已知二次函数y1=﹣x2+x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，过A、B的直线为y2=kx+b．（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；（2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出P的坐标；若不存在，说明理由．【答案与解析】解：（1）将A点坐标代入y1，得﹣16+13+c=0．解得c=3，二次函数y1的解析式为y=﹣x2+x+3，B点坐标为（0，3）；（2）由图象得直线在抛物线上方的部分，是x＜0或x＞4，∴x＜0或x＞4时，y1＜y2；（3）直线AB的解析式为y=﹣x+3，AB的中点为（2，）AB的垂直平分线为y=x﹣当x=0时，y=﹣，P1（0，﹣），当y=0时，x=，P2（，0），综上所述：P1（0，﹣），P2（，0），使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形．【点评】本题考察了二次函数综合题，（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用函数与不等式的关系求不等式的解集；（3）利用线段垂直平分线的性质，利用直线AB得出AB的垂直平分线是解题关键．类型四、函数与方程4.（2015•本溪模拟）某体育用品店购进一批单件为40元的球服，如果按单价60元销售样，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≧60）元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式；（2）当销售单件为多少元时，月销售额为14000元？（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？【答案与解析】解：（1）销售单价为x元，则销售量减少×20，故销售量为y=240﹣×20=﹣4x+480（x≥60）；（2）根据题意可得，x（﹣4x+480）=14000，解得x1=70，x2=50（不合题意舍去），故当销售价为70元时，月销售额为14000元；（3）设一个月内获得的利润为w元，根据题意得：w=（x﹣40）（﹣4x+480）=﹣4x2+640x﹣19200=﹣4（x﹣80）2+6400．当x=80时，w的最大值为6400．故当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，考查了数学建模思想方法，关键是对题意要正确理解. 举一反三：【变式1】抛物线与直线只有一个公共点，则b=________．【答案】由题意得把②代入①得.∵抛物线与直线只有一个公共点，∴方程必有两个相等的实数根，∴，∴．【变式2】二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：(1)写出方程的两个根；(2)写出不等式的解集；(3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(4)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围．【答案】(1)(2).(3).(4)方法1：方程的解，即为方程组中x的解也就是抛物线与直线的交点的横坐标，由图象可看出，当时，直线与抛物线有两个交点，∴．方法2：∵二次函数的图象过(1，0)，(3，0)，(2，2)三点，∴∴∴，即，∴.∵方程有两个不相等的实数根，∴，∴. 类型五、分类讨论5．若函数22(2)2(2)x xyx x⎧+≤=⎨>⎩，则当函数值y＝8时，自变量x的值是( )．A．6 B．4 C．6或4 D．4或6-【思路点拨】此题函数是以分段函数的形式给出的，当y＝8时，求x的值时，注意分类讨论. 【答案】D；【解析】由题意知，当228x +=时，6x =±．而62>，∴ 6x =-．6x =(舍去)．当2x ＝8时，x ＝4．综合上知，选D ．【点评】正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．类型六、与二次函数有关的动点问题6．如图所示，在直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，(0，3)，过A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴为直线l ，D 为对称轴l 上一动点．(1)求抛物线的解析式；(2)求当AD+CD 最小时点D 的坐标； (3)以点A 为圆心，以AD 为半径作⊙A ． ①证明：当AD+CD 最小时，直线BD 与⊙A 相切； ②写出直线BD 与⊙A 相切时，D 点的另一个坐标．【思路点拨】根据A 、B 两点在x 轴上，可设交点式求解析式．要AD+CD 最小，根据两点之间线段最短，可判定D 点位置，从而求出点D 坐标．要让BD 与⊙A 相切，只需证AD ⊥BD ，由圆的对称性，可直接写出D 点另一个坐标．【答案与解析】(1)设抛物线的解析式为y ＝a(x+1)(x-3)．将(0，3)代入上式，得3＝a(0+1)(0-3)．解得a ＝-1．∴ 抛物线的解析式为y ＝-(x+1)(x-3)，即223y x x =-++．(2)连接BC ，交直线l 于点D ′．∵ 点B 与点A 关于直线l 对称，∴ AD ′＝BD ′． ∴ AD ′+CD ′＝BD ′+CD ′＝BC ．由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时AD ′+CD ′最小，点D ′的位置即为所求．设直线BC 的解析式为y ＝kx+b ，由直线BC 过点(3，0)，(0，3)，得03,3.k b b =+⎧⎨=⎩解这个方程组，得1,3.k b =-⎧⎨=⎩∴ 直线BC 的解析式为y ＝-x+3． ∵ 对称轴l 为x ＝1．将x ＝1代入y ＝-x+3，得y ＝-1+3＝2． ∴ 点D 的坐标为(1，2)．(3)①连接AD ．设直线l 与x 轴的交点为点E ．由(2)知：当AD+CD 最小时，点D 的坐标为(1，2)． ∵ DE ＝AE ＝BE ＝2，∴ ∠DAB ＝∠DBA ＝45°， ∴ ∠ADB ＝90°． ∴ AD ⊥BD ． ∴ BD 与⊙A 相切． ②(1，-2)．【点评】动点问题分单点运动和双点运动，是中考的热点问题，在运动变化中发展空间想象能力和提高综合分析问题的能力，解决此类题要“以静制动”，即把动态问题变为静态的问题去解决，解题时用运动的眼光去观察研究问题，挖掘运动变化过程中的不变量、不变关系．【巩固练习】一、选择题1．已知抛物线2:310C y x x =+-，将抛物线C 平移得到抛物线C '．若两条抛物线C 、C '关于直线x ＝1对称．则下列平移方法中，正确的是（）． A ．将抛物线C 向右平移52个单位 B ．将抛物线C 向右平移3个单位 C ．将抛的线C 向右平移5个单位 D ．将抛物线C 向右平移6个单位2．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a-2b+c ，2a+b ，2a-b 中，其值大于0的个数为( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列关系式不正确的是( )． A ．0a < B ．abc ＞0 C ．a+b+c ＞0 D ．240b ac ->4．在平面直角坐标系中，将抛物线223y x x =++绕着它与y 轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是( )A ．2(1)2y x =-++ B ．2(1)4y x =--+ C ．2(1)2y x =--+ D ．2(1)4y x =-++ 5．如图所示，半圆O 的直径AB ＝4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，设⊙O 1的半径为y ，AM ＝x ，则y 关于x 的函数关系式是( )． A ．214y x x =+ B ．214y x x =-+ C ．214y x x =-- D ．214y x x =-第5题第6题6．如图所示，老师出示了小黑板上的题后，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)和(0，3)；小明说：a ＝1，c=3；小颖说：抛物线被x 轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有( )． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 7．已知一次函数y ax b =+的图象过点(-2，1)，则关于抛物线23y ax bx =-+的三条叙述： ①过定点(2，1)；②对称轴可以是直线x ＝l ；③当a ＜0时，其顶点的纵坐标的最小值为3．其中所有正确叙述的有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 8．（2016•梧州）如图所示，抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （1，0），直线x=﹣0.5与此抛物线交于点C ，与x 轴交于点M ，在直线上取点D ，使MD=MC ，连接AC 、BC 、AD 、BD ，某同学根据图象写出下列结论： ①a ﹣b=0；②当﹣2＜x ＜1时，y ＞0； ③四边形ACBD 是菱形；④9a ﹣3b +c ＞0你认为其中正确的是（）A ．②③④B ．①②④C ．①③④D ．①②③ 二、填空题9．由抛物线y ＝x 2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的解析式为 . 10．已知一元二次方程230x bx +-=的一根为-3．在二次函数y=x 2+bx-3的图象上有三点14,5y ⎛⎫-⎪⎝⎭、25,4y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,6y ⎛⎫⎪⎝⎭，y 1、y 2、y 3、的大小关系是 . 11．如图所示，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线2112y x =-上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为________．第11题第13题12．（2014•义乌市校级模拟）一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y=﹣2x 2相同，试写出这个函数解析式．13．已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a 、b 同号；②当x ＝1和x ＝3时，函数值相等；③4a+b ＝0；④当y ＝-2时，x 的值只能取0，其中正确的有 .（填序号）14．已知抛物线的顶点为125,24⎛⎫-⎪⎝⎭，与x 轴交于A 、B 两点，在x 轴下方与x 轴距离为4的点M 在抛物线上，且10AMB S =△，则点M 的坐标为．15．已知二次函数2y ax bx c =++(a ≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③4a+2b+c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a+b ＞m(am+b)，(m ≠l 的实数)．其中正确的结论有_____ ___(只填序号)．第15题第16题16．如图所示，抛物线212y x =-+向右平移1个单位得到抛物线y 2．回答下列问题：(1)抛物线y 2的顶点坐标________．(2)阴影部分的面积S ＝________．(3)若再将抛物线y 2绕原点O 旋转180°得到抛物线y 3，则抛物线y 3的开口方向________，顶点坐标________．三、解答题 17．（2015•南通）某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元．若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1件，所买的每件服装的售价均降低3元．已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x 件时，该网店从中获利y 元．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？18．如图所示，已知经过原点的抛物线224y x x =-+与x 轴的另一交点为A ，现将它向右平移m(m ＞0)个单位，所得抛物线与x 轴交于C 、D 两点，与原抛物线交于点P ． (1)求点A 的坐标，并判断△PCA 存在时它的形状(不要求说理)；(2)在x 轴上是否存在两条相等的线段?若存在，请一一找出，并写出它们的长度(可用含m 的式子表示)；若不存在，请说明理由；(3)设△PCD 的面积为S ，求S 关于m 的关系式．19. 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)、B(0，-4)、C(2，0)三点． (1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝-x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．20. （2016•菏泽）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】22349:31024C y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，∴ 其顶点坐标为349,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设C '顶点坐标为049,4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由题意得03212x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=， ∴ 072x =，∴ C '的解析式为274924y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．由234924y x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭到274924y x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭需向右平移5个单位，因此选C ．2.【答案】A ；【解析】由图象知，a ＜0，c ＜0，012ba<-<， ∴ b ＞0，ac ＞0，∴ 2a-b ＜0．又对称轴12ba-<，即2a+b ＜0．当x ＝1时，a+b+c ＞0；当x ＝-2时，4a-2b+c ＜0．综上知选A ． 3.【答案】C ；【解析】由抛物线开口向下知a ＜0，由图象知c ＞0，02ba-<，b ＜0，即abc ＞0，又抛物线与x 轴有两个交点，所以240b ac ->．4.【答案】B ；【解析】抛物线2223(1)2y x x x =++=++，其顶点(-1，2)绕点(0，3)旋转180°后坐标为(1，4)，开口向下．∴ 旋转后的抛物线解析式为2(1)4y x =--+．5.【答案】B ；【解析】连接O 1M 、O 1O ，易知两圆切点在直线OO 1上，线段OO 1＝OA-y ＝2-y ，O 1M ＝y ，OM ＝OA-AM ＝2-x ．由勾股定理得(2-y)2＝y 2+(2-x)2，故214y x x =-+． 6.【答案】C ；【解析】由小华的条件，抛物线过(3，0)与(1，0)两点，则对称轴为x ＝2；由小彬的条件，抛物线过点(4，3)又过(0，3)点，∴ 对称轴为直线x ＝2；由小明的条件a ＝1，c=3,得到关系式为23y x bx =++，过点(1，0)得b ＝-4，对称轴为4221x -==⨯；由小颖的条件抛物线被x 轴截得的线段长为2，另一交点可能是(3，0)或(-1，0)，当另一交点为(-1，0)时，对称轴不是x ＝2．所以小颖说的不对.故选C.7．【答案】C ；【解析】①若过定点(2，1)，则有4231a b -+=．整理、化简，得-2a+b ＝1，与题设隐含条件相符；②若对称轴是直线x ＝1，这时12ba--=，2a-b ＝0，与题设隐含条件不相符； ③当a ＜0时，抛物线开口向下，这时顶点的纵坐标为2243()344a b b y a a ⨯⨯--==-．由于20b ≥，0a <．∴ 204b a-≥．∴ 3y =最小．综合以上分析，正确叙述的个数为2，应选C ．8.【答案】D ．【解析】①∵抛物线y=ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （1，0）， ∴该抛物线的对称轴为x=﹣=﹣0.5，∴a=b ，a ﹣b=0，①正确；②∵抛物线开口向下，且抛物线与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （1，0）， ∴当﹣2＜x ＜1时，y ＞0，②正确； ③∵点A 、B 关于x=0.5对称， ∴AM=BM ，又∵MC=MD ，且CD ⊥AB ，∴四边形ACBD 是菱形，③正确； ④当x=﹣3时，y ＜0，即y=9a ﹣3b +c ＜0，④错误．综上可知：正确的结论为①②③．故选D ．二、填空题9．【答案】y ＝(x+2)2-3；【解析】y ＝x 2的顶点为(0，0)，y ＝(x+2)2+3的顶点为(-2，-3)，将(0，0)先向左平移2个单位，再向下平移3个单位可得(-2，-3)，即将抛物线y ＝x 2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到抛物线y ＝(x+2)2-3．10．【答案】y 1＜y 2＜y 3. 【解析】设x 2+bx-3＝0的另一根为x 2，则233cx a-==-g ，∴ x 2＝1， ∴ 抛物线的对称轴为3112x -+==-，开口向上时，到对称轴的距离越大函数值越大，所以y 1＜y 3，y 1＜y 2＜y 3，也可求出b ＝2，分别求出y 1，y 2，y 3的值再比较大小．11．【答案】6,2)或(6,2)；【解析】当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的纵坐标为2，将y ＝22112y x =-得26x =，所以6x =从而圆心P 的坐标为6,2)或(6,2)．12．【答案】y=﹣2（x ﹣2）2+1或y=2（x ﹣2）2+1；【解析】图象顶点坐标为（2，1）可以设函数解析式是y=a （x ﹣2）2+1又∵形状与抛物线y=﹣2x 2相同即二次项系数绝对值相同则|a|=2因而解析式是：y=﹣2（x ﹣2）2+1或y=2（x ﹣2）2+1.13．【答案】②③；【解析】由图象知，抛物线与x 轴交于点(-1，0)，(5，0)，于是可确定抛物线的对称轴为1522x -+==，则22ba-=，∴ 4a+b ＝0，故③是正确的；又∵ 抛物线开口向上，∴ a ＞0，b ＝-4a ＜0， ∴ ①是错误的；又∵1322+=，即x ＝1和x ＝3关于对称轴x ＝2对称，其函数值相等， ∴ ②是正确的；根据抛物线的对称性知，当y ＝-2时，x 的值可取0或4． ∴ ④是错误的．14．【答案】(2，-4)或(-1，-4)；【解析】∵ 1|||4|102AMB S AB =-=g g △，∴ |AB|＝5．又∵ 抛物线的对称轴为直线12x =，∴ A 、B 两点的坐标为(2，0)和(3，0)．设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，则4209301125424a b c a b c a b c ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪++=-⎩ 解得1,1,6.a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴ 抛物线的解析式为26y x x =--．当y ＝-4时，246x x -=--，∴ 220x x --=，∴ x 1＝-2，x 2＝-1． ∴ M 点坐标为(2，-4)或(-1，-4)．15．【答案】③④⑤；【解析】由题意可知a ＜0，c ＞0，02ba->，即b ＞0，∴ abc ＜0．由图象知x ＝2在抛物线与x 轴两个交点之间，当x ＝-1时，a-b+c ＜0，∴ b ＞a+c ．当x ＝2时，4a+2b+c ＞0．又由对称性知9a+3b+c ＜0，且12b a -=，∴ 9302bb c -++<，∴ 2c ＜3b ．当x ＝1时，y a b c =++最大，而m ≠1，当x m =时，21y am bm c =++，由1y y >最大知2a b c am bm c ++>++，∴ 2()a b am bm m am b +>+=+，故③④⑤正确．16．【答案】 (1)(1，2)； (2)2； (3)向上； (-1，-2)；【解析】抛物线212y x =-+向右平移1个单位，则顶点由(0，2)移到(1，2)．利用割补法，阴影部分面积恰好为两个正方形的面积．若将抛物线y 2绕原点O 旋转180°，则抛物线y 2的顶点与点(1，2)关于原点对称．三、解答题17.【答案与解析】解：（1）y=，（2）在0≤x≤10时，y=100x ，当x=10时，y 有最大值1000；10＜x≤30时，y=﹣3x 2+130x ，当x=21时，y 取得最大值，∵x 为整数，根据抛物线的对称性得x=22时，y 有最大值1408．∵1408＞1000，∴顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多．18.【答案与解析】(1)先令2240x x -+=，得x 1＝0，x 2＝2． ∴ 点A 的坐标为(2，0)．△PCA 是等腰三角形． (2)存在OC ＝AD ＝m ，OA ＝CD ＝2．(3)当0＜m ＜2时，如图所示，作PH ⊥x 轴于H ，设(,)P P P x y ． ∵ A(2，0)，C(m ，0)，∴ AC ＝2-m ，∴ 222AC m CH -==．∴ 2222P m m x OH m -+==+=．把22P m x +=代入224y x x =-+，得2122P y m =-+．∵ CD ＝OA ＝2，∴ 221111222(02)2222S CD HP m m m ⎛⎫==⨯⨯-+=-+<< ⎪⎝⎭g ．当m ＞2时，如图所示，作PH ⊥x 轴于H ，设(,)P P P x y ．∵ A(2，0)，C(m ，0)，∴ AC ＝m-2．∴ 22m AH -=． ∴ 22222P m m x OH -+==+=．把22P m x +=代入224y x x =-+，得2122P y m =-+．。

著名机构初中数学培优讲义.二次函数的应用.第04讲(A级).学生版

0？内容基本要求略高要求较高要求二次函数能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会根据二次函数的解析式求其图象与坐标轴的交点坐标，会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识综结合的有关问题1．能运用二次函数分析和解决简单的实际问题，培养分析问题、解决问题的能力和应用数学的意识； 2．能探索实际问题与二次函数的关系。

可以灵活地运用二次函数的概念、图象和性质解决实际问题； 3．会在实际问题中建立二次函数模型，并利用二次函数的性质解决有关问题。

足球与二次函数足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．中考要求重难点课前预习二次函数的应用聪明的同学，如果运动员想要抢到球，应该站在距O多远的位置呢？让我们带着这些疑问，一起来探索神秘的二次函数吧。

例题精讲模块一二次函数与利润最大化【例1】某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满。

当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲。

宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。

根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元。

设每个房间的房价每天增加x元（x为10的正整数倍）（1）设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为W元，求W与x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？【巩固】某民俗旅游村为了接待游客的需要开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位可以全部租出，若每张床位每天收费提高2元，则相应地减少了10张床位租出，如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费为多少元？【例2】（2001 河北）某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg,购进价格为30kg元，物价部门规定其销售单价不得高于70kg元，也不得低于30kg元，市场调查发现:单价定于70元时，日均销售60kg，单价每降低1元，日均多售出2kg，在销售过程每天还要支出其它费用500元，（不足一天时,按整天计算），设销售单价为x元，日均获利为y元，（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围。

九年级数学上册二次函数讲义(最新整理)

初三数学二次函数讲义一、二次函数概念：1. 二次函数的概念：一般地，形如 y = ax 2 + bx + c （ a 何 b 何 c 是常数， a ≠ 0 ）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a ≠ 0 ，而b 何实数．2. 二次函数 y = ax 2 + bx + c 的结构特征：c 可以为零．二次函数的定义域是全体⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2． ⑵ a 何 b 何 c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式： y = ax 2 的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

的性质：上加下减。

的性质：左加右减。

2. y = ax 2 + c3.y = a ( x - h )2a > 0 向上(h 何0) X=hx >h 时，y 随x 的增大而增大；x <h 时，y随x 的增大而减小；x =h 时，y 有最小值0 ．a < 0 向下(h 何0) X=hx >h 时，y 随x 的增大而减小；x <h 时，y随x 的增大而增大；x =h 时，y 有最大值0 ．4.y =a (x-h)2 +k 的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a > 0 向上(h 何k ) X=hx >h 时，y 随x 的增大而增大；x <h 时，y随x 的增大而减小；x =h 时，y 有最小值k ．a < 0 向下(h 何k ) X=hx >h 时，y 随x 的增大而减小；x <h 时，y随x 的增大而增大；x =h 时，y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a (x-h)2 +k ，确定其顶点坐标(h何k )；⑵ 保持抛物线y =ax2的形状不变，将其顶点平移到(h 何k )处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴ y =ax 2+bx +c 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，y =ax 2+bx +c 变成y =ax 2+bx +c +m （或y =ax 2+bx +c -m ）2a ⑵ y = ax 2 + bx + c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， y = ax 2 + bx + c 变成y = a (x + m )2 + b (x + m ) + c （或 y = a (x - m )2 + b (x - m ) + c ）四、二次函数 y = a ( x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 的比较从解析式上看， y = a ( x - h )2+ k 与 y = ax 2 + bx + c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前⎛ b ⎫24ac - b 2 b 4ac - b 2者，即 y = a x + ⎪ +⎝ ⎭4a ，其中 h = - 何 k = ． 2a 4a五、二次函数 y = ax 2 + bx + c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y = ax 2 + bx + c 化为顶点式 y = a (x - h )2 + k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点(0何 c ) 、以及(0何 c ) 关于对称轴对称的点(2h ，c ) 、与 x 轴的交点( x 1 何 0) ， ( x 2 何 0) （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 x 轴的交点，与 y 轴的交点.六、二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质b ⎛ b 4ac - b 2 ⎫ 1. 当 a > 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a 何 4a ⎪ ．当 x < - b2a4ac - b 2时， y 随 x 的增大而减小；当 x > - b 2a ⎝ ⎭时， y 随 x 的增大而增大；当 x = - b 2a时， y 有最小值． 4ab⎛ b4ac - b 2 ⎫ b 2. 当 a < 0 时，抛物线开口向下，对称轴为 x = - 2a ，顶点坐标为 - 2a 何 4a ⎪ ．当x < - 2a 时， y ⎝ ⎭b b 4ac - b 2随 x 的增大而增大；当 x > - 2a 时， y 随 x 的增大而减小；当 x = - 2a 时，y 有最大值． 4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y = ax 2 + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a ≠ 0 ）；2. 顶点式： y = a (x - h )2 + k （ a ， h ， k 为常数， a ≠ 0 ）；3. 两根式： y = a (x - x 1 )(x - x 2 ) （ a ≠ 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即b 2 - 4ac ≥ 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数y =ax2+bx +c 中，a 作为二次项系数，显然a ≠ 0 ．⑴ 当a > 0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当a < 0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2.一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．⑴ 在a > 0 的前提下，当b > 0 时，-b2a 当b = 0 时，-b2a 当b < 0 时，-b2a < 0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；= 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；>0 ，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在a < 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当b > 0 时，-b2a 当b = 0 时，-b2a 当b < 0 时，-b2a >0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；= 0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；< 0 ，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．bab 的符号的判定：对称轴x =-2a同右异”总结：3.常数项c在y 轴左边则ab > 0 ，在y 轴的右侧则ab < 0 ，概括的说就是“左⑴ 当c > 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当c = 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶ 当c < 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a 何b 何c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；2 3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 x 轴对称y = ax 2 + bx + c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 - bx - c ；y = a ( x - h )2+ k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是 y = -a ( x - h )2- k ；2. 关于 y 轴对称y = ax 2 + bx + c 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = ax 2 - bx + c ；y = a ( x - h )2+ k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是 y = a ( x + h )2+ k ； 3. 关于原点对称y = ax 2 + bx + c 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 + bx - c ；y = a ( x - h )2+ k 关于原点对称后，得到的解析式是 y = -a ( x + h )2- k ； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°） y = ax 2+ bx + c 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -ax 2 - bx + c -b； 2ay = a ( x - h )2+ k 关于顶点对称后，得到的解析式是 y = -a ( x - h )2+ k ．5. 关于点(m 何 n ) 对称y = a ( x - h )2 + k 关于点(m 何 n ) 对称后，得到的解析式是 y = -a ( x + h - 2m )2+ 2n - k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是二次函数 y = ax 2 + bx + c 当函数值 y = 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数：b2-4aca① 当∆=b2- 4ac > 0 时，图象与x轴交于两点A(x ，0)，B (x ，0)(x ≠x ) ，其中的x ，x 是一元二次1 2 1 2 1 2方程ax2+bx +c = 0(a ≠ 0)的两根．这两点间的距离AB =x2-x1=.② 当∆= 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当∆< 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a > 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y > 0 ；2 ' 当a < 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y < 0 ．2.抛物线y =ax2+bx +c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；3.二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数y =ax2+bx +c 中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx +c(a ≠ 0) 本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a > 0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：∆> 0 抛物线与x 轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根∆= 0 抛物线与x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根∆< 0 抛物线与x 轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.二次函数图像参考：⎩十一、函数的应用⎧ 何何何何 ⎪二次函数应用⎨何何何何何何何何⎪何何何何何何何二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数 y = (m - 2)x 2 + m 2 - m - 2 的图像经过原点，则 m 的值是2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数 y = kx + b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y = kx 2 + bx - 1的图像大致是（）3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 x =5 ，求这条抛物线的解析式。

初三-第02讲-二次函数(培优)-教案

学科教师辅导讲义学员编号：年级：九年级（下）课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第02讲-----二次函数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标熟练掌握二次函数的定义、图像与性质、三种表达式及最值等综合应用问题。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂体系搭建一、知识概念(一) 二次函数的定义一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．注意：1、二次项系数a ≠0；y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)叫做二次函数的一般式；2、ax 2＋bx ＋c 必须是整式；3、一次项、常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零； x 的取值范围是全体实数．(二) 二次函数的图像与性质1、二次函数图像的基本性质二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)图象(a ＞0)(a ＜0) 开口方向开口向上开口向下对称轴直线x ＝－b2a直线x ＝－b2a顶点坐标⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a增减性当x ＜－b 2a 时，y 随x 的增大而减小；当x ＞－b2a 时，y 随x 的增大而增大当x ＜－b2a 时，y 随x 的增大而增大；当x ＞－b2a 时，y 随x 的增大而减小最值当x ＝－b2a 时，y 有最小值4ac －b 24a当x ＝－b2a 时，y 有最大值4ac －b 24a2、二次函数图像的平移 ➢ 方法一：总结：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． ➢ 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）总结：概括成八个字“左加右减，上加下减”．3、二次函数的图象与各项系数之间的关系（1）二次项系数a 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．（2）一次项系数b ：在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置， “左同右异”。

(完整)二次函数讲义-详细

第一讲二次函数的定义知识点归纳：二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。

二次函数具备三个条件，缺一不可：(1）是整式方程;（2）是一个自变量的二次式;（3）二次项系数不为0考点：二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式例1、函数y=（m ＋2）x22-m＋2x －1是二次函数，则m= ．例2、下列函数中是二次函数的有( )①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2;③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x ＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3、某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x ，请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式．例4 、如图，正方形ABCD 的边长为4,P 是BC 边上一点，QP ⊥AP 交DC 于Q ，如果BP=x,△ADQ 的面积为y,用含x 的代数式表示y ．训练题:1、已知函数y=ax 2＋bx ＋c （其中a ，b,c 是常数），当a 时，是二次函数；当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时,是正比例函数．2、若函数y=(m 2+2m －7）x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为。

3、已知函数y=(m －1)x2m +1+5x －3是二次函数，求m 的值。

4、已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍,用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系．5、请你分别给a ，b,c 一个值，让c bx ax y ++=2为二次函数，且让一次函数y=ax+b 的图像经过一、二、三象限6．下列不是二次函数的是（）A ．y=3x 2＋4 B ．y=－31x 2C ．y=52-xD ．y=(x ＋1）（x －2）7．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（）A ．m 、n 为常数,且m ≠0B ．m 、n 为常数，且m ≠nC ．m 、n 为常数,且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数8．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙,另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；（2）求x 的取值范围．9．如图,在矩形ABCD 中，AB=6cm,BC=12cm ．点P 从点A 开始沿AB 方向向点B 以1cm/s 的速度移动,同时，点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 两点分别到达B 、C 两点停止移动，设运动开始后第t 秒钟时，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数表达式，并指出自变量t 的取值范围．10．已知:如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8．点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC,DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F,得四边形DECF ．设DE=x ，DF=y ．（1)AE 用含y 的代数式表示为：AE= ；（2）求y 与x 之间的函数表达式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数表达式．第二讲二次函数的图像和性质知识点归纳:1、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=。

初三上册数学直升班培优讲义学生版第6讲二次函数的图像、性质和解析式(学生版)

例题 6
（ 1）已知二次函数
y
(x
2
3)
1 ．下列说法： ①其图象的开口向下； ②其图象的对称轴为直线
③其图象顶点坐标为 (3, 1) ；④当 x 3 时， y 随 x 的增大而减小．则其中说法正确的有（
x 3；）
A．1 个
B．2 个
C． 3 个
D．4 个
（ 2）对于二次函数 y x2 2mx 3(m 0) ，有下列说法： ①如果 m 2 ，则 y 有最小值 1； ②如果当 x 1 时， y 随 x 的增大而减小，则 m 1 ； ③如果当 x 1 时的函数值与 x 2015 时的函数值相等，则当 x 2016 时的函数值为 3．其中正确的说法是 ________________ ．（把你认为正确的结论的序号都填上）
________．（填序号）
（ 2）抛物线 y 2( x 1)(x 3) 的顶点坐标是 ________．
（ 3）抛物线 y
2
x
x 2 的对称轴是 _________ ，顶点坐标为 _________，当 x
______值是 ________．
_____时， y 有最
（ 4）已知抛物线 y 和 _________．
4．二次函数 y
2
a( x h)
k (a
0 )的性质：
a的符号 a0
a0
开口方向向上
向下
顶点坐标
对称轴
增减性
（ h， k）
x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x
x=h
的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k．
（ h， k）
x h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随 x

第四讲二次函数(讲义).doc

第四讲二次函数一、知识要点和基本方法 1、二次函数解析式的三种形态(顶点式、零点式与一般式)2、二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a^O)的图象与性质3、一元二次方程o? +* + c•=0在某一开区间内外的实根分布问题(从△，对称轴与区间端点的函数值的符号这三个角度来考虑)(1) 两根均大于t()<=> (2) 两根均小于t()(3) 一根大于t(),另一根小于切 <=>(4) 其中一个根小于t|,另一个根大于t2 (ti<t 2)(5) 两根均在开区间(t ］, t 2)内，即两根X1,X2满足/, < %! < x 2 < t 2 = (6) 有旦仅有一个根在区间(t|, (2)内 o(7) 对于t^<t 2< t 3 ,两根尤］,尤2分别在区间(t ］, t 2)和(t 2, t 3)内说明：若avo,这时二次函数图像开口向下，不等式组要做相应变更，若a 的符号不能确定，则要加以对论；若将开区间换为闭区间，不等组也要相应变形。

［典型例题］一、二次函数解析式的确定及相关问题例1、设二次函数y=ax?+bx+c 满足条件:f(0)=2, f(l)=-l,且图象在x 轴上所截得的线段长为2很，求这个二次函数的表达式。

例2、已知二次函数y = (x)的图象以原点为顶点且过点(1, 1),反函数= f 2 (x)的图象与直线y=x 的两个交点的距离8, y(x) = /1(x) + /2(x)0 (1)求函数f(x)的表达式；(2)证明：当a>3时，关于x 的方程/(x)= f M 有三个实数解。

二、二次函数的最值问题例3、己知定义在闭区间［0, a ］上的函数y=x 2—2x4-3,问：当a 在什么范围内取值时，y 的最大值是3, 且最小值是2o例4、如果抛物线y=x 2-(k-l)x-k-l 与x 轴的交点为A 、B,顶点为C,求AABC 的面积的最小值。