空间平面与平面的位置关系沪教版高三上教案
【课件】第04讲 空间平面与平面间的位置关系(课件)(沪教版2020)
AD
在平面β内过B点作BE⊥CD。 β
B
E
C
∵AB⊥CD,AB⊥BE。
∴∠ABE=90。是二面角α—CD—β的平面角,
∴二面角α—CD—β是直二面角,即α⊥β。
2.平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
β 数学语言:
a
a
a 面 α
A
线面垂直
面面垂直
四、平面与平面垂直的性质定理
两个平面的交线垂直于这个平面.
如图:
l
α
β γ
判断线面垂直的两种方法: ①线线垂直→线面垂直; ②面面垂直→线面垂直.
//
l
∩ = l b⊥
l
⊥
.
= l
证法2:设 ∩ = n,∩ = m,
在γ内任取一点A(不在m,n上),
在γ内过A点作直线 a⊥n,
在γ内过A点作直线 b⊥m,
= n a
a⊥n l
a l
同理 b l a bA
lα
β
n
γ
m
a bA
l .
结论: 如果两个相交平面都垂直于另一个平面,那么这
∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC
∴PA⊥BC,
∵PA∩AC=A ∴BC⊥平面PAC
∵BC 平面PBC ∴平面PBC⊥平面PAC A
F O
B
C
又∵AF⊥PC,AF 面PAC ,面PBC∩面PAC=PC
∴AF⊥平面PBC
练习3:如图,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,平
面PAC⊥平面ABC,
平面与平面平行性质定理2.
如果两个平行平面同时和第三个平面相交, 那么它们的交 线平行.
高中数学高三第一学期14.4空间平面与平面的位置关系_导学案1-沪教版
空间平面与平面的位置关系【学习目标】1.了解空间中平面与平面的位置关系;2.学生通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握; 【学习重难点】重点:空间平面与平面之间的位置关系。
难点:用图形表达平面与平面的位置关系。
【学习过程】 一、典例练习例1.如图,已知正方体''''D C B A ABCD -,求二面角'''B C A B --的大小。
例2.已知边长为a 的等边ABC ∆所在平面外有一点P ,使a PC PB PA ===。
求二面角C PB A --的大小。
例3.山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是︒60,山坡上有一条直道CD ,它和坡脚的水平线AB 的夹角是︒30,沿这条路上山,行走100米后升高多少米?ABCP'A 'D AD CB'B 'C二、巩固练习1.把边长为a 的正方形ABCD 以BD 为轴折叠,使二面角C BD A --成︒60。
求A 、C 两点的距离。
2.在棱长为1的正方体''''D C B A ABCD -中 (1)求二面角C D B A --''的大小。
(2)求证:平面ABCD ∥3.已知边长为a 的正方形ABCD 外有一点P ,且⊥PA 平面ABCD ,a PA =。
求二面角C PA B --和A BC P --的大小。
ABC DABCD'A 'D ADCB'B 'C PA BCDHABD C4.已知M 、N 是正方体''''D C B A ABCD -的棱''C B 、''D C 的中点。
(1)求证:M 、N 、B 、D 在同一平面上; (2)求二面角'C MN C --的大小。
ABCD'A 'B 'C 'D MN。
数学高三(上)沪教版(空间直线与平面,平面与平面的位置关系)学生版
(2)P点到斜边AB的距离.
【课堂小练】
1、过正方形ABCD的顶点A作线段A A′⊥平面ABCD,若A A′=AB,则平面A′A B与平面A′CD所成的角度是
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
2、在直二面角α-l-β中,直线m α,直线n β,且m、n均不与l垂直,则
A.φ<θB.φ>θC.φ=θD.以上三种关系均有可能
7、如图,等腰直角△ABC,沿其斜边AB边上的高CD对折,使△ACD与△BCD所在的平面垂直,此时∠ACB等于
A.45° B.60° C.90° D.120°
8、正方形纸片ABCD,沿对角线AC对折,使D点在面ABC外,这时DB与面ABC所成的角一定不等于
3、设有四个条件:
①平面γ与平面α、β所成的锐二面角相等;
②直线a∥b,a⊥平面α,b⊥β;
③a、b是异面直线, ,且a∥β,b∥α;
④平面α内距离为d的两条直线在平面β内的射影仍为两条距离为d的平行线,其中能推出α∥β的条件有.(填写所有正确条件的代号)
4、在空间,下列命题正确的是_______.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)
A.30° B.45° C.60° D.90
9、a、b表示直线,α、β、γ表示平面,有下列四个命题:(1)若α∩β=a,b α,a⊥b,则α⊥β;(2)若α⊥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a⊥b;(3)若a不垂直于平面α,则a不可能垂直于α内的无数条直线;(4)若a⊥α,b⊥β,a∥b,则α∥β,其中不正确命题的个数为
(2)两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线;②两条相交直线;③一条直线;④两个点.上述四个结论中,可能成立的个数是()
(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个
高中高三数学《空间平面与平面的位置关系》优秀教学案例
在教学过程中,我将采用问题驱动的教学方法。针对空间平面与平面的位置关系,设计一系列具有启发性和挑战性的问题,引导学生主动思考、探究。通过问题的层层递进,帮助学生搭建知识框架,形成系统性的认识。同时,鼓励学生在解决问题过程中,运用所学知识,提高其分析和解决问题的能力。
(三)小组合作
小组合作是本节课的重要教学策略。我将学生分成若干小组,每组学生在组内展开讨论、交流,共同完成课堂任务。在小组合作中,学生可以互相启发、取长补短,提高空间想象能力和逻辑思维能力。此外,小组合作还能培养学生的团队协作精神和沟通能力,为未来的学习和工作打下坚实基础。
(二)过程与方法
1.通过观察和操作几何模型,引导学生直观感知空间平面与平面的位置关系,培养他们的空间想象能力。
2.运用问题驱动的教学方法,鼓励学生主动探究空间平面与平面的性质,培养其发现问题和解决问题的能力。
3.创设生活情境,让学生在实际问题中运用所学的空间几何知识,提高其运用数学知识解决实际问题的能力。
5.知识与实践相结合,提高学生的应用能力
案例在教学内容与过程中,将空间平面与平面位置关系知识与实际生活相结合,引导学生从生活中发现问题,运用所学知识解决问题。这种教学方式有助于提高学生的应用能力,使他们在面对高考数学试题时,能够灵活运用所学知识,提高解题效率和准确性。
(二)讲授新知
在讲授新知环节,我会按照以下步骤进行:
1.定义讲解:首先,给出空间平面与平面平行和垂直的定义,让学生明确这两种位置关系的概念。
2.性质推导:通过几何模型和动态演示,引导学生观察和思考,推导出空间平面与平面平行和垂直的性质。
3.方法介绍:介绍解决空间平面与平面位置关系问题的常用方法,如向量法、坐标法、解析几何法等,并举例说明。
高中高三数学《空间平面与平面的位置关系》教案、教学设计
组织学生进行小组讨论,让每个学生都能参与到问题解决过程中,培养学生的合作意识和交流能力。
5.精讲精练,巩固知识:
对重点知识进行详细讲解,让学生掌握解题方法,并通过典型例题和练习题,巩固所学知识。
6.关注个体差异,因材施教:
针对学生在学习过程中出现的问题,给予个别指导,使每个学生都能在原有基础上得到提高。
b.两个平面垂直,第三个平面与其中一个平面相交,第三个平面与另一个平面的位置关系是什么?
c.两个平面相交,第三个平面同时与这两个平面相交,这三个平面的位置关系有哪些可能性?
要求各小组给出解答过程和结论,并在下节课上分享。
4.请同学们在课后思考以下问题,并撰写一篇关于空间平面与平面位置关系的学习心得:
1.请同学们结合教材中的例题和课堂讲解,完成课后习题第1、2、3题,强化对空间平面与平面位置关系的理解和应用。
2.设计一道关于空间平面与平面位置关系的实际问题,要求运用本节课所学的判定定理和性质进行解答。此题旨在培养学生的创新意识和解决问题的能力。
3.小组合作,共同探讨以下问题:
a.两个平面平行,第三个平面与其中一个平面相交,第三个平面与另一个平面的位置关系是什么?
3.培养学生严谨、踏实的学风,使学生认识到学习数学需要勤奋刻苦、持之以恒。
4.增强学生对数学学科的兴趣和信心,激发学生进一步学习数学的热情。
二、学情分析
本章节的学习对象为高中三年级学生,他们在之前的学习中已经掌握了空间几何的基本知识,如点、线、面的位置关系,具有一定的空间想象能力和逻辑思维能力。在此基础上,学生对空间平面与平面的位置关系这一知识点有了初步的认识,但对于判定定理和性质的理解可能还不够深入,需要通过本章节的学习进行巩固和拓展。
高三数学第一学期 空间平面与平面的位置关系
14.4(1)空间平面与平面的位置关系一、教学内容分析二面角是我们日常生活中经常见到的一个图形,它是在学生学过空间异面直线所成的角、直线和平面所成角之后,研究的一种空间的角,二面角进一步完善了空间角的概念.掌握好本节课的知识,对学生系统地理解直线和平面的知识、空间想象能力的培养,乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义.二、教学目标设计理解二面角及其平面角的概念;能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角;能作出二面角的平面角,并能初步运用它们解决相关问题.三、教学重点及难点二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法.四、教学流程设计五、教学过程设计一、 新课引入1.复习和回顾平面角的有关知识.平面中的角定义从一个顶点出发的两条射线所组成的图形,叫做角图形结构射线—点—射线表示法∠AOB,∠O等2.复习和回顾异面直线所成的角、直线和平面所成的角的定义,及其共同特征.(空间角转化为平面角)3.观察:陡峭与否,跟山坡面与水平面所成的角大小有关,而山坡面与水平面所成的角就是两个平面所成的角.在实际生活当中,能够转化为两个平面所成角例子非常多,比如在这间教室里,谁能举出能够体现两个平面所成角的实例?(如图1,课本的开合、门或窗的开关.)从而,引出“二面角”的定义及相关内容.二、学习新课(一)二面角的定义平面中的角二面角定义从一个顶点出发的两条射线所组成的图形,叫做角课本P17图形结构射线—点—射线半平面—直线—半平面表示法∠AOB,∠O等二面角α—a—β或α-AB-βCB(二)二面角的图示1.画出直立式、平卧式二面角各一个,并分别给予表示.2.在正方体中认识二面角. (三)二面角的平面角平面几何中的“角”可以看作是一条射线绕其端点旋转而成,它有一个旋转量,它的大小可以度量,类似地,"二面角"也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成,它也有一个旋转量,那么,二面角的大小应该怎样度量?1.二面角的平面角的定义(课本P17).2.∠AOB 的大小与点O 在棱上的位置无关.[说明]①平面与平面的位置关系,只有相交或平行两种情况,为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨,有必要来研究二面角的度量问题.②与两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角做类比,用“平面角”去度量.③二面角的平面角的三个主要特征:角的顶点在棱上;角的两边分别在两个半平面内;角的两边分别与棱垂直. 3.二面角的平面角的范围:[0,]π (四)例题分析例1 一张边长为a 的正三角形纸片ABC ,以它的高AD 为折痕,将其折成一个60d 的二面角,求此时B 、C 两点间的距离. [说明] ①检查学生对二面角的平面角的定义的掌握情况. ②翻折前后应注意哪些量的位置和数量发生了变化, 哪些没变? 例2 如图,已知边长为a 的等边三角形ABC 面外有一点P ,使PA=PB=PC=a ,求二面A PB C --的大小.[说明] ①求二面角的步骤:作—证—算—答.②引导学生掌握解题可操作性的通法(定义法和线面垂直法).例 3 已知正方体''''ABCD A B C D -,求二面角'''B ACB --的大小.(课本P18例1)[说明] 使学生进一步熟悉作二面角的平面角的方法. (五)问题拓展例4 如图,山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60d ,山坡上有一条直道CD ,它和坡脚的水平线AB 的夹角是30d ,沿这条路上山,行走100米后升高多少米? [说明]使学生明白数学既来源于实际又服务于实际.三、巩固练习1.在棱长为1的正方体1AC 中,求二面角11A B D C --的大小.2. 若二面角l αβ--的大小为30d ,P 在平面α上,点P 到β的距离为h ,求点P 到棱l 的距离.四、课堂小结1.二面角的定义2.二面角的平面角的定义及其范围3.二面角的平面角的常用作图方法4.求二面角的大小(作—证—算—答)五、作业布置1.课本P18练习14.4(1)2.在60d二面角的一个面内有一个点,它到另一个面的距离是10,求它到棱的距离.3.把边长为a的正方形ABCD以BD为轴折叠,使二面角A-BD-C成60d 的二面角,求A、C两点的距离.六、教学设计说明本节课的设计不是简单地将概念直接传受给学生,而是考虑到知识的形成过程,设法从学生的数学现实出发,调动学生积极参与探索、发现、问题解决全过程.“二面角”及“二面角的平面角”这两大概念的引出均运用了类比的手段和方法.教学过程中通过教师的层层铺垫,学生的主动探究,使学生经历概念的形成、发展和应用过程,有意识地加强了知识形成过程的教学.14.4(2)空间平面与平面的位置关系一、教学内容分析在空间平面与平面之间的位置关系中,平行是一种非常重要的位置关系.空间中平面与平面平行的定义与性质学生之前已经掌握,本节课使学生掌握两个平面平行的判定(证明).通过两个平面平行的判定定理的证明过程,使学生进一步体会反证法的思想,加强用反证法证明某些简单命题的能力,培养和发展学生的归纳推理论证能力;通过两个平面平行的判定定理应用的教学,使学生体会转化思想(空间向平面;线线、线面、面面平行关系的相互转化)在解决问题中的运用.二、教学目标设计掌握空间两个平面的位置关系,掌握两个平面平行的判定定理及其推导,能用两个平面平行的判定定理判定(证明)两个平面平行.三、教学重点及难点两个平面平行的判定定理的证明及其应用.四、教学流程设计五、教学过程设计一、新课引入问题1:空间两个平面之间的位置关系有哪些?问题2:空间平面位置关系分类的依据是什么?问题3:对于两个平面平行的位置关系,我们可以根据定义(没有公共点)来判断,但很难操作,除此之外,能否用简便的方法来判断呢?二、学习新课(一)两个平面平行的判定1.平面β内一条直线与平面α平行,能否判断βα//?2.平面β内两条直线与平面α平行,能否判断βα//?3.平面β内无数条直线与平面α平行,能否判断βα//?[说明]通过长方体模型,引导学生观察、动手实验,探索出结论. (二)两个平面平行的判定定理的证明例1设a、b是平面α内的两条相交直线,且//bβ平面,求平面,//aβ证:βα//.[说明]①让学生用文字语言和符号语言描述两个平面平行的判定定理,即如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.②小结反证法的证题步骤.(三)例题分析例2 如图,在正方体1111D C B A ABCD -中,求证:平面//1BD A 平面C D B 11.[说明]进一步使学生明白运用定理时一定要注意寻求的是两相交直线,而后证明这两条直线分别平行与另一个平面,在论证及书写的过程中要力求规范.例3 已知a 、b 是异面直线,求证:过直线a 且平行于b 的平面α与过直线b 且平行于a 的平面β平行. 证明:过a 作平面γ,使'a =⋂βγ ∵a ∥β,a ⊂γ,'a =⋂βγ,∴a ∥'a 又∵'a ⊄α,a ⊂α,∴'a ∥α且b ∥α 又a 、b 异面,∴'a 与b 必相交,∴α∥β.[说明]灵活地实现“线线”、“线面”、“面面”平行间的相互转换(四)问题拓展例4 有一块木料如图,已知棱BC 平行于面A ′C ′.要经过木料表面A ′B ′C ′D ′ 内的一点P 和棱BC 将木料锯开,应怎样画线?所画的线和面AC 有什么关系? 解:(1)∵BC ∥面A ′C ′,面BC ′经过BC 和面A ′C ′交于B ′C ′, ∴BC ∥B ′C ′.经过点P ,在面A ′C ′上画线段EF ∥B ′C ′, 得:EF ∥BC .bβαaCD BA1A 1B 1C 1D1A 1∴EF ⊂面BF,B ⊂面BF.连结BE 和CF. BE,CF 和EF 就是所要画的线. (2)∵EF ∥BC ,根据判定定理,则EF ∥面AC ;BE 、CF 显然都和面AC 相交.三、巩固练习1.断下列命题是否正确,并说明理由.(1)若平面α内的两条直线分别与平面β平行,则α与β平行.( ) (2)若平面α内有无数条直线与平面β平行,则α与β平行.( ) (3)平行于同一条直线的两个平面平行. ( )(4)过已知平面外一点,有且只有一个平面与已知平面平行.( ) (5)过已知平面外一条直线,必能作出与已知平面平行的平面.( )2.如图,设E ,F ,E 1,F 1分别是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱AB ,CD ,A 1B 1,C 1D 1的中点.求证:平面ED 1∥平面BF 1.四、课堂小结1.空间两个平面的位置关系.2.两个平行平面的判定定理.五、作业布置1.课本P19练习14.4(2)2.如图,设G 、H 、E 、F 分别是长方体ABCD-A 1B 1C 1D 的棱A 1D 1、A 1B 1、B 1C 1、C 1D 1的中点.AGH ∥平面DBEF.七、教学设计说明本节课在教学中引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程,通过直观感知、操作确认,归纳出两个平面平行的判定方法,并引导学生将文字语言转化为图形语言和符号语言.要求学生能熟练运用判定定理证明两个平面平行,注重数学思想的渗透;注重数学知识与实际的联系.。
高中数学沪教版高三上册第14章14.4空间平面与平面的位置关系教学设计
高中数学沪教版高三上册第14章14.4空间平面与平面的位置关
系教学设计
【名师授课教案】
1教学目标
1.理解二面角的概念。
2.理解二面角的平面角的概念,并能通过二面角的平面角计算二面角的大小。
2学情分析
二面角概念,如同“异面直线所成的角”、“直线与平面所成的角”一样,都是通过平面内的角来定义的,在教学中除了要指出这种定义的合理性、确定性外,还要注意体现从“空间”转化为“平面”的思想方法。
空间各种“角”的度量问题,总是转化为平面内的角的度量问题:异面直线所成的角利用平移变换转化为两条相交直线所成的锐角(或直角);斜线与平面的交角转化为斜线与它在平面内的射影所成的锐角,二面角则转化为二面角的平面角。
这个转化过程是求角问题中不可忽视的步骤。
3重点难点
重点:二面角及其平面角的概念。
难点:二面角的平面角的确定。
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】二面角的概念
1.引入半平面的概念,并与平面几何中的半直线(射线)类比。
2.通过翻动一本词典的封面和转动教室的门,观察有公共直线的两个半平面可形成不同的位置关系。
3.讲授二面角的概念、介绍二面角的棱、二面角的面等术语的意义,介绍二面角的两种表示方法。
高三数学复习教案:空间平面与平面的位置关系
高三数学复习教案:空间平面与平面的位置关系教学内容:空间平面与平面的位置关系教学目标:1. 理解空间中两个平面的位置关系概念,包括平行、垂直、相交等。
2. 掌握判断两个平面位置关系的方法。
3. 能够应用所学知识解决相关问题。
教学重点:1. 平面的方向向量、法向量的概念;2. 判断两个平面位置关系的方法;3. 应用所学知识解决相关问题。
教学准备:1. 教材:高中数学教材;2. 教具:黑板、粉笔。
教学过程:Step 1 知识点介绍1. 介绍空间平面与平面的位置关系的概念,包括平行、垂直和相交等;2. 介绍平面的方向向量、法向量的概念,以及方向向量、法向量与平面的关系。
Step 2 判断平面位置关系的方法1. 判断两个平面是否平行的方法:a. 比较两个平面的法向量是否平行;b. 比较两个平面的方向向量是否共线。
2. 判断两个平面是否垂直的方法:a. 比较两个平面的法向量是否垂直;b. 比较两个平面的方向向量是否垂直。
3. 判断两个平面是否相交的方法:a. 比较两个平面是否有公共点;b. 比较两个平面的法向量是否平行。
Step 3 解决相关问题1. 按照所学方法,解决一些具体的例题,让学生熟悉判断平面位置关系的步骤;2. 提供一些综合性的问题,让学生巩固所学知识,培养解决实际问题的能力。
Step 4 小结与拓展1. 对判断平面位置关系的方法进行总结,强调重点;2. 扩展学生思维,讨论其他类型的平面位置关系。
Step 5 课堂练习让学生进行课堂练习,巩固所学知识。
Step 6 作业布置布置相应的作业,要求学生巩固所学内容。
教学反思:本节课以空间平面与平面的位置关系为主要内容,旨在教导学生掌握判断平面位置关系的方法。
通过理论介绍和实例演练,提高了学生的理解能力和应用能力。
同时,引导学生思考其他类型的平面位置关系,拓宽了学生的思维。
高中数学沪教版《14.3 空间直线与平面的位置关系》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学沪教版高三上册第14章《14.3 空间直线与平面的位置关系》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
(一) 知识与技能目标
理解直线与平面垂直的定义,掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用。
(二) 过程与方法目标
通过直观感知、操作,归纳概括出直线与平面垂直的判定定理。
(三) 情感与态度目标
通过该内容的学习,培养学生的空间想象能力及合情推理能力,并从中体会“转化”的数学思想。
2学情分析
同学们在学习本节课之前,学生已经学习了掌握了平面及其基本性质以及空间直线与直线的位置关系的知识,学生在日常生活中接触到线面垂直的模型,因此学生对于线面垂直知识的学习有一定的认知基础。
但同学们对于理解线面垂直的定义中的“任何直线”有一定的困难,误认为由一直线垂直于一平面内某一直线就能得出线面垂直;同时,线面垂直判定定理的发现具有一定的隐蔽性,学生不易想到。
3重点难点
教学重点:直线与平面垂直的判定定理的理解。
教学难点:直线与平面垂直的判定定理的归纳。
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】一、复习引入
教师提问:空间直线和平面的位置关系有哪些?。
沪教版高三T同步(空间平面与平面位置关系3星)
同步:空间平面与平面的位置关系 (★★★)教学目标掌握空间两个平面的位置关系,掌握两个平面平行的判定定理及其推导,掌握两个平面垂直的判定定理与性质定理,能用两个平面平行的判定定理判定(证明)两个平面平行.理解二面角及其平面角的概念;能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角;能作出二面角的平面角,并能初步运用它们解决相关问题.知识梳理1、平面与平面位置关系 位置关系 定义符号表示平行平面与平面没有公共点αφβα⇒⋂=∥β 相交平面与平面有且仅有一条公共直线a =βα⋂2、平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 图形语言:符号语言:,,,P b a b a =⋂⊂⊂αα且ββ//,//b a ,那么βα//3、两个平面平行的性质定理如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行 图形语言:符号语言:若βα//,b a =⋂=⋂γβγα,,则b a // 4、几个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行(2)如果两个平面平行那么在一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 (3)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,则它也垂直于另外一个 (4)夹在两个平行平面中的平行线段相等(5)经过平面外一点有且仅有一个平面与已知直线平行注:①两个平面平行的判定定理中必须是“两条”“相交”直线才能得出面面平行,把条件改成“一条”、“两条”、“无数条”都不一定成立 ②面面平行则面内的所有直线都平行与另一个平面,但是分别在两个平行平面内的两条直线不一定平行 5、半平面的定义一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分,其中的每一部分都叫做半平面 6、二面角的定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面 7、画法第一种是卧式法,也称为平卧式:A B CDFGHIJKL第二种是立式法,也称为直立式:l B'O'A'B O A βα8、二面角的平面角:(1)过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ,则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角(2)一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ,且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足,则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明:(1)二面角的平面角范围是[0,180]o o;(2)二面角的平面角为直角时,则称为直二面角,组成直二面角的两个平面互相垂直 9、平面与平面垂直定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直.表示方法:平面与垂直,记作.画法:两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图:10.平面与平面垂直的判定定理判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 符号语言:图形语言:特征:线面垂直面面垂直注:平面与平面垂直的判定定理告诉我们,可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直,则面面垂直”.因此,处理面面垂直问题处理线面垂直问题,进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直,只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面垂直即可.11.平面与平面垂直的性质性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 符号语言:图形语言:典型例题:题型一:面面平行的理解例1、 已知b a ,是异面直线,求证:过a 且平行于b 的平面必定平行与过b 且平行与a 的平面分析:依题意得,可设αββα//,//,,b a b a ⊂⊂,要证明的结论是βα//,直接证明两个平面平行无法入手,于是可过b 任作一平面γ,通过线线、线面来转化来证明 证明:任取点a A ∈,则A 与b 确定一个平面γ,设'b =⋂αγ,Θ',,//b b b =⋂⊂αγγα,b b //'∴,又Θ,,'ββ⊂⊄b b β//'b ∴,又β//a ,A b a =⋂'α⊂',b a ,∴βα//,得证例2 下列命题正确的是 ( ) ① 一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行 ② 直线l 与平面α内无数条直线都垂直则直线l 与平面α垂直③ 一个平面内任何直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行④ 一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行,则这两个平面平行 答案:D 巩固练习1、已知,m n 是两条不同直线,,,αβγ是三个不同平面,下列命题中正确的是( )A .,,m n m n αα若则‖‖‖B .,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C .,,m m αβαβ若则‖‖‖D .,,m n m n αα⊥⊥若则‖答案:D2.设直线l, m, 平面α,β,下列条件能得出α∥β的有 ( )①l ⊂α,m ⊂α,且l ∥β,m ∥β;②l ⊂α,m ⊂α,且l ∥m ;③l ∥α,m ∥β,且l ∥m A 1个 B 2个 C 3个 D 0个 答案:D3.下列命题中为真命题的是( )A 平行于同一条直线的两个平面平行B 垂直于同一条直线的两个平面平行C 若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等,则这两个平面平行.D 若三条直线a 、b 、c 两两平行,则过直线a 的平面中,有且只有—个平面与b ,c 都平行.答案:B4.下列命题中正确的是( B )①平行于同一直线的两个平面平行; ②平行于同一平面的两个平面平行; ③垂直于同一直线的两个平面平行; ④与同一直线成等角的两个平面平行A ①②B ②③C ③④D ②③④ 答案:B5. 下列命题中正确的是 (填序号);①一个平面内两条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;②如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行; ③平行于同一直线的两个平面一定相互平行;④如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 ; 答案:②6. 若夹在两个平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面的位置关系是 ; 答案:相交或平行题型二:面面平行的判定例3、P 是△ABC 所在平面外一点,'A ,'B ,'C 分别是△PBC ,△PCA ,△PAB 的重心, (1)求证:平面'''C B A ∥平面ABC ; (2)求ABC C B A S S ∆∆:'''分析:根据判定定理,欲证面面平行,应先证线面平行,而线线平行又是线面平行的基础,就本题而言,应从容易把握的线线平行着手。
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14.4(1)空间平面与平面的位置关系
一、教学内容分析
二面角是我们日常生活中经常见到的一个图形,它是在学生学过空间异面直线所成的角、直线和平面所成角之后,研究的一种空间的角,二面角进一步完善了空间角的概念.掌握好本节课的知识,对学生系统地理解直线和平面的知识、空间想象能力的培养,乃至创新能力的培养都具有十分重要的意义.
二、教学目标设计
理解二面角及其平面角的概念;能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角;能作出二面角的平面角,并能初步运用它们解决相关问题.
三、教学重点及难点
二面角的平面角的概念的形成以及二面角的平面角的作法.
四、教学流程设计 五、教学过程设计
一、 新课引入 1.复习和回顾平面角的有关知识. 平面中的角
定义 从一个顶点出发的两条射线所组成的图形,叫做角 图形
复习回顾 引入新课
类比引导 提出问题
定理证明 会用反证法
例题选讲 定理应用
巩固练习 小结方法 课堂总结 作业布置
结构射线—点—射线
表示法∠AOB,∠O等
2.复习和回顾异面直线所成的角、直线和平面所成的角的定义,及其共同特征.(空间角转化为平面角)
3.观察:陡峭与否,跟山坡面与水平面所成的角大小有关,而山坡面与水平面所成的角就是两个平面所成的角.在实际生活当中,能够转化为两个平面所成角例子非常多,比如在这间教室里,谁能举出能够体现两个平面所成角的实例?(如图1,课本的开合、门或窗的开关.)从而,引出“二面角”的定义及相关内容.
二、学习新课
(一)二面角的定义
平面中的角二面角
定义从一个顶点出发的两条射线
所组成的图形,叫做角
课本P17
图形
结构射线—点—射线半平面—直线—半平面
表示法∠AOB,∠O等二面角α—a—β或α-AB-β
(二)二面角的图示
1.画出直立式、平卧式二面角各一个,并分别给予表示.
2.在正方体中认识二面角.
(三)二面角的平面角
平面几何中的“角”可以看作是一条射线绕其端点旋转而成,它有一个旋转量,它的大
A
C
B
D
P
小可以度量,类似地,"二面角"也可以看作是一个半平面以其棱为轴旋转而成,它也有一个旋转量,那么,二面角的大小应该怎样度量?
1.二面角的平面角的定义(课本P17).
2.∠AOB 的大小与点O 在棱上的位置无关.
[说明]①平面与平面的位置关系,只有相交或平行两种情况,为了对相交平面的相互位置作进一步的探讨,有必要来研究二面角的度量问题.
②与两条异面直线所成的角、直线和平面所成的角做类比,用“平面角”去度量.
③二面角的平面角的三个主要特征:角的顶点在棱上;角的两边分别在两个半平面内;角的两边分别与棱垂直.
3.二面角的平面角的范围:[0,]π (四)例题分析
例1 一张边长为a 的正三角形纸片ABC ,以它的高AD 为折痕,将其折成一个60d 的二面角,求此时B 、C 两点间的距离.
[说明] ①检查学生对二面角的平面角的定义的掌握情况. ②翻折前后应注意哪些量的位置和数量发生了变化, 哪些没变? 例2 如图,已知边长为a 的等边三角形ABC 所在平面外有一点P ,使PA=PB=PC=a ,求二面角A PB C --的大小. [说明] ①求二面角的步骤:作—证—算—答.
②引导学生掌握解题可操作性的通法(定义法和线面垂直法).
例3 已知正方体''''ABCD A B C D -,求二面角'''B AC B --的大小.(课本P18例1)
[说明] 使学生进一步熟悉作二面角的平面角的方法. (五)问题拓展
例4 如图,山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60d ,山坡上有一条直道CD ,它和坡脚的水平线AB 的夹角是30d ,沿这条路上山,行走100米后升高多少米? [说明]使学生明白数学既来源于实际又服务于实际.
三、巩固练习
1.在棱长为1的正方体1AC 中,求二面角11A B D C --的大小.
2. 若二面角l αβ--的大小为30d ,P 在平面α上,点P 到β的距离为h ,求点P 到棱l 的距离.
四、课堂小结 1.二面角的定义
2.二面角的平面角的定义及其范围
3.二面角的平面角的常用作图方法
4.求二面角的大小(作—证—算—答)
五、作业布置 1.课本P18练习14.4(1)
2.在60d
二面角的一个面内有一个点,它到另一个面的距离是10,求它到棱的距离. 3.把边长为a 的正方形ABCD 以BD 为轴折叠,使二面角A-BD-C 成60d
的二面角,求A 、C 两点的距离. 六、教学设计说明
本节课的设计不是简单地将概念直接传受给学生,而是考虑到知识的形成过程,设法从学生的数学现实出发,调动学生积极参与探索、发现、问题解决全过程.“二面角”及“二面角的平面角”这两大概念的引出均运用了类比的手段和方法.教学过程中通过教师的层层铺垫,学生的主动探究,使学生经历概念的形成、发展和应用过程,有意识地加强了知识形成过程的教学.。