充要条件的判定方法

充要条件的判定方法

充要条件是数学中的一个重要概念，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识.高考对充要条件的考查主要以其他知识为载体进行两类问题的考查：一类是充要条件的判别；一类是有关充要性命题的证明，尤以考查充要条件的判别为主.要正确判断“充分且不必要条件”、“必要且不充分条件”、“充要条件”、“非充分非必要条件”，应该明确：①条件是什么，结论是什么；②条件是结论的什么条件；尝试从条件推导结论，从结论推导条件.下面就介绍几种充要条件的判定方法.

一、直接用定义判定

能够保证一个事件一定发生的条件，叫做这个事件发生的充分条件；一个事件要发生必须具备的条件叫做这个事件发生的必要条件；一个条件既能保证某个事件发生，同时又是这个事件发生必须具备的条件，就叫做这个事件发生的充要条件.在实际应用中，体现充要条件的文字还有“当且仅当”、“有且仅有”、“必需且只需”等语句.用逻辑符号表示为：

(1)若p ⇒q ，且q ⇒/p ，则p 是q 的充分且不必要条件，q 是p 的必要且不充分条件；

(2)若q ⇒p ，且p ⇒/q ，则p 是q 的必要且不充分条件，q 是p 的充分且不必要条件；

(3)若p ⇒q ，且q ⇒p(或⌝p ⇒⌝q)，则p 是q 的充要条件(此时q 也是p 的充要条件)；

(4)若p ⇒/q ，且q ⇒/p ，则p 是q 的非充分非必要条件.

例1（2004年辽宁高考）已知α、β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，命题p ：a 与b 无公共点；命题q:α∥β，则p 是q 的 ( )

A ．充分而不必要的条件

B ．必要而不充分的条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要的条件

解析：若α与β相交，设交线为c ，若a ∥c ，b ∥c ，则a ∥b ，此时a 与b 无公共点，所以p ⇒/q ；若α∥β，则a 与b 的位置关系是平行或异面，a 与b 无公共点，所以q ⇒p ，由此可知p 是q 必要而不充分的条件.故选B .

例2（2004年浙江高考题）“sinA=12

”是“A=30º”的 （ ） A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：记条件是p ：sinA=12

，结论为q ：A=30º.由条件P 得A=k ·360º+30º或A=k ·360º+150º(k ∈Z)，因此A=30º仅为其中的一个值，则p ⇒/q ，但是，当A=30º时，sinA=12成立，∴q ⇒p ，∴“sinA=12

”是“A=30º”必要非充分的条件.故选B.

二、利用命题的四种形式进行判定

(1)如果原命题成立，逆命题不成立，则原命题的条件是充分非必要的；

(2)如果原命题不成立，逆命题成立，则原命题的条件是必要非充分的；

(3)如果原命题和它的逆命题都成立，则原命题的条件充要的；

(4)如果原命题和它的逆命题都不成立，则原命题的条件是非充分非必要的.

例3(2004年天津高考题)已知数列{a n}，那么“对任意的n∈N*，点P n(n，a n)都在直线y=2x+1上”是“{a n}为等差数列”的（）

A.必要而不充分条件

B.充分而不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：构造原命题：“若对任意的n∈N*，则点P n(n，a n)都在直线y=2x+1上，则{a n}为等差数列”.此命题为真.其逆命题：“若{a n}为等差数列，则对任意的n∈N*，点P n(n，a n)都在直线y=2x+1上”.此命题为假，所以“对任意的n∈N*，点P n(n，a n)都在直线y=2x+1上”是“{a n}为等差数列”的充分不必要条件.故选B.

三、利用双箭头的传递性判定

由于逻辑联结符号“⇒”、“⇐”、“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系.

例4（2004年重庆高考文科）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．那么p是q成立的（）

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

解析：用双箭头符号表示p、q、r、s的关系：p⇒r，s⇐r，q⇐s，即p⇒r，r⇒s，s⇒q，∴p⇒r⇒s⇒q，即p⇒q，又r⇒/p，则q⇒/p，故p是q的充分非必要条件.故选A.

四、利用集合的子集判定

(1)若A⊂__B，就是x∈A则x∈B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；

(2)若A≠⊂B，就是x∈A则x∈B，且A中至少有一个元素不在B中，则A是B的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件.

(3)若A=B，就是A⊂__B且A⊃__B，则A是B的充分条件，同时A是B的必要条件，即A是B的充要条件.

(4)若A⊄B，A/⊃B，则A是B的既不充分也不必要条件.

例5（2004上海春季高考）若非空集合M≠⊂N，则“a∈M或a∈N”是“a∈M∩N”的（B ）

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分又非必要条件

解析：由于M≠⊂N，所以M∪N=N，M∩N=M，又由并集的定义知：a∈M或a∈N⇔a∈M∪N=N⇔a∈N，a∈M∩N=M⇔a∈M，而M≠⊂N，所以“a∈M或a∈N”⇐“a∈M∩N”，所以“a∈M或a∈N”是“a∈M∩N”

例6 已知真命题“a ≥b c ＞d ”和“a ＜b e ≤f ”，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的________条件． 分析 ∵a ≥b c ＞d(原命题)，

∴c ≤d a ＜b(逆否命题)．

而a ＜b e ≤f ，

∴c ≤d e ≤f 即c ≤d 是e ≤f 的充分条件．

答 填写“充分”．

说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法．

已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s ，r ，p 分别是q 的什么条件？

分析 画出关系图1－21

，观察求解．

解 s 是q 的充要条件；(s r q ，q s)

r 是q 的充要条件；(r q ，q s r)

p 是q 的必要条件；(q s r p)

说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系．

例7 关于x 的不等式

|x |x 3(a 1)x 2(3a 1)0A B A B 1a 3a 12－≤与－＋＋＋≤的解集依次为与，问“”是“≤≤或＝－”的充要条件吗？

()()a a +-⊆1212

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分析 化简A 和B ，结合数轴，构造不等式(组)，求出a ．

解 A ＝{x|2a ≤x ≤a 2＋1}，B ＝{x|(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}

当≤＋即≥时，23a 1a 13

B ＝{x|2≤x ≤3a ＋1}．

A B 2a 2a +13a +11a 323a 1a 2⊆⇔⎧⎨⎩⇔≥≤≤≤当＞＋即＜时，13

B ＝{x|3a ＋1≤x ≤2}

A B 2a 3a +1a +12a 1A B a 11a 3A B 1a 3a 12⊆⇔⎧⎨⎩

⇔⊆⇔⊆≥≤＝－．综上所述：＝－或≤≤．

∴“”是“≤≤或＝－”的充要条件．

说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关．在解题时要理清思路，表达

准确，推理无误．