中考数学专题复习翻转折叠问题.doc

2019-2020 年中考数学专题复习翻转折叠问题

【专题点拨】

图形折叠是中考中常考题型，这种题型主要考察学生对图形的认知，特别是考察轴对称

的性质、全等三角形、勾股定理、相似三角形等知识综合运用。

【解题策略】

有关图形折叠的相关计算，首先要熟知折叠是一种轴对称变换，即位于折痕两侧的图形

关于折痕成轴对称；然后根据图形折叠的性质，即折叠前、后图形的对应边和对应角相等，

对应点的连线被折痕垂直平分并结合勾股定理或相似三角形的性质进行相关计算.

【典例解析】

类型一：三角形折叠问题

例题 1：（ 2016·浙江省湖州市·3分）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=7．如图 2，在底边BC上取一点D，连结 AD，使得∠ DAC=∠ACD．如图3，将△ ACD沿着 AD所在直线折叠，使得点 C 落在点 E 处，连结 BE，得到四边形ABED．则 BE的长是（）

A． 4 B ． C ． 3D． 2

【考点】翻折变换（折叠问题）；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性

质．

=，只要求出BM、 BD即可解决问题．【分析】只要证明△ ABD∽△ MBE，得

【解答】解：∵ AB=AC，

∴∠ ABC=∠C，

∵∠ DAC=∠ACD，

∴∠ DAC=∠ABC，

∵∠ C=∠C，

∴△ CAD∽△ CBA，

∴=，

∴=，

∴CD=，BD=BC﹣CD=，

∵∠ DAM=∠DAC=∠DBA，∠ ADM=∠ADB，

∴△ ADM∽△ BDA，

∴=，即=，

∴DM=，MB=BD﹣DM=，

∵∠ ABM=∠C=∠MED，

∴A、 B、 E、 D四点共圆，

∴∠ ADB=∠BEM，∠ EBM=∠EAD=∠ABD，

∴△ ABD∽△ MBE，

∴=，

∴BE===．

故选 B．

变式训练1：

（ 2016·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠ C=90°，∠ B=30°，点D（不与 B， C 重合）是 BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF 的长度为a，则△ DEF 的周长为（用含 a 的式子表示）．

类型二：平行四边形折叠问题

例题 2：（ 2016·湖北武汉·3分）如图，在□ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE 折叠至△ AD′ E 处， AD′与 CE交于点 F．若∠ B＝52°，∠ DAE＝20°，则∠ FED′的大小

为_______．

【考点】平行四边形的性质

【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠

，

D＝∠ B＝52°，由折叠的性质得：∠ EAD

＝∠＝20°，∠

，

＝∠＝180°－∠－∠＝180°－ 20°－ 52°＝ 108°，DAE AED AED DAE D

∴∠ AEF＝∠ D＋∠ DAE＝52°＋20°＝72°，∴∠FED′＝108°－72°＝36°．

变式训练2：

(2016河北 3 分）如图，将ABCD沿对角线AC 折叠，使点 B 落在点B’处.若∠1=∠2=44°，则∠ B 为（）

第13 题图

A．66°B．104°C．114°D．124°

类型三：矩形折叠问题

例题3：（ 2016 贵州毕节 3 分）如图，正方形ABCD的边长

为

9，将正方形折叠，使顶点 D

落在BC边上的

点

E 处，折痕为GH．若BE： EC=2： 1，则线段CH的长是（）

A． 3 B ． 4 C ． 5 D． 6

【解析】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）．根据折叠的性质可得DH=EH，在直角△CEH中，若设CH=x，则 DH=EH=9﹣ x， CE=3cm，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长．

【解答】解：由题意设CH=xcm，则 DH=EH=（ 9﹣ x）cm，

∵BE：EC=2： 1，

∴ CE= BC=3cm

22 2

∴在 Rt△ ECH中， EH=EC+CH，

即（ 9﹣ x）2=32+x2，

解得： x=4，即 CH=4cm．

故选（ B）

变式训练3：

（ 2016 ·四川南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使 AB 与 DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点 D 落到 EF 上点 G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（）

A． 30°B． 45°C． 60°D． 75°

类型四：菱形折叠问题

例题 4：（ 2016·四川攀枝花）如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、 BD交于点 O，

折叠正方形纸片ABCD，使 AD落在 BD上，点 A 恰好与 BD上的点 F 重合，展开后折痕DE分别

交 AB、AC于点 E、 G，连结 GF，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；② tan ∠ AED=2；③ S△AGD=S△

OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤ BE=2OG；⑥若 S△OGF=1，则正方形ABCD的面积是6+4，其中

正确的结论个数为（）

A． 2 B ． 3 C ． 4 D． 5

【考点】四边形综合题．

【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ ADO=45°，又由折叠的性质，可求得

∠ ADG的度数；

②由 AE=EF＜ BE，可得 AD＞ 2AE；

③由 AG=GF＞ OG，可得△ AGD的面积＞△ OGD的面积；

④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF；

⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG；

⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥ GF， AB=GF，再由∠ BAO=45°，∠ GOF=90°可得出△

OGF时等腰直角三角形，由S△OGF=1求出GF的长，进而可得出BE及 AE 的长，利用正方形的面

积公式可得出结论．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ GAD=∠ ADO=45°，

由折叠的性质可得：∠ADG= ∠ ADO=22.5°，

故①正确．

∵由折叠的性质可得：AE=EF，∠ EFD=∠ EAD=90°，

∴AE=EF＜ BE，