鲁教版初中数学知识梳理

初中数学知识—（代数部分）目录：一、数及运算。

二、代数式。

三、方程。

四、不等式。

五、函数一、数及运算1—1数新的扩充初中一开始引入《负数》的概念，数的范围由零和正数（正整数和正分数），扩充到《有理数》，以后再引入《无理数》的概念，数的范围由有理数，扩充的《实数》（七册上）。

最后一次引入《虚数》的概念。

数的范围由实数扩充的《复数》。

这是高中学习的内容。

1—2实数的运算实数有六则运算：加、减、乘、除、乘方、开方。

其中减法运算的法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，这样加、减法看做同一种运算，它们满足：结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ） 交换律： a ＋b ＝b ＋a又除法的法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，这样把乘、除看做同一种运算。

它们满足：结合律： （a ·b ）·c ＝a ·（b ·c ） 交换律： a ·b ＝b ·a求n 个相同的因数a 的积的运算叫做乘方。

乘方的结果叫做幂。

n a 叫幂，a 叫底数。

N 叫指数 n n a a a a =⨯⋅⋅⋅⨯⨯开方的概念：如果nx＝α(n ＞1 是正整数)，已知α和指数n ，求底数x 的运方根的性质：①奇次方根：正数的奇次方根是正数。

3273=。

负数的奇次方根是负数。

3273-=-。

零的奇次方根是零003=。

②偶次方根：正数的偶次方根是两个互为相反的数。

162=x 则2164±=±=x 。

负数的偶次方根无意义。

零的偶次方根还是零。

③算术根：正数的正方根叫做算术跟。

n a ，（10 n a ⋅整数）。

零的算术根是零。

开平方（七册上）和平方根的概念要熟记，一个整数a 有两个平方根，记作±a ， 其中＋a 叫做算数平方根。

0的平方根是0，负数没有平方根。

开立方，正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。

1—3数轴和绝对值（六册上）数轴是有原点、长度单位、方向的直线。

任何实数都可以用数轴上的点来表示。

在数轴上比较两个实数的大小，右边的点表示的数，比左边的点表示的数大。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的一个点都表示一个实数。

就是说，实数和数轴上的点是一一对应的。

绝对值，几何意义是一个数所对应的点到原点的距离。

a ＝⎪⎩⎪⎨⎧-0a a000=a a a1—4近似数和有效数字（六册下）。

这部分内容要很好了解。

二、代数式代数式包括（1）整式，（2）分式，（3）根式。

2—1 整式包括单项式和多项式，有关概念要了解，单项式的次数、多项式的次数（六册下）2—2 整式的加减运算整式的加减运算满足结合律、交换律。

法则是：先去括号，再合并同类项。

合并同类项是整式的加减运算的核心。

2—3幂的运算同底数幂相乘： n m n m a a a +=⋅。

幂的乘方： ()mn nma a = 。

积的乘方： )(n n nb a b a ⋅=。

同底数幂相除： n m n m a a a -=÷ （0≠a ）。

负指数： pp a a 1=- （0≠a p 是正整数） 零指数： 10=a （0≠a ） 分数指数： n m nm a a= (0>a ，m ＞0,n ＞0)2—4整数的乘除运算整数的乘除运算包括：单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、单项式除以单项式、多项式除以单项式。

要熟记它们的运算法则。

以上运算满足，结合律，交换律，分配律。

要熟记乘法公式。

(a ＋b)(a －b)=a ²－b ²（a ＋b ）²=a ²＋2ab ＋b ² (a －b) ²=a ²－2ab ＋b ²(a ＋b) ³=a ³＋3a ²b －3ab ²＋b ³ (a －b) ³=a ³－3a ²b ＋3ab ²－b ³ (a ＋b)(a ²－ab ＋b ²)=a ³＋b ³ (a －b)(a ²＋ab ＋b ²)=a ³－b ³ 2—5分解因式把一个多项式化为几个整式的积的形式叫分解因式。

分解因式和乘法是互逆运算。

这是解一元二次方程的基本知识，必需熟练的掌握。

（1）提取公因式法例 －6m ³n ²－3m ²n ³＋12m ²n ²=－3m ²n ²﹙2m ＋n －4﹚注，第一项的符号为负时，将负号一起提出，使括号内第一项为正，但括号内各项都要变号。

公因式的系数应是各项系数的最大公约数，字母应提取各项相同字母的指数最低的。

（2）公式法例()()()()()()()()22223333232366y xy x y x y xy x y x y x y x y x y x +-+++-=+-=-=-例 222141 ⎝⎛⎪⎭⎫+=++x x x （3）十字相乘法二次三项式可以用十字相乘法。

例)()(151412020122-+=-+=++-y y y y y yyy 54×1-1（4）分组分解法对于多于三项的多项式，应先用分组分解法，再提取公因式，或用公式法。

例)()()()()(2222222222222222z y x z y x z y x z xz yz y xy x xz yz xy z y x ++=++++=+++++=+++++（按比例拆项法） 例)(())()())(()(()63226232126632122222323++-=-+-+-=-+-+-=-+x x x x x x x x x x x x x x x注，系数比为1：（-2）例()()()())()(()()()())(()[)]()([())]()()(())()()(11211211212122222222223322223232322334234-++=-++=+-++=+-++=--++=+-+-+++=+-+-+++=--++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x2—6分式（八册上） （1）概念除式中含有字母的有理式叫做分式。

例如，a b 2，251x x -+，分式的分母不能为0.基本性质：分式的分子和分母都乘以（或都除以）同一个不等于零的代数式，分式的值不变。

符号：分子、分母和分式本身的符号改变其中任何两个，分式的值不变。

最简分式:分子和分母没有公因式，这样的分式称为最简分式。

求代数式的值：一般先化简，再求值。

例 当x 取何值时，分式431312-+--x x x 有意义？它的值等于零？解：① 令0432=-+x x 及 01=-x由 0432=-+x x 得 11=x 或 342-=x由 01=-x 得 11=x∴当 1≠x 和 34-≠x 时，分式才有意义。

② 令分子为零，即0131=--x得 0131=---x x ， 整理有，014=--x x ，有4=x∴ 当 4=x 时，分子0131=--x ，而分母0432≠-+x x ，故4=x 时分式的值为零。

（2）分式的乘、除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置再与被除式相乘。

（3）分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再运算。

2—7二次根式（八册上）（1）带有二次根号的式子叫做二次根式。

如5，a ，3-x 。

（2）根式的性质： 基本性质 npmp n m a a =(0≥a ，m 、n 、p 都是正整数，并且)1>n 。

乘积的算术根 ()00≥⋅⋅≥=b a b a ab n n n分式的算术根 nn n ba b a=()0,0>≥b a根式的的乘方()()0≥=a a a n m mn根式的开方 n m m n a a ⨯= ()0≥a（3） 最简二次根式①被开方数的指数和根指数是互质数。

②被开方数的每一个因式的指数都小于根指数。

③被开方数不含分母。

例 化简610864dcb a 解：原式=3223643235432625432cd a d bc d d c b a d c b a d c b a ===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 同类根式：几个根式化成最简根式后，如果它们的被开方数相同，根指数也相同，这几个根式叫做同类根式。

（与根式前面的系数无关）同次根式：根指数相同的根式叫做同次根式。

（与被开方数无关） （4）根式的运算①根式的加、减法。

把各根式化成最简根式后，再合并同类根式。

②根式的乘、除法。

把各根式化成同次根式后，再应用公式()00≥⋅≥=⋅b a ab b a nnn，nnn baba = ()00b a ⋅≥④根式的开方。

应用公式（y x y x ≥⋅≥⋅≥00）（5）分母有理化把分母的根号化去，叫做分母有理化。

三、方程3—1、等式等式的概念：用一个等号连结两个代数式所成的式子叫做等式。

等式的性质：①等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。

②等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数）所得结果仍是等式。

3—2、一元一次方程（1）含有未知数的等式叫做方程。

能使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解。

含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。

求方程的解的过程叫做解方程。

（2）含有一个未知数且未知数的指数都是1的方程叫做一元一次方程。

（3）解一元一次方程，一般的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、把未知数的系数化为1.例 1615312=--+x x解：去分母，得 ()()615122=---x x 去括号，得 61524=+--x x移项， 得 12654-+=-x x 合并同类项，得7=-x方程两边同除以-1，得7-=x （4）列方程解应用题。

3—3 一元二次方程（1）一元二次方程的一般式：02=++c bx ax ()0≠a其中2ax 、bx 、c 分别称为一元二次方程的二次项、一次项、常数项。

a 、b 分别称为二次项、一次项系数。

（2）求根公式：02=++c bx ax ()0≠a aacb b x 242-±-=当a 、b 、c 是实数时，根的性质可由判别式Δ=ac b 42-来决定。

若Δ=ac b 42->0， 方程有两个不相等的实数根。

若Δ=ac b 42-=0, 方程有两个相等的实数根。