鲁教版初中数学知识梳理

初中数学知识—（代数部分）

目录：一、数及运算。二、代数式。三、方程。四、不等式。五、函数

一、数及运算

1—1数新的扩充

初中一开始引入《负数》的概念，数的范围由零和正数（正整数和正分数），扩充到《有理数》，以后再引入《无理数》的概念，数的范围由有理数，扩充的《实数》（七册上）。最后一次引入《虚数》的概念。数的范围由实数扩充的《复数》。这是高中学习的内容。

1—2实数的运算

实数有六则运算：加、减、乘、除、乘方、开方。其中减法运算的法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，这样加、减法看做同一种运算，它们满足：

结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ） 交换律： a ＋b ＝b ＋a

又除法的法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，这样把乘、除看做同一种运算。它们满足：

结合律： （a ·b ）·c ＝a ·（b ·c ） 交换律： a ·b ＝b ·a

求n 个相同的因数a 的积的运算叫做乘方。乘方的结果叫做幂。n a 叫幂，a 叫底数。N 叫指数 n n a a a a =⨯⋅⋅⋅⨯⨯

开方的概念：如果n

x

＝α(n ＞1 是正整数)，已知α和指数n ，求底数x 的运

方根的性质：

①奇次方根：正数的奇次方根是正数。3273=。负数的奇次方根是负数。

3273

-=-。零的奇次方根是零003=。

②偶次方根：正数的偶次方根是两个互为相反的数。162=x 则2164±=±=x 。负数的偶次方根无意义。零的偶次方根还是零。

③算术根：正数的正方根叫做算术跟。n a ，（10 n a ⋅整数）。零的算术根是零。

开平方（七册上）和平方根的概念要熟记，一个整数a 有两个平方根，记作±a ， 其中＋a 叫做算数平方根。0的平方根是0，负数没有平方根。开立方，正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。

1—3数轴和绝对值（六册上）

数轴是有原点、长度单位、方向的直线。任何实数都可以用数轴上的点来表示。在数轴上比较两个实数的大小，右边的点表示的数，比左边的点表示的数大。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的一个点都表示一个实数。就是说，实数和数轴上的点是一一对应的。

绝对值，几何意义是一个数所对应的点到原点的距离。

a ＝⎪⎩

⎪

⎨⎧-0a a

000=a a a

1—4近似数和有效数字（六册下）。这部分内容要很好了解。

二、代数式

代数式包括（1）整式，（2）分式，（3）根式。

2—1 整式包括单项式和多项式，有关概念要了解，单项式的次数、多项式的次数（六册下）

2—2 整式的加减运算

整式的加减运算满足结合律、交换律。法则是：先去括号，再合并同类项。合并同类项是整式的加减运算的核心。

2—3幂的运算

同底数幂相乘： n m n m a a a +=⋅。 幂的乘方： ()

mn n

m

a a = 。

积的乘方： )(n n n

b a b a ⋅=。

同底数幂相除： n m n m a a a -=÷ （0≠a ）。 负指数： p

p a a 1

=

- （0≠a p 是正整数） 零指数： 10=a （0≠a ） 分数指数： n m n

m a a

= (0>a ，m ＞0,n ＞0)

2—4整数的乘除运算

整数的乘除运算包括：单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式、单项式除以单项式、多项式除以单项式。要熟记它们的运算法则。以上运算满足，结合律，交换律，分配律。要熟记乘法公式。

(a ＋b)(a －b)=a ²－b ²

（a ＋b ）²=a ²＋2ab ＋b ² (a －b) ²=a ²－2ab ＋b ²

(a ＋b) ³=a ³＋3a ²b －3ab ²＋b ³ (a －b) ³=a ³－3a ²b ＋3ab ²－b ³ (a ＋b)(a ²－ab ＋b ²)=a ³＋b ³ (a －b)(a ²＋ab ＋b ²)=a ³－b ³ 2—5分解因式

把一个多项式化为几个整式的积的形式叫分解因式。分解因式和乘法是互逆运算。这是解一元二次方程的基本知识，必需熟练的掌握。

（1）提取公因式法

例 －6m ³n ²－3m ²n ³＋12m ²n ²=－3m ²n ²﹙2m ＋n －4﹚

注，第一项的符号为负时，将负号一起提出，使括号内第一项为正，但括号内各项都要变号。公因式的系数应是各项系数的最大公约数，字母应提取各项相同字母的指数最低的。

（2）公式法

例

()()()()()()()()

2

2

2

2

3

3

3

3

232

3

66y xy x y x y xy x y x y x y x y x y x +-+++-=+-=-=-

例 2

2

2141 ⎝⎛⎪⎭

⎫+=++x x x （3）十字相乘法

二次三项式可以用十字相乘法。 例

)()(151412020122-+=-+=++-y y y y y y

y

y 54×

1

-1

（4）分组分解法

对于多于三项的多项式，应先用分组分解法，再提取公因式，或用公式法。 例

)()()()()

(2

2

2

2222222222222z y x z y x z y x z xz yz y xy x xz yz xy z y x ++=++++=+++++=+++++

（按比例拆项法） 例

)(())

()())(()(()

63226232126632122

2

22323++-=-+-+-=-+-+-=-+x x x x x x x x x x x x x x x

注，系数比为1：（-2）

例

()(

)(

)())()(()()()(

)

)(()

[)]()([())]

()()(())()()

(1121121121212222222222332

2

2

2

3

232322334234-++=-++=+-++=+-++=--++=+-+-+++=+-+-+++=--++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

2—6分式（八册上） （1）概念