第3课--垂径定理及其推论幻灯片课件
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《垂径定理推论》课件
04
答案4
圆上一点P(a,b)到圆心的距离公 式为sqrt((a - h)^2 + (b - k)^2) 。解析：利用两点之间的距离公 式，我们知道点P到圆心的距离 等于点P的横坐标与圆心横坐标 之差的平方和加上点P的纵坐标 与圆心纵坐标之差的平方和的平 方根。
06
总结与展望
本节课的总结
知识要点回顾 垂径定理推论的基本概念和定理表述。
能力目标
能够运用垂径定理及其推 论解决实际问题，提高数 学应用能力。
情感态度与价值观
培养学生对数学的兴趣和 热爱，增强数学学习的自 信心和成就感。
02
垂径定理推论的基本概念
定义与性质
定义
垂径定理推论是关于圆的定理， 它描述了从圆心到圆上任一点的 连线（即半径）与通过该点的圆 的切线之间的关系。
性质
对定理的深入理解
定理的证明过程
深入理解垂径定理推论的证明过程，可以帮助我们更好地掌握其内涵和应用。通 过逐步推导和解析，可以更清晰地理解定理的逻辑和严密性。
定理的几何意义
垂径定理推论不仅是一个数学定理，还具有深刻的几何意义。通过图形演示和实 例分析，可以更直观地理解其在解决实际问题中的应用。
对定理的推广与改进
05
习题与解答
习题
题目1
题目2
若圆心到直线的距离为d，圆的半径为r， 则直线被圆所截得的弦长为多少？
已知圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，求圆 上一点P(a,b)到直线x=h的距离公式。
题目3
题目4
若直线l与圆相切于点A，且直线l的方程为 Ax + By + C = 0，求点A到直线l的距离公 式。
垂径定理推论在几何问题解决中的应用实例。
垂径定理优秀课件
思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系 时，弦AB有可能被直径CD平分？
（（对C如D2称1⊥））图轴A你这，B垂 平是，能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙？为所图是O理的E对中轴：一.有对的条垂哪称两弦直些图条，于相形弧作等吗弦直．的？的径线如直C段果D径，和是使平，分它弦的，并
弧？为什么？
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
（（对C如D2称1⊥））图轴A你这，B垂 平是，能个A什B垂分径发图是么足弦定现形⊙？为所图是O理的E对中轴：一.有对的条垂哪称两弦直些图条，于相形弧作等吗弦直．的？的径线如直C段果D径，和是使平，分它弦的，并
弧？为什么？
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
双基训练
4. 如图,将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧 恰好经过圆心，则折痕AB的长为( C )
A.2cm B. 3cm C. 2 3cm D. 2 5cm
5.已知点P是半径为5的⊙O内
O
的一定点，且OP=4，则过P
点的所有弦中，弦长可能取 A
B
的整数值为（ C ）
(4)平分弦所对的优弧
D
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(2）(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
垂径定理的几个基本图形：
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
C
D
B
O
A
C
O
C
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
C
A
O E
B
D C
A
O E
B
( )(1)垂直于弦的直线平分这条弦, 并且平分
弦所对的两条弧.
∴四边形ADOE为矩形，
AE
1 2
AC，AD
1 2
AB
又 ∵AC=AB
C
∴ AE=AD
E
·O
∴ 四边形ADOE为正方形.
A
D
B
在直径是20cm的⊙O中，A⌒B的度数是60˙，
垂径定理及其推论完整ppt课件
②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平 ②⑤ ①③④ 分弦和所对的另一条弧．
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦
③⑤ ①②④ ，并且平分弦所对的另一条弧．
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧精的品直课件线经过圆心，并且垂直平分弦．24
小练习 C
且平分弦所对的两条弧
已知：如图：AB是⊙O的一条弦.
C
求证CD：是A直M径=B,且MCDA⊥⌒CA=BB⌒,C垂, 足A⌒为DM=B.⌒D.
A
M└
●O
B
证明：连接OA,OB
∵OA=OB,OM⊥AB
符号语言： D
∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称.
如图∵ CD是直径,
∵⊙O关于直径CD对称,
CD⊥AB,
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
（1）下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
（2）你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
C
等量关系：
A M└ ●O
B
AM=BM
⌒⌒
AC =BC,
⌒⌒
AD =BD.
D
你能用一句话表达上述
结论吗？
精品课件
4
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过 圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．
精品课件
22
④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦
③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦
③⑤ ①②④ ，并且平分弦所对的另一条弧．
④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧精的品直课件线经过圆心，并且垂直平分弦．24
小练习 C
且平分弦所对的两条弧
已知：如图：AB是⊙O的一条弦.
C
求证CD：是A直M径=B,且MCDA⊥⌒CA=BB⌒,C垂, 足A⌒为DM=B.⌒D.
A
M└
●O
B
证明：连接OA,OB
∵OA=OB,OM⊥AB
符号语言： D
∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称.
如图∵ CD是直径,
∵⊙O关于直径CD对称,
CD⊥AB,
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.
（1）下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?
（2）你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说 说你的想法和理由.
C
等量关系：
A M└ ●O
B
AM=BM
⌒⌒
AC =BC,
⌒⌒
AD =BD.
D
你能用一句话表达上述
结论吗？
精品课件
4
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
③ 平分弦 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ④ 平分弦所对优弧
（5）平分弦并且平分弦所对的一条弧的直径过 圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ．
精品课件
22
④ 平分弦所对优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
① 直径过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦
垂径定理PPT演示课件
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条 弦所对的两条弧
如图 DC为直径 AB垂直于DC 则AE=EB 弧AC 等于弧BC，弧AD= 弧BD
•1
垂径定理证明
如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC，AB、CD 交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
连OA、OB ∵OA、OB是半径 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE
o
A
D
B
•6
已知如图：圆O中，0B=8, ∠B0C=450 ∠BCD=750 求DC=?
D
E
0
B
C
•7
小结
有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它 们构造的直角三角形来研究
连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助 线添法。
•8
【例题】
如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝ 2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，求：
（等腰三角形三线合一） ∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC
•2
垂径定理及其推论
一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③ 平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平 分弦所对的优弧。
这五个条件只须知道两个，即可得出另三 个注意Fra bibliotek平分弦时，直径除外
•3
判断
1.弦的垂直平分线一定经过圆心。 2.经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 3.平分弦所对的一条弧的直径，平分这条弦
（1）CD的长； （2）C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。
D
F
AG E O• H
B
C
•9
例1图
如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦 AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1， 则 AB2+CD2＝（ ）
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条 弦所对的两条弧
如图 DC为直径 AB垂直于DC 则AE=EB 弧AC 等于弧BC，弧AD= 弧BD
•1
垂径定理证明
如图 ，在⊙O中，DC为直径， AB是弦，AB⊥DC，AB、CD 交于E，求证：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD
连OA、OB ∵OA、OB是半径 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE
o
A
D
B
•6
已知如图：圆O中，0B=8, ∠B0C=450 ∠BCD=750 求DC=?
D
E
0
B
C
•7
小结
有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它 们构造的直角三角形来研究
连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助 线添法。
•8
【例题】
如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝ 2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，求：
（等腰三角形三线合一） ∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC
•2
垂径定理及其推论
一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③ 平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平 分弦所对的优弧。
这五个条件只须知道两个，即可得出另三 个注意Fra bibliotek平分弦时，直径除外
•3
判断
1.弦的垂直平分线一定经过圆心。 2.经过弦的中点的直径一定垂直于弦。 3.平分弦所对的一条弧的直径，平分这条弦
（1）CD的长； （2）C点到AB的距离与D点到AB的距离之比。
D
F
AG E O• H
B
C
•9
例1图
如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦 AB和CD，它们的交点E到圆心O的距离等于1， 则 AB2+CD2＝（ ）
浙教版九年级数学上册 3.3《垂径定理》(共20张PPT)
D
O
4、已知：如图在⊙O中，弦AB//CD。 求证：A⌒C=⌒BD
O
A
B
C
D
5.过已知⊙O内的一点A作弦,使A是该弦的中点, 然后作出弦所对的两条弧的中点
E
BC就是所要求的弦 点D,E就是所要求的弦 所对的两条弧的中点.
O
C
A
B
D
１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理． 2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明． 3．解题的主要方法：
（1）画弦心距和半径是圆中常见的辅助线； （2）半径（r)、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形 是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系： 弦长 AB2 r2d2.
1．若将一等腰三角形沿着底边上的高对折， 将会发生什么?
２．如果以这个等腰三角形的顶点为圆心， 腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图 形呢？
由垂径定理得:
AC=BC=1/2AB=0.5×16=8
10
由勾股定理得:
C
88
O C O B 2 B C 21 0 2 8 2 6
答:截面圆心O到水面的距离为6.
D
圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.
例如,上图中,OC的长就是弦AB的弦心距.
1、已知⊙O的半径为13cm，一条弦的弦心距为5cm， 求
C
AD
B
O
已知：如图，⊙O 的半径为2， AB为 弦，
OC ⊥AB OC交AB 于D ，AB = 3 ，求
CD.
C
AD
B
O
已知：如图，⊙O 中， AB为 弦，OC ⊥AB
OC交AB 于D ，AB = 6 ，CD = 1. 求⊙O 的半
垂径定理 推论.完整版PPT资料
随堂练习
试一试
例2、某居民区一处圆形下水管破裂，修理人
员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽
度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm,问 (2)直线MN垂直AB;
于是 弧AM＝弧BM， （）
(3)直线MN平分AB; 弧CM＝弧DM
修理人员应准备内径多大的管道？ 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
O
C
A
B
N
垂径定理三种语言：
文字语言 定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
如图∵ CD是直径,
C
CD⊥AB,
A M└
B
●O
∴AM=BM,
A⌒C =B⌒C,
A⌒D=B⌒D.
D
图形语言
几何语言
老师提示: 垂径定理是圆
中一个重要的 结论,三种语 言要相互转化, 数形结合,形 成整体,才能 运用自如.
解?答 MN是AB的垂直平分线
则有：
平变分式弦 二并：且你平能A分确C弦定所 对1的A一弧B条A弧B的的3 直圆0 ,线心经吗过？圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
D
2 平分(不是直径)弦的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧. ●作AB的O垂C直平分O线DCD。C D A O 1 0 .
如图,在下列五个条件中:
① CD是直径, ② CD⊥AB, ③ AM=BM,
④A⌒C = B⌒C,
⑤
⌒
AD
=
⌒
BD.
C
A M└
B
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.
●O
n 你可以写出相应的命题吗?
D
推论2.
垂径定理PPT课件(人教版)
37.4m
7.2m
A
C
D
B
R
O
ห้องสมุดไป่ตู้广探索 二
⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16， 且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
A C
B D
.
A
B
.
C
D
课堂小结
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
D
B
O
C
A
C
CB
D
A
O
O
C
B
• 两条辅助线：
半径 弦心距
A
• 一个Rt△：半径 半弦 弦心距
r2 d 2 (a)2 2
在⊙O中，直径CD⊥弦AB
A
① AB是直径 ② CD⊥AB
C
P
┗
D
③ CP=DP
可推得
④
⌒ AC
=
⌒ AD
O
⑤
⌒⌒ BC = BD
B
垂径定理的变式图形一
在⊙O中，半径 OB⊥弦CD
C
① OB是半径 可推得 ② OB⊥CD
③CP=DP,
④ ⌒BC=⌒BD.
O P
D
B
垂径定理的变式图形二
在⊙O中，OP⊥弦CD于P点 C
O P
D
① OP过圆心 ② OP⊥CD
可推得
③CP=DP,
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线 段或相等的圆弧
C
C
B
E
A
O
A
E
B
D C
O
A
E
B
D
A
7.2m
A
C
D
B
R
O
ห้องสมุดไป่ตู้广探索 二
⊙O半径为10，弦AB=12，CD=16， 且AB∥CD.求AB与CD之间的距离.
A C
B D
.
A
B
.
C
D
课堂小结
C
O
A
A
E
B
D
A
O
D
B
D
B
O
C
A
C
CB
D
A
O
O
C
B
• 两条辅助线：
半径 弦心距
A
• 一个Rt△：半径 半弦 弦心距
r2 d 2 (a)2 2
在⊙O中，直径CD⊥弦AB
A
① AB是直径 ② CD⊥AB
C
P
┗
D
③ CP=DP
可推得
④
⌒ AC
=
⌒ AD
O
⑤
⌒⌒ BC = BD
B
垂径定理的变式图形一
在⊙O中，半径 OB⊥弦CD
C
① OB是半径 可推得 ② OB⊥CD
③CP=DP,
④ ⌒BC=⌒BD.
O P
D
B
垂径定理的变式图形二
在⊙O中，OP⊥弦CD于P点 C
O P
D
① OP过圆心 ② OP⊥CD
可推得
③CP=DP,
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线 段或相等的圆弧
C
C
B
E
A
O
A
E
B
D C
O
A
E
B
D
A
《垂径定理》课件
答案：3cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再根据勾股定 理求解。
习题二
题目：已知圆O的半径为5cm，弦AB的长为6cm，则圆心O到弦AB的距 离为 _______．
答案：4cm
解析：根据垂径定理，圆心到弦的垂线段就是圆心到弦中点的距离，再 根据勾股定理求解。
习题三
01
02
CATALOGUE
垂径定理的表述
定理的文字表述
垂径定理
垂直于弦的直径平分该弦，并且 平分弦所对的两条弧。
解释
如果一条直径垂直于一条弦，那 么这条直径会平分这条弦，并且 平分弦所对的两条弧。
定理的图形表述
图形示例
可以画出一个圆和经过圆心的一条弦 ，然后画一条垂直于该弦的直径，用 以展示垂径定理。
03
这种方法需要学生掌握相似三角形的 性质和判定方法，适合数学基础较好 的学生理解和掌握。
04
CATALOGUE
垂径定理的应用
在几何作图中的应用
确定圆的中心
利用垂径定理，我们可以确定一个圆 的中心，只需在圆上任取两点，然后 通过这两点作垂直平分线，两条垂直 平分线的交点即为圆心。
作圆的切线
利用垂径定理，我们可以找到一个圆 的切线。在圆上任取一点，然后通过 这一点作圆的切线，切线与过圆心的 垂线交于一点，该点即为切点。
《垂径定理》ppt课 件
目录
• 引言 • 垂径定理的表述 • 垂径定理的证明 • 垂径定理的应用 • 垂径定理的变式 • 习题与解答
01
CATALOGUE
引言
什么是垂径定理
垂径定理
垂径定理是平面几何中一个重要的定理，它描述了垂直于弦的直径与弦之间的 关系。具体来说，如果一条直径垂直于一条弦，则这条直径将该弦平分，并且 平分该弦所对的弧。
垂径定理课件PPT
别忘记还有我哟！！
作业：
1、教材88页习题24.1
第 8题
；
2、教辅书48-51页
1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD,那 么C到AB的距离等于 1㎝或9㎝ 3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1㎝, 那么⊙O的半径为 5 Cm
③④
③⑤ ④⑤
①②⑤
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于 ①②④ 弦,并且平分弦所对的另一条弧. ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
一、判断是非： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径）， 那么这 条直线垂直这条弦。
●
B
∵ CD是直径, CD⊥AB, ∴AM=BM,
O
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ AC =BC, AD =BD.
D
引申定理
定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过 圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变 式： 一条直线具有：
经过圆心 垂直于弦
可推得
平分弦 平分弦所对的劣 （优）弧
在下列图形，符合垂径定理的条件吗？
5cm 的距离为3cm,则⊙O的半径为 .
2.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为 8cm，则这弓形所在圆的半径为 13cm .
C
A
C 4∟
O
·
3
B
8
A
D
12
O
B
(1)题
(2)题
方法归纳:
A
. O
垂径定理课件(26张PPT)冀教版数学九年级上册
知识点 2 垂径定理的推论
如图所示，在☉O中，直径CD与弦AB(非直径)相交于点E. C
【思考】
(1)若AE=BE，能判断CD与AB垂直吗？
O
AD 与 BD (或 AC 与 BC )相等吗？说明你的理由. A
EB
D
(2)若 AD = BD (或 AC =BC )，能判断CD与AB垂直吗？
AE与BE相等吗？说明你的理由.
C
O EB D
结论 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平 分这条弦所对的两条弧.
能不能用所学过的知识证明你的结论？
C
O
A
EB
D
已知：如图，在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且
CD⊥AB，垂足为E.
求证：AE=BE，AD BD，AC BC.
证明：如图，连接OA，OB.
C
在△OAB中，∵OA=OB，OE⊥AB， ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE. ∴ AD BD . ∵∠AOC=180°－∠AOE，∠BOC=180°－∠BOE，
解：(1)CD⊥AB，AD BD (或 AC BC ). C
理由：连接OA，OB，如图所示，则△OAB是等 腰三角形，
∵AE得 AD BD， AC BC .
A
EB
(2)CD⊥AB，AE=BE. 理由： ∵ AD BD，∴∠AOD=∠BOD， 又∵OA=OB，OE=OE， ∴△AEO≌△BEO，
A
E C
O
D
B
拓宽视野： 对于圆中的一条直线，如果具备下列五个条件中的任意两个， 那么一定具备其他三个： （1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（非直径）；（4） 平分弦所对的劣弧；（5）平分弦所对的优弧. 简记为“知二推三”.
垂径定理推论ppt课件
④A⌒C = B⌒C,
⑤
A⌒D
=
⌒
BD.
C
A
B
M└
●O
只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论.
D
精品课件
6
判断
⑴垂直于弦的直径线平分弦，并且平分弦所对的弧( × )
⑵弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心 (√ )
⑶圆的不与直径两垂条直直的径弦必不被这条直径平分 ( × ) 不是直径
⑷平分弦的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 (× )
⑸圆内两条非直径的弦不能互相平分（ √ ）
精品课件
7
（1）平分不弦是的直直径径，平分这条弦所对的弧。
（2）平分弦的直线，必定过圆心。
（3）一条直直径线平分弦（这条弦不是直径），那么这
条直线垂直这条弦。
A
C
C
C
O
D
(1) B
•O
A
B
(2) D
精品课件
•O
A
B
(3) D
8
1.平分弧的直线，平分这条弧所对的弦. 2.弦垂直于直径，这条直径就被弦平分. B•O来自DCA
(5)
精品课件
C
•O
E
A
B
D (6)
9
平分已知弧AB
已知：弧AB 求作：弧AB的中点
A
C
E
B
作法：
⒈ 连结AB.
⒉作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.
D
点E就是所求弧AB的中点。
⊙O的直径为15cm,则弦AB,CD间的距离为(
)C
A
C
A.1.5cm
B
D
O
《垂径定理》PPT教学课件
D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴
2.⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( C )
A.∠AOD＝∠BOD
B.AD＝BD
C.OD＝DC D.
AC BC
3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP＝4，则过点P的最
长弦的长是10，最短弦的长是
6 .
4.已知⊙O中，弦AB＝8 cm，圆心到AB的距离为3 cm，
28.4 垂径定理
学习目标
1.理解垂径定理的证明过程，掌握垂径定理及其
推论.（重点）
2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.（难点）
新课导入
操作：在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一
条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你
能得到什么结论？
问题 ：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
课堂小结
定 理
垂
径
定
理
推论
辅助线
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的弧
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
两 类 辅 助 线 ：
连半径，作弦心距
构造Rt△,利用勾股定理计算或建立方程
·O
A
E
D
B
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明
为什么？
C
C
A
O
C
B
O
A
A
E
D
是
B
不是，因为
没有垂直
O
O
E
是
B
A
E
D
B
不是，因为CD
2.⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论中错误的是( C )
A.∠AOD＝∠BOD
B.AD＝BD
C.OD＝DC D.
AC BC
3.半径为5的⊙O内有一点P，且OP＝4，则过点P的最
长弦的长是10，最短弦的长是
6 .
4.已知⊙O中，弦AB＝8 cm，圆心到AB的距离为3 cm，
28.4 垂径定理
学习目标
1.理解垂径定理的证明过程，掌握垂径定理及其
推论.（重点）
2.会用垂径定理进行简单的证明和计算.（难点）
新课导入
操作：在纸上画一个圆，并把这个圆剪下来，再沿着圆的一
条直径所在直线对折，重复做几次，你发现了什么？由此你
能得到什么结论？
问题 ：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
课堂小结
定 理
垂
径
定
理
推论
辅助线
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的弧
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.
两 类 辅 助 线 ：
连半径，作弦心距
构造Rt△,利用勾股定理计算或建立方程
·O
A
E
D
B
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明
为什么？
C
C
A
O
C
B
O
A
A
E
D
是
B
不是，因为
没有垂直
O
O
E
是
B
A
E
D
B
不是，因为CD
《垂径定理》优秀ppt课件-2024鲜版
《垂径定理》优 秀ppt课件
2024/3/27
1
目录
• 垂径定理基本概念与性质 • 垂径定理证明方法 • 垂径定理在几何问题中应用 • 垂径定理在代数问题中应用 • 垂径定理拓展与延伸 • 总结回顾与课堂互动环节
2024/3/27
2
01
垂径定理基本概念与性质
2024/3/27
3
垂径定义及性质
2024/3/27
01
02
03
利用圆的性质
通过圆的性质，如弦的中 垂线过圆心等，结合已知 条件进行推导。
2024/3/27
利用相似三角形
构造与垂径相关的相似三 角形，通过相似比和已知 条件进行证明。
利用勾股定理
在直角三角形中，利用勾 股定理和已知条件进行推 导和证明。
8
解析法证明
建立坐标系
以圆心为原点建立平面直角坐标系， 将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$ 。
20
拓展到非欧几里得几何中
非欧几里得几何概述
01
非欧几里得几何包括黎曼几何和罗巴切夫斯基几何等
，它们对平行线和垂直等概念有不同的定义和性质。
垂径定理在非欧几里得几何中的表现形式
02 在非欧几里得几何中，垂径定理可能不再适用，但可
以通过类似的方式定义和证明相应的定理。
非欧几里得几何中的应用举例
03
通过拓展垂径定理，可以研究非欧几里得几何中的曲
求解交点
联立垂径方程和圆的方程，求解交点 坐标，进而证明垂径定理。
垂径表示
设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示 为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(xx_1)$。
2024/3/27
1
目录
• 垂径定理基本概念与性质 • 垂径定理证明方法 • 垂径定理在几何问题中应用 • 垂径定理在代数问题中应用 • 垂径定理拓展与延伸 • 总结回顾与课堂互动环节
2024/3/27
2
01
垂径定理基本概念与性质
2024/3/27
3
垂径定义及性质
2024/3/27
01
02
03
利用圆的性质
通过圆的性质，如弦的中 垂线过圆心等，结合已知 条件进行推导。
2024/3/27
利用相似三角形
构造与垂径相关的相似三 角形，通过相似比和已知 条件进行证明。
利用勾股定理
在直角三角形中，利用勾 股定理和已知条件进行推 导和证明。
8
解析法证明
建立坐标系
以圆心为原点建立平面直角坐标系， 将圆的方程表示为$x^2+y^2=r^2$ 。
20
拓展到非欧几里得几何中
非欧几里得几何概述
01
非欧几里得几何包括黎曼几何和罗巴切夫斯基几何等
，它们对平行线和垂直等概念有不同的定义和性质。
垂径定理在非欧几里得几何中的表现形式
02 在非欧几里得几何中，垂径定理可能不再适用，但可
以通过类似的方式定义和证明相应的定理。
非欧几里得几何中的应用举例
03
通过拓展垂径定理，可以研究非欧几里得几何中的曲
求解交点
联立垂径方程和圆的方程，求解交点 坐标，进而证明垂径定理。
垂径表示
设垂径的两个端点分别为$(x_1, y_1)$ 和$(x_2, y_2)$，则垂径的方程可表示 为$y-y_1=frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(xx_1)$。
垂径定理ppt课件
28.4 垂径定理 *
28.4 垂径定理 *
● 考点清单解读
● 重难题型突破
■考点一
垂径定理
考
点
内容
清
单
解
读 垂直于弦的直径
平分这条弦，并
且平分这条弦所
对的两条弧
符号语言
图形
28.4 垂径定理 *
归纳总结
考
点
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直
清
单 线（线段），其本质是“过圆心”；（2）该定理中的弦为
［答案］ 解：在题图上连接 OA，∵⊙O 的直径 CD=20
考
点
清 ，0M∶OC=3∶5，∴OC=10，OM=6．∴OA=OC=10．∵AB⊥CD，
单
− =8，∴AB=2AM=16．
∴AM=
解
读
28.4 垂径定理 *
考
点
清
单
解
读
■考点二
垂径定理的推论
定义
内容
推
平分弦（不是直径）的
论
m；
28.4 垂径定理 *
（2）如答案图，过点 O 作 OH⊥FE，交 FE 的延长线
重
难
题 于点 H，由题意知 EF⊥AB，∴∠CEH=∠ECO=∠OHE=90°，
型 ∴ 四边形 OHEC 是矩形，∴OH=CE=BC-4=12 m ，OF = r =
突
破 20 m，在 Rt△OHF 中，HF= − =16m,∵HE=OC
）
C
突
破
A．5 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．10 cm
28.4 垂径定理 *
解题通法 解决此类问题的关键是从实际问题中抽象出
28.4 垂径定理 *
● 考点清单解读
● 重难题型突破
■考点一
垂径定理
考
点
内容
清
单
解
读 垂直于弦的直径
平分这条弦，并
且平分这条弦所
对的两条弧
符号语言
图形
28.4 垂径定理 *
归纳总结
考
点
（1）定理中的“垂径”可以是直径、半径或过圆心的直
清
单 线（线段），其本质是“过圆心”；（2）该定理中的弦为
［答案］ 解：在题图上连接 OA，∵⊙O 的直径 CD=20
考
点
清 ，0M∶OC=3∶5，∴OC=10，OM=6．∴OA=OC=10．∵AB⊥CD，
单
− =8，∴AB=2AM=16．
∴AM=
解
读
28.4 垂径定理 *
考
点
清
单
解
读
■考点二
垂径定理的推论
定义
内容
推
平分弦（不是直径）的
论
m；
28.4 垂径定理 *
（2）如答案图，过点 O 作 OH⊥FE，交 FE 的延长线
重
难
题 于点 H，由题意知 EF⊥AB，∴∠CEH=∠ECO=∠OHE=90°，
型 ∴ 四边形 OHEC 是矩形，∴OH=CE=BC-4=12 m ，OF = r =
突
破 20 m，在 Rt△OHF 中，HF= − =16m,∵HE=OC
）
C
突
破
A．5 cm
B．7 cm
C．8 cm
D．10 cm
28.4 垂径定理 *
解题通法 解决此类问题的关键是从实际问题中抽象出
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第3课--垂径定理及其推论
1. 如图，直径CD⊥AB，AB＝6，OE＝4，求⊙O的半径． 5
方法总结：构造由____半__径______、_____半__弦_____、____弦__心__距____ 组成的直角三角形，用_____勾__股__定__理_____求解．
2. 如图，半径OD⊥AB，弦AB＝16，CD＝4，求⊙O的半径.
∵ C为弦AB的中点， ∴ 半径OD⊥AB. ∴ AC＝1 AB＝ 1 ×10＝5. 连接 OA2，设OA＝2 OD＝x， 在Rt△OAC中，CO＝x－1， ∵ OC 2＋AC 2＝OA 2， ∴ (x－1)2＋52＝x2. ∴ x＝13. ∴ ⊙O半径为13.
6. 如图，D为»A B 的中点，⊙O半径为10，CD＝4，求AB的长． 16
菱形 提示：∵AC垂直平分OB, ∴AC⊥OB，PO＝PB. ∴PA＝PC. ∴四边形OABC为平行四边形. ∵AC⊥OB, ∴四边形OABC为菱形.
四、拓展提升
13．如图，在⊙O中，AB∥A′B′.求证 ¼ AA' B¼B'.
过O作OE⊥AB交AB于C，交A′B′于D，交⊙O于E，
∵AB∥A′B′
二、垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径________弦，并且________弦所对的弧． ∵________________， ∴________________
________________ ________________.
5. (例1)如图，C为弦AB的中点，CD＝1，AB＝10，求⊙O半径．
最大深度． 18 cm 提示：过O作OC⊥AB，垂足为C, 延长CO交⊙O于D. 在Rt△OBC中，OB＝13 cm BC＝ 1 AB＝12 cm
2
∴OC＝ 132 122 ＝5( cm) ∴最大深度CD＝OC＋OC垂直平分⊙O的半径OB，垂足为P，四边形OABC是 什么特殊的四边形？证明你的结论．
在Rt△OEF中
OE＝
1 2
OB＝1
∴∠OED＝30°.
∴OF＝ 1 OE＝ 1
在∵ROtF△⊥OC2DDF∴中CDD2 F＝＝2D2F2 ＝
1
2 1
2＝ 5
15 2
谢谢！
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
7. (例2)如图，AB为⊙O的直径，E为OB与CD的中点，CD＝4 3 ，
求⊙O的周长．连接OC，设OC＝OB＝x,
∵E为OB中点,
∴OE＝
1 2
x.
∵E为CD中点,
∴OE⊥CD，CE＝ 在Rt△OCE中,
1 2
CD＝2 3
OE＋EC2＝OC2
1 2
x2
(2
3)2 x2
x＝4.
∴⊙O周长＝2π·4＝8π.
8. 如图，∠A＝45°，C为⊙O的弦AB的中点，AB＝2，求⊙O 的面积． 2π
三、过关检测
第1关 9．如图，⊙O半径OA＝3，C为AB的中点，AB＝4，求OC.
5
10．如图，D为»A B 的中点，CD＝2，AB＝12，求⊙O的半径． 10
第2关 11. 如图，水管横截面⊙O半径为13 cm，水面宽AB＝24 cm，求水的
10
3. 如图，直径AB⊥CD，垂足为E，P为AB上任一点，求证PC＝PD. ∵ 直径AB⊥CD， ∴ EC＝ED. ∴∠PEC＝∠PED＝90°， 又 ∵PE＝PE. ∴△PEC ≌ △PED (SAS)． ∴PC＝PD.
4. 如图，CD为⊙O的直径，E为弦AB(不是直径)的中点，请问 CD与AB垂直吗？
∴OE⊥A′B′ ∴ E¼A' E¼B' ∵OE⊥AB ∴ E»A E»B ∴ E » AE ¼ A'E » BE ¼ B' ∴ ¼ AA' B¼B'
14. 如图，⊙O直径AB＝4，E为OB中点，∠OED＝30°，
求弦CD的长． CD＝ 1 5 提示：过O作OF⊥CD
连接OD，OB＝2.
∵E为OB中点， ∴OE＝1.
1. 如图，直径CD⊥AB，AB＝6，OE＝4，求⊙O的半径． 5
方法总结：构造由____半__径______、_____半__弦_____、____弦__心__距____ 组成的直角三角形，用_____勾__股__定__理_____求解．
2. 如图，半径OD⊥AB，弦AB＝16，CD＝4，求⊙O的半径.
∵ C为弦AB的中点， ∴ 半径OD⊥AB. ∴ AC＝1 AB＝ 1 ×10＝5. 连接 OA2，设OA＝2 OD＝x， 在Rt△OAC中，CO＝x－1， ∵ OC 2＋AC 2＝OA 2， ∴ (x－1)2＋52＝x2. ∴ x＝13. ∴ ⊙O半径为13.
6. 如图，D为»A B 的中点，⊙O半径为10，CD＝4，求AB的长． 16
菱形 提示：∵AC垂直平分OB, ∴AC⊥OB，PO＝PB. ∴PA＝PC. ∴四边形OABC为平行四边形. ∵AC⊥OB, ∴四边形OABC为菱形.
四、拓展提升
13．如图，在⊙O中，AB∥A′B′.求证 ¼ AA' B¼B'.
过O作OE⊥AB交AB于C，交A′B′于D，交⊙O于E，
∵AB∥A′B′
二、垂径定理的推论
平分弦(不是直径)的直径________弦，并且________弦所对的弧． ∵________________， ∴________________
________________ ________________.
5. (例1)如图，C为弦AB的中点，CD＝1，AB＝10，求⊙O半径．
最大深度． 18 cm 提示：过O作OC⊥AB，垂足为C, 延长CO交⊙O于D. 在Rt△OBC中，OB＝13 cm BC＝ 1 AB＝12 cm
2
∴OC＝ 132 122 ＝5( cm) ∴最大深度CD＝OC＋OC垂直平分⊙O的半径OB，垂足为P，四边形OABC是 什么特殊的四边形？证明你的结论．
在Rt△OEF中
OE＝
1 2
OB＝1
∴∠OED＝30°.
∴OF＝ 1 OE＝ 1
在∵ROtF△⊥OC2DDF∴中CDD2 F＝＝2D2F2 ＝
1
2 1
2＝ 5
15 2
谢谢！
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7. (例2)如图，AB为⊙O的直径，E为OB与CD的中点，CD＝4 3 ，
求⊙O的周长．连接OC，设OC＝OB＝x,
∵E为OB中点,
∴OE＝
1 2
x.
∵E为CD中点,
∴OE⊥CD，CE＝ 在Rt△OCE中,
1 2
CD＝2 3
OE＋EC2＝OC2
1 2
x2
(2
3)2 x2
x＝4.
∴⊙O周长＝2π·4＝8π.
8. 如图，∠A＝45°，C为⊙O的弦AB的中点，AB＝2，求⊙O 的面积． 2π
三、过关检测
第1关 9．如图，⊙O半径OA＝3，C为AB的中点，AB＝4，求OC.
5
10．如图，D为»A B 的中点，CD＝2，AB＝12，求⊙O的半径． 10
第2关 11. 如图，水管横截面⊙O半径为13 cm，水面宽AB＝24 cm，求水的
10
3. 如图，直径AB⊥CD，垂足为E，P为AB上任一点，求证PC＝PD. ∵ 直径AB⊥CD， ∴ EC＝ED. ∴∠PEC＝∠PED＝90°， 又 ∵PE＝PE. ∴△PEC ≌ △PED (SAS)． ∴PC＝PD.
4. 如图，CD为⊙O的直径，E为弦AB(不是直径)的中点，请问 CD与AB垂直吗？
∴OE⊥A′B′ ∴ E¼A' E¼B' ∵OE⊥AB ∴ E»A E»B ∴ E » AE ¼ A'E » BE ¼ B' ∴ ¼ AA' B¼B'
14. 如图，⊙O直径AB＝4，E为OB中点，∠OED＝30°，
求弦CD的长． CD＝ 1 5 提示：过O作OF⊥CD
连接OD，OB＝2.
∵E为OB中点， ∴OE＝1.