15.3典型例题解析

题型七学科综合
9、如图所示，DE是△ABC边AB的垂直平分线，分别交AB， BC于D，E，AE平分∠BAC，设∠B=x°，∠C=y°。 （1）求y随x变化的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）请讨论△ABC为等腰三角形时，∠B的度数。
解：
（2）显然AC≠BC,
（1）∵DE垂直平分AB， 若AB=AC，此时x=y，
4、如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接CD,BE.求证： CD=BE
题型四含30°的直角三角形性质的应用
5、如图所示，在△ABC中，AD交边BC于点D，∠BAD=15°， ∠ADC=4∠BAD,DC=2BD （1）求∠B的度数 （2）求证∠CAD=∠ABD
解：（1）∵∠BAD=15°，∠ADC=4∠BAD
∵DE∥AB
∴△EDC是等边三角形
∴∠EDC=∠B=60°
∴DE=CD
∵EF⊥DE
∵CD=2
∴∠F=90°-∠EDC
∴DE=2
=90°-60°=30°
∵EF⊥DE,∠F=30°
∴DE=½ DF
即DF=2DE=4
题型二等腰（等边）三角形判定的应用
2、如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别垂直AB，AC于 E,F连接EF，求证△AEF是等腰三角形。 证明：∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD 又∵DE,DF分别垂直AB、AC于E、F ∴∠AED=∠AFD=90° 又∵AD=AD ∴△AED≌△AFD ∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形
点F作DF∥BC，求证BD=DF；
题型九等腰三角形有关的一题多解
11、如图（1）所示，已知△ABC为等边三角形，延长BC到 D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，DE，求证ED=EC
证法1
证法2：过E作EF∥AC交BD延长线于F，如图（2） 所示，则△BEF为等边三角形，以下同证法1
（2）
题型十与等腰三角形有关的动态题
15.3等腰三角形
题型一求线段或角度
1、如图所示，在等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、 AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F。 （1）求∠F的度数， （2）若CD=2，求DF的长。
解：
（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°
（2）∵∠ACB=60°、∠EDC=60°
2
(2)△OMN是等腰直角三角形，
理由：∵AC=AB,OB=OC,∠BAC=90°
∴OA=OB,∠NAO=∠B=45°，
在△AON和△BOM中，AN=BM,∠OAN=∠B，OA=OB,
∴△AON≌△BOM，∴ON=OM，∠NOA=∠MOB,
∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM,
∴∠NOM=90°
∴AE=BE
即180-3x=x，解得x=45；
∴∠BAE=∠B=x°
若AB=BC，则此时2x=y
又∵AE平分∠BAC
即180-3x=2x解得x=36
∴∠BAC=2∠BAE=2x° ∴当△ABC为等腰三角形 ∴y=180-3x（0＜x＜180） 时，
∠B为45°或36°
题型八与等腰三角形有关的开放型试题
题型五等腰三角形中的分类讨论
6、等腰三角形的一个角为30°，求其他两角。 解：当30°的角为顶角时，其余两角为75°；当30°的角 为底角时，其余两角为30°；120°。 7、已知等腰三角形一边的长为4，另一边的长为9，求它 的周长。 解：①当以4为腰长时，底边长为9，∵4+4＜9，不能构成 三角形所以此情况不存在。 ②当以4为底边长时，腰长为9，此时4+9＞9，能构成三角 形，周长为4+9+9=22
题型三等腰（等边）三角形性质的应用
3、如图所示D是△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD 的中点，CF平分∠ACB交AB于F。求证CE⊥CF 证明：∵CA=CD,E是AD的中点 ∴∠ACE=∠DCE ∵CF平分∠ACB ∴∠ACF=∠BCF ∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180° ∴∠ACE+∠ACF=90°即∠ECF=90° ∴CE⊥CF
10、如图所示，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的 点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：① ∠ECO=∠DBO，②∠BDO=∠CEO, ③BE=CD，④OB=OC。 （1）上述四个条件中，哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有的情况）； （2）选（1）中的一种情形，求证△ABC是等腰三角 形。
题型六实际应用题
8、有一个三角形支架如图所示，AB=AC，小明过点A和BC 边的中点D又架了一个细木条，经测量∠B=30°，你在不 用任何测量工具的前提下，能得到∠BAD和∠ADC的度数吗？ 解：∵AB=AC，D是BC的中点 ∴∠B=∠C,∠BAD=∠CAD=½ ∠BAC,AD⊥BC 又∠BAC=180°-2∠B=120° ∴∠BAD=60°，∠ADC=90°
12、如图所示，在பைடு நூலகம்t△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点。
（1）写出O到△ABC三个顶点A，B，C距离之间的关系；
（2）如果点M,N分别在线段AB，AC上移动，移动中保持AN=BM,请 判断△OMN的形状，并证明你的结论。
（1）
（2）
解：(1)∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O为BC的中点，如图（1） 所示，连接OA，则△AOB和△AOC都是等腰直角三角形， ∴OA= 1 BC=OB=OC，即OA=OA=OC;
∴△OMN是等腰直角三角形。
题型十一与等腰三角形有关的操作题
13、在如图所示的正方形的网格图中各画一个等腰三角形， 要求每个等腰三角形的一个顶点为格点A，其余顶点从格 点B,C,D,E,F,G,H中选取，并且所画的两个三角形不全等。
题型十二有等腰三角形有关的探究题
14、（1）如图1所示，在△ABC中，∠ABC的平分线BF交AC于F，过
∴∠ADC=60°∠B=60°-15°=45° （（2）证明：过C作CE⊥AD于E，连接EB． ∵∠ECD=90°-60°=30° ∴DC=2ED， ∵DC=2BD， ∴ED=BD， ∴∠DBE=∠DEB=∠ECD=30°， ∴∠EBA=45°-30°=15°=∠BAD， ∴AE=EC=EB， ∴∠CAD=∠B=45°．