第六章 卡方测验及适合度检验

χ2应用于独立性测验(test for independence)，
主要为探求两个变数间是否独立。这是次数资料
的一种相关性研究。
假设H0：两个变数相互独立，对HA：两个变数彼
此相关。
2 当观察的χ2< a , 时，接受H0，即两个变数相互独立；
2 当观察的χ2≥ a , 时，否定H0，接受HA，即两个变数相关。
显著水平α=0.05。
测验计算
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在H0为正确的假设下，种子作灭菌处理的概率 为76/460；发病穗数的概率为210/460。因此， 任一经种子作灭菌处理而又发病的麦穗的概率 为p11=(76/460) ×(210/460)， 因此理论次数为：
χ2=0.2798
小于 0.05,1 ，所以接受H0。即认为观察次数
2
与理论次数相符，接受玉米F1代花粉粒碘反应比 率为1:1的假设。
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适合性检验 是检验实际观测数是否符合某种理论比 率的一种假设检验。在遗传学中，常用来检验杂交 后代的分离比例是否符合某种遗传定律，如孟德尔 的分离定律(3:1)、独立分配定律(9:3:3:1 )等。
5
适合性测验
适合性χ2测验的方法
次数分布的适合性测验
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6
适合性χ2测验的方法
适合性测验(test for goodness-of-fit):比较 实验数据与理论假设是否符合的假设测验。 现以玉米花粉粒碘染反应为例，予以说明：
玉米花粉粒碘反应观察次数与理论次数
2 0.05,1
自由度df的确定：因为每一行的各理论数 受该行总数约束，每一列的各理论数受该 列总数约束，所以df＝(2-1)(2-1)=1。
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20
2×c表的独立性测验
2×c表是指横行分为两组，纵行分为c≥3组 的相依表资料。其ν=(2-1)(c-1)>1，故无需作 连续性矫正。 ［例6.9］进行大豆等位酶Aph的电泳分析，193 份野生大豆、223份栽培大豆等位基因型的次数
23
假设H0：稻叶衰老情况与灌溉方式无关；对HA：稻叶衰老 情况与灌溉方式无关。取α=0.05。

2
(146 140.69) 140.69
2
2

(7 8.78) 8.78
2
2

(16 11.98) 11.98
2
5.62
0.05, 4 9.49, 现 5.62 0.05, 4 P 0.05
第六章 2)测验与拟合度检 卡平方(χ 验
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1
6.1卡平方(χ2)的定义与分布
适合性检验：检验实际观测数是否与某种 理论比率相符合。 独立性检验：通过检验实际观测数与理论 数之间的一致性来判断事件之间是否相互 独立。
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正常翅
实 际 数（O） 理 论 数（T） |O－T|－0.5 (|O－T|－0.5)2 (|O－T|－0.5)2/T 311 294 16.5 272.25 0.926
残翅
81 98 16.5 272.25 2.778
总数
392 392
312.75
2

2
101 104.25
104.25
2

2
108 104.25
104.25
32 34.75
34.75
0.016 0.101 0.135 0.218 0.470
4、推断：从附表6中查出23, 0.05＝7.815， H0的拒绝域 为2>7.815。由于实得2< 7.815 ，结论是接受H0，F2代 表现型符合9:3:3:1的分离比率。 [实例] 用正常翅的野生型果蝇与残翅果蝇杂交，F1代 均表现为正常翅。F1 代自交，在F2 代中有311个正常 翅和81个残翅。问这一分离比是否符合孟德尔3∶1的 理论比？
2 2
C
2

(| 50 41.3 | 0.5) 41.3
2
(| 200 208.7 | 0.5) 208.7
2
4.267
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查附表3，
2 2 3.84 现实得 C 4.267 0.05,1 故P<0.05，否定H0。即种子灭菌与否和散黑穗病 发病高低有关，种子灭菌对防治小麦散黑穗病 有一定效果。
[实例1] 检验黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交F2代表现型是否 符合9:3:3:1 的分离比例。
黄 圆 实测数(Oi) 理论数(Ti) Oi_ － Ti 315(O1) 312.75(T1) 2.25 黄 皱 101（O2） 104.25(T2) -3.25 绿 圆 108(O3) 104.25(T3) 3.75 绿 皱 32(O4) 34.75(T4) -2.75 总 计 556 556 0
2
χ2的定义一：
u u u u u (
2 2 1 2 2 2 i 2 n 2 i
yi i
若所研究的对象来自同一总体，则μi=μ，σi=σ,从而
(
2
i
)
2
Βιβλιοθήκη Baidu
yi

)
2
χ2分布图形为一组具有不同自由度ν值的曲线。 χ2值最 2 小为0，最大为+∞，因而在坐标轴的右边。附表6为χ2≥ p
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2 C
(| O E | 1 2) E
2
2
本例
C
2
(| 22.5 | 1 2) 3459.5

(| 22.5 | 1 2) 3459.5
2
0.2798
2 查附表3，当ν=k-1=2-1=1时，0.05,1 3.84 ，实得
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4、依所得概率值的大小，接受或否定无效 假设。若实 得 a ，否定H0；若实得
2 2 ,
a , 时，则 H0 被接受。
2 2
χ2分布是连续的，而次数资料则是间断的。 由间断性资料算得的χ2值有偏大的趋势 (尤其是在ν=1时)，需作连续性矫正。
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处理项目 种子灭菌
发病穗数 26(34.7)
未发病穗数 50(41.3)
总数 76
种子未灭菌
总数
184(175.3)
210
200(208.7)
250
384
460
H0：种子灭菌与否和散黑穗病病穗多少无关； HA：种子灭菌与否和散黑穗病病穗多少有关。
列于下表，试分析大豆Aph等位酶的等位基因频
率是否因物种而不同。
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物种
1 野生大豆 栽培大豆 总计 29(23.66) 22(27.34) 51
等位基因
2 68(123.87) 199(143.13) 267 3 96(45.47) 2(52.53) 98
碘反应 蓝色 非蓝色 观察次数(O) 3437(O1) 3482(O2) 理论次数(E) 3459.5(E1) 3459.5(E2) O-E -22.5 +22.5 (O-E)2/E 0.1463 0.1463
总数
6919
6919
0
0.2926
问：是否符合1:1？
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2×2表的独立性测验
2×2相依表是指横行和纵行皆分为两组的 资料。其ν=(2-1)(2-1)=1，计算的χ2值需 作连续性矫正。
［例］调查经过种子灭菌处理与未经种子 灭菌处理的小麦发生散黑穗病的穗数，得 相依表如下，试分析种子灭菌与否和散黑 穗病穗多少是否有关。
2
否定H0，接受HA。即不同物种Aph等位基因频率有显著相 关。
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r×c表的独立性测验
若横行分r组，纵行分c组，且r≥3，c≥3，则为r×c相 依表，其ν=(r-1)(c-1) ［例]下表为不同灌溉方式下水稻叶片衰老情况的调查资 料。试测验稻叶衰老情况是否与灌溉方式有关。
1、假设H0：F2代表现型符合9:3:3:1 的分离比例， 即H0：O－T＝0， HA：不符合
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2、显著水平：a =0.05 3、计算2值：由于k=4, df＝k-1=3，所以2值不需要 连续性矫正。

2

315 312.75
1、假设H0：正常翅与残翅的分离比符合理论比3∶1， HA：不符合 2、显著水平： a = 0.05 3、计算2值：由于自由度df＝k-1=1，所以2值需要连 续性矫正。2 = 0.926+2.778 = 3.704 4 、 推 断 : 从 附 表 6 中 查 出 df ＝ 1,20.05 ＝ 3.841, 实 得 2<20.05，结论是接受H0，即正常翅与残翅的分离比符 合理论比3∶1。
4
若所研究的总体μ不知，而以样本 y 代替，则

2
(

2
yi y

2
)
2 2 2
1

2
( yi y )
2

( n 1) s

s
χ2的定义二：
用于次数资料(计数资料)分析的χ2公式：

2
(O E ) E
2
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独立性测验
独立性检验 是通过检验实际观测数与理论 数之间的一致性来判断事件之间的独立性。 这种检验也叫列联表2检验。 2×2表的独立性测验 2×c表的独立性测验
r×c表的独立性测验
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时的右尾概率表。
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3

2

i 1
k
Oi Ti
Ti
2
1899年统计学家K.Pearson发现上式服从自 由度df＝k-1-a的2分布，所以定义该统计 量为2。 k为类型数或组数；a为需由样本估计的参 数的个数。
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= (76/460) ×(210/460) ×460=34.7
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用同样的方法算出其余的理论次数，并将 其写入上表的括号中。
(| 26 34.7 | 0.5) 34.7 (| 184 175.3 | 0.5) 175.3
灌溉方式 深水 浅水 湿润 总计 绿叶数 146(140.69) 183(180.26) 152(160.04) 481 黄叶数 7(8.78) 8(11.24) 14(9.98) 30 枯叶数 7(10.53) 13(13.49) 16(11.98) 36 总计 160 205 182 547
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总计
193 223 416
假设H0：等位基因频率与物种无关；对HA：不同物种等位 基因频率不同。 显著水平α=0.05

2
( 29 23.66) 23.66
2

(68 123.87) 123.87
2
2

( 2 52.53) 52.53
2
2
154.02
0.05,2 5.99; 现实得 154.02 0.05,2 ; P 0.05
1、设立无效假设，即假设观察次数与理论 次数的差异由抽样误差所引起。本例H0：花 粉粒碘反应比例为1:1与HA：花粉粒碘反应 比例不成1:1。
2、确定显著水平α=0.05。 3、在无效假设为正确的假设下，计算超过 观察χ2值的概率。试验观察的χ2值愈大， 观察次数与理论次数之间相差程度也愈大， 两者相符的概率就愈小。