2020年欧洲女子奥林匹克数学竞赛
奥林匹克数学竞赛试题
奥林匹克数学竞赛试题一、问题描述奥林匹克数学竞赛被广泛认为是世界上最具挑战性的数学竞赛之一。
这个国际性的竞赛每年都吸引了来自世界各地的数学好手参与。
在为期两天的竞赛中，选手们需要面对一系列难度高、逻辑复杂的数学题目。
本文将给出一些典型的奥林匹克数学竞赛试题，旨在帮助读者了解奥林匹克数学竞赛的难度与风格。
这些试题涵盖了数论、代数、几何、概率等多个数学领域，每个试题都要求解题者具备深入的数学思维和分析能力。
二、试题一：数论问题：证明：存在无限多个素数，使得p和2p+1都是素数。
解答提示：在数论中，关于素数的问题一直是热门研究领域。
本题要求证明存在无限多个素数，同时使得p和2p+1都是素数。
首先，我们可以尝试通过假设存在有限个这样的素数来推导出矛盾的结论，从而推断存在无限多个这样的素数。
三、试题二：代数问题：已知a，b，c是实数，且满足abc = 1。
证明：a² + b² + c² ≥ ab + bc + ac。
解答提示：这是一个代数学中的不等式证明题。
首先，利用已知条件abc = 1，可以尝试将不等式中的二次项化简为一次项，进而简化证明过程。
四、试题三：几何问题：平面上有一个三角形ABC，过点A作边BC的垂线交BC于点D，过点B作边AC的垂线交AC于点E，过点C作边AB的垂线交AB于点F。
证明：三角形DEF的内心和三角形ABC的内心重合。
解答提示：这是一个几何学中的证明题。
我们可以利用几何图形的性质，如垂线的性质、三角形内心的定义等，来研究三角形DEF和三角形ABC的关系。
五、试题四：概率问题：有一枚袋中有10个红球和10个蓝球。
现从袋中无视颜色连续取5个球，记该过程为一次实验。
试计算：至少有一种颜色的球被取到的概率。
解答提示：这是一个概率学中的计算题。
我们可以利用概率的计算公式和排列组合的知识，计算至少有一种颜色的球被取到的概率。
六、总结本文给出了一些典型的奥林匹克数学竞赛试题，涵盖了数论、代数、几何和概率等多个数学领域。
wmo世界奥林匹克数学竞赛试题四年级
wmo世界奥林匹克数学竞赛试题四年级WMO世界奥林匹克数学竞赛是一项国际性的数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
以下是一些适合四年级学生的数学竞赛题目：1. 加法与减法：- 题目：小明有35个苹果，他给了小红15个，然后又从小红那里拿回了5个，请问小明现在有多少个苹果？- 解答：小明开始有35个苹果，减去给小红的15个，剩下20个。
再拿回5个，所以小明现在有20 + 5 = 25个苹果。
2. 乘法与除法：- 题目：一个班级有40名学生，老师要将他们分成若干个小组，每组有相同数量的学生。
如果每组有5名学生，那么可以分成多少个小组？- 解答：40名学生除以每组5名学生，可以分成40 ÷ 5 = 8个小组。
3. 几何问题：- 题目：一个正方形的边长是10厘米，求这个正方形的周长和面积。
- 解答：正方形的周长是边长乘以4，所以周长是10 × 4 = 40厘米。
面积是边长的平方，所以面积是10 × 10 = 100平方厘米。
4. 逻辑推理：- 题目：有5个盒子，编号为1到5。
每个盒子里都装有不同数量的球，分别是1个，2个，3个，4个，和5个。
现在知道盒子1和盒子2里球的总数是4个，盒子3和盒子4里球的总数是7个。
请问盒子5里有多少个球？- 解答：盒子1和2的球总数是4个，盒子3和4的球总数是7个。
因为总共有15个球（1+2+3+4+5），所以盒子5里的球数是15 - 4 -7 = 4个。
5. 数列问题：- 题目：一个数列的前5项是2, 4, 8, 16, 32。
请问这个数列的第6项是什么？- 解答：这个数列是2的幂次方数列，每一项都是前一项的2倍。
所以第6项是32 × 2 = 64。
6. 时间与日期：- 题目：小明的生日是2月29日，他每4年才过一次生日。
如果他今年12岁，请问小明出生在哪一年？- 解答：小明每4年过一次生日，所以他的生日是在闰年。
国际数学奥林匹克竞赛
1894年组织的数学竞赛
01 历史起源
03 竞赛介绍 05 历届赛事
目录
02 赛事历程 04 主试委员会 06 历届冠军
国际数学奥林匹克竞赛，英文名：International Mathematical Olympiad，简称：IMO。“数学奥林匹克” 的名称源自苏联，其将体育竞赛、科学的发源地——古希腊和数学竞赛相互关联。在20世纪上半叶，不同国家相 继组织了各级各类的数学竞赛，先在学校，继之在地区，后来在全国进行，逐步形成了金字塔式的竞赛系统。从 各国的竞赛进一步发展，自然为形成最高一层的国际奥林匹克竞赛创造了必要的条件。
经过40多年的发展，国际数学奥林匹克的运转逐步制度化、规范化，有了一整套约定俗成的常规，并为历届 东道主所遵循。
赛事历程
2023年3月31日，经过两轮的集训与选拔，2023年中国数学奥林匹克国家队队员前6候选名单确定。
竞赛介绍
Байду номын сангаас
目的 时间
主办 对象
试题
考试
奖励
激发青年人的数学才能；引起青年对数学的兴趣；发现科技人才的后备军；促进各国数学教育的交流与发展。
历届冠军
(1977-2019) 1977:美国 1982:西德 1983:西德 1987:罗马尼亚 1988:苏联 1989:中国 1990:中国 1991:苏联 1992:中国 1993:中国
谢谢观看
1、选定试题； 2、确定评分标准； 3、用工作语言准确表达试题，并翻译、核准译成各参加国文字的试题； 4、比赛期间，确定如何回答学生用书面提出的关于试题的疑问； 5、解决个别领队与协调员之间在评分上的不同意见； 6、决定奖牌的个数与分数线。
历届赛事
奥林匹克数学竞赛知识
奥林匹克数学竞赛知识国际数学奥林匹克作为一项国际性赛事，由国际数学教育专家命题，出题范围超出了所有国家的义务教育水平，难度大大超过大学入学考试。
以下是由店铺整理关于奥林匹克数学竞赛知识的内容，希望大家喜欢!奥林匹克数学竞赛奖项介绍国际奥林匹克数学竞赛是国际青少年数学大赛，在世界上影响非常之大。
国际奥林匹克竞赛的目的是：发现鼓励世界上具有数学天份的青少年，为各国进行科学教育交流创造条件，增进各国师生间的友好关系。
这一竞赛1959年由东欧国家发起，得到联合国教科文组织的资助;第一届竞赛由罗马尼亚主办，1959年7月22日至30日在布加勒斯特举行，保加利亚、捷克斯洛伐克，匈牙利、波兰、罗马尼亚和苏联共7个国家参加竞赛。
以后国际奥林匹克数学竞赛都是每年7月举行(中间只在1980年断过一次)，参赛国从1967年开始逐渐从东欧扩展到西欧、亚洲、美洲，最后扩大到全世界。
2013年参加这项赛事的代表队有80余支。
美国1974年参加竞赛，中国1985年参加竞赛。
经过40多年的发展，国际数学奥林匹克的运转逐步制度化、规范化，有了一整套约定俗成的常规，并为历届东道主所遵循。
国际奥林匹克数学竞赛由参赛国轮流主办，经费由东道国提供;但旅费由参赛国自理。
参赛选手必须是不超过20岁的中学生，每支代表队有学生6人;另派2名数学家为领队。
试题由各参赛国提供，然后由东道国精选后提交给主试委员会表决，产生6道试题。
东道国不提供试题。
试题确定之后，写成英、法、德、俄文等工作语言，由领队译成本国文字。
主试委员会由各国的领队及主办国指定的主席组成。
这个主席通常是该国的数学权威。
奥林匹克数学竞赛委会职责1)、选定试题;2)、确定评分标准;3)、用工作语言准确表达试题，并翻译、核准译成各参加国文字的试题;4)、比赛期间，确定如何回答学生用书面提出的关于试题的疑问;5)、解决个别领队与协调员之间在评分上的不同意见;6)、决定奖牌的个数与分数线。
wmo世界奥林匹克数学竞赛试题八年级
wmo世界奥林匹克数学竞赛试题八年级WMO世界奥林匹克数学竞赛是一项国际性的数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
以下是一套模拟的WMO世界奥林匹克数学竞赛试题，适用于八年级学生：一、选择题（每题3分，共15分）1. 若\( a \)和\( b \)互为相反数，\( c \)和\( d \)互为倒数，且\( a \)和\( b \)的绝对值相等，求下列表达式的值：\[ \frac{1}{2}ab + cd \]A. 0B. 1C. -1D. 无法确定2. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 83. 一个数的平方根是4，这个数是多少？A. 16B. -16C. 正负16D. 正负44. 一个圆的直径是14厘米，求这个圆的面积。
A. 38.5平方厘米B. 153.94平方厘米C. 69.08平方厘米D. 98.16平方厘米5. 一个数列的前三项分别是1，2，3，如果每一项都是前一项的两倍，那么第10项是多少？A. 1024B. 2048C. 4096D. 8192二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的立方根是2，这个数是________。
7. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是________或________。
8. 一个长方体的长、宽、高分别是2厘米、3厘米和4厘米，它的体积是________立方厘米。
9. 一个分数的分子是7，分母是12，化简后的分数是________。
10. 一个正整数，如果它是3的倍数，同时也是5的倍数，那么这个数至少是________。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 =\frac{n^2(n+1)^2}{4} \)。
12. 一个长方体的长、宽、高分别是\( l \)、\( w \)和\( h \)，如果长方体的表面积是\( S \)，求长方体的体积。
wmo世界奥林匹克数学竞赛试题六年级
wmo世界奥林匹克数学竞赛试题六年级WMO世界奥林匹克数学竞赛是一项国际性的数学竞赛，旨在激发学生对数学的兴趣，培养他们的数学思维和解决问题的能力。
以下是一些适合六年级学生的WMO数学竞赛试题：1. 数字填空题：- 题目：在数列 2, 4, 6, 8, __ 中，下一个数字是什么？- 解答：这是一个简单的等差数列，公差为2。
下一个数字是 8 +2 = 10。
2. 图形推理题：- 题目：观察下列图形序列，找出规律并填写缺失的图形。
图形序列：△, □, ○, △, □, __- 解答：这是一个交替出现的图形序列，缺失的图形是圆形（○）。
3. 逻辑推理题：- 题目：如果所有的猫都怕水，而小明的宠物是一只猫，那么小明的宠物怕水吗？- 解答：根据题目中的条件，小明的宠物是一只猫，而所有的猫都怕水，所以小明的宠物也怕水。
4. 数学应用题：- 题目：小明有3个苹果，他给了小华2个苹果，然后又买了4个苹果，现在小明有多少个苹果？- 解答：小明原本有3个苹果，给了小华2个，剩下3 - 2 = 1个。
然后他又买了4个，所以现在他有 1 + 4 = 5个苹果。
5. 几何题：- 题目：一个正方形的边长是5厘米，它的周长是多少？- 解答：正方形的周长是边长的四倍，所以周长是 5 × 4 = 20厘米。
6. 概率题：- 题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，是红球的概率是多少？- 解答：总共有8个球，其中5个是红球。
所以取出红球的概率是5/8。
7. 计算题：- 题目：计算下列表达式的值：(12 + 8) × (15 - 9)- 解答：首先计算括号内的值，12 + 8 = 20，15 - 9 = 6。
然后计算乘积，20 × 6 = 120。
8. 组合问题：- 题目：一个班级有20名学生，如果老师需要从这20名学生中选出5名代表，有多少种不同的选择方式？- 解答：这是一个组合问题，计算公式为C(n, k) = n! / [k! × (n - k)!]，其中 n = 20，k = 5。
《中等数学》2020年总目次
2020年第12期49《中等数学》2020年总目次I M O快讯(10.封底）数学活动课程讲座.初中.初中数学竞赛中的组合最值问题解法举例(钟志强6-2)完全平方数的性质及其应用(李昌勇刘应成6-7)•高中•一些关于无穷多个素因子的问题（吴宇培丨*2) “线性化”在多元不等式证明与最值求解中的应用(唐智逸茹双林2-2)数学竞赛中两种不等式基本思想的应用(缠祥瑞3*2)数学竞赛中的复数问题（唐立华 4.27-2)数学竞赛中组合几何问题的常见解法(程振峰李宝毅5-2)递归计数的六种方式（冯跃峰8-2)圆锥曲线几个结论的证明与应用（金荣生9-2)数学竞赛中数列不等式的常见解法举例(王逸凡王彬瑶10-2)数论中的升幂引理及其应用（王永喜丨卜2)对应思想在组合问题中的应用（缠祥瑞12-2)命题与解题数学命题中的“抱残守缺”（陶平生I*7)例谈不等式题的命制方法（张端阳卜1丨）两道赛题的创作思路、答题情况及启示(林天齐何忆捷熊斌2-8)开世定理的推广与应用（李庆圣2，12)老题新芽别样趣味（肖恩利陈博文3-6) 2019年全国高中数学联赛加试第三题的改进(晏兵川赵凌燕3*13)一道罗马尼亚竞赛题的分析与推广(朱华伟邱际春4‘7)一道高中数学竞赛题的探讨(邱慎海沈家书4’11)一道集训队选拔考试题的推广（李伟健4*14)一道不等式赛题的演变与推广(邱际春朱华伟郑焕5-9)利用抽屉原理证明三道竞赛题（隋婷婷5*11)一道数学竞赛题的推广（林根 5 •13)一道中国北方数学奥林匹克试题的引申(赵凌燕隋世友6‘11)判别式在不定方程中的应用（雷勇7-9)三道国外竞赛题的简解（姚先伟于娟7 •12)两道数学竞赛题的分析与推广(邱际春朱华伟8‘12)与三角形的内切圆有关的一个性质及相关性质和命题（李庆圣一道印度赛题的解题思考（李明谈谈数学竞赛中的数学期望（吴宇培关于一道数论题的思考（李彬解题小品—投石问路（陶平生利用复数证明竞赛题（刘东华华洁一道东南赛题与2020年高中联赛数论题的渊源（陶平生一道高中联赛题的推广与变形（王若飞9.9)9.16)10.11)10-13)11.7)11-11)12.7)12.9)赛题另解(1-154-155-157-1310-15)2020年全年高中数学联赛加试题另解(李庆圣杨续亮刘晓理等12-13)专题写作一类麦比乌斯反演问题及其应用（刘志乐2•15)多项式根的倒数和问题求解（梅述恩 3 •17)一个与多项式相关的不等式（刘亮赵斌5*18)高斯整数在数学竞赛中的应用（古德麟 7_15)一道北方希望之星数学夏令营试题的拓展第29届南美洲数学奥林匹克(8.36) (贾秀平段敏敏11-14)2020年全国高中数学联赛浙江赛区预赛(9-20)学生习作2020年全国高中数学联赛重庆赛区预赛(9-25)2018中国香港代表队选拔考试(9-28)论局部调整法的妙用(阮书镐4-17)2018中美洲及加勒比地区数学奥林匹克(9-32)构造表格探究一类数的分布(徐博润6-18)第61届I M O试题(10-16)一种证明三元齐次不等式的方法(王一鹏8.16)2020年全国高中数学联合竞赛(10-17)两道罗马尼亚大师杯赛题的另解(严彬玮9-18)第17届中国东南地区数学奥林匹克(10-25)竞赛之窗第61届I M O试题解答(11-18)第16届中国东南地区数学奥林匹克2019中国数学奥林匹克希望联盟夏令营(1.29 2.30第30届亚太地区数学奥林匹克第35届中国数学奥林匹克2019年全国高中数学联赛四川赛区预赛第三届中国北方希望之星数学夏令营2019青少年数学国际城市邀请赛2019年全国高中数学联赛江苏赛区预赛2019美国数学竞赛（八年级）2019年北京市中学生数学竞赛复赛（高一）2019年全国高中数学联赛吉林赛区预赛第六届伊朗几何奥林匹克2019年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛第12届罗马尼亚大师杯数学邀请赛2020美国数学竞赛（十、十二年级）2018爱沙尼亚国家队选拔考试（初中）2018荷兰数学奥林匹克（初中）2019马其顿数学奥林匹克（初中）2019巴尔干地区数学奥林匹克（初中）2〇19希腊数学奥林匹克（初中）2019希腊国家队选拔考试（初中）2019年全国高中数学联赛贵州赛区预赛2019年全国高中数学联赛重庆赛区预赛第83届莫斯科数学奥林匹克（7,29 2020欧洲女子数学奥林匹克2019年全国高中数学联赛广西赛区预赛2019美国国家队选拔考试第60届I M O预选题(11-2212-20) 0-17)2019亚太地区数学奥林匹克(11-32) 3-33)第19届中国女子数学奥林匹克(11-36)首届百年老校数学竞赛(12-30) (1*35)(2.18)2019瑞士数学奥林匹克（初赛）(12-37) (2.25)再品佳题(2-36)(3.20)第二届国际大都市竞赛（数学）(1-38) (3-27)第32届北欧数学竞赛(2-39) (4.21)2018瑞士数学奥林匹克（预赛）(3-39)(4.26)课外训练(4-29)(4.34).初中.(5.20)(186罗家亮 6.34187 李铁汉汪波 6 •(5.27)39 188 谢文晓9.34189 陈迁赵手志(5-32)王祥10.38)(6.20).高中■(6.23)(247 巢中俊 1.41 248王永中2•41 249 (6.28)于现峰 3.41250王永喜4■41251 刘(6-30)小杰宛昭勋5‘42252杨运新6•42 253 (6.31)李潜7 41254徐节槟龙崎钢8-40(6.33)255何忆捷9.39256李培臣谭祖春郝(7.20)泽来10.42 257 胡满11.42258褚小光(7-26)田开斌12.39)8.29)(7.36)(8.20)(8.24)数学奥林匹克问题(1-48 2-47 3.474-475-48 6.477.488.469-4610-48 11-48 12-46)。
李耀文——2020-2021越南数学奥林匹克平几题部分解答
李耀文——2020-2021越南数学奥林匹克平几题部分解答
李耀文老师近期文章
2021-01-31 2019最终数学杯（高级组）第1题解答2021-01-30 2020荷兰IMO代表队选拔考试平几题解答2021-01-28 2020圣诞节特别几何奥林匹克第1题解答2021-01-27 2020南非数学奥林匹克第5题解答2021-01-25 2020SDPC冬季赛第3题解答2021-01-22 2019秘鲁EGMO选拔赛第2题解答2021-01-20 2020北马其顿‘’亚历山大-布拉泽夫斯基-凯恩‘’纪念赛（第一天）第1题解答2021-01-18 2020年泰国TSTST(第一场第一天)第1题解答2021-01-16 2019年巴尔干数学奥林匹克预选赛（几何组）第2题
解答2021-01-15 2020年拉脱维亚波罗的海数学竞赛代表队选拔赛（第二天）第12题解答2021-01-11 2020阿根廷数学奥林匹克（第一天）第3题解答2021-01-09 2020年环球城市秋季赛（A水平10-11年级）第3题解答2021-01-05 2020泰国数学奥林匹克（第二天）第6题解答2021-01-04 2020泰国数学奥林匹克（第一天）第4题解答2020-12-27 2020年第九届欧洲数学杯（初级组）第1题解答2020-12-24 2020年第九届欧洲数学杯（高级组）第1题解答2020-12-23 2020哈佛-麻省数学竞赛冬季赛（综合赛)第7题解答2020-12-22 2020第34届韩国国家数学奥林匹克（第二轮)第6题解答2020-12-17 2020荷兰IMO代表队选拔考试（第一天）第1题解答2020-12-15 2019最终数学杯（高级组）第1题解答。
2020年国际数学奥林匹克(IMO)全部试题解答
2020年第61届国际数学奥林匹克（IMO）全部试题解答海亮高级中学高三康榕博高二陈昶旭第一天第1题. 考虑凸四边形ABCD. 设P 是ABCD 内部一点. 且以下比例等式成立:∠PAD:∠PBA:∠DPA＝1: 2 :3＝∠CBP:∠BAP:∠BPC.证明: ∠ADP 的内角平分线、∠PCB 的内角平分线和线段AB 的垂直平分线三线共点.证明：如图，设∠PAD＝α,∠PBC＝β,则∠ABP＝2α,∠BAP＝2β, ∠APD＝3α,∠BPC＝3β,取△ABP外心O, 则∠AOP＝4α＝π－∠ADP∴A, O, P, D共圆.∴∠ADO＝∠APO＝∠PAO＝∠PDO∴OD平分∠PDA.同理, OC平分∠PCB.而O为△ABP外心, 显然在AB中垂线上.故∠PDA平分线, ∠PCB平分线, AB中垂线均过点O.证毕.第2题. 设实数a, b, c, d 满足a ≥b ≥c ≥d > 0, 且 a + b + c + d = 1. 证明:(234)1a b c d a b c d a b c d +++<. 证明: 由加权AM －GM 不等式, 我们有2222a b c d a b c d a a b b c c d d a b c d <⋅+⋅+⋅+⋅=+++ 故只需证明22223(234)()()cyca b c d a b c d a ++++++<∑ (*)注意到332()36cyc cyc sym cyca a ab abc =++∑∑∑∑, 及32222cyca ab ad a a ++≥∑2232222222cyca b ab b bc bd b a ++++≥∑2222233333cyca cbc ac cd c a +++≥∑22234444cyc a d a b abd acd bcd d a ++++≥∑∴ (*)成立. 故原不等式成立.第3题. 有4n 枚小石子, 重量分别为1, 2, 3, . . . , 4n. 每一枚小石子都染了n 种颜色之一, 使得每种颜色的小石子恰有四枚. 证明: 我们可以把这些小石子分成两堆, 同时满足以下两个条件:• 两堆小石子有相同的总重量;• 每一堆恰有每种颜色的小石子各两枚.证明: 引理:将n 种颜色的点个4个两两分组, 则可取n 组使得每种颜色的点各2个.即证: n 阶4-正则图G(不一定简单)必有2-正则生成子图. n ＝1, G 为v 的2个自环, 成立.设0n n ≤成立, 则01n n =+时:若G 有点含两自环或有两点含4重边, 对其余部分用归纳假设,该部分取1自环或2重边即可.下设无这样的结构.若G 含三重边,设x,y 间有三条边, 且,(,)xu yv G u y v x ∈≠≠. 考虑将x,y 去掉, 并添入边uv 得到图G ’. 由归纳假设, 图G ’有2-正则生成子图, 若该图含添入的边 uv, 删去该边并加入ux, xy, yv 即可. 若不含, 加入xy, xy 即可.下设无三重边.显然G 有圈. 设最小圈为121,,...,t x x x x . 由G 无2自环,3重边知01t n <+, i x 有两边不指向12,,...t x x x . 设这两边指向,i i u v ，以下下标模t.在G 中删去点12,,...t x x x 并加入边1(1)i i i e u v i t +=≤≤得到G’. 由归纳假设, G ’有2-正则子图G 1.对1≤i ≤t, 若1i e G ∈, 则选择G 中的边11,i i i i x u x v ++, 若1i e G ∉, 则选自1i i x x +, 其余边按G 1中边选择, 则选出的边即为G 的2-正则生成子图的边集.结论成立.回到原题. 将重量为{,41}k n k +-的小石子分为一组.(12)k n ≤≤, 由引理可取n 组使每种颜色的小石子恰2个. 这2n 个分为一组, 其余分为一组, 此即满足条件的分法, 命题成立.第二天第4题. 给定整数n > 1. 在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站. 有两家缆车公司A和B, 各运营k辆缆车; 每辆从一个车站运行到某个更高的车站(中间不停留其他车站). A 公司的k辆缆车的k个起点互不相同，k个终点也互不相同, 并且起点较高的缆车，它的终点也较高. B公司的缆车也满足相同的条件. 我们称两个车站被某个公司连接，如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站(中间不允许在车站之间有其他移动). 确定最小的正整数k, 使得一定有两个车站被两个公司同时连接.解: 由题意得, 每个缆车与1或2个缆车相连. (否则有两辆缆车起点不同, 终点相同)∴A, B各自的缆车线路图可划分为若干个链.注意到每条链长度大于等于2, 且首尾两点不能作为终点和起点, 故恰有2n k-条链.若21k n n≥-+, 则A最多由n－1条链.由抽屉原理, 其中至少有一条链上有221nnn⎡⎤=+⎢⎥-⎢⎥个点, 设为P. 而B仅有n－1条链, 故P上一定有两个点同时在B 的一条链上, 则这两点可被两个公司同时连接.另一方面, 2k n n=-时, 记2n个车站高度排序为21,2,...n (从低到高)令A的2n n-辆缆车为2(1)i n i i n n→+≤≤-令B的2n n-辆缆车为21(11,|)i i i n n i→+≤≤-/易见此时任两个车站不能被两个公司同时相连.2 min 1k n n∴=-+.第5题. 有一叠n > 1张卡片. 在每张卡片上写有一个正整数. 这叠卡片具有如下性质：其中任意两张卡片上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值.确定所有的n, 使得可以推出这叠卡片上的数均相等? 解: 设这n 张卡片上的数为1212,,....(...)n n x x x x x x ≤≤. 若12gcd(,,...)1n x x x d =>, 用i x d 代替i x , 不影响结果. 故不妨设12gcd(,,...)1n x x x =.由题意得, 1,2i jx x i j n +∀≤≤≤为代数整数.则2|i j i x x x +⇒模2同余. 又12gcd(,,...)1n x x x =, 故i x 全为奇数.任取一个素数p, p ≥3.记{|1,|},{|1,|}i i i i A x i n p x B x i n p x =≤≤=≤≤/ 则对,,2x y x A y B +∀∈∈不为p 的倍数. 设121(...)2k k i i i x y x x x +=, 则121|(...)2k k i i i x y p x x x +=/ ∴对1,j i j k x B ∀≤≤∈.max 2i i x B x y x ∈+∴≤. 取max ,max i i i i x A x B x x y x ∈∈==, 则max max i i i i x A x B x x ∈∈≤若1n x ≠, 取n x 的奇素因子p, 由12gcd(,,...)1n x x x =知, i ∃, 使|i p x /.取0max{|1,|}i i i i n p x =≤≤/, 由上述结论知0n i x x ≤, 则o n i x x =. 又0|,|i n p x p x /, 矛盾!1n x ∴=. 则1,1i i n x ∀≤≤=.∴对任意n ≥2, 卡片上的所有数均相等.第6题. 证明: 存在正常数c 具有如下性质:对任意整数n > 1, 以及平面上n 个点的集合S, 若S 中任意两点之间的距离不小于1，则存在一条分离S 的直线ℓ, 使得S 中的每个点到直线ℓ 的距离不小于13cn -.(我们称直线ℓ分离点集S, 如果某条以S 中两点为端点的线段与ℓ 相交.)证明: 以每个点为圆心,12为半径作圆, 则这些圆两两公共部分面积为0.引理1: 对凸多边形P, 其内部最多由421s l π++个点在S 中,其中s,l 代表P 的面积和周长. 证明: 如图, 将P 的每条边往外侧平移12, 并以P 上每个点为圆心, 12为半径作圆, 拓展区域面积为124l π+. ∴P 内部最多1422414S l s l πππ+++=+个点. 现在对于一条直线l, 作S 中每个点在l 上的投影. 任取相邻两个投影点, 则这两点连线的中垂线分离点集S, 且所有的到该直线的距离≥12投影点距离.设S 的直径为D, 则可作一个以D 为边长的正方形覆盖S. 由引理1, 122481()D Dn D n π++≥⇒=Ω 设P,Q ∈S, PQ ＝D. 将PQ 作为上述l, 记我们所能做到的使每个点到一条直线的距离均不小于该数的最大值为d.由于仅与夹角有关, 故d 存在.而l 上除P,Q 外有n －2个投影点.2(1)2D D d n n∴≥>-. 又12()D n =Ω, 故12()d n -=Ω. 需证明13()d n -=Ω .取点集S 的凸包P. 若一直线过P 上一点且使得S 中所有点都在该线一侧, 我们认为其亦分离S. 称其为支撑边. 对于任一常数C, 作两条平行的距离为C 的直线, 满足这两条直线分离S. 作他们的垂线l, 设这个带状区域内有m 个S 中的点, 则11c c d m m d≥⇒≥-+. 不妨设(1)d o =, 则可以认为m 远远大于1. 为使m 尽量小, 应取两直线其中之一为支撑边.∴现在对于一条分离S 的直线l, 设l 与P 围成的区域内部有B 个点. P 中与l 距离最近的点到l 距离为0s , 则01s d B ≥+ (以下用≥代表数量级估计) 我们证明d≥从而311D d n D n ≥⋅= 则13()d n -=Ω. 如图, P 夹在这样一个区域里, 取XY 上一点Z, 使得0YZ s =. 过Z 作MN ⊥XY , 点M,N 在以X 为圆心, D 为半径的圆上. 则B ≤YMN 内S 中点的个数.不妨设XY 为x 轴, 对YMN 内任意两点1122(,),(,)x y x y , 221201212||,()()1x x s x x y y -≤-+-≥, 则12||1y y B -≥⇒≤+.而MN =02s d MN∴≥=+由于0(1)s =Θd ∴≥, 则13d n -≥, 即13()d n -=Ω证毕.。
国际奥林匹克数学竞赛
奥林匹克数学竞赛对选手未来发展的影响
奥林匹克数学竞赛为选手提供了展示自己才能的平台
• 竞赛成绩优秀的选手可以获得名校的青睐和奖学金
• 选手在竞赛中的表现可以为自己的职业发展增加筹码
奥林匹克数学竞赛培养了选手的团队合作精神
• 竞赛过程中，选手需要与队友保持良好的沟通和协作
• 选手在培训过程中需要不断挑战自己，提高解题水平
奥林匹克数学竞赛对选手心理素质的提升
奥林匹克数学竞赛锻炼了选手的心理承受能力
• 竞赛过程中，选手需要面对压力和挑战，调整好自己的心态
• 选手在竞赛中需要保持冷静和自信，发挥出自己的最佳水平
奥林匹克数学竞赛培养了选手的意志力
• 选手在培训过程中需要克服各种困难，不断提高自己的水平
• 竞赛为数学教育改革提供了有益的借鉴和经验
奥林匹克数学竞赛对人才培养模式的探索
奥林匹克数学竞赛培养了具有创新能力的人才
• 竞赛鼓励选手寻求新的解题方法，培养创新思维
• 选手在培训过程中需要不断挑战自己，提高解题水平
奥林匹克数学竞赛培养了具有团队协作能力的人才
• 竞赛过程中，选手需要与队友保持良好的沟通和协作
• 选手在培训过程中可以学习到团队合作和领导力
05
国际奥林匹克数学竞赛的教育意义与价值
奥林匹克数学竞赛对数学教育的推动作用
奥林匹克数学竞赛提高了数学教育的地位
奥林匹克数学竞赛推动了数学教育的发展
• 竞赛吸引了全球范围内优秀的数学教师和选手
• 竞赛促使各国加大对数学教育的投入和支持
• 竞赛为数学教育提供了一个交流和学习的平台
• 选手在培训过程中可以学习到团队合作和领导力
奥林匹克数学竞赛对社会公平与进步的意义
2018年度国外数学竞赛试题翻译汇编
wmo世奥赛第15届全国复赛3年级试卷
-------------------装----------------------订----------------------线---------------------第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛全国总决赛------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------三年级复赛试卷（本试卷满分120分，考试时间90分钟）21.下面是智昊和秀妍发短信的内容。
智昊：“你能记住自己的座位号码吗？咱俩挨着呢……”秀妍：“我坐在最右边，是30几号。
”智昊：“哦，那我的座位号就是XX。
”以下是剧场的位置分布图，根据此图求出智昊的座位号。
（12分）22.亮亮有两条彩带，每条长40厘米。
其中一条被分成相等的四份，另一条被分成相等的五份。
亮亮用这两条彩带拼成了下面这个图形：亮亮拼出的这个图形的总长度是多少？（12分）23．一列火车共10节，每节长5米，每两节之间相距1米，这列火车以每分钟20米的速度通过101米长的隧道，需要多少分钟？（12分）24.10名同学到某旅游景点参观，该景点的门票全票每人10元，并且实行如下规则：若购买1张全票，其他人可享受9折优惠；若购买2张全票，其他人可享受8折优惠；若购买3张全票，其他人可享受7折优惠；……以此类推，若购买9张全票，其他人可享受1折优惠。
这10名同学的门票总共至少要多少元？（12分）25.下图中第（1）个图形中有1个小三角形，第（2）个图形中有4个小三角形，第（3）个图形中有9个小三角形，根据这些图形中小三角形的规律，请回答：（1）第（5）个图形中有多少个小的三角形？（2）前6个图形中共有多少个小的三角形？（12分）（1）（2）（3）剧场位置分布图……第15届WMO 全国总决赛3年级复赛答案21.最右边的号从7开始，每增加一排，座位号就增加7。
国际数学奥林匹克竞赛及中国参赛的成绩
英才苑高中奥林匹克数学网第一讲国际数学奥林匹克竞赛及中国参加国际数学奥林匹克的成绩一、国际数学奥林匹克的由来与现状数学离不开解题，进行解题比赛的活动几百年前就已经有了，古希腊有解几何难题比赛的记载；16世纪，在意大利有过关于口吃者塔塔利亚求解三次方程的激烈竞争；17世纪，不少数学家喜欢提出一些问题，向其他数学家挑战，法国的费马是其中的佼佼者，他提出的费马k定理向人类的智慧挑战了三百年（已由美国普林斯顿大学教授，英国数学家安德鲁·外尔斯（A. wiles）于（995年解决）；18世纪，法国曾经进行独立数学竞赛；19世纪，法国科学院以悬赏的方式征求对数学难题的解答，常常获得一些重要的数学发现，数学王子高斯就是比赛的优胜者。
上述种种赛事都是在成人之间进行的，而专门以十几岁中学生为对象的数学竞赛则是现代的时尚，人们一致认为，现代意义下的中学生数学竞赛起源于匈牙利。
1894年，匈牙利数学物理协会通过了在全国举办中学数学竞赛的决议，并从1894年起，每年10月举行，（中间因两次世界大战中断了6年，又因1956年政治事件停止了一年。
继匈牙利之后，罗马尼亚于1902年首先由《数学杂志》组织竞赛。
1934年苏联在列宁格勒大学（今圣彼得堡）主办了中学生数学奥林匹克，并首次把数学竞赛与公元前776年古希腊的奥林匹克体育运动联系起来；1935年又由莫斯科大学主办了中学生数学奥林匹克，以后逐年举行，1962年扩大到整个苏联。
自此以后世界各地开始举办中学生数学竞赛时间和比赛举办地如下表（这时是国家和地区的比赛，还不是世界数学比赛）的罗曼教授的积极活动，1956年，东欧国家正式确定了开展国际数学竞赛的计划。
第一届IMO 于1959年7月在罗马尼亚古都布拉索举行。
从第一届到第五届参赛国仅限于东欧几个国家，到20世纪60年代末才逐步扩大成真正全球性的中学生数学竞赛。
1980年，国际数学教育委员会决定成立IMO 分委员会（1981年4月正式成立），使得IMO 逐步规范化。
奥林匹克数字：挑战数学竞赛
奥林匹克数字：挑战数学竞赛数学是一门广受欢迎的学科，被誉为智力的测验场所。
奥林匹克数字竞赛是全球范围内备受关注的数学竞赛之一。
作为一项具有挑战性的比赛，它旨在培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
本文将介绍奥林匹克数字竞赛的历史背景、竞赛形式和它对学生的重要性。
一、历史背景奥林匹克数字竞赛（简称ODC）创立于1988年，最初由美国麻省理工学院数学系的教授和学生们发起。
最初的目的是为麻省理工学院的学生提供一个进行深入数学探索和思维训练的平台。
随着时间的推移，ODC逐渐发展成为一项全球性的竞赛活动，吸引了世界各地的学生参与。
二、竞赛形式奥林匹克数字竞赛的形式主要分为个人赛和团体赛。
个人赛是每个参赛学生展示个人才华和数学能力的机会。
赛题旨在考察学生在数学领域的全面素质，包括逻辑推理、证明能力和问题解决能力。
而团体赛则是通过学生之间的合作解决困难的数学问题，培养学生的团队合作精神和集体荣誉感。
三、对学生的重要性参加奥林匹克数字竞赛对学生的成长与发展有着重要的作用。
首先，竞赛提供了一个提高数学技能和知识的平台。
比赛中的复杂问题需要学生不断探索和学习，从而提高他们解决问题的能力。
其次，竞赛激发了学生对数学的兴趣和热爱。
通过挑战自己和与他人竞争的过程，学生们能够体验到数学的魅力和乐趣。
此外，参与奥林匹克数字竞赛的学生通常具备较强的逻辑思维和解决实际问题的能力，这些能力对他们未来的学习和职业发展都具有重要意义。
四、成功的关键因素要在奥林匹克数字竞赛中取得成功，学生们需要具备一些关键因素。
首先，学生需要坚定的数学基础知识和技能。
只有通过深入学习和实践，才能够掌握数学的核心概念和解决问题的方法。
其次，学生需要培养自己的逻辑思维和推理能力。
数学竞赛中的难题需要学生灵活运用逻辑和推理，从而找到解决问题的突破口。
此外，培养良好的学习习惯和高度的自律精神也是取得成功的关键。
五、结语奥林匹克数字竞赛是一项有益于学生数学能力培养的竞赛活动。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年欧洲女子奥林匹克数学竞赛
题1.一列正整数a 0,a 1,a 2，……a 3030满足对任意n=0,1,2,……,3028都有
2a n+2=a n+1+4a n
证明：a 0,a 1,a 2，……a 3030至少有一个数可以被22020整除。
题2.求所有满足下列三个条件的非负实数组(x 1,x 2，……，x 2020):
1.x 1≤x 2≤……≤x 2020；
2.x 2020≤x 1+1；
3.存在(x 1,x 2，……，x 2020)的一个置换(y 1,y 2，……，y 2020)满足:
题3.设 ABCDEF 是一个凸的六边形,满足∠A=∠C=∠E ，∠B=∠D=∠F
并且∠A 、∠C 、∠E 的内角平分线交于一点。
证明:∠B,∠D,∠F 的内角平分线也交于一点。
题4.如果数组（1,2,……，m ）的一个置换满足:
1. 不存在任何一个正整数k<m 使得这个置换中的前k 个数字刚 好是按某种顺序排列的1,2,…,k 。
那么我们称这个置換为“新鲜的”,设m f 是所有（1,2,……，m ）的新鲜的置换的种数。
证明:对任何n ≥3都有1-•≥n n f n f
题5 在△ABC 中,∠BCA>90°,△ABC 的外接圆的半径为R.在线段AB 中有一点P ，满足PB=PC,具PA=R.记D 、E 为PB 的垂直分线与△ABC ()()[]∑∑===++202013
202012811i i i i i x y x
的外接圆的两个交点。
证明:P是△CDE的内心。
题6 设m>1是一个整数,数列a1,a2，a3……定义为a1=a2=1，a3=4且对任意n≥4都有
a n =m(a n-1+a n-2)-a n-3
求所有使得这个数列中每个项都是平方数的m。