2020年欧洲女子奥林匹克数学竞赛

2020年欧洲女子奥林匹克数学竞赛

题1.一列正整数a 0,a 1,a 2，……a 3030满足对任意n=0,1,2,……,3028都有

2a n+2=a n+1+4a n

证明：a 0,a 1,a 2，……a 3030至少有一个数可以被22020整除。

题2.求所有满足下列三个条件的非负实数组(x 1,x 2，……，x 2020):

1.x 1≤x 2≤……≤x 2020；

2.x 2020≤x 1+1；

3.存在(x 1,x 2，……，x 2020)的一个置换(y 1,y 2，……，y 2020)满足:

题3.设 ABCDEF 是一个凸的六边形,满足∠A=∠C=∠E ，∠B=∠D=∠F

并且∠A 、∠C 、∠E 的内角平分线交于一点。

证明:∠B,∠D,∠F 的内角平分线也交于一点。

题4.如果数组（1,2,……，m ）的一个置换满足:

1. 不存在任何一个正整数k

证明:对任何n ≥3都有1-•≥n n f n f

题5 在△ABC 中,∠BCA>90°,△ABC 的外接圆的半径为R.在线段AB 中有一点P ，满足PB=PC,具PA=R.记D 、E 为PB 的垂直分线与△ABC ()()[]∑∑===++202013

202012811i i i i i x y x

的外接圆的两个交点。

证明:P是△CDE的内心。

题6 设m>1是一个整数,数列a1,a2，a3……定义为a1=a2=1，a3=4且对任意n≥4都有

a n =m(a n-1+a n-2)-a n-3

求所有使得这个数列中每个项都是平方数的m。