第11章 无穷级数补充题答案

§11-1

1．判断级数1

11

(1)2n n n -∞

-=-∑的收敛性，若收敛求其和．

解：考虑级数的部分和

111

11

1

1()(1)12()12212

n

i n n

i n i i i s ---==---==-=

+∑

∑ 由于

1

1()2

2lim lim

13

12

n n n n s →∞→∞--==+， 故该级数收敛，且其和为2

3

.

2．判定级数1

31

3n n n ∞

=-∑的收敛性．

解：31

lim lim 103

n n n n n u →∞→∞-==≠

通项不以0为极限，从而该级数发散． 3

．判断级数1)n n ∞

=∑的收敛性．

解：n a n ==

由于1

lim 02

n n a →∞

=

≠不满足级数收敛的必要条件，所以级数发散. §11-2

1．判定级数11

4sin

8

n n n ∞

=∑的收敛性． 解：因为 1

4tan

8lim

148n n n n n

→∞

=，

而级数1141

()82

n n n n n ∞

∞

===∑∑收敛，根据比较审敛法的极限形式知此级数收敛．

2．判断级数1

tan n

n n n n π∞

=⎛

⎫ ⎪⎝⎭∑的收敛性．

解：因为lim lim (tan )lim ()0n n n n n n n n u n n n n

ππ

→∞→∞→∞===∞≠，所以通项不以0为极限，

从而级数发散．

3．判断级数2

1

15n n n n n ∞=+⎛⎫

⎪⎝⎭∑

的收敛性．

解：因为1()lim 155

n

n n n n e n →∞+===<，所以根据根值审敛法知此级数收敛．

４．判断级数是条件收敛还是绝对收敛 (1)

1

3

2

1

(1)ln n n n ∞

-=-∑； 解：因为∑∞

=22

ln 1n n 发散，而∑∞

=--2

21

ln 1)1(n n n 为交错级数，其收敛，所以此级数是条件收敛． (2)

n

n n

n π

πsin

1

)1(2

1

∑∞

=--．

解：因为1

1

|

sin |n

n

n

π

π

π

≤

，而级数2

1

n

n π

∞

=∑

收敛，所以此级数是绝对收敛．

(3)

1

n n q ∞

=∑q 为常数．

解：令n n u q =，

当||1q >，则1||

lim

||1||n n n

u q u +→∞=>，lim ||0n n u →∞≠，级数发散.

当||1q <，则1||

lim ||1||n n n

u q u +→∞=<，1||n n u ∞

=∑收敛.

当1q =，因在n →∞

时，~

n u =，故1

n n u ∞=∑

与1

n ∞

=∑

都发散.

当1q =-，||n u 递减且lim 0n n u →∞

=，

1

n

n u

∞

=∑收敛，但1

||n n u ∞

=∑发散.

所以，当(,1)[1,)q ∈-∞+∞ ，1

n n u ∞

=∑发散；当11q -<<，1

n n u ∞

=∑绝对收敛；

当1q =-，1

n

n u

∞

=∑条件收敛.

5．设级数∑∑∞

=∞

=1

1

,n n n n b a 都发散，且各项不为负数，考虑下列两级数1

min(,)

n n n a b ∞

=∑及1

max(,)n n n a b ∞

=∑的敛散性．

解：1min(,)n n n a b ∞

=∑可能收敛也可能发散。例如，11(1)2n n ∞

=+-∑及1

1(1)2n

n ∞

=--∑皆发

散，但是1min(,)00...0...n n n a b ∞==++++∑收敛. 又如, 11n n ∞

=∑及11

2n n ∞=∑皆发散, 但是

111

min(,)2n n n n a b n

∞

∞

===∑∑

也发散. 1max(,)n

n

n a b ∞

=∑一定发散. 事实上,

max(,)0n n n a b a ≥≥, 而1

n n a ∞

=∑发散, 故级数

1

max(,)n

n

n a b ∞

=∑也发散.

6．设级数2

21

1

, n

n

n n a b ∞∞==∑∑都收敛，试证明1

n n n a b ∞

=∑必绝对收敛，其逆定理是否成立？

为什么？

证明：已知2

211, n

n

n n a b ∞

∞

==∑∑都收敛，则必22

11()2

n n n a b ∞

=+∑收敛，

由于221()||2n n n n a b a b +≥，由比较判别法知1

||n n n a b ∞=∑收敛，由此证得1

n n n a b ∞

=∑绝对收敛.

其逆定理不成立，即1

||n n n a b ∞

=∑收敛，2

2

1

1

, n

n n n a b ∞

∞

==∑∑却未必都收敛，举例如下：