复变函数的可导与解析

′
(6) { f ( g (z ))} = f ′(w )g ′(z ), 其中w = g (z );
1 ( 7 ) f ′(z ) = , 其中与为两个互为反函 ϕ ′(w ) 数的单值函数 , 且 ϕ ′(w ) ≠ 0.
′
需要注意的是， 需要注意的是，复变函 数的导数定义与一元 实函数的导数定义， 实函数的导数定义，虽 然形式上一样，但在 然形式上一样， 本质上有很大的不同。 本质上有很大的不同。 因为一元实函数导数 定义中的极限是一元实 函数的极限，而复变 函数的极限， 函数导数定义中的极限 对应于二元实函数的 极限。 极限。
可导， 设 f (z) 在z0 可导，即极限
f (z0 + ∆z) − f (z0 ) ∆w = lim lim ∆z→0 ∆z ∆z→0 ∆z
. 存在
∆ 沿实轴趋于零， ∆ 当 z沿实轴趋于零，即 y = 0, ∆z = ∆x → 0 f (z0 + ∆z) − f (z0 ) 时，有 lim ∆z=∆x→0 ∆z
2
定义1 定义
G G 设有复平面上的点集 和复数集 , f 是 , G 一个确定的对应规则如果对 中每一个 w 点z, 通过 f , 在G 中有一个或多个复数 , f G , 与之对应 则称 是定义在 上的 复变函数 记为 f : z → w = f (z)或简记为w = f (z)
∗
∗
G∗ = {w w = f (z), z ∈G}称为 , 函数值集合 , 今后的讨论中G常常为一个平面区域 定义域. 称其为 定义域.
(1) (C) = 0, 其中 为复常数 C ;
′
( 2) z
( )
n
′
= nz
′
n −1
;
( 3) ( f (z ) ± g (z )) = f ′(z ) ± g ′(z );
(4) ( f (z )g (z )) = f ′(z )g (z ) + f (z )g ′(z );
f (z ) g ( z ) f ′( z ) − f ( z ) g ′( z ) ( 5) , g (z ) ≠ 0 ; 2 g (z ) = g (z ) ′
, , 存在 则称 f (z) 在z0可导 其极限值称为 f (z)在z0的导数 记作 , dw f ′(z0 ) = dz
z=z0
f (z) − f (z0 ) = lim z→z0 z − z0
如果 f (z) 在区域D内每一点都可导则 , . 称 f (z)在D内可导
f ′ (z ) = lim = lim
满足 C − R 条件 .
但当 z沿∆y = k∆x(∆x > 0)趋于零时，有 ∆ 趋于零时， k f (∆z) − f (0) = lim = lim ∆z=(1+ki )∆x→0 x 1 + ki ∆z ∆x→0+ (1 + ki )∆ f (∆z) − f (0) 不存在 lim ∆z→0 ∆z k(∆x)2
复变函数的导数与函数解析
一. 复数域与复数的表示法
复数集： 复数集：
C = {z = x + i y x , y ∈ R } x = Re z , y = Im z , i = −1
中的四则运算满足： 复数集 C中的四则运算满足：加 法与乘法的 交换律，分配律， 交换律，分配律，且复 数集中有零元 (0)， 单位元 (1)及逆元 ( z ), 于是复数集 C构成一个 数域 − − − 复数域 C
的导数. 例1. 求f(z)=zn, (n 为正整数 ) 的导数 解
∆z→ 0
(z
f (z + ∆ z ) − f (z ) ∆z + ∆z) − z n ∆z
n
∆z→ 0
= lim nz
∆z → 0
(
n −1
+C z
2 n
n−2
∆z + ⋯ + ∆z
n −1
)
(z )
n
= nz
′
n −1
n−1
= nz
f (z) 在z0连续
z→z0
⇔ u( x, y) v( x, y)在( x0 , y0 连续 ， ）
( x, y)→( x0 , y0 )
（ lim f (z) = f (z0 )） （ lim
u( x, y) = u( x0 , y0 ), v( x, y) = v( x0 , y0 )
( x, y )→( x0 , y0 )
以上得出函数在一点解析的必要条件是它满足 C-R方程，反过来？ 方程， 方程 反过来？ 证明： 例 3 证明：f ( z ) = Re z ⋅ Im z 在 z = 0满足 C − R
条件，但不可导。 条件，但不可导。
证：f ( z ) = Re z ⋅ Im z = xy ,
u( x , y ) =
G 称为 f (z)的定义集合 ,
可以利用二元实函数的极限， 可以利用二元实函数的极限，连续等概念来定 义复变函数的极限，连续。 义复变函数的极限，连续。 例如： 例如： 极限 lim f (z) = lim u( x, y) + iv( x, y)
z→z0 ( x, y)→( x0 , y0 )
−1
复数 z = x + iy ↔ 有序数组 复数域 ↔ 复平面
( x, y)
复数的表示法： 复数的表示法：
1 . z = x + iy 2 . 复平面上的点 P ( x , y ) 或向量 OP 3 . z = r (cos θ + i sin θ ) ( 三角表示法） 三角表示法）
4 . z = re
f (z + ∆ z ) − f ( z ) ∆ x − i∆ y lim lim = ( ∆ x ,∆ y )→ ( 0 ,0 ) ∆ x + i∆ y ∆z→ 0 ∆z 不存在， 不存在，因而 f (z ) = z 在复平面上处处不可导
。
可导必连续,连续不一定数求导法则: 复合函数求导法则
例2
的连续性与可导性。 讨论 f ( z ) = z 的连续性与可导性。
在复平面处处连续
f (z + ∆ z ) − f (z ) (z + ∆ z )− z = lim ∆z→ 0 ∆z ∆z ∆ x − i∆ y ∆ x + i∆ y − i∆ y = −1 i∆ y
解 f ( z ) = z = x − iy
lim
因此，复变函数具有与实函数类似的关于极限， 因此，复变函数具有与实函数类似的关于极限， 连续的性质。 连续的性质。
因此，复变函数具有与实函数类似的关于极限， 因此，复变函数具有与实函数类似的关于极限， 连续的性质。但连续函数在闭区域上的最大(小 连续的性质。但连续函数在闭区域上的最大 小) 值应理解为连续的复变函数模的最大(小 值定理 值定理. 值应理解为连续的复变函数模的最大 小)值定理
ω = arg z 在负实轴上不连续，因 为 在负实轴上不连续， lim arg z = −π , lim arg z = π
y→ 0− x<0 y→ 0+ x<0
复变函数 函数的导数 三. 复变函数的导数 定义2 定义
, 设函数w = f (z) 在z0 的某邻域内有定义如 果极限 f (z) − f (z0 ) ∆w lim = lim z→z0 ∆z→0 ∆z z − z0
+ i sin
θ + 2kπ
n
)
二. 复变函数 复变函数 ：
f : z = x + iy → w = u + iv xy平面上的点集 → uv平面上的点集 w = f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y )
一个复变函数 例如： 例如：
2 2
二个二元实函数
2 2 2
w = f ( z ) = z = ( x + iy ) = x − y + 2 ixy , u ( x , y ) = x − y , v ( x , y ) = 2 xy
不可导。 ∴ f (z) 在 z = 0 不可导。
zz = z ,
2
z1 z 2 = z1 ⋅ z 2 ,
1
z1 + z 2 ≤ z1 + z 2
2
Arg ( z 1 z 2 ) = Argz z1 Arg = Argz z2
1
+ Argz
2
− Argz
复数的乘幂： 复数的乘幂：
设 z = re 为 z
n iθ
= r (cos θ + i sin θ ), 则 z 的 n 次幂
y z 在第一象限 arctan x y arctan z 在第二象限 +π x arg z = y arctan z 在第三象限 −π x y z 在第四象限 arctan x
性质： 性质： z1 z1 z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 ， z 1 z 2 = z 1 ⋅ z 2，（ ）= z2 z2
时，有
∂u ∂v +i ∂x ∂x ∂v ∂u = −i ∂y ∂y
∂u ∂v ∂x = ∂y ∂v ∂u =− ∂x ∂y
柯西－黎曼 柯西－黎曼(Cauchy-Riemann)方程 方程
如例 2 中 ， f ( z ) = z = x − iy , u ( x , y ) = x , v ( x , y ) = − y ∂u ∂u ∂v ∂v ∂u ∂v ∂v ∂u , = 1, = 0, = 0, = −1 ⇒ ≠ = ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x 处处不可导。 ∴ 处处不可导。
xy , v ( x , y ) = 0
u ( x ,0 ) − u( 0 , 0 ) u x ( 0,0 ) = lim = 0 = v y ( 0 ,0 ) x→0 x u ( 0 , y ) − u ( 0 ,0 ) u y ( 0,0 ) = lim = 0 = − v x ( 0 ,0 ) y→0 y
iθ
指数表示法） （指数表示法）
其中： 其中： r = z =
x + y − − z的模
2 2
θ = Argz − − z的幅角 .
个幅角， 任一非零复数有无穷多 个幅角，称在 内的幅角为主幅角， 范围 ( −π , π ]内的幅角为主幅角，记 为 arg z . Argz = arg z + 2 kπ , k = ± 0,± 1,⋯
u( x0 + ∆x, y0 ) + iv( x0 + ∆x, y0 ) − u( x0 , y0 ) − iv( x0 , y0 ) = lim ∆x→0 ∆x ∂u ∂v = +i ∂x ∂x
沿虚轴趋于零， ∆ 当∆z沿虚轴趋于零，即 x = 0, ∆z = i∆y → 0
f (z0 + ∆z) − f (z0 ) lim ∆z=i∆y→0 ∆z u( x0 , y0 + ∆y0 ) + iv( x0 , y0 + ∆y0 ) − u( x0 , y0 ) − iv( x0 , y0 ) = lim ∆y→0 i∆y ∂v ∂u = −i ∂y ∂y
∆z→ 0
lim
∆z lim = lim = ( ∆ x ,∆ y )→ ( 0 ,0 ) ∆z→ 0 ∆ z ∆ x − i∆ y lim 而 = lim ∆x = 0 ∆ x + i∆ y ∆y→ 0 ∆y→ 0
∆ x − i∆ y ∆x lim = lim = 1 ∆ y = 0 ∆ x + i∆ y ∆x→ 0 ∆ x ∆x→ 0
f (z)在区域 内解析⇔ f (z)在区域 内可导 D D
两个解析函数的和、 两个解析函数的和、差、积、商(除去分母 除去分母 为零的点)都是解析函数 解析函数的复合函 为零的点 都是解析函数,解析函数的复合函 都是解析函数 单值)仍是解析函数 数、反函数(单值 仍是解析函数 反函数 单值 仍是解析函数.
定义3 定义
, ; 则称 f (z) 在z0解析 或称z0是 f (z)的解析点 , f , 若f (z) 在D内处处解析则称 (z) 在D内解析 或称 (z) 是D内的一个 f . 解析函数
如果函数f (z) 在z0及其某个邻域内处处可 , 导
, z . 如果 f (z)在z0不解析 那末称 0为f (z)的奇点
iθ
= ( re
iθ
) = r (cos n θ + i sin n θ )
n n
复数的方根： 复数的方根：
设 z = re 为ω =
n
= r (cos θ + i sin θ ), 则 z 的 n 次方根
1 n
z = r (cos
θ + 2kπ
n ( k = 0 ,1 , 2 , ⋯ n − 1 )