高考数学二轮复习中档题专练四

中档题专练(四)

1.如图,AB为圆O的直径,点E,F在圆O上,且AB∥EF,矩形ABCD所在平面与圆O所在的平面互相垂直,且AB=2,AD=EF=1.

(1)设FC的中点为M,求证:OM∥平面DAF;

(2)求证:AF⊥平面CBF.

2.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,cosB=4

5

.

(1)若c=2a,求sin B

sin B

的值;

(2)若C-B=π

4

,求sinA的值.

3.如图,已知椭圆E:B2

B2+B2

B2

=1(a>b>0)的长轴为AB,过点B的直线l与x轴垂直,椭圆E上一点与椭圆E

的长轴的两个端点构成的三角形的最大面积为2,且椭圆E的离心率e=√3

2

.

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)设P是椭圆E上异于A、B的任意一点,连接AP并延长交直线l于点M,N为MB的中点.

①若点F1为椭圆的左焦点,点F2为椭圆的右焦点,F1关于直线PN的对称点为Q,当点P的坐标为(4√5

5,√5

5

)

时,求证:点P,Q,F2三点共线;

②试判断直线PN与椭圆E的位置关系,并证明你的结论.

答案精解精析

1.证明 (1)设DF 的中点为N,连接MN,AN,则MN∥12CD,MN=1

2CD,

又∵AO∥12CD,AO=1

2CD,∴MN∥AO,MN=AO,∴四边形MNAO 为平行四边形,∴OM∥AN,又∵AN ⊂平面DAF,OM ⊄面DAF,

∴OM∥平面DAF.

(2)∵平面ABCD⊥平面ABEF,CB⊥AB,CB ⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面ABEF=AB, ∴CB⊥平面ABEF,∵AF ⊂平面ABEF, ∴AF⊥CB.

∵AB 为圆O 的直径,

∴AF⊥BF.∵CB∩BF=B,CB,BF ⊂平面CBF,∴AF⊥平面CBF. 2.解析 (1)解法一:在△ABC 中,因为cosB=4

5,所以B 2+B 2-B 22BB =4

5.

因为c=2a,所以

(B 2

)2

+B 2-B 22B ×

B 2

=45,即B 2B 2=920,所以B B =3√5

10. 又由正弦定理得sin B sin B =B

B ,所以sin B sin B =3√5

10.

解法二:因为cosB=4

5,B∈(0,π),所以sinB=√1-cos 2B =3

5.

因为c=2a,由正弦定理得sinC=2sinA,所以sinC=2sin(B+C)=6

5

cosC+8

5

sinC,

即-sinC=2cosC.又因为sin 2C+cos 2

C=1,sinC>0,解得sinC=2√55

,

所以sin B sin B =3√5

10.

(2)因为cosB=4

5

,所以cos2B=2cos 2

B-1=7

25

.

又0

5, 所以sin2B=2sinBcosB=2×3

5

×45=24

25.

因为C-B=π4

,即C=B+π4

,所以A=π-(B+C)=

3π4

-2B,所以sinA=sin (

3π4

-2B )=sin

3π4

cos2B-

cos

3π4

sin2B=√22×725-(-√2

2)×2425=

31√2

50

. 3.解析 (1)依题设条件可得:ab=2,B B =√3

2.又a 2-c 2=b 2,解得a 2=4,b 2

=1, 所以椭圆E 的标准方程为

B 24

+y 2

=1.

(2)①证明:直线AP 的方程为y=

(x+2),

求得点M 的坐标为(2+√5),点N 的坐标为(2+√5),直线PN 的斜率k=-1, ∴直线PN 的方程为y=-x+√5,

设左焦点F 1(-√3,0)关于直线PN 的对称点为

Q(x 1,y 1),则{B 1+√3

=1,B

1

2

=-

B 1-√32

+√5,

解得{

B 1=√5,

B 1=√5+√3,

即Q(√5,√5+√3),

所以直线PQ 的斜率k 1=4+√15,又直线PF 2的斜率k 2=√554√5

5

-=

=4+√15,

所以k 1=k 2,即点P,Q,F 2三点共线. ②直线PN 与椭圆E 相切于点P.证明如下: 设P(x 0,y 0),又A(-2,0),所以直线AP 的方程为y=B 0

B 0

+2

·(x+2),令x=2,得y=4B 0

B

+2

,即M (2,4B 0

B 0+2

).

又B(2,0),N 为MB 的中点,所以N (2,2B 0

B 0

+2

),于是直线PN 的方程为y-y 0=2B 0

B 0+2

-B 02-B 0

·(x -x 0),即y=

B 0B 0

B 02-4

(x-x 0)+y 0. 因为

B 024

+B 02=1,所以B 02-4=-4B 02

,所以y=B 0B

0-4B 0

2(x-x 0)+y 0,整理得y=

4-B 0x 4B 0

.

由{

B 2

4

+B 2=1,

B =

4-B 0x 4B 0

消去y 并整理得(B 02+4B 02)x 2

-8x 0x+16-16B 02=0,即x 2

-2x 0x+B 02

=0,此方程的根的判别式

Δ=(-2x 0)2

-4B 02=0,

所以直线PN 与椭圆E 相切于点P.