最新小学奥数：格点型面积(毕克定理)
四年级奥数题及答案-求格点图案面积
四年级奥数题及答案-求格点图案面积
【题目】以下这张图里的三个格点图案面积分别是多少?
【解析】
这三个图形都适合用格点面积公式计算面积：
格点多边形面积 = 内格点个数 + 边格点数÷ 2 - 1
这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。
我们先来看喇叭图案：
这个图案周界上有8个格点，图内却没有格点，那么利用格点面积公式我们可以求得这个喇叭形状的面积为：0+8÷2-1=3;
接下来这只小猫的图案：
小猫图案的周界上有20个格点，而图内有2个格点，面积为：2+20÷2-1=11;
小狗图案同理：
我们可以看到小狗图案是由两个格点多边形组成，那我们可以将两个图案分开求解，先求出每个格点多边形的面积，再求出总面积。
躯干面积：0+12÷2-1=5;
尾巴面积：0+4÷2-1=1;
总面积：5+1=6。
我们在计算像小狗图案这样的有两个或以上的独立格点多边形组成的图案时，可以先求每个独立的格点多边形的面积，再进行求和计算总面积，这样可以避免数漏多个独立图形公共格点而导致计算错误。
几何图形六年级
几何图形题型一：格点图形的面积计算（毕克定理） 1、正方形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，正方形格点面积可以表示为：S ＝N ＋12L －1。
2、三角形格点多边形及其面积计算公式每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。
三角形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，三角形格点面积可以表示为：S ＝(N ＋12L －1)×2。
注意：1．毕克定理对任何格点图形都适用。
要区分面积是几个单位。
2．在数格点时要细心。
3．严格区分正方形格点多边形和三角形格点多边形。
正方形格点图形的面积[模型例题1．]如图是用橡皮筋在钉板上围成的一个三角形，计算它的面积是多少。
(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)分析 直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。
解：5＋3÷2－1＝5.5 答：三角形的面积为5.5。
[模型例题2．]如图所示，在边长为1厘米的正方形格点中，图形“”的面积是多少平方厘米？分析直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。
解：6＋10÷2－1＝10(平方厘米)答：图形“”的面积是10平方厘米。
三角形格点图形的面积[模型例题3．]下图中有28个点，其中每相邻的三点“∵”或“∴”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算△ABC的面积。
分析直接套用三角形格点多边形面积公式“三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2”即可解答。
格点面积公式毕克定理
格点面积公式毕克定理嘿，同学们！今天咱们来聊聊一个挺有趣的数学知识——格点面积公式毕克定理。
先来讲讲我之前遇到的一件小事儿。
有一次我去公园散步，看到地上铺着那种一格一格的地砖，就像咱们数学里的格点图。
我突然就想到了毕克定理，感觉数学知识真是无处不在。
那什么是毕克定理呢？简单来说，就是计算格点多边形面积的一个好办法。
假设一个格点多边形内部有 N 个格点，边上有 L 个格点，那这个多边形的面积就等于 N + L/2 - 1 。
咱们来通过几个例子感受感受。
比如说一个简单的正方形格点图，边长是 3 个格子。
内部没有格点，边上有 4 个格点。
按照毕克定理，面积就是 0 + 4/2 - 1 = 1 ，正好就是这个正方形的面积。
再比如一个稍微复杂点的三角形格点图，内部有 3 个格点，边上有6 个格点。
那它的面积就是 3 + 6/2 - 1 = 5 。
有些同学可能会问了，这毕克定理有啥用呢？用处可大啦！比如说在一些数学竞赛中，如果遇到求格点图形面积的题目，用毕克定理就能快速又准确地得出答案。
而且呀，毕克定理还能帮助我们更好地理解图形和数量之间的关系。
通过计算格点图形的面积，我们能更深入地感受数学的奇妙和规律。
在实际生活中，也能看到毕克定理的影子呢。
比如设计师在设计一些图案的时候，可能就会用到格点和毕克定理来计算面积和比例，确保设计的美观和合理。
同学们，数学的世界就像一个大宝藏，毕克定理只是其中的一颗小宝石。
只要咱们用心去探索，就能发现更多有趣又实用的知识。
就像我在公园里看到的那些地砖格点，它让我在平常的生活中也能想到数学。
咱们学习数学，不只是为了考试，更是为了能在生活中发现它的美，用它来解决问题，让生活变得更有趣、更有条理。
希望大家以后看到格点图形的时候，都能想起毕克定理，用它来算出面积，感受数学的魅力！。
格点法求面积的公式
面积计算公式：皮克公式:格点多边形面积=多边形一周的格点数÷2+多边形内部格点数-1
设格点多边形的面积为s，它各边上格点的个数和为x。
格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出s与x之间的关系式。
格点的起源
格点问题起源于以下两个问题的研究：
1、狄利克雷除数问题，即求x>1时D2（x）=区域{1≤u≤x，1≤v≤x，uv≤x}上的格点数。
1849年，狄利克雷证明了D2（x）=xlnx+（2ν一1）x+△（x），这里ν为欧拉常数，△（x）=O（x0.5）。
这一问题的目的是要求出使余项估计△（x）=O（x）成立的又的下确界θ0。
2、圆内格点问题，设x>1，A2（x）=圆内μ+ν≤x上的格点数。
高斯证明了A2（x）=πx+R（x），这里R（x）=O（x^1/2）,求使余项估计R（x）=O（x）成立的λ的下确界α的问题，称之为圆内格点问题或高斯圆问题。
小学思维数学讲义：格点型面积-带详解
格点型面积模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N=+-．这个规律就是毕克定理．【例1】判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【考点】格点型面积【难度】2星【题型】判断【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【答案】⑴是格点多边形【例2】如图，计算各个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)；图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)；图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)；图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为12LS N=+-．例题精讲如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【答案】图⑴16；图⑵15；图⑶10；图⑷15；图⑸12；图⑹18．【例 3】 如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b )，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226⨯÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（）(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c )图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【答案】10【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛 【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF V ；另外三个分别是：△ABE 、△FEC 、△DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )．【答案】4【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为9面积单位．第二幅图的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．【答案】第一幅图的面积均为9；第二幅图的面积均为10．【巩固】 求下列各个格点多边形的面积．（1） （2） （3） （4）【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)；⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)；⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【答案】⑴15；⑵ 20；⑶14；⑷17【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则1182LS N =+-=(单位面积)． 【答案】18【例 7】 右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．H GFED C BA【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 箭形ABCDEFGH 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)． 【答案】46【例 8】 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【解析】①的面积为：1112111313222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，②的面积也为3223⨯÷=。
(完整版)小学奥数：格点型面积(毕克定理)
小学奥数：格点型面积（毕克定理）板块一 正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】 用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？ 面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【例 2】 如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有 个．【例 3】 判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【例 4】 如图，计算各个格点多边形的面积．⑹⑸⑷【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-．【例 5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．【例 6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例 7】分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴⑵【巩固】求下列各个格点多边形的面积．⑵⑴⑷⑶【例 8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？【例 9】右图是一个812面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．HGFAEDCB【例 10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例 11】(“小学数学奥林匹克”竞赛试题)55的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【例 12】(“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例 13】(第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm，右下角的阴影部分(线状)面积为27.4cm，求大正方形的面积．【例 14】(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．B PQFEDCB A板块二 三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】 如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC 的面积．A B CD F E(b )(a )【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC 的面积．【例 16】求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．⑴⑵⑶⑷【例 17】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【例 18】如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？【例 19】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【例 20】将图中的图形分割成面积相等的三块．【例 21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【例 22】 (第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米．M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点．问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？SRQAB CD EF NM P P M F EDCBA【例 23】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC 的面积是_____平方厘米．。
面积计算
第一讲：面积计算（一）【基本知识点】①毕克定理的含义毕克定理是用来解决点格凸多边形面积问题，只适用于点格凸多边形。
毕克定理：点格面积=内部格点数+周界格点数÷2-1 （不适用于三角形）点格面积=（内部格点数+周界格点数÷2-1）×2 （只适用于三角形）②注意事项⑴毕克定理只对格点凸多边形适用⑵在数格点时要细心⑶（内部格点数+周界格点数÷2-1）×2只对三角形格点适用③拓展思维通过毕克定理的简单运用,拓展到其他图形的面积计算,从浅到深的计算方法让思维进一步拓展开来。
【解题思维】解答多边形点格问题的解题步骤：⑴仔细审题，辨别是否为凸多边形⑵认真数出内部格点数和周界格点数⑶细心计算出点格面积【例题一】下图中共有12个点，可任意其中四个点围一个正方形，这样的正方形有多少个？【练练手】图中共有____个三角形【例题二】如图所示，每相邻四个点成“∷”，所形成的四边形都是面积为1的正方形，计算出这个图形的面积。
【练练手】如图所示，每相邻四个点成“∷”，所形成的四边形都是面积为1的正方形，计算出这个图形的面积。
【基础练习】1.如图，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算三角形ABC的面积。
（使用两种方法计算）2.下图中，每个小平行四边形的面积是1个面积单位，求阴影部分的面积________.【提升练习】1.如图，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？2. 在右图中，大正方形的边长为20厘米，顺次连接正方形的各边中点得到第二个正方形，再这样连下去时，阴影部分的面积是多少平方厘米？3. 7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？。
小学初级奥数第22讲-格点面积
I
II
III
(a)
(b)
(c)
例三 分别计算图中两个格点多边形的面积。
练一练 求下列各个格点多边形的面积。
（1）
（2）
（3）
（4）
例三
如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所 形成的三角形都是等边三角形。计算三角形ABC 的面积。
练一练
如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1 的等边三角形，计算三角形ABC的面积。
正方形格点问题
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行 线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的 每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多 边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．
那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两 者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！源自AC B例四
图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ， 求阴影四边形CEPQ的面积。
例五 正六边形ABCDEF 的面积是6平方厘米。M 是AB 中点，N 是CD 中点，P 是EF 中点。问：三角形MNP 的面积是多少平方厘米？
课后作业
<作业1> 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______
①
②
课后作业
<作业2> 横竖每相邻两点之间的距离为1cm，“乡村小屋”的面积是多少？
课后作业
<作业3> 如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是 多少平方厘米？
课后作业
格点多边形面积
格点多边形面积
首先得知道啥是格点多边形，就是这个多边形的顶点都在那些方格纸的格点上。
那计算它的面积有个超酷的方法，叫皮克定理。
皮克定理说呀，格点多边形的面积等于内部格点数加上边界格点数除以2再减1。
比如说一个多边形，你先数它内部有多少个完整的格点，这个数就记为I。
然后再仔细数数它边界上的格点有多少个，这个数记为B。
那这个多边形的面积S就等于I + (B)/(2)- 1。
不过在数的时候可得细心点儿，边界格点有时候容易数错呢。
要是多边形比较简单，像三角形或者矩形，也可以用咱们平常的面积公式来算，但是皮克定理对于那些奇奇怪怪形状的格点多边形可就太好用啦。
格点三角形面积计算公式推导
格点三角形面积计算公式推导一、格点三角形的定义。
在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点称为格点。
顶点为格点的三角形称为格点三角形。
二、皮克定理（Pick's theorem）1. 定理内容。
- 设格点多边形内部有N个格点，边界上有L个格点，则其面积S =N+(L)/(2)- 1。
对于格点三角形，这个定理同样适用。
2. 皮克定理的推导（以格点三角形为例）- 我们先从简单的情况开始考虑，比如直角三角形。
- 设直角格点三角形的两条直角边分别平行于坐标轴。
- 假设三角形的直角顶点坐标为(0,0)，另外两个顶点坐标为(a, 0)和(0,b)，其中a和b为正整数。
- 这个三角形内部的格点数N=((a - 1)(b - 1))/(2)，边界上的格点数L=a + b+1。
- 根据皮克定理S = N+(L)/(2)-1，将N和L的值代入可得：- S=((a - 1)(b - 1))/(2)+(a + b + 1)/(2)-1- 展开式子：- S=(ab - a - b+1)/(2)+(a + b + 1)/(2)-1- S=(ab - a - b + 1+a + b + 1-2)/(2)- 化简后得到S=(ab)/(2)，这正是直角三角形面积的计算公式(1)/(2)×底×高（这里底为a，高为b）。
- 对于一般的格点三角形，我们可以通过将其转化为多个直角格点三角形的组合（或差）来进行分析。
- 例如，对于任意一个格点三角形ABC，我们可以用一个矩形将其包含在内，设这个矩形的顶点都是格点。
- 矩形的面积可以很容易地用格点数计算出来，然后减去周围多余的直角格点三角形的面积（这些直角格点三角形的面积可以用前面的方法计算），通过这种方式可以验证皮克定理对于一般格点三角形也是成立的。
三、用行列式计算格点三角形面积（另一种方法）1. 行列式的相关知识。
- 对于平面上的三个点A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)，三角形ABC的面积S可以用行列式表示为：- S=(1)/(2)<=ftbegin{array}{ccc}x_1y_11 x_2y_21 x_3y_31end{array}right的绝对值。
四年级第19讲-格点与面积(二)-学生版
如图，小正方形的面积为1，下图中格点多边形的面积是多少？
如图，每相邻两格点之间的距离均为1厘米，下图中格点多边形的面积是多少？
格点与面积（二） 例 1
试一试 1 知识纵横 1、毕克定理（正方形格点公式）： 格点多边形单位面积的数量=边上点数÷2+内部点数-1，S =L ÷2+N -1 (用“S ”表示格点多边形单位面积的数量，用“N ”表示格点多边形内部的格点数，用“L ”表示格点多边形边上的格点数) 2、毕克定理(三角形格点公式)： 格点多边形单位面积的数量=(边上点数÷2+内部点数-1)×2，S =(L ÷2+N -1)×2 E D C B A
例2
在下图中，每相邻三点构成一个面积为1平方厘米的等边三角形，下图中格点多边形的面积是多少？
试一试2
在下图中，每相邻三点构成一个面积为2平方厘米的等边三角形，下图中格点多边形的面积是多少？
例3
下图中每个小正方形的面积为 4 平方厘米，计算两个格点多边形的面积？
试一试3
在下图中，每相邻三点构成一个面积为 3 平方厘米的等边三角形，求下列两个图形的面积和是多少？
例4
下图中，已知图 A 的面积是 45 平方厘米，求图 B 的面积是多少？
试一试4
如下图所示，已知图①的面积是 40 平方厘米，则图②的面积是多少平方厘米？。
长沙小升初奥数几何问题格点与面积解题方法
长沙小升初奥数几何问题格点与面积解题方法第1篇：长沙小升初奥数几何问题格点与面积解题方法常见解题方法：求格点图面积常见的几种方法：数格子法、分割法、扩展法、毕克定理。
（一）数格子法对于格点图里面的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正方形方格或者三角形方格的个数得出规则图形的面积，或者由图形得出规则图形相应的面积公式需要的量，代入公式解出面积即可！例、如下图，计算下列各个格点多边形的面积：（四年级8月1号天天练）【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了。
第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）；第（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）；第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）；第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）；第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）；第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）。
下面几种方法主要针对的是格点图中的不规则图形，这也是本专题的重点！（二）分割法直接将格点图中的不规则图形分成若干个可求面积的规则图形，然后通过计算规则图形的面积来求原图形的面积。
（三）扩展未完，继续阅读 >第2篇：长沙小升初奥数几何问题之格点与面积经典例题汇总长沙小升初奥数几何问题之格点与面积经典例题。
经典例题例1、图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形的面积。
（小升初8月1号天天练）【详解】方法一（分割法）：如图①做辅助线，将原图分割成a、b两个小三角形。
这两个小三角形都以辅助线为底的话，a就是底边是1个面积单位三角形的4倍、高是1个面积单位三角形的1倍，所以a的面积是1个面积单位三角形的4×1倍，即4。
小学数学毕克定理格点与面积
第7站格点与面积（本讲例1-例3同2019年4年级春季尖子第2站）知识糖果屋1、求规则图形的面积（单位面积是1的小正方形格点）；2、求简单不规则图形的面积（单位面积是1的小正方形格点）；3、求复杂不规则图形的面积（单位面积是1的小正方形格点）；4、求规则图形的面积（单位面积是1的小三角形格点）。
例题精品铺、习题游乐园例1、计算下列各个格点多边形的面积。
·······················································（1）（2）············································（3）（4）练习、计算下面格点多边形的面积。
····································例2、计算下面这个格点多边形的面积。
格点多边形面积公式（Pick定理）的一个形象解释（转）
格点多边形⾯积公式（Pick定理）的⼀个形象解释（转）Pick定理：如果⼀个简单多边形(以下称为“多边形”)的每个顶点都是直⾓坐标平⾯上的格点，则称该多边形为格点多边形．若⼀个⾯积为S的格点多边形，其边界上有a个格点，内部有b个格点，则S＝a/2＋b－1．强迫孩⼦们接受⽆法说出道理的东西，很容易打击孩⼦们的求知欲望和学习兴趣．我经过反复琢磨，找到⼀个⾮常浅显的办法，既能够形象的解释Pick定理的道理，⼜能让看清Pick定理的本质．整个解释只需⽤到⼀个很浅显的预备知识：“多边形外⾓和等于⼀个周⾓”．以下图的格点多边形ABCDE为例，其边界上有a个格点，内部有b个格点．设想在平⾯的每个格点放⼀个铁饼，满⾜：(1)每个铁饼都⼀样⼤的圆（或者说是圆柱），圆⼼是格点；(2)每个铁饼都恰好重1克；(3)每个铁饼的半径都做得尽量⼩——不仅铁饼之间互相不重叠，⽽且还使得多边形ABCDE内部的每个格点上所放的铁饼，都完全落在该多边形的内部；多边形ABCDE外部的每个格点上所放的铁饼，都完全落在该多边形的外部．⾸先，考虑多边形ABCDE的边界以内的铁的总重．这可以分如下两类进⾏计算：第⼀类：其内部格点上放的铁饼．此类总重显然是b克．第⼆类：其边界格点上放的铁饼落在边界以内的铁．假设每个边界格点上放的铁饼，恰有⼀半落在边界以内，则总重为a/2克．但显然在每个顶点处放的铁饼，落在边界以内的铁实际不⾜⼀半，⽐⼀半还少该顶点的⼀个外⾓内所含的铁，所有这种外⾓内所含的铁恰好拼成⼀块完整的铁饼（因为多边形外⾓和等于⼀个周⾓）．所以后⼀类铁的总重是a/2－1克．因⽽，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是a/2＋b－1克．接下来，设想将平⾯上所有铁饼全部熔化，打造成⼀张厚薄均匀的铁板盖在整个平⾯上．这可以看作是：将每个单位正⽅形的四个顶点处的每个90°的扇形铁饼，熔化在这个正⽅形内部，故熔化后每个单位正⽅形内的铁都是1克．进⽽，平⾯上任意图形，其⾯积是多少，其内部就含多少克铁．因⽽，熔化并重新打造后，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是S克．最后，注意到这个熔化并重新打造的过程，可以看成是：每个格点处的铁饼中的铁，按(以该格点为中⼼)放射状的⽅式重新适当改动位置⽽已．这样的改动，不会使格点多边形ABCDE外⾯的铁跑到多边形内部，也不会使内部的铁跑到外部．即熔化并重新打造的前后，多边形ABCDE的边界以内的铁的总重是不变的，所以S＝a/2＋b－1．。
格点与割补+等积变形
格点与割补
一：毕德哥拉斯（毕克）定理
（N：内部格点 L：边界格点）
•正方形格点：S＝N＋L÷2－1
•三角形格点：S＝2N＋L－2
等积变形
一：结论
1：等底等高的两个三角形面积相等
2：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等
3：若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
4：若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。
二：技巧
a：平行线的来源
1.平行四边形和梯形（平行四边形包括长方形和正方形）
2.已知平行（如AC∥DF）
3.并排摆放的正方形的同方向对角线
b：已知做底边，等高优先找。
(小学奥数)格点型面积
模組一、正方形格點問題在一張紙上，先畫出一些水準直線和一些豎直直線，並使任意兩條相鄰的平行線的距離都相等(通常規定是1個單位)，這樣在紙上就形成了一個方格網，其中的每個交點就叫做一個格點．在方格網中，以格點為頂點畫出的多邊形叫做格點多邊形，例如，右圖中的鄉村小屋圖形就是一個格點多邊形．那麼，格點多邊形的面積如何計算？它與格點數目有沒有關係？如果有，這兩者之間的關係能否用計算公式來表達？下麵就讓我們一起來探討這些問題吧！用N 表示多邊形內部格點，L 表示多邊形周界上的格點，S 表示多邊形面積，請同學們分析前幾個例題的格點數．我們能發現如下規律：12L S N =+-．這個規律就是畢克定理．【例 1】判斷下列圖形哪些是格點多邊形？⑴⑵⑶⑷畢克定理若一個格點多邊形內部有N 個格點，它的邊界上有L 個格點， 則它的面積為12LS N =+-． 例題精講4-2-7.格點型面積【例 2】如圖，計算各個格點多邊形的面積．【例 3】如圖(a)，計算這個格點多邊形的面積．【例 4】右圖是一個方格網，計算陰影部分的面積．【例 5】分別計算圖中兩個格點多邊形的面積．【巩固】求下列各個格點多邊形的面積．（1）（2）（3）（4）【例 6】“鄉村小屋”的面積是多少？【例 7】右圖是一個812面積單位的圖形．求矩形內的箭形ABCDEFGH的面積．HGFAEDCB______【例 8】比較圖中的兩個陰影部分①和②的面積，它們的大小關係【例 9】右圖中每個小正方形的面積都是1，那麼圖中這只“狗”所占的面積是多少？【巩固】如圖，每一個小方格的面積都是1平方釐米，那麼用粗線圍成的圖形的面積是多少平方釐米？【例 10】第一屆保良局亞洲區城市小學數學邀請賽在7月21日開幕，下麵的圖形中，每一個小方格的面積是1，那麼7、2、1三個數字所占的面積之和是多少？【例 11】55的方格紙，小方格的面積是1平方釐米，小方格的頂點稱為格點．請你在圖上選7個格點，要求其中任意3個格點都不在一條直線上，並且使這7個點用直線連接後所圍成的面積盡可能大．那麼，所圍圖形的面積是平方釐米．【例 12】兩個邊長相等的正方形各被分成25個大小相同的小方格．現將這兩個正方形的一部分重疊起來，若左上角的陰影部分(塊狀)面積為25.12cm，右下角的陰影部分(線狀)面積為27.4cm，求大正方形的面積．【例 13】將邊長為正整數n的正方形平均分成2n個小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點。
三年级奥数.几何.格点面积(ABC级).学生版
一、 正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．二、 三角形格点问题1、定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．2、公式：关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2． 毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点，则它的面积为12LS N =+-．知识结构格点面积（1） 毕克定理 （2） 割补法 （3） 扩展法【例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？【例 2】 如图，计算各个格点多边形的面积．【例 3】 如图(a )，计算这个格点多边形的面积．⑴⑵⑶例题精讲重难点【巩固】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例 4】 分别计算图中两个格点多边形的面积．【巩固】 求下列各个格点多边形的面积．【例 5】 右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？（1）（2）（3）（4）【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例 6】如图(a)，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC的面积．【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积．【例 7】图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．【例 8】正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？【例 9】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【例 10】把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形．再将这个六角形的各个“角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图所示的图形．如果这个图形面积是1，那么原来的正三角形面积是多少?【随练1】 “乡村小屋”的面积是多少？【随练2】 求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．【作业1】 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______（1）（2）（3）（4）家庭作业课堂检测【作业3】 第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【作业4】 55 的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【作业5】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【作业6】 如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？H GFED CA【作业7】 如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC 的面积是_____平方厘米．A教学反馈。
长沙小升初奥数几何问题格点与面积解题方法
长沙小升初奥数几何问题格点与面积解题方法常见解题方法：求格点图面积常见的几种方法：数格子法、分割法、扩展法、毕克定理。
（一）数格子法对于格点图里面的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正方形方格或者三角形方格的个数得出规则图形的面积，或者由图形得出规则图形相应的面积公式需要的量，代入公式解出面积即可！例、如下图，计算下列各个格点多边形的面积：（四年级8月1号天天练）【详解】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了。
第（1）图是正方形，边长是4，所以面积是4×4=16（面积单位）；第（2）图是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5×3=15（面积单位）；第（3）图是三角形，底是5，高是4，所以面积是5×4÷2=10（面积单位）；第（4）图是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5×3=15（面积单位）；第（5）图是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是（3+5）×3÷2=12（面积单位）；第（6）图是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是（3＋6）×4÷2=18（面积单位）。
下面几种方法主要针对的是格点图中的不规则图形，这也是本专题的重点！（二）分割法直接将格点图中的不规则图形分成若干个可求面积的规则图形，然后通过计算规则图形的面积来求原图形的面积。
（三）扩展法将原图形扩展成可直接计算面积的规则图形，同时扩展部分的图形面积也是可以直接计算的，那么原图形的面积就等于规则图形面积减去扩展部分的面积即可！例、如图所示，计算下面格点多边形的面积（五年级8月1号天天练）【详解】这虽然是一个规则的三角形，但是可以直接用面积公式计算，或者通过数格子么？好像不行，因为我们现在不能直接算出相应边的长度和高！现在尝试用分割法和扩展法来解！方法一（分割法）：如图①做辅助线，将原图分割成两个小三角形。
第二讲格点与割补(最新整理)
知识要点： 毕克定理：格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1 （1）正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都 是一个小正方形. 正方形格点问题：多边形面积=边÷2＋内－1 （2）所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形. 规定它的面积为 1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形. 三角形格点问题：多边形面积=（边÷2＋内－1）×2
1
例 1：计算下列各图的面积。
1 2 3 4 5 6
总结：面积=
内部点（N）
边上点（L）
面积（S)
(注：内部点，外部点关系)（毕克定理）
例 2：判断下列图形哪些是格点多边形？
⑴
⑴
⑴
⑴
2
例 3：如图，计算各个格点多边形的面积．
⑴
⑴
⑴
⑴
⑴
⑴
例 4：求下列各个格点多边形的面积．
⑴
⑴
⑴
⑴
例 5：我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？
6
例 12：图中正六边形 ABCDEF 的面积是 54，AP=2PF,CQ=2BQ,求阴影四边形 CEPQ 的面积。 例 13：图中每个小正方形的面积都是 4 平方厘米，求图中阴影部分的面积。
5
家庭作业
1． 计算下图中各多边形的面积（点与点之间的距离都是 1 厘米）
2． 下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？ 3．求下图中梯形的面积。 4、计算下面三角形格点多边形的面积
三角形格点问题
所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它 的面积为 1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形． 关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用 S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有 S 2 N L 2 ，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数 的 2 倍与周界上格点数的和减去 2．
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小学奥数：格点型面积（毕克定理）
板块一正方形格点问题
在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！
用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例
题的格点数．
我们能发现如下规律：1
2
L
S N
=+-．这个规律就是毕克定理．
【例1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？
【例2】如图，44
⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．
【例3】判断下列图形哪些是格点多边形？
⑴⑵⑶
【例4】如图，计算各个格点多边形的面积．
【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)
毕克定理
若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，
则它的面积为1
2
L
S N
=+-．
【例5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．
【例6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．
【例7】分别计算图中两个格点多边形的面积．
⑴⑵【巩固】求下列各个格点多边形的面积．
⑵
⑴⑷
⑶
【例8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？
【例9】右图是一个812
面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．
H
G
F
A
E
D
C
B
【例10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？
【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？
【例11】(“小学数学奥林匹克”竞赛试题)55
的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．
【例12】(“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？
【例13】(第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为2
5.12cm，右下角的阴影部
分(线状)面积为2
7.4cm，求大正方形的面积．
【例14】(第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF的面积是54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形CEPQ的面积．
B P
Q
F
E
D
C
B A
板块二 三角形格点问题
所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．
关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．
【例 15】 如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算
三角形ABC 的面积．
A B C
D F E
(b )
(a )
【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC
的面积．
【例 16】 求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．
⑴
⑵
⑶
⑷
【例 17】 把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中
粗线所围成的三角形的面积．
【例 18】 如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？
【例19】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．
【例20】
【例21】将图中的图形分割成面积相等的三块．
【例22】
【例23】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？
【例24】
【例25】(第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？
S
R
Q
A
B
C D
E
F
N
M P
E
B
【例26】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC的面积是_____平方厘米．。