随机过程通过线性系统的分析方法总结
通信原理 考点总结

通信原理绪论给舍友同学总结的考点知识点;通信的目的是传递消息中所包含的信息;消息是信息的物理表现,是物质或精神状态的一种反映;消息中包含的有效内容是信息,信息是消息的内涵;通信就是信息传输; 信号参量的传递→通信原理;电信号的参量取值连续(不可数、无穷多),指某一取值范围内可以取无穷多个值,不一定时间上连续,则为模拟信号;电信号的参量仅可能取有限个值,则为数字信号;基带信号:原始信号,频带从零频附近开始,不适合在信道传输;→带通信号(频带信号):调制后,适合信道传输且有带通的特性;复用:频分(模拟)、时分(数字)、码分(WCDMA );时分复用:用脉冲调制的方法使不同信号占据不同的时间区间;频分复用:用频谱搬移的方法使不同信号占据不同的频率范围;码分复用:用正交的脉冲序列分别携带不同的信号;信息量:;熵:平均信息量 等概率最大;性能指标:有效性和可靠性矛盾统一;1.有效性:传输一定信息量时所占用的信道资源,传输的“速度”问题; 衡量:传输速率和频带利用率; 码元传输速率RB :单位时间传送码元的数目,Baud ;RB=1/T;信息传输速率Rb: 信息率,比特率;单位时间内传递的平均信息量;bps ;b/s ; 二进制:RB=Rb;频带利用率:;单位带宽(每赫)内传输速率;2.可靠性:接收信息的准确程度,即传输“质量”问题; 衡量:误码率;误信率 误码率Pe :错误码/总传输码元;Pb 误信率:错误比特/总传输比特数;二进制:Pe=Pb;随机过程一维概率分布函数:F 1(x 1,t 1)=P [ξ(t 1)≤x 1] 数学期望:信号或噪声的直流成分;方差:信号或噪声交流功率;自相关函数:用来判断广义平稳,用来求随机过程的功率谱密度及平均功率。
;(广义/宽)平稳随机过程:数学期望与方差与时间无关,自相关函数只与时间间隔有关;α(t)=α;R(t,t+τ)=R(τ)各态历经性:()()ττR R a a ==,统计平均值等于它的任一次实现的平均值,随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态;具有各态历经性的随机过程一定是平稳过程,但平稳过程不一定具有各态历经性;P41 例题; 自相关函数:R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)], R(τ)=R(-τ),偶函数;R(0)=E[ξ^2(t)]=s ,R(0)为ξ(t)的均方值 (ξ(t)的平均功率,时域计算方法);上限; R(∞)=E^2[ξ(t)], R(∞)是ξ(t)的直流功率,R(0)- R(∞)=σ^2 ,方差,ξ(t)的交流功率;功率谱密度:频域角度描述ξ(t)的统计特性,ξ(t)的平均功率关于频率的分布;平稳过程的自相关函数与其功率谱之间为傅立叶变换关系; P ξ (ω ) 《----》R(τ);ωωπτωτςd e)(P 21)(R j ⎰∞∞-=;ττωωτξd e)(R )(P j -∞∞-⎰=;功率谱密度的性质:P ξ(ω)>=0,非负性 P ξ(-ω)= P ξ(ω),偶函数单边功率谱密度: P ξ1(ω)=2 P ξ(ω)ω〉=0P44, 例题;高斯过程:随机过程的概率密度服从正态分布;过程中的任一时刻的取值即为随机变量;一维概率密度和分布函数:)2)(exp(21)(22σασπ--=x x f ,α均值,σ平均差,a=0,σ=1为标准高斯分布; 性质:高斯过程若为宽平稳,必为窄平稳;若随机变量不相关,则变量相互独立;代数和及线性变化后仍为高斯过程;窄带随机过程:Δ f<<f c >>0;正弦波表示:,;同相与正交分量表示:;1) 结论1:ξ(t)是均值为0、方差为σ^2的窄带平稳高斯过程,它的同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程,且均值为0、方差也相同。
第4章 随机过程通过线性系统分析

上述积分可用极限形式表示:
、 固定时, 为确定的常用,上式是正态变量 的线性组合,而正态的线性组合还是正态分布。
2.高斯过程的均值与方差近似计算
对于高斯过程,只要均值与方差确定,则整个分布函数便确定。
由于
取定一个合适的 ,利用
可求出求出 均值与方差的近似值。
作业:P1515.1,5.2,5.7,5.8,5.9,5.11,5.14,5.15,5.26,5.28。
等效原则:理想系统与实际系统的输出平均功率相等。
例:设理想输出为 ,理想系统是矩形传输函数
为等效带宽。
如何确定 ?
依等效原则,理想系统的平均功率为 ,而
所以
称 为等效噪声带宽。
3.白噪声通过理想低通线性系统
在实际应用中,设
白噪声的谱密度为:
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为:
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
但求输入的概率分布不是一件容易的事为使问题得到简化一般我们假设高斯随机过程通过线性系统定理
第4章随机过程通过线性系统分析
引言:信号与系统的传统理论方法的基础是卷积运算。如图,
图1:系统的物理示意图
是系统的输入, 是系统的输出, 是系统的冲激响应函数
其中 ,为冲激函数。
对于线性系统,系统的数学运算为:
相关时间为
4.白噪声通过理想带通线性系统
理想带通线性系统具有理想矩形频率特性
白噪声的谱密度为:
输出 的功率谱密度为
输出 的相关函数为:
可写成
称为相关函数的包络。
输出 的平均功率为
输出 的自相关系统为
相关时间为
5.白噪声通过具有高斯频率特性的线性系统
随机过程通过线性系统

随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号,信号和系统总是联系在一起的。 通信系统中的信号或噪声一般都是随机的,因此在以后的讨论 中我们必然会遇到这样的问题:随机过程通过系统(或网络) 后,输出过程将是什么样的过程?
这里,我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。 随机信号通过线性系统的分析,完全是建立在确知信号通过线 性系统的分析原理的基础之上的。我们知道,线性系统的响应 vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积,即
度,然后讨论输出过程的概率分布问题。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
E[ξo(t)]= e[h( ) ξi(t-τ)dτ ]
=
h(
0
)E[1[i
(t
)]d
a
h( )d
0
式中利用了平稳性假设E[ξi(t-τ)]=E[ξi(t)]=a(常数)。 又因为
H(W)=
h(t)e
jwtd
t
0
求得
H(0)= h(t)dt
可见, ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t1 无关。
若线性系统的输入过程是平稳的,那么输出过程也是平 稳的。
3. 输出过程ξo(t)的功率谱密度
对式(2.4 - 7)进行傅里叶变换, 有
p0(w)
R0
(
)e
jw
d
0
[h(a)h(
0
)Ri (
)dad ]e jwrd
噪声平均功率。理想低通的传输特性为
H(ω)=
K0e-jwt 0
w wH
其他
解 由上式得|H(ω)|2=
K02
,|ω|≤ωH。输出功率谱密度为
随机过程通过线性系统分析

RY (t1 , t 2 ) Lt1 [ RXY (t1 , t 2 )] h(t1 ) RXY (t1 , t 2 )
若X(t)平稳:
h(t1 ) h(t 2 ) RX (t1 , t 2 )
RXY (t1 , t2 ) h(t2 ) RX (t1 , t2 ) RX (t1 , t2 u)h(u)du
RYX (t1 , t 2 ) E[Y (t1 ) X (t 2 )] h(t1 ) RX (t1 , t 2 )
RY (t1 , t2 ) Lt1 [ RXY (t1 , t2 )] h(t1 ) RXY (t1 , t2 ) h(t1 ) h(t2 ) RX (t1 , t 2 )
随机过程通过线性系统分析 X(t) L Y(t)
问题:给定输入和线性系统的特性 求解:输出的统计特征 线性系统的描述方法:
微分方程 冲激响应 系统传递函数
微分方程法
冲激响应法
频谱法
随机过程通过线性系统分析
冲激响应法 频谱法 计算举例
1. 冲激响应法 X(t) xi(t,ei)
RXY () RX (t1 t2 u)h(u)du h() RX ()
RYX ( ) h( ) RX ( ) RY ( ) h( ) RXY ( ) h( ) h( ) RX ( )
X(t)
h(t)
Y(t) mY(t)
RX(t1,t2)
RX(t1,t2)
h(t2 )
h(t1)
RXY(t1,t2)
RYX(t1,t2)
h(t1)
RYt1,t2)
相关函数:
RXY (t1 , t 2 ) E[ X (t1 )Y (t 2 )] h(t 2 ) RX (t1 , t 2 ) RYX (t1 , t 2 ) E[Y (t1 ) X (t 2 )] h(t1 ) RX (t1 , t 2 )
随机信号分析实验报告(基于MATLAB语言)

随机信号分析实验报告——基于MATLAB语言姓名:_班级:_学号:专业:目录实验一随机序列的产生及数字特征估计 (2)实验目的 (2)实验原理 (2)实验内容及实验结果 (3)实验小结 (6)实验二随机过程的模拟与数字特征 (7)实验目的 (7)实验原理 (7)实验内容及实验结果 (8)实验小结 (11)实验三随机过程通过线性系统的分析 (12)实验目的 (12)实验原理 (12)实验内容及实验结果 (13)实验小结 (17)实验四窄带随机过程的产生及其性能测试 (18)实验目的 (18)实验原理 (18)实验内容及实验结果 (18)实验小结 (23)实验总结 (23)实验一随机序列的产生及数字特征估计实验目的1.学习和掌握随机数的产生方法。
2.实现随机序列的数字特征估计。
实验原理1.随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列(样本值序列)。
进行随机信号仿真分析时,需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时,通常利用数学方法产生随机数,这种随机数称为伪随机数。
伪随机数是按照一定的计算公式产生的,这个公式称为随机数发生器。
伪随机数本质上不是随机的,而且存在周期性,但是如果计算公式选择适当,所产生的数据看似随机的,与真正的随机数具有相近的统计特性,可以作为随机数使用。
(0,1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。
(0,1)均匀分布指的是在[0,1]区间上的均匀分布, U(0,1)。
即实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数,通常采用的方法为线性同余法,公式如下:,序列为产生的(0,1)均匀分布随机数。
定理1.1若随机变量X 具有连续分布函数,而R 为(0,1)均匀分布随机变量,则有2.MATLAB中产生随机序列的函数(1)(0,1)均匀分布的随机序列函数:rand用法:x = rand(m,n)功能:产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。
(2)正态分布的随机序列函数:randn用法:x = randn(m,n)功能:产生m×n 的标准正态分布随机数矩阵。
随机过程课程总结范文

随着科技的飞速发展,随机过程作为一门重要的数学工具,在现代科技诸多领域,如物理、化学、生物、通信、机电、自动化、地震、海洋及经济等学科中均有广泛应用。
本学期,我有幸参加了随机过程这门课程的学习,通过这段时间的学习,我对随机过程有了更为深入的理解和认识,以下是我对这门课程的总结。
首先,随机过程课程为我们系统地介绍了随机过程的基本理论及其应用。
课程内容丰富,涵盖了概率论、数理统计、信号与系统、复变函数、常微分方程等多个领域的知识。
在学习过程中,我们学习了概率论与数理统计的基础知识,了解了随机过程的基本概念、研究方法和应用技巧。
课程中,我们重点学习了泊松过程、高斯过程、马尔可夫过程、平稳过程、正态过程和布朗运动等基本随机过程。
通过对这些典型随机过程的学习,我们掌握了它们的特性、性质以及在实际应用中的体现。
例如,泊松过程在通信、排队论等领域有着广泛的应用;马尔可夫过程在经济学、生物学、社会学等领域有着重要的应用。
其次,随机过程课程强调应用性,着重于揭示随机过程基本概念的来源及背景,典型随机模型的提炼方法、特性刻画、应用背景及发展踪迹。
在课程中,我们学习了随机信号的功率谱分析、以随机信号作为输入的线性系统分析、以及窄带随机信号等应用问题。
这些知识为我们今后在相关领域的工作奠定了基础。
在学习过程中,我深刻体会到随机过程课程具有很强的实践性。
教师通过丰富的实例,引导我们分析实际问题,让我们在实际应用中体会随机过程的价值。
此外,课程还安排了大量的习题和实验,让我们在实践中巩固所学知识,提高解题能力。
最后,随机过程课程的教学方法值得我们借鉴。
教师注重启发式教学,鼓励我们积极思考、勇于探索。
在教学过程中,教师善于将抽象的理论与实际问题相结合,使我们在理解理论的同时,也能将所学知识应用到实际中。
总之,通过学习随机过程课程,我对随机过程有了更为全面的认识。
这门课程不仅提高了我的数学素养,还让我了解了随机过程在各个领域的应用。
实验三 随机信号通过线性时不变系统

实验三 随机信号通过线性系统的分析一、实验目的1 模拟产生特定相关函数的连续随机序列或者离散的随机序列,考察其特性。
2 模拟高斯白噪声环境下信号通过系统的问题,实现低通滤波。
3 掌握系统输出信号的数字特征和功率谱密度的求解。
二、实验设备1计算机2 Matlab 软件三、实验原理随机信号通过线性系统分析的中心问题是:给定系统的输入函数(或统计特性:均值和 自相关函数)和线性系统的特性,求输出函数。
如下图所示,H 为线性变换,信号X (t )为系统输入, Y (t )为系统的输出,它也是随机信号。
图3.1 随机信号通过系统的示意图并且满足: H [X (t )] = Y (t )在时域:若X(t)时域平稳,系统冲激响应为h(t),则系统输入和输出的关系为:()()*()()()()()Y t X t h t X h t d h X t d ττττττ∞∞-∞-∞==-=-⎰⎰ 输出期望:∑∞===0m XY )m (h m )]t (Y [E m 输出的自相关函数:)(h )(h )(R )(R X Y τ*τ-*τ=τ输出平均功率:⎰⎰∞∞-∞∞--=τdvdu )u (h )v (h )u v (R )(R X Y 互相关:)()()()()(ττσσσττh R d h R R X X XY *=-=⎰∞∞-在频域:输入与输出的关系:)(H )(X )(Y ωω=ω输出的功率谱:2X X Y )(H )(S )(H )(H )(S )(S ωω=ωω-ω=ω功率谱:)(H )(S )(S X XY ωω=ω四、实验内容与步骤1已知平稳随机过程X(n)的相关函数为:5),()(22==σδσm m R ; 线性系统的单位冲击响应为111,0,)(+-=≥=实验者学号后两位r k r k h k 。
编写程序求:1)输入信号的功率谱密度、期望、方差、平均功率;2)利用时域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率;3)利用频域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率;4)利用频域分析法或时域分析法求解输入输出的互相关函数、互功率谱密度。
随机过程通过线性系统

▪ 频域: 若 h(t)dt 物理可实现,且x(t)有界,则有:
Y ( ) H ( )X ( ) 。 所以对于确定信号,总可以用数学式或列表形式给定其 时域的描述,或用变换的方式给出其“频域”的表述,而且 对于其通过线性时不变系统的表述为:
x(t)
X ()
h(t )
H ( )
e
H ( ) 2 d
0
H ( 0 ) 2
e
o
0
o
e 表示:系统对噪声功率谱的选择性。
线性系统的通频带宽与等效噪声带宽 e 的关系
线性系统通频带的一般定义:系统频率特性曲线半功
率点的通频带宽 (也称为三分贝带宽)。其表示系
统对有用信号的选择性。
因为 ,e 都取决于系统的传输函数H ( ),
E[Y (t )] m X h( )d m X H (0) ,其中 h( )d H (0)
➢ 输出过程的均值=输入过程的均值×H(0)≡常数。
2. 系统输出Y(t) 的自相关函数:
RY (t, t ) E[Y (t )Y (t )]
h( )h( )E[ X (t )X (t )]dd
3.输入X(t) 与输出Y(t) 的互相关函数和互谱密度
RXY ( ) RX 1Y1 ( ) RX 1Y2 ( ) RX 2Y1 ( ) RX2Y 2 ( )
G XY ( ) G X 1Y1 ( ) G X 1Y2 ( ) G X 2Y1 ( ) G X2Y 2 ( )
四、白噪声通过线性系统
RXY ( ) RX ( ) h( ) (N 0 / 2) ( ) h( ) (N 0 / 2)h( )
即有
h( )
2 N0
RXY ( )
北京理工大学随机信号分析实验报告

北京理工大学随机信号分析实验报告本科实验报告实验名称:随机信号分析实验实验一随机序列的产生及数字特征估计一、实验目的1、学习和掌握随机数的产生方法。
2、实现随机序列的数字特征估计。
二、实验原理1、随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列(样本值序列)。
进行随机信号仿真分析时,需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时,通常利用数学方法产生随机数,这种随机数称为伪随机数。
伪随机数是按照一定的计算公式产生的,这个公式称为随机数发生器。
伪随机数本质上不是随机的,而且存在周期性,但是如果计算公式选择适当,所产生的数据看似随机的,与真正的随机数具有相近的统计特性,可以作为随机数使用。
(0,1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。
(0,1)均匀分布指的是在[0,1]区间上的均匀分布,即 U(0,1)。
实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0,1)均匀分布随机数,通常采用的方法为线性同余法,公式如下:)(m od ,110N ky y y n n -=Ny x n n /=序列{}nx 为产生的(0,1)均匀分布随机数。
下面给出了上式的3组常用参数: 1、10N 10,k 7==,周期7510≈⨯;2、(IBM 随机数发生器)3116N 2,k 23,==+周期8510≈⨯;3、(ran0)315N 21,k 7,=-=周期9210≈⨯;由均匀分布随机数,可以利用反函数构造出任意分布的随机数。
定理 1.1 若随机变量 X 具有连续分布函数F X (x),而R 为(0,1)均匀分布随机变量,则有)(1R F X x -=由这一定理可知,分布函数为F X (x)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。
2、MATLAB 中产生随机序列的函数(1)(0,1)均匀分布的随机序列函数:rand用法:x = rand(m,n)功能:产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。
应用随机过程学习总结(小编整理)

应用随机过程学习总结(小编整理)第一篇:应用随机过程学习总结应用随机过程学习总结一、预备知识:概率论随机过程属于概率论的动态部分,即随机变量随时间不断发展变化的过程,它以概率论作为主要的基础知识。
1、概率空间方面,主要掌握sigma代数和可测空间,在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。
符号解释:sup表示上确界,inf 表示下确界。
本帖隐藏的内容2、数字特征、矩母函数与特征函数:随机变量完全由其概率分布来描述。
其中由于概率分布较难确定,因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体,而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算,同时唯一的决定概率分布。
3、独立性和条件期望:独立随机变量和的分布通常由卷积来表示,对于同为分布函数的两个函数,卷积可以交换顺序,同时满足结合律和分配率。
条件期望中,最重要的是理解并记忆E(X)= E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。
二、随机过程基本概念和类型随机过程是概率空间上的一族随机变量。
因为研究随机过程主要是研究其统计规律性,由Kolmogorov定理可知,随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。
同样,随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。
1、平稳过程,通常研究宽平稳过程:如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立,即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差t-s有关,r(t)= r(-t)记为宽平稳随机过程。
因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察,那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来,因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。
2、独立增量过程:若X[Tn]–X[T(n-1)]对任意n均相互独立,则称X(t)是独立增量过程。
若独立增量过程的特征函数具有可乘性,则其必为平稳增量过程。
兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程,其均值函数一定是时间t的线性函数。
第四章 随机信号通过线性系统

信号yt
图 4-1 信号经过系统
图4-2 卫星遥感
图4-3 遥感 图像
第四章 随机信号通过线性系统
线性系统基本理论 随机信号通过线性系统√ 白噪声通过低频线性系统√ 独立随机过程之和的自相关函数定理 散弹效应噪声 热噪声√
§4.1 线性系统基本理论
输入信号 与输出信号 为确定信号。 一、一般线性系统
随机信号通过线性时不变系统的响应为
一、时域分析法:系统响应的矩分析
已知输入随机信号的统计特性,要求能够 得到系统输出的统计特性; 在获取系统输出随机信号的统计特性时, 希望得到输入随机信号的统计特性。
1、输出的均值
ht
输出均值 是输入随机信号均值 系统的冲击响应 的卷积; 当随机信号为宽平稳时,有 则输出均值
H j 系统功
2
率传输函数
系统输出的功率谱密度等于输入功率谱密 度与系统功率传输函数乘积; 系统输出的功率谱密度只与系统的幅频特 性有关,而与相频特性无关。
2、系统输入与输出的互功率谱密度
例4-2 若平稳白噪声随机信号 通过低通RC回路, 试求出输出 的功率谱密度函数。
解:该电路的传输函数为
4.5.2 坎贝尔定理 当一个形状确定的随机脉冲在时间轴上出 现的几率为等概率时,该随机脉冲具有平 稳各态历经过程的性质。 ,其中 是相互独立的平稳随机过 程 对于确定形状的随机脉冲,除出现时间随 机,极性(如正负脉冲)和强度也有一定 的随机。
(1)
形状、极性和强度完全相同 假设单位时间内脉冲的平均个数为 ,那 有 ,则各分量 的自相关函数
输入的功率谱函数 输出的功率谱函数为
§4-3 白噪声通过低频线性系统
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第一章随机变量基础1历史上哪些学者对随机过程学科的基础理论做出了突出贡献?答:随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。
这一学科最早源于对物理学的研究,如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究,及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。
1907年前后,马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量,后人称之为马尔可夫链。
1923年维纳给出布朗运动的数学定义,直到今日这一过程仍是重要的研究课题。
随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。
1931年,柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》,1934年A·辛饮发表了《平稳过程的相关理论》,这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。
1953年,杜布出版了名著《随机过程论》,系统且严格地叙述了随机过程基本理论。
2 全概率公式的含义?答:全概率公式的含义就是各种可能发生的情况的概率之和为1。
3 概率空间有哪几个要素,其概念体现了对随机信号什么样的建模思想?答:样本空间、事件集合、概率函数称为概率空间的三要素。
概率函数建立了随机事件与可描述随机事件可能性大小的实数间的对应关系,因此,概率空间是在观测者观测前对随机事件发生的可能性大小进行了量化,其有效性是通过多次观测体现出来的,也即在多次观测中,某个随机事件发生的频率可直接认为与其发生的概率相等,所以,概率空间的建模思想实际是对大量观测中某随机事件发生频率的稳定性的描述。
4 可用哪些概率函数完全描述一个随机变量?答:概率分布函数(cdf)、概率密度函数(pdf)、特征函数(cf)、概率生成函数(gf)。
5 可用哪些数字特征部分描述一个随机变量?答:均值、方差、协方差、相关系数和高阶矩。
6 随机变量与通常意义上的变量有何区别与联系?答:随机变量具有通常意义上的变量的所有性质和特征(即变量特性),还增加了变量取每个值的可能性大小的描述(即概率特性)。
因此,描述或刻画一个随机变量时,还必须要特别考察其概率函数或各阶矩函数。
第三章随机过程通过系统分析

3.1 随机过程通过线性系统分析 线性变换
L[ A1 X 1 (t ) + A2 X 2 (t )] = A1 L[ X 1 (t )] + A2 L[ X 2 (t )]
其中A1,A2为随机变量,X1(t),X2(t)为随机过程。 对于线性变换 Y (t ) = L[ X (t )] 若有 Y (t + ε ) = L[ X (t + ε )] 则称线性变换L是线性时不变的。
N0 / 2 GX (ω ) = 0
ω < ωc
其它
RX (τ )
N 0ωc sin ωcτ RX (τ ) = ⋅ 2π ωcτ
N 0ω c R X (0) = 2π
−
π ωc
0
π ωc
τ
理想低通随机过程的自相关函数
13
3.1 随机过程通过线性系统分析 带通过程
N0 / 2 GX (ω ) = 0
mY (t ) = L[mX (t )] = h(t ) ⊗ mX (t ) = ∫ h(τ)mX (t − τ)d τ
−∞
5
∞
3.1 随机过程通过线性系统分析 若X(t)平稳 X(t)平稳
mY = ∫ m X h(τ )dτ = m X ∫ h(τ )dτ = m X H (0)
−∞ −∞
+∞
+∞
0 ∞
F (ω) Y
∆ωe
F (ω0 ) Y
0
ω0 图3.12 噪声等效通能带示意图
ω
16
3.1 随机过程通过线性系统分析 对带通系统
∆f e
∫ =
∞
0
FY (ω)d ω
2πFY (ω0 )
随机信号分析报告实验:随机过程通过线性系统地分析报告

实验三 随机过程通过线性系统的分析实验目的1. 理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。
2. 学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性,验证随机过程的正态化问题。
实验原理1.白噪声通过线性系统设连续线性系统的传递函数为)(ωH 或)(s H ,输入白噪声的功率谱密度为2)(0N S X =ω,那么系统输出的功率谱密度为2)()(02N H S Y ⋅=ωω (3.1) 输出自相关函数为⎰∞∞-=ωωπτωτd e H N R j Y 20)(4)( (3.2)输出相关系数为)0()()(Y Y Y R R ττγ=(3.3) 输出相关时间为⎰∞=00)(ττγτd Y (3.4)输出平均功率为[]⎰∞=202)(2)(ωωπd H N t Y E (3.5)上述式子表明,若输入端是具有均匀谱的白噪声,则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性)(ωH 决定,不再是常数。
2.等效噪声带宽在实际中,常常用一个理想系统等效代替实际系统的)(ωH ,因此引入了等效噪声带宽的概念,他被定义为理想系统的带宽。
等效的原则是,理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下,两个系统的输出平均功率相等,理想系统的增益等于实际系统的最大增益。
实际系统的等效噪声带宽为⎰∞=∆022max)()(1ωωωωd H H e (3.6)或⎰∞∞--=∆j j e ds s H s H H j )()()(212maxωω (3.7)3.线性系统输出端随机过程的概率分布 (1)正态随机过程通过线性系统若线性系统输入为正态过程,则该系统输出仍为正态过程。
(2)随机过程的正态化随机过程的正态化指的是,非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。
任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的;宽带噪声通过窄带系统,输出近似服从正态分布。
实验内容设白噪声通过图3.1所示的RC 电路,分析输出的统计特性。
图3.1 RC 电路(1)试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。
实验一随机信号通过线性系统和非线性系统后的特性分析

实验一随机信号通过线性系统和非线性系统后的特性分析目录目录............................................................ - 1 -1.实验目的...................................................... - 2 -2.实验原理...................................................... - 2 -⑴随机信号的分析方法...................................... - 2 -⑵线性系统................................................ - 6 -⑶非线性系统.............................................. - 8 - ⒊实验任务与要求................................................ - 9 -⑴实验系统框图如图1所示:................................ - 9 -⑵输入信号:.............................................. - 9 -⑷用matlab或c/c++设计非线性系统.......................... - 9 -⑸用matlab或c/c++设计线性系统........................... - 10 -⑹完成系统测试........................................... - 11 -⑺按要求写实验报告....................................... - 11 -4、实验设计与仿真.............................................. - 11 -(1)输入信号的设计.......................................... - 11 -(2)低通滤波器设计.......................................... - 14 -(3)平方率检波器设计........................................ - 16 -5..实验结果分析................................................ - 18 -6.实验中遇到的问题............................................. - 18 -7.心得体会..................................................... - 19 -1.实验目的⑴了解随机信号自身的特性,包括均值(数学期望)、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等。
随机信号通过线性系统的分析.

(6-83)
由于输入的是随机信号,输出一般也是随机信号。
1.输出的均值
输出序列的均值 my (n) 通过(6-83)式计算,即
my (n) EY (n) h(k)EX (n k) h(k)mx (n k)
k
k
(6-84)
若 X (n) 为平稳随机序列,则 mx (n) mx (n k) mx 为
(一)时域分析
设已知线性时不变离散系统的单位脉冲响应为
在 n 范围内输入随机序列 h(n) ,又设
Y (n) 是 X (n) 通过该系统的输出序列,则X输(n出) 随机 序列为 h(n) 与 X (n) 的卷积和,即
Y (n) h(n) X (n) h(k)X (n k) k
的,则系统输出也是广义平稳的。
3.输入与输出之间的互相关函数
根据互相关函数的定义,有
Rxy (t, t ) EX (t)Y (t )
E
X
(t)
h( 1 ) X (t
1
)d
1
h(
1
)EX
(t)
X
(t
1 )d 1
(6-86)
若X (n)为平稳随机序列,则有
Ryy (m)
h(k)h(i)Rxx (m k i)
k i
Rxx (m) h(m) h(m)
(6-87)
上式说明,输出随机信号Y(n) 的自相关函数只 与时间差m有关。实际上,对于线性时不变系 统而言,如果输入随机信号是平稳的,输出随 机信号也是平稳的,故其概率特性是时不变的, 自相关函数只与时间差有关。
随机过程通过线性系统

平稳随机过程通过线性时不变系统的时域分析小结:
X(t )
h(t )
Y(t )
X(t):平稳随机过程 h(t):线性时不变系统的冲击响应
E[Y (t )] m X H (0)
RY ( ) RX ( ) h( ) h( ) RXY ( ) h( ) RYX ( ) h( )
h( )[
h(
)RX
(
)d
]d
h( )[h( ) RX ( )]d
h( ) h( ) RX ( )
输出过程 RY(τ) 只与时间差 τ 有关,而与时 间 起点 t 无关。
E[Y (t )] m X H (0)
(1 )
1
0
RY
(
)
N0 2
e1 e (1 )d1
0
1 0;1 0有物理意义 对 0时
RY ( )
N0 2
e
e21 d1
0
N0 e
4
对 0时
RY ( )
N0 2
e
输出过程的均值=输入过程的均值×H(0)≡常数。
2.系统输出Y(t) 的自相关函数:
RY (t, t ) E[Y (t)Y (t )]
h( )h( )E[ X (t )X (t )]dd
h( )h( )RX ( )dd
常数
RY ( ) RX ( ) h( ) h( ) 的函数
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������������ (������) = |������(������������)|2 ������������ (������) = ������2 |������(0)|2 ������(������) + ������|������(������������)|2
例6.21 随机过程������(������) = ������cos(������������ + ������),������之PDF为������������ (������ ),������在 0,2������ 内均匀分布,求������(������)的功率谱。 解:������(������)的相关函数为 ������2 ������2 +∞ ������������ (������) = ������*cos������������+ = ������������ (������)cos������������������������ 2 2 −∞ 而且 1 +∞ ������������ (������) = ������������ (������)cos������������������������ 2������ −∞ 因此,若������������ (������ )是偶函数,则 ������������ (������) = ������������2 ������������ (������ ) 若������������ (������ )不是偶函数。则做如下处理 +∞ ������2 +∞ ������������ (������)= , ������������ (������)������ ������������������ ������������ + ������������ (������)������ −������������������ ������������ 4 −∞ −∞ ������2 +∞ = ������������ (������) + ������������ (−������) ������ ������������������ ������������ 4 −∞
=
−∞
1 ℎ(������)ℎ(������ ) , lim ������→∞ 2������
+∞ +∞ −∞
������(������ + ������ − ������)������(������ − ������ ) ������������-������������������������
=
于是,根据均方导数的性质可得
������*������(������)+ = ������ ,������������ (������) = ������2 + ������������(������) 所以,泊松脉冲过程的功率谱为 ������������ (������) = ������2 ������(������) + ������
因此,输出的功率谱为
其中, |������(������������ )|2 = ������(������������)������(−������������) ↔ ℎ(������) ∗ ℎ(−������) = +∞ −∞ ℎ(������ − ������)ℎ(−������)������������ 因此, ������������ (������) = ������2 |������(0)|2 + ������ 而且 ������ ������ ������ = ������
������(������) =
������(������)������ ������2������������������ ������������
������2������������)������(������)������ ������2������������������ ������������ − 2������������ 2 ������(������)������ ������2������������������ ������������
+∞ −∞
������������ (������) = ������*������(������ + ������)������(������)+ = ������2 ������*������ ������������������ + = ������2
而且
������������ (������)������ ������������������ ������������
−∞
ℎ(������)ℎ(������ ) ������������������ (������ − ������ + ������)������������������������
= ������������������ (������
例6.20 随机过程������(������) = ������������ ������(������������−������) ,������ 是PDF为������������ (������ ) 的随机变量, 并且������������ (������ )是偶函数。求������(������)的功率谱������������ (������ )。 解:������(������)的相关函数为
ℎ(������ + ������)ℎ(������)������������
+∞ −∞
������ ������ − ������ ℎ ������ ������������ = ������
+∞
ℎ(������)������������ = ������������(0) ℎ2 (������) ������������
������*������ 2 (������)+ = ������2 ,
−∞
ℎ(������)������������-2 + ������
+∞ −∞
例6.19 求证:平稳遍历过程������(������)通过线性系统ℎ(������)的输出������(������)也 是遍历过程。
证明:先证明均值遍历 1 < ������(������) >= lim ������→∞ 2������ 1 = lim ������→∞ 2������
于是
1 +∞ ������������ (������) = ������������ (������)������ ������������������ ������������ 2������ −∞ ������������ (������) = 2������������2 ������������ (������ )
+∞
������(������ − ������) ������������ ℎ(������)������������
=
−∞ +∞
������*������(������ − ������)+ ℎ(������)������������
= ������*
−∞
������(������ − ������) ℎ(������)������������ = ������*������(������)+
再证其自相关遍历
1 < ������(������ + ������)������(������) >= lim ������→∞ 2������
������
������ −������
������(������ + ������)������(������) ������������
1 = lim ������→∞ 2������
4
对于上述系统 ������������ (������) = |������(������������ )|2 ������������ (������) = , 2������������ 可得,
4 2
− 2������������
2
+ 1-������������ (������
������������ (������) = ������������ (������) + ������������ (������) + ������������ (������
+∞
+∞
+∞ −∞
ℎ(������)ℎ(������ ) ������(������ + ������ − ������)������(������ − ������ )������������������������ ������������
������ −������
−������
+∞ −∞
−∞
2
其中,������(������������) = ������2������������
+ (������2������������) + 1。可以由������������ (������ 求������������ (������ 。
������(������)与������(������)的关系如下: 可推得: ������′ (������) = ������′′ (������) =
6.13.2 利用解微分方程的方法
可参考6.3.2,从6.3.2的结论可以看到,即使是极为简单的一阶 微分方程,如果输入为随机信号,采用经典方法来解答的话也 是十分复杂的。
6.13.3 利用冲激响应的卷积处理
可参考6.3.2,使用该方法求输出的相关函数比解微分方程容易 一些。