随机过程通过线性系统的分析方法总结
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
������������(������1 ) ������������(������2 ) ������������ (������1 , ������2 ) = ������*( + ������(������1 ))( )+������(������2 )+ ������������1 ������2 = ������������ ′������ ′ (������1 , ������2 ) + ������������ ′������ (������1 , ������2 ) + ������������������ ′ (������1 , ������2 ) + ������������������ (������1 , ������2
+∞ ������ +∞ ������ −������
������(������) ������������
ℎ(������)������(������ − ������)������������ ������������
−������ −∞ +������ −������
=
−∞
1 lim ������→∞ 2������
������(������) =
������(������)������ ������2������������������ ������������
������2������������)������(������)������ ������2������������������ ������������ − 2������������ 2 ������(������)������ ������2������������������ ������������
ℎ(������ + ������)ℎ(������)������������
+∞ −∞
������ ������ − ������ ℎ ������ ������������ = ������
+∞
ℎ(������)������������ = ������������(0) ℎ2 (������) ������������
������*������ 2 (������)+ = ������2 ,
−∞
ℎ(������)������������-2 + ������
+∞ −∞
例6.19 求证:平稳遍历过程������(������)通过线性系统ℎ(������)的输出������(������)也 是遍历过程。
证明:先证明均值遍历 1 < ������(������) >= lim ������→∞ 2������ 1 = lim ������→∞ 2������
于是
1 +∞ ������������ (������) = ������������ (������)������ ������������������ ������������ 2������ −∞ ������������ (������) = 2������������2 ������������ (������ )
例6.21 随机过程������(������) = ������cos(������������ + ������),������之PDF为������������ (������ ),������在 0,2������ 内均匀分布,求������(������)的功率谱。 解:������(������)的相关函数为 ������2 ������2 +∞ ������������ (������) = ������*cos������������+ = ������������ (������)cos������������������������ 2 2 −∞ 而且 1 +∞ ������������ (������) = ������������ (������)cos������������������������ 2������ −∞ 因此,若������������ (������ )是偶函数,则 ������������ (������) = ������������2 ������������ (������ ) 若������������ (������ )不是偶函数。则做如下处理 +∞ ������2 +∞ ������������ (������)= , ������������ (������)������ ������������������ ������������ + ������������ (������)������ −������������������ ������������ 4 −∞ −∞ ������2 +∞ = ������������ (������) + ������������ (−������) ������ ������������������ ������������ 4 −∞
+∞
+∞
+∞ −∞
ℎ(������)ℎ(������ ) ������(������ + ������ − ������)������(������ − ������ )������������������������ ������������
������ −������
−������
+∞ −∞
−∞
因此,输出的功率谱为
其中, |������(������������ )|2 = ������(������������)������(−������������) ↔ ℎ(������) ∗ ℎ(−������) = +∞ −∞ ℎ(������ − ������)ℎ(−������)������������ 因此, ������������ (������) = ������2 |������(0)|2 + ������ 而且 ������ ������ ������ = ������
输出的功率谱为
������������ (������) = |������(������)|2 ������������ (������
其中,������(������ )为系统频响。例如,如下系统 ������ 2 ������(������) ������������(������) + + ������(������) = ������(������ 2 ������������ ������������ 已知输入的相关函数为������������ (������ ,求输出������(������)的相关函数。先求������(������) 的功率谱,首先 ������������ (������) = |������(������)|2 ������������ (������
������������(������ ) ������������
������(������) =
其中,������(������)是参数为������的泊松过程。其均值和相关函数为 ������*������(������)+ = ������������ , ������������ (������1 , ������2 ) = ������2 ������1 ������2 + ������min(������1 , ������2
例6.18 泊松脉冲过程 ������(������) = ������������(������ − ������������ ) (参数������)通过冲激响 应为ℎ(������)的系统,输出为������(������),求������(������)的相关函数。 解:泊松脉冲过程是泊松过程的均方导数。设
+∞ −∞
������������ (������) = ������*������(������ + ������)������(������)+ = ������2 ������*������ ������������������ + = ������2
而且
������������ (������)������ ������������������ ������������
−∞ +∞ +∞ −∞
������������ (������) = |������(������������)|2 ������������ (������) = ������2 |������(0)|2 ������(������) + ������|������(������������)|2
6.13.1 利用均方导数的性质
由5.4.3之性质(4)
������������ ������ ������ ������ (������, ������) = ������*������
������
(������)������
������
(������)
可计算直接由线性微分方程描述的线性系统输出的相关 函数。例如 ������������(������) + ������(������) = ������(������ ������������
于是,根据均方导数的性质可得
������*������(������)+ = ������ ,������������ (������) = ������2 + ������������(������) 所以,泊松脉冲过程的功率谱为 ������������ (������) = ������2 ������(������) + ������
再证其自相关遍历
1 < ������(������ + ������)������(������) >= lim ������→∞ 2������
������
������ −������
������(������ + ������)������(������) ������������
1 = lim ������→∞ 2������
随机过程通过线性系 统的分析方法总结
对于一个集总参数的、连续时间的动态系统,可 以用一组常微分方程来描述。对其分析主要是根据输 入的统计特性求解输出的统计特性,如相关函数、功 率谱等。输入为平稳过程时,且在������ = 0时介入,则输 出不是平稳过程,只有当������ → ∞时,输出才是平稳过程。 所以一般假设输入在������ → −∞时介入。一般的分析方法 有如下几种:
+∞
������(������ − ������) ������������ ℎ(������)������������
=
−∞ +∞
������*������(������ − ������)+ ℎ(������)������������
= ������*
−∞
������(������ − ������) ℎ(������)������������ = ������*������(������)+
4
对于上述系统 ������������ (������) = |������(������������ )|2 ������������ (������) = , 2������������ 可得,
4 2
− 2������������
2
+ 1-������������ (������
������������ (������) = ������������ (������) + ������������ (������) + ������������ (������
−∞
ℎ(������)ℎ(������ ) ������������������ (������ − ������ + ������)������������������������
= ������������������ (������
Байду номын сангаас
例6.20 随机过程������(������) = ������������ ������(������������−������) ,������ 是PDF为������������ (������ ) 的随机变量, 并且������������ (������ )是偶函数。求������(������)的功率谱������������ (������ )。 解:������(������)的相关函数为
2
其中,������(������������) = ������2������������
+ (������2������������) + 1。可以由������������ (������ 求������������ (������ 。
������(������)与������(������)的关系如下: 可推得: ������′ (������) = ������′′ (������) =
=
−∞
1 ℎ(������)ℎ(������ ) , lim ������→∞ 2������
+∞ +∞ −∞
������(������ + ������ − ������)������(������ − ������ ) ������������-������������������������
=
6.13.2 利用解微分方程的方法
可参考6.3.2,从6.3.2的结论可以看到,即使是极为简单的一阶 微分方程,如果输入为随机信号,采用经典方法来解答的话也 是十分复杂的。
6.13.3 利用冲激响应的卷积处理
可参考6.3.2,使用该方法求输出的相关函数比解微分方程容易 一些。
6.13.4 利用功率谱方法分析