上极限与下极限

{
}
(ii)当 H = +∞ 时,数列 {an }无上界,由此便获得所要的 结论. (iii)当 H = −∞ 时,对任何 G > 0 ,存在 n 0 ,当 n > n0 时 a ≤ β < −G 这表明{an } 的极限为 −∞ .
n +1 n
(i)当 h 为有限时,对 h 的任何ε 邻域 (h − ε , h + ε ) ， 在数列 {an } 中有无穷多个项属于这个邻域,而最多只有有 限多项小于 h − ε (包括一项也没有);
n →∞
}
0
0
因此
H = liman = lim β n ≤ H − ε o
n →∞
这与定理的假设矛盾，这就证明了对任何 ε > 0，在 {an } 中必有无穷多个项大于 H − ε 再来证明，在 {an } 中最多只有有限多个项大 于H + ε ．因为，由于 lim β n = H ，故存在 N,当 n > N 时 n→ ∞ 有 β n < H + ε ,而 β n 又是 an +1, an + 2, an + 3, L 的上确界, 所以当 n > N 时,对一切正整数 成立 an + k ≤ β n < H + ε , 这就证明了大于 H + ε 的 an 只可能有有限多个(包括 一个也没有).
n>k n>k
可见 α k ≤ β k．令 k = 1,2,3,L ，于是得到一列 {β k } 和一 { 列 {α k }．显然数列 {β k }是单调减少的，α k } 是单调增加的, 所以这两个数列的极限都存在．我们称 {β k }的极限是 { a n } { 的上级限，设它是H ．α k } 的极限是{ a n } 的下极限, 设 它是 h .并分别将上极限和下极限记为 lim an , lim an , ．也就 n →∞ n →∞ 是 H = lim a = lim sup{a } = lim β
n →∞ n
h = lim an = lim inf {an } = lim α k
k →∞ n > k
n
k →∞

α 由于 k ≤ β k ，得： ≤ H h
n →∞
k →∞ n > k
k →∞
如果数列 {an } 无上界，我们就说 H = liman = +∞，如果数 n →∞ 列{an }无下界，就说h = lim an = −∞
１ 预备知识：上级限和下级限
对于一个有界数列 { a n } 去掉它的最初 k 项以后，剩下来 的仍旧是一个有界数列，记这个数列的上确为β k，下确 界为 α k ，亦即
β k = sup{an } = sup{ak +1 , ak + 2 , ak +3 , L} α k = inf {an } = inf {ak +1 , ak + 2 , ak +3 ,L}
H 来证明如下.分三种情形来考察:
(i) − ∞ < H < +∞，由定理１知道，必有一个子列 {an } 收 敛于H ．此外，对任意 ε > 0 ，在 {an } 中只可能有有限多 个项大于 H + ε ，这就表明所有收敛子列的极限绝不会大 于 H + ε ，再由 ε 的任意性，便得到所有收敛子列的极限 必不大于H ． （ii）当 H = +∞时，按定理１，存在子列 an → +∞ ， 而其他一切收敛子列的极限当然不会大于 + ∞．
lima = lim a = A
n→ ∞ n n→∞ n
这个推论容易从定理３得到． 例１ 例2
an = n + (− 1) n(n = 1,2,3,L) n an = cos π (n = 1,2,3,L) 4
n
n→∞
定理2 设 h = lim a n ,则
(ii)当 h = −∞ 时,对于任何数 N > 0 有无穷多个小于 − N ; (iii)当h = +∞时,数列{an } 的极限为 证明与定理1完全相仿.
,在数列 {an }中 .
+∞
定理3 设H为 {an } 的上极限,那么,在 {an } 中必存在一个 子列,其极限为H ,并且 H 是 {an } 中所有收敛子列的极限中 的最大值.设h 为 {an } 的下极限,那么,在 {an } 中必存在一个 子列,其极限为 h ,并且 h 是 {an } 中所有收敛子列的极限中 的最小值. 证明 仅以上极限
ε
证明 （i）当 − ∞ < H < +∞ 时，假设存在某一正 数 0 ，使得在 {an }中有有限多个项大于 H − ε 0 ，那么 必存在 n 0，当 n > n0 时，一切 {an }皆有an ≤H −ε0．于是 上确界 β = sup a a ≤ H − ε (n > n )
ε
n
{
n +1, n + 2 ,L
n →∞
下面给上极限和下极限的重要性质．
定理１ 定理１ 设
H
= lim a
n → ∞
n
，则
（i）当H 为有限时，对于 H 的任何 领 域 (H − ε , H + ε ) ，在数列 {an }中有无穷多个项属于这个 领域，而在 (H − ε , H + ε )中最多只有限多个项（包括一 项也没有） （ii）当 H = +∞ 时，对任何数 N > 0，在{a n }中必 有无穷多个项大于 N （iii）当 H = −∞时，数列{a n }以 −∞为极限．
k
这一定理告诉我们，在一个数列 {an }中，它的所有收 敛子列的极限所组成的数集必有最大值和最小值，并且这 个最大（小）值正是 {an } 的上（下）极限． 推论１lim an = A （有限或无穷大）的充要条件为
n →∞
{an } 的一切子列以 − ∞ 为极限．
（iii）当 H = −∞ 时，此时 lim a n = −∞ ，故数列 n→ ∞