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说明 N= m1×m2×… ×mn 种不同的方法 1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完 成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法 数相乘得到完成这件事的方法总数,又称 乘法原理 2）首先要根据具体问题的特点确定一个 分步的标准，然后对每步方法计数.
2、为了对某农作物新品选择最佳生产条 件,在分别有3种不同土质,2种不同施肥量,4 种不同种植密度,3种不同时间的因素下进 行种植试验,则不同的实验方案共有多少种?
练习：
2、若集合A={a1,a2,a3,a4,a5}， B={b1,b2,b3}，则从A到B可建立 _____个不同的映射，从B到A 可建立___个不同的映射。
例2、由数字1,2，3,4可以组成多少个 三位数？
变式1：若各位数字不允许重复，则 有多少个三位数？ 变式2：由数字0,1，2,3，4，可组成 多少个无重复数字的三位数？ 变式3：由数字0,1，2,3，4可以组 成多少个无重复数字的三位偶数？ 变式4：在不大于200的正整数中， 各个数位都不含有数字8的自然数 有多少个？
例1、四封不同的信投入3个不同的 邮箱，共有多少种不同的投法？ 练习： 4位同学参加3项不同的竞赛： （1）每名学生只能参加一项竞赛，有 多少种不同的报名方案？
（2）每项竞赛只许有一位学生参加， 有多少种不同的报名方案？ （3）每位学生只能参加一项竞赛，每 项竞赛只许有1位学生参加，有多少种 不同的报名方案？
例3、某文艺小组有10人，每人 至少会唱歌和跳舞中的一项，其 中7人会唱歌，5人会跳舞，从中 选出会唱歌与会跳舞的各1人， 有多少种不同的选法？
例4、用5种不同的颜色给图中A、 B、C、D四个区域涂色，规定每 个区域只涂一种颜色，相邻区域 颜色不同，求有多少种不同的涂 色方法？
AA CB
BD DC
N=6×9=54
二、分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做 第1步有m种不同的方法，做第2 步有n种不同的方法，那么完成 这件事共有N＝m×n种不同的 方法。
完成一件事，需要分成n个步骤。做 第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法， ……，做第n步有mn种 不同的方法，则完成这件事共有
AA
DB
BC DC
2003年全国高考题：
某城市中心广场建造一个花园， 花园分成如图所示6块，要栽种4 种颜色不同的花，每部分栽种一 种且相邻部分不能种同颜色的花， 则不同的栽种方法有＿＿＿＿种。
练习：
（1）沿长方体的棱，从一个顶点到与之 相对的另一个顶点的最近路线有＿＿条。
N=3×2×4×3=72
3、乘积 (a1+ a2+ a3)(b1+ b2+ b3)(c1+ c2+ c3+ c4) 展开后共有多少项？
N=3×3×4=36
3、分类计数原理和分步计数原理的联系与区别
联系 分类计数原理和分步计数原理，回答的 都是有关做一件事情的不同方法的种数的问 题。
区别 分类计数原理：针对的是“分类”问题， 其各种方法互相独立，用其中任何一种方 法都可以做完这件事。
练习：
1、七名男同学和九名女同学，选出 两人组成一支乒乓球混合双打代 表队，共有多少种组队方法？
2、书架上原来并排放着5本书，现要 再插入3本不同的书，则有多少种不同 的插法？
3、现有1角币1张，2角币1张，5角币 1张，1元币4张，5元币2张。用这些 币值任意付款，可以付出不同数额的 款共有多少种？
例2 给程序模块命名，需要 用3个字符，其中首字符要求 用字母A－G或U－Z，后两个 要求用数字1－9。问最多可以 给多少个程序命名？
例3 桐乡市电话号码057388××××××, 若从0～9这10个数字中选数,问可以产生多 少个不同的电话号码?
057388
10×10 × 10 × 10×10×10 =106 若要求最后6个数字不重复,则又有多 少种不同的电话号码?
10×9×8×7×6×5=151200
练习：
已知集合M＝｛1，－2,3｝， N＝｛－4,5，6，－7｝，从两 个集合中各取一个元素作点的 坐标，则在直角坐标系中，第 一、第二象限不同点的个数有 多少个？
思考题:
同室4个人各写一张贺卡，放 在一起，再取一张不是自己 写的贺卡，共有多少种不同 的方法？
分步计数原理：针对的是“分步”问题， 各个步骤的方法相互依存，只有各个步骤 都完成了才算做完这件事。
例1 图书馆的书架上第1层放有4本不 同的《读者》,第 2层放有3本不同的 《小小说月刊》,第3层放有2本不同的 《足球》
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同 的取法? (2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书, 有多少种 不同取法? (3)从这些书中选2本不同类的书，有 多少种不同的取法？
N＝m+n 种不同的方法。
完成一件事，有n类办法. 在第1类 办法中有m1种不同的方法，在第2类方 法中有m2种不同的方法，……，在第n 类方法中有mn种不同的方法，则完成
说明这件事共种有不N同=的m方1+法m2+… +mn
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成 这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数 相加,因此称分类加法计数原理。 2）首先要根据具体的问题确定一个分类标 准，在分类标准下进行分类，然后对每类方 法计数.
现有一年级的学生3名，二年级的学 生5名，三年级的学生4名.从中任选1 人参加接待外宾的活动，有多少种不 同的选法？
N=3+5+4=12
引例3 先乘汽车
再乘火车
1
Байду номын сангаас
1
郑州 2 3
杭州
2
汽车1
火车1 火车2
汽车2
火车1 火车2
汽车3
火车1 火车2
北京
3×2=6种
引例4
用前6个大写英文字母和1－9九个 阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1， B2，…的方式给教室里的座位编 号，总共能编出多少个不同的号 码？
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引例1
两种方式
1
汽车 杭州
2
3
1
火车 杭州
2
北京 3种
3+2=5种
北京 2种
引例2
用一个大写的英文字母或一个阿 拉伯数字给教室里的座位编号， 总共能够编出多少种不同的号码？
N=26＋10=36
一、分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案， 在第一类方案中有m种不同的方 法，在第2类方案中有n种不同的 方法。那么完成这件事共有
2、为了对某农作物新品选择最佳生产条 件,在分别有3种不同土质,2种不同施肥量,4 种不同种植密度,3种不同时间的因素下进 行种植试验,则不同的实验方案共有多少种?
练习：
2、若集合A={a1,a2,a3,a4,a5}， B={b1,b2,b3}，则从A到B可建立 _____个不同的映射，从B到A 可建立___个不同的映射。
例2、由数字1,2，3,4可以组成多少个 三位数？
变式1：若各位数字不允许重复，则 有多少个三位数？ 变式2：由数字0,1，2,3，4，可组成 多少个无重复数字的三位数？ 变式3：由数字0,1，2,3，4可以组 成多少个无重复数字的三位偶数？ 变式4：在不大于200的正整数中， 各个数位都不含有数字8的自然数 有多少个？
例1、四封不同的信投入3个不同的 邮箱，共有多少种不同的投法？ 练习： 4位同学参加3项不同的竞赛： （1）每名学生只能参加一项竞赛，有 多少种不同的报名方案？
（2）每项竞赛只许有一位学生参加， 有多少种不同的报名方案？ （3）每位学生只能参加一项竞赛，每 项竞赛只许有1位学生参加，有多少种 不同的报名方案？
例3、某文艺小组有10人，每人 至少会唱歌和跳舞中的一项，其 中7人会唱歌，5人会跳舞，从中 选出会唱歌与会跳舞的各1人， 有多少种不同的选法？
例4、用5种不同的颜色给图中A、 B、C、D四个区域涂色，规定每 个区域只涂一种颜色，相邻区域 颜色不同，求有多少种不同的涂 色方法？
AA CB
BD DC
N=6×9=54
二、分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做 第1步有m种不同的方法，做第2 步有n种不同的方法，那么完成 这件事共有N＝m×n种不同的 方法。
完成一件事，需要分成n个步骤。做 第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法， ……，做第n步有mn种 不同的方法，则完成这件事共有
AA
DB
BC DC
2003年全国高考题：
某城市中心广场建造一个花园， 花园分成如图所示6块，要栽种4 种颜色不同的花，每部分栽种一 种且相邻部分不能种同颜色的花， 则不同的栽种方法有＿＿＿＿种。
练习：
（1）沿长方体的棱，从一个顶点到与之 相对的另一个顶点的最近路线有＿＿条。
N=3×2×4×3=72
3、乘积 (a1+ a2+ a3)(b1+ b2+ b3)(c1+ c2+ c3+ c4) 展开后共有多少项？
N=3×3×4=36
3、分类计数原理和分步计数原理的联系与区别
联系 分类计数原理和分步计数原理，回答的 都是有关做一件事情的不同方法的种数的问 题。
区别 分类计数原理：针对的是“分类”问题， 其各种方法互相独立，用其中任何一种方 法都可以做完这件事。
练习：
1、七名男同学和九名女同学，选出 两人组成一支乒乓球混合双打代 表队，共有多少种组队方法？
2、书架上原来并排放着5本书，现要 再插入3本不同的书，则有多少种不同 的插法？
3、现有1角币1张，2角币1张，5角币 1张，1元币4张，5元币2张。用这些 币值任意付款，可以付出不同数额的 款共有多少种？
例2 给程序模块命名，需要 用3个字符，其中首字符要求 用字母A－G或U－Z，后两个 要求用数字1－9。问最多可以 给多少个程序命名？
例3 桐乡市电话号码057388××××××, 若从0～9这10个数字中选数,问可以产生多 少个不同的电话号码?
057388
10×10 × 10 × 10×10×10 =106 若要求最后6个数字不重复,则又有多 少种不同的电话号码?
10×9×8×7×6×5=151200
练习：
已知集合M＝｛1，－2,3｝， N＝｛－4,5，6，－7｝，从两 个集合中各取一个元素作点的 坐标，则在直角坐标系中，第 一、第二象限不同点的个数有 多少个？
思考题:
同室4个人各写一张贺卡，放 在一起，再取一张不是自己 写的贺卡，共有多少种不同 的方法？
分步计数原理：针对的是“分步”问题， 各个步骤的方法相互依存，只有各个步骤 都完成了才算做完这件事。
例1 图书馆的书架上第1层放有4本不 同的《读者》,第 2层放有3本不同的 《小小说月刊》,第3层放有2本不同的 《足球》
(1)从书架上任取1本书,有多少种不同 的取法? (2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书, 有多少种 不同取法? (3)从这些书中选2本不同类的书，有 多少种不同的取法？
N＝m+n 种不同的方法。
完成一件事，有n类办法. 在第1类 办法中有m1种不同的方法，在第2类方 法中有m2种不同的方法，……，在第n 类方法中有mn种不同的方法，则完成
说明这件事共种有不N同=的m方1+法m2+… +mn
1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成 这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数 相加,因此称分类加法计数原理。 2）首先要根据具体的问题确定一个分类标 准，在分类标准下进行分类，然后对每类方 法计数.
现有一年级的学生3名，二年级的学 生5名，三年级的学生4名.从中任选1 人参加接待外宾的活动，有多少种不 同的选法？
N=3+5+4=12
引例3 先乘汽车
再乘火车
1
Байду номын сангаас
1
郑州 2 3
杭州
2
汽车1
火车1 火车2
汽车2
火车1 火车2
汽车3
火车1 火车2
北京
3×2=6种
引例4
用前6个大写英文字母和1－9九个 阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1， B2，…的方式给教室里的座位编 号，总共能编出多少个不同的号 码？
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引例1
两种方式
1
汽车 杭州
2
3
1
火车 杭州
2
北京 3种
3+2=5种
北京 2种
引例2
用一个大写的英文字母或一个阿 拉伯数字给教室里的座位编号， 总共能够编出多少种不同的号码？
N=26＋10=36
一、分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案， 在第一类方案中有m种不同的方 法，在第2类方案中有n种不同的 方法。那么完成这件事共有