59东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--随机数与几何概型B

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东北师大附属中学高三第一轮复习导学案函数的概念及表示B

函数的概念与表示 (学案)一、知识梳理：（阅读教材必修1第15页—第26页） 1、函数（1）、函数的定义：（2）、构成函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域A ，值域C ，对应法则f ，当定义域A ，对应法则f 相同时，两个函数表示是同一个函数，解决一切函数问题必须认真确定函数的定义域，函数的定义域包含四种形式：自然型；限制型；实际型；抽象型；（3）函数的表示方法：解析式法，图象法，列表法 2、映射映射的定义：函数与映射的关系：函数是特殊的映射 3、分段函数分段函数的理解：函数在它的定义域中对于自变量x 的不同取值上的对应关系不同，则可以用向个不同的解析式表法该函数，这种形式的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是多个函数。

4、函数解析式求法求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．二、题型探究探究一：求函数的定义域1.(郑州模拟)函数0( )A.{x|x<0}B.{x|x>0}C.{x|x<0且x ≠-1}D.{x|x ≠0且x ≠-1,x ∈R}2、若函数f(x+1)的定义域是[1,2],则函数)的定义域为________.3、函数y=253x x --的值域是{y|y ≤0或y ≥4},则此函数的定义域为________.探究二：求函数的解析式例2．（1）已知3311()f x x xx +=+，求()f x ；（2）已知2(1)lg f x x+=，求()f x ；（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；（4）已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．三、方法提升1、判断一个对应是否为映射关键在于是否“取值任意性，成象唯一性；判断是否为函数“一看是否为映射，二看A ，B 是否为非空的数集”2、函数是中学最重要的概念之一，学习函数的概念首先要掌握函数的三要素基本内容与方法，由给定的函数的解析式求其定义域是这类问题的代表，实际上是求使函数有意义的x 有取值范围；求函数定义域一般有三类问题：（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知()f x 的定义域求[()]f g x 的定义域或已知[()]f g x 的定义域求()f x 的定义域：①掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数）的定义域； ②若已知()f x 的定义域[],a b ，其复合函数[]()f g x 的定义域应由()a g x b ≤≤解出．求函数解析式的题型有：（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法；（3）已知函数图像，求函数解析式；（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等．四、反思感悟五、课时作业课时训练函数的解析式与定义域【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟. 一、选择题（每小题6分，共42分） 1.（2010江苏南京一模，2）函数y=322--x x +log 2(x+2)的定义域为（）A.（-∞,-1）∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪［3,+∞）C.(-2,-1]D.(-2,-1］∪［3,+∞) 2.若f(x+1)=21f(x),则下列函数中f(x)为（） A.2x B.x+21C.2-xD.21log x 3.g(x)=1-2x,f ［g(x)］=221x x -(x ≠0),则f(21)等于（）A.1B.3C.15D.30 4.设函数f(x)=lgx,g(x)=4x -2x+1-3,则函数f ［g(x)］的定义域是（） A.（-∞,2） B.(2,+∞) C.(log 23,+∞) D.(-∞,log 23)A.S=1+2t-3B.S=23log 2t C.S=21(t 2-1) D.S=-2t+5.5 6.已知函数y=f(x)的图象如下图,那么f(x)等于（）A.122+-x x B.1||22+-x x C.|x 2-1|D.x 2-2|x|+17.（2010全国大联，8）已知函数y=f(2x )的定义域是［-1，1］，则函数y=f(log 2x)的定义域是（）A.（0,+∞）B.(0,1)C.［1，2］D.［2，4］二、填空题（每小题5分，共15分） 8.函数f(x)=xx -++211的定义域为_______________. 9.已知f(x+1)的定义域是［1，2］，那么函数f(x )的定义域为___________________. 10.设函数f(x)=log a x(a>0且a ≠1),函数g(x)=-x 2+bx+c 且f(2+2)-f(2+1)=21,g(x)的图象过点A （4，-5）及B （-2，-5），则a=____________;函数f ［g(x)］的定义域为_______________.三、解答题（11—13题每小题10分，14题13分，共43分） 11.已知函数f(x+a)=|x-2|-|x+2|,且f ［f(a)］=3,求a 的值.12.已知函数f(x)=34723++-ax ax x 的定义域为R ,求a 的取值范围.13.如下图，用长为l 的木条围成上部分是半圆下部分是矩形的窗框，中间有2根横档，要使透光效果最好，应如何设计?.14.已知函数f(x)=lg(x+1),g(x)=2lg(2x+t)(t 为参数). （1）写出函数f(x)的定义域和值域；（2）当x ∈［0，1］时，求函数g(x)解析式中参数t 的取值范围; （3）当x ∈［0，1］时，如果f(x)≤g(x),求参数t 的取值范围. 附加题：1．已知2()f x 的定义域为[1,1]-，则(2)xf 的定义域为2．函数1sin 21sin 2xy x +=-的定义域为3、我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采取价格调控等手段来达到节约用水的目的，某地用水收费的方法是：水费＝基本费＋超额费＋损耗费．若每月用水量不超过最低限量a 3m 时，只付基本费8元和每月每户的定额损耗费c 元；若用水量超过a3m 时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每3m 付b 元的超额费．已知每户每月的定额损耗费不超过5元．4．（2010山东理）(11)函数y =2x-的图像大致是（）5．山东卷理)函数的图像大致为 ( ).2x x x x xe e ye e--+=-D。

吉林省东北师范大学附属中学2015届高三理科数学一轮复习教案-几何证明选讲

一、知识梳理（一）、相似三角形的判定及有关性质 1．平行线等分线段定理及其推论（1）定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。

（2）推论：①经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

②经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。

2．平行线分线段成比例定理及推论（1）定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

如图，若123////l l l ，则有：,,.AD AE AD AE DB ECAB AC DB EC AB AC ===注：把推论中的题设和结论交换之后，命题仍然成立。

3．相似三角形的判定及性质（1）相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。

（2）相似三角形的判定①预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

如图，若EF//BC ，则⊿AEF ∽⊿ABC 。

②判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。

③判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

④判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。

注：根据判定定理2，对于两等腰三角形，只需再添加一顶角或底角对应相等就可以了。

若两等腰三角形的一底角相等，则另一底角必然相等，由判定定理1即可判定其相似；若顶角对应相等，则它们的两底角也对应相等，由判定定理1即可判定；若一等腰三角形的顶角与另一等腰三角形的一底角对应相等，它们不一定相似。

（3）直角三角形相似的判定：①上述所有的任意三角形相似的判定皆适用于直角三角形。

②定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似。

③定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。

④定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

东北师大附属中学高三第一轮复习教案参数方程

一参数方程(教案)、知识梳理：(阅读教材：选修4-4第21页至39页)1. 曲线的参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数x f(°①,并且对于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点M (x,y)都y g(t)在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x, y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程•2. 参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数得到普通方程•(2)如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如x f(t),把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系y g(t),那么x f(t)就是曲线的参数方程，在y g(t)参数方程与普通方程的互化中，必须使x, y的取值范围保持一致•注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3. 圆的参数方程设圆0(0为坐标原点)的半径为r,点M从初始位置M o出发，按逆时针方向在圆0上作匀速圆周运动，设M(x,y)，贝V X rc°S (为参数)。

y rsi n这就是圆心在原点0,半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是OM0转过的角度。

圆心为(a,b)，半径为r的圆的普通方程是(x a)2 (y b)2 r2,x a r cos它的参数方程为：(为参数)。

y b r sin4•椭圆的参数方程以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为2 ）o注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。

高考数学统考一轮复习第九章概率、统计与统计案例第三节几何概型(教师文档)教案文北师大版

学习资料第三节几何概型授课提示：对应学生用书第174页[基础梳理］1．几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．2．几何概型的特点(1)无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件）有无限多个．（2）等可能性:试验结果在每一个区域内均匀分布．3．几何概型的概率公式P（A）＝错误!。

1．一个概念一测度几何概型的概率公式中的“测度(即构成事件的区域）"只与大小有关，而与形状和位置无关．2．两种方法判断几何概型几何度量形式的两种方法(1）当题干是双重变量问题,一般与面积有关系．(2）当题干是单变量问题,要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动,则几何度量是长度；若变量在平面区域（空间区域）内移动，则几何度量是面积（体积），即一个几何度量的形式取决于该度量是否在等可能变化的区域．［四基自测]1．（基础点：面积型的几何概型）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）答案：A2．(基础点：区间长度型的几何概型)在区间[－2,3］上随机选取一个数X，则X≤1的概率为()A.错误!B.错误!C.错误!D.错误!答案：B3．（基础点:时间型几何概型）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机,想听电台整点报时,则他等待的时间少于20分钟的概率为________．答案：错误!4．（基础点：面积型的几何概型）求在半径为r的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆内接等腰直角三角形内的概率为________．答案：错误!授课提示：对应学生用书第174页考点一与长度型有关的几何概型挖掘1与线段长度有关的几何概型/ 自主练透[例1]（2020·长春模拟）已知线段AC＝16 cm，先截取AB＝4 cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm3的概率为________．［解析］设长方体的长为x，宽为12－x，由4x（12－x）>128，得x2－12x＋32〈0,∴4〈x〈8，即在线段BC内，截取点D，满足BD∈(4，8），其概率为错误!＝错误!。

吉林省东北师范大学附属中学2015届高三文科数学一轮复习：随机数与几何概型[3]

随机数与几何概型(教案)[3]三、解答题10．(2010·皖南八校联考)设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤x ≤6，0≤y ≤6.表示的区域为A ，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤6，x －y ≥0.表示的区域为B .(1)在区域A 中任取一点(x ，y )，求点(x ，y )∈B 的概率；(2)若x ，y 分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数，求点(x ，y )在区域B 中的概率．解：(1)设集合A 中的点(x ，y )∈B 为事件M ，区域A 的面积为S 1＝36，区域B 的面积为S 2＝18，∴P (M )＝S 2S 1＝1836＝12. (2)设点(x ，y )在集合B 中为事件N ，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数的结果为36个，其中在集合B 中的点有21个，故P (N )＝2136＝712. 11．(2010·深圳模拟)已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)在复平面上对应的点为M .(1)设集合P ＝{－4，－3，－2,0}，Q ＝{0,1,2}，从集合P 中随机取一个数作为x ，从集合Q 中随机取一个数作为y ，求复数z 为纯虚数的概率；(2)设x ∈[0,3]，y ∈[0,4]，求点M 落在不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －3≤0，x ≥0，y ≥0所表示的平面区域内的概率．解：(1)记“复数z 为纯虚数”为事件A .∵组成复数z 的所有情况共有12个：－4，－4＋i ，－4＋2i ，－3，－3＋i ，－3＋2i ，－2，－2＋i ，－2＋2i,0，i,2i ，且每种情况出现的可能性相等，属于古典概型，其中事件A 包含的基本事件共2个：i,2i ，∴所求事件的概率为P (A )＝212＝16. (2)依条件可知，点M 均匀地分布在平面区域{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0≤x ≤30≤y ≤4内，属于几何概型．该平面区域的图形为下图中矩形OABC 围成的区域，面积为S ＝3×4＝12. 而所求事件构成的平面区域为{(x ，y )|2300,0x x x y +-⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭≤≥≥其图形如图中的三角形OAD (阴影部分) 又直线x +2y -3=0与x 轴、y 轴的交点分别为A (3,0)、D (0，23)，∴三角形OAD 的面积为S 1=1343.229⨯⨯= ∴所求事件的概率为P =1934.1216S S == 12．已知关于x 的一次函数y ＝mx ＋n .(1)设集合P ＝{－2，－1,1,2,3}和Q ＝{－2,3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y ＝mx ＋n 是增函数的概率；(2)实数m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1，求函数y ＝mx ＋n 的图象经过一、二、三象限的概率．解：(1)抽取的全部结果的基本事件有：(－2，－2)，(－2,3)，(－1，－2)，(－1,3)，(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共10个基本事件，设使函数为增函数的事件为A ，则A 包含的基本事件有：(1，－2)，(1,3)，(2，－2)，(2,3)，(3，－2)，(3,3)，共6个基本事件，所以，P (A )＝610＝35. (2)m 、n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n －1≤0－1≤m ≤1－1≤n ≤1的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、三象限，则m ＞0，n ＞0，故使函数图象过一、二、三象限的(m ，n )的区域为第一象限的阴影部分，∴所求事件的概率为P =112772=.13、投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为1/2米的小方块。

【全国百强校】东北师大附中高三数学第一轮复习导学案：抽样方法B

抽样方法(学案)B一、学问梳理：(必修3教材54-64)三种常用抽样方法：1．简洁随机抽样：设一个总体的个数为N 。

假如通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简洁随机抽样。

实现简洁随机抽样，常用抽签法和随机数表法.（1）抽签法制签：先将总体中的全部个体编号（号码可以从1到N ），并把号码写在外形、大小相同的号签上，号签可以用小球、卡片、纸条等制作，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌；抽签：抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取n 次；成样：对应号签就得到一个容量为n 的样本。

抽签法简便易行，当总体的个体数不多时，适宜接受这种方法. （2）随机数表法编号：对总体进行编号，保证位数全都；数数：当随机地选定开头读数的数后，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等。

在读数过程中，得到一串数字号码，在去掉其中不合要求和与前面重复的号码后，其中依次毁灭的号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码。

成样：对应号签就得到一个容量为n 的样本结论：① 用简洁随机抽样，从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为N1；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为N n ；② 基于此，简洁随机抽样体现了抽样的客观性与公正性；③ 简洁随机抽样的特点：它是不放回抽样；它是逐个地进行抽取；它是一种等概率抽样。

2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后依据预先定出的规章，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）。

系统抽样的步骤可概括为：（1）将总体中的个体编号。

接受随机的方式将总体中的个体编号；（2）将整个的编号进行分段。

为将整个的编号进行分段，要确定分段的间隔k .当n N 是整数时，n N k =；当n N 不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体数N ´能被n 整除，这时nN k '=；（3）确定起始的个体编号。

吉林省东北师范大学附属中学高三数学第一轮复习导数(1)教案文

导数（1）一、知识梳理：（阅读选修教材2-2第18页—第22页）1、导数及有关概念：函数的平均变化率：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的几何意义：导数0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率. 即0()k f x ='，要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-3.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．．，也可记作y '，即()f x '＝y '＝x x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00 说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x ' 4.可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导；如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.5.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆ ()2求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； ()3取极限，得导数y '=()f x '=xy x ∆∆→∆0lim 6.几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=7.求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭二、题型探究：【探究一】．导数的几何意义例1:已知曲线 .(1)、求曲线在点P （2，4）处的切线方程；(y=4x-4)(2)、求过点P（2，4）的曲线的切线方程；(y=x+2,y=4x-4)（3）、求过点P（0，0）的曲线的切线方程；(y=x)（4）、求斜率为1的曲线的切线方程。

高三数学一轮复习学案3.3随机数及几何概型

3.3随机数及几何概型考试要求1．了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义；2．通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程.基础知识1．随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的.2．随机数的产生方法（1）利用函数计算器可以得到0~1之间的随机数；（2）在Scilab 语言中，应用不同的函数可产生0~1或a~b 之间的随机数.3．几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型.4．几何概型的概率公式：P （A ）=。

5．几种常见的几何概型（1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为： P=l 的长度/L 的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积（3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积典例解析题型1：线长问题例1．在区间上随机取一个数,的值介于0到之间的概率为（）A ．B ．C ．D ．变式：假设车站每隔 10 分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过 3 分钟的概率？积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A []1,1-x cos2x π12132π1223题型2：面积问题例2． ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为（）A ．B ．C ．D ．变式：1．投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成，并将此板分成四个边长为1/2米的小方块。

东北师大附属中学高三一轮导学案：不等式选讲(3)【B】

不等式选讲（2）（学案）B一、基本知识点：(1).含有参数不等式的解法例1:解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x例2、解关于x 的不等式 )20(,1)(cot 232πθθ≤<<-+-x x(2). 不等式的证明方法:比较法（差0法，商1法）例3;若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++例4、已知,,+∈R b a 求证.ab b a b a b a ≥(3)不等式的证明方法：分析法、综合法例1、b a ,都是正数。

求证：.2≥+abb a例2、设0,0>>b a ，求证.2233ab b a b a +≥+议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？例3、已知a ，b ，m 都是正数，并且.b a <求证：.bam b m a >++（4）.含参数不等式的恒成立“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般的，若函数()x f 在定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()M x f ≥⇔min ；()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔max .因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.1．定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ时，有 ()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围.变式一：条件改为：若()()02933<--+⋅x xxf k f 对任意x ∈R 恒成立，2．已知向量=(2x ，x+1)，= (1-x ，t)。

若函数b a x f ⋅=)(在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值范围。

东北师大附属中学高三第一轮复习教案不等式选讲

不尊武选讲(2) ｛教案)基本知识点：[阅读选讲4-5](1).含有参数不等式的解法例1：解关于x的不等式x2 4mx 4m2m3当m30即m3时x 2m m3或x2m(m 3)••• x3m3或xm 3当m30即m3时| x 6| 0• x 6当m30即m3时x R o例2、解关于x的不等式(cot ) x 2 3x 21,(0解：当cot1即(0,—)时4 2x3x 20• x>2 或x<1当cot1即=一时x40当cot(0,1)即(一，4-)时2 2x3x 20• 1<x<2⑵•不等式的证明方法：比较法(差0法，商1法)例3;若实数x1,求证：3(1 x2 4 \x )(1 x2\2x )・解：原不等式等价于|x 2m |证明：采用差值比较法:m 33( 1 x2x4) (12\2x )3x4x2x42x 2x22x3xx2(x 43x2(x 1)2(x 2 2(x 1)2[(x3 x 3x 21)1)1)2 3]刁；]2x 1,从而(x 1) 1 22(x 1)2[(x -)23(1 x 2 x 4)(1 xx 2)2.讨论：若题设中去掉x 1这一限制条件，要求证的结论如何变换？例 4、已知 a,b R ,求证 a a b b a b b a .本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1）差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b 对称，不妨设a b 0.a b b b （a ab b ab ）0，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设a b 0,a曲a1,a b 0, 畀1 （旦）a b 1故原不等式得证。

ba b b注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。

用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

（3）不等式的证明方法：分析法、综合法a b例1、a,b 都是正数。

求证：2.b a证明：由重要不等式 A 2 B 2 2AB 可得本例的证明是综合法。

东北师大附属中学高三一轮导学案：用样本估计总体【B】

用样本去估计总体(学案)B知识梳理：(必修3教材65-83) 1．作频率分布直方图的步骤：（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）；（2）决定组距与组数；（3）将数据分组；（4）列频率分布表；（5）画频率分布直方图注：频率分布直方图中小正方形的面积=组距×组距频率=频率。

2．频率分布折线图和总体密度曲线折线图：连接频率分布直方图中小长方形上端中点，就得到频率分布折线图总体密度曲线：当样本容量足够大，分组越多，折线越接近于一条光滑的曲线，此光滑曲线为总体密度曲线。

3．用茎叶图刻画数据的两个优点, (1)所有数据都可以从数据中得到;(2)茎叶图便于记录和表示,能够展示数据的分布情况,但当样本数据较多或数据较大时,茎叶图的效果就不是很好了.4.平均数、众数、中位数、标准差和方差（1）、平均数：平均数是用来表示数据的平均水平。

一般用错误！未找到引用源。

来表示，计算公式：（2）、众数：一组数据中出现次数最多的数。

（3）、中位数：将数据从小到大的顺序排列，若有奇数个数，则最中间的数是中位数。

若有偶数个数，则中间两个数的平均数是中位数。

（4）、标准差：是样本数据到平均数的一种平均距离，用来刻画数据的分散程度，一般用s 来表示，计算公式：，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小。

（5）方差：方差是标准差的平方，它也可以用来刻画数据的分散程度，计算公式：。

5．有样本频率分布估计总体分布通常分为两种情况：（1）、当总体中的个体取不同值很少时，其频率分布表由所取样本的不同值及其相应频率表示，就是相应的条形图；（2）、当总体中的个体不同值很多时，就用频率分布直方图来表示相应的样本的频率分布。

6、利用频率分布直方图来估计众数、中位数、平均数在频率分布直方图中，众数的估计值．．．．．．．．．是其中最高矩形底边中点的横坐标；中位数的左边和右边的直方图面积相等；平均数．．．的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和。

随机事件的概率(学案59)

东北师大附中2011—2012学年高三数学（理）第一轮复习导学案059随机事件的概率、古典概型编写教师：刘彦永审稿教师：杨艳昌一、知识点归纳：1. 随机事件和确定事件(1)在一定条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件；在一定条件S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件．必然事件与不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件．(2)在一定条件S 下，可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S 的随机事件．一般用A 、B 、C 等大写英文字母表示随机事件．(3)在试验中，能够用来描绘其他事件且不能再分的最简单的事件称为基本事件．所有基本事件构成的集合称为基本事件空间．2. 频率和概率(1)频数与频率：在相同条件S 下进行n 次试验，观察某一事件A 是否出现，则称在n 次试验中事件A 出现的次数A n 为事件A 出现的频数；事件A 出现的比例nn A f A n =)(为事件A 出现的频率． (2)概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数n 的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，则把这个常数记作 P (A ) ，称为事件A 的概率．3. 事件的关系与运算(1)包含关系：一般地，对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，这时称事件B 包含事件A （或称事件A 包含于事件B ），记作. (2)相等关系：一般地，A B ⊆且B A ⊆，则事件A 与事件B 相等，记作A ＝B ．(3)几种运算的比较4. 概率的基本性质(1)任何事件的概率都在0~1之间，即 0≤P (A )≤1 ．必然事件的概率为 1 ，不可能事件的概率为 0 ．(2)当事件A 与事件B 互斥时，P (A ∪B )＝P (A )＋P (B ) ．(3)对立事件的概率之和为 1 ，即事件A 与事件B 对立，则 P （A ）＋P （B ）＝1 ．)(B A A B ⊆⊇或5. 基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的；(2)任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．6. 古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等．7. 古典概型的概率公式． 8.（整数值）随机数用计算器或计算机可以产生指定的两个整数之间的取整数值的随机数（伪随机数），随机数具有广泛的应用，可以帮助安排和模拟一些试验，代替我们做大量重复的试验．二．题型讲解：题型一：事件的判断例1 判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件．（1）“抛一石块，下落”；（2）“在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化”；（3）“某人射击一次，中靶”；（4）“如果a ＞b ，那么a －b ＞0”；（5）“掷一枚硬币，出现正面”；（6）“导体通电后，发热”；（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有水分，种子能发芽”；（10）“在常温下，焊锡熔化”．解：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件，事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件．例2 从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．(1)“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2)“至少有1件次品”和“全是次品”；(3)“至少有2件次品”和“至多有1件次品”．解：从6件正品与3件次品中任取3件，共有4种情况：①3件全是正品；②2件正品1件次品；③1件正品2件次品；④全是次品．(1)“恰好有1件次品”即“2件正品1件次品”；“恰好有2件次品”即“1件正品2件次品”，它们是互斥事件但不是对立事件．(2)“至少有1件次品”包括“2件正品1件次品”、“1件正品2件次品”、“全是次品”3种情况，它与“全是次品”既不是互斥事件也不是对立事件．(3)“至少有2件次品”包括“1件正品2件次品”、“全是次品”2种情况；“至多有1件次品”包括“2件正品1件次品”、“全是正品”2种情况，它们既是互斥事件也是对立事件．题型二：互斥事件、对立事件的概率基本事件总数包含的基本事件的个数A例3 国家射击队的队员为在2009年世界射击锦标赛中取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次，命中7~10环的概率如下表所示：求该射击队员射击一次．（1）射中9环或10环的概率；（2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率．解析：记事件“射击一次，命中k 环”为)10,(≤∈k N k A k ，则事件)100(≤≤k A k 彼此互斥．（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A ，那么当9A ，10A 之一发生时，事件A 发生，由互斥事件的加法公式，得.60.028.032.0)()()(109=+=+=A P A P A P（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B ，那么当8A ，9A ，10A 之一发生时，事件B 发生．得.78.032.028.018.0)()()()(1098=++=++=A P A P A P B P（3）由于事件“射击一次，命中不足8环”是事件B ：“射击一次，至少命中8环”的对立事件；设事件C 表示事件“射击一次，命中不足8环”，得P(C )＝1－P(B )＝1－0.78＝0.22．题型三：有关古典概型概念例4 判断下列命题正确与否.(1)先后抛掷两枚均匀硬币，有人说一共出现“两枚正面”，“两枚反面”，“一枚正面，一枚反面”三种结果，因此出现“一枚正面，一枚反面”的概率是31;（错） (2)射击运动员向一靶心进行射击，试验的结果为：命中10环，命中9环，…，命中0环，这个试验是古典概型；（错）(3)袋中装有大小均匀的四个红球，三个白球，两个黑球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；（错）(4)4个人抽签，甲先抽，乙后抽，那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同.（错）题型四：古典概型的概率计算问题例5 同时抛掷甲乙两枚骰子，(1)求“点数之和为6”的概率； (2)求“至少有一个5点或6点”的概率.解：同时抛掷两颗骰子，用(x ，y )表示结果，其中x 表示第1颗骰子出现的点数，y 表示第2颗骰子出现的点数，(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)；(2,2)；…，(2,6)；(3,1)，(3,2)，…，(3,6)；(4,1)，(4,2)，…，(4,6)；(5,1)，(5,2)，…，(5,6)； (6,1)，(6,2)，…，(6,6) .则共有36个结果.(1)事件“点数之和为6”包含5个结果：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，故所求概率为365. (2)方法一：依题意，事件“至少有一个5点或6点”包含20个基本事件：(1,5)，(1,6)；(2,5)，(2,6)；(3,5)，(3,6)；(4,5)，(4,6)；(5,1)，(5,2) ，…，(5,6)；(6,1)，(6,2) ，…，(6,6)．故所求概率为.953620=方法二：事件“既不含有5点又不含有6点”包含的基本事件共有16个，其概率为943620=，故事件“至少有一个5点或6点”的概率为.95941=- 方法三：记事件A 为“含有点数5的”，事件 B 为“含有点数6的”，则故所求概率为.95)()()()(=-+=B A P B P A P B A P 例6 将甲、乙两粒骰子先后各抛掷一次，a 、b 分别表示抛掷甲、乙两粒骰子所出现的点数.若点P (a ，b )落在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+>>400y x y x 表示的平面区域的事件记为A ，求事件A 的概率；解：基本事件总数为6×6=36.当a =1时，b=1,2,3；当a =2时，b=1,2;当a=3时，b=1．共有（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（3，1）6个点落在条件区域内，所以 .61366)(==A P 三、课时作业(1)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是（C ） (A) 512 (B) 12 (C) 712 （D ）34(2) 已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。

2020届一轮复习北师大版第3讲几何概型学案.docx

第3讲几何概型[最新考纲]1．了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．2．了解几何概型的意义.知识梳理几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)特点：①无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；②等可能性：每个结果的发生具有等可能性．(3)公式：P(A)＝构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).辨析感悟1．对几何概型的理解(1)(教材习题改编)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(√)(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(√)(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(×)2．几何概型的计算(4)从区间[1,10]内任取一个数，取到1的概率是P＝19.(×)(5)(2018·福建卷改编)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1＜0”发生的概率为13.(√)[感悟·提升]1．一个区别“几何概型”与“古典概型”的区别：基本事件的个数前者是无限的，后者是有限的．2．一点提醒几何概型的试验中，事件A 的概率P (A )只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A 的位置和形状无关，如(3).学生用书第186页考点一与长度、角度有关的几何概型【例1】 (1)(2018·湖北卷)在区间[－2,4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.(2)如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，∠C ＝45°，高AD ＝3，在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，则BM <1的概率为________．解析 (1)由题意知m ＞0，当m ≤2时，满足|x |≤m 的概率为m －(－m )4－(－2)＝2m 6＝56，解得m ＝52(舍去)．当2＜m ≤4时，所求概率为m ＋26＝56，∴m ＝3. (2)∵∠B ＝60°，∠C ＝45°，∴∠BAC ＝75°，在Rt △ADB 中，AD ＝3，∠B ＝60°， ∴BD ＝AD tan 60°＝1，∠BAD ＝30°.记事件N 为“在∠BAC 内作射线AM 交BC 于点M ，使BM <1”，则可得∠BAM <∠BAD 时事件N 发生．由几何概型的概率公式得P (N )＝30°75°＝25. 答案 (1)3 (2)25规律方法解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．【训练1】 (1)(2018·淄博二模)设P 在[0,5]上随机地取值，则关于x 的方程x 2＋px ＋1＝0有实数根的概率为( )． A.15B.25C.35D.45(2)如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧DE ，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________．解析 (1)方程有实根，则Δ＝p 2－4≥0，解得p ≥2或p ≤－2(舍去)．所以所求概率为5－25－0＝35.(2)因为在∠DAB 内任作射线AP ，则等可能基本事件为“∠DAB 内作射线AP ”，所以它的所有等可能事件所在的区域H 是∠DAB ，当射线AP 与线段BC 有公共点时，射线AP 落在∠CAB 内，区域h 为∠CAB ，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率为∠CAB∠DAB ＝30°90°＝13.答案 (1)C (2)13考点二与面积有关的几何概型【例2】 (1)(2018·陕西卷)如图，在矩形区域ABCD 的A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF (该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是( )．A ．1－π4 B.π2－1 C ．2－π2 D.π4(2)(2018·北京卷)设不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )． A.π4 B.π－22 C.π6 D.4－π4解析 (1)依题意知，有信号的区域面积为π4×2＝π2，矩形面积为2，故无信号的概率P ＝2－π22＝1－π4.(2)如图所示，正方形OABC 及其内部为不等式组表示的区域D ，且区域D 的面积为4，而阴影部分表示的是区域D 内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4－π，因此满足条件的概率是4－π4.故选D. 答案 (1)A (2)D规律方法数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，通用公式：P (A )＝构成事件A 的区域的测度试验的全部结果所组成的区域的测度.【训练2】已知x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )．A.316B.38C.34D.32解析不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，其面积为12×32×1＋12×32×1＝32，则所求概率为322×2＝38.答案 B考点三与体积有关的几何概型【例3】在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为________．审题路线画出正方体⇒找出以点O 为中心且到O 点的距离等于1的几何体(球)⇒利用球的体积公式及几何概型的概率公式求解．解析点P 到点O 的距离大于1的点位于以O 为球心，以1为半径的半球外．记点P 到点O 的距离大于1为事件A ，则P (A )＝23－12×4π3×1323＝1－π12.答案 1－π12规律方法很多几何概型，往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时，要善于根据问题的具体情况进行转化，这种转化策略是化解几何概型试题的关键．【训练3】如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M ，则使四棱锥M －ABCD 的体积小于16的概率为________ 解析当V M －ABCD ＝16时，即13×1×1×h ＝16，解得h ＝12，即点M 到底面ABCD 的距离，所以所求概率P ＝1×1×121×1×1＝12.答案 121．对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法． 2．转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式．学生用书第187页教你审题11——几何概型中有关平面几何的“临界点”的探求【典例】 (2018·湖南卷)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB ＝( )． A.12 B.14 C.32 D.74[审题] 一审条件：在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ；二审过程：如何确定△APB 的最大边是AB ？找出BP ＝AB 与AP ＝AB 的“临界点”；三审结论：要求ADAB ，利用直角三角中的勾股定理找出AD 与AB 的关系式．解析矩形ABCD 如图所示，在点P 从D 点向C 点运动过程中，DP 在增大，AP 也在增大，而BP 在逐渐减小，当P 点到P 1位置时，BA ＝BP 1，当P 点到P 2位置时，AB ＝AP 2，故点P 在线段P 1P 2上时，△ABP 中边AB 最大，由已知事件发生的概率为12可得P 1P 2＝12CD .在Rt △BCP 1中，BP 21＝916CD 2＋BC 2＝916AB 2＋AD 2＝AB 2.即AD 2＝716AB 2，所以AD AB ＝74.答案 D[反思感悟] (1)解决有关长度、角度、面积、体积的几何概型问题，关键是动点的轨迹的判断，在“动”中求“静”，也就是找出符合题设条件的“临界点”． (2)此类试题常与平面几何图形、不等式组表示的平面区域、直线与圆等知识综合考查，难度稍大．【自主体验】已知M ：⎩⎨⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2，定点A (3,1)，在M 内任取一点P ，使得P A ≤2的概率等于________．解析如图所示，区域M 是一个边长为2的正方形，其面积为S ＝22＝4；满足P A ≤2的点P 在以点A (3,1)为圆心，2为半径的圆内．如图，作出圆A ，则扇形ABC 的圆心角∠BAC ＝π2，故扇形ABC 的面积S 1＝14×π×(2)2＝π2，S △ABC ＝S 2＝12×AB ×AC ＝12×2×2＝1，所以阴影部分弓形的面积S 3＝S 1－S 2＝π2－1. 所以所求事件的概率为P ＝S 3S ＝π2－14＝π－28. 答案 π－28能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1. 如图所示，设M 是半径为R 的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长超过2R 的概率为( )．A.15B.14C.13D.12解析如图，在圆上过圆心O 作与OM 垂直的直径CD ，则MD ＝MC ＝2R ，当点N 不在半圆弧上时，MN ＞2R ，故所求的概率P (A )＝πR 2πR ＝12.答案 D2．(2018·湖北卷)如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是( )．A.12－1πB.1π C ．1－2π D.2π解析如图，设OA ＝2，S 扇形AOB ＝π，S △OCD ＝12×1×1＝12，S 扇形OCD ＝π4，∴在以OA 为直径的半圆中，空白部分面积S 1＝π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－12＝1，所有阴影面积为π－2.故所求概率P ＝π－1×2π＝1－2π.答案 C二、填空题3．(2018·烟台二模)已知正三棱锥S －ABC 的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点P ，使得V P －ABC <12V S －ABC 的概率是________．解析三棱锥P －ABC 与三棱锥S －ABC 的底面相同，V P －ABC <12V S －ABC 就是三棱锥P －ABC 的高小于三棱锥S －ABC 的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面ABC 的面积为S ，三棱锥S －ABC 的高为h ，则所求概率为：P ＝13Sh －13×14S ×12h 13Sh ＝78.答案 78三、解答题4．设AB ＝6，在线段AB 上任取两点(端点A ，B 除外)，将线段AB 分成了三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概率；(2)若分成的三条线段的长度均为正实数，求这三条线段可以构成三角形的概率．解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数，则三条线段的长度所有可能情况是1,1,4；1,2,3；2,2,2，共3种情况，其中只有三条线段长为2,2,2时能构成三角形，故构成三角形的概率为P ＝13.(2)设其中两条线段长度分别为x ，y ，则第三条线段长度为6－x －y ，故全部试验结果所构成的区域为⎩⎨⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜6－x －y ＜6，即⎩⎨⎧0＜x ＜6，0＜y ＜6，0＜x ＋y ＜6，所表示的平面区域为△OAB .若三条线段x ，y,6－x －y 能构成三角形，则还要满足⎩⎨⎧x ＋y ＞6－x －y ，x ＋6－x －y ＞y ，y ＋6－x －y ＞x ，即为⎩⎨⎧x ＋y ＞3，y ＜3，x ＜3，所表示的平面区域为△DEF ，由几何概型知，所求概率为P ＝S △DEF S △AOB ＝14.。

59东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--随机数与几何概型A

A.B.C.D.
解析：当AA′的长度等于半径长度时，∠AOA′= ，由圆的对称性及几何概型得P= 答案：C
3．在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为一边作正方形，则此正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为()
A.B.C.D.
解析：正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间，所以正方形的边长介于6 cm到9 cm之间．线段AB的长度为12 cm，则所求概率为＝ .答案：C
9．《广告法》对插播广告的时间有一定的规定，某人对某台的电视节目做了长期的统计后得出结论，他任意时间打开电视机看该台节目，看不到广告的概率为，那么该台每小时约有________分钟的广告．
解析：60×(1－)＝6分钟．
三、解答题
10．(2010·皖南八校联考)设不等式组表示的区域为A，不等式组表示的区域为B.
[探究二]与面积（体积）有关的几何概型
例2：（2009辽宁卷文）ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为（）
A． B． C． D．
【解析】长方形面积为2,以O为圆心,1为半径作圆,在矩形内部的部分(半圆)面积为，因此取到的点到O的距离小于1的概率为 ÷2＝，取到的点到O的距离大于1的概率为，答案B
四、反思感悟：
五、课时作业
一、选择题
1.如图所示，在一个边长分别为a，b(a＞b＞0)的矩形内画一个梯形，梯形的上、下底边分别为，，且高为b.现向该矩形内随机投一点，则该点落在梯形内部的概率是()
A.B.C.D.
解析：S梯形＝(＋)·b＝ab，S矩形＝ab.
∴P＝＝.答案：C
2.如图，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A′，连接AA′，它是一条弦，它的长度小于或等于半径长度的概率为()

吉林省东北师范大学附属中学高三理科数学一轮复习教案--随机事件的概率

一、知识梳理：(必修3教材108-124页)1、随机事件和确定事件（1）在一定条件下，叫做相对于s的必然事件；在一定条件下，叫做相对于s的不可能事件；统称为相对于s的确定事件。

（2）在一定条件下，叫做相对于s的随机事件；确定事件和随机事件统称为事件。

一般用A，B，C表示事件2、频率与概率（1）频数与频率：在相同条件S下进行n次试验，观察某一事件A是否出现，则称为在n次试验中事件A出现的次数为为事件A出现的频数，事件A出现的比例，为事件A出现的频率。

（2）、概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，稳定在某个常数，则把这个常数记作，称为事件A的概率。

3、事件的关系和运算（1）包含关系：一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，事件B一定发生，这时称事件 B 事件A（或称事件A包含于事件B），记作。

（2）相等关系：一般地，，则称事件A与事件B 为，记作。

（3）几种运算的比较AA件，B4、概率的基本性质：（1）任何事件的概率都在0—1之间，（2）当事件A与事件B互斥时，P（A B）= ；（3）对立事件的概率和为，即事件A与事件B对立，则。

二、题型探究事件的判断例1：例1．判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？（1）“抛一石块，下落”.（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；（3）“某人射击一次，中靶”；（4）“如果a＞b,那么a－b＞0”;（5）“掷一枚硬币，出现正面”；（6）“导体通电后，发热”；（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有水份，种子能发芽”；（10）“在常温下，焊锡熔化”．解析：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件点评：熟悉必然事件、不可能事件、随机事件的联系与区别。

东师大附属中学高三第一轮复习导学案--空间几何体

空间几何的三视图与直观图(教案)A一、知识梳理：（必修2教材第11页-第18页） 1、中心投影与平行投影：投影是光线通过物体,向选定的面投射,并在该在由得到图形的方法;平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点. 2、三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形。

它具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度；三视图的排列规则：主在前，俯在下，左在右画三视图的原则：主、左一样，主、俯一样，俯、左一样。

3、直观图:斜二测画法①建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX ，OY ，建立直角坐标系；②画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的O ’X ’,O ’Y ’,使=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面；③画对应图形，在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘轴，且长度变为原来的一半；④擦去辅助线，图画好后，要擦去X 轴、Y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）。

二、题型探究：探究一：空间几何体的三视图例1一个几何体由几个相同的小正方体组合而成，它的主视图、左视图、俯视图如下图所示，则这个组合体包含的小正方体个数是（）主视图左视图俯视图A 、7B 、6C 、5D 、4'''X OY例2：已知ABC ∆的平面直观图'''C B A ∆是边长为a 的正三角形，那么原ABC ∆的面积为（）（A ）23a 2 （B ）243a （C ）226a （D ）26a 三、方法提升1、三视图是利用物体的三个正投影来表现空间几何体的方法，画几何体的三视图要注意：一个几何体的侧视图与正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边，能看见的轮廓线或棱有实线表示，不能看见的轮廓线或棱用虚线表示。

东北师大附属中学高三一轮导学案：几何证明选讲【B】

几何证明选讲(选修系列)B一、知识梳理（一）、相似三角形的判定及有关性质 1．平行线等分线段定理及其推论（1）定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。