二次函数专项复习个性化辅导讲义

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二次函数的概念和图像

1、二次函数的概念

一般地，如果特 y = ax 2 + bx + c(a, b , c 是常数， a ≠ 0) ，特别注意

那么 y 叫做 x 的二次函数。

y = ax 2 + bx + c(a, b , c 是常数， a ≠ 0) 叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像

a 不为零

二次函数的图像是一条关于 x = -

b

2a

对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：

①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法 五点法：

（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点 M ，并用虚线画出对

称轴

（2）求抛物线 y = ax 2 + bx + c 与坐标轴的交点：

当抛物线与 x 轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B 及抛物线与 y 轴的交点 C ，再找到点 C 的

对称点 D 。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点 C 及对称点 D 。由 C 、M 、

D 三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ， 然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

练习：

1.判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数 a.b.c 的值.

(1) y ＝1— 3x 2

(2)y ＝x(x －5) (3)y ＝ 1 3

x － x ＋1 (4) y ＝3x(2－x)＋ 3x 2

2 2

(5)y ＝

1

3x 2 + 2 x + 1

(6) y ＝ x 2 + 5x + 6

(7)y ＝ x 4＋2x 2－1 (8)y ＝ax 2＋bx ＋c

2. m 取哪些值时，函数 y = (m 2 - m ) x 2 + mx + (m + 1) 是二次函数？

1、二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 图象如图所示，则点 A(ac ，bc)在（

）．

A 、第一象限

B 、第二象限

C 、第三象限

D 、第四象限

y

x

y

O x

（3题图）

2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是x=1，则下列结论中正确的（）

A．ac>0B．b<0C．b2-4ac<0D．2a+b=0

3、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则直线y=bx+c的图象不经过（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

4、已知二次函数的图象如图所示，则在“①a＜0，②b＞0，③c＜0，④b2－4ac＞0”中，正确的判断是（）A．①②③④B．④C．①②③D．①④

4题5题6题

5、已知二次函数y=ax2+b x+c的图象如图所示，下列结论中：

①abc>0；②b=2a；③a+b+c；④a–b+c，正确的个数是（）.

(A)4个(B)3个(C)2个(D)1个

6、二次函数y=ax2+b x+c的图像如图所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是（）

(A)ab<0(B)bc<0(C)a+b+c>0(D)a-b+c<0

二次函数的解析式

一般两根三顶点

二次函数的解析式有三种形式：口诀-----

一般一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)

（1）

两根当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax2+bx+c=0（2）

有实根x和x存在时，根据二次三项式的分解因式ax2+bx+c=a(x-x)(x-x)，二次函数1212

y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x)(x-x)。如果没有交点，则不能这样表示。

12

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

三顶点顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数，a≠0)

（3）

1.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),若x=0时y=1；x=1时y=1；x=2时y=-1.求这个二次函数关系式.

2a

4a

2.已知函数 y = (2m - 3n) x 4 + (2m + n - 8) x 3 + kx 2 + (m + n) x + k 2 ，且当 x = 1 ， y = 7 ，求该二次

函数的解析式及 m n 的值。

二次函数的最值

如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 x = -

b

2a

时， y

最值

4ac - b 2

= 。

4a

如果自变量的取值范围是 x ≤ x ≤ x ，那么，首先要看 -

b

是否在自变量取值范围 x ≤ x ≤ x

1

2

1

2

b 内，若在此范围内，则当 x= - 时， y 2a

4ac - b 2

最值 = ；若不在此范围内，则需要考虑函数在

x ≤ x ≤ x 范围内的增减性，如果在此范围内， y 随 x 的增大而增大，则当 x = x 时，

1 2

2

y

最大 = ax 2 + bx + c ，当 x = x 时， y

2 2 1

最小

= ax 2 + bx + c ；如果在此范围内，y 随 x 的增大而减

1 1

小，则当 x = x 时， y

1

最大

= ax 2 + bx + c ，当 x = x 时， y

1 1 2

最小

=

ax 2 + bx + c 。 2 2

练习：1.某村为增加蔬菜的种植面积，一年中修建了一些蔬菜大棚，平均修建每公顷大棚要用的支

架，塑料膜等材料的费用为 27000 元，此外还要购置喷灌设备，这项费用（元）与大棚面积 x （公

顷）的平方成正比，比例系数为 9000，每公顷大棚的年平均经济收益为 75000 元。

（1）一年中这个村修建了多少公顷蔬菜大棚，才能使蔬菜大棚而增加的收益（扣除修建费用后）为

60000 元

（2）修建 3 公顷大棚收益是否为该年的最大收益，请说明理由；