高考正弦定理和余弦定理练习题及答案定稿版

高考正弦定理和余弦定理练习题及答案

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高考正弦定理和余弦定理练习题及答案

一、选择题

1. 已知△ABC中，a＝c＝2，A＝30°，则b＝( )

A. 3

B. 23

C. 3 3

D. 3＋1

答案：B

解析：∵a＝c＝2，∴A＝C＝30°，∴B＝120°.

由余弦定理可得b＝2 3.

2. △ABC中，a＝5，b＝3，sin B＝

2

2

，则符合条件的三角形有( )

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 0个答案：B

解析：∵a sin B＝10

2

，

∴a sin B

∴符合条件的三角形有2个．

3．(2010·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2＝3 bc，sin C＝23sin B，则A＝( )

A．30° B．60°

C．120° D．150°

答案：A

解析：利用正弦定理，sin C＝23sin B可化为c＝23b.

又∵a2－b2＝3bc，

∴a2－b2＝3b×23b＝6b2，即a2＝7b2，a＝7b.

在△ABC中，cos A＝b2＋c2－a2

2bc

＝b2＋?23b?2－?7b?2

2b×23b

＝

3

2

，

∴A＝30°.

4．(2010·湖南卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C＝120°，c＝2a，则( )

A．a>b B．a

C．a＝b D．a与b的大小关系不能确定

答案：A

解析：由正弦定理，得

c

sin120°

＝

a

sin A

，

∴sin A＝a·

3

2

2a

＝

6

4

>

1

2

.

∴A>30°.∴B＝180°－120°－A<30°.∴a>b.

5. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( )

A. 5

18B.

3

4

C.

3

2

D.

7

8

答案：D

解析：方法一：设三角形的底边长为a，则周长为5a，

∴腰长为2a，由余弦定理知cosα＝?2a?2＋?2a?2－a2

2×2a×2a

＝

7

8

.

方法二：如图，过点A作AD⊥BC于点D，

则AC＝2a，CD＝a

2

，∴sin

α

2

＝

1

4

，

∴cosα＝1－2sin2α2

＝1－2×

1

16

＝

7

8

.

6. (2010·泉州模拟)△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积等于( )

A.

32

B.

34

C.

3

2

或 3 D.

32或34

答案：D

解析：∵

sin C 3

＝sin B

1，

∴sin C ＝3·sin30°＝3

2

.

∴C ＝60°或C ＝120°.

当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12×1×3＝3

2

，

当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×1×3sin30°＝3

4

.

即△ABC 的面积为

32或3

4

. 二、填空题

7．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝

2π

3

，则a ＝________.

答案：1

解析：由正弦定理b sin B ＝c sin C ，即1

sin B

＝

3sin

2π3

，sin B ＝1

2. 又b

π6

，∴A ＝

π6

.∴a ＝1.

8．(2010·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．

答案：π

6

解析：∵sin B ＋cos B ＝2，

∴sin(B ＋

π4

)＝1.

又0

π4

.

由正弦定理，知2sin A ＝2sin B ，∴sin A ＝1

2

.

又a

π

6

. 9. (2010·课标全国卷)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝1

2DC ，∠ADB ＝120°，AD

＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝________.