04--第四章 三角函数

年普通高等学校招生全国统一考试数学分类汇编

第四章《三角函数》

一、选择题（共21题）

1.（安徽卷）将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是 A ．sin()6y x π

=+ B ．sin()6

y x π

=-

C ．sin(2)3y x π=+

D ．sin(2)3

y x π

=- 解：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

平移，

平移后的图象所对应的解析式为sin ()6

y x π

ω=+

，由图象知，73(

)1262

πππ

ω+=

，所以2ω=，因此选C 。

2.（安徽卷）设0a >，对于函数()sin (0)sin x a

f x x x

π+=

<<，下列结论正确的是

A ．有最大值而无最小值

B ．有最小值而无最大值

C ．有最大值且有最小值

D ．既无最大值又无最小值

解：令sin ,(0,1]t x t =∈，则函数()sin (0)sin x a

f x x x

π+=<<的值域为函数

1,(0,1]a y t t =+∈的值域，又0a >，所以1,(0,1]a

y t t

=+∈是一个减函减，故选B 。

3.（北京卷）函数y =1+cos x 的图象 （A ）关于x 轴对称 （B ）关于y 轴对称 （C ）关于原点对称

（D ）关于直线x =

2

π

对称 解：函数y =1+cos 是偶函数，故选B

4.（福建卷）已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan(4

π

α+)等于

A.71

B.7

C.－ 7

1

D.－7 解：由3(,),sin ,25παπα∈=则3tan 4α=-，tan()4πα+=1tan 1

1tan 7

αα+=-，选A.

5.（福建卷）已知函数f (x )=2sin ϖx(ϖ>0)在区间[3π-,4

π

]上的最小值是－2，则ϖ的最小

值等于

A.

32 B.2

3

C.2

D.3 解：函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤

-

⎢⎥⎣

⎦上的最小值是2-，则ωx 的取值范围是

,34ωπωπ⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

， ∴ 32ωππ--≤或342ωππ≥，∴ ω的最小值等于32，选B. 6.（湖北卷）若ABC ∆的内角A 满足2

sin 23

A =

，则sin cos A A +=

A.

3 B ．3- C ．53 D ．53

- 解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0，又

25

(sin cos )1sin 23

A A A +=+=，故选A

7.（湖南卷）设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上的距离的最小值

4

π

，则)(x f 的最小正周期是 A ．2π B . π C.

2π D . 4

π 解析：设点P 是函数x x f ωsin )(=的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴上

的距离的最小值

4

π

，∴ 最小正周期为π，选B. 8.（江苏卷）已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝

（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1

【思路点拨】本题考查函数的奇偶性，三角函数sinx 的奇偶性的判断，本题是一道送分的概念题

【正确解答】解法1由题意可知，()()f x f x =--得a=0

解法2：函数的定义域为R,又f(x)为奇函数,故其图象必过原点即f(0)=0,所以得a=0, 解法3由f(x)是奇函数图象法函数画出()R x a x x f ∈-=,sin 的图象选A

【解后反思】对数学概念及定理公式的深刻理解是解数学问题的关健,讨论函数的奇偶性,其

前提条件是函数的定义域必须关于原点对称.

若函数f(x)为奇函数()()()f x f x y f x ⇔-=-⇔=的图象关于原点对称. 若函数f(x)为偶函数()()()f x f x y f x ⇔-=⇔=的图象关于y 轴对称.

9（江苏卷）为了得到函数R x x y ∈+=),6

3sin(2π

的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像

上所有的点

（A ）向左平移

6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31

倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的3

1

倍（纵坐标不变）

（C ）向左平移

6π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （D ）向右平移6

π

个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）

【思路点拨】本题主要考三角函数的图象变换，这是一道平时训练的比较多的一种类型。

【正确解答】先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移6

π

个单位长度， 得到函数2sin(),6

y x x R π

=+

∈的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍

（纵坐标不变）得到函数R x x y ∈+=),6

3sin(

2π

的图像，选择C 。 【解后反思】由函数sin ,y x x R =∈的图象经过变换得到函数sin(),y A x x R ωφ=+∈ （1）．y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0

（2）函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短

(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的

ω

1

倍（纵坐标不变） （3）函数y ＝sin(x ＋ϕ)，x ∈R (其中ϕ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：

“加左”“减右”)，可以先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但注意：先伸缩时，平移的单位把x 前面的系数提取出来。 10.（江西卷）函数4sin 21y x π⎛⎫

=++ ⎪3⎝⎭

的最小正周期为（ ） Ａ．

π2 Ｂ．π Ｃ．2π Ｄ．4π 解：T ＝22

π

π＝，故选B

11.（辽宁卷）已知函数11

()(sin cos )sin cos 22

f x x x x x =+--,则()f x 的值域是

(A)[]1,1- (B) ,12⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦

(C)

1,2⎡-⎢⎣⎦ (D)

1,2⎡--⎢⎣⎦

【解析】cos (sin cos )11

()(sin cos )sin cos sin (sin cos )

22x x x f x x x x x x x x ≥⎧=

+--=⎨

<⎩ 即等价于min {sin ,cos }x x ，故选择答案C 。

【点评】本题考查绝对值的定义、分段函数、三角函数等知识，同时考查了简单的转化和估

算能力。

12.（辽宁卷）函数1sin 32y x ⎛⎫

=+

⎪⎝⎭

的最小正周期是（ ）