人教版高中数学高一A版必修4 平面向量共线的坐标表示

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高一数学人教A版必修4课件：2.3.4 平面向量共线的坐标表示

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预习新知
导学探究
典题例解
触类旁通
一
二
知识精要
迁移应用
二、三点共线问题三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反, 两个向量共线与两个向量平行是一致的.利用向量平行证明三点共线需分两步完成: (1)证明向量平行; (2)证明两个向量有公共点.
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典题例解
触类旁通
一
二
知识精要
迁移应用
2.三点共线的坐标表示若 A(x1,y 1),B(x2,y 2),C(x 3,y 3)三点共线,则有 ��=λ�� ,即 (x2-x1,y 2-y1)=λ(x3-x2,y 3-y2),所以(x2-x1)(y3-y 2)=(x3-x2)(y2-y1),或由 �� =μ�� 得到(x2-x1)(y3-y 1)=(x3-x1)(y2-y1),或由 �� =γ�� 得到 (x3-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y3-y 1).当这些条件中有一个成立时,A,B,C 三点共线.
2.3.4
平面向量共线的坐标表示
预习新知
目标导航预习导引
导学探究
触类旁通
学习目标重点难点
1.记住两个向量共线的坐标表示; 2.能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题. 重点:向量共线的坐标表示; 难点:向量共线的坐标表示的应用 .
预习新知
目标导航预习导引
导学探究
触类旁通
两个向量共线的坐标表示 (x2≠0,y2≠0).
预习新知

人教A版2019高中数学必修4讲义：第二章 2.3 2.3.4 平面向量共线的坐标表示_含答案

2．3.4 平面向量共线的坐标表示预习课本P98～100，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？[新知初探]平面向量共线的坐标表示[点睛] (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例；(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有：x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b .[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( )(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )答案：(1)√ (2)√2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是( )A ．(2,1)B ．(－1,2)C ．(6,10)D ．(－6,10)答案：C3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x 等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 答案：D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫73，0[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12 B.13C ．1D ．2 (2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)．判断AB 与CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？[解析] (1)法一：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12. 法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12. [答案] A(2)[解] AB ＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)，CD ＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)， ∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB ，CD 共线．又CD ＝－2AB ，∴AB ，CD 方向相反．综上，AB 与CD 共线且方向相反．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka ＋b 与a －3b 平行，则－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，故ka ＋b 与a －3b 反向． ∴k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行且方向相反．[典例] (1)已知OA ＝(3,4)，OB ＝(7,12)，OC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] (1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(4,8)，AC ＝OC －OA ＝(6,12)， ∴AC ＝32AB ，即AB 与AC 共线．又∵AB 与AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线．(2)若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC 共线， ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k ＝－2或k ＝11.一般是看AB 与BC AB 与AC AC BC AC BC AB λBC ，或AB ＝λAC 设点A (x,1)，B (2x,2)，C (1,2x )，D (5,3x )，当x 为何值时，AB 与CD 共线且方向相同，此时，A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？解：AB ＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，BC ＝(1,2x )－(2x,2)＝(1－2x,2x －2)，CD ＝(5,3x )－(1,2x )＝(4，x )．由AB 与CD 共线，所以x 2＝1×4，所以x ＝±2.又AB 与CD 方向相同，所以x ＝2.此时，AB ＝(2,1)，BC ＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以AB 与BC 不共线，所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上．所以A ，B ，C ，D 不在同一条直线上．题点一：两直线平行判断1. 如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|AD|＝1，则|DC|＝1，|AB|＝2.∵CE⊥AB，而AD＝DC，∴四边形AECD为正方形，∴可求得各点坐标分别为E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)．∵ED＝(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，BC＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，∴ED＝BC，∴ED∥BC，即DE∥BC.题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，求证：四边形ABCD是等腰梯形．证明：由已知得，AB＝(4,3)－(1,0)＝(3,3)，CD＝(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0，∴AB与CD共线．AD＝(－1,2)，BC＝(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0，∴AD与BC不共线．∴四边形ABCD是梯形．∵BC＝(－2,1)，AD＝(－1,2)，∴|BC|＝5＝|AD|，即BC＝AD.故四边形ABCD是等腰梯形．题点三：求交点坐标3. 如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC和OB交点P的坐标．解：法一：设OP＝t OB＝t(4,4)＝(4t,4t)，则AP＝OP－OA＝(4t,4t)－(4,0)＝(4t－4,4t)，AC＝OC－OA＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP ，AC 共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.∴OP ＝(3,3)． ∴P 点坐标为(3,3)．法二：设P (x ，y )，则OP ＝(x ，y )，OB ＝(4,4)． ∵OP ，OB 共线，∴4x －4y ＝0.① 又CP ＝(x －2，y －6)，CA ＝(2，－6)，且向量CP ，CA 共线，∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，∴点P 的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a ∥AB ，则实数λ的值为( )A ．－23B.32C.23 D ．－32解析：选C 根据A ，B 两点的坐标，可得AB ＝(3,1)，∵a ∥AB ，∴2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C. 3．已知A (2，－1)，B (3,1)，则与AB 平行且方向相反的向量a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：选D AB ＝(1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( )A ．－3B ．2C ．4D ．－6解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30°B ．60°C ．45°D ．75° 解析：选A ∵a ∥b ，∴32×13－tan α cos α＝0，即sin α＝12，α＝30°. 6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________．解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1.答案：17．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________. 解析：AB ＝(x ＋1，－6)，AC ＝(4，－1)， ∵AB ∥AC ，∴－(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23.答案：238．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________．解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)，又∵(λa ＋μb )∥(a ＋b )，∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0，∴λ＝μ.答案：λ＝μ9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE ＝13AC ，BF ＝13BC ，求证：EF ∥AB .证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，依题意有AC ＝(2,2)，BC ＝(－2,3)，AB ＝(4，－1)． ∵AE ＝13AC ，∴(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)． ∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23. 同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0，EF ＝⎝⎛⎭⎫83，－23. 又83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝0，∴EF ∥AB . 10．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)．(1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值．解：(1)因为a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，所以a ＋b ＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)．(2)因为b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，所以m ＝λb ＋c ＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)．又因为a ＝(2,1)，且a 与m 平行，所以2(λ＋2)＝λ＋5，解得λ＝1.层级二应试能力达标1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴．2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )A．13B．－13C．9 D．－9解析：选D A，B，C三点共线，∴AB∥AC，而AB＝(－8,8)，AC＝(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么() A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c∥d且c与d反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5)B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5)D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为▱ABCD，则AB＝DC，∴D(－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB，则AC＝BD，∴D(5，－5)；③若这个平行四边形为▱ACBD，则AC＝DB，∴D(1,5)．综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5．已知AB＝(6,1)，BC＝(x，y)，CD＝(－2，－3)，BC∥DA，则x＋2y的值为________．解析：∵AD＝AB＋BC＋CD＝(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，∴DA＝－AD＝－(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∵BC∥DA，∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06．已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线． ∵AB ＝OB －OA ＝(3,1)，AC ＝OC －OA ＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12.答案：m ≠127．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；(2)若AC ＝2AB ，求点C 的坐标．解：(1)若A ，B ，C 三点共线，则AB 与AC 共线．AB ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，AC ＝(a －1，b －1)，∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.(2)若AC ＝2AB ，则(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解：设P (x ，y )，则DP ＝(x －1，y )，DB ＝(5,4)，CA ＝(－3,6)，DC ＝(4,0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP ＝λDB ＝(5λ，4λ)．又∵CP ＝DP －DC ＝(5λ－4,4λ)，由于CP 与CA 共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47， ∴DP ＝47DB ＝⎝⎛⎭⎫207，167，∴P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167.。

高中数学必修四课件-2.3.4 平面向量共线的坐标表示(2)-人教A版

明目标、知重点
探究点二共线向量与中点坐标公式
思考1 设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，求线段P1P2的中点P的坐标. 答如图所示，∵P为P1P2的中点， ∴P→1P＝P→P2，∴O→P－O→P1＝O→P2－O→P， ∴O→P＝12(O→P1＋O→P2) ＝x1＋2 x2，y1＋2 y2. ∴线段 P1P2 的中点坐标是x1＋2 x2，y1＋2 y2.
探要点·究所然情境导学前面，我们学习了平面向量可以用坐标来表示，并且向量之间可以进行坐标运算.这就为解决问题提供了方便.我们又知道共线向量的条件是当且仅当有一个实数λ使得b＝λa，那么这个条件是否也能用坐标来表示？因此，我们有必要探究一下这个问题：两向量共线的坐标表示.
明目标、知重点
探究点一平面向量共线的坐标表示
第二章平面向量
明目标、知重点
1.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线. 3.掌握三点共线的判断方法.
明目标、知重点
填要点·记疑点
1.两向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2). (1)当a∥b时，有 x1y2－x2y1＝0 . (2)当a∥b且x2y2≠0时，有 xx12＝yy21. 即两向量的相应坐标成比例.
→
→→ → → →
＝OP1＋λ(OP2－OP)＝OP1＋λOP2－λOP，
→→
∴O→P＝OP11＋＋λλOP2＝1＋1 λ(x1，y1)＋1＋λ λ(x2，y2)
＝1＋1 λx1，1＋1 λy1＋1＋λ λx2，1＋λ λy2＝x11＋＋λλx2，y11＋＋λλy2. ∴Px11＋＋λλx2，y11＋＋λλy2.
∴x－3＝－2－2x，解得x＝13，

高中数学人教A版必修4课件234平面向量共线的坐标表示

【审题路线图】根据向量共线求坐标中的参数⇒向量共线充要条件的坐标表示.
【解析】1.选C.向量a=(2,m+1),b=(m+3,4),且 (a+b)∥(a-b), 所以a+b=(m+5,m+5),a-b=(-m-1,m-3), 所以(m+5)(m-3)-(-m-1)(m+5)=0, 即(m+5)(m-1)=0, 解得m=1或m=-5.
【补偿训练】已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断 A,B,C三点之间的位置关系. 【解析】因为 AB=(2,4), A=C(3,6),2×6-3×4=0, 所以向量 AB，A共C 线,故A,B,C三点共线.
类型三利用向量共线的坐标表示求参数
【典例】1.已知向量a=(2,m+1),b=(m+3,4),且
【自我检测】
1.向量a=(m,n),b=(p,q),若a∥b,则下列关系成立的
是( )
A.mp-nq=0
B.mq+np=0
C.mq-np=0
D.mp+nq=0
【解析】选C.由向量平行的坐标表示可知选C.
2.与向量a=(12,-5)平行的单位向量为 ( )
A.(12，5 ) 13 13
B.( 12 , 5 ) 13 13
(2)判断多个点中的三个点共线时,先根据向量运算构造关于这三个点的两个向量,再利用向量共线的坐标表示列式.
【变式训练】若P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)三点共线,则 x=________. 【解析】 PA=(1,-5), =PB(x-1,-10), 由题意:1×(-10)+5×(x-1)=0, 所以-10+5x-5=0,故x=3. 答案:3

人教版高中数学高一A版必修4导学案平面向量共线的坐标表示

2．3.4 平面向量共线的坐标表示1．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．能用向量的坐标表示判定向量共线，会用向量的坐标表示证明三点共线．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当______________时，a ∥b.(1)线段中点坐标公式：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 中点的坐标是M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22. (2)若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且P 1P →＝λPP 2→(λ≠－1)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋λx 21＋λ，y 1＋λy 21＋λ. 【做一做】下列各组向量中，共线的是( )A ．a ＝(－2,3)，b ＝(4,6)B ．a ＝(2,3)，b ＝(3,2)C ．a ＝(1，－2)，b ＝(7,14)D ．a ＝(－3,2)，b ＝(6，－4)答案：x 1y 2－x 2y 1＝0【做一做】 D1．对向量共线条件的理解剖析：(1)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，由x 1y 2－x 2y 1＝0成立，可判断a 与b 共线；反之，若a 与b 共线，它们的坐标应满足x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)在讨论向量共线时，规定零向量可以与任一向量共线，故在x 2y 2≠0的条件下，a 与b 共线的条件可化为x 1x 2＝y 1y 2，即两向量共线的条件为相应坐标成比例． 2．三点共线问题剖析：(1)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则A ，B ，C 三点共线的条件为(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)＝0.(2)若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法：①直接利用上述条件，计算(x 2－x 1)(y 3－y 1)－(x 3－x 1)(y 2－y 1)是否为0.②任取两点构成向量，计算出两向量如AB →，AC →，再通过两向量共线的条件进行判断．3．两个向量共线条件的表示方法剖析：已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，(1)当b ≠0时，a ＝λb .这是几何运算，体现了向量a 与b 的长度及方向之间的关系．(2)x 1y 2－x 2y 1＝0.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例．通过这种形式较容易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．题型一已知向量共线，求参数的值【例1】已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是反向？分析：先由向量a ，b 求得向量k a ＋b 与a －3b ，再根据向量平行的条件列方程组求得k 的值，进而判断两向量的方向．反思：已知两向量共线，求参数的问题，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标中，二是相关向量用已知两个向量的含参关系式表示(如本题)，解题时需根据题目特点选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立方程求解．题型二三点共线问题【例2】求证：A (1,5)，B ⎝⎛⎭⎫12，4，C (0,3)三点共线．分析：可转化为证明AB →∥AC →.反思：证明三点共线的常见方法有：(1)证得两条较短的线段长度之和等于第三条线段的长度；(2)利用斜率；(3)利用直线方程即由其中两点求直线方程，再验证第三点在这条直线上；(4)利用向量共线的条件，如本题．其中方法(4)是最优解法．题型三求点或向量的坐标【例3】已知A (3,5)，B (6,9)，且|AM →|＝3|MB →|，M 是直线AB 上一点，求点M 的坐标．分析：设出点M 的坐标，利用待定系数法求得．利用A ，B ，M 三点共线且|AM →|＝3|MB→|，结合图形确定AM →＝λMB →中λ的值，利用向量相等的条件列方程组求解．反思：在求点或向量的坐标时，要充分利用两个向量共线的条件，要注意方程思想的应用，建立方程的条件有向量共线、向量相等等．题型四易错辨析【例4】已知a ＝(3,2－m )与b ＝(m ，－m )平行，求m 的值．错解：由题意，得3m ＝2－m －m，解得m ＝5. 错因分析：本题中，当m ＝0时，b ＝0，显然a ∥b 成立．错解原因在于利用坐标比例形式判断向量共线的前提是m ·(－m )≠0，由于疏忽了这一前提，造成了转化不等价．反思：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a 与b 共线的条件为x 1y 2－x 2y 1＝0.要注意与条件x 1x 2＝y 1y 2的区别，应用x 1x 2＝y 1y 2时，分母应不为零．答案：【例1】解：k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)，a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )，即(k －3,2k ＋2)＝λ(10，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ，解得k ＝λ＝－13. ∴当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行．这时k a ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )， ∵λ＝－13＜0，∴k a ＋b 与a －3b 反向．【例2】证明：由A (1,5)，B ⎝⎛⎭⎫12，4，C (0,3)，得AB →＝⎝⎛⎭⎫－12，－1，AC →＝(－1，－2)．又－12×(－2)－(－1)×(－1)＝0， ∴AB →与AC →共线且有一个公共点A .∴A ，B ，C 三点共线．【例3】解：设点M 的坐标为(x ，y )，由于|AM →|＝3|MB →|，则AM →＝3MB →或AM →＝－3MB →.由题意，得AM →＝(x －3，y －5)，MB →＝(6－x ，9－y )．当AM →＝3MB →时，(x －3，y －5)＝3(6－x,9－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝3(6－x )，y －5＝3(9－y )，解得x ＝214，y ＝8. 当AM →＝－3MB →时，(x －3，y －5)＝－3(6－x ，9－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－3(6－x )，y －5＝－3(9－y )，解得x ＝152，y ＝11. ∴点M 的坐标是⎝⎛⎭⎫214，8或⎝⎛⎭⎫152，11. 【例4】正解：∵a ∥b ，∴3(－m )－(2－m )m ＝0，解得m ＝0或m ＝5.1．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( )A ．13B ．－13C ．9D ．－92．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值为( )A ．－2B ．0C ．1D ．23．若向量a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，则当x ＝________时，a 与b 共线且方向相同．4．已知点P 1(2，－1)，点P 2(－1,3)，点P 在线段P 1P 2上，且1||PP ＝22||3PP .求点P 的坐标．5．已知向量OA ＝(3，－4)，OB ＝(6，－3)，OC ＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件．答案：1．D AB ＝(－8,8)，BC ＝(11，y －2)，则AB ∥BC ，所以－8(y －2)－8×11＝0，解得y ＝－9.2．D a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，则3(4x －2)－6(1＋x )＝0，解得x ＝2.3．2 ∵a ＝(x,1)，b ＝(4，x )，若a ∥b ，则x 2－4＝0，即x 2＝4，∴x ＝±2.当x ＝－2时，a 和b 方向相反．当x ＝2时，a 与b 方向相同．4．解：设点P 的坐标为(x ，y )，由于点P 在线段P 1P 2上，则有1PP ＝223PP . 又1PP ＝(x －2，y ＋1)，2PP ＝(－1－x,3－y )，由题意得22(1),321(3),3x x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩解得4,53,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点P 坐标为43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 5．分析：转化为求A ，B ，C 不共线时m 满足的条件．解：若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，即AB 与AC 不共线．又AB ＝(3,1)，AC＝(2－m,1－m)，故知3(1－m)≠2－m，∴m≠12.∴m满足的条件为m≠12.。

人教A版高中数学高一必修4第二章平面向量共线的坐标表示

A
AB ∥ AC
直线AB、直线AC有共同点A。
∴ A、B、C三点共线
例4：设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分
别是 (x1 , y1 ), (x2 , y2 )。
（1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；（2）当点P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P 的坐标。
解：（1）
解析：
a b ( ), c (4, 7),
由（λa+b）∥c得，-7（λ+2）=-4（2λ(2,m) 与b = (m, 8) 的方向相反，
则m的值是
－．4
2、已知 e1 , e2 是一对不共线的非零向量，若
a = e1 + λe2 ,b = -2λe1 + e2 , 且 a, b
1
OP = OM
M
2
=
1 2
(OP1
+
OP2 )
y P2
P
= ( x1 + x2 , y1 + y 2 ) P1
2
2
O
x
所以，点P的坐标为
( x1 + x2 , y1 + y2 )
(1)
2
2
（2）如图2，当点P是线段P1P2的一
个三等分点时，有两种情况，即
y
P2
P1P = 1 或 P1P = 2
P
试确定实数m的值使A、B、C三点共线.
解法一：∵要使A、B、C三点共线即 AB, BC 共线
∴存在实数λ使得 AB = λBC
即 i - 2j = λ(i + m j)
于是
λ = 1 λm = -2
∴ C三点共线.

人教A版高中数学必修4第三节.4平面向量共线的坐标表示课件

人教A版高中数学必修4第三节.4平面向量共线的坐标表示课件（精品课件）
向量共线的判定方法：
（1）利用向量共线定理，由a b(b 0)推出 a // b;
(2)利用向量共达线 x式 1y2 的 x2坐 y1直标接表
人教A版高中数学必修4第三节.4平面向量共线的坐标表示课件（精品课件）
( x1 x2 , y1 y2 )
2
2
M
y
P
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
O
x
人教A版高中数学必修4第三节.4平面向量共线的坐标表示课件（精品课件）
(1)
人教A版高中数学必修4第三节.4平面向量共线的坐标表示课件（精品课件）
例7.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是
1
λ +λ
(
0
P
2
-
0 P1)
P1
=
1 1 +λ
0 P1
+
λ 1 +λ
OP
2
= ( x1 +λ x 2 ,y1 +λ y 2 ) 1+λ 1+λ
∴ 点 P的坐标是 ( x1 +λ x 2 ,y1 +λ y 2 ) 1+λ 1+λ
人教A版高中数学必修4第三节.4平面向量共线的坐标表示课件（精品课件）
y P2
P
O
x
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探究2:
你能根据探究1的结论推导三角形的重心
坐标公式吗？

数学人教A版必修4： 2.3.4平面向量共线的坐标表示含

备课资料一、求点P 分有向线段所成的比的几种求法(1)定义法:根据已知条件直接找到使P P 1=λ2PP 的实数λ的值.例1 已知点A(-2,-3),点B(4,1),延长AB 到P,使||=3||,求点P 的坐标.解：因为点在AB 的延长线上,P 为的外分点,所以=λ,λ<0,又根据||=3||,可知λ=-3,由分点坐标公式易得P 点的坐标为(7,3).(2)公式法:依据定比分点坐标公式. x=,1,12121λλλλ++=++y y y x x 结合已知条件求解λ. 例2 已知两点P 1(3,2),P 2(-8,3),求点P(21,y)分21P P 所成的比λ及y 的值. 解：由线段的定比分点坐标公式,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⨯+=+-+=.2249,175,132,1)8(321y y λλλλλ解得二、备用习题1.已知a =(3,-1),b =(-1,2),则-3a -2b 等于（）A.(7,1)B.(-7,-1)C.(-7,1)D.(7,-1)2.已知A(1,1),B(-1,0),C(0,1),D(x,y),若和是相反向量,则D 点的坐标是（）A.(-2,0)B.(2,2)C.(2,0)D.(-2,-2)3.若点A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,则使=λ的实数λ的值为（）A.1B.-2C.0D.24.设a =(23,sinα),b =(cosα,31),且a ∥b ,则α的值是（） A.α=2kπ+4π(k ∈Z ) B.α=2kπ-4π(k ∈Z ) C.α=kπ+4π(k ∈Z ) D.α=kπ-4π(k ∈Z ) 5.已知A 、B 、C 三点共线,且A(3,-6),B(-5,2),若C 点的横坐标为6,则C 点的纵坐标为（）A.-2B.9C.-9D.136.若A(2,3),B(x,4),C(3,y),且AB =2AC ,则x=_______,y=________.7.已知ABCD 中,AD =(3,7), AB =(-2,1),则CO 的坐标(O 为对角线的交点)为_________.8.向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k 为何值时,A 、B 、C 三点共线?9.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP =AB +λAC (λ∈R ),试问:当λ为何值时,点P 在第一与第三象限的角平分线上?当λ在什么范围内取值时,点P 在第三象限内?10.如图6所示,已知△AOB 中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=41,=21,AD 与BC 相交于点M,求点M 的坐标.图611.已知四边形ABCD 是正方形,BE ∥AC,AC=CE,EC 的延长线交BA 的延长线于点F,求证:AF=AE.参考答案:1.B2.B3.D4.C5.C6.427 7.(-21,-4) 8.∵OA =(k,12), OB =(4,5),OC =(10,k)， ∴=-=(4-k,-7), =-=(6,k-5). ∵∥,∴(4-k)(k-5)+7×6=0.∴k 2-9k-22=0.解得k=11或k=-2.9.∵=(3,1), =(5,7), ∴+λ=(3+5λ,1+7λ),而=+λ(已知), ∴=+=(2,3)+(3+5λ,1+7λ)=(5+5λ,4+7λ).(1)若点P 在第一与第三象限的角平分线上,则5+5λ=4+7λ⇒λ=21; (2)若点P 在第三象限内,则)1,(074055--∞∈⇒⎩⎨⎧<+<+λλλ 10.∵=41=41(0,5)=(0,45),∴C(0,45). ∵=21=21(4,3)=(2,23),∴D(2,23). 设M(x,y),则AM =(x,y-5),AD =(2-0,23-5)=(2,27-).∵AM ∥AD ,∴27-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.① 又=(x,y-45),=(4,47), ∵∥,∴47x-4(y 45-)=0,即7x-16y=-20.② 联立①②,解得x=712,y=2，故点M 的坐标为(712,2). 11.证明:建立如图7所示的直角坐标系,为了研究方便,不妨设正方形ABCD 的边长为1,则B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(x,y),这里y>0,于是AC =(1,1),BE=(x-1,y).图7 ∵AC ∥BE ,∴1×y-(x--1.①∵AC=OC=CE(已知),∴CE 2=OC 2⇒(x-1)2+(y-1)2=2.②由y>0,联立①②,解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=,231,233y x 即E(231,233++). AE=OE=13)231()233(22+=+++ 设F(t,0),则=(1-t,1),=().231,231(+-+). ∵F 、C 、E 三点共线,∴∥.∴(1-t)×231231+-+-×1=0,即t=-1-3. ∴AF=OF=1+3.∴AF=AE.(设计者：房增凤)。

高一数学人教a版必修4课件2.3.4平面向量共线的坐标表示

[小问题·大思维]
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[研一题] [例 1] 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当 k 为何值时，ka＋b
与 a－3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
[自主解答] 由已知，得 ka＋b＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(10，－4)， ∵ka＋b 与 a－3b 平行， ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0， 1 解得 k＝－ . 3
2.3.4
读教材·填要点
课前预习·巧设计
第二章平面向量
2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量共线的坐标表示
小问题·大思维
考点一
名师课堂·一点通
考点二考点三解题高手
NO.1课堂强化
创新演练·大冲关
NO.2课下检测
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[读教材·填要点] 两个向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0. 则a∥b⇔a＝λb⇔ x1y2－x2y1＝0.
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[悟一法]
对于根据向量共线的条件求参数值的问题，一般有两
种处理思路，一是利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求
解，二是利用向量共线的坐标表达式x1y2－x2y1＝0求解．
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[通一类]
1．已知 A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断 AB 与 CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？
由 AP ， AC 共线的条件知 3 (4t－4)×6－4t×(－2)＝0，解得 t＝ . 4 ∴ OP ＝(4t,4t)＝(3,3)，∴P 点坐标为(3,3)．
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法二：设 P(x，y)，则 OP ＝(x，y)， OB ＝(4,4)． ∵ OP ， OB 共线，∴4x－4y＝0，即 x－y＝0. 又 CP ＝(x－2，y－6)， CA ＝(2，－6)，且 CA ∥ CP ， ∴－6(x－2)－2(y－6)＝0，即 3x＋y－12＝0，由①②得 x＝3，y＝3. ∴点 P 的坐标为(3,3)． ② ①

4平面向量共线的坐标表示学年人教A版高中数学必修四PPT课件

课
合作
(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
时分
探
层
究
作
释
业
疑
难
返首页
22
[跟进训练]
课
自主
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋堂小
预
习 b)，则λ＝________.
结提
探
新知
1 2
[由题可得2a＋b＝(4,2)，
返首页
4平面向量共线的坐标表示学年人教A 版高中数学必修四PPT 课件
7
2．下列各对向量中，共线的是( ) 课
自
主
A．a＝(2,3)，b＝(3，－2)
堂小
预
结
习探
B．a＝(2,3)，b＝(4，－6)
提
新
素
知
C．a＝( 2，－1)，b＝(1， 2)
养
合
D．a＝(1， 2)，b＝( 2，2)
堂小
预
结
习探
“1”的代换求2sin αcos α.
提
新
素
知
(2)要求点P的坐标，只需求出向量 O→P 的坐标，由 O→P 与 O→B 共线养
课
合作
得到 O→P ＝λ O→B ，利用 A→P 与 A→C 共线的坐标表示求出λ即可；也可设
时分
探
层
究释
P(x，y)，由O→P∥O→B及A→P∥A→C，列出关于x，y的方程组求解．
提素养
－3b)，
课
合
时
作探究
因为λ＝－13<0，
分层作

人教A版高中数学必修四课件2.3.4平面向量共线的坐标表示.pptx

,)，且，13则锐角αa
b
为() C
A．30oB．60o
C．45oD．75o
6.△ABC的三条边的中点分别为(2,1)和(－3,4),(－1, －1)，则△ABC的重心坐标为__(__23__, 43_).
7.已知向量=a(2x,7),=(6,xb+4)，当x=_______时3或，－7
a b．
1.共线向量的坐标表示； 2.会运用共线向量的坐标表示解决一些简单问题：如证明共线、求坐标，等等.

2PP2
y P2
P
y P2
P
P1
P1
O
x
O
x
如果，P那1P么
1 2
PP2
OP
OP1 OP1
P13（1POPO2 P1OP113）P1
P2 2
3
OP1

1 3
OP2
2x1 x2 , 2 y1 y2 ,
3
3
即点P的坐标是 2x1 x2 , 2 y1 y2 .
解：∵, a b ∴4y-2×6=0 ∴y=3.
例2.在直角坐标系xOy内，已知A(－1,－1)、B(1,3)、
C(2,5)，试判断A、B、C三点之间的位置关系.
解:在平面直角坐标系中作出A、B、C三点，观察图形，我
们猜想A、B、C三点共线.下面给出证明. y
AB (1 (1),3 (1)) (2, 4),
C
AC (2 (1),5 (1)) (3, 6), 又 2 6 3 4 0,
AB // AC.
∵直线AB与直线AC有公共点A,
B
O
x
A
∴A、B、C三点共线.