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T为参数集，对固定的e和t, X (e,t)称为过程的状态； X (e,t)所有可能的值的全体称为状态空间；
今后将X (e,t)简记为X (t)
△当e和t都固定时，X(e,t)为一确定的数值，称为样本函数在t处的数值； △当t都固定时，X(e,t)为一随机变量，称为t时刻的状态；而每个可能的
取值也称为一个状态。
它的状态空间为1,2,3,4,5,6。
(2) 设Yn是前n次抛掷中出现的最大点数,Yn , n 1也是
一随机过程，它的状态空间仍是1, 2,3, 4,5, 6。
下面分别给出它们的一条样本函数：
yn
6
(2)
5
yn
4 3 2
1
1 2 3 45 678
n
热噪声电压 电压的变化过程{V (t ), t 0} 是一个随机过程. 状态空间: (, ). 一次测得的电压——时间函数是一个样本函数.
若把 t 看成时间, X (t) 称为 t 时过程的状态.
X (t1) x (实数 ) 说成是 t t1 时过程处于状态 x . 对于一切t T , X (t)所有可能取的一切值的全
体称为随机过程的状 态 空 间 .
更详细的描述：
给定一随机试验E，其样本空间S={e}，将样本空间 中的每一元作如下对应，便得到一系列结果：
研究生课程
随机过程
汪荣鑫编 主讲教师：田传俊
2013年9月
第一章 随机过程基本概念
第1节 随机过程及其概率分布
1）随机过程概念 随机过程被认为是概率论的“动力学”部分，即
它的研究对象是随时间演变的随机现象，它是从 多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。
自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类： 确定性过程：事物变化的过程可用时间的确定函数表示；
此随机过程的样本函数只有两个，即X1(t) cos t, X 2 (t) t
X (t)
X 2 (t)
X 1 (t )
12 34
t
随机过程的分类： 随机过程可根据参数集T和任一时刻的状态分为
四类，参数集T可分为离散集和连续集两种情况，任 一时刻的状态分别为离散型随机变Baidu Nhomakorabea和连续型随机变 量两种：
连续参数连续型的随机过程； 连续参数离散型的随机过程； 离散参数离散型的随机过程，也称为随机序列； 离散参数连续型的随机过程，也称为随机序列；
形象地说，每个时刻对应了一个确定数值； 随机过程：事物变化的过程不可能用时间的确定函数来描述；
形象地说，每个时刻对应了一个随机变量。
▲ 几个例子
例2：考虑 X (t) cos(t ),t , ,式中和是
正常数,是在(0, 2 )上服从均匀分布的随机变量,
这是一个随机过程。
对每一固定的时刻t, X (t) cos(t ) 是随机变量的函数,从而也是随机变量。它的状态空间是[-, ], 在(0, 2 )内随机取一数 ,相应的就得到一个样本函数x(t) cos(t ), 这族样本函数的差异在于它们相位的不同,
随机过程的统计描述 二 有限维分布族
两种描述
分布函数 特征数
设随机过程X (t),t T,对每一固定的t T ,随机变量X (t)的分布函数与t有关， 记为FX (x,t) PX (t) x，x R，称它为随机过程X (t),t T的一维分布函数 FX (x,t),t T称为一维分布函数族
为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统计联系， 一般地，对任意n(n 2,3,L )个不同的时刻，t1,t2,L tn T
5.5 5.4 5.3 5.2 5.1
5 4.9 4.8 4.7 4.6 4.5
0
10
20
30
40
50
▲ 定义
设 T 是一无限实数集. 依赖于参数t T 的一族(无限多个)随机变量 称为随机过程,记为{X (t), t T }.
对每一个 t T , X (t ) 是一随机变量. T叫做参数集.
故这一过程称为随机相位正弦波。
例4：设某城市的120急救中心电话台迟早会接到用户的呼叫。
以X (t)表示时间间隔0,t内接到的呼叫次数，
它是一个随机变量，且对于不同的t 0，X (t)是不同
的随机变量，于是X (t),t 0是一随机过程，且它的
状态空间是0,1, 2,L .
x(t)
x2 (t)
e X (e), 即X ——一维随机变量 e (X (e),Y (e)), 即(X ,Y )——二维随机变量 e ( X1(e), X 2 (e),L X n (e)), 即( X1, X 2,L , X n )——n维随机变量 e ( X1(e), X 2 (e),L ), 即( X1, X 2,L )——随机序列 e (X (e,t) t (, )), 即(X (t),t (, ))——随机过程
定义：设T是一无限实数集，X (e,t), e S,t T是对应于e和t的实数，
即为定义在S 和T 上的二元函数。
若此函数对任意固定的t T , X e,t 是一个随机变量， 则称X (e,t), e S,t T是随机过程； 对于随机过程X (e,t),e S,t T进行一次试验，即e给定，
它是t的函数，称为随机过程的样本函数。
例1：抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T}，现定义：
cos t 当出现H
X (t) t
当出现T
t , ，其中P(H )
P(T )
1 2
则X (t),t , 是一随机过程。
解：对任意固定的t, X (t)是随机变量，取值为cos t和t
P( X (t)
cos t)
P(X (t)
t)
1 2
4
x1 (t )
3
2
1
t1' t1 t2 t2' t3 t3' t4' t4
t
4
例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：
(1) 设X n是第n次(n 1)抛掷的点数，对于n 1, 2,L 的不同值，
X n是随机变量，服从相同的分布，P( X n
i)
1 6
,i
1, 2,3, 4,5, 6
因而X n , n 1构成一随机过程，称为伯努利过程或伯努利随机序列,
引入n维随机变量 X (t1), X (t2 ),L X (tn ),它的分布函数 记为：FX (x1, x2,L xn；t1,t2,L tn ) PX (t1) x1, X (t2 ) x2,L X (tn ) xn，xi R,i 1, 2,L n 称为随机变量X (t),t T的n维分布函数 FX (x1, x2,L xn;t1,t2,L tn ) ti T称为X (t),t T的n维分布函数族
今后将X (e,t)简记为X (t)
△当e和t都固定时，X(e,t)为一确定的数值，称为样本函数在t处的数值； △当t都固定时，X(e,t)为一随机变量，称为t时刻的状态；而每个可能的
取值也称为一个状态。
它的状态空间为1,2,3,4,5,6。
(2) 设Yn是前n次抛掷中出现的最大点数,Yn , n 1也是
一随机过程，它的状态空间仍是1, 2,3, 4,5, 6。
下面分别给出它们的一条样本函数：
yn
6
(2)
5
yn
4 3 2
1
1 2 3 45 678
n
热噪声电压 电压的变化过程{V (t ), t 0} 是一个随机过程. 状态空间: (, ). 一次测得的电压——时间函数是一个样本函数.
若把 t 看成时间, X (t) 称为 t 时过程的状态.
X (t1) x (实数 ) 说成是 t t1 时过程处于状态 x . 对于一切t T , X (t)所有可能取的一切值的全
体称为随机过程的状 态 空 间 .
更详细的描述：
给定一随机试验E，其样本空间S={e}，将样本空间 中的每一元作如下对应，便得到一系列结果：
研究生课程
随机过程
汪荣鑫编 主讲教师：田传俊
2013年9月
第一章 随机过程基本概念
第1节 随机过程及其概率分布
1）随机过程概念 随机过程被认为是概率论的“动力学”部分，即
它的研究对象是随时间演变的随机现象，它是从 多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。
自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类： 确定性过程：事物变化的过程可用时间的确定函数表示；
此随机过程的样本函数只有两个，即X1(t) cos t, X 2 (t) t
X (t)
X 2 (t)
X 1 (t )
12 34
t
随机过程的分类： 随机过程可根据参数集T和任一时刻的状态分为
四类，参数集T可分为离散集和连续集两种情况，任 一时刻的状态分别为离散型随机变Baidu Nhomakorabea和连续型随机变 量两种：
连续参数连续型的随机过程； 连续参数离散型的随机过程； 离散参数离散型的随机过程，也称为随机序列； 离散参数连续型的随机过程，也称为随机序列；
形象地说，每个时刻对应了一个确定数值； 随机过程：事物变化的过程不可能用时间的确定函数来描述；
形象地说，每个时刻对应了一个随机变量。
▲ 几个例子
例2：考虑 X (t) cos(t ),t , ,式中和是
正常数,是在(0, 2 )上服从均匀分布的随机变量,
这是一个随机过程。
对每一固定的时刻t, X (t) cos(t ) 是随机变量的函数,从而也是随机变量。它的状态空间是[-, ], 在(0, 2 )内随机取一数 ,相应的就得到一个样本函数x(t) cos(t ), 这族样本函数的差异在于它们相位的不同,
随机过程的统计描述 二 有限维分布族
两种描述
分布函数 特征数
设随机过程X (t),t T,对每一固定的t T ,随机变量X (t)的分布函数与t有关， 记为FX (x,t) PX (t) x，x R，称它为随机过程X (t),t T的一维分布函数 FX (x,t),t T称为一维分布函数族
为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统计联系， 一般地，对任意n(n 2,3,L )个不同的时刻，t1,t2,L tn T
5.5 5.4 5.3 5.2 5.1
5 4.9 4.8 4.7 4.6 4.5
0
10
20
30
40
50
▲ 定义
设 T 是一无限实数集. 依赖于参数t T 的一族(无限多个)随机变量 称为随机过程,记为{X (t), t T }.
对每一个 t T , X (t ) 是一随机变量. T叫做参数集.
故这一过程称为随机相位正弦波。
例4：设某城市的120急救中心电话台迟早会接到用户的呼叫。
以X (t)表示时间间隔0,t内接到的呼叫次数，
它是一个随机变量，且对于不同的t 0，X (t)是不同
的随机变量，于是X (t),t 0是一随机过程，且它的
状态空间是0,1, 2,L .
x(t)
x2 (t)
e X (e), 即X ——一维随机变量 e (X (e),Y (e)), 即(X ,Y )——二维随机变量 e ( X1(e), X 2 (e),L X n (e)), 即( X1, X 2,L , X n )——n维随机变量 e ( X1(e), X 2 (e),L ), 即( X1, X 2,L )——随机序列 e (X (e,t) t (, )), 即(X (t),t (, ))——随机过程
定义：设T是一无限实数集，X (e,t), e S,t T是对应于e和t的实数，
即为定义在S 和T 上的二元函数。
若此函数对任意固定的t T , X e,t 是一个随机变量， 则称X (e,t), e S,t T是随机过程； 对于随机过程X (e,t),e S,t T进行一次试验，即e给定，
它是t的函数，称为随机过程的样本函数。
例1：抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T}，现定义：
cos t 当出现H
X (t) t
当出现T
t , ，其中P(H )
P(T )
1 2
则X (t),t , 是一随机过程。
解：对任意固定的t, X (t)是随机变量，取值为cos t和t
P( X (t)
cos t)
P(X (t)
t)
1 2
4
x1 (t )
3
2
1
t1' t1 t2 t2' t3 t3' t4' t4
t
4
例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：
(1) 设X n是第n次(n 1)抛掷的点数，对于n 1, 2,L 的不同值，
X n是随机变量，服从相同的分布，P( X n
i)
1 6
,i
1, 2,3, 4,5, 6
因而X n , n 1构成一随机过程，称为伯努利过程或伯努利随机序列,
引入n维随机变量 X (t1), X (t2 ),L X (tn ),它的分布函数 记为：FX (x1, x2,L xn；t1,t2,L tn ) PX (t1) x1, X (t2 ) x2,L X (tn ) xn，xi R,i 1, 2,L n 称为随机变量X (t),t T的n维分布函数 FX (x1, x2,L xn;t1,t2,L tn ) ti T称为X (t),t T的n维分布函数族