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通信原理-随机过程课件
一个随机过程在时间上是否具有某种 稳定的统计特性。如果一个随机过程 在长时间观察下表现出稳定的统计特 性，则称该随机过程具有遍历性。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
应用随机过程课件
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性质：线性变换不改变随机过程的 统计特性
举例：高斯随机过程经过线性变换 后仍为高斯随机过程
定义：将随机过程通过非线性函数进行变换得到新的随机过程。 常见变换：对随机变量进行指数变换、对数变换等。
应用场景：在信号处理、通信等领域中通过对随机信号进行非线性变换实现信号的调制、解调等功能。
多径传播：随机过程用于描述无线通信中的多径传播效应以提高信号的可靠性和稳定性。
随机过程在金融领域的应用包括股 票价格预测、风险评估和投资组合 优化等方面。
随机过程还可以用于信用评级和风 险评估帮助金融机构评估借款人的 信用风险和违约概率。
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通过随机过程模型可以分析金融市 场的波动性和相关性从而制定有效 的投资策略。
循环性是随机过程的基本性质之一它决定了过程的可预测性和不可预测性的程度。
循环性对于理解和预测某些自然现象（如气候变化、生态系统的动态等）具有重要意义。
在实际应用中循环性可以帮助我们更好地理解和预测某些随机现象如股票价格的波动、人口增长等。
定义：将随机过程进行线性变换得 到新的随机过程
应用：在信号处理、通信等领域中 广泛应用
数学模型：基于概率论和随机过程的理论基础建立非线性变换的数学模型分析其统计特性。
傅里叶变换的定义和性质 随机过程的傅里叶变换方法 傅里叶变换在信号处理中的应用 傅里叶变换在随机过程中的应用实例
信号传输：随机过程用于描述信号在通信系统中的传输过程如噪声和干扰。
信道容量：随机过程用于分析通信信道的容量以优化通信系统的性能。 调制解调：随机过程用于实现高效的调制解调技术如QM和QPSK。
随机过程获奖示范课课件
2 4 9)( 2
1)
d
1
2
2
j[Res( ( 2
2 4 9)( 2 1)
e j
,
j)
Res(
(
2
2 4 9)( 2
1)
e
j
,
3
j)]
j( 3 e 5 e3 ) 3 e 5 e3
16 j 48 j
16 48
Res( ( 2
2 4 9)( 2 1)
e
j
,
j)
lim(
j
j)
阐明信号旳总能量等于能谱密度在全频域上旳积分. 右式也是总能量旳谱体现式.
因为实际中诸多信号(函数)旳总能量是无限旳, 不满足绝对可积旳条件,所以一般研究x(t)在 (-∞,+ ∞)上旳平均功率,即
lim 1 T x2 (t)dt
T 2T T
为了能利用Fouier变换给出平均功率旳谱体现式, 构造一种截尾函数:
x(t)[
1
2
Fx ()e jtd]dt
1
2
[Fx ()
x(t)e jtdt]d
1
2
2
Fx () d
即
x2 (t)dt 1
2
2
Fx () d
( Parseval等式)
即
x2(t)dt 1
2
2
Fx () d
左边为x(t)在(-,+)上的总能量
右边的被积式 Fx () 2 称为信号x(t)的能谱密度.
T x2 (t)dt lim 1
T
T 4T
2
Fx (,T ) d
1
2
1
lim
T 2T
随机过程马尔科夫过程 ppt课件
3442马尔可夫链的状态分类ijij3542马尔可夫链的状态分类ii1称状态i为非常返的ii不返回到i期望值表示由i出发再返回到i的平均返回时间iinfiiii定义3642马尔可夫链的状态分类首达概率与n步转移概率有如下关系式定理44对任意状态iijij定义3742马尔可夫链的状态分类ijij3842马尔可夫链的状态分类引理42周期的等价定义gcdgcd例例4848设马尔可夫链的状态空间i123转移概率矩阵为求从状态1出发经n步转移首次到达各状态的概率3942马尔可夫链的状态分类121212124042马尔可夫链的状态分类同理可得11134142马尔可夫链的状态分类以下讨论常返性的判别与性质数列的母函数与卷积的卷积的母函数4242马尔可夫链的状态分类定理45状态i常返的充要条件为规定则由定理44iiiiii4342马尔可夫链的状态分类iiiiii4442马尔可夫链的状态分类4542马尔可夫链的状态分类ii同理ii4642马尔可夫链的状态分类定理47设i常返且有周期为d则其中ndiindii4742马尔可夫链的状态分类由定理47知对d的非整数倍数的nndiindiindii4842马尔可夫链的状态分类子序列所以d1从而i为非周期的i是遍历的ndiindiilim而由定理limlimndii4942马尔可夫链的状态分类状态的可达与互通状态i与状态j互通ij
输一局后输光）
2020/11/13
23
4.1 马尔可夫链与转移概率
( p q )u i pu i 1 qu i 1
p(ui1 ui ) q (ui ui1 )
ui1 ui
q p
(ui
ui1 )
i 1,2, , c 1
(1q)1,即 pq1
p
2
ui1ui uiui1ui1ui2 u1u0 ˆ
输一局后输光）
2020/11/13
23
4.1 马尔可夫链与转移概率
( p q )u i pu i 1 qu i 1
p(ui1 ui ) q (ui ui1 )
ui1 ui
q p
(ui
ui1 )
i 1,2, , c 1
(1q)1,即 pq1
p
2
ui1ui uiui1ui1ui2 u1u0 ˆ
《随机过程——计算与应用》课件-马尔科夫连 4
(3)若i j，则j i
（互通的对称性）
上述性质的验证留作ห้องสมุดไป่ตู้习.
定理6.3.5 设i, j S,则
(1) i j fij 0 （2）若i是常返的，且i j 则有f ji 1，从而有i j,
证明 (1) 设i j 则 n 1 使pi(jn) 0
因而也有
fij
p(n) ij
0
或者同为零常返的;或者同为正常返周期态,且周期 相同.或者同为正常返非周期(遍历态).
证明 i j, i j, j i, 存在正整数l, n，使
p(l ) ij
0
p(n) ji
0
由C-K方程，对任意的正整数m有
p (lmn) ii
p p p p(l) ik
p(m) ks
p(n) si
周 期 为 4.
例6.3.9 设齐次马尔可夫链的状态空间S={1,2,3,4,5,6,}, 其一步转移概率矩阵为
0 0 1 0 0 0
0
0
0
0
0
1
0 0 0 0 1 0
P
1 3
1 3
0
1 3
0
0
1 0 0 0 0 0
0
1 2
0
0
0
12
试分解此马尔可夫链,并写出各状态类型及周期.
1
1
1 3
下面证明 当i ,j 同为正常返态时,周期相同
设i, j同为正常返状态，周期分别为di , d j
由C-K方程
p (nl ) jj
p(n) jk
p(l) kj
p p (n) (l ) ji ij
0
k
dj nl
又因为，对任意的m有
《随机过程》课件
马尔可夫过程的定义与性质
马尔可夫过程是一种重要的随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态有关。本部分将详 细介绍马尔可夫过程的定义和特性。
马尔可夫过程的应用
马尔可夫过程在很多领域都有广泛的应用，如金融风险评估、自然语言处理和社交网络分析等。我们将 义与性质
《随机过程》PPT课件
随机过程是一个重要的数学概念，本课件将深入介绍随机过程的定义、分类 以及常见例子，帮助您全面理解随机过程的本质。
随机过程的定义与随机变量的区别
了解随机过程和随机变量的不同之处对于理解随机过程的基本概念至关重要，本部分将详细讨论它们的 区别及其意义。
随机过程的分类及常见例子
随机过程可以根据其性质和特征进行分类，例如马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。我们将介绍每 种类型的定义和常见应用。
布朗运动在金融和物理领域的 应用
布朗运动在金融领域和物理领域有着广泛的应用，如金融市场模型和粒子扩 散模型。我们将介绍一些相关的应用场景。
随机过程在数据分析中的应用
频率分析
利用随机过程的特性进行频率域信号分析， 如功率谱估计和频谱分析。
信号处理
利用随机过程的随机性和噪声模型进行信号 处理和滤波。
泊松过程是一种重要的随机过程，具有独立增量和平稳增量的特性。本部分 将详细介绍泊松过程的定义以及其它一些重要的性质。
泊松过程的应用
泊松过程在很多实际问题中具有重要的应用，如事件发生的模拟、人流和交通流量的预测等。我们将分 享一些实际案例。
布朗运动的定义与性质
布朗运动是一种连续时间的随机过程，具有随机漂移和随机扩散的特性。本部分将详细探讨布朗运动的 定义和一些重要的性质。
时域分析
通过对随机过程的统计特性进行分析，如均 值、方差和自相关函数。
《随机过程》课件
泊松过程
定义
泊松过程是一种计数随机过程，其事件的发生是 相互独立的，且具有恒定的平均发生率。
例子
放射性衰变、电话呼叫次数、交通事故等。
应用领域
物理学、工程学、保险学等。
03
随机过程的变换与函数
随机过程的线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对随机过程中的每个时间点，将该点的随机变量或随机向量乘以一个常数 或矩阵，并加上另一个常数或矩阵。
应用
微分在随机过程的理论和应用中非常重要，例如在金融 领域中，可以通过计算股票价格的导数来预测股票价格 的变动趋势。
积分的定义
随机过程的积分是指对随机过程中的每个时间点，将该 点的随机变量进行积分。
积分的性质
积分运算可以改变随机过程的统计特性，例如期望、方 差和协方差等。
应用
积分在随机过程的理论和应用中也有重要应用，例如在 信号处理中，可以通过对信号进行积分来提取信号的特 征或进行信号的合成。
连续随机过程
01
定义
连续随机过程是在时间或空间上 连续取值的随机现象的数学模型 。
02
03
例子
应用领域
电子信号、温度波动、随机漫步 等。
物理、工程、金融等。
马尔可夫过程
定义
马尔可夫过程是一种特殊的随机过程，其未来状态只依赖于当前 状态，与过去状态无关。
例子
赌徒输赢的过程、天气变化等。
应用领域
统计学、计算机科学、人工智能等。
将随机信号视为随时间变化的随机变量序列，具有时间和概率的统 计特性。
随机模型
根据实际需求建立信号的随机模型，如高斯过程、马尔可夫过程等 。
信号的滤波与预测
滤波器设计
根据随机模型设计滤波 器，用于提取有用信号 或抑制噪声。
随机过程_课件
第一章 概率论基础1.从传统的长度概念说起1.1 区间（a,b ）、[a,b]等都有长度，用字母L 表示,而且知道L (a,b)=b-a我们进而认为(*)L 是一种（函数）运算，自变量*为一维数轴上的区间，显然，(*)L 应满足：（1） L(*)0≥非负性；（2）有限可加性；（3）甚至要求满足可列可加性∑∞=∞==11)()(n n n n I L I L我们提出问题1：区间I 作为R 的子集，具有长度，那么R 的一般子集E 也有长度吗？答案是否定的。
因为传统长度是集合的右端点与左端点之差值，而只有区间这种集合才有端点。
问题2：是否可以推广L 为某*L 作为一般点集E 的长度呢？当然可以适当推广L 成为某种运算*L ，用以作为更广泛的一类集合（包含全体区间）的“长度”。
但是，事实表明，无论怎样改进*L ，都无法适应R 的全体子集。
1.2长度L 向某*L 推广的直接动力是，人们发现了Riemann积分的缺陷并希望加以改进。
Riemann 积分的缺陷1：()ba f x dx ⎰也可写成[,]()ab f x dx ⎰，积分符号的右下角就是积分区间，也就是积分范围，此范围不可以是一般的实数点集，只能是区间。
缺陷2：按照黎曼积分的定义（工科高数教材）：（1）分割区间[,]a b 成为若干小区间1[,]k k xx -，1,2,,k n = （2）任意取小区间1[,]k k x x -的点k ξ，求值()k f ξ，进而得到第k 个小矩形的面积()k k x f ξ∆（3）做和1()n k k k x f ξ=∆∑，也即全体小矩形面积之和（4）01lim ()n k k k x f λξ→=∆∑，这一步是对前三步工作的无穷细化。
这种方法的核心思想是微小范围内以直代曲，例如，第k 个小矩形的面积应是()k x f x dx ∆⎰，但这里却以()k k x f ξ∆加以代替，依据是在很小区间1[,]k k x x -上，函数()f x 的变化不大，可以近似看成常数()kf ξ。
随机过程课件
3.2 随机过程的数字特征
为Ft x ，密度函数为t x ， f 则
t T，随机过程 X t , t T 的一维分布函数
2 Xt
二、方差函数
Var X t E X t EX t
称为随机过程X t , t T 的方差函数 .
若E X t x dFt x , 则称随机
5
1 e 2
2 t
1 e 2
2 t
e
2 t
P X P X P X P X
3.3 离散事件和离散型随机过程
P X t1 X t 2 1
t1
t1
t1 t1
1, X 1 P X 1, X 1 1, X 1 P X 1, X 1 1P X 1 P X 1P X 1
3.3 离散事件和离散型随机过程
E X i p 1 p 2 p 1
E X i p 1 p 1
2
Var X i E X i EX i 1 2 p 1
2 2
2
E Yn E
n2 p 1
Ft1 ,,tn x1 ,, xn P X t1 x1 ,, X t n xn
称为随机过程X t , t T n维分布函数 的 .
4 Ft1 ,,tn x1 , , xn : n 1, t1 , , t n T
0
称为X t , t T 的有穷维分布函数族.
3.3 离散事件和离散型随机过程
Y Y P X t 1 P t 1 t 3
随机过程Ch5连续时间的马尔可夫链ppt课件
注：虽然前进方程和后退方程在形式上有所不同， 但两者的解都是同一的，费勒在1940年已证明。
由柯尔莫哥洛夫向前方程旳矩阵形式可得
例：设有一参数连续，状态离散的马尔可夫
过程X t,t 0，状态空间为I 1,2,, N，
当i j，时qij 1，i, j 1,2,, N，
当i 1,2,, N时，qii (N 1)，求pij t 。
则器件在0, t 正常工作，即寿命超过t的概率为： PX t exdx et
t
已知器件用了t小时，器件寿命超过t h，
即在t,t h器件不坏的概率为：
p00h PX t h / X t
PX
t h, X
PX t
t
PX t h PX t
e t h et
eh
1 h
5.2柯尔莫哥洛夫微分方程
一.连续性条件(正则性条件)
规定lim t 0
pij t ij
1 0
i j i j
或lim Pt I t 0
称此为连续性条件(正则性条件)
阐明：过程刚进入某状态不可能立即又 跳跃到另一状态，这恰好阐明一种物理系统要 在有限时间内发生无限屡次跳跃，从而消耗无 穷多旳能量这是不可能旳，亦即经过很短时间 系统旳状态几乎是不变旳。
定理：设pij (t)是齐次马尔可夫过程的转移概率， 则下列极限存在：
dpij t
dt
t 0
lim
h0
pij h
h
pij 0
lim
h0
pij h ij
h
Hale Waihona Puke qij即: 1dpii t
dt
t 0
lim
h0
pii h 1
h
由柯尔莫哥洛夫向前方程旳矩阵形式可得
例：设有一参数连续，状态离散的马尔可夫
过程X t,t 0，状态空间为I 1,2,, N，
当i j，时qij 1，i, j 1,2,, N，
当i 1,2,, N时，qii (N 1)，求pij t 。
则器件在0, t 正常工作，即寿命超过t的概率为： PX t exdx et
t
已知器件用了t小时，器件寿命超过t h，
即在t,t h器件不坏的概率为：
p00h PX t h / X t
PX
t h, X
PX t
t
PX t h PX t
e t h et
eh
1 h
5.2柯尔莫哥洛夫微分方程
一.连续性条件(正则性条件)
规定lim t 0
pij t ij
1 0
i j i j
或lim Pt I t 0
称此为连续性条件(正则性条件)
阐明：过程刚进入某状态不可能立即又 跳跃到另一状态，这恰好阐明一种物理系统要 在有限时间内发生无限屡次跳跃，从而消耗无 穷多旳能量这是不可能旳，亦即经过很短时间 系统旳状态几乎是不变旳。
定理：设pij (t)是齐次马尔可夫过程的转移概率， 则下列极限存在：
dpij t
dt
t 0
lim
h0
pij h
h
pij 0
lim
h0
pij h ij
h
Hale Waihona Puke qij即: 1dpii t
dt
t 0
lim
h0
pii h 1
h
《概率论与数理统计》课件-随机过程
06
随机过程的未来发展与挑战
随机过程理论的发展趋势
随机过程与大数据的结合
随着大数据技术的快速发展，如何将随机过程与大数据分 析相结合，挖掘出更多有价值的信息和模式，是未来的一 个重要研究方向。
复杂系统中的随机过程
研究复杂系统中的随机过程，如金融市场、生态系统、社 交网络等，以揭示其内在的运行规律和动态特性。
02
随机过程的基本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ型
独立增量过程
总结词
描述随机过程中事件发生次数随时间变化的过程，其中每次事件的发生都是独立 的。
详细描述
独立增量过程是指随机过程中事件发生次数在不相重叠的时间区间内相互独立， 即每次事件的发生与其他时间点的事件无关。这种过程在保险、金融等领域有广 泛应用。
马尔科夫过程
总结词
描述一个随机系统在给定当前状态的情况下，未来状态只依 赖于当前状态的过程。
详细描述
马尔科夫过程是一种特殊的随机过程，其中下一个状态只与 当前状态有关，而与过去状态无关。这种过程在自然现象、 社会现象和工程领域中都有广泛的应用，如天气预报、股票 价格波动等。
泊松过程
总结词
描述随机事件在单位时间内按照恒定速率独立发生的随机过程。
该方法通过大量随机抽样，得到概率分布的近似结果，具有简单、灵活和通用性强 的特点。
蒙特卡洛方法在金融、物理、工程等领域有广泛应用，如期权定价、核反应堆模拟 等。
离散事件模拟方法
离散事件模拟方法是一种基于 事件驱动的模拟方法，适用于 描述离散状态变化的过程。
该方法通过跟踪系统中的事件 发生和状态变化，来模拟系统 的动态行为。
离散事件模拟方法在交通运输 、生产制造、通信网络等领域 有广泛应用。
第5章高斯随机过程ppt课件
i2 D[X (ti )] 2
二、高斯随机过程
✓高斯过程是二阶矩过程 E[ X 2 (t)] ✓严格平稳和广义平稳等价
✓相互独立和互不相关等价
✓特征函数
n(v1,v2,
, vn;t1,t2,
, tn )
exp
j
n i1
aivi
1 2
n i1
n
CX
k 1
(ti ,tk )vivk
高斯随机过程
一、多维高斯随机变量 二、高斯随机过程 三、窄带平稳实高斯随机过程 四、随机相位正弦波加窄带平稳高斯随机过程之和 五、Ｘ2分布及非中心Ｘ2分布 六、维纳过程
一、多维高斯随机变量
1、一维分布 x ~ N(a, 2 )
1
(x a)2
f (x)
exp{
}
2
2 2
x
+
F (x) P( X x) f ( )d
2
1
四、随机相位正弦波加窄带平稳高斯随机过程之和
设随机相位正弦波加窄带平稳高斯过程之和为
Y (t) s(t) N(t)
式中 s(t) B cos[0t ] B cos0t cos B sin 0t sin
N(t)为窄带噪声，是一个平稳高斯过程
N (t) An (t) cos[0t n (t)] Nc (t) cos0t Ns (t) sin 0t
并将其称为具有n个自由度的Ｘ2变量，其概率分布为Ｘ2分
布
五、Ｘ2分布及非中心Ｘ2分布
1、Ｘ2分布
Ｘ2的概率密度函数为
f
(s)
1
2
n 2
(
n
)
n 1 s
s2 e 2,s
0
二、高斯随机过程
✓高斯过程是二阶矩过程 E[ X 2 (t)] ✓严格平稳和广义平稳等价
✓相互独立和互不相关等价
✓特征函数
n(v1,v2,
, vn;t1,t2,
, tn )
exp
j
n i1
aivi
1 2
n i1
n
CX
k 1
(ti ,tk )vivk
高斯随机过程
一、多维高斯随机变量 二、高斯随机过程 三、窄带平稳实高斯随机过程 四、随机相位正弦波加窄带平稳高斯随机过程之和 五、Ｘ2分布及非中心Ｘ2分布 六、维纳过程
一、多维高斯随机变量
1、一维分布 x ~ N(a, 2 )
1
(x a)2
f (x)
exp{
}
2
2 2
x
+
F (x) P( X x) f ( )d
2
1
四、随机相位正弦波加窄带平稳高斯随机过程之和
设随机相位正弦波加窄带平稳高斯过程之和为
Y (t) s(t) N(t)
式中 s(t) B cos[0t ] B cos0t cos B sin 0t sin
N(t)为窄带噪声，是一个平稳高斯过程
N (t) An (t) cos[0t n (t)] Nc (t) cos0t Ns (t) sin 0t
并将其称为具有n个自由度的Ｘ2变量，其概率分布为Ｘ2分
布
五、Ｘ2分布及非中心Ｘ2分布
1、Ｘ2分布
Ｘ2的概率密度函数为
f
(s)
1
2
n 2
(
n
)
n 1 s
s2 e 2,s
0
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随机过程的统计描述 二 有限维分布族
两种描述
分布函数 特征数
设随机过程X (t),t T,对每一固定的t T ,随机变量X (t)的分布函数与t有关， 记为FX (x,t) PX (t) x，x R，称它为随机过程X (t),t T的一维分布函数 FX (x,t),t T称为一维分布函数族
为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统计联系， 一般地，对任意n(n 2,3,L )个不同的时刻，t1,t2,L tn T
研究生课程
随机过程
汪荣鑫编 主讲教师：田ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ俊
2013年9月
第一章 随机过程基本概念
第1节 随机过程及其概率分布
1）随机过程概念 随机过程被认为是概率论的“动力学”部分，即
它的研究对象是随时间演变的随机现象，它是从 多维随机变量向一族(无限多个)随机变量的推广。
自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类： 确定性过程：事物变化的过程可用时间的确定函数表示；
4
x1 (t )
3
2
1
t1' t1 t2 t2' t3 t3' t4' t4
t
4
例5：考虑抛掷一颗骰子的试验：
(1) 设X n是第n次(n 1)抛掷的点数，对于n 1, 2,L 的不同值，
X n是随机变量，服从相同的分布，P( X n
i)
1 6
,i
1, 2,3, 4,5, 6
因而X n , n 1构成一随机过程，称为伯努利过程或伯努利随机序列,
它的状态空间为1,2,3,4,5,6。
(2) 设Yn是前n次抛掷中出现的最大点数,Yn , n 1也是
一随机过程，它的状态空间仍是1, 2,3, 4,5, 6。
下面分别给出它们的一条样本函数：
yn
6
(2)
5
yn
4 3 2
1
1 2 3 45 678
n
热噪声电压 电压的变化过程{V (t ), t 0} 是一个随机过程. 状态空间: (, ). 一次测得的电压——时间函数是一个样本函数.
若把 t 看成时间, X (t) 称为 t 时过程的状态.
X (t1) x (实数 ) 说成是 t t1 时过程处于状态 x . 对于一切t T , X (t)所有可能取的一切值的全
体称为随机过程的状 态 空 间 .
更详细的描述：
给定一随机试验E，其样本空间S={e}，将样本空间 中的每一元作如下对应，便得到一系列结果：
e X (e), 即X ——一维随机变量 e (X (e),Y (e)), 即(X ,Y )——二维随机变量 e ( X1(e), X 2 (e),L X n (e)), 即( X1, X 2,L , X n )——n维随机变量 e ( X1(e), X 2 (e),L ), 即( X1, X 2,L )——随机序列 e (X (e,t) t (, )), 即(X (t),t (, ))——随机过程
T为参数集，对固定的e和t, X (e,t)称为过程的状态； X (e,t)所有可能的值的全体称为状态空间；
今后将X (e,t)简记为X (t)
△当e和t都固定时，X(e,t)为一确定的数值，称为样本函数在t处的数值； △当t都固定时，X(e,t)为一随机变量，称为t时刻的状态；而每个可能的
取值也称为一个状态。
定义：设T是一无限实数集，X (e,t), e S,t T是对应于e和t的实数，
即为定义在S 和T 上的二元函数。
若此函数对任意固定的t T , X e,t 是一个随机变量， 则称X (e,t), e S,t T是随机过程； 对于随机过程X (e,t),e S,t T进行一次试验，即e给定，
它是t的函数，称为随机过程的样本函数。
例1：抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T}，现定义：
cos t 当出现H
X (t) t
当出现T
t , ，其中P(H )
P(T )
1 2
则X (t),t , 是一随机过程。
解：对任意固定的t, X (t)是随机变量，取值为cos t和t
P( X (t)
cos t)
P(X (t)
t)
1 2
5.5 5.4 5.3 5.2 5.1
5 4.9 4.8 4.7 4.6 4.5
0
10
20
30
40
50
▲ 定义
设 T 是一无限实数集. 依赖于参数t T 的一族(无限多个)随机变量 称为随机过程,记为{X (t), t T }.
对每一个 t T , X (t ) 是一随机变量. T叫做参数集.
故这一过程称为随机相位正弦波。
例4：设某城市的120急救中心电话台迟早会接到用户的呼叫。
以X (t)表示时间间隔0,t内接到的呼叫次数，
它是一个随机变量，且对于不同的t 0，X (t)是不同
的随机变量，于是X (t),t 0是一随机过程，且它的
状态空间是0,1, 2,L .
x(t)
x2 (t)
此随机过程的样本函数只有两个，即X1(t) cos t, X 2 (t) t
X (t)
X 2 (t)
X 1 (t )
12 34
t
随机过程的分类： 随机过程可根据参数集T和任一时刻的状态分为
四类，参数集T可分为离散集和连续集两种情况，任 一时刻的状态分别为离散型随机变量和连续型随机变 量两种：
连续参数连续型的随机过程； 连续参数离散型的随机过程； 离散参数离散型的随机过程，也称为随机序列； 离散参数连续型的随机过程，也称为随机序列；
形象地说，每个时刻对应了一个确定数值； 随机过程：事物变化的过程不可能用时间的确定函数来描述；
形象地说，每个时刻对应了一个随机变量。
▲ 几个例子
例2：考虑 X (t) cos(t ),t , ,式中和是
正常数,是在(0, 2 )上服从均匀分布的随机变量,
这是一个随机过程。
对每一固定的时刻t, X (t) cos(t ) 是随机变量的函数,从而也是随机变量。它的状态空间是[-, ], 在(0, 2 )内随机取一数 ,相应的就得到一个样本函数x(t) cos(t ), 这族样本函数的差异在于它们相位的不同,
引入n维随机变量 X (t1), X (t2 ),L X (tn ),它的分布函数 记为：FX (x1, x2,L xn；t1,t2,L tn ) PX (t1) x1, X (t2 ) x2,L X (tn ) xn，xi R,i 1, 2,L n 称为随机变量X (t),t T的n维分布函数 FX (x1, x2,L xn;t1,t2,L tn ) ti T称为X (t),t T的n维分布函数族