高等数学随堂讲义函数的极限函数极限概念
高等数学第3章第1节函数极限的概念.
第三章函数极限§1函数极限的概念引言在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”．二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例．通过数列极限的学习．应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”．例如，数列这种变量即是研究当时，的变化趋势．我们知道，从函数角度看，数列可视为一种特殊的函数，其定义域为，值域是，即; 或或.研究数列的极限，即是研究当自变量时，函数变化趋势．此处函数的自变量n只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即．但是，如果代之正整数变量n而考虑一般的变量为，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于一种呢？为此，考虑下列函数:类似于数列，可考虑自变量时，的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势；还可考虑自变量时，的变化趋势,由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化．但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同．而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限．下面，我们就依次讨论这些极限．一、时函数的极限1．引言设函数定义在上，类似于数列情形，我们研究当自变量时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数Ａ．这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质．例如无限增大时，无限地接近于０；无限增大时，无限地接近于；无限增大时，与任何数都不能无限地接近．正因为如此，所以才有必要考虑时，的变化趋势．我们把象，这样当时，对应函数值无限地接近于某个定数Ａ的函数称为“当时有极限Ａ”．[问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当时函数极限的精确定义如下.2.时函数极限的定义定义１设为定义在上的函数，Ａ为实数．若对任给的，存在正数Ｍ，使得当时有, 则称函数当时以Ａ为极限．记作或.3．几点注记（1）定义１中作用与数列极限中作用相同，衡量与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数列极限定义中Ｎ相类似，表明充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数，而不仅仅是正整数n．（2）的邻域描述：当时，（3）的几何意义：对，就有和两条直线，形成以Ａ为中心线，以为宽的带形区域．“当时有”表示：在直线的右方，曲线全部落在这个带形区域内．如果给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数Ｍ，使得曲线在的右边的全部落在这个更窄的带形区域内．（4）现记为定义在或上的函数，当或时，若函数值能无限地接近于常数Ａ，则称当或时时以Ａ为极限，分别记作，或，或．这两种函数极限的精确定义与定义１相仿，简写如下：当时，，当时，．（５）推论：设为定义在上的函数，则．４．利用＝Ａ的定义验证极限等式举例例１证明.例２证明１）；２）.二、时函数的极限１．引言上节讨论的函数当时的极限，是假定为定义在上的函数，这事实上是，即为定义在上，考虑时是否趋于某个定数Ａ．本节假定为定义在点的某个空心邻域内的函数，．现在讨论当时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列．先看下面几个例子：例１.（是定义在上的函数，当时，）例２.（是定义在上的函数，当时，）例３.（是定义在上的函数，当时，）由上述例子可见，对有些函数，当时，对应的函数值能趋于某个定数Ａ；但对有些函数却无此性质．所以有必要来研究当时，的变化趋势．我们称上述的第一类函数为当时以Ａ为极限，记作．和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法．不是严格的数学定义．那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量越来越接近于时，函数值越来越接近于一个定数Ａ”只要充分接近，函数值和Ａ的相差就会相当小欲使相当小，只要充分接近就可以了．即对，当时，都有．此即．２．时函数极限的定义定义２设函数在点的某个空心邻域内有定义，Ａ为定数，若对任给的，使得当时有，则称函数当趋于时以Ａ为极限（或称Ａ为时的极限），记作或（.3．说明如何用定义来验证这种类型的函数极限4．函数极限的定义的几点说明：（１）是结论，是条件，即由推出．（２）是表示函数与Ａ的接近程度的．为了说明函数在的过程中，能够任意地接近于Ａ，必须是任意的．这即的第一个特性——任意性，即是变量；但一经给定之后，暂时就把看作是不变的了．以便通过寻找，使得当时成立．这即的第二特性——暂时固定性．即在寻找的过程中是常量；另外，若是任意正数，则均为任意正数，均可扮演的角色．也即的第三个特性——多值性；（）(3 是表示与的接近程度，它相当于数列极限的定义中的Ｎ．它的第一个特性是相应性．即对给定的，都有一个与之对应，所以是依赖于而适当选取的，为此记之为；一般说来，越小，越小．但是，定义中是要求由推出即可，故若满足此要求，则等等比还小的正数均可满足要求，因此不是唯一的．这即的第二个特性——多值性．（４）在定义中，只要求函数在的某空心邻域内有定义，而一般不要求在处的函数值是否存在，或者取什么样的值．这是因为，对于函数极限我们所研究的是当趋于的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关．所以可以不考虑在点a的函数值是否存在，或取何值，因而限定“”．（５）定义中的不等式；．从而定义２，当时，都有，使得．（６）定义的几何意义．例1．设，证明.例2．证明１）；２）.例3．证明.例4．证明.练习：１）证明; ２）证明.三、单侧极限１．引言有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如或函数在某些点仅在其一侧有定义，如．这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法），而要从这些点的某一侧来讨论．如讨论在时的极限．要在的左右两侧分别讨论．即当而趋于０时，应按来考察函数值的变化趋势；当而趋于０时，应按来考察函数值的变化趋势；而对，只能在点的右侧，即而趋于０时来考察．为此，引进“单侧极限”的概念．２．单侧极限的定义定义３设函数在内有定义，Ａ为定数．若对任给的，使得当时有, 则称数Ａ为函数当趋于时的右极限，记作或或．类似可给出左极限定义（，，或或）.注：右极限与左极限统称为单侧极限．３．例子例5讨论在的左、右极限．例6讨论函数在处的单侧极限．４．函数极限与的关系．定理３.１.注：１）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：．还可说明某些函数极限不存在，如由例２知不存在．２），，可能毫无关系，如例２．作业：P47. 1（3）, （5）, 3，7。
函数的极限(高等数学课件
极限存在的充分条件
通过研究极限存在的充分条件，我们能够判断函数极限是否存在，从而分析函数的性质。
极限不存在的充分条件
极限不存在的充分条件揭示了函数在某一点无法达到收敛状态的原因，帮助我们理解函数的特性。
极限的计算方法
通过掌握极限的计算方法，我们能够简化复杂函数的分析，快速求得函数在某一点的极限值。
无穷远处的极限研究函数在无穷远处的行为，了解函数在无穷远的趋势和特征。
函数连续的定义
函数连续的定义是描述函数在一个区间内各点之间没有突变，平滑过渡的性质。
极限的性质
通过研究极限的性质，我们能够推导出一些重要的定理和计算方法，深入理解函数的行为。
夹逼定理
夹逼定理是一种重要的判断函数极限存在与计算的方法，让我们能够找到极限或证明其不存在。
极限的唯一性
极限的唯一性告诉我们，函数在某一点的极限只可能有一个确定的值，没有 歧义性。
极限的应用：导数和积分的概念
函数极限的应用非常广泛，例如在微积分中，导数和积分的概念都是基于极限的。
中值定理
中值定理是一组重要的定理，它揭示了函数在某一区间内的行为特点，是函 数研究的重要工具。
极值和最值的定义
极限与无的行为，探讨函数的无限增长和无限减小。
极限与无穷小
极限与无穷小研究函数在某一点附近的变化，帮助我们分析函数的微小变化 和趋势。
L'Hôpital法则
L'Hôpital法则是一种处理函数极限的重要方法，适用于特定的极限计算。
渐近线的定义与分类
渐近线研究函数在无穷远处的趋势，分为水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近 线三种。
函数的极限(高等数学课 件)
探索函数极限的奥秘，从基本的概念到应用、定理和计算方法，打开数学世 界的大门。
高等数学 函数的极限课件
函数极限的定义可以用数学符号表示为：lim f(x) = A，表示当x趋近 于某个值时，f(x)趋近于A。
函数极限的性质
01
唯一性
函数的极限是唯一的，即如果 lim f(x) = A和lim f(x) = B，则
A = B。
02
有界性
函数的极限是有界的，即存在 一个正数M，使得当x在某点附 近时，f(x)的绝对值小于M。
高等数学 函数的极限课件
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的运算性质 • 无穷小与无穷大 • 函数的连续性 • 极限的应用
01
函数极限的基本概念
函数极限的定义
01
02
函数极限的定义是高等数学中的基本概念，它描述了函数在某一点的 变化趋势。具体来说，如果当自变量趋近于某一值时，函数值无限接 近于一个确定的数，则称该数为函数的极限。
求复合函数极限的方法
通过将复合函数分解为基本初等函数或已知极限的函数，利用极限的四则运算性质和已知极限，求得 复合函数的极限。
反函数的极限
反函数极限的定义
设函数y=f(x)在点x0有定义且f'(x0)=1，其反函数为x=g[f(x)]，如果lim(y→y0) x=lim(y→y0) g[f(x)]，则称反函 数在点y0处存在极限。
03
局部保号性
如果lim f(x) = A且A > 0，则 在某点附近存在一个正数δ， 使得当x满足一定条件时，f(x)
> 0。
函数极限的存在性定理
函数极限的存在性定理是高等数学中一个重要的定理，它给出了函数极限存在的 充分条件。根据这个定理，如果函数在某点的左右极限存在且相等，则函数在该 点有极限。
连续性的几何意义
北京大学版高等数学讲义1-4函数的极限
、自变量趋向无穷时函数的极限
sin x 观察函数 当 x → ∞ 时的变化趋势 . x
4、自变量趋向无穷时函数的极限 、
sin x 观察函数 当 x → ∞ 时的变化趋势 . x
4、自变量趋向无穷时函数的极限 、
sin x 观察函数 当 x → ∞ 时的变化趋势 . x
4、自变量趋向无穷时函数的极限 、
记作x → a + 0;
定义 ( 右极限 )
设y = f ( x ) 是定义在 ( a, b ) 上的一个函数 若存在一个实数l , 对于任意给定的ε > 0, 无论它多么小,都存在一个δ > 0, 使得 f ( x) − l < ε , 记作 lim f ( x ) = l
x→a + 0
只要 0 < x − a < δ , 或 f ( x ) → l ( x → a + 0)
x →a
x 验证 lim 不存在. x→0 x
y
x −x lim lim 证 x → −0 = x → −0 x x
= lim ( −1) = −1
x → −0
1
o
x
−1
x x lim = lim = lim 1 = 1 x → +0 x → +0 x x+0 x
左右极限存在但不相等, 左右极限存在但不相等 ∴ lim f ( x ) 不存在. x →0
2.δ与任意给定的正数 ε有关 .
3.几何解释 几何解释: 几何解释
当x在a的去心δ 邻 域时, 函数y = f ( x) 图形完全落在以直 线y = l为中心线, 宽为2ε的带形区域内.
y
y = f (x )
高数函数极限
高数函数极限函数极限是高等数学里的一个重要概念，我们将在后面学习。
函数极限在数学中有着重要的地位，那么什么是极限呢？首先要对什么是极限进行说明：函数的极限（简称为“极限”）是指：当左极限等于右极限时，其值等于该函数值。
这里要注意的是：“左极限”和“右极限”是互为逆运算。
由于极限是“无穷大”与“无穷小”的统一，所以可以把极限看成是“无穷小”。
即：对任何自变量取值有界的函数f（ x），当其自变量趋向于无穷大或无穷小时，相应的极限也趋向于无穷大或无穷小，记作lim_f（ x）=∞，即函数值无限接近于它的极限值。
第一个需要说明的是：极限不是一个普遍的概念，它只适用于某些特殊的函数。
为什么函数会有极限呢？其实函数的极限概念是从变量的极限概念发展而来的。
我们知道，我们研究函数总是把函数视为在一个定义域上连续的有限集合，而这样的函数总存在着一个唯一的极限。
不但如此，函数的极限还是有一定范围的。
如果左右极限都存在，则表示函数在这一点处有界，这个点叫做函数的极值点。
二、极限与函数值的关系：极限与函数值是密切相关的。
换句话说，函数的极限决定了函数值。
我们设： x→∞为函数y=x-（ 1/x）的极限，则函数y=x-（ 1/x）=∞。
极限的定义为： lim_f（ x）=∞，即：函数值无限接近于它的极限值。
因此，当我们取两个正数x和y=∞时，函数的极限就是x=0，函数值也就是0。
当然，有时候两个正数x和y=∞，函数的极限却不是x=0，而是y=∞，即： lim_f（ x）=∞。
这说明函数值并不是真正的无穷大，而只是“趋近于无穷大”。
极限存在的充分必要条件是：当x →∞，即当自变量x →∞时，函数f （ x）仍然有极限。
所以说函数的极限是一个条件概念，极限的存在性是指：如果对于一个给定的自变量x，存在正数k，使得当自变量x→∞时，有lim_f（ x）=∞。
一、极限定义：通俗来讲，我们把函数最左极限和最右极限两个数称为“极限值”。
考研高数总复习函数的极限(讲义)PPT课件
无穷小与函数极限的关系是相互依存的，无穷小是函数极限的一种表现形式，而函数极限又是无穷小的 一种表现形式。
无穷小在求极限中的应用
利用无穷小的性质，可以将复杂的函数极限转化为简单的无穷小量，从而 简化计算过程。
在求函数极限时，可以利用等价无穷小替换，将复杂的函数表达式替换为 简单的无穷小量，从而得到更易处理的极限表达式。
利用极限的四则运算法则，消去零因子，化 简函数形式，再求极限。
利用两个重要极限求解
利用重要极限$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$求解：当函数 形式为$frac{sin x}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
利用重要极限$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$求解：当函数 形式为$frac{1}{x}$时，可以利用此重要极限求解。
考研高数总复习函数的极限(讲义 )ppt课件
contents
目录
• 函数极限的基本概念 • 函数极限的求解方法 • 函数极限的应用 • 函数极限的深入理解 • 总结与展望
01 函数极限的基本概念
函数极限的定义
1 2
函数极限的定义
当自变量趋近某一特定值时，函数值的变化趋势。
函数极限的表示方法
lim f(x) = A，表示当x趋近于某个值时，f(x)趋 近于A。
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在物理学中，函数极限被用来描述物体运动的速度、加速度等概念；在 工程中，函数极限被用来描述信号的变化趋势；在经济中，函数极限被
用来描述市场的变化趋势。
通过对函数极限的学习，我们可以更好地理解和应用这些概念，为未来 的学习和工作打下坚实的基础。
高等数学的教学课件1-3函数的极限
一、x 无限增大，记为x 1 x 0且 x 无限增大，记为x 2 x 0且 x 无限增大，记为x
二、x无限接近某定值 x0，记为x x0 1 x x0且x x0，记为x x0 2 x x0且x x0，记为x x0
一、自变量趋向无穷大时函数的极限
x0
x0
f (0 ) f (0 ) 1, lim f ( x) 1. x0
例13
x 1, x 0 假设f ( x) ax b, 0 x 1
2 x, x 1
试确定a、b之值，使得lim f ( x)及 lim f ( x)都存在
x0
x1
解 f (0 ) lim (x 1) 0 1 1.
x
2
证
任给 0,
要使 arctan x arctan x ,
22
即 arctanx ,
2
故只需 x tan( ).
2
取G tan( )，
2
当x G时,
就有 arctan x , 证毕。
2
lim arctanx
x
2
lim arctanx
x
2
典型极限
例12
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
1. 定义 :
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数 ,使得对于适合不等式0 x x0 的 一切x ,对应的函数值 f ( x)都满足不等式
f (x) A ,
那末常数 A就叫函数 f ( x)当x x0 时的极限,记作
例5
证明
lim
x x0
x
x0 .
证 f ( x) A x x0 , 任给 0, 取 ,
高数函数的极限
条件矛盾, 所以假设不真, 故 A ≥ 0 . 思考: 若定理 2 中的条件改为 f (x) > 0, 是否必有 A > 0? 不能! 不能 如
20
定理3’ 若 定理 使当 分析: 分析
A , 则在对应的邻域 若取 ε = 2 A 3A A > 0: < f (x) < 2 2
则存在 时, 有
(P37 )
xn ≠ x0 , f (xn ) 有定义
有 lim f (xn ) = A.
n→ ∞
且
(xn →∞)
说明: 说明 此定理常用于判断函数极限不存在 . 法1 找一个数列
n→∞
xn ≠ x0 ,
使 lim f (xn ) 不存在 .
法2 找两个趋于
n→∞
′ 的不同数列 { xn}及 { xn}, 使
n→∞
第三节 函数的极限
第一章
一、自变量趋于无穷大时函数的极限 二、自变量趋于有限值时函数的极限
1
函数极限的定义 从函数的观点看，数列是下标变量 n 的函数 xn = f (n) 它有极限 A, 也可以这样叙述：若在自变量 n →∞ 时， 相应的函数 f (n) → A 则称当 n →∞ 时，函数 这种定义数列极限的思维方法也适合 xn = f (n)有极限。 于一般的函数 f (x)，由于 f (x) 的自变量x 变化方式的 不同，f (x) 的极限定义就有不同的形式，需分类定义。 设有函数 y = f (x) ,自变量的变化过程可以有六种形式:
0.001 若 取 ε = 0.001 δ = = 0.0002 5
x→ 2
13
2. 左极限与右极限 例： f ( x) = 3x +1 列表看趋势
高等数学函数的极限课程课件
则称当x x0时,函数f ( x)以a为极限,记作
lim f ( x) a 或
x x0
f (x) a(x x0 )
此时, 亦称当 x x0 时 f ( x) 存在极限
(或收 敛且收 敛 于 a ).
注 1 : 定义中的“0 | x x0 | ”表明: 当 x x0 时, f ( x) 有无极限以及极限值为多少均与 f ( x) 在 x0 有无定义无关.
xk
1
但 lim f ( x)不 存 在
2
xk
函数极限与数列极限的联系（某个桥梁）：
定理3.1(Heine定理)
设f
: N ( x0 )
R为一函数,则 lim x x0
f (x)
a的
充要条件为对于N ( x0 )中的任何数列xn,
只要xn x0 (n ),
相应的函数值数列f ( xn )都收敛于a.
例3.2 问limarctanx是否存在？ x
解 因为 lim arctan x ,
x
2
lim arctan x ,
x
2
lim arctan x lim arctan x,
x ＋
x
所以 limarctanx不存在.
x
y arctanx图象如图：
y
2
y arctan x
o
x
2
2. x x0时f ( x)的极限
都有 | f ( x) | L.
证明 设 lim f ( x) a, x x0 对 1, 0, 当0 x x0 时,
有 | f ( x) a | 1
所以当x ( x0 , x0 ) ( x0, x0 ) 时,
有a 1 f ( x) a 1
函数的极限
趋于 1，所以
limxBiblioteka 11 x21．
1.1 函数极限的概念
例 2 考察函数 f (x) arctan x 当 x 和 x 时的极限，并说明它在 x 时的极限是否存在．
解 如图所示，当 x 时，函数 f (x) arctan x 无限趋于常数 ， 2
所以 lim arctan x ．
x 时， f (x) 极限的 M 定义． 定 义 1 设 f (x) 在 (a ， ) 上 有 定 义 ， A 为 实 常 数 ， 若 对 0 ，
M 0 (M | a |) ，当 x M 时，有 | f (x) A | ，则称函数 f (x) 当 x 趋于 时， 以 A 为极限，记为
1.1 函数极限的概念
定 义 1' 设 f (x) 在 ( ，a) 上 有 定 义 ， A 为 实 常 数 ， 若 对 0 ， M 0 (M a) ，当 x M 时，| f (x) A| ，则称函数 f (x) 当 x 时，以 A
为极限，记为
lim f (x) A或 f (x) A (x ) ．
lim f (x) lim 3x 3 ， lim f (x) lim(x 2) 3，
x1
x1
x1
x1
因为左、右极限各自存在且相等，所以 lim f (x) 存在，且 lim f (x) 3 ．
x1
x1
综上，我们讨论了当 x ，x ，x ，x x0 ，x x0 ，x x0 六 种情况时，函数 f (x) 的极限．
x M ，即 | x | M 时，同时有| f (x) A| ，所以 lim f (x) A ． x
1.1 函数极限的概念
例1
求
lim
x
1
高等数学-函数的极限
二、自变量的绝对值无限增大时函数值的变化情形.
一、自变量趋向有限值时函数的极限
如果函数 y f ( x ) 在 x x0 ( f ( x ) 在 x0 可以 没有定义,因为 x x0 )的过程中,对应函数值
f ( x ) 无限趋近于确定值 A. 就说 A 是 f ( x ) 当
x
例1 证明 lim C C , (C为常数).
x x0
证 任给 0, 要使 f ( x ) A C C 0 成立,
lim C C .
x x0
只要任取 0, 当0 x x0 时, f ( x) A ,
例2 证明 lim x x 0 . 证 f ( x ) A x x0 , 任给 0, 取 ,
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x 的过程.
1、定义：
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数X ,使得对于适合不等式x X 的一切
x ,所对应的函数值 f ( x ) 都满足不等式 f ( x ) A ,
x 0
x0 x0
y 1 x
y
1
y x2 1
分x 0和x 0两种情况分别讨论
lim f ( x) lim (1 x) 1,
x0 x0
o
x
lim f ( x) lim ( x 1) 1,
2 x0 x0
因为lim f ( x) lim f ( x) 1, 所以lim f ( x) 1.
那末常数 A 就叫函数 f ( x ) 当x 时的极限,记作
高等数学1.4 函数的极限
成立．因A-e 0， 故f (x)>0．
极限的局部保号性：
定理 1
如果lim f(x)=A，而且 A>0(或 A<0)，那么就存在着点
x x0
点x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时，就有f(x)>0(或f(x)<0)．
定理 1 如果lim f(x)=A，(A0)，那么就存在着点 x0 的某一 x x0 1 去心邻域，当 x 在该邻域内时，就有|f (x)| > |A|． 2 定理2 如果在x 0 的某一去心邻域内f(x)0(或f(x)0)，而且
x +
类似地有 lim f ( x) = A 和 lim f ( x) = A .
x -
讨论：
极限lim f(x)=A、 lim f(x)=A 和 lim f(x)=A．的精确定义如何
x x - x +
叙述？三者之间的关系如何？
极限的精确定义： 设f(x)当|x|大于某一正数时有定义．如果对于任意给定的 正数e ，总存在着正数X，使得对于适合不等式|x|>X的一切x， 对应的函数数值f(x)都满足不等式 |f(x)-A|<e，
1 证明： 因为对e>0，X= ， 使当|x|>X时，有 e 1 -0 <e . x 1 lim = 0 ． 所以 x x
水平渐近线：
1 已知 lim = 0 ． x x
y
1 O 1
1 y= x
x
1 直线y=0是函数y = 的图形的水平渐近线． x
一般地， 如果 lim f ( x) = c ，则直线y=c是函数y=f (x)的
函数极限的通俗定义：
在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值 f(x)无限接 近于某一确定的常数A，那么这个确定的常数A就叫做在这一
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f ( x) A ,
则称 f ( x ) 当 x 时以 A 为极限, 记为
x
lim f ( x ) A
或 f ( x ) A ( x ).
x趋于时的函数极限
定义3
设 f ( x )定义在的某个邻域U ( ) 内, A是一个常
只要 x 1 , () 式就能成立, 故取 即可. 证 任给正数 , 取 , 当 0 x x0 时,
x 1 2 1 x 1 , x 1 2 2
这就证明了
x 1 1 2 x 1 () lim 2 . 2x 2 11 2) 2 2 1( x x
证 因为
1 x 1 x0
2 2
1 x 2 1 x0 2 2 | x x0 | , 1 x0 2 2 则 0, 取 1 x0 , 当 0 | x x0 | 时， 2 2 | x x0 | 2 2 . | 1 x 1 x0 | 2 1 x0 这就证明了所需的结论.
x x0 2 cos 2
x x0 ,
x x0 sin 2
所以
x x0
lim sin x sin x0 .
x x0
同理可证:
lim cos x cos x0 .
x趋于x0 时的函数极限
2 2 例8 证明： lim 1 x 1 x0 ( | x0 | 1 ). x x0
x趋于时的函数极限
x趋于时的函数极限
设函数 f ( x ) 定义在 a , 上, 当 x 沿着 x 轴的正向 无限远离原点时,函数f (x) 也无限地接近A, 我们就称 f(x)当 x 趋于 时以A为
O y
A
f ( x)
极限.
x
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x趋于时的函数极限
π 例如 函数 y arctan x, 当 x 趋于 时, 以 为极限. 2
x趋于x0 时的函数极限
证 首先，在右图所示的单位圆内, π (1) lim sin x sin x0 ; 当 0 x 时, 显然有 x x0 2 y SOAD S扇形OAD SOAB ,
B
即
1 1 1 sin x x tan x , 2 2 2
D
x C
π 故 sin x x tan x 0 x . 2 π 因为当 x 时, sin x 1 x , 2
x
证 对于任意正数 (0 1), 取 M ln ,
当 x M ln 时
ex 0 ex .
这就是说
x
lim e x 0.
x趋于时的函数极限
1 0. 例4 证明 lim 2 x 1 x
证 对于任意正数 , 可取M
有时为了方便,需要让 小于某个正数. 一旦对这
样的 能找到相应的 , 那么比它大的 , 这个
当然也能满足要求.
x趋于x0 时的函数极限
4. 函数极限的几何意义如图, 任给 0, 对于坐标 平面上以 y =A为中心线, 宽为2 的窄带,可以找到
0, 使得曲线段
y f ( x ), x U ( x0 , )
x趋于x0 时的函数极限
注 在例5、例6中, 我们将所考虑的式子适当放大,
其目的就是为了更简洁地求出 , 或许所求出的 不是“最佳”的, 但这不影响我们解题的有效性. 例7 证明：
(1) lim sin x sin x0 ;
x x0
(2) lim cos x cos x0 .
x x0
x趋于x0 时的函数极限
lim x x . 例6 证明 x x
2 2 0
0
分析 要使
2 x 2 x0 x x0
x x0 ,
可以先限制 x x0 1, 因为此时有
x x0 x x0 2 x0 x x0 2
x0
1 2
x0 ,
2 2 所以 x x0 ( 1 2 x0 ) x x0 , 故只要
O
A
x
故对一切 x 0 , 有 sin x x .
x趋于x0 时的函数极限
又因为 sin x , x 均是奇函数 , 故
sin x x , x R.
上式中的等号仅在 x 0 时成立.
对于任意正数 , 取 , 当 0 x x0 时 ,
sin x sin x0
x x
例如
π π lim arctan x , lim arctan x , x 2 x 2
x
lim arctan x 不存在 . 则由定理 3.1，
x趋于x0 时的函数极限
x趋于x0 时的函数极限
设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域 U ( x0 ) 内有定义. 下面我们直接给出函数 f (x)当 x x x0 |
x趋于x0 时的函数极限
在上面例题中, 需要注意以下几点： 1. 对于 , 我们强调其存在性. 换句话说,对于固定 的 , 不同的方法会得出不同的 , 不存在哪一个更 好的问题. 2. 是不唯一的, 一旦求出了 , 那么比它更小的正
数都可以充当这个角色. 3. 正数 是任意的,一旦给出,它就是确定的常数.
为极限的定义.
x趋于x0 时的函数极限
定义1
x趋于x0 时的函数极限
x U ( x ) 内有 定义， 设 f ( x ) 在点 0 的某空心邻域
A是一个常数. 如果对于任意正数 , 存在正数 ，
当 x U ( x , ) U ( x0 ) 时,
f ( x) A ,
记为
x
lim f ( x ) A 或者 f ( x ) A ( x ).
x趋于时的函数极限
x
lim f ( x ) A 的几何意义
y
A A A
④ 有 A f ( x) A
①任意给定
0
O
a
②存在 M a
M
x
x
③ 使当 x M 时
y
y A
y A
y A
落在窄带内.
O
x0
x0
x0
x
单侧极限
单侧极限
在考虑 lim f ( x ) 时，x 既可以从 x0 的左侧 ( x x0 )
x x0
又可以从 x0 的右侧 ( x x0 )趋向于x0 . 但在某些时
候,我们仅需(仅能)在 x0的某一侧来考虑, 比如函数 在定义区间的端点和分段函数的分界点等.
则称f ( x ) 当 x x0 时以 A 为极限 . 记为
x x0
lim f ( x ) A
或者 f ( x ) A ( x x0 ).
x趋于x0 时的函数极限
x 1 2 1 . x 1 x 1 2 2 分析 对于任意正数 , 要找到 0, 当 0 | x 1 |
x x0 x x0
右极限与左极限统称为单侧极限. 为了方便起见, 有时记 f ( x0 0) lim f ( x ) , f ( x0 0) lim f ( x ).
x x0 x x0
单侧极限
2 讨论函数 1 x 在 x 1 处的单侧极限. 例7
解 因为 | x | 1, 1 x 2 (1 x ) (1 x ) 2 (1 x ), 2 所以 0, 取 , 当 1 x 1 时, 有 2
1
, 当 x M 时, 有
1 1 0 2 , 2 1 x x
所以结论成立.
x趋于时的函数极限
从定义1、2 、3 不难得到:
定理3.1
f ( x ) 定义在 的一个邻域内， 则
lim f ( x ) A 的充要条件是： x lim f ( x ) lim f ( x ) A.
1 例1 证明 lim 0. x x 1 证 任给 0, 取 M , 当 x M 时,
1 , f ( x) 0 x 所以(由定义1), 1 lim 0. x x
x趋于时的函数极限
例2 证明 lim arctan x
x
2
.
证 任给 0 (
单侧极限
定义5
设 f ( x) 在 U ( x0 , ) ( U ( x0 , ) )有定义, A 为常数. , 若对于任意正数 ,存在正数 （ ） 当 0 x x0 ( 0 x0 x ) 时，有 |（ f x） A| , x x ( x x 则称 A 为函数 f 当 0 0 ) 时的右(左) 极限,记作 lim f ( x ) A ( lim f ( x ) A ) .
数 . 若对于任意 0, 存在 M 0， 当 x M时
f ( x) A ,
则称 f ( x ) 当 x 时以 A 为极限，
记为
lim f ( x ) A
x
或 f ( x ) A ( x ).
x趋于时的函数极限
例3 证明 lim e x 0.
数学分析 第三章 函数极限 在本章,我们将讨 论函数极限的基本概念和 重要性质 . 作为数列极限 的推广 , 函数极限与数列 极限之间有着密切的联系, 它们之间的纽带就是归结 原理.
§1 函数极限概念
一、x趋于时的函数极限 二、 x趋于x0 时的函数极限