(完整版)正弦定理练习题(经典)(最新整理)
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正弦定理高考试题精选一．选择题（共20 小题）1．在△ ABC中， a= b，A=120°，则 B 的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．在△ ABC中，若 a=2，b=2，A=30°，则B为（）A．60°B．60°或 120° C．30°D． 30°或 150°3．在△ ABC中， a，b，c 为角 A，B， C 的对边，若 A=，cosB=，b=8，则a=（）A．B．10 C．D．54．在△ ABC中，角 A， B， C 所对的边分别为 a，b，c，若 sin（ A+B）=，a=3，c=4，则 sinA=（）A．B．C．D．5．在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 B=30°，，b=2，则 C=（）A．B．或C．D．或6．在△ ABC中，角 A、B、C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a=1，b=，A=30°，B 为锐角，那么角 A：B：C 的比值为（）A．1：1：3 B．1：2：3 C．1：3：2 D．1：4：17．在△ ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a=2，b=，A=45°，则 B=（）A．90°B．60°C．30°或 150° D． 30°8．在△ ABC中， b=5，∠ B=，tanA=2，则 a 的值是（）A．10B．2C．D．9．已知△ ABC中， A=， B=，a=1，则 b 等于（）A．2B．1 C．D．10．设△ ABC的内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c．若 sinA=2 sinB，，则△ ABC的面积为（）A．B．C．D．11．△ ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若，则 B 等于（）A．30°B．60°C．30°或 150° D． 60°或 120°12．在△ ABC中， a=，A=120°，b=1，则角 B 的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°13．在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a=，A=60°，B=45°，则 b 的长为（）A．B．1C．D．214．在△ ABC中，若a=2bsinA，则∠ B=（）A．B．C．或D．或15．在△ ABC中， a=2，c=1，∠ B=60°，那么 b 等于（）A．B．C．1D．16．△ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a=，b=3，c=2，则∠ A=（）A．30°B．45°C．60°D．90°17．在△ ABC中，若 AB=4，AC=BC=3，则 sinC的值为（）A．B．C．D．18．△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b， c．已知，A=60°，则 c=（）A．B．1C．D．219．若△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 2bsin2A=3asinB，且 c=2b，则等于（）A．B．C．D．20．在△ ABC中，，AC=5，AB=6，则角C的正弦值为（）A．B．C．D．二．填空题（共7 小题）21．△ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 C=60°，b=，c=3，则A=．22．在△ ABC中，若 AC=5，BC=6，sinA= ，则角 B 的大小为．23．在△ ABC 中， A，B，C 的对边分别为a， b， c， A=75°，B=45°，c=3，则b=．24．已知△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 a=2，b=3，tanB=3，则 sinA 的值为．25．在△ ABC中， a=3，b=4，cosB= ，则 sinC=．26．在△ ABC中，，BC=3，，则∠ C=，AC=．27．在△ABC中，a，b，c 是角 A，B，C 所对的边， a=2b，C=60°，则 B=．三．解答题（共 1 小题）28．在△ ABC中，∠ A=60°，c=a．（1）求 sinC 的值；（2）若 a=7，求△ ABC的面积．正弦定理高考试题精选参考答案与试题解析一．选择题（共20 小题）1．（2017?湖南学业考试）在△ ABC中， a= b，A=120°，则 B 的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∵ a=b，A=120°，∴由正弦定理，可得： sinB= ，又∵ B∈（ 0°， 60°），∴B=30°．故选： A．2．（ 2017?清城区校级一模）在△ ABC中，若 a=2，b=2，A=30°，则B为（）A．60°B．60°或 120° C．30°D． 30°或 150°【解答】解：由正弦定理可知=，∴ sinB==∵B∈（0，180°）∴∠ B=60°或 120°故选 B．3．（2017?河东区一模）在△ ABC中， a， b， c 为角 A， B， C 的对边，若 A=，cosB= ， b=8，则 a=（）A．B．10 C．D．5【解答】解：∵ cosB= ，0＜B＜π，∴由正弦定理可得： a===5．故选： D．4．（2017?朝阳区模拟）在△ ABC中，角 A， B， C 所对的边分别为a， b，c，若sin（A+B） =，a=3，c=4，则sinA=（）A．B．C．D．【解答】解：∵ A+B+C=π，∴sin（A+B）=sinC= ，又∵ a=3，c=4，∴=，即= ，∴sinA= ，故选 B．5．（ 2017?黄石港区校级模拟）在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别是a，b，c，若 B=30°，，b=2，则C=（）A．B．或C．D．或【解答】解：由正弦定理得=，∴ sinC=，∵ B=30°，，b=2，∴ sinC==，b＜c，∴ B=或，故选： B6．（2017?百色模拟）在△ ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a， b，c，已知a=1， b=，A=30°，B为锐角，那么角A：B：C 的比值为（）A．1：1：3 B．1：2：3 C．1：3：2 D．1：4：1【解答】解：∵ a=1， b=，A=30°，B为锐角，∴由正弦定理可得： sinB===，可得：B=60°，C=180°﹣A﹣ B=90°，∴A： B： C=30°：60°：90°=1： 2： 3．故选： B．7．（2017?锦州二模）在△ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a， b，c，已知a=2， b=，A=45°，则B=（）A．90°B．60°C．30°或 150° D． 30°【解答】解：∵在△ ABC中， a=2，b=，A=45°，∴由正弦定理，得解之得 sinB=sin45 °=∵B∈（ 0°，180°）且 b＜ a，∴ B=30°故选： D8．（ 2017?河东区模拟）在△ ABC中，b=5，∠ B= ，tanA=2，则 a 的值是（）A．10B．2C．D．【解答】解：∵在△ ABC 中， b=5，∠ B=， tanA==2，sin22，∴A+cos A=1sinA=．再由正弦定理可得=，解得a=2，故选 B．9．（2017?沈阳一模）已知△ ABC中， A=，B=，a=1，则b等于（）A．2B．1C．D．【解答】解：∵ A=，B=，a=1，∴由正弦定理，可得： b===．故选： D．10．（2017?自贡模拟）设△ ABC的内角 A， B，C 所对边的长分别为a，b，c．若sinA=2 sinB，，则△ ABC的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，△ ABC中，若 sinA=2sinB，则有 a=2b，c2=a2+b2﹣2abcosC=5b﹣4b2cos=16，解可得 b=，则a=2b=，则S△ABC= absinC=，故选： A．11．（ 2017?厦门一模）△ABC 的内角A， B， C 的对边分别为a， b ， c，若，则 B 等于（）°A．30°B．60°C．30 或 150° D． 60°或 120°【解答】解：∵，∴由正弦定理可得： sinB===，∵B∈（ 0°，180°），∴B=60°，或120°．故选： D．12．（2017?江西模拟）在△ ABC中，a=，A=120°，b=1，则角B的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：a＞b，则 B 为锐角，由正弦定理可得：=，可得sinB=，∴ B=30°．故选： A．13．（ 2017?浙江模拟）在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b， c，若a= ， A=60°，B=45°，则 b 的长为（）A．B．1C．D．2【解答】解：∵在△ ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a， b， c，且 a=，A=60°， B=45°，∴由正弦定理=得：b===，故选： C．14．（ 2017?涪城区校级模拟）在△ ABC中，若a=2bsinA，则∠ B=（）A．B．C．或D．或【解答】解：∵∴∵根据正弦定理∴∴sinB=∴B= 或故选 C15．（ 2017?北京模拟）在△ ABC中， a=2，c=1，∠ B=60°，那么 b 等于（）A．B．C．1D．【解答】解：因为在△ ABC中， a=2， c=1，∠ B=60°，所以由余弦定理得， b2=a2+c2﹣2accosB=4+1﹣=3，解得 b=，故选 B．16．（2017?吉林二模）△ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 a=，b=3， c=2，则∠ A=（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∵ a=，b=3，c=2，∴由余弦定理得， cosA===，又由 A∈（ 0°，180°），得 A=60°，故选： C．17．（2017?和平区一模）在△ ABC中，若 AB=4，AC=BC=3，则 sinC的值为（）A．B．C．D．【解答】解：在△ ABC中，∵ AB=4，AC=BC=3，∴ cosC===，∴ sinC==．故选： D．18．（ 2017?马鞍山一模）△ ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a， b，c．已知，A=60°，则 c=（）【解答】解：∵，A=60°，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣ 2bccosA，可得： 3=4+c2﹣2×，整理可得：c2﹣ 2c+1=0，∴解得： c=1．故选： B．19．（2017?雅安模拟）若△ ABC的内角 A， B，C 所对的边分别为a，b，c，已知2bsin2A=3asinB，且 c=2b，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：由 2bsin2A=3asinB，利用正弦定理可得： 4sinBsinAcosA=3sinAsinB，由于： sinA≠0， sinB≠0，可得： cosA= ，又c=2b，可得： a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+4b2﹣2b?2b?=2b2，则= ．故选： C．20．（ 2017?南宁二模）在△ ABC中，，AC=5，AB=6，则角C的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意， sinB= ．由正弦定理可得，∴ sinC=，故选 A．二．填空题（共7 小题）21．（2017?新课标Ⅲ）△ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 C=60°，b= ， c=3，则 A=75° ．【解答】解：根据正弦定理可得=，C=60°，b=，c=3，∴ sinB==，∵b＜ c，∴ B=45°，∴A=180°﹣B﹣C=180°﹣45°﹣60°=75°，故答案为： 75°．22．（ 2017?天津学业考试）在△ ABC中，若 AC=5， BC=6， sinA= ，则角 B 的大小为30° ．【解答】解：在△ ABC中，若 AC=5， BC=6， sinA= ，由正弦定理可得，=，即为 sinB===，由AC＜ BC，可得 B＜ A，则 B=30°（150°舍去），故答案为：30°．23．（2017?南通模拟）在△ ABC中，A，B，C 的对边分别为 a，b，c，A=75°，B=45°，c=3 ，则 b= 2．【解答】解：∵ A=75°，B=45°，c=3，∴ C=180°﹣ A﹣ B=60°，∴由正弦定理可得： b===2．故答案为： 2．24．（ 2017?临翔区校级三模）已知△ ABC的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a=2，b=3，tanB=3，则 sinA 的值为．【解答】解：∵ tanB==3，sin22，B+cos B=1∴解得：，又∵ a=2，b=3，∴由正弦定理可得，∴解得：．故答案为：．25．（ 2017?龙凤区校级模拟）在△ ABC中， a=3，b=4， cosB= ，则 sinC= 1．【解答】解：∵ a=3， b=4，cosB= ，∴ sinB==，∴由正弦定理可得： sinA===，∴由 a＜b，A 为锐角，可得： cosA== ，∴ sinC=sin（A+B） =sinAcosB+cosAsinB=+=1．故答案为： 1．26．（2017?朝阳区一模）在△ ABC中，，BC=3，，则∠ C=，AC=．【解答】解：∵，BC=3，，∴ sinC===，∵ AB＜BC，可得：∠ C＜∠ A，∴∠ C=，∴ sinB=sin（A+C） =sinAcosC+cosAsinC==，∴ AC===．故答案为：，．27．（2017?庄河市校级四模）在△ ABC中，a，b，c 是角 A，B，C 所对的边，a=2b，C=60°，则 B= 30° ．【解答】解：∵ a=2b，C=60°，可得： A=120°﹣B，∴由正弦定理可得： sinA=2sinB=sin（120°﹣B），可得： 2sinB= cosB+sinB，∴sin（B﹣30°）=0，可得： sin（ B﹣ 30°） =0，∵ b＜ a， B 为锐角，∴ B=30°．故答案为： 30°．三．解答题（共 1 小题）28．（ 2017?北京）在△ ABC中，∠ A=60°，c=a．（1）求 sinC 的值；（2）若 a=7，求△ ABC的面积．【解答】解：（1）∠ A=60°， c= a，由正弦定理可得sinC= sinA= ×=，（2） a=7，则 c=3，∴ C＜ A，由（ 1）可得 cosC= ，∴ sinB=sin（A+C） =sinAcosC+cosAsinC=×+×=，∴ S△ABC= acsinB= ×7×3×=6．。
解三角函数：正弦定理习题及详细答案
1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则( ) A ．B ＝45°或135° B ．B ＝135° C ．B ＝45° D ．以上答案都不对．以上答案都不对解析：选C.sin B c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A.6 B ．2 C.3 D.2 解析：选D.由正弦定理6sin 120°＝2sin C ⇒sin C ＝12， 于是C ＝30°⇒A ＝30°⇒a ＝c ＝ 2. 3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝__________. 解析：在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°， ∴则根据正弦定理知AB ＝BC ·sin C sin A ＝102. 答案：1024．已知△ABC 中，AD 是∠BAC D，求证：BD DC ＝AB AC. 证明：如图所示，设∠ADB ＝θ，则∠ADC ＝π－θ. 在△ABD 中，由正弦定理得： BD sin A 2＝AB sin θ，即BDAB ＝sin A2sin θ；① 在△ACD 中，CD sin A 2＝ACsin (π－θ)，解三角函数：正弦定理＝22，∵a ＞b ，∴B ＝45°45°. . 2．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A 为锐角，sin A ＝110，BC ＝1，的平分线，交对边BC 于∴CDAC ＝sinA2 sin θ.②由①②得BDAB＝CDAC，∴BDDC＝ABAC. 一、选择题1．在△ABC中，a＝5，b＝3，C＝120°，则sin A∶sin B的值是() A.53 B.35C.37 D.5B＝ab＝53. 2．在△ABC中，若sin Aa＝cos Cc，则C的值为() A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B.∵sin Aa＝cos Cc，∴sin Acos C＝ac，又由正弦定理ac＝sin Asin C. ∴cos C＝sin C，即C＝45°，故选B. 3．15，b＝10，A ＝60°，则cos B＝() A．－223 B.223C．－63D.63解析：选D.由正弦定理得15sin 60°＝10sin B，∴sin B＝10·10·sin 60°sin 60°15＝10×3215＝33. ∵a＞b，A 7解析：选A.根据根据正弦定理正弦定理得sin A sin (2010年高考湖北卷)在△ABC中，a＝＝60°，∴B为锐角．∴cos B＝1－sin2B＝1－(33)2＝63. 4．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是() A．锐角三角形．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形．钝角三角形 D．等腰三角形解析：选B.由题意有a sin A ＝b ＝bsin 3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( ) A ．1 B ．2 C.3－1 D.3 解析：选 B.．两解．两解 B ．一解．一解 C ．无解．无解 D ．无穷多解．无穷多解解析：选B.因c sin A ＝23＜4，且a ＝c ，故有唯一解．二、填空题7．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________. 解析：AB ＝sin C sin A BC ＝2BC＝2 5. 答案：25 8．在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________. 解析：A ＝180°－30°－120°＝30°， 由正弦定理得： a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶ 3. 答案：1∶1∶3 在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，∠C ＝2π3，则a ＝________. 解析：由正弦定理，有3sin 2π3＝1sin B ， B ，则sin B ＝1，即角B 为直角，故△ABC是直角三角形．5．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得3sin π3＝1sin B ，∴sin B ＝12，故B ＝30°或150°150°. . 由a ＞b ，得A ＞B ，∴B ＝30°30°. . 故C ＝90°，由，由勾股定理勾股定理得c ＝2. 6．(2011年天津质检)在△ABC 中，如果A ＝60°，c ＝4，a ＝4，则此三角形有( ) A9．(2010年高考北京卷)＝6，＝. ＝a2R∶b2R∶c2R＝×4A＝bsin B，得＝a sin Bb＝×322＝534＞＝532，所以cos(π－cos(π－cos(π2－cos(π2－a·a2Rcos(π2－cos(π2－2.＝π15＝根据正弦定理正弦定理asin ＝b·b2R，。
(完整word版)正弦定理练习含答案
课时作业1 正弦定理时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．(2013·湖南理，3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12 B.π6 C.π4 D.π3【答案】 D【解析】 本题考查了正弦定理由a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝32， ∴∠A ＝π3.2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于( )A ．1B ．2 C.3－1 D. 3 【答案】 B【解析】 由正弦定理a sin A ＝bsin B ， 可得3sin π3＝1sin B ，sin B ＝12，故∠B ＝30°或150°，由a >b ，得∠A >∠B . ∴∠B ＝30°，故∠C ＝90°， 由勾股定理得c ＝2，故选B.3．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝56π，BC ＝1，则AB ＝________. 【答案】102【解析】 ∵tan A ＝13，且A 为△ABC 的内角，∴sin A ＝1010.由正弦定理得AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 56π1010＝102.4．在△ABC 中，若∠B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的周长．【分析】 本题是已知两边及其一边所对的角，要求其周长，自然要考虑去寻求第三边BC ，但BC 的对角∠A 未知，只知道∠B ，可结合条件由正弦定理先求出∠C ，再由三角形内角和定理求出∠A .【解析】 由正弦定理，得sin C ＝AB sin B AC ＝32. ∵AB >AC ，∴∠C >∠B ，又∵0°<∠C <180°，∴∠C ＝60°或120°.(1)如图(1)，当∠C ＝60°时，∠A ＝90°，BC ＝4，△ABC 的周长为6＋23；(2)如图(2)，当∠C＝120°时，∠A＝30°，∠A＝∠B，BC＝AC＝2，△ABC的周长为4＋2 3.综上，△ABC的周长为6＋23或4＋2 3.【规律方法】已知三角形两边和其中一边的对角时，应先由正弦定理求出正弦值，再判定这个角是否最大，若最大，则有两角，分别为一个锐角、一个钝角，且两角互补，否则只有一解，且为锐角．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形【答案】 B【解析】∵sin A＝sin C，∴由正弦定理得a＝c，∴△ABC为等腰三角形，故选B.2．已知△ABC的三个内角之比为A:B:C＝1:2:3，那么a b c＝()A．1:2:3 B．1:2: 3C．1: 2 : 3 D．1: 3 :2【答案】 D【解析】 设∠A ＝k ，∠B ＝2k ，∠C ＝3k ，由∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°得，k ＋2k ＋3k ＝180°，∴k ＝30°，故∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°.由正弦定理得a :b :c ＝sin A :sin B :sin C ＝sin30°:sin60°:sin90°＝1: 3 :2.3．在△ABC 中，已知a ＝8，∠B ＝60°，∠C ＝75°，则( ) A ．b ＝4 2 B ．b ＝4 3 C ．b ＝4 6 D ．b ＝323【答案】 C【解析】 ∠A ＝180°－60°－75°＝45°，由a sin A ＝b sin B 可得b ＝a sin Bsin A ＝8sin60°sin45°＝4 6.4．已知△ABC 中，a ＝1，b ＝3，A ＝π6，则B ＝( ) A.π3 B.23π C.π3或23π D.56π或π6 【答案】 C【解析】 由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin Aa ， ∴sin B ＝3·sin30°1＝32，∴B ＝π3或23π.5．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积S 等于( )A ．32 3B ．16C ．326或16D ．323或16 3【答案】 D【解析】 由正弦定理，知 sin B ＝b sin A a ＝83sin30°8＝32， 又b >a ，∴∠B >∠A ，∴∠B ＝60°或120°. ∴∠C ＝90°或30°.∴S ＝12ab sin C 的值有两个，即323或16 3.6．在△ABC 中，cos A cos B ＝b a ＝85，则△ABC 的形状为( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形【答案】 D【解析】 ∵cos A cos B ＝b a ＝sin Bsin A ，即sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2，又cos A ≠cos B ，∴∠A ≠∠B ，∴∠A ＋∠B ＝π2，∴△ABC 为直角三角形．7．已知△ABC 中，2sin B －3sin A ＝0，∠C ＝π6，S △ABC ＝6，则a ＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】 B【解析】 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，故由2sin B －3sin A ＝0，得2b ＝3a .①又S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π6＝6， ∴ab ＝24.②解①②组成的方程组得a ＝4，b ＝6.故选B.8．在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝13，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C 等于( )A.833B.2393C.2633 D ．2 3 【答案】 B【解析】 由a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 得 a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ＝a sin A ＝13sin60°＝2393.二、填空题(每小题10分，共20分)9．在△ABC 中，b 2－c 2a 2sin 2A ＋c 2－a 2b 2sin 2B ＋a 2－b 2c 2sin 2C 的值为________．【答案】 0【解析】 可利用正弦定理的变形形式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入原式即可．10．在锐角三角形ABC 中，若∠A ＝2∠B ，则ab 的取值范围是________．【答案】 (2，3)【解析】 ∵△ABC 为锐角三角形，且∠A ＝2∠B ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<2∠B <π2，0<π－3∠B <π2，∴π6<∠B <π4.∵∠A ＝2∠B ，∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ，∴a b ＝sin Asin B ＝2cos B ∈(2，3)．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(1)在△ABC 中，已知a ＝5，∠B ＝45°，∠C ＝105°，求b . (2)在△ABC 中，已知∠A ＝45°，a ＝2，b ＝2，求B .【解析】 (1)∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠A ＝180°－(∠B ＋∠C )＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a ·sin B sin A ＝5·sin45°sin30°＝5 2. (2)由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝2sin45°2＝12. 又∵0°<∠B <180°，且a >b ，∴∠B ＝30°.【规律方法】 (1)中要注意在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°的运用，另外sin105°＝sin75°＝sin(45°＋30)＝6＋24.(2)中要注意运用三角形中大边对大角的性质，判定解的个数．12．在△ABC 中，已知sin A ＝sin B ＋sin Ccos B ＋cos C，判断△ABC 的形状．【分析】当式子中只有角或只有边时，一般将其一端化为零，另一端化为因式之积，再因式分解，进而判断三角形的形状．【解析】∵sin A＝sin B＋sin Ccos B＋cos C，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin B＋sin C.∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)．∴sin A cos B＋sin A cos C＝sin A cos C＋cos A sin C＋sin A cos B＋cos A sin B. ∴cos A sin C＋sin B cos A＝0.∴cos A(sin B＋sin C)＝0.∵∠B，∠C∈(0，π)，∴sin B＋sin C≠0.∴cos A＝0，∴∠A＝π2，∴△ABC为直角三角形．。
高中数学 解三角形 正弦定理 练习含答案
第一章 解三角形1.1.1 正弦定理一．选择题1.在ABC ∆中，︒︒===15,30,3B A a ，则c 等于（ ）A.1B.2C.3D.232. 已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=，则b =( )A.2 B ．4＋ C ．4— D 3. 在ABC ∆中,3:2:1::=C B A ，则c b a ::等于（ ）A.3:2:1B.1:2:3C.1:3:2D.2:3:14. 在ABC ∆中,10=a ，︒=60B ,︒=45C ，则=c （ ） A.310+ B.)13(10- C.13+ D.3105.在ABC ∆中，4,6,60===︒b a A ，那么满足条件的ABC ∆（ ）A. 有一个解B.有两个解C.无解D.不能确定6. 在ABC ∆中，4=a ，34=b ，︒=30A ，则B ∠等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°7. 在ABC ∆中，若60A ︒=,a =sin sin sin a b cA B C +-+-等于（ ）A.2B.12 D.28. 在ABC ∆中，2cos a b C =，则这个三角形一定是（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形二．填空题9. 在△ABC 中，若b ＝2c sin B ，则∠C ＝________10. 在单位圆上有三点,,A B C ,设△ABC 三边上分别为,,a b c ，则2sin 2sin sin a b c A B C++=11. 在ABC ∆中，已知1,3ABC a C S ∆===b = 12. 在ABC ∆中，222sin sin sin A B C +=，则C =三．解答题13．在△ABC 中，3,30a c A ︒===，解三角形.14．已知在△ABC 中，45,2A c a ︒===，解三角形17. 在ABC ∆中，已知22tan tan a B b A =，判断ABC ∆的形状；解三角形1.1.1正弦定理1-5 DADBC 6-8 DAA 9. 30150︒︒或； 10.7 ； 11. 12.90︒13. 60,90,6C B b ︒︒===； 或 120,30,3C B b ︒︒===14. 60,75,1C B b ︒︒=== 或 120,15,1C B b ︒︒=== 15. sin 2sin 2A B =，该三角形为等腰三角形或直角三角形1.1.2余弦定理（1）1-5 DBCBB ACB 9.120︒； 10.45︒； 11. 120︒； 12.30︒13. 22()21cos 22a c acb B ac +--==-，解得3ac =所以1sin 2ABC S ac B ∆==14. 18,60b c bc +==，22()22cos 144a b c bc bc A =+--=所以12a =5sin sin sin sin 14b c B C A A a a ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15. 30B ︒=; b =。
正弦定理练习题(含答案)资料
正弦定理练习题(含答案)正弦定理 复习1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin B sin A ＝ 6. 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin B sin A＝4 6. 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°. 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1. 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin B sin A， sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2. 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ， ∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积． 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2C. 3D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C， ∴sin C ＝12. 又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝c sin C ， 所以sin A ＝a ·sin C c ＝12. 又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6. 答案：π610．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 解析：由正弦定理得a sin A ＝b sin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32. 答案：3211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3.答案：8 312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0.∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°，∴－180°＜B －C ＜180°，∴B －C ＝0°，B ＝C .答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C＝________. 解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2， 又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin C sin A －2sin B ＋sin C＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________. 解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43， 解得b ＝2 3.答案：2 316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2， ∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20， ∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A＝20sin30°sin45°＝102(km)． 即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12， 又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A 2，得 sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]， 即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)， A ＝π－(B ＋C )＝2π3. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得 b ＝c ＝a sin B sin A ＝23×1232＝2. 故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2. 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010， ∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010. 又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255， ∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22. 又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4. (2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22. 由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝c sin C得 5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1.∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ， ∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝b sin B，∴b ＝215. 当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为215.。
(完整版)正弦练习题
正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( )A. 6B. 2C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sinB ∶sinC 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5D ．不确定 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12 C ．2 D.146．在△ABC 中，若cos A cos B ＝ba，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，则b ＝________.16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A＝35，sin B＝1010.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．正弦定理1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于( )A. 6B. 2C. 3 D．2 6解析：选A.应用正弦定理得：asin A＝bsin B，求得b＝a sin Bsin A＝ 6.2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于( )A．4 2 B．4 3 C．4 6 D.32 3解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝a sin Bsin A＝4 6.3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为( )A．45°或135° B．135° C．45° D．以上答案都不对解析：选 C.由正弦定理asin A＝bsin B得：sin B＝b sin Aa＝22，又∵a>b，∴B<60°，∴B＝45°.4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于( ) A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5 D．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝1∶5∶6.5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝( )A．1 B.12C．2 D.14解析：选 A.C＝180°－105°－45°＝30°，由bsin B＝csin C得c＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC中，若cos Acos B＝ba，则△ABC是( )A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A，sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B 即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2. 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3 D.34或32解析：选D.AB sin C＝AC sin B，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ， ∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°. 再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3D. 2 解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，则C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A＝c sin C，所以sin A＝a·sin Cc＝12.又∵a＜c，∴A＜C＝π3，∴A＝π6.答案：π610．在△ABC中，已知a＝433，b＝4，A＝30°，则sin B＝________.解析：由正弦定理得asin A＝bsin B⇒sin B＝b sin Aa＝4×12433＝32.答案：3 211．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，由asin A＝bsin B得，a＝12×sin30°sin120°＝43，∴a＋c＝8 3.答案：8 312．在△ABC中，a＝2b cos C，则△ABC的形状为________．解析：由正弦定理，得a＝2R·sin A，b＝2R·sin B，代入式子a＝2b cos C，得2R sin A＝2·2R·sin B·cos C，所以sin A＝2sin B·cos C，即sin B·cos C＋cos B·sin C＝2sin B·cos C，化简，整理，得sin(B－C)＝0.∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，∴－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，B＝C.答案：等腰三角形13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝________，c＝________.解析：由正弦定理得a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝asin A＝63sin60°＝12，又S△ABC＝12bc sin A，∴12×12×sin60°×c＝183，∴c＝6.答案：12 614．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则a－2b＋csin A－2sin B＋sin C＝________.解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴2R＝asin A＝1sin30°＝2，又∵a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，∴a－2b＋csin A－2sin B＋sin C＝2R sin A－2sin B＋sin Csin A－2sin B＋sin C＝2R＝2.答案：215．在△ABC中，已知a＝32，cos C＝13，S△ABC＝43，则b＝________.解析：依题意，sin C＝223，S△ABC＝12ab sin C＝43，解得b＝2 3.答案：2 316．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．解析：∵b sin C＝43×12＝23且c＝2，∴c<b sin C，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°，∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°， 所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°， 由正弦定理得AC ＝BC ·sin∠ABCsin A＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 及b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6. 由sin B sin C ＝cos 2A2，得 sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )， 即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得cos B cos C＋sin B sin C＝1，即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝π6，B＝C＝5π6(舍去)，A＝π－(B＋C)＝2π3.由正弦定理asin A＝bsin B＝csin C，得b＝c＝a sin Bsin A＝23×1232＝2.故A＝2π3，B＝π6，b＝c＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos 2A＝35，sin B＝1010.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．解：(1)∵A、B为锐角，sin B＝10 10，∴cos B＝1－sin2B＝310 10.又cos 2A＝1－2sin2A＝35，∴sin A＝55，cos A＝255，∴cos(A＋B)＝cos A cos B－sin A sin B＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝π4.(2)由(1)知，C＝3π4，∴sin C＝22.由正弦定理：asin A＝bsin B＝csin C得5a＝10b＝2c，即a＝2b，c＝5b.∵a－b＝2－1，∴2b－b＝2－1，∴b＝1.∴a＝2，c＝ 5.20．△ABC中，ab＝603，sin B＝sin C，△ABC的面积为153，求边b的长．解：由S＝12ab sin C得，153＝12×603×sin C，∴sin C＝12，∴∠C＝30°或150°.又sin B＝sin C，故∠B＝∠C.当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°.又∵ab＝603，asin A＝bsin B，∴b＝215.当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)．故边b的长为215.。
正弦定理练习题经典
正弦定理练习题经典正弦定理是解决三角形中的边和角之间关系的重要工具。
它可以帮助我们推导解决各种各样的三角形题目。
为了帮助大家更好地理解和应用正弦定理，下面将给出一些经典的练习题。
练习题一:已知一个三角形ABC，边a=5，边b=9，角C=35°，求边c的长度。
解析:根据正弦定理，我们可以得到以下等式：sinA/a = sinB/b = sinC/c我们已知角C=35°，边a=5，边b=9，将题目中的数值代入等式中，可得：sinA/5 = sinB/9 = sin35°/c由此，我们可以继续推导：sinA = (5/c) * sin35°sinB = (9/c) * sin35°接下来，我们可以利用已知三角函数值表，查找sin35°的近似值为0.574，将其带入以上等式：sinA = (5/c) * 0.574sinB = (9/c) * 0.574由此，我们可以进一步推导：5/c = sinB/0.5749/c = sinA/0.574换算一下：c = 5 / (sinB/0.574)c = 9 / (sinA/0.574)最后，我们可以计算出边c的长度：c = 5 / (sin35°/0.574) ≈ 9.41c = 9 / (sin35°/0.574) ≈ 16.28练习题二:已知一个三角形ABC，边a=7.5，边b=8，角A=48°，求角B的大小。
解析:同样根据正弦定理，我们可以得到以下等式：sinA/a = sinB/b = sinC/c已知边a=7.5，边b=8，角A=48°，将题目中的数值代入等式中，可得：sin48°/7.5 = sinB/8我们可以继续推导：sinB = (8/7.5) * sin48°利用已知三角函数值表，查找sin48°的近似值为0.743，将其带入以上等式：sinB = (8/7.5) * 0.743最后，我们可以计算角B的大小：B = arcsin[(8/7.5) * 0.743] ≈ 71.7°通过以上两个经典的练习题，我们可以看到正弦定理在解决三角形中的边和角之间关系时的应用。
正弦定理余弦定理超经典练习题精编版
正弦定理、余弦定理练习题一、选择题1. 已知在△ ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,那么 cosC 的值为B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4. 已知三角形的三边长分别为 X 2+X +1,X 2-1和2X +1（X > 1），则最大角为8.正弦定理适应的范围是边长为12.在^ ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ,则 A 等于A.- 4B. 4C.-3D. 32.在^ ABC 中,入，A=45。
，则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1C.2D.无数个3.在^ ABC 中, bcosA=acosB ，则三角形为A.直角三角形A.150B.120C.60D.755.在^ ABC 中，屈=1， 及?=2，（卫5+BC ）•（屈 +BC ）=5+2工j 则边等于A.站B.5-2-56.在^ ABC 中，已知B=30 ° ,b=50j5,c=150，那么这个三角形是 A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在^ ABC 中，若 b 2si n 2C+c 2si n 2B=2bccosBcosC ，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形A.Rt △B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ ABC 中，a=10,B=60 °A.10+方B.10 （方-1）,C=45则c=C.D.10"^10.在^ ABC 中，bsinA < av b , 则此三角形有 A. —解 B. 两解 C.无解 D.不确定11.三角形的两边分别为 5和3,它们夹角的余弦是方程5X 2-7X -6=0的根，则三角形的另A.52C.16D.4 A.60 B.45 C.120D.30C. D.等于必要条件19. △ ABC 中,A=60 ° ,b=1,这个三角形的面积为 ,则^ ABC 外接圆的直径为13.在^ ABC 中,a = 4^-l,b = — ,c = =2 4，则^ ABC 是A.锐角三角形B.直角三角形C. 钝角三角形D. 任意三角形14.在^ ABC 中, a=2，A=30° ,C=45° ，则△ ABC 的面积S A ABC 等于15.已知三角形ABC 的三边D. 2 希 +1）b 、c 成等比数列，c "+1它们的对角分别是A 、B 、C ,贝U sinAsinCA.cos 2Bc , 2c B.1-cosC.1+COS 2B 2D.1+sin16.在^ ABC 中, sinA > sinB 是 A > B 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不17.在^ ABC 中, bCosA=acosB ，则三角形为A.直角三角形C.等腰三角形 18. △ ABC 中，Sin 2A=sin 2B+sin 2C ,则^ ABC 为B.锐角三角形D.等边三角形A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形A.讪B.26^32®c. 丁D. 220.在^ ABC 中,sin?l 3 iiC ，则 k 为A.2RB.RC.4R-RD. 2 （R 为^ ABC 外接圆半径）二、填空题1.在^ ABC 中, A=60 ° , C=45°, b=2，则此三角形的最小边长为2.在^ ABC 中, abc co^A oosB oosC, /+护+七2 a b c '3.在^ ABC 中,a : b : c=（历 +1）:扁 :2,则^ ABC 的最小角的度数为4.在^ ABC 中，已知sinA : sinB ： sinC=6 : 5 : 4,贝U secA=tan -45. △ ABC 中，tan5 血 5,则三角形为6.在^ ABC 中，角 A 、B 均为锐角且 cosA >sinB ,则△ ABC 是7.在^ ABC 中，若此三角形有一解，则a 、b 、A 满足的条件为8.已知在△ ABC 中，a=10,b=5 店,A=45 ° ,则 B= 9.已知△ ABC 中，a=181,b=209,A=121 ° 14’，此三角形 10.在^ ABC 中,a=1,b=1,C=120 °贝^ c=11.在^ ABC 中，若 a 2> b 2+c 2，则△ ABC 为；若 a 2=b 2+c 2，则△ ABC 为 a 2v b 2+c 且 b 2v a 2+c 2且c 2va 2+b 2，则△ ABC 为.17. 在^ ABC 中，化简 bcosC+ccosB=18.钝角三角形的边长是三个连续自然数，则三边长为三、解答题1.已知在△ ABC 中，c=10, A=45°, C=30°,求 a 、b 和 B.A=45 ° , a=2, c=扁’，解此三角形.BC=a , DC=2a ,四个角 A 、B 、C 、D 度数的比为 3 : 7 : 4 : 10,求AB 的长.5.在^ ABC 中，A 最大，C 最小，且 A=2C , A+C=2B ，求此三角形三边之比.旦亠二丄W6.证明：在^ ABC 中，命曲心5 anC .（其中R 为^ ABC 的外接圆的半径）7. 在^ ABC 中，最大角A 为最小角C 的2倍，且三边a 、b 、c 为三个连续整数，求 c 的值. 8. 如下图所示，半圆 O 的直径MN=2 , OA=2, B 为半圆上任意一点， 以AB 为一边作正三角 形ABC ，问B 在什么位置时，四边形 OACB 面积最大？最大面积是多少?9.在^ ABC 中，若 si nA : si nB : sinC=m : n : I ，且 a+b+c=S ,求 a.12.在^ ABC 中, sinA=2cosBsi nC ，则三角形为13.在^ ABC 中, BC=3 , AB=2，且 5 5 , A=14.在^ ABC 中,B=/j,C=3,B=30°,则A=15.在^ ABC 中, a+b=12,A=60°, B=45 ，则a=,b=16.若2,3,x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的范围为2.已知△ ABC 的三边长 a=3, b=4, c=，求三角形的最大内角3.已知在△ ABC 中，/4.在四边形ABCD 中,10.根据所给条件，判断△ ABC的形状(1)acosA=bcosB (2) ooeA cosT? oosC11.△ ABC中，a+b=10 ,而cosC是方程2x2—3x—2=0的一个根，求△ ABC周长的最小值.12.在^ ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b,A —C= 3 ,求sinB的值.13.已知△ ABC 中，a=1,b=j5,A=30° ,求B、C 和c.14.在^ ABC中，c=^2 , tanA=3,tanB=2,试求a、b及此三角形的面积.15.已知& ABC=1^^，一个角为60 °,这个角的两边之比为5 : 2，求三角形内切圆的半径16.已知△ ABC中, a + b-f，试判断^ ABC的形状.17.已知△ ABC的面积为1, tanB= 2 ，求△ ABC 的各边长.18.求值:川20。
(完整版)正弦定理与余弦定理练习题(最新整理)
，则 b=___________．
27．在 AC 中，已知 A 4 3 ， AC 4 ， 30 ，则 AC 的面积是
．
28．在 ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c ，设 S 为△ ABC 的面积， S 3 (a2 b2 c2 ) ，则 C 的
4 大小为___________.
正弦定理与余弦定理
1．已知△ABC 中，a=4， b 4 3, A 30 ，则 B 等于（ ）
A．30°
B．30° 或 150°
C．60°
D．60°或 120°
2．已知锐角△ABC 的面积为 3 3 ，BC=4，CA=3，则角 C 的大小为（ ）
A．75°
B．60°
C．45°
D．30°
3．已知 ABC 中， a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边，若 (2a c) cos B b cos C 0 ，则角 B 的大小为（ ）
A．
6
B．
3
2
C．
3
5
D．
6
4．在ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边.若 sin C =2， b2 a 2 3ac ，则 B =( )
sin A
A. 300
B. 600
C. 1200
D. 1500
5．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c．已知 a=5 ，c=10，A=30°，则 B 等于（ ）
5
在△ABC 中，由余弦定理得，
=，
化简得，2ac+a2+c2﹣b2=2a（a+c）， 则 c2=a2+b2， ∴△ABC 为直角三角形， 故选：B． 12．C 【解析】 试题分析：由 A 的度数求出 sinA 的值，再由 a 与 b 的值，利用正弦定理求出 sinB 的值，由 b 小于 a，得到 B 小于 A， 利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数． 解：∵A=60°，a=4 ，b=4 ，
(完整版)正弦定理和余弦定理典型例题(最新整理)
【答案】根据余弦定理可得：
cos A b2 c2 a2 8 8 4 3 4 3
2bc
22 2 6 2 2
∵ 0 A 180 ， ∴ A 30 ；
∴由正弦定理得： sin C c sin A
6 2 sin 30
6 2
.
a
2
4
【变式 2】在 ABC 中，已知 B 750 ， C 600 ， c 5 ，求 a 、 A .
【答案】 A 1800 (B C) 1800 (750 600 ) 450 ，
根据正弦定理
a
5
，∴ a 5
6
.
sin 45o sin 60o
3
【变式 3】在 ABC 中，已知 sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 ，求 a : b : c 【答案】根据正弦定理 a b c ，得 a : b : c sin A : sin B : sin C 1: 2 : 3 .
【答案】根据三角形内角和定理， C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ；
根据正弦定理，
b
asin B sin A
42.9sin81.80 sin32.00
80.1(cm)
；
根据正弦定理，
c
asinC sin A
42.9sin 66.20 sin32.00
74.1(cm).
sin A sin B sin C
例 2．在 ABC中，b 3, B 60, c 1，求： a 和 A ， C ．
思路点拨: 先将已知条件表示在示意图形上（如图），可以确定先用正弦定理求出角 C ，然后用三角形 内角和求出角 A ，最后用正弦定理求出边 a .
完整版)正弦定理与余弦定理练习题
完整版)正弦定理与余弦定理练习题1.已知三角形ABC中，a=4，b=43，A=30°，求角B的大小。
解：根据正弦定理，有XXX，即sinB=43/4×sin30°=21.5/4.由此可知B的大小为30°或150°，故选B。
2.已知锐角三角形ABC的面积为33，BC=4，CA=3，求角C的大小。
解：根据面积公式，有33=1/2×4×3×sinC，即sinC=22/3.由此可知C的大小为arcsin(22/3)≈75°，故选A。
3.已知三角形ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，且(2a+c)cosB+bcosC=0，求角B的大小。
解：根据余弦定理，有c^2=a^2+b^2-2abcosC，即cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。
代入已知式中，得(2a+c)cosB-b(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=0，化简得(4a^2+2ac-b^2)cosB=2abc。
由此可知cosB=(2abc)/(4a^2+2ac-b^2)。
代入cosine double angle formula，得cos2B=(4a^2b^2c^2)/(4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4)。
由于cos2B≤1，可列出不等式4a^2b^2+2a^2c^2-2ab^3+2abc^2-2b^2c^2-b^4≥4a^2b^2c^2，即b^4-2ab^3+(2ac-2c^2-4a^2)b+6a^2c^2-5a^2b^2≤0.考虑b的取值，当b=0时，不等式显然成立；当b>0时，由于a,b,c均为正数，不等式两边同除以b^4后，得到一个关于x=ac/b^2的一元二次不等式6x^2-5x-2≤0.解得x∈[2/3,1]，即ac/b^2∈[2/3,1]。
由此可知cosB的取值范围为[1/2,√3/2]，故角B的大小为arccos(1/2)≈60°或arccos(√3/2)≈30°，故选B。
正弦定理测试题及答案
正弦定理测试题及答案一、选择题1. 在三角形ABC中，如果sinA:sinB:sinC = 2:3:4，那么边a:b:c的比例是：A. 2:3:4B. 3:4:5C. 4:3:2D. 1:√2:22. 已知三角形ABC中，a=5, b=7, A=60°，使用正弦定理求边c的长度。
A. 6B. 7C. 8D. 9二、填空题3. 若三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a/sinA = b/sinB =c/sinC，根据正弦定理，可以得出a = ________。
4. 在三角形ABC中，如果sinA = 1/2，且A为锐角，那么角A的度数为 ________。
三、解答题5. 已知三角形ABC的三边长分别为a=3，b=4，c=5，求角A、B、C的度数。
6. 在三角形ABC中，如果a=5，b=7，c=8，且角A=45°，求角B和角C的度数。
四、证明题7. 证明：在任意三角形ABC中，边a、b、c与角A、B、C满足正弦定理的关系。
答案：一、选择题1. 答案：A2. 答案：C二、填空题3. 答案：b*sinA/c4. 答案：30°三、解答题5. 解：根据正弦定理，我们有：a/sinA = b/sinB = c/sinC将已知的边长代入，得到：3/sinA = 4/sinB = 5/sinC由于3:4:5是一组勾股数，我们可以推断出三角形ABC是一个直角三角形，其中角C为直角。
因此，角A和角B可以通过以下方式求得： sinA = 3/5, cosA = 4/5, tanA = 3/4sinB = 4/5, cosB = 3/5, tanB = 4/3由于sinA < sinB，我们知道角A < 角B，且角A和角B的度数可以通过反正弦函数求得。
6. 解：已知a=5，b=7，c=8，A=45°，我们可以使用正弦定理求得sinB和sinC：sinB = b*sinA/a = 7*√2/2/5 = 7√2/10sinC = c*sinA/a = 8*√2/2/5 = 8√2/5然后，我们可以通过反正弦函数求得角B和角C的度数。
正弦定理练习题(打印版)
正弦定理练习题（打印版）
# 正弦定理练习题
## 一、选择题
1. 在三角形ABC中，已知a=3，b=4，c=5，求角A的正弦值。
A. 1/3
B. 1/4
C. 1/5
D. 2/5
2. 若三角形ABC的内角A、B、C的正弦值分别为sinA、sinB、sinC，且a=5，b=7，c=8，求sinC。
A. 3/4
B. 4/5
C. 5/8
D. 8/7
## 二、计算题
1. 在三角形ABC中，已知a=7，b=8，A=45°，求B和C的度数。
2. 已知三角形ABC的边长分别为a=5，b=7，c=6，求角A的正弦值。
## 三、证明题
1. 证明：在任意三角形ABC中，如果a=b，那么sinA=sinB。
2. 证明：在三角形ABC中，如果sinA+sinB+sinC=2，那么三角形ABC 是直角三角形。
## 四、应用题
1. 一个三角形的三边长分别为3，4，5，求这个三角形的面积。
2. 在三角形ABC中，已知b=8，c=10，B=60°，求边长a。
## 五、综合题
1. 已知三角形ABC的边长a，b，c和对应的角A，B，C，求证：
a/sinA = b/sinB = c/sinC。
2. 在三角形ABC中，已知a=9，b=12，C=90°，求角A和B的度数以及三角形ABC的面积。
注意：请在解答时，确保计算过程清晰，步骤合理，结果准确。
(完整版)正弦定理、余弦定理超经典练习题
正弦定理、余弦定理练习题一、选择题1.已知在△ABC中,sin A:sin B:sin C=3:2:4,那么cos C的值为A.-B.C.-D.2.在△ABC中，a=λ,b=λ,A=45°,则满足此条件的三角形的个数是A.0B.1 C.2 D.无数个3.在△ABC中，b cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形4.已知三角形的三边长分别为x2+x+1,x2-1和2x+1(x＞1)，则最大角为A.150°B.120°C.60°D.75°5.在△ABC中，=1，=2，（+）·（+）=5+2则边||等于A.B.5-2 C. D.6.在△ABC中，已知B=30°,b=50,c=150，那么这个三角形是A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形7.在△ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bc cos B cos C，则此三角形为A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形8.正弦定理适应的范围是A.Rt△B.锐角△C.钝角△D.任意△9.已知△ABC中，a=10,B=60°,C=45°，则c=A.10+B.10（-1）C.（+1）D.1010.在△ABC中，b sin A＜a＜b，则此三角形有A.一解B.两解C.无解D.不确定11.三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根，则三角形的另一边长为A.52B.2C.16D.412.在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于A.60°B.45°C.120D.30°13.在△ABC中，，则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形14.在△ABC中，a=2，A=30°,C=45°，则△ABC的面积S△ABC等于A.B.2 C.+1 D.(+1)15.已知三角形ABC的三边a、b、c成等比数列，它们的对角分别是A、B、C，则sin A sin C 等于A.cos2BB.1-cos2BC.1+cos2BD.1+sin2B16.在△ABC中，sin A＞sin B是A＞B的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件17.在△ABC中，b Cos A=a cos B，则三角形为A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形18.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则△ABC为A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形19.△ABC中,A=60°,b=1,这个三角形的面积为,则△ABC外接圆的直径为A. B. C. D.20.在△ABC中，,则k为A.2RB.RC.4RD.(R为△ABC外接圆半径)二、填空题1.在△ABC中，A=60°，C=45°，b=2，则此三角形的最小边长为.2.在△ABC中，= .3.在△ABC中,a∶b∶c=(+1)∶∶2，则△ABC的最小角的度数为.4.在△ABC中，已知sin A∶sin B∶sin C=6∶5∶4，则sec A= .5.△ABC中，，则三角形为_________.6.在△ABC中，角A、B均为锐角且cos A＞sin B，则△ABC是___________.7.在△ABC中，若此三角形有一解，则a、b、A满足的条件为____________________.。
(完整版)正弦定理练习题(经典)(2)(可编辑修改word版)
6 2 32 3 6 6 3 6 2 3 2 3 6 2 × sin 30° 正弦定理练习题1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则 b 等于() A. B. C. D ．22．在△ABC 中，已知 a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则 b 等于()32 A ．4 B ．4 C ．4 D. 3 3.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则 c ＝()1 A.1 B.2 1C ．2 D.44.在△ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝4 2，则角 B 为( ) A ．45°或 135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 5. △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .若c ＝ A. B ．2 C. D. 2，b ＝ 2 6，B ＝120°，则 a 等于( ) 6.在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则 sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定cos A b 7.在△ABC 中，若 ＝ ，则△ABC 是( )cos B aA. 等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形8.在△ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝ π 3，C A ＝.4 39．在△ABC 中，已知 a ＝ 3 ，b ＝4，A ＝30°，则 sin B ＝.＝3，则10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则 a ＋c ＝.11．在△ABC 中，b ＝4 3，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有组解．12 . 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54, C = 120︒ 有 组解 （2）a=20,b=11, B = 30︒ （3）b=26,c=15, C = 30︒ （4）a=2,b=6, A = 30︒有 组解有 组解有组解正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则 b 等于( )A. B. C. D ．2 a 解析：选 A.应用正弦定理得： ＝ ，求得 b a sin B ＝ 6.sin A sin B ＝sin A2．在△ABC 中，已知 a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则 b 等于( )32A ．4B ．4C ．4 D. 3解析：选 C.A ＝45°，由正弦定理得 b a sin B ＝4 6.＝ sin A3. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若 A ＝105°，B ＝45°，b ＝ 2，则 c ＝()1 A.1 B.2 1C ．2 D.4b c 解析：选 A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由 ＝ 得 c ＝ ＝1.6 6sin B sin C sin45°26 3 6 3 3 4 33 c4.在△ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝4 2，则角 B 为( ) A ．45°或 135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对a b b sin A 解析：选 C.由正弦定理 ＝ 得：sin B ＝ ＝ ，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.sin A sin B a 25.△ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .若c ＝ A. C. 解析：选 D.由正弦定理得 ＝2，b ＝ 6，B ＝120°，则 a 等于( )1∴sin C ＝ .2sin120° 又∵C 为锐角，则 C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.6.在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则 sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定解析：选 A.由正弦定理知 sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.cos A b7. 在△ABC 中，若 ＝ ，则△ABC 是( )cos B aA. 等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形b sin B cos A sin B解析：选 D.∵ ＝ ，∴ ＝ ，a sin A cos B sin Asin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2Bπ即 2A ＝2B 或 2A ＋2B ＝π，即 A ＝B ，或 A ＋B ＝2.8. 已知△ABC 中，AB ＝ 3 A. 2 3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )3 B. 3 3 C. 2 或 D.4 或 2AB AC解析：选 D. ＝ ，求出 sin C ＝ ，∵AB ＞AC ，sin C sin B 2∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或 120°，∴∠A ＝90°或 30°. 1再由 S △ABC ＝ AB ·AC sin A 可求面积．29. 在△ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝π 3，C A ＝.＝3，则a c解析：由正弦定理得： ＝ ，sin A sin Ca ·sin C 1所以 sin A ＝ ＝ .2 π π又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝3，∴A ＝6.π 答案：610. 在△ABC 中，已知 a ＝ ，b ＝4，A ＝30°，则 sin B ＝ .a b解析：由正弦定理得 ＝b sin A 1 4 × 2 sin A 3sin B ⇒sin B ＝ a ＝ 4 3 ＝ 2.3答案：211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则 a ＋c ＝ .解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，a b 由 ＝ 得，a 12 × sin30°4 3， sin A ＝ ＝sin120° ∴a ＋c 答案：12．在△ABC 中，b ＝4 3，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有 组解．c b 2 4 3解析：∵sin C = sin B ，有sin 30︒ =sin B ，得 sinB=∴此三角形无解． 答案：0 一，二，二，无3＞ 1。
(完整版)正弦定理练习题(经典)(最新整理)
6 2 32 3 6 6 3 6 2 3 2 3 6 2 × sin 30° 正弦定理练习题1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则 b 等于() A. B. C. D ．22．在△ABC 中，已知 a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则 b 等于()32 A ．4 B ．4 C ．4 D. 3 3.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则 c ＝()1 A.1 B.2 1C ．2 D.44.在△ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝4 2，则角 B 为( ) A ．45°或 135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 5.△ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .若c ＝ A. B ．2 C. D. 2，b ＝ 2 6，B ＝120°，则 a 等于( ) 6.在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则 sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定cos A b 7.在△ABC 中，若 ＝ ，则△ABC 是( )cos B aA.等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形8.在△ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝ π 3，C A ＝.4 39．在△ABC 中，已知 a ＝ 3 ，b ＝4，A ＝30°，则 sin B ＝.＝3，则10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则 a ＋c ＝.11．在△ABC 中，b ＝4 3，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有组解．12 . 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54, C = 120︒ 有 组解 （2）a=20,b=11, B = 30︒ （3）b=26,c=15, C = 30︒ （4）a=2,b=6, A = 30︒ 有 组解有 组解有组解正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则 b 等于( )A. B. C. D ．2 a 解析：选 A.应用正弦定理得： ＝ b ，求得 b a sin B ＝ 6.sin A sin B ＝sin A2．在△ABC 中，已知 a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则 b 等于( )32A ．4B ．4C ．4 D. 3解析：选 C.A ＝45°，由正弦定理得 b a sin B ＝4 6.＝ sin A3. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若 A ＝105°，B ＝45°，b ＝ 2，则 c ＝()1 A.1 B.2 1C ．2 D.4b c 解析：选 A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由 ＝ 得 c ＝ ＝1. sin B sin C sin45°6 626 3 6 3 3 4 33 c4.在△ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝4 2，则角 B 为( ) A ．45°或 135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对a b b sin A 解析：选 C.由正弦定理 ＝ 得：sin B ＝ ＝ ，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.sin A sin B a 25.△ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .若c ＝ A. C. 解析：选 D.由正弦定理得 ＝ ，2，b ＝ 6，B ＝120°，则 a 等于( )1∴sin C ＝ .2sin120° sin C又∵C 为锐角，则 C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.6.在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则 sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定解析：选 A.由正弦定理知 sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.cos A b7. 在△ABC 中，若 ＝ ，则△ABC 是( )cos B aA.等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形b sin B cos A sin B解析：选 D.∵ ＝ ，∴ ＝ ，a sin A cos B sin Asin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2Bπ即 2A ＝2B 或 2A ＋2B ＝π，即 A ＝B ，或 A ＋B ＝2.8. 已知△ABC 中，AB ＝ 3 A. 2 3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )3 B. 3 3 C. 2 或 或 2AB AC解析：选 D. ＝ ，求出 sin C ＝ ，∵AB ＞AC ，sin C sin B 2∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或 120°，∴∠A ＝90°或 30°. 1再由 S △ABC ＝ AB ·AC sin A 可求面积．29. 在△ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝π 3，C A ＝.＝3，则a c解析：由正弦定理得： ＝ ，sin A sin Ca ·sin C 1所以 sin A ＝ ＝ .2 π π又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝3，∴A ＝6.π 答案：610. 在△ABC 中，已知 a ＝ ，b ＝4，A ＝30°，则 sin B ＝ .a b解析：由正弦定理得 ＝b sin A 1 4 × 2sin A 3 sin B⇒sin B ＝ a ＝ 4 3 ＝ 2.3答案：211．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则 a ＋c ＝ .解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，a b 由 ＝ 得，a 12 × sin30°4 3， sin A ＝ ＝sin120° ∴a ＋c 答案：12．在△ABC 中，b ＝4 3，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有 组解．c b 2 4 3解析：∵sin C = sin B ，有sin 30︒ =sin B ，得 sinB=∴此三角形无解． 答案：0 一，二，二，无3＞ 1 3“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
(2021年整理)正弦定理习题及答案
正弦定理习题及答案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（正弦定理习题及答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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正弦定理习题及答案一、选择题（每小题5分，共20分）1．在△ABC中,三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c,若a sin B＝2，sin A＝12，则b的值为（)A．2 B．4C．6 D．8解析: 由正弦定理得b＝错误!＝错误!＝4.答案：B2．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C,则△ABC是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．锐角三角形解析：∵sin2A＝sin2B＋sin2C.∴由正弦定理可得a2＝b2＋c2∴△ABC是直角三角形．答案：C3．在△ABC中，若A＝60°,C＝75°，b＝6，则a等于( ）A. 3 B．2错误!C。
6 D．3错误!解析：∵B＝180°－（60°＋75°)＝45°，∴a＝错误!＝错误!＝3错误!.答案：D4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（）A．b＝10，A＝45°，B＝70° B．a＝60，c＝48,B＝100°C．a＝7,b＝5,A＝80° D．a＝14,b＝16，A＝45°解析：D中，b sin A＝82，a＝14，所以b sin A〈a<b，所以三角形有两个解．故选D。
答案：D二、填空题(每小题5分，共10分）5．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比为a∶b∶c为________．解析：∵A∶B∶C＝3∶2∶1,A＋B＋C＝180°,∴A＝90°,B＝60°,C＝30°，设错误!＝错误!＝错误!＝k，则a＝k sin A＝k，b＝k sin B＝错误!k，c＝k sin C＝错误!。
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6 2 3
2 3 6 6 3 6 2 3 2 3 6 2 × sin 30° 正弦定理练习题
1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则 b 等于(
) A. B. C. D ．2
2．在△ABC 中，已知 a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则 b 等于(
)
32 A ．4 B ．4 C ．4 D. 3 3.
在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝
2，则 c ＝(
)
1 A.1 B.
2 1
C ．2 D.4
4.
在△ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4
3，b ＝4 2，则角 B 为( ) A ．45°或 135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 5.
△ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .若c ＝ A. B ．2 C. D. 2，b ＝ 2 6，B ＝120°，则 a 等于( ) 6.
在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则 sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定
cos A b 7.
在△ABC 中，若 ＝ ，则△ABC 是( )
cos B a
A.
等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形
8.
在△ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝ π 3，C A ＝
.
4 3
9．在△ABC 中，已知 a ＝ 3 ，b ＝4，A ＝30°，则 sin B ＝
.
＝3
，则
10．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则 a ＋c ＝
.
11．在△ABC 中，b ＝4 3，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有
组解．
12 . 判断满足下列条件的三角形个数 （1）b=39,c=54, C = 120︒ 有 组解 （2）a=20,b=11, B = 30︒ （3）b=26,c=15, C = 30︒ （4）a=2,b=6, A = 30︒ 有 组解有 组解有
组解
正弦定理
1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则 b 等于( )
A. B. C. D ．2 a 解析：选 A.应用正弦定理得： ＝ b ，求得 b a sin B ＝ 6.
sin A sin B ＝
sin A
2．在△ABC 中，已知 a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则 b 等于( )
32
A ．4
B ．4
C ．4 D. 3
解析：选 C.A ＝45°，由正弦定理得 b a sin B ＝4 6.
＝ sin A
3. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 所对的边，若 A ＝105°，B ＝45°，b ＝ 2，则 c ＝(
)
1 A.1 B.
2 1
C ．2 D.4
b c 解析：选 A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由 ＝ 得 c ＝ ＝1. sin B sin C sin45°
6 6
2
6 3 6 3 3 4 3
3 c
4.
在△ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝4
3，b ＝4 2，则角 B 为( ) A ．45°或 135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对
a b b sin A 解析：选 C.由正弦定理 ＝ 得：sin B ＝ ＝ ，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.
sin A sin B a 2
5.
△ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .若c ＝ A. C. 解析：选 D.由正弦定理得 ＝ ，2，b ＝ 6，B ＝120°，则 a 等于( )
1
∴sin C ＝ .
2
sin120° sin C
又∵C 为锐角，则 C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.
6.
在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则 sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定
解析：选 A.由正弦定理知 sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6.
cos A b
7. 在△ABC 中，若 ＝ ，则△ABC 是( )
cos B a
A.
等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形
b sin B cos A sin B
解析：选 D.∵ ＝ ，∴ ＝ ，
a sin A cos B sin A
sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B
π
即 2A ＝2B 或 2A ＋2B ＝π，即 A ＝B ，或 A ＋B ＝2
.
8. 已知△ABC 中，AB ＝ 3 A. 2 3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )
3 B. 3 3 C. 2 或 或 2
AB AC
解析：选 D. ＝ ，求出 sin C ＝ ，∵AB ＞AC ，
sin C sin B 2
∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或 120°，∴∠A ＝90°或 30°. 1
再由 S △ABC ＝ AB ·AC sin A 可求面积．
2
9. 在△ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝
π 3，C A ＝
.
＝3，则
a c
解析：由正弦定理得： ＝ ，
sin A sin C
a ·sin C 1
所以 sin A ＝ ＝ .
2 π π
又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝3，∴A ＝6
.
π 答案：
6
10. 在△ABC 中，已知 a ＝ ，b ＝4，A ＝30°，则 sin B ＝ .
a b
解析：由正弦定理得 ＝
b sin A 1 4 × 2
sin A 3 sin B
⇒sin B ＝ a ＝ 4 3 ＝ 2
.
3
答案：
2
11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则 a ＋c ＝ .
解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，
a b 由 ＝ 得，a 12 × sin30°
4 3， sin A ＝ ＝
sin120° ∴a ＋c 答案：12．在△ABC 中，b ＝4 3，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有 组解．
c b 2 4 3
解析：∵
sin C = sin B ，有sin 30︒ =
sin B ，得 sinB=
∴此三角形无
解． 答案：0 一，二，二，无
3＞ 1 3
“”
“”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。