第四章 变分法
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数学物理方法变分法PPT学习教案
和
两点的
在附加条 件（）
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和两个积 分 和附加条 件
例3 求 是归一化 的，即 解 本题 是求泛 函的条 件极值 问题， 可化为 变分问 题
对应的E-L 方程为 其通解为
的极值， 其中 ，且已知
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代入附加 条件 得到 代入归一 化条件 得到
于是得到 ，故原极 值问题 的解为
三、 变分
定义： 变分
如果我们 将泛函 取极值 时的函 数（或 函数曲 线）定 义为
并定义与 函数曲 线
邻近的曲 线（或 略为变 形的
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曲线）作 为比较 曲线， 记为
其中 选定函数 ，规定
函在极值 处连续 ．在研 究泛函 极值时 ，通常 将 而令
到泛函 就成为了 参数
是一个小 参数；
此即泛函 取极值 的必要 条件． 即泛函
必须是满 足泛函 的变分
的函数类
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的极值函 数 ．因此，
把泛函的 极值问 题称为 变分问 题． 注明 ：E-L方 程是泛 函取极 值的必 要条件 ，而不 是充分 条件． 如果讨 论充分 条件， 则要计 算二阶 变分， 并考虑 其正、 负值,但 对于实 际问题 中，当 泛函具 有明确 的物理 涵义， 极值的 存在性 往往间 接地在 问题的 提法中 就可以 肯定， 所以极 值的存 在性是 不成问 题的， 只要解 出E-L 方程 ，就可以 得到泛 函的极 值．
由变分 法得到 的E-L方 程求解 ，一般 来说， 是很困 难的． 但在分析 力学中 往往还 是采用 这一办 法来求 解．因 为历史 悠 久，它自 有一套 办法．
（ii）近似 解 所谓近 似解即 由泛函 本身出 发，而 不需求 解E-L方 程，
弹性力学的变分解法
七、弹性力学参量的下标表示法前面给出的力分量、应力分量、应变分量和位移分量，其表示方法引用的是记号法；这是一种公认的弹性力学参量表示方法。
下标表示法书写简洁，便于力学问题的理论推导。
1. 下标符号具有相同性质的一组物理量，可用一个带下标的字母表示：如：位移分量u, v, w 表示为u 1, u 2, u 3，缩写为u i （i =1,2,3）坐标x, y, z 表示为x 1, x 2, x 3，缩写为x i （i =1,2,3）单位矢量i, j, k 表示e i （i =1,2,3）。
体力分量X, Y, Z 表示为X 1, X 2, X 3，缩写为X i （i =1,2,3）应力分量：z zy zx yz y yxxz xy x 可表示为：333231232221131211 缩写为：)3,2,1;3,2,1( j i ij4. 克罗内克(Kroneker)符号具有如下性质 )cos(j i ij e ej i e eji ji ij 01 100010001333231232221131211 ij ij (1)3ii j i ij A A ij 也称换名算子同理:ijkj ik A a (2)选取可能位移：十、利用位移变分原理的近似解法m mm m mm mm m w C w w v B v v u A u u 000其中系数是完全任意的m m m C B A 、、1、瑞雷—里兹法（1）是在边界上满足位移边界条件的设定函数000w v u 、、（2）是在边界上为零的设定函数m m m w v u 、、可见，由（1）、（2）选取出来的是可能位移w v u 、、。
变分法
tf
t0
M (t )(t )dt 0 。则在 [t 0 , t f ] 内， M (t ) 0 。
（用反证法容易证明，略） 。 二、无约束条件的泛函极值 求泛函 J
tf
t0
(t ), t ]dt （1）的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找 F[ x(t ), x
一条曲线 x(t ) ，使给定的二阶连续可微函数 F 沿该曲线的积分达到极值。常称这条曲线为 极值曲线（或轨线） ，记为 x (t ) 。 1．端点固定的情况 设容许曲线 x(t ) 满足边界条件 x(t 0 ) x0 , x(t f ) x f ，且二次可微。 首先计算（1）式的变分：
t t f dt f 。寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定发问进行推导，即有
0 J
t f dt
t0
x , t ]dt | 0 F[ x x, x
t f dt
t0
)dt | 0 F ( x x, x x , t f dt f )dt f | 0(t t f dt f ) ( Fxx Fx x
tf x , t ] 0 dt J [ x(t ) x(t )] 0 F[ x x, x t0 tf
J
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, t )x Fx , t )x ]dt [ Fx ( x, x ( x, x
t0
（2）
对上式右端第二项做分布积分，并利用 x(t 0 ) x(t f ) 0 ，有
件，有 J
tf
[ Fx
它是这类最简泛函取极值的必要条件。 最简泛函取极值的必要条件可以推广到多元泛函的情 况，如二元泛函
变分法PPT
变分法
Variational Methods
变分法简介
基本概念 经典变分问题 变分运算 变分的算法
基本概念
泛函 泛函是一个函数的表达式，取值取决于该表达式中的函
数，泛函是函数的函数。
I x2 F x, y, ydx x1
1) 除变量x外，泛函还可以包含其他的独立变量； 2) 除函数y(x)外，泛函还可以包含有许多以上述独立变量
y
yx
dy dx
x
y y y a
y y y a
利用δ沿可变曲线将F写成： F x, y y, y y
在任意x处，将F展开成关于y和y`的泰勒级数：
F
x,
y
y,
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
∴ F x, y y,
F的全变分：
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
(T) F F x, y y, y y F x, y, y
一阶变分：
F F y F y
y y
x2 F x, y y, y ydx x1
x2 F x, y, ydx
x1
x2 x1
F y
y
F y
y
dx
O
2
(T)I I I
x2 x1
2F y 2
y2
2
2F yy
y
y
2F
y2
y2
dx
I取极值的条件： I 0
F d F 0 y dx y
具有多个因变量：
I
Variational Methods
变分法简介
基本概念 经典变分问题 变分运算 变分的算法
基本概念
泛函 泛函是一个函数的表达式，取值取决于该表达式中的函
数，泛函是函数的函数。
I x2 F x, y, ydx x1
1) 除变量x外，泛函还可以包含其他的独立变量； 2) 除函数y(x)外，泛函还可以包含有许多以上述独立变量
y
yx
dy dx
x
y y y a
y y y a
利用δ沿可变曲线将F写成： F x, y y, y y
在任意x处，将F展开成关于y和y`的泰勒级数：
F
x,
y
y,
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
∴ F x, y y,
F的全变分：
y
y
F
x,
y,
y
F y
y
F y
y
O
2
(T) F F x, y y, y y F x, y, y
一阶变分：
F F y F y
y y
x2 F x, y y, y ydx x1
x2 F x, y, ydx
x1
x2 x1
F y
y
F y
y
dx
O
2
(T)I I I
x2 x1
2F y 2
y2
2
2F yy
y
y
2F
y2
y2
dx
I取极值的条件： I 0
F d F 0 y dx y
具有多个因变量：
I
变分法
x1
x0
F ( x) ( x)dx 0
(1.18)
则在 [x0,x1] 上就有F(x)≡0. 证明用反证法
1.3.2 欧拉方程
x1
[ y] F ( x, y, y )dx
x0
x1
x1
x0
F y F ydx y y b a
数ui(i=1,2,3)而变，[u]也是一个泛函。而ui必须满足的体积不
变条件
L、As、Φ都是依赖于可变化的函数。称其为自变函数，随 自变函数而变的量称为泛函。用符号φ、J 表示，记作 φ[y(x)]或φ(y)等。 • 变分法就是研究求泛函极大值和极小值的方法。
1.1.2 泛函自变函数的变分
• 函数y=y(x) ,自变量为x ，增量 △x, 称dx为自变 量x微分。 • 泛函φ[y(x)],自变函数为y(x)，当△y(x) 变化无 限小时，称为自变函数的变分，表为δy(x) ，δy • δy是指函数y(x) 和跟它相接近的另一函数y1(x) 的微差。
x0 x0
x1
x1
(dy ) d ( y )
dy d ( y ) , 或 ( y) ( y) dx dx
3.注意：d ( xy) ydx xdy
( xy) x y
1.2.2 泛函极值的条件
泛函极值条件与函数极值条件具有相似的定义。如果
(u v) u v,
(uv) u v v u, (u v) (v u u v) / v 2
2
变分号可由积分号外进入积分号内
x1 x1 x0 x0
F ( x, y, y)dx F ( x, y, y)dx
变分法推导
k
L q j q j 0 q j
V (11b) 0 q j
将(11b)式乘以dt，并从t1到t2作定积分，有：
t2
t1
d L j dt q j 1
k
L q j q j dt 0 q j
若再考虑时间，则有3个坐标，
2) 一般地，用由q和t组成的(k+1)维空间内的 一点的运动表示，若在某一瞬时t，q1，q2，… …qk均有确定的值，则可在(k+1)维空间中找到 一个点，该点表示一质点在t时的位置
M (q j+δqj,t ) A
,
δq j M(qj ,t)
B
(k+1)维空间
④ 质点系的真实运动：
q=q(t) t
t+dt
变分：假设自变量t不变，改变函数q=q(t)的
形式，得到一个与原函数稍有差别的新函数
δq 式中： 是一个微小系数， dq q=q(t) p dt (t ) 是t的任意连续函数。 o 则： t t+dt 对于自变量的某一指定值，函数 q=q(t) 由于它的形式的微小改变而得到的改变量，称 为该函数的变分。 q 实际上代表了虚位移。 从图中可看出， p
2
mi r i 2
2
(4)
将此结果代回式(4)，并引入质点系动能
得:
i mi r T 2 i 1
n k
n
2
d T T mi ai ri j q j i 1 j 1 dt q
q j
(9)
F r m a r 0
ri ri (q1, q2 ,, qk , t )
L q j q j 0 q j
V (11b) 0 q j
将(11b)式乘以dt，并从t1到t2作定积分，有：
t2
t1
d L j dt q j 1
k
L q j q j dt 0 q j
若再考虑时间，则有3个坐标，
2) 一般地，用由q和t组成的(k+1)维空间内的 一点的运动表示，若在某一瞬时t，q1，q2，… …qk均有确定的值，则可在(k+1)维空间中找到 一个点，该点表示一质点在t时的位置
M (q j+δqj,t ) A
,
δq j M(qj ,t)
B
(k+1)维空间
④ 质点系的真实运动：
q=q(t) t
t+dt
变分：假设自变量t不变，改变函数q=q(t)的
形式，得到一个与原函数稍有差别的新函数
δq 式中： 是一个微小系数， dq q=q(t) p dt (t ) 是t的任意连续函数。 o 则： t t+dt 对于自变量的某一指定值，函数 q=q(t) 由于它的形式的微小改变而得到的改变量，称 为该函数的变分。 q 实际上代表了虚位移。 从图中可看出， p
2
mi r i 2
2
(4)
将此结果代回式(4)，并引入质点系动能
得:
i mi r T 2 i 1
n k
n
2
d T T mi ai ri j q j i 1 j 1 dt q
q j
(9)
F r m a r 0
ri ri (q1, q2 ,, qk , t )
变分法
寻求最优性能指标（目标函数）J (u(t)) (t f , x(t f ))
tf F(t, x(t),u(t))dt
t0
u(t) S 控制函数 f ,, F C1
x(t)
状态函数 t0固定，t f 、x(t f )自由
下面推导取得目标函数极值的最优控制策略u* (t) 和最优轨线 x* (t) 的必要条件。
变分法的基本引理 (x) C[x1, x2 ], (x) C1[x1, x2 ], (x1) (x2 ) 0, 则
x2 (x)(x)dx 0 x1
(x) 0,
x [x1, x2]
泛函极值的必要条件
F C(2) , 容许函数类S取为满足端点条件的二阶可微函数集合。
最优控制问题求解
J1 0
dt f , x(t f ), x, u,任意
x* , * 必满足正则方程：
x
H H
x
状态方程 协态方程
H (t, x*, u, * ) 满足 Hu 0
利用边界条件（端点条件）
x(t0 ) x0
(t f
)
x(t f
)
t2
J (x(t),u(t)) F(t, x(t), x' (t),u(t),u' (t))dt
t1
其欧拉方程为
Fx
Fu
d
dt d
dt
Fx' Fu '
0 0
端点变动的情况（横截条件）
在考虑泛函极值时，如果容许函数 x(t) 的一个端点不固定，而是在一条曲线
x (t) 上变动，于是端点条件可以表示为
变分原理-第4章
w x =l ql 4 = a = 0.11937 EJ
(g)
和精确解 w x =l =
1 ql 4 相比，小 4.5%，已达到工程精度。但如果进一步算应力， 8 EJ
则误差达 41％。
π πx 近似解： M (x ) = EJw = EJa cos ，最大值在 x = 0 处，有 2l 2l
2、 出弹性系统总位能表达式 Π (u i ) ，把式（3）所设的位移试验函数代入， 即得到由 3N 各参数 ain 表示的总位能表达式 Π (ain ) 。 3、 应用最小位能原理 δΠ = 0 ，求得以 ain 为参数的 3N 个代数方程－由于
u i0 、 u in 函数形式度已事先选定，变分时只有它们的幅值 ain 能发生变
二、 辽金法求解过程 为了导出伽辽金法，线对最小位能原理作一变换。由式（1）取变分得
δΠ = ∫∫∫
V
∂A δeij dV − ∫∫∫ Fi δu i dV − ∫∫ p i δu i dS ∂eij V Sp 1 (δui, j + δu j ,i )dV − ∫∫∫ Fiδui dV − ∫∫ p iδui dS 2 V Sp
(
)
(3)
上式中
∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w 2 ∂ ∂w ∂ 2 w ∂ ∂w ∂ 2 w − = dxdy ∫∫ ∫∫ ∂x ∂y 2 − ∂y ∂x ∂x∂y dxdy ∂x∂y ∂ x ∂x 2 ∂y 2 S S
(1)
应力应变用挠度表示
Ez σx = − 1− µ 2 ∂2w ∂2w ∂x 2 + µ ∂y 2 ∂2w ∂2w µ + ∂y 2 ∂x 2
(g)
和精确解 w x =l =
1 ql 4 相比，小 4.5%，已达到工程精度。但如果进一步算应力， 8 EJ
则误差达 41％。
π πx 近似解： M (x ) = EJw = EJa cos ，最大值在 x = 0 处，有 2l 2l
2、 出弹性系统总位能表达式 Π (u i ) ，把式（3）所设的位移试验函数代入， 即得到由 3N 各参数 ain 表示的总位能表达式 Π (ain ) 。 3、 应用最小位能原理 δΠ = 0 ，求得以 ain 为参数的 3N 个代数方程－由于
u i0 、 u in 函数形式度已事先选定，变分时只有它们的幅值 ain 能发生变
二、 辽金法求解过程 为了导出伽辽金法，线对最小位能原理作一变换。由式（1）取变分得
δΠ = ∫∫∫
V
∂A δeij dV − ∫∫∫ Fi δu i dV − ∫∫ p i δu i dS ∂eij V Sp 1 (δui, j + δu j ,i )dV − ∫∫∫ Fiδui dV − ∫∫ p iδui dS 2 V Sp
(
)
(3)
上式中
∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w 2 ∂ ∂w ∂ 2 w ∂ ∂w ∂ 2 w − = dxdy ∫∫ ∫∫ ∂x ∂y 2 − ∂y ∂x ∂x∂y dxdy ∂x∂y ∂ x ∂x 2 ∂y 2 S S
(1)
应力应变用挠度表示
Ez σx = − 1− µ 2 ∂2w ∂2w ∂x 2 + µ ∂y 2 ∂2w ∂2w µ + ∂y 2 ∂x 2
变分法求基态能量的步骤课件
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对非线性问题处理困难 对于非线性问题，变分法往往难以找到合适的变分形式来 逼近真实解，这使得变分法在处理非线性问题时具有一定 的局限性。
变分法的未来发展
结合其他方法
为了克服变分法的局限性，未来研究可以将变分法与其他方法（如有限元方法、有限差分 方法等）相结合，形成一种混合方法，以提高算法的稳定性和精度。
变分法求基态能量的 步骤课 件
目录
CONTENTS
• 变分法的基本概念
01
引言
变分法的定义
定义
变分法是数学的一个分支，主要研究泛函的极值问题，即寻找函数集合中使特 定泛函取得极值的函数。在量子力学中，变分法用于求解粒子在给定势能下的 基态能量。
公式表示
假设粒子在势能函数V(x)下运动，基态能量E0可以通过变分法求解的公式为： E0 = ∫ (dV/dx²) dx。
氢原子的基态能量求解
氢原子是原子物理中的基本模型，其基态能量的求解可以 通过变分法实现。
首先，我们需要确定氢原子的运动方程，即薛定谔方程。 然后，我们构造一个变分函数来近似描述氢原子的波函数。 接下来，将变分函数代入薛定谔方程，并求解得到基态能 量。最后，我们需要验证求解结果的正确性。
谐振子的基态能量求解
泛函的极值与变分法
泛函的极 值
泛函在给定约束条件下的最大值或最 小值。
变分法
通过求解泛函的极值问题，得到满足 约束条件的函数，从而得到系统的最 优解或基态解。
03
变分法在物理中的
应用
基态能量的定义
基态能量
系统最低的能量状态，即系统处于稳定平衡时的能量。
基态能量的物理意义
描述系统的基本性质和行为，是研究系统稳定性和相变等问题的关 键参数。
第四章-变分法和微扰法
2 ( c c ) 1 a 2 b d
ˆ d H aa a H a
ˆ d H bb b H b
ˆ d H H ab a H b ba
ˆ d 2c c H ˆ d c 2 H ˆ c12 a H 1 2 a 2 b b d a b
(0) ˆ (0) E (0) (1) d (0) H ˆ (1) E (1) (0) d H n n n n n n
(0) (1) (0) (0) ˆ (1) (0) n En n d n H n d (1) (0) (0) (0) ˆ (1) (0) En d n n n H n d (1) (0) ˆ (1) (0) En n H n d
ˆ (0) (0) E (0) (0) 0 : H n n n ˆ (0) (1) H ˆ (1) (0) E (0) (1) E (1) (0) 1 : H n n n n n n ˆ (0) (2) H ˆ (1) (1) E (0) (2) E (1) (1) E (2) (0) 2 : H n n n n n n n n 整理后得：
其中E n(0), λE n(1), λ2 E n(1), ... 分别是能量的 0 级近似 ，能量的一级修正和二级修正等； 而ψn(0), λψn(1), λ2ψn(2), ... 分别是状态波函数的 0 级近似，一级修正和二级修正等。
ˆ 代入定态Schrodinger方程 H n r E n r 得：
2 2 ˆ H r V r r E r 2
ˆ d H aa a H a
ˆ d H bb b H b
ˆ d H H ab a H b ba
ˆ d 2c c H ˆ d c 2 H ˆ c12 a H 1 2 a 2 b b d a b
(0) ˆ (0) E (0) (1) d (0) H ˆ (1) E (1) (0) d H n n n n n n
(0) (1) (0) (0) ˆ (1) (0) n En n d n H n d (1) (0) (0) (0) ˆ (1) (0) En d n n n H n d (1) (0) ˆ (1) (0) En n H n d
ˆ (0) (0) E (0) (0) 0 : H n n n ˆ (0) (1) H ˆ (1) (0) E (0) (1) E (1) (0) 1 : H n n n n n n ˆ (0) (2) H ˆ (1) (1) E (0) (2) E (1) (1) E (2) (0) 2 : H n n n n n n n n 整理后得：
其中E n(0), λE n(1), λ2 E n(1), ... 分别是能量的 0 级近似 ，能量的一级修正和二级修正等； 而ψn(0), λψn(1), λ2ψn(2), ... 分别是状态波函数的 0 级近似，一级修正和二级修正等。
ˆ 代入定态Schrodinger方程 H n r E n r 得：
2 2 ˆ H r V r r E r 2
变分法
§1 变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。
它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。
这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。
约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。
后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。
有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。
在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。
伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。
变分法PPT教学课件
主义道路上。今天的中国，是一个改革开放与和平崛
起的中国。中国的崛起不会妨碍任何人，也不会威胁 任何人；中国的和平崛起有利于亚洲和世界。
（1）你认为中国扶贫成就取得的根本原因是什么？ （2）中国的“和平崛起”是由什么决定的？ （3）结合材料一运用所学知识谈谈对材料二的理解。
2003年3月20日，美国绕过安理会发动了 对伊拉克战争， 2003年5月1日美国总统布什 就宣布对伊战争取得胜利。
国家谴责和反对恐怖活动的态度表明 ( B )
A全世界人人都反对战争
B要和平是当今时代的主流
C世界和平的主流已发生改变
D当前国际形势总体上已趋向战争和动乱
2．2003年3月20日，美英等国绕开联合国对伊拉
克进行军事打击，伊拉克战争爆发。此举遭到世
界许多国家的谴责，纽约、华盛顿、伦敦等数以
百计的城市爆发了反战示威游行。这说明
①发展问A题是指世界经济的发展，特别是发展中
国家的经济发展问题；②世界经济总体在发展， 但整体的经济形势依然严峻；③全球发展的最突 出的问题是南北发展不均衡；④谋求社会的发展 和繁荣是人类永恒的课题；⑤发展中国家对世界 经济发展的贡献非常小
5-3 变分法
不好分割 整体近似 总能做
变分原理
薛氏方程的变分表达
H (, Hˆ)
H (, ) 0
H E (, ) 1
选择定理
H i Ei i
E0 E1 E2 E3 ....
( i , j ) ij i i 1
The min imum of ( , Hˆ ) /( , ) is (1)E0 ,if can be any state; (2)E1,if can be any state that satisf ies condition ( , 0 ) 0;
起的中国。中国的崛起不会妨碍任何人，也不会威胁 任何人；中国的和平崛起有利于亚洲和世界。
（1）你认为中国扶贫成就取得的根本原因是什么？ （2）中国的“和平崛起”是由什么决定的？ （3）结合材料一运用所学知识谈谈对材料二的理解。
2003年3月20日，美国绕过安理会发动了 对伊拉克战争， 2003年5月1日美国总统布什 就宣布对伊战争取得胜利。
国家谴责和反对恐怖活动的态度表明 ( B )
A全世界人人都反对战争
B要和平是当今时代的主流
C世界和平的主流已发生改变
D当前国际形势总体上已趋向战争和动乱
2．2003年3月20日，美英等国绕开联合国对伊拉
克进行军事打击，伊拉克战争爆发。此举遭到世
界许多国家的谴责，纽约、华盛顿、伦敦等数以
百计的城市爆发了反战示威游行。这说明
①发展问A题是指世界经济的发展，特别是发展中
国家的经济发展问题；②世界经济总体在发展， 但整体的经济形势依然严峻；③全球发展的最突 出的问题是南北发展不均衡；④谋求社会的发展 和繁荣是人类永恒的课题；⑤发展中国家对世界 经济发展的贡献非常小
5-3 变分法
不好分割 整体近似 总能做
变分原理
薛氏方程的变分表达
H (, Hˆ)
H (, ) 0
H E (, ) 1
选择定理
H i Ei i
E0 E1 E2 E3 ....
( i , j ) ij i i 1
The min imum of ( , Hˆ ) /( , ) is (1)E0 ,if can be any state; (2)E1,if can be any state that satisf ies condition ( , 0 ) 0;
力学中的数学方法-变分法
y
图
4
此时质点的速度是
ds = 2gy dt
从 A滑到B所需的时间为
∫ ∫ ∫ T = tB dt
B
=
ds
B 1+y′2
=
dx
tA
A 2gy
A 2gy
B 1+y′2
T[ y(x)] = ∫A
dx 2gy
5
x 式中 y′ 代表对 求一阶导数． 我们称上述的 T 为
y(x) 的泛函，而称 y(x) 为可取的函数类，为泛函 T[ y(x)]
J[ y(x) + εη(x)] 取极值． 17
于是原来的泛函极值 问题，就化为一个求普通函数
Φ(ε ) 的极值问题．
由函数取极值的必要条件
dΦ
dε
|ε
=0
=
0
即有
∂J
∂ε
|ε =0 =
0
a) 泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式
∫ J[ y(x)] = b F (x, y, y′ )dx a
14
函数
微分：
Δz = f (x + Δx) − f (x)
变分：
泛函
δU = U[y(x) + δy(x)]−U[y(x)]
= A(x)Δx + ωΔx
当Δx→0时，ω →0，则 Δ z 可
用其线性主部表示其微分。即
= L[y(x)]δy + βmax δy L[y(x)] —— U 增量的线性主部
于求一条通过两点，长度固定为的曲线 y( x), 使面积
b
∫ S = y(x)dx 取极大值） a 25
其中 l, y0 , y1 为常数．此类问题可以仿照普通函数的
变分法简介剖析课件
变分法简介剖析课件
• 引言 • 变分法的基本概念 • 变分法的应用领域 • 变分法的实际案例解析 • 变分法的求解方法 • 变分法的未来展望
目录
Part
01
引言
主题介绍
什么是变分法
变分法是数学的一个重要分支，主要 研究函数的变分问题，即函数在某个 特定条件下的变化量。
变分法在数学中的地位
变分法的应用领域
近似解。
适用范围
适用于简单的问题，如一维问 题或某些特定形状的二维问题
。
优点
简单直观，易于理解。
缺点
对于复杂问题，可能需要大量 的计算资源和时间。
有限元素法
有限元素法
将变分问题转化为有限元方程组 ，通过求解该方程组得到近似解 。
缺点
计算量大，需要较高的计算资源 和时间。
适用范围
适用于各种形状和维度的复杂问 题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、 经济学等领域，如最小作用原理、弹 性力学、经济学中的最优控制问题等 。
变分法在数学中占有重要地位，是解 决优化问题、微分方程和积分方程等 问题的有力工具。
课程目标
掌握变分法的基本概念和原理
01
通过本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程的学习，学生应掌握变分法的基本概念和原理，了
解变分的计算方法和性质。
们可以求解出这些路径的具体形式和性质。
工程学
在工程学中，变分法被用于解决结构优化、控制工程、流体动力学等领域的问题。
在工程学中，变分法被广泛应用于结构优化、控制工程和流体动力学等领域。在结构优化中，变分法可以帮助我们找到最优 的结构设计，使得结构的性能达到最优。在控制工程中，变分法可以帮助我们找到最优的控制策略，使得系统的性能达到最 优。在流体动力学中，变分法可以帮助我们找到最优的流体流动路径，使得流体的流动效率达到最优。
• 引言 • 变分法的基本概念 • 变分法的应用领域 • 变分法的实际案例解析 • 变分法的求解方法 • 变分法的未来展望
目录
Part
01
引言
主题介绍
什么是变分法
变分法是数学的一个重要分支，主要 研究函数的变分问题，即函数在某个 特定条件下的变化量。
变分法在数学中的地位
变分法的应用领域
近似解。
适用范围
适用于简单的问题，如一维问 题或某些特定形状的二维问题
。
优点
简单直观，易于理解。
缺点
对于复杂问题，可能需要大量 的计算资源和时间。
有限元素法
有限元素法
将变分问题转化为有限元方程组 ，通过求解该方程组得到近似解 。
缺点
计算量大，需要较高的计算资源 和时间。
适用范围
适用于各种形状和维度的复杂问 题。
变分法广泛应用于物理学、工程学、 经济学等领域，如最小作用原理、弹 性力学、经济学中的最优控制问题等 。
变分法在数学中占有重要地位，是解 决优化问题、微分方程和积分方程等 问题的有力工具。
课程目标
掌握变分法的基本概念和原理
01
通过本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程的学习，学生应掌握变分法的基本概念和原理，了
解变分的计算方法和性质。
们可以求解出这些路径的具体形式和性质。
工程学
在工程学中，变分法被用于解决结构优化、控制工程、流体动力学等领域的问题。
在工程学中，变分法被广泛应用于结构优化、控制工程和流体动力学等领域。在结构优化中，变分法可以帮助我们找到最优 的结构设计，使得结构的性能达到最优。在控制工程中，变分法可以帮助我们找到最优的控制策略，使得系统的性能达到最 优。在流体动力学中，变分法可以帮助我们找到最优的流体流动路径，使得流体的流动效率达到最优。
第四章 变分法
max s.t.
T
0
U (c(t ))dt U [ F ( K (t )) K (t )]dt
0
T
K (0) K 0 , K (T ) 0
如果考虑到效用的时间效应以及资本的折 旧问题，得
max s.t.
T
0
e rtU [ F ( K (t )) K (t ) bK (t )]dt
时，有
J[x (t)] J[x * (t)]
则称泛函 J[x(t)] 在点 x*(t) 处是连续的。 其中，d(x,x*) 表示在两函数之间 x(t) 与 x*(t)两点间的距离：
d(x, x * ) max x(t) x * (t)
a t b
或
d(x, x * ) max{ x(t) x * (t) ， x * (t) } x(t)
a t b
• 距离定义不同，泛函的连续性也不同，相 应成为两阶连续或一阶连续。 • 线性泛函：连续泛函J[x(t)]如果满足下列 两个条件
(1) J[x1 (t)+x 2 (t)]=J[x1 (t)]+J[x 2 (t)] (2) J[cx(t)]=cJ[x(t)], c为任意常数
则称为线性泛函。
• 定理： 泛函J[x(t)]的变分
J= J[x(t) x(t)] | 0
证明：
例 ：试计算泛函
J x 2 (t)dt
0 1
的变分。
解： J = J[x(t) x(t)] | 0
=
1 0
1
0
[x(t) x(t)]2 dt | 0
y
X1
B
T
0
U (c(t ))dt U [ F ( K (t )) K (t )]dt
0
T
K (0) K 0 , K (T ) 0
如果考虑到效用的时间效应以及资本的折 旧问题，得
max s.t.
T
0
e rtU [ F ( K (t )) K (t ) bK (t )]dt
时，有
J[x (t)] J[x * (t)]
则称泛函 J[x(t)] 在点 x*(t) 处是连续的。 其中，d(x,x*) 表示在两函数之间 x(t) 与 x*(t)两点间的距离：
d(x, x * ) max x(t) x * (t)
a t b
或
d(x, x * ) max{ x(t) x * (t) ， x * (t) } x(t)
a t b
• 距离定义不同，泛函的连续性也不同，相 应成为两阶连续或一阶连续。 • 线性泛函：连续泛函J[x(t)]如果满足下列 两个条件
(1) J[x1 (t)+x 2 (t)]=J[x1 (t)]+J[x 2 (t)] (2) J[cx(t)]=cJ[x(t)], c为任意常数
则称为线性泛函。
• 定理： 泛函J[x(t)]的变分
J= J[x(t) x(t)] | 0
证明：
例 ：试计算泛函
J x 2 (t)dt
0 1
的变分。
解： J = J[x(t) x(t)] | 0
=
1 0
1
0
[x(t) x(t)]2 dt | 0
y
X1
B
变分法
变分法综述1.变分法1.1.变分法起源变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，主要是古典变分法，它理论完整，在力学、光学、物理学、摩擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制论等诸多方面有广泛应用。
20世纪中叶发展起来的有限元法，其数学基础之一就是变分法。
[1]变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。
譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。
变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。
有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A 到达不直接在它底下的一点B 。
在所有从A 到B 的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。
变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。
它对应于泛函的临界点。
在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。
它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。
变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。
变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。
它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。
而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。
最优控制的理论是变分法的一个推广。
[2]同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。
变分一词用于所有极值泛函问题。
微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。
极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau 问题。
1.2变分问题类型固定边界的变分问题，可动边界的变分问题，条件极值变分问题和参数形式的变分问题。
[3]（1）古典变分问题举例 例1：最速降线或捷线问题（Brachistorone or curve of Steepest descent ）问题。
这是历史上出的第一个变分法问题，1696年约翰·伯努利提出的。
王振发版-分析力学-课件-第4章-力学的变分原理
(4 - 1b)
变分的导数等于导数的变分；变分的积分等于积分 的变分.
（3）变分法 设泛函J 为定积分 J
t2 t1
, t )dt F ( q, q
现欲求通过两固定点 A (t1 , q1 ) 和 B (t 2 , q2 ) 的一条曲线 q q(t ) ， 如图 实线所示，这条曲线使泛函 J 具有极 值。 为表示通过A，B两固定点的与 q (t )
非常接近的一族函数，我们将这族
函数表示为依赖于参数 当 0 时， q ( , t ) q (t ) ，就是欲求的函数 q q (t ) 。
的函数 q( , t ) q(t ) (t ) ；
因
可为不同的值，因此泛函 J 也是 ( , t ), t ]dt J ( ) F [q( , t ), q
a (1 cos )d dx 2
积分后得 由
xA 0, y A 0
a x ( sin ) C 2
得
C0 。
于是最后得
a x ( sin ) 2 a y ( cos ) 2
这是以
为参数的旋轮线的曲线方程。其中
xB, y B
给定一个由任何对象组成的集合D，这里所说的任 何对象可以是数、数组、点、线、面，也可以是函数或 某系统的状态等。设集合D中的元素用 x 表示，如果对 于集合中的每一个元素 x 对应一个数 y，则称 y 是x的泛 函，记为 y=F (x).
有时泛函可以看做是函数，函数也可看做是泛数。
譬如，如果集合D中的元素是数 x ，则泛函y=F (x)可 视为函数 y=f (x) ； 如果集合D中的元素是数组（x1, x2, …xn），则泛函 y=F (x) 可视为函数 y=f (x1, x2…xn)。
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静态问题
max s.t.
max s.t.
F ( x) x0
F (t , xt ) xt 0 t 1, , T
动态问题
max s.t.
max s.t. max s.t.
F (t , x )
t 1 t
T
xt 0 t 1, , T
T
T
0
F (t , x(t ))dt
x(t ) 0 F (t , x(t ), x(t ))dt
S y ( x) y ( x) C1 [ x0 , x1 ] , y( x0 ) y0 , y( x1 ) y1
变分问题
最速下降问题的求解
1 y 1 F ( x, y, y y Fy ) 0, 或F y Fy C dx
泛函的变分 泛函 J[x(t)] 增量 △J[x(t)] 的线性主部称 为泛函的一阶变分，简称泛函变分，记 dJ 作 J ，则
J=
dx
|x* x
1 d 2J |x* ( x) 2 而泛函的二阶变分为： 2 J= 2 dx 2
也可以成为泛函的微分，泛函具有变分 时，称泛函是可微分的。
= 2x(t) x(t)dt
若x(t)=t 2 , 而 x(t) 0.1t, 则变分的值为
J= 0.2t 3 dt 0.05
0
1
例： 求 泛函 J= t F[t, x(t), x(t)]dt
0
t1
的变分。
解：
J= J[x x] | 0 =
• 定理： 泛函J[x(t)]的变分
J= J[x(t) x(t)] | 0
证明：
例 ：试计算泛函
J x 2 (t)dt
0 1
的变分。
解： J = J[x(t) x(t)] | 0
=
1 0
1
0
[x(t) x(t)]2 dt | 0
J= F[t, x(t), x(t)]dt
t0 T
J= [x(T),T]
取极小。
3、波尔扎（Bolza）问题 中求出函数x(t),使泛函
T t0
从容许函数
J= [x(T),T]+ F[t, x(t), x(t)]dt
取极小 这是一般形式，三类问题可以互相转化。
无约束条件的变分问题
t1
t0
F[t, x+ x, x+ x]dt
F[t, x, x] F[t, x, x] = [ x+ x]dt t0 x x
t1
其中，我们应用了自变量的变分的导数等于导数变分， d [ x] dx(t) 即： [ ] dt dt
泛函的极值 泛函极值的定义 如果泛函J[x(t)]在x=x*(t)的邻域内，其增 量 △J=J[x(t)-x*(t)] ≥0 或 △J=J[x(t)-x*(t)] ≤0 则称泛函J[x(t)]在x=x*(t)处有极小值或极大值。
J[x(t)]= F[t, x(t), x(t)]dt
t0 T
式中x(t)在t0 <t< tf上连续，二阶可微，试寻求 使J[x(t)]取极值且满足给定的边界条件 t= t0 x(t0)=x0 t= T x(T)= xT
的函数x*(t).
• 根据推导过程得到欧拉方程：
F d F ( ) x* ( ) x* 0 x dt x
• • • •
y
Xf
t0、T固定； 无约束条件； 拉格朗日问题 端点时间给定后，端点状态分成四种形式
y
B
Xf
B
X*(t)
X0
X0
A
A
0
t0
T
x
0
t0
T
x
y
Xf
B
y
Xf
B
X0
X0
A
A
0
t0
T
x
0
t0
T
x
第一类和第四类问题有代表性
三、欧拉方程（Euler）
现讨论一个固定端点时间，固定端点状态的无 约束条件的变分问题。设所考虑的泛函数：
第四章
变 分 法
一、动态最优化方法
• 优化问题是经济学研究的一个重要方面. • 微积分方法和数学规划的方法,但是都是 基于静态和比较静态的分析. • 而动态的最优化问题要求在一个时期内 寻求选择变量的最优时间路径.
动态最优化方法的历史发展 • 最早由John Bernoulli (1696)用于解决最 速降线问题时提出. • Euler和Lagrange发展了一般的数学理论. • 最丰富的应用在物理领域,运用Hamilton 原理的最小作用原理. • 经济应用开始于20世纪二三十年代,主要 代表有Roos,Evans,Hotelling和Ramsey. • 五六十年代主要研究经济增长问题.
• 定理 若可微泛函J[x(t)]在曲线x=x*(t)上达到极值 （极大值或极小值），则泛函J[x(t)]在 x=x*(t)上的变分为零，即
J[x* (t)]=0
变分学问题是研究泛函的极值问题。一般可 以只讨论极小值问题。
• 变分学中的三个基本问题： 1、拉格朗日（Lagrange）问题，从容许函 数中求出函数x(t),使泛函 取极小。 2、麦耶尔（Mayer）问题， 从容许函数中 求出函数x(t),使泛函
ds v 2 gy dt
2
1 y ds dt dx 2 gy 2 gy
物体从A到B的 滑行时间为
T [ y( x)]
x1
1 y 2 gy
2
x0
dx
问题
求解
2 x1 1 y min dx x0 2 gy s.t. y ( x) S
K (0) K 0 , K (T ) 0
泛函的概念
什么是泛函？
dx(t) J (x t )dt 0 dt
1 2
（1）、若x(t)=t,则
5 J (t t)dt 0 6
1 2
（2）、若
x(t) e t
1
，则
e2 J (e2t e t )dt 1 0 2
a t b
• 距离定义不同，泛函的连续性也不同，相 应成为两阶连续或一阶连续。 • 线性泛函：连续泛函J[x(t)]如果满足下列 两个条件
(1) J[x1 (t)+x 2 (t)]=J[x1 (t)]+J[x 2 (t)] (2) J[cx(t)]=cJ[x(t)], c为任意常数
则称为线性泛函。
• 函数是变量与变量之间的关系，泛函是变量 与函数之间的关系，因此，泛函可以理解为 “函数的函数”。 • 自变量x(t)在定义区间连续可微，或者是连 续分段可微函数。 容许函数类。 • 在经典控制中往往要求自变量是连续可微的。
J[x(t)] F[t, x(t), x(t)]dt
t0
T
动态最优化的各种处理方法
• 例：在x-t平面上，连接两点（1，1） 和（2，2），使弧长最短。
解：l=
2
1
1+x 2 dt
F= 1+x 2 F d F 0 x dt x 推导得： x =ax +b,x * t
几种特殊最简泛函的Euler方程 • F不依赖于x′,即F=F(t,x)，一般问题无解 • F不依赖于x，即F=F(t,x′)，得到的结果是 一簇曲线。 • F只依赖于x′,即F=F(x′)，极值曲线为直线 簇。 • F只依赖于x, x′,即F=F(x,x′)
0
x(t ) 0, x(0) x0
例子
• 假设一个工厂在时间T内的产量目标是B,在达到这 个产量是希望成本最小.假设x(t)表示在t时刻的产量 总数,因此x(0)=0,x(T)=B.因此工厂在t时刻的总成本 为: 2
c1 x(t ) x(t ) c2 x(t ) c1[ x(t )] c2 x(t )
时，有
J[x (t)] J[x * (t)]
则称泛函 J[x(t)] 在点 x*(t) 处是连续的。 其中，d(x,x*) 表示在两函数之间 x(t) 与 x*(t)两点间的距离：
d(x, x * ) max x(t) x * (t)
a t b
或
d(x, x * ) max{ x(t) x * (t) ， x * (t) } x(t)
F 2x x F d F 欧拉方程为： ( ) 2x 2x 0 x dt x 即： x 0, x 求得通解为：x(t )=c1 cos t c 2 sin t 根据边界条件：c1 0, c 2 1,故 x * (t) sin t
1 y y
2
y 2 ~ C1 2 y 1 y
y 1 y
2
C
1
y c1 sin2 t y' ctgt y 1 ctg t C 1 或 dy dy ctgt dx ctgt dx
2
C1 x C 2 2 2t s in 2t y C 1 1 cos 2t 2
其中任意常数 C1 , C2 由边界条件 y( x0 ) y0 , y( x1 ) y1 确定
四、Euler方程的推广
含多个函数的泛函
t2
t1
F (t , y, y ', z, z ')dt
max s.t.
T
0
U (c(t ))dt U [ F ( K (t )) K (t )]dt