1891-1-6特殊的平行四边形典型例题剖析-平行夹中点模型

合集下载

特殊平行四边形知识归纳和题型精讲

特殊平行四边形知识归纳和题型精讲（总7页）-本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可--内页可以根据需求调整合适字体及大小-特边形和常见题型精讲矩形菱形正方形的性质和判定总表形方正性质等相角对对角线毎对且组勿分平平直线相对互条角直形直形相是边是边线角四角四角个行个行对三平一平条有；是有；是两・•角•且角•且等ttr•形•一•条形形矩菱是是■■T一・矩形矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形或正方形）•矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质：（具有平行四边形的一切特征）性质1：矩形的四个角都是直角.性质2:矩形的对角线相等且互相平分. 如图，在矩形ABCD中，可以得到直角三角形的一个性质：：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.矩形的刿J定方法.方法仁对角钱相等的平行四边形是矩形.方法2：有三个角是直角的四边形是矩形.方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形.方法4：对角线相等且互相平分的四边形是矩形.例1已知：如图，矩形ABCD, AB长8 cm ,对角线比AD边长4 cm.求AD的长及点A 到BD的距离AE的长.例2已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点，DF丄AE于F,若AE二BC.求证：CE = EF.例3.如图，已知矩形。

中，F是肋上的一点，F是肋上的一点,EF1EQ且匪EC, QF4c叫矩形SBC。

的周长为32cm,求的长.例4、如图，力ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点 F.(1)求证：AB二CF；(2)当BC与AF满足什么数量关系时,二.菱形菱形的性质性质1菱形的四条边都相等；性质2菱形的对角线互相平分，且每条对角线平分一组对角；菱形的判定方法仁对角线互相垂直的平行四边形是菱形.方法2:四边都相等的四边形是菱形.EAD=2D点作OEA.A B,垂例1 已知：如图，四边形ABCD 是菱形，F 是AB 上一点，DF 交AC 于E. 求证：ZAFD=ZCBE.例2已知：如图OABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别交于E 、F.求证：四边形AFCE 是菱形.例3、如图，在 ABCD 口中，0是对角线AC 的中点，过点0作AC 的垂线与边AD 、BC 分别交于E 、F,求证：四边形AFCE 是菱形.匸例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M,若AB 二AE, Z 求证：AM 二BE 。

2023-2024学年八年级数学下册专题05 平行四边形六大模型(解析版)

专题05平行四边形六大模型模型一：中点四边形模型二：梯子模型模型三：十字架模型四：对角互补模型五：半角模型模型六：与正方形有关三垂线模型一：中点四边形中点四边形:依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形O。

结论1:点M、N、P、Q是任意四边形的中点，则四边形MNPQ是平行四边形结论2:对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形结论3：对角线相等的四边形的中点四边形是菱形结论4:对角线垂直且相等的四边形的中点四边形是正方形【典例1】（2024•长沙模拟）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，则四边形EFGH一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】A【解答】解：如图，连接AC，∵E、F、G、H分别是四边形ABCD边的中点，∴HG∥AC，HG＝AC，EF∥AC，EF＝AC；∴EF＝HG且EF∥HG；∴四边形EFGH是平行四边形．故选：A．【变式1-1】（2023•阳春市二模）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是菱形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（）A．互相平分B．互相平分且相等C．互相垂直D．相等【答案】D【解答】解：∵E，F，G，H分别是边AD，DC，CB，AB的中点，∴EH＝AC，EH∥AC，FG＝AC，FG∥AC，EF＝BD，∴EH∥FG，EF＝FG，∴四边形EFGH是平行四边形，假设AC＝BD，∵EH＝AC，EF＝BD，则EF＝EH，∴平行四边形EFGH是菱形，即只有具备AC＝BD即可推出四边形是菱形，故选：D．【变式1-2】（2023•铜川一模）如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（）A．AC⊥BD B．AB＝CD C．AB∥CD D．AC＝BD【答案】A【解答】解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，∴EF＝GH，EF∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形，当AC⊥BD时，EF⊥EH，则四边形EFGH为矩形，故选：A．【变式1-3】（2023春•宿豫区期中）顺次连接对角线相等且垂直的四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【答案】D【解答】解：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，∴EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，EF＝AC，FG＝BD，∴四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，AC＝BD，∴EF⊥FG，FE＝FG，∴四边形EFGH是正方形，故选：D．模型二：梯子模型如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上,当梯子底端滑动时,探究梯子上某点(如中点)或梯子构成图形上的点的轨迹模型(图2),就是所谓的梯子模型。

专题15 平行四边形的模型

（专题）平行四边形的模型模型一中点四边形模型通解1．如图所示，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．巧记1.任意四边形的中点四边形都是平行四边形．2.对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形．拓展类型图形结论四边形EFGH是矩形的中点四边形菱形四边形EFGH是菱形的中点四边形矩形四边形EFGH是正方形的中点四边形正方形例题12．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．梯形变式13．顺次连接一个四边形的各边中点得到一个正方形，则这个四边形可能是（）．A．梯形B．菱形C．矩形D．正方形变式24．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得的四边形是菱形，则下列结论中正确的是（）A．AB∥CD B．AB⊥BC C．AC⊥BD D．AC＝BD变式35．如图，在任意四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形MNPQ的形状，以下结论中，错误的是()A．当M，N，P，Q是各边中点，四边MNPQ一定为平行四边形B．当M，N，P，Q是各边中点，且∠ABC=90∘时，四边形MNPQ为正方形C．当M，N、P，Q是各边中点，且AC=BD时，四边形MNPQ为菱形D．当M，N、P、Q是各边中点，且AC⊥BD时，四边形MNPQ为矩形变式46．如图，在任意四边形ABCD中，AC，BD是对角线，E、F、G、H分别是线段BD、BC、AC、AD上的点，对于四边形EFGH的形状，某班的学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．当E，F，G，H是各条线段的中点时，四边形EFGH为平行四边形B．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H是各条线段的中点，且AB=CD时，四边形EFGH为菱形D．当E，F，G，H不是各条线段的中点时，四边形EFGH可以为平行四边形变式57．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（）A．EH=HG B．四边形EFGH是平行四边形C．AC⊥BD D．ΔABO的面积是ΔEFO的面积的2倍变式68．如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A．当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形模型二十字架模型模型通解9．正方形内部，MN⊥EF，求证MN=EF．巧记正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直．点拨无论怎么变，只要垂直，十字架就会相等．例题110．如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上．小明认为：若MN＝EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN＝EF，你认为()A．仅小明对B．仅小亮对C．两人都对D．两人都不对变式111．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F，若AB＝5，BE＝2，则AF＝____．变式212．如图，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AE⊥BF，垂足为G．（1）求证：AE＝BF；（2）若BE＝3，AG＝2，求正方形的边长．模型三梯子模型模型通解13．如图所示，线段AB的两端在坐标轴上滑动，∠ABC=90°，AB的中点为Q，连接OQ,QC，求证：O，Q，C 三点共线时，OC取得最大值．巧记梯子滑动求最值，要把梯子中点取，两条线段相加得结果．例题114．如图所示，一根长2.5米的木棍AB斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角O与木棍B端的距离为1.5米，设木棍的中点为P，若木棍A端沿墙不滑，则B端沿地面向右滑行．（1）木棍在滑动过程中，线段OP的长度发生改变了吗？请说明理由；若不变，求OP的长．（2）如果木棍的底端B向外滑出0.9米，那么木棍的顶端A沿墙下滑多少米？变式115．如图，∠MON=90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB=4，BC=2，则点D到点O的最大距离是（）A．22−2B．22+2C．25−2D．2+2变式216．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C在x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是_____．变式317．如图，平面直角坐标系中，将含30°的三角尺的直角顶点C落在第二象限．其斜边两端点A、B分别落在x 轴、y轴上且AB＝12cm（1）若OB＝6cm．①求点C的坐标；②若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值是多少cm．模型四对角互补模型模型通解18．已知：∠ABC=∠ADC=90°,AD=DC，求证：BC+AB=2BD．巧记对角互补，邻边相等的四边形是一个天然的旋转模型，旋转的角度为相等的边的夹角．条件中的关键信息是对角互补，而实际全等或者相似的证明常需要等角，所以想办法通过目标角的邻补角及同角的补角相等，转化成等量条件有兴趣的同学可以自己试着证明一下．拓展19．已知∠ABC=60°,∠ADC=120°,AB=BC，求证：AD+DC=BD，S=S△ABD+S△BCD=2．四边形ABCD例题120．如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向外作△ABD，使∠ADB=120°，再以点C为旋转中心把△CBD 旋转到△CAE，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②DC平分∠BDA；③∠E=∠BAC；④DC=DB+DA．其中正确的有（）．A．1个B．2个C．3个D．4个变式121．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”．（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是（请填序号）；（2）在“完美”四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，连接AC．①如图1，求证：AC平分∠BCD；小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分∠BCD：想法一：通过∠B+∠D=180°，可延长CB到E，使BE=CD，通过证明△AEB≌△ACD，从而可证AC平分∠BCD；想法二：通过AB=AD，可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△AEB，可证C,B,E三点在条直线上，从而可证AC平分∠BCD.请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分∠BCD；②如图2，当∠BAD=90°，用等式表示线段AC,BC,CD之间的数量关系，并证明.变式122．如图，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四边形ABCD的面积为43，则AC＝_____．谢谢观看试卷第11页，共11页。

平行四边形的性质与判定压轴题八种模型全攻略(解析版)

专题05平行四边形的性质与判定压轴题八种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一利用平行四边形的性质求解】 (1)【考点二利用平行四边形的性质证明】 (3)【考点三判断能否构成平行四边形】 (7)【考点四添一个条件成为平行四边形】 (10)【考点五证明四边形是平行四边形】 (12)【考点六平行四边形中的折叠问题】 (16)【考点七利用平行四边形的性质无刻度作图】 (18)【考点八利用平行四边形的性质与判定综合】 (21)【过关检测】 (27)【典型例题】【考点一利用平行四边形的性质求解】【答案】3【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边；熟练掌握平行四=边形的性质，得出AF AB根据平行四边形的对边平行且相等可得AD BC ∥，6DC AB ==，9AD BC ==；根据两直线平行，内错角相等可得AFB FBC ∠=∠；根据从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得ABF FBC ∠=∠；推得ABF AFB ∠=∠，根据等角对等边可得6AF AB ==，6DE DC ==，即可列出等式，求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，6DC AB ==，9AD BC ==，∵AD BC ∥，∴AFB FBC ∠=∠，∵BF 平分ABC ∠，∴ABF FBC ∠=∠，则ABF AFB ∠=∠，∴6AF AB ==，同理可证：6DE DC ==，∵2EF AF DE AD =+-=，即669EF +-=，解得：3EF =；故答案为：3．【变式训练】【答案】22【分析】本题考查平行四边形的性质以及三角形周长等知识，解题的关键是记住平行四边形的对角线互相平分．根据平行四边形对角线互相平分求出【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，【答案】16【分析】此题考查了平行四边形的性质及周长的计算，关键．根据题意，OM 垂直平分【考点二利用平行四边形的性质证明】例题：（2023下·广东广州·八年级校考期中）平行四边形ABCD 中，AE BF 、分别平分DAB ∠和ABC ∠交CD 于点E F AE BF 、，、交于点G ．(1)求证：AE BF ⊥；(2)判断DE 和CF 的大小关系，并说明理由【答案】(1)证明见解析(2)DE CF =，理由见解析【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型；（1）证明90BAE ABF ∠+∠=︒，即可推出90AGB ∠=︒即AE BF ⊥；（2）证明,DE AD CF BC ==，再利用平行四边形的性质AD BC =，即可解决问题；【详解】（1）证明：如图，∵在平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，180DAB ABC ∴∠+∠=︒，AE、BF 分别平分DAB ∠和ABC ∠，22DAB BAE，ABC ABF ∴∠=∠∠=∠，22180BAE ABF ∴∠+∠=︒，即90BAE ABF ∠+∠=︒，90AGB ∴∠=︒，AE BF ∴⊥；（2）解：结论：线段DF 与CE 是相等关系，即DF CE =，∵在平行四边形ABCD 中，CD AB ∥，DEA EAB ∴∠=∠，又AE 平分DAB ∠，DAE EAB ∴∠=∠，DEA DAE ∴∠=∠，DE AD ∴=，同理可得，CF BC =，又∵在平行四边形ABCD 中，AD BC =，DE CF ∴=．【变式训练】1．（2023上·福建厦门·九年级校联考阶段练习）如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长BC 到点E ，使得CE BC =，连接AE 交CD 于点F ．证明：AFD EFC △≌△．【答案】证明见解析【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的证明．由平行四边形的性质可得AD BC ∥，AD BC =，从而D FCE ∠=∠，AD CE =，又AFD EFC ∠=∠，通过“AAS ”证得ADF ECF ≌△△．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AD BC =，∴D FCE ∠=∠，∵AD BC =，CE BC =，∴AD CE =，∴在ADF △和ECF △中，D FCE AFD EFC AD EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ADF ECF △△≌．2．（2023下·广东佛山·八年级校联考期末）如图，在平行四边形ABCD 中，2AB BC =，点E 为AB 的中点，连接CE 并延长与DA 的延长线相交于点F ．(1)求证：AEF BEC ≌△△；(2)求证：DE 是CDF ∠的平分线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据四边形ABCD 是平行四边形，连接CE 并延长与DA 的延长线相交于点F 得CB DF ∥，则BCE AFE ∠=∠，根据点E 为AB 的中点得AE BE =，利用AAS 即可证明；（2）根据四边形ABCD 是平行四边形得AB CD ∥，可得AED CDE ∠=∠，根据2AB BC =，点E 为AB 的中点，得AE AD =，则AED ADE ∠=∠，等量代换得CDE ADE ∠=∠，即可得．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，连接CE 并延长与DA 的延长线相交于点F ，∴CB DF ∥，∴BCE AFE ∠=∠，∵点E 为AB 的中点，∴AE BE =，在AEF △和BEC 中，AFE BCE AEF BEC AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AEF BEC AAS ≌；（2）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，∴AED CDE ∠=∠，∵2AB BC =，点E 为AB 的中点，∴AE AD =，∴AED ADE ∠=∠，∴CDE ADE ∠=∠，∴DE 是CDF ∠的平分线．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．3．（2023上·北京海淀·九年级统考期中）如图，ABCD Y 的对角线,AC BD 交于点,O EF 过点O 且分别与,AD BC 交于点,E F ．△≌△(1)求证：AOE COF(2)记四边形ABFE的面积为【答案】(1)证明见解析【考点三判断能否构成平行四边形】例题：（2023下·北京海淀·八年级北京市十一学校校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，下列条件中不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A ．OA OC =，OB OD=B ．AB CD ∥，AD CB ∥C ．AB CD =，AD CB=D ．AB CD ∥，AD CB=【答案】D 【分析】由平行四边形的判定定理对边对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、∵OA OC =，OB OD =，∴四边形ABCD 是平行四边形，故选项A 不符合题意；B 、∵AB CD ∥，AD CB ∥，∴四边形ABCD 是平行四边形，故选项B 不符合题意；C 、∵AB CD =，AD CB =，∴四边形ABCD 是平行四边形，故选项C 不符合题意；D 、由AB CD ∥，AD CB =，不能判定四边形ABCD 是平行四边形，故选项D 符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·江西赣州·八年级校联考期末）如图，在ABCD Y 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上．下列条件中，不能．．得出四边形AECF 一定为平行四边形的是（）A ．AF CE=B ．AE CF =C ．AE CF ∥D ．BAE DCF∠=∠【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定方法逐项判断即可．【详解】A 、∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，即AF CE ∥．又AF CE =，∴四边形AECF 为平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形为平行四边形）该选项不符合题意．B 、无法证明四边形AECF 为平行四边形，该选项符合题意．C 、∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，即AF CE ∥．又AE CF ∥，∴四边形AECF 为平行四边形．（两组对边分别平行的四边形为平行四边形）该选项不符合题意．D 、∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BAD BCD ∠=∠，B D ∠=∠．又BAE DCF ∠=∠，EAF BAD BAE ∠=∠-∠，FCE BCD DCF ∠=∠-∠，∴EAF FCE Ð=Ð．∵AEC B BAE ∠=∠+∠，AFC D DCF ∠=∠+∠，∴AEC AFC ∠=∠．∴四边形AECF 为平行四边形．（两组对角分别相等的四边形为平行四边形）该选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质和判定，牢记平行四边形的判定方法是解题的关键．2．（2023下·安徽合肥·八年级校考期末）如图，AD BC ∥，AD BC =，E 、F 是线段BD 上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF 是平行四边形的是（）A ．BE DF=B ．AEB DFC =∠∠C ．AF FE=D ．AE BD ⊥，CF BD⊥【答案】C 【分析】连接AB 、CD 、AC 交BD 于点O ，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA OC =，OB OD =，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE OF =即可，然后根据各选项的条件分析判断结合平行四边形的判定即可得解．【详解】解：连接AB ，CD ，，AD BCAD BC=，∴四边形ABCD是平行四边形，连接AC交BD于O，∴=，BO ODAO OC=，=，BE DF∴=，OE OF∴四边形AECF是平行四边形，故A不符合题意；，∠=∠AEB CFD\Ð=Ð，AEO CFO∴∥，AE CF，AO OC∠=∠AOE COF=，≌，∴∆∆(AAS)AOE COF∴=，AE CF∴四边形AECF是平行四边形，故B不符合题意；=，故无法判定四边形AECF是平行四边形，故C符合题意；AF FE⊥，，CF BD⊥AE BD∴∠=∠，AEB CFD以下的证明与B相同，故D选项不符合题意；故答案为：C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．【考点四添一个条件成为平行四边形】【答案】BE DF =或BF DE =或BAE DCF ∠=∠．【分析】用反推法，假如四边形是平行四边形，会推出什么结果，这结果就是要添加的条件．【详解】解：使四边形AECF 是平行四边形．就要使AE CF ，AE CF =，就要使AEB CFD ≅△△，而在平行四边形中已有AB CD =，ABE CDF ∠=∠，再加一个BE DF =或BF DE =可用SAS 证AEB CFD ≅△△，或BAE DCF ∠=∠用ASA 证AEB CFD ≅△△．故答案为：BE DF =或BF DE =或BAE DCF ∠=∠．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，本题是开放题，答案不唯一，可以针对各种特殊的平行四边形的判定方法，给出条件，本题主要是通过给出证明AEB CFD ≅△△的条件来得到AE CF ，AE CF =，根据四边形中一组对边平行且相等就可证明为是平行四边形．【变式训练】【答案】AD BC=【分析】在DEBF 中可得ED BF ∥行四边形．【详解】解：添加条件AD BC =，【答案】2或3【分析】根据平行四边形的判定可知，分两种情况：可得．【考点五证明四边形是平行四边形】Y的对角线AC，BD相交于点O，例题：（2023上·山东东营·八年级校考阶段练习）已知：如图，ABCDBM AC ⊥，DN AC ⊥，垂足分别为M ，N ．求证：四边形BMDN 是平行四边形．【答案】见解析【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，首先根据平行四边形的性质得到AB CD =，BAM DCN ∠=∠，然后证明出()AAS ABM CDN △△≌，得到MB DN =，然后证明出MB DN ∥，即可证明四边形BMDN 是平行四边形．熟悉相关性质是解题的关键．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形∴AB CD =，BAM DCN∠=∠∵BM AC ⊥，DN AC⊥∴90AMB CND ∠=∠=︒∴()AAS ABM CDN △△≌∴MB DN=∵BM AC ⊥，DN AC⊥∴90OMB OND ∠=∠=︒∴MB DN∥∴四边形BMDN 是平行四边形．【变式训练】1．（2023下·天津·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD 中，点G H ，分别是AB CD ，的中点，点E F 、在对角线AC 上，且AE CF =．(1)求证：AGE CHF ≌△△；(1)求证：四边形CEDF 是平行四边形；(2)若6AB =，8AD =，A ∠=【答案】(1)见解析(2)27由（1）得：四边形CEDF 是平行四边形，CE DF ∴=，四边形ABCD 是平行四边形，60BCD A ∴∠=∠=︒，CD =【考点六平行四边形中的折叠问题】【答案】40︒/40度【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质．根据平行四边形和折叠的性质，得到而求出MFA∠的度数，利用三角形的内角和定理，进行求解即可．【详解】解：∵平行四边形∥，∴CD AB故答案为：40︒．【变式训练】【答案】110︒/110度【分析】根据平行四边形的性质和外角定义证明折可得240EDB ∠=∠=︒，然后利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：设BE ，DC 交于点∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，∴ABD CDB ∠=∠，由翻折可知：ABD EBD ∠=∠，∴EBD CDB ∠=∠，E A ∠=∠，【答案】30︒/30度【分析】由平行四边形的性质得∠=由三角形外角性质求出AEF【详解】解：四边形ABCD是平行四边形，【考点七利用平行四边形的性质无刻度作图】例题：（2023上·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，只用无刻度的直尺按下列要求画图．（不写画法）(1)在图1中，点E 是BC 的中点，作边AD 上的中点F ；(2)在图2中，ABC ∠的平分线交AD 于点F ，在边BC 上的找点P ，使得连接DP 后，DP 平分ADC ∠．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】本题主要考查利用平行四边形性质作图，（1）利用平行四边形对角线相互平分的性质，即可确定EO AB ∥，且点E 为中点，即可求得点F 也为中点；（2）利用平行四边形对角线相互平分的性质，可判定四边形FBPD 为平行四边形，结合BF 平分ABC ∠，则DP 即为所求．【详解】（1）解：连接AC 和BD 交于点O ，连接EO ，延长EO 交AD 于点F ，如图，（2）连接AC 和BD 交于点O ，连接FO ，延长FO 交BC 于点P ，如图，【变式训练】1．（2023下·江西吉安·八年级统考期末）例在ABCD Y 中，点E 为AB 上一点，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法，题目要求画的线画实线，其他的线画虚线）(1)如图1，E 为AB 边上一点，AE AD =，画出∠D 的角平分线；(2)如图2，E 为AB 边上一点，AE AD =，画出∠B 的角平分线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）连接DE ，由AE AD =得AED ADE ∠=∠，结合平行线的性质可得AED CDE ∠=∠，进而可得DE 平分ADC ∠，即DE 即为所求；（2）连接AC BD ，交于点O ，连接EO 并延长交CD 点F ，连接BF ，BF 为所求．【详解】（1）解：如图：DE 即为所求．（2）解：如图：BF 即为所求．【点睛】本题考查作图一复杂作图、平行四边形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．2．（2023上·湖北黄石·九年级统考期中）如图是由小正方形组成的86⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点．四边形ABCD 的四个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺．．．．．．．．在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）．(1)判断四边形ABCD 的形状；(2)在图1中，在CD 上画点E ，使=45ABE ∠︒；(3)在图2中的CD 上画点G ，使CG AD =．【答案】(1)平行四边形(2)见解析（3）解：如图2，点G即为所求；【考点八利用平行四边形的性质与判定综合】Y对角线AC上的两点．例题：（2023下·广东深圳·八年级校考期末）已知：如图，E、F是ABCD(1)若AE CF =，求证：四边形BFDE 是平行四边形；(2)若DE AC ⊥，BF AC ⊥，垂足分别为E 、F ，35EDF ∠=︒，求FBE ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)35︒【分析】（1）连接BD 交AC 于O ，根据ABCD Y ，得OB OD =，OA OC =，继可证得OE OF =，即可由平行四边形的判定定理得出结论．（2）先由DE AC ⊥，BF AC ⊥，得出90AED BFC ∠=∠=︒，DE BF ∥，再证()AAS ADE CBF ≌△△，得DE BF =，从而证得四边形BFDE 是平行四边形，即可根据平行四边形的性质得35FBE EDF ∠=∠=︒．【详解】（1）证明：连接BD 交AC 于O ，∵ABCD Y ，∴OB OD =，OA OC =，∵AE CF =，∴AE OA CF OC -=-，即OE OF =，∴四边形BFDE 是平行四边形．（2）解：∵DE AC ⊥，BF AC ⊥，∴90AED BFC ∠=∠=︒，DE BF ∥，∵ABCD Y ，∴AD BC =，AD BC ∥，∴DAE BCF ∠=∠，在ADE V 和CBF V 中，DAE BCF AED BFC AD BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ADE CBF ≌△△，∴DE BF =，∴四边形BFDE 是平行四边形∴35FBE EDF ∠=∠=︒．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·吉林长春·八年级校考期中）如图，ABCD Y 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且BE DF =，连接EF 交BD 于O ．(1)连接BF 、DE ，判断四边形DEBF 的形状并说明理由．(2)若6AE =，2BE =，BOF 的面积为2，求ABCD Y 的面积．(3)若BD AD ⊥，45A ∠=︒，EF AB ⊥，延长EF 交AD 的延长线于G ，当1FG =时，则AB 的长为______．【答案】(1)四边形DEBF 是平行四边形，理由见解析；(2)16；(3)4；【分析】（1）分别证明DF EB ∥，BE DF =，即可；（2）利用平行四边形的性质，由BOF 的面积为2，得到4EFB S = ，再利用三角形同底等高的性质，得到EDB △的面积，再求出8ADB S = ，则可知ABCD Y 的面积为216ADB S = ；（3）由ADB 是等腰直角三角形，得出45A ∠=︒，因为EF AB ⊥，得出45G ∠=︒，所以ODG 与DFG 都是等腰直角三角形，从而依次求得GF 、GE 、AE 的长，则AB 可求；【详解】（1）解：四边形DEBF 是平行四边形；(1)如图①，求证：四边形ABCD 是平行四边形；(2)如图②，BE 平分ABC ∠，交AD 于点E ．若30α=︒，2AB =(3)如图③，平分ABC ∠，交AD 于点E ，作AH CD ⊥交射线DC 图①图②综上所述，线段AF ，DE ，CH 之间的数量关系为DE CH AF +=或DE CH AF-=【过关检测】一、单选题1．（2023上·吉林长春·八年级校联考期末）在ABCD Y 中，80A C ∠+∠=︒，则D ∠的度数为（）A ．140︒B ．40︒C ．70︒D ．80︒【答案】A【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补是解题的关键．由平行四边形的性质得,A C AB CD ∠=∠∥，则180A D ∠+∠=︒，再求出40A ∠=︒，即可解决问题．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,A C AB CD ∠=∠∥，180,A D ∴∠+∠=︒80,A C ∠+∠=︒Q 40,A C \Ð=Ð=°180140,D A ∴∠=︒-∠=︒故选：A ．2．（2023下·全国·八年级假期作业）有下列说法：①平行四边形的两组对边分别平行且相等；②平行四边形的对角线互相平分；③平行四边形的对角相等、邻角互补；④平行四边形的对角线相等．其中正确的说法有（）A ．4个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】略3．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）如图，点P 是ABCD Y 内的一点，过点P 作直线EF 、GH 分别平行于AB 、BC ，与ABCD Y 的边分别交于G 、F 、H 、E ．则图中平行四边形的个数为（）A ．4个B ．5个C ．8个D ．9个【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，进行判断即可．【详解】解：∵ABCD Y ，∴,∥∥AD BC AB CD ，∵过点P 作直线EF 、GH 分别平行于AB 、BC ，∴,EF AB CD GH AD BC ∥∥∥∥，∴四边形,,,,,,,AGPE ABFE AGHD GBCH EPHD PFCH EFCD GBFP 均为平行四边形，∴加上ABCD Y 共9个；故选D ．4．（2023上·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，点E 是ABCD Y 边AD 延长线上一点，连接BE 、CE 、BD ，BE 与CD 交于点F ．添加以下条件，不能判定四边形BCED 为平行四边形的是（）A ．DE DA=B ．ABD DCE ∠=∠C ．DEB BCD ∠=∠D ．EF FB=【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，理解并掌握平行四边形的判定定理是解题关键．首先根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，CD AB ∥，AD BC =，CD AB =，若DE DA =，由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，即可判断选项A ；若ABD DCE ∠=∠，易得DCE CDB ∠=∠，即可证明BD CE ∥，由“两组对边分别平行的四边形为平行四边形”即可判断选项B ；若EF FB =，证明DEF CBF ≌△△，由全等三角形的性质可得DE CB =，由“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”，即可判断选项D ；由DEB BCD ∠=∠不能证明四边形BCED 为平行四边形，即可判断选项C ．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AD BC ∥，CD AB ∥，AD BC =，CD AB =，即DE BC ∥，若DE DA =，则有DE BC =，∴四边形BCED 为平行四边形，故选项A 不符合题意；∵CD AB ∥，∴ABD CDB ∠=∠，若ABD DCE ∠=∠，则有DCE CDB ∠=∠，∴BD CE ∥，又∵DE BC ∥，∴四边形BCED 为平行四边形，故选项B 不符合题意；∵DE BC ∥，∴DEF CBF ∠=∠，若EF FB =，则在DEF 和CBF V 中，DEF CBF EF FB DFE CFB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)DEF CBF ≌，∴DE CB =，又∵DE BC∥∴四边形BCED 为平行四边形，故选项D 不符合题意；由DEB BCD ∠=∠不能证明四边形BCED 为平行四边形，选项C 符合题意．故选：C ．5．（2023下·浙江·八年级校联考期中）如图，E ，F 分别是平行四边形ABCD 的边AB ，CD 上的点，AF 与A ．a b+B ．12c a b --【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形12DEC S DC EM =⋅ ，ABCD S DC EM c =⋅= ，12DEC S c ∴= ，四边形ABCD 是平行四边形，二、填空题【答案】24︒【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出形两个锐角角互余即可求得答案．【答案】213【分析】本题主要考查平行四边形的性质及勾股定理的运用，长度，则BD即可求解，解答本题的关键在于表示出所需边长．【详解】解：∵四边形ABCD【答案】40【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定是解题的关键．【答案】40°/40度【分析】根据平行四边形的性质可得∠=∠，然后由四边形内角和定理即可解决问题．EFD EFN【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∥，∴AB CDAD BC，∴∠=∠，DAM AMB，DAM BAM ∠=∠∴∠=∠，BAM AMB同理可证，AE EM=，可得1()2EF AD CM=-=综上所述，EF的长为故答案为：5或2．三、解答题(1)求证：CE AB=(2)连接CF，若CF DE⊥【答案】(1)见解析（2）解：过点D作DH⊥=，∵E∠=60°，CD CE是等边三角形，∴CDE∥，∵CD AB(1)求证：四边形ADFE 是平行四边形；(2)若25BD AE ==，，直接写出【答案】(1)见解析(2)13【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理(1)在BC 上取点M ，使四边形ABME 为平行四边形；(2)在CD 的延长线上取一点F ，使四边形BDFA 为平行四边形．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】（1）连接AC ，交BD 于点O ，连接EO 并延长交为平行四边形，则AE BM ∥，又因为E 为AD 的中点，以四边形ABME 为平行四边形；（2）连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，连接AF ，则点则FC AB ∥，所以ABE DFE ∠=∠，又因为E 为AD 的中点，所以()AAS ABE DFE ≌△△，即AB DF =，所以四边形BDFA 【详解】（1）解：点M 即为所求：（2）解：如图，点F 即为所求：【点睛】本题考查作图-复杂作图、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关．14．（2023下·陕西渭南·八年级统考期末）如图，在ABCD Y 中，点E 是CD 延长线上的一点，连接AE ，EAD DBC ∠=∠，BE 交AD 于点F ．(1)求证：四边形ABDE 为平行四边形；(2)若4BAD EAD ∠=∠，50BDC ∠=︒，求C ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)104度【分析】（1）平行四边形的性质，得到AD BC ∥，AB CD ，进而得到ADB DBC ∠=∠，推出EAD ADB ∠=∠，得到AE BD ，即可得证；（2）邻补角求出BDE ∠，平行四边形的性质，得到BAE BDE ∠=∠，结合4BAD EAD ∠=∠，求出EAD ∠，进而得到DBC ∠的度数，再利用外角的性质，求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AB CD ，(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)若AB BF ⊥，8AB =，6BF =，AC 【答案】(1)证明见解析(2)192516．（2023上·辽宁沈阳·九年级东北育才双语学校校考阶段练习）将ED绕点E逆时针旋转90︒得到EF(1)当点E 在线段BC 上，=45ABC ∠︒时，如图①，求证：BEF AED ≌△△：(2)当点E 在线段BC 延长线上，=45ABC ∠︒时，如图②；当点E 在线段CB 延长线上，ABC ∠如图③，请猜想并直接写出线段AE ，EC ，BF 的数量关系；(3)在（1）、（2）的条件下，若3BE =，5DE =，则CE =______．【答案】(1)见解析∴()SAS BEF AED ≌；（2）解：当=45ABC ∠︒时，如图②：∵AE BC ⊥，=45ABC ∠︒，∴45BAE ∠=︒，90AEB ∠=︒，∴AE BE =，90BEF AEF ∠+∠=︒，∵ED 绕点E 逆时针旋转90︒得到EF ，∴,90DE EF DEF =∠=︒，∴90AEF AED ∠+∠=︒，∴AED BEF ∠=∠，在BEF △和AED △中，AE BE AED BEF DE EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BEF AED ≌；∴BF AD =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC AD =，∴BF BC =，∵BE BC EC =+，∴AE BF EC =+；当135ABC ∠=︒时，如图③：∵135ABC ∠=︒，∴=45ABE ∠︒，∵AE BC ⊥，∴45BAE ∠=︒，90AEB ∠=︒，∴AE BE =，90BED AED ∠+∠=︒，∵ED 绕点E 逆时针旋转90︒得到EF ，∴,90DE EF DEF =∠=︒，∴90BED BEF ∠+∠=︒，【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形的全等的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法，证明BEF AED ≌△△，以及掌握全等三角形对应边相等，平行四边形对边相等．。

特殊的平行四边形中的最值模型-瓜豆模型(原理)(解析版)

特殊的平行四边形中的最值模型-瓜豆模型(原理)动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要题型，学生受解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。

掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。

本专题就最值模型中的瓜豆原理(动点轨迹为直线型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型解读】瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。

动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，本专题受教学进程影响，故只对瓜豆原理中的直线型轨迹作讲解。

主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。

古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。

模型：运动轨迹为直线型1)如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．2)如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。

理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。

【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

1)当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；2)当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线；②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。

专题01 特殊平行四边形的三种几何变换问题(原卷版)-2024年常考压轴题攻略(9年级上册人教版)

专题01特殊平行四边形的三种几何变换问题类型一、翻折问题①当点P与点A重合时，∠②当点E在AB上，点F在AP=时的菱形EPFD当7深入探究（2）若点P落在矩形ABCD写出AP的最小值．拓展延伸（3）若点F与点C重合，点不同的折叠位置中，是否存在某一情况，使得线段例2．（与函数结合）如图B ，C 分别位于x 轴，y 轴上．若(1)求点A 的坐标；(2)取AC 中点M ，连接MO ，CMO △与NMO △关于MO 所在直线对称，连接交x 轴于点P ．①求AP 的长；②如图2，点D 位于线段AC 上，且16CD =．点E 为平面内一动点，满足PE ．请你求出线段PE 长度的最大值．(1)操作判断操作一：对折正方形纸片，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在BE上选一点H，沿CH折叠，使点B落在EF上的点G处，得到折痕CH，把纸片展平；的度数：______；根据以上操作，直接写出图1中CHB(2)拓展应用小华在以上操作的基础上，继续探究，延长HG交AD于点M，连接CM交EF于点N（如图的形状，并说明理由；2）．判断MGN(3)迁移探究V沿CH翻如图3，已知正方形ABCD的边长为6cm，当点H是边AB的三等分点时，把BCH △，延长HG交AD于点M，请直接写出AM的长．折得GCH【变式训练3】综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，连接AM ；操作二：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在矩形内部点M 处，把纸片展平，连接PM BM ，．根据以上操作，请判断图1中ABM 是什么特殊三角形？答：＿＿＿＿．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD 按照（1）中的方式操作，并延长PM 交CD 于点Q ，连接BQ ．①如图2，当点M 在EF 上时，MBQ ∠=______︒，CBQ ∠=______︒；②改变点P 在AD 上的位置（点P 不与点A ，D 重合），如图3，判断MBQ ∠与CBQ ∠的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD 的边长为8cm ，当1cm FQ =时，直接写出AP 的长．类型二、旋转问题例1．（线段旋转）把两个全等的矩形ABCD 和矩形CEFG 拼成如图1的图案，则ACF ∠=______︒；【迁移应用】如图2，在正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点（不与点C ，D 重合），连接BE ，将BE 绕点E 顺时针旋转90︒至FE ，作射线FD 交BC 的延长线于点G ，求证：CG BC =；【拓展延伸】在菱形ABCD 中，120A ∠=︒，E 是CD 边上一点（不与点C ，D 重合），连接BE ，将BE 绕点E 顺时针旋转120︒至FE ，作射线FD 交BC 的延长线于点G ．①线段CG 与BC 的数量关系是_____________________．②若6AB =，E 是CD 的三等分点，则CEG 的面积为____________________．例2．（图形旋转）（1）如图1，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点O 又是正方形111A B C O 的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形OEBF 为两个正方形重叠部分．正方形111A B C O 可绕点O 转动．则下列结论正确的是________________（填序号即可）．类型三、平移问题=，例1．（线段的平移）已知正方形ABCD，点E，F分别在射线BC，射线CD上，BE CF AE与BF交于点H．(2)如图2，连接DE，过为GD中点，连接AH(3)如图3，连接BD，把△请直接写出平移过程中A'【变式训练1】（1）如图1，正方形一个顶点，而且这两个正方形的边长都为A B C O可绕点O转动．则下列结论正确的是111①AEO BFO=△≌△；②OE OF（1）求AF 和BE 的长；（2）若将ABF △沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度)．当点F 分别平移到线段AB AD 、上时，直接写出相应的m 的值．（3）如图②，将ABF △绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ︒<<︒，记旋转中ABF △为''A BF V ，在旋转过程中，设''A F 所在的直线与直线AD 交于点P ，与直线BD 交于点Q ．是否存在这样的P Q 、两点，使DPQ V 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由．课后训练(1)操作判断如图1，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点E 在AC 上（且不与点C 重合）在ABC 的外部作CED △，使90CED ∠=︒，ED EC =，连接AD ，过点B 作BF 过点D 作DF AB ，BF 交DF 于点F ，连接AF ．根据以上操作，判断：四边形ABFD 的形状是；三角形AEF △的形状是(2)迁移探究明明同学所在的“认真•坚持”学习小组“异想天开”，将CED △绕点C 逆时针旋转，如图2，当点E 落在线段BC 上时，请你：①求证：四边形ABFD 的是矩形；2.已知，四边形ABCD 是正方形，DEF 绕点D 旋转（DE AB <），90EDF ∠=︒，DE DF =，连接,AE CF ．(1)如图1，求证：ADE CDF V V ≌；(2)直线AE 与CF 相交于点G ．①如图2，BM AG ⊥于点M ，⊥BN CF 于点N ，在DEF 旋转的过程中，MBN ∠的大小是否发生变化，请说明理由．②如图3，连接BG ，若4AB =，3DE =，直接写出在DEF 旋转的过程中，线段BG 长度的最小值．3．【发现与证明】把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现其中有许多结论：ABCD Y 中，AB BC ≠，将△ABC 沿AC 翻折至AB C 'V ，AD 与B C '交于E ，连接B D '，不难发现新图形中有两个等腰三角形．。

部编数学八年级下册专题06特殊平行四边形的两种考法全攻略(解析版)含答案

专题06 特殊平行四边形的两种考法全攻略类型一、最值问题例1．（将军饮马）如图，在菱形ABCD 中，120ABC Ð=°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB PE +PE 的最小值为（）A ．2B C ．1D ．0.5由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、∴1602ABD ABC Ð=Ð=°，PE PB PE +=即DE 就是PB PE +的最小值，例2．（中点模型）如图，矩形,2,4ABCD AB BC ==，点A 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上，当点A 在x 轴上运动时，点D 也随之在y 轴上运动，在这个运动过程中，点C 到原点O 的最大距离为（）A ．2B ．2C 1D ．【答案】A 【详解】如图，取AD 的中点H ，连接CH ，OH ，Q 矩形ABCD ，2AB =，4BC =，2CD AB \==，4AD BC ==，例3．（截补模型）如图，在Rt ABC △中，90C =o ∠，2AC BC ==，点D 、E 分别是边BC 、AC 上的动点．且BD CE =，连接AD 、BE ，则AD BE +的最小值为______．∵90ACB Ð=°，AC =∴90FBD ACB Ð=Ð=∵BD CE =，∴(SAS BDF CEB ≌△△AC=，以BC为对角线作正方形BDCE，连例4．（瓜豆模型）如图，平面内三点A，B，C，4AB=，3接AD，则AD的最大值是______．【变式训练1】如图，矩形ABCD 中，84AB AD ==，，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是___________．当点F 与点C 重合时，点P 在1P 当点F 与点E 重合时，点P 在2P ∴PP EC ∥且1PP CE =．【变式训练2】如图，已知线段12AB =，点C 在线段AB 上，且ACD V 是边长为4的等边三角形，以CD 为边的右侧作矩形CDEF ，连接DF ，点M 是DF 的中点，连接MB ，则线段MB 的最小值为_______________．【答案】6【详解】∵ACD V 为等边三角形，∴AC AD =，60DAC Ð=°，∵四边形DCFE 是矩形，点M 是DF 的中点，∴DM ＝CM ，【变式训练3】如图，在正方形ABCD 中，边长2AB =，点Q 是边CD 的中点，点P 是线段AC 上的动点，则DP PQ +的最小值为 _____．【变式训练4】如图，在菱形ABCD 中，10AB =，16AC =，点M ，N 在AC 上，且2MN =，连接BM ，DN ，则BM DN +的最小值为 ______【变式训练5】如图，在Rt ABC △中，90BAC Ð=°，且3BA =，4AC =，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM AB ^于点M ，DN AC ^于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为_____．类型二、动点问题例1．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，以A为原点，AB、AD所在直线为x轴、y轴，建立平－向点D运动，面直角坐标系．正方形ABCD的边长是方程28160-+=的根．点P从点B出发，沿BC CDx x-向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个同时点Q从点E出发，沿EB BC△的面积为单位长度．当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，AQPS．(1)求点C的坐标；(2)求S关于t的函数关系式；△是以AP为底边的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．(3)当AQP由题意得：EQ t =，2BP t =，∴2AQ AE EQ t =+=+，2BQ t =-，2222222(2)44,(2)(2)AQ t t t PQ BP t t \=+=+++=-+2544t t =-+当AQ PQ =时，22AQ PQ =，∴2244544t t t t ++=-+，解得0=t (舍去)或2，∴4BP =，∴当0t 2££，AQP △是以AP 为底边的等腰三角形时，()44P ，；②24t <£时，如图：由题意得：EB BQ t +=，2BC CP t +=，∴2BQ t BE t =-=-，6CQ BC BE t t =+-=-，224CP t BC t =-=-，282PD BC CD t t =+-=-，22224(2)AQ AB BQ t \=+=+-2420t t =-+2222(6)PQ CQ CP t =+=-22(24)52852t t t +-=-+当AQ PQ =时，22AQ PQ =，∴2242052852t t t t -+=-+，解得2t =(舍去)或4，∴0DP =，∴()04P ，；∴当24t <£，AQP △是以AP 为底边的等腰三角形时，()04P ，，综上所述，当AQP △是以AP 为底边的等腰三角形时，点P 的坐标为()44，或()04，例2.如图，在长方形ABCD 中，4AB =，3BC =，点E 为AD 延长线上一点，且6AE =，点P 从点A 出发，沿A —B —C —D 向终点D 运动．同时点Q 从点B 出发，沿B —C —D —E 向终点E 运动，它们的速度均为每秒1个单位长度．设APQ △的面积为S ，点P 运动的时间为t 秒．(1)当2t =时，S = ；当72t =时，S = ．(2)当07t <£时，用含t 的代数式表示S ．直接写出结果并化简．(3)当点P 在CD 边上，且APQ △为等腰三角形时，直接写出t 的取值或者范围．【变式训练1】如图，在ABCD Y 中，ABC Ð为锐角，5AB =，9BC =，36ABCD S =Y ．动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿A B C D A ®®®®运动．同时，动点Q 从点A 出发，以每秒3个单位的速度沿A D C B A ®®®®运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．(1)点P 在BC 上运动时，CP =_____________；点P 在CD 上运动时，CP =_____________．（用含t 的代数式表示）(2)点P 在CD 上，PQ BC ∥时，求t 的值．(3)当直线PQ 平分ABCD Y 的面积时，求t 的值．(4)若点Q 的运动速度改变为每秒a 个单位．当972t << ，ABCD Y 的某两个顶点与P 、Q 所围成的四边形为菱形时，直接写出a 的值．【变式训练2】如图，长方形ABCD 中，AD BC ∥，90B Ð=°，104AD BC cm AB cm ===，，动点P 从点B 出发，以每秒1cm 的速度沿B A D ®®的方向，向终点D 运动；动点Q 从点B 出发以每秒1cm 的速度沿B C ®的方向向终点C 运动．以PQ 为边向右上方作正方形PQMN ，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点P Q 、同时出发，运动时间为t 秒0t （＞）．(1)当04t ＜＜时，AP ＝______（用含t 的代数式表示）；(2)当点N 落在AD 边上时，求t 的值；(3)当正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S （用含t 的代数式表示）；(4)请直接写出当t满足什么条件时，正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为三角形．如图3，当M 点运动到D 点处时，∵10214CQ t CQ PM PM t ===-﹣，，，∴2014t t -=-（1），解得6t =，∴当6t =时，正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为三角形，∴46t ££时，正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为三角形；如图4，当Q 点运动与C 点时，10t =，此时正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为三角形；∴610t ＜＜时，正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为四边形，如图5，【变式训练3】已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点M在AD上，且AM＝4，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度，沿B﹣C﹣D﹣A向终点A运动，运动时间为t秒．(1)当点P在BC边上时，BP＝，CP＝．（用含t的代数式表示）(2)点P在运动过程中，△ABP是直角三角形时，t的取值范围为．(3)点P在运动过程中，△DMP是等腰三角形时，t的值为．(4)连接CM，当点P在线段CM的垂直平分线上时，t的值为．【答案】(1)t，9﹣t(2)0＜t≤9或13≤t＜22(3)1或7或6.5当点P 在线段BC 上时，CP =MP =9-t ，PH =t -4，MH =4，∵△MPH 是直角三角形，∴2222MH PH PM CP +=＝即()()222449t t -=+-，∴t ＝4.9，当点P 在线段AD 上时，同法可得PM ＝CPCP =MP =18-t ，DP =t -13，CD =4∵△CDP 是直角三角形，∴2222CD DP PM CP +=＝即()()22241318t t =+--，∴t ＝13.9．综上所述，满足条件的t 的值为4.9或13.9．故答案为：4.9或13.9．。

初中数学特殊平行四边形解题模型

1. 我们知道平行四边形的对边平行，因此可以利用相邻角的性质来解题。

2. 如题目给出平行四边形ABCD，我们要证明AD//BC。

3. 根据相邻角的性质，∠ABD和∠BCD是相邻角，因此它们的和为180°。

4. 又因为平行四边形的对边分别平行，所以∠ABD=∠BCD，即两个角相等。

5. 那么根据相等角的性质，∠ABD+∠BCD=180°，即AD//BC成立。

模型二：利用对角线的性质1. 对角线的性质是解决平行四边形问题的另一个重要方法。

2. 给定平行四边形ABCD，我们要证明对角线AC和BD相交于一点O。

3. 因为平行四边形的性质是，对角线互相平分，所以BO=OD，AO=OC。

4. 根据三角形的性质，两边相等且夹角相等，则两个三角形全等。

因此△BOA≌△COD。

5. 根据全等三角形的性质，可以知道∠BOA=∠COD，所以AC与BD 相交于一点O。

1. 辅助线是解决平行四边形问题常用的方法之一。

2. 给定平行四边形ABCD，我们要证明AB//CD。

3. 可以作线段AC的中线，即连接BD的中点M和连接BA的中点N。

4. 根据线段的中线定理，中线等分基底并平行于两个底部，即AM=MC，BN=ND，并且AM//CD，BN//CD。

5. 根据平行线的性质，AB//CD成立。

模型四：利用平移、旋转和对称的方法1. 平移、旋转和对称是解决平行四边形问题中比较灵活的方法。

2. 给定平行四边形ABCD，我们要证明ABCD是一个菱形。

3. 可以将平行四边形ABCD沿着AB向右平移，得到A'B'CD。

4. 然后我们发现A'B'CD是ABCD的旋转图形，它们是共外部定点的两个同圆的切线。

5. 根据旋转体的性质，AB=BC=CD=DA，所以ABCD是一个菱形。

结论：不同的解题模型可以让我们更灵活地应对不同类型的题目，并且提高解题的效率。

通过掌握这些解题模型，我们可以更加轻松地解决平行四边形的相关问题。

专题01 平行四边形(5种模型与解题方法)原卷版

专题01 平行四边形（5种模型与解题方法）目录题型一：中点四边形题型二：正方形中的十字架模型题型三：四边形中的对角互补模型题型四：与正方形有关三垂线题型五：正方形与45°角的基本图题型一：中点四边形“中点四边形”，也叫瓦里尼翁平行四边形，是顺次连接四边形各边中点而组成的四边形，是四边形的内接四边形的一种特殊情况，一般有以下三种形态：（原四边形ABCD依次是：凸四边形，凹四边形，折四边形）（一）中点四边形一定是平行四边形1.当原四边形对角线相等时，其中点四边形为菱形2.当原四边形对角线垂直时，其中点四边形为矩形3.当原四边形对角线垂直且相等时，其中点四边形为正方形（二）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和（三）中点四边形的面积等于原四边形面积的二分之一一．选择题（共5小题）1．（2023春•栖霞区校级期中）如图，点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA 的中点，要使四边形EFGH是菱形，那么至少应满足的条件是( )A ．AC BD ^B ．AC BD =C ．AB CD =D ．AD BC=2．（2023春•高港区期中）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 、的中点．请你添加一个条件，使四边形EFGH 为菱形，应添加的条件是( )A ．AB CD =B ．AC BD ^C ．CD BC =D ．AC BD=3．（2023春•海州区期中）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BD 、CD 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是矩形，则四边形ABCD 只需要满足一个条件是( )A ．//AB CD B ．四边形是菱形C ．AC DB =D ．AD BC^4．（2023春•盱眙县期中）如图，E ，F ，G ，H 分别是BD ，BC ，AC ，AD 的中点，且AB CD =，下列结论：①四边形EFGH 是菱形；②EG FH ^；③若245BAD ADC Ð+Ð=°，则27.5EFH Ð=°；④1()2EG BC AD =-；其中正确的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．（2023春•南京期中）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是线段AD 、BD 、BC 、AC 的中点，要使四边形EFGH 是菱形，需添加的条件是( )A ．AC BD =B ．AC BD ^C ．AB CD =D ．AB CD^二．填空题（共3小题）6．（2023春•大丰区期中）如图，已知矩形ABCD 的对角线AC 的长为10cm ，顺次连结各边中点E 、F 、G 、H 得四边形EFGH ，则四边形EFGH 的周长为 cm ．7．（2023春•梁溪区校级期末）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ^，若12AC =，9BD =，则四边形ABCD 各边中点连线构成的四边形EFGH 的面积是= ．8．（2023春•苏州期中）如图，四边形ABCD 是边长为3的菱形，对角线8AC BD +=，点E ，F ，G ，H 分别为边AB ，BC ，CD ，AD 中点，顺次连接E ，F ，G ，H ．则四边形EFGH 的面积为．三．解答题（共4小题）9．（2023春•徐州期中）如图，E 、F 、G 、H 为菱形ABCD 各边中点．（1）求证：四边形EFGH 为矩形；（2）若6EFGH S =四边形，则ABCD S =菱形．10．（2023春•靖江市期中）如图1，1A ，1B ，1C ，1D 分别是四边形ABCD 各边的中点，且AC BD ^，6AC =，10BD =．（1）试判断四边形1111A B C D 的形状，并证明你的结论；（2）如图2，依次取11A B ，11B C ，11C D ，11D A 的中点2A ，2B ，2C ，2D ，再依次取22A B ，22B C ，22C D ，22D A 的中点3A ，3B ，3C ，3D ¼¼以此类推，取11n n A B --，11n n B C --，11n n C D --，11n n D A --的中点n A ，n B ，n C ，n D ，根据信息填空：①四边形1111A B C D 的面积是；②若四边形n n n n A B C D 的面积为1516，则n = ；③试用n 表示四边形n n n n A B C D 的面积．11．（2023春•姜堰区期中）如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，连接AC 、BD ．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）当对角线AC与BD满足什么关系时，四边形EFGH是菱形，并说明理由．12．（2023春•盐城期中）阅读理解，我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．（1）这个中点四边形EFGH的形状是；D和MCB（2）如图2，在四边形ABCD中，点M在AB上且AMDD为等边三角形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，试判断四边形EFGH的形状并证明．题型二：正方形中的十字架模型一．选择题（共2小题）1．（2022春•海门市校级期中）如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE DF =，AE 、BF 相交于点O ，下列结论：（1）AE BF =；（2）AE BF ^；（3）AO OE =；（4）AOB DEOF S S D =四边形中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．（2022春·江苏无锡·八年级校考期末）如图，将边长为3的正方形ABCD 纸片沿EF 折叠，点C 落在AB 边上的点G 处，点D 与点H 重合，CG 与EF 交于点P ，取GH 的中点Q ，连接PQ ，则V GPQ 的周长最小值是（）A ．32+B C ．32+D ．92二．填空题（共2小题）3．（2023春•宿豫区期中）如图所示，将正方形ABOC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点B的坐-，则点A的坐标为．标为(2,3)Ð=°，4．（2023春•建邺区校级期末）如图，四边形ABCD，四边形AECF分别是菱形与正方形．若22BAE Ð= °．则D三．解答题（共2小题）5．（2022春•吴中区校级期中）如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且=，连接BQ，AP．求证：BQ AP^．DQ CP6．（2023春•淮安期末）问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：^，垂足为M．那么AE与BF相如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE BF等吗？（1）直接判断：AE BF（填“=”或“¹”)；在“问题情境”的基础上，继续探索：问题探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE BF^，垂足为M．那么GE与BF相等吗？证明你的结论；问题拓展：（3）如图3，点E在边CD上，且MN AE^，垂足为H，当H在正方形ABCD的对角线BD上时，连接D沿着AN翻折，点H落在点H¢处．AN，将AHN①四边形AHNH¢是正方形吗？请说明理由；¢的最小值为．②若6=，直接写出PH ANBD BPAB=，点P在BD上，3题型三：四边形中的对角互补模型模型1:全等形一-90°对角互补模型模型2:全等形--120°对角互补模型模型 3:全等形一一任意角对角互补模型模型4:相似形一-90°对角互补模型（后面会学到）一．选择题（共1小题）1．（2023春•金湖县期中）如图，AC 是ABCD Y 的对角线，点E 在AC 上，AD AE BE ==，105D Ð=°，则BAC Ð是( )A ．25°B ．30°C ．45°D ．50°二．解答题（共3小题）2．（2020春•通山县期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．理解：（1）在你所学过四边形中，满足等补四边形定义的四边形是；画图：（2）如图1，在正方形网格中，线段AB 的端点在格点上（小正方形的顶点），请你画出1个以格点为顶点，AB 为边的等补四边形ABCD ；探究：（3）如图2，在等补四边形ABCD中，AB AD=，连接AC，AC是否平分BCDÐ？请说明理由．3．（2023春•分宜县期末）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”．（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是（请填序号）；=，180（2）在“完美”四边形ABCD中，AB ADÐ+Ð=°，连接AC．B D①如图1，求证：AC平分BCDÐ；小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分:ÐBCD想法一：通过180=，通过证明AEB ACDD@D，从而可证AC平Ð+Ð=°，可延长CB到E，使BE CDB D分BCDÐ；D，可证C，B，E想法二：通过AB AD=，可将ACDD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到AEB三点在一条直线上，从而可证AC平分BCDÐ．请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分BCDÐ；②如图2，当90Ð=°，用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．BAD4．（2021秋•丹阳市期末）四边形ABCD若满足180Ð+Ð=°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．A C（1）四边形ABCD为对角互补四边形，且::2:3:4Ð的度数为；ÐÐÐ=，则AB C D（2）如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，90=．BAD BCDÐ=Ð=°，AB AD求证：AC平分BCDÐ．小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM BCD@D，得到ACMD是等=，连AM，可证明ABC ADM腰直角三角形，由此证明出AC平分BCDÐ，还可以知道CB、CD、CA三者关系为：；=，试证明：（3）如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足60BADÐ=°，AB AD①AC平分BCDÐ；②CA CB CD=+；（4）如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足60=，则BA、BC、BD三者Ð=°，AD CDABC关系为：．题型四：与正方形有关三垂线一、单选题1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图，四边形AFDC 是正方形，CEA Ð和ABF Ð都是直角，且E ，A ，B 三点共线，4AB =，则图中阴影部分的面积是（）A ．12B ．10C ．8D ．6二、填空题2．（2023春·八年级课时练习）如图所示，直线a 经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过正方形的顶点B 、D 作BF ⊥a 于点F ，DE ⊥a 于点E ，若DE ＝8，BF ＝5，则EF 的长为__．三、解答题3．（2022春·广东东莞·八年级塘厦初中校考期中）四边形ABCD 为正方形，点E 为线段AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥DE ，交射线BC 于点F ，以DE 、EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．（1）如图，求证：矩形DEFG 是正方形；（2）若AB＝4，CE＝CG的长度；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．4．（2021春·安徽安庆·八年级统考期末）如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°（即∠EBE'＝90°），得到△CBE′（点A的对应点为点C）延长AE交CE于点F，连接DE．（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由．（2）如图2，若DA＝DE，请猜想线段CF于FE'的数量关系并加以证明．（3）如图1，若AB，CF＝3，请直接写出DE的长．5．（2021春·山西·八年级统考期末）综合与实践：如图1，在正方形ABCD中，连接对角线AC，点O是AC的中点，点E是线段OA上任意一点（不与点A，O重合），连接DE，BE．过点E作EF DE^交直线BC 于点F ．（1）试猜想线段DE 与EF 的数量关系，并说明理由；（2）试猜想线段,,CE CD CF 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，当E 在线段CO 上时（不与点C ，O 重合），EF 交BC 延长线于点F ，保持其余条件不变，直接写出线段,,CE CD CF 之间的数量关系．6．（2022春·新疆省直辖县级单位·八年级校联考期末）如图1，点E 是正方形ABCD 的边BC 上的任意一点（不与B 、C 重合），EF AE ^与正方形的外角DCG Ð的角平分线交于点F ．(1)求证：AE EF =．(2)将图1放在平面直角坐标系中，如图2，连DF 、BF ，BF 与AE 交于点H ，若正方形ABCD 的边长为4，则四边形ABFD 的面积是否随E 点位置的变化而变化？若不变，请求出四边形ABFD 的面积．(3)在的（2）条件下，若4BCF S =△，求四边形AHFD 的面积．题型五：正方形与45°角的基本图一、填空题1．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在正方形ABCD 中，点M 、N 为边BC 和CD 上的动点（不含端点），MAN 45Ð=°，下列三个结论：①当MN 时，则22.5BAM Ð=°；②290AMN MNC Ð-Ð=°；③△MNC 的周长不变；④∠AMN －∠AMB ＝60°．其中正确结论的序号是________．二、解答题2．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图所示，正方形ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，CD 上一点，点M 为EF 上一点，D ，M 关于直线AF 对称．（1）求证：B ，M 关于AE 对称；（2）若EFC Ð的平分线交AE 的延长线于G ，求证：AG =．3．（2023春·江苏·八年级专题练习）（1）如图①，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 上的点，且45EAF Ð=°，连接EF ，探究BE 、DF 、EF 之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D Ð+Ð=°，E 、F 分别是BC 、DC 上的点，且12EAF BAD Ð=Ð，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．4．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图所示，正方形ABCD 中，点E ，F 分别为BC ，CD 上一点，点M 为EF 上一点，D ，M 关于直线AF 对称．连结DM 并延长交AE 的延长线于N ，求证：45AND Ð=°．5．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF BE =．（1）求证：CE CF =；（2）在图1中，若G 在AD 上，且45GCE Ð=°，则GE BE GD =+成立吗？为什么？（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：①如图2，在直角梯形ABCD 中，()//AD BC BC AD >，90B Ð=°，12AB BC ==，E 是AB 上一点，且45DCE Ð=°，4BE =，求DE 的长．②如图3，在ABC V 中，45BAC Ð=°，AD BC ^，2BD =，3CD =，则ABC V 的面积为____（直接写出结果，不需要写出计算过程）6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图正方形ABCD 的边OA 、OC 在坐标轴上，已知点()3,3B ．将正方形ABCO 绕点A 顺时针旋转一定的角度（小于90°），得到正方形ADEF ，ED 交线段OC 于点G ，ED 的延长线交线段BC 于点P ，连接AP 、AG ．（1）求PAG Ð的度数．（2）当OAG CPG Ð=Ð时，求点P 的坐标．（3）在（2）的条件下，直线PE 上是否存在点M ，使以M 、A 、G 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M 点的坐标，若不存在，请说明理由．7．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知正方形ABCD ，45MAN Ð=°，MAN Ð绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC 于点M 、N ，AH MN ^于点H ．（1）如图①，当BM DN =时，可以通过证明V V ≌ADN ABM ，得到AH 与AB 的数量关系，这个数量关系是___________；（2）如图②，当BM DN ¹时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？说明理由；（3）如图③，已知AMN V 中，45MAN Ð=°，AH MN ^于点H ，3MH =，7=NH ，求AH 的长．8．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知四边形ABCD 是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A 点重合，将此三角板绕A 点旋转时，两边分别交直线BC ，CD 于M ，N ．(1)如图1，当M ，N 分别在边BC ，CD 上时，求证：BM +DN =MN(2)如图2，当M ，N 分别在边BC ，CD 的延长线上时，请直接写出线段BM ，DN ，MN 之间的数量关系(3)如图3，直线AN 与BC 交于P 点，MN =10，CN =6，MC =8，求CP 的长．9．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知：四边形ABCD 为正方形，AMN D 是等腰Rt D ，90AM N Ð=°．（1）如图：当Rt AMN D 绕点A 旋转时，若边AM 、AN 分别与BC 、CD 相交于点E 、F ，连接EF ，试证明：EF DF BE =+．（2）如图，当Rt AMN D 绕点A 旋转时，若边AM 、AN 分别与BC 、CD 的延长线相交于点E 、F ，连接EF ．①试写出此时三线段EF 、DF 、BE 的数量关系并加以证明．②若6CE =，2DF =，求：正方形ABCD 的边长以及AEF D 中AE 边上的高．10．（2023春·江苏·八年级专题练习）已知正方形ABCD ，∠EAF ＝45°，将∠EAF 绕顶点A 旋转，角的两边始终与直线CD 交于点E ，与直线BC 交于点F ，连接EF ．。

专题05解题技巧专题：特殊平行四边形中定值、最小值、最大值、动点、中点四边形问题之五大考点解析版

专题05 解题技巧专题：特殊平行四边形中定值、最小值、最大值、动点、中点四边形问题之五大考点【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一特殊平行四边形中求定值问题】 (1)【考点二特殊平行四边形中求最小值问题】 (5)【考点三特殊平行四边形中求最大值问题】 (9)【考点四特殊平行四边形中动点问题】 (15)【考点五特殊平行四边形中点四边形问题】 (23)【典型例题】【考点一特殊平行四边形中求定值问题】例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在边长为10的菱形ABCD 中，对角线16BD =，则菱形的面积是____，若点O 是线段BD 上的动点，OE AB ^于E ，OF AD ^于F ．则OE OF +=____．【答案】 96 9.6【分析】连接AC ，交BD 于点H ，利用勾股定理求出AH 的长，进而求出AC 的长，利用菱形的面积公式求出菱形的面积；连接AO ，利用等积法，即可得解．【详解】解：连接AC ，交BD 于点H ，∵边长为10的菱形ABCD ，对角线16BD =，【答案】6013/8413【分析】连接OE，根据矩形的性质得到理得到2213AC AB BC=+=，求得Q四边形ABCD是矩形，ABC\Ð=°，1290==，BC ADBC=，Q，125AB=2213\=+=，AC AB BC即可证明矩形DEFG 是正方形；（3）同（法判断出()SAS ADECDG ≌△△得到AE CG =，即可求解．【详解】（1）证明：∵点E 是正方形ABCD 对角线上的点，∴AB AD =，45BAE DAE Ð=Ð=°，AE AE =，∴()SAS ABE ADE △≌△，∴BE DE =；（2）证明：如图，作EM BC EN CD ^^，，∴90MEN Ð=°，∵点E 是正方形ABCD 对角线上的点，∴EM EN =，∵90DEF Ð=°，∴DEN MEF Ð=Ð，在DEN V 和FEM △中，DNE FME EN EM DEN FEM Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴()ASA DEN FEM ≌△△，∴EF DE =．∴矩形DEFG 是正方形；（3）解：CE CG +的值是定值，定值为4．理由：∵四边形DEFG 、ABCD 都是正方形，∴DE DG AD DC ==，，∵90CDG CDE ADE CDE Ð+Ð=Ð+Ð=°，∴CDG ADE Ð=Ð，【考点二特殊平行四边形中求最小值问题】【答案】5【分析】连接OP ，根据菱形的性质得到55Q 四边形ABCD 是菱形，AC BD \^，12AO AC =225555()AB \=+=【答案】6【分析】作D关于直线形即可得到结论．【详解】解：作D关于直线【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂线段最短，含和的最小值问题，熟练掌握以上知识是解题的关键．2．（2023春·福建福州·若P为对角线BD上一动点，则【答案】23【分析】连接CP，AC，形，即可得到CE=23，当点的长，EP AP+的最小值为Q四边形ABCD是菱形，Ð=ÐAD CD\=，ADP CDP()≌，\V VSASADP CDP\=，AP CP【答案】5【分析】作G关于AB的对称点+的值最小，利用已知可以得出此时GE CF周长的最小值，利用轴对称得出是解题关键．【考点三特殊平行四边形中求最大值问题】【答案】1=1∴PN=PE，则PM-PN=PM-PE，∴当点P，E，M三点共线时，在正方形ABCD中，AB=∴AC=42，【答案】63【分析】连接PC、EC取等号），再利用等边三角形的性质得出【点睛】本题考查了菱形的性质和等边三角形的性质和判定、垂直平分线的性质、直角三角形的性质及勾股定理，正确作出辅助线，构造等边三角形得出2．（2023春·江苏常州·【答案】2【分析】作E 的对称点'E ，连接PF PE PF PE E F ¢¢-=-£，最后根据等边三角形的性质及菱形的性质即可解答．【详解】解：作E 的对称点E ∴PE PE ¢=，【点睛】本题考查了等边三角形的性质与判定，菱形的性质，中点的定义，三角形的三边关系，掌握等边三角形的性质及菱形的性质是解题的关键．4．（2023春·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考阶段练习）如图，在菱形4120AB BAD =Ð=°，，AEF △为正三角形，(1)证明：BE CF =．(2)当点E F ，分别在边，BC CD 上移动时【答案】(1)见解析(2)43(3)见解析【分析】（1）先求证AB AC =ABE ACF ≌V V ，即可得BE =【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，三角形面积的计算，本题中求证ABE ACF ≌V V 是解题的关键．【考点四特殊平行四边形中动点问题】例题：（2023春·四川自贡·八年级四川省荣县中学校校考期中）如图，在四边形ABCD 中，,AB CD ∥90,ADC Ð=°18cm,28cm,AB CD ==动点p 从点A 出发，以1cm/s 的速度向点B 运动，同时动点Q 从点C 出发，以3cm/s 的速度向点D 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．(1)当四边形PBCQ 是平行四边形时，求t 的值；(2)当t 为多少秒时，四边形APQD 是矩形；(3)在点,P Q 运动过程中，若四边形PBQD 能够成为菱形，求AD 的长度．【答案】(1)4.5(2)7(3)12cm【分析】（1）由平行四边形的性质得出183,t t -=解出即可得出答案．（2）由矩形的性质得出283,t t =-解出即可得出答案．（3）由菱形的性质可求,BP DQ DP ==求出5,t =由勾股定理可求出答案．【详解】（1）当四边形PBCQ 是平行四边形时，,PB CQ \=（1）当t 为___________时，四边形PODB （2）若M 为线段PB 上一点，且2PM =为_______．【答案】 54 34 12【分析】（1）先求出5OA BC OC ===，【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题等等，正确作出辅助线是解题的关键．2．（2023春·河南商丘·八年级统考期中）如图，在四边形DE=43，AD=18，∠C=60°；（1）BC=________（2）若动点P从点D出发，速度为2个单位3个单位/秒，沿BC向点C运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动，设运动的时间为秒．①t=_______秒时，四边形PQED是矩形；【答案】（1）26；（2）①225；②当t=185存在t值，使②中的平行四边形是菱形，理由详见解析【分析】（1）先在Rt△DEC中利用特殊三角函数值可求BC；（2）①先画图，由于四边形PQED是矩形，那么矩形的对边相等，于是∵四边形PQED是矩形，∴PD=QE，∴2t=26-4-3t，∵四边形ABQP是平行四边形，∴AP=BQ，∴3t=18-2t，解得t=185，∵四边形PQCD是平行四边形，∴PD=CQ，∴2t=26-3t，解得t=265，(1)如图1，过点E 作AF 的平行线，过点F ①若BE DF =，求证：四边形AEGF 是菱形；②若6AB =，2DF =，45EAF Ð=°，求四边形(2)如图2，若点M 在线段EC 上，EM MC =在点E 运动过程中，N Ð的大小是否发生变化？若不变，求出∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD BC CD ===，ABH Ð∴()SAS ABH ADF V V ≌，∴AH AF =，BH DF =，Ð∴HAE BAH BAE Ð=Ð+Ð=Ð∵45EAF Ð=°，∵四边形ABCD 是正方形，∴OB OC OA ==，BC CD =，90BOC Ð=°，45OBM OCF Ð=Ð=°，∵EM MC DF ==，∴BM CF =，∴()SAS OBM OCF V V ≌，∴OM OF =，BOM COF Ð=Ð，∴90MOF COF COM BOM COM BOC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴MOF △是等腰直角三角形，∴45OMF Ð=°，∵OC OA =，MC EM =，∴OM AE ∥，∴45N OMF Ð=Ð=°．【点睛】本题考查了正方形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的中位线性质等知识，解答的关键是添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．【考点五特殊平行四边形中点四边形问题】1．（2023春·浙江·八年级专题练习）阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，依次连接各边中点得到中点四边形EFGH．(1)判断图1中的中点四边形EFGH 的形状，并说明理由；(2)如图2，在四边形ABCD 中，点M 在AB 上且AMD V 和△BC 、CD 、AD 的中点，试判断四边形EFGH 的形状，并证明你的结论．【答案】(1)中点四边形EFGH 是平行四边形，理由见解析(2)四边形EFGH 是菱形，理由见解析∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF AC ∥，12EF AC =，同理，HG AC ∥，12GH AC =∵AMD V 与MCB △为等边三角形，∴AM DM =，AMD CMB Ð=Ð=则AMD DMC CMB DMC Ð+Ð=Ð+Ð∴AMC DMB Ð=Ð，在AMC V 与DMB V 中，反思交流：(1)①上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？依据1:　；依据2: ；=时，则中点四边形EFGH的形状为　；并说明理由；②连接AC，若AC BD根据题意可知，四边形EFGH AE EB =Q ，AH HD =，12EH BD \=，∵DH HA =，DG GC =，12HG AC \=，APB CPD Ð=ÐQ ，APB APD CPD APD \Ð+Ð=Ð+Ð，即：BPD APC Ð=Ð，PA PB =Q ，PC PD =，∴APC BPD △≌△，AC BD \=，HG HE \=，由问题情境可知：四边形EFGH 是平行四边形\四边形EFGH 是菱形．（3）解：结论：正方形．理由：如图，连接AC ，BD ，BD 交AC 于点O ，交GH 于点K ，AC 交PD 于点J ．∵APC BPD △△≌，90DPC Ð=°，∴PDB PCA Ð=Ð，∵PJC DJO Ð=Ð，∴90CPJ DOJ Ð=Ð=°，∵HG AC ∥，∴90BKG BOC Ð=Ð=°，∵EH BD ∥，∴90EHG BKG Ð=Ð=°，∵四边形EFGH 是菱形，∴四边形EFGH 是正方形．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．。

专题05解题技巧专题：特殊平行四边形中定值、最值、中点四边形问题解析版重点突围

专题05 解题技巧专题：特殊平行四边形中定值、最值、中点四边形问题【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一定值问题】 (1)【考点二最小值问题】 (7)【考点三最大值问题】 (16)【考点四中点四边形问题】 (24)【典型例题】【考点一定值问题】【答案】125##2.4【分析】根据矩形的性质，24【考点二最小值问题】A．5【答案】A【分析】连接EC交BD 的长即可.【详解】连接EC，交【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键【变式训练】1．（2023秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）如图，在矩形ABCD 中，12AB =，10AD =，点P 在AD 上，点Q 在BC 上，且AP CQ =，连接CP 、QD ，则PC QD +的最小值为（）A ．22B ．24C ．25D ．26【答案】D 【分析】连接BP ，则PC QD +的最小值转化为PC PB +的最小值，在BA 的延长线上截取12AE AB ==，连接PE 、CE ，则PC QD PC PB PC PE CE +=+=+³，再根据勾股定理求解．【详解】解：如图，连接BP ，在矩形ABCD 中，AD BC ∥，10AD BC ==，AP CQ =Q ，AD AP BC CQ \-=-，DP QB \=，DP BQ ∥，\四边形DPBQ 是平行四边形，A．5B．【答案】B【分析】要求PD PA+和的最小值，∵再直角OCD V 中，90COD Ð=°，【答案】3【分析】解直角三角形求出CD AB ^时，CD 有最小值，此时【详解】解：∵ACB Ð=∵DF AC ^，ACB Ð=∴DFC FCE DEC Ð=Ð=Ð∴四边形CFDE 是矩形，【答案】4【分析】连接DE，BD，PD，对角线相交于点+=+，故当点DPB PE PD PE定和性质即可求解．【详解】解：连接DE，BD，∵四边形ABCD是菱形，∴AC是BD的垂直平分线，AB∴PB PD=，+=+，∴PB PE PD PE∴当点D、E、P三点共线时，PD【答案】13【分析】连接CF、AF+=+，故当EF MN EF AF为AE的长，由12AB=【详解】解：连接CF、，∵【考点三最大值问题】A．42==，设BF DF x ∵10BC=，∴10=-，CF x∵2CD=，则1,ON ON PN PN ¢¢===，2,CN OC ON PM PN PM ¢¢\=-=-=23BM BC =Q ，6BC =，123CM BC \==，CMN ¢\V 是等边三角形，【答案】 6 934【分析】（1）连接AC ，证明（2）利用ABE ACF △≌△的面积减去△AEF 的面积，当（2）∵ABE ACF△≌△∴四边形AECF 的面积=S △∴CEF ABC AEF S S S =-△△△，∴当AEF S △最小时，CEF S △最大，∵ABC V 为等边三角形，∴当AE BC ^时，12BE BC ==22==33AE AB BE -，∴163393S =´´=，(1)求证：△GEF 是等腰三角形(2)求△GEF 面积的最大值．【答案】(1)见详解(2)7.5【分析】（1）在长方形ABCD∵在长方形ABCD 中，CD AD ^∴GE CD ^，∴△GEF 的面积为：12S GE =´´∵CD =AB =3，∴△GEF 的面积的大小取决于GE 当点G 与点A 重合时，GEF △面积最大，由折叠的性质可知，GF =FC ，∠AFE 在Rt △ABF 中，222AF AB BF =+∴229(9)AF AF =+-，解得：AF =5，【考点四中点四边形问题】当四边形ABCD 是矩形时，BD AC =，HG EF FG EH \===，\四边形EFGH 是菱形，故A 正确，不符合题意；当四边形ABCD 是菱形时，AC BD ^，//HG AC Q ，//FG BD ，90HGF \Ð=°，\四边形EFGH 是菱形，故B 正确，不符合题意；当四边形ABCD 满足90BAD ABC Ð=Ð=°时，不能证明四边形EFGH 是菱形，故C 错误，符合题意；当四边形ABCD 满足AB AD =，CB CD =时，∵AB AD =，CB CD =，∴AC 是BD 的垂直平分线，即AC BD^∵////EF AC EF ，////FG BD EH∴∠HEF =∠EFG =∠DGH =∠GHE =90°∴四边形EFGH 是矩形，故D 正确，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了中点四边形，灵活利用矩形、菱形的判定定理是解答本题的关键【变式训练】四边形ABCD 的各边中点分别是（1）我们知道：无论四边形ABCD 怎样变化，它的中点四边形EFGH 都是平行四边形．特殊的：①当对角线AC BD =时，四边形ABCD 的中点四边形为__________形；②当对角线AC BD ^时，四边形ABCD 的中点四边形是__________形．（2）如图：四边形ABCD 中，已知60B C Ð=Ð=°，且BC AB CD =+，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD 的中点四边形EFGH 的形状并进行证明．【答案】（1）①菱；②矩；（2）菱形，菱形见解析【分析】（1）①连接AC 、BD ，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH 都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；（2）分别延长BA 、CD 相交于点M ，连接AC 、BD ，证明ABC DMB △≌△，得到AC =DB ，根据（1）①证明即可．【详解】（1）解：（1）①连接AC 、BD ，∵点E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 边的中点，∴EH ∥BD ，FG ∥BD ，∴EH ∥FG ，同理EF ∥HG ，∴四边形EFGH 都是平行四边形，∵对角线AC =BD ，∴EH =EF ，∴四边形ABCD 的中点四边形是菱形；②当对角线AC ⊥BD 时，EF ⊥EH ，∴四边形ABCD 的中点四边形是矩形；故答案为：菱；矩；（2）四边形ABCD 的中点四边形EFGH 是菱形．理由如下：分别延长BA 、CD 相交于点M ，连接AC 、BD，∵60ABC BCD Ð=Ð=°，∴BCM V 是等边三角形，∴MB BC CM ==，60M Ð=°，∵BC AB CD =+，∴MA AB AB CD CD DM +=+=+，∴MA CD =，DM AB =，在ABC V 和DMB V 中，AB DM ABC M BC BM =ìïÐ=Ðíï=î，∴ABC DMB △≌△，∴AC DB =，∴四边形ABCD 的对角线相等，中点四边形EFGH 是菱形．【点睛】本题考查的是矩形、菱形的判定、中点四边形的定义，掌握中点四边形的概念、矩形的判定定理、菱形的判定定理是解题的关键．8．（2023·全国·八年级专题练习）如图，四边形ABCD 四条边上的中点分别为E 、F 、G 、H ，顺次连接EF 、FG ，GH 、HE ，得到四边形EFGH （即四边形ABCD 的中点四边形）．(1)四边形EFGH 的形状是______，当四边形ABCD 的对角线满足______（填入位置关系或数量关系）时，四边形EFGH 是矩形．(2)当AC ＝BD 时，四边形EFGH 的形状是______．(3)若AC ⊥BD 且AC ＝BD ，求证：四边形EFGH 为正方形．【答案】(1)平行四边形，AC ⊥BD(2)菱形(3)见解析【分析】（1）根据三角形的中位线定理和平行四边形判定定理可得EFGH 是平行四边形，当AC ⊥BD 时，由三角形的中位线定理易知EF ⊥EH ，结合EFGH 是平行四边形即可解答；（2）当AC =BD 时，由三角形的中位线定理易知EF =EH ，结合EFGH 是平行四边形即可得到四边形EFGH 是菱形；（3）当AC =BD 时，由（2）可得四边形EFGH 是菱形，由EF ⊥EH 和EFGH 是平行四边形即可得到四边形∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠DOC=90°，由（2）知中点四边形EFGH是菱形，∴菱形EFGH是正方形．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线．。

北师大版-数学-九年级上册- 特殊平行四边形典例点拔

《特殊平行四边形》典例点拨矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，它是初中数学的一个重要内容，由于矩形、菱形、正方形之间既有自己独特的性质，又存在密切的联系，因此倍受各地命题者的青睐，为了能帮助同学们解决学习时的困惑，本文将结合例题加以分析．一、开放型问题例1、当时，平行四边形ABCD是矩形；当时，平行四边形ABCD 是菱形（填上一个条件即可）．解：根据矩形的判定定理，当AC=BD或∠A=900（或其它三个内角为900）时，平行四边形ABCD是矩形；根据菱形的判定定理，当AB=BC（或其它一组邻边相等）或AC⊥BD 时，平行四边形ABCD是菱形．点拨：本题考查的是在已知平行四边形的条件下，判定矩形和菱形应满足的条件，解答时，应注意从矩形和菱形的不同性质作为出发点．例2、已知：如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F，（1）求证：△BOE≌△DOF（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形？试写出证明过程．解：（1）略；（2）由（1）AE∥CF，AE=CF可证得四边形AECF是平行四边形，当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形，点拨：解题时，应从对角线为出发点，考虑证明四边形AECF是菱形时，必须满足的条件．二、探索型问题例3、如图，在△ABC中，∠ACB=900，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，请回答并证明你的结论；（3）四边形ACEF 有可能是正方形吗？试说明理由．解：（1）由△AEF ≌△EAC ，得AF=CE ，又因为AF=CE ，所以四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B=300，四边形ACEF 是菱形．在△ABC 中，∠ACB=900，∠B=300，可得AC=21AB ，由题意可知CE=21AB ，从而AC=CE ，所以四边形ACEF 是菱形；（3）四边形ACEF 不可能是正方形，由题意知E 是AB 的中点，从而CE 在△ABC 内部，所以∠ACE<∠ACB=900，所以四边形ACEF 不可能是正方形．点拨：（1）略；（2）可由结论出发，推出四边形ACEF 是菱形时，∠B 应满足的度数；（3）应先假设结论成立，通过分析推理得出，它与题中已知条件相矛盾．例4、如图，四边形ABCD 中，AC=6，BD=8，且AC ⊥BD ，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边的中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2……如此进行下去得到四边形A nB nC nD n ．（1）求证：四边形A 1B 1C 1D 1是矩形；（2）试说出该图形的变化规律，并求出四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的面积．解：（1）由三角形中位线定理和AC ⊥BD ，得四边形A 1B 1C 1D 1是矩形；（2）它们的图形变化规律依次矩形、菱形、矩形、菱形、……，四边形A 1B 1C 1D 1和四边形A 2B 2C 2D 2的面积分别是12和6．点拨：（1）由矩形的判定定理来证明；（2）根据题中所给的条件结合判定依次进行证明即可．。

特殊的平行四边形典型例题讲解一

思路和变式一是一样的，只是这里没有
G
直角三角形，所以我们要构造一个，怎 A
D
么构造哪？构造出直角三角形又该怎么
证明他们全等哪？
思考：若M是BE的中点，连接CM.
若CM=1，则FG=_________.
E
若M是中点就说明CM是直角三角形斜边的
，能得到
，所以BM= ，
M
由变式2得 = =
BP
F
C
3、如图，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4.求GH的长.
△ABC面积的一半。
既 1 11 1
2
2
归纳总结：
一个含有直角的平面图形的直角顶点与正方形对角线的交点重合，平面图形绕着这个交点旋转，且直角的两边分别与正方形两邻边相交，则两个图形重合部分的
1
面积始终等于正方形面积的
4
A
M
E
B
典型例题二有关旋转类的问题
1如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点， OA1 交AB于点E，OC1 交BC于点F.
（1长都为a，那么正方形A1B1C1O 绕O点转动，两个正方形
重叠部分的面积等于多少？为什么？
于点O，∠AOF=90°.
求证：BE=CF. 正方形ABCD
∠AOF=90°
F
D
C
AB=BC ∠ABC=∠BCD
∠BOE=90°
∠BEO+∠OBE=90°∠FBC+∠BFC=90°
O
E
∠BFC=∠AEB
A
B
Rt△ABE≌Rt△BCF （AAS）

特殊的平行四边形中的最值模型-费马点模型(学生版)

特殊的平行四边形中的最值模型-费马点模型费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。

本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。

【模型解读】结论：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+ MB+MC的值最小。

注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。

(这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°)图3【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．∵△ABE为等边三角形，∴AB=BE，∠ABE=60°．而∠MBN=60°，∴∠ABM=∠EBN．在△AMB与△ENB中，∵AB=BE∠ABM=∠EBNBM=BN，∴△AMB≌△ENB(SAS)．连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM=EN．∵∠MBN=60°，BM=BN，∴△BMN为等边三角形．∴BM=MN．∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM的值最小．此时，∠BMC=180°-∠NMB=120°；∠AMB=∠ENB=180°-∠BNM=120°；∠AMC=360°-∠BMC-∠AMB=120°．费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。

八年级数学下册 6.3 特殊的平行四边形新题赏析素材 (新版)青岛版

“特殊的平行四边形”新题赏析我们知道，“特殊的平行四边形”是一类重要的几何图形，是历年各地中考的热点之一，而不断创新，为了方便同学们的学习，下面就和同学们一起来赏析几道中考试题.一、实际应用例1（义乌市）如图，一块砖的外侧面积为x ，那么图中残留部分墙面的面积为（）A.4xB.12xC.8xD.16x分析观察得到图中残留部分墙面的面积是整个的面积减去空余的面积，而整个墙面是由14块大的矩形砖和4块小的矩形砖砌成的，空余的部分是由4块大的矩形砖构成的，此可以求解.解依题意，得图中残留部分墙面的面积为14x +4×12x －4x ＝12x .故应选B . 说明本题求解有着特殊四边形的面积问题，弄清楚图形的特征是求解的关键，注意每一块大的矩形砖和每一块小的矩形砖的关系.二、探索图形个数例2（重庆市）观察下列图形，则第n 个图形中三角形的个数是（）A.2n +2B.4n +4C.4n －4D.4n分析由于第1个正方形中有4个三角形，第2个正方形中在第1个正方形的基础上又增加了4个，即有8个三角形，第3个正方形中在第2个正方形的基础上又增加了4个，即有12个三角形，…由此，可得到增加的规律，从而得到一般结论.解因为第1个正方形中有4个三角形，即4×1个；第2个正方形中有8个三角形，即4×2个；第3个正方形中有12个三角形，即4×3个；…，由此可以猜想，第n 个正方形中有4×n 个三角形.故应选D.第1个第2个第3个 …说明这种利用特殊四边形的性质探索问题的题型在中考中经常出现，求解时一定要注意灵活运用其性质.三、微型机器人行走例3（安顺市）如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在点.分析微型机器人由A点开始，每向前行走1米就转换一个菱形的顶点，由于2009米可以分成2009个1米，即可以转换2009个菱形的顶点，由此可以求解.解因为有两个全等菱形，则周长和等于8，所以微型机器人由A点开始行走，每运动8米，则又回到A点，而2009÷8＝251…1，所以微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米时则在点B处停下.说明求解本题时一要注意菱形的边长相等，二是每运动8米一个循环.四、坐标几何型例4（日照市）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置.点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y＝kx+b(k＞0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)，则B n的坐标是 .分析由B1(1，1)，B2(3，2)，利用正方形的性质容易求得A1、A2的坐标，这样利用待定系数法可求得直线的解析式，进而求解.解因为点B1(1，1)，B2(3，2)，且是各自正方形的顶点，所以A1(0，1)，A2(1，2)，而A1(0，1)，A2(1，2)经过直线y＝kx+b，所以1,2.bk b=⎧⎨=+⎩解得1,1.kb=⎧⎨=⎩即直线的解析式为y＝x+1，又因为C2(3，0)，所以当x＝3时，y＝4，即A3(3，4)，2所以B 3(7，4)，即B 3(23－1，23－1)，同理，B 4(15，8)，即B 4(24－1，24－1)，… 由此B n 的坐标是(2n －1，2n －1).说明坐标几何题型是中考的一个热点，将特殊四边形置于坐标中更是此类试题的亮点，求解时应充分发挥几何图形的优势.本题中要能及时理顺A n 与B n 的关系.五、动点问题例5（莆田市）如图菱形ABCD 的边长为2，对角线BD ＝2，E 、F 分别是AD 、CD 上的两个动点，且满足AE +CF ＝2.（1）求证：△BDF ≌△BCF ；（2）判断△BEF 的形状，并说明理由.同时指出△BCF 是由△BDE 经过如何变换得到?分析（1）由菱形ABCD 的边长为2，对角线BD ＝2，可得到等边三角形，加上点满足AE +CF ＝2，于是有DE ＝CF ，从而可证明两个相应的三角形全等.（2）由（1）可得BE ＝BF ，∠CBF ＝∠DBE ，进而得到∠EBF ＝∠EBD +∠DBF ＝∠CBF +∠DBF ＝60°，即△BEF 是等边三角形.由此也可以知道△BCF 是由△BDE 绕点B 顺时针旋转60°得到的.证明（1）因为菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，所以BD ＝BC ，且∠BDE ＝∠BCF ＝60°. 因为AE +CF ＝2，而AE +DE ＝AD ＝2，所以DE ＝CF ，所以△BDE ≌△BCF .（2）△BEF 是等边三角形.理由如下：由（1）得△BDE ≌△BCF ，所以BE ＝BF ，∠CBF ＝∠DBE ，即∠EBF ＝∠EBD +∠DBF ＝∠CBF +∠DBF ＝60°，所以△BEF 是等边三角形.△BCF 是由△BDE 绕点B 顺时针旋转60°得到.说明本题有两大特色，一是并没有直接说明某些线段相等，而是给出相应线段的长度，变相给出相等的线段，求解时应注意数量关系的转换；二是动态问题，与一般的动态问题不同，它受到线段和是一个定值的制约，这就要求我们不但要能灵活运用条件，而且还要能从图形中善于挖掘条件，才能使问题顺利获解.六、观察实践例6（江苏省）（1）观察与发现：小明将三角形纸片ABC （AB ＞AC ）沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点EDCB A F4 A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到△AEF （如图②）.小明认为△AEF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由.（2）实践与运用：将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D ′处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）.求图⑤中∠α的大小．分析利用折叠的知识，结合相应图形的性质求解.解（1）同意.如图②，设AD 与EF 交于点G .由折叠知，AD 平分∠BAC ，所以∠BAD ＝∠CAD .又由折叠知，∠AGE ＝∠DGE ＝90°，所以∠AGE ＝∠AGF ＝90°，所以∠AEF ＝∠AFE ，所以AE ＝AF ，即△AEF 为等腰三角形.（2）由折叠知，四边形ABFE 是正方形，∠AEB ＝45°，所以∠BED ＝135°，又由折叠知，∠BEG ＝∠DEG ，所以∠DEG ＝67.5°，所以∠α＝90°－67.5°＝22.5°. 说明要求本题中的问题，一方面可通过观察分析得到相应的结论，另一方面，要能灵活运用折叠的知识来解决问题.另外，有关特殊四边形的折叠问题是中考的一个热点，请同学们多关注.AC D 图① A CD 图② FE GE D C FB A 图③ E DC AB F G ' D ' A DE C BF α 图④ 图⑤。

专题05平行四边形六大模型知识串讲+热考题型八年级数学下学期期中期末考点大串讲人教版原卷版

专题05平行四边形六大模型一、中点四边形二、十字架模型三、梯子模型四、对角互补模型五、与正方形有关三垂线六、正方形与45°角的基本图一、中点四边形中点四边形问题，我们要想到中位线. 中点四边形问题，关键点在于对角线的数量和位置上的特点，如果能记住结论，那么解题将事半功倍（一）中点四边形一定是平行四边形1.当原四边形对角线相等时，其中点四边形为菱形2.当原四边形对角线垂直时，其中点四边形为矩形3.当原四边形对角线垂直且相等时，其中点四边形为正方形（二）中点四边形的周长等于原四边形对角线之和（三）中点四边形的面积等于原四边形面积的二分之一二、十字架模型与正方形有关的问题，往往涉及全等、边长问题，关键在于对正方形的边、直角的准确把握，中考常考正方形模型，原因在于正方形的变化多样.三、梯子模型梯于问题果非常重要的一类最值问题，关键点在于取梯子的中运用斜边中线和勾股定理来解决，得到两条线段的和是所求的点最大值，四、对角互补模型对角互补，邻边相等是经典的一类旋转模型。

相等邻边的夹角可以是60°，可以是90°，处理这种模型的关键在于旋转，旋转的角度的大小是相等邻边的夹角.模型1:全等形一-90°对角互补模型模型2:全等形--120°对角互补模型模型3:全等形一一任意角对角互补模型模型4:相似形一-90°对角互补模型（后面会学到）五、与正方形有关三垂线六、正方形与45°角的基本图一、中点四边形一．选择题（共2小题）1．（2022春•兰山区期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列结论一定正确的是（）A．四边形EFGH是矩形B．四边形EFGH的面积等于四边形ABCD面积的C．四边形EFGH的内角和小于四边形ABCD的内角和D．四边形EFGH的周长等于四边形ABCD的对角线长度之和2．（2022春•济阳区期末）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H 分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7B．9C．11D．13二．解答题（共4小题）3．（2022春•咸安区期末）如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点O是△ABC内一点，连接OA，OB，OC，点F，G分别是OB，OC的中点，顺次连接点D，F，G，E．（1）求证：四边形DFGE是平行四边形；（2）当OA⊥DE时，求证：四边形DFGE是矩形；（3）若四边形DFGE是正方形，OA与BC之间满足的条件是：．4．（2022春•忻城县期中）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，依次顺序连接各边中点得到四边形EFGH．（1）猜想四边形EFGH是什么特殊四边形；（2）对你的猜想给予证明．5．（2022春•工业园区校级期末）如图，四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，（1）求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想．6．（2022春•仙居县期末）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形．（2）若四边形ABCD的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形EFGH的面积．二、十字架模型一．选择题（共1小题）1．（2022春•汉阴县期末）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB ＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．解答题（共4小题）2．（2022春•石阡县期中）如图，点E、F是正方形ABCD中CD、AD边上的点，BE＝CF，求证：DF＝CE．3．（2022春•惠民县期末）（1）如图①，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，过A点作AG⊥EB，垂足为G，求证：OE＝FO；（2）如图②，若点E在AC的延长线上，AG⊥EB，交EB的延长线于G．AG的延长线交DB的延长线于F，其他条件不变，则结论“OE＝OF”还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．4．（2022春•海淀区校级期中）在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点，过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N．（1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明；（2）连接BD交MN于点F．①根据题意补全图形；②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论．5．（2022春•孝南区期中）如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD 边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E．（1）求证：AP⊥BQ；（2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM 的长度．三、梯子模型一．填空题（共3小题）1．（2022春•湖南期中）如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝6，BC＝2．在运动过程中：（1）Rt△AOB斜边中线的长度是否发生变化（填“是”或“否”）；（2）点D到点O的最大距离是．2．（2020春•江岸区校级月考）如图，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P．若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行．木棍滑动的过程中，点P到点O的距离不变化，在木棍滑动的过程中，△AOB的面积最大为．3．（2018秋•姜堰区期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，点A在y轴上，点C 在x轴上，则点A在移动过程中，BO的最大值是．四、对角互补模型一．选择题（共1小题）1．（2018春•吉州区期末）如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向△ABC外侧作△ABD，使得∠ADB＝120°，再以点C为旋转中心把△CBD沿着顺时针旋转至△CAE，则下列结论：①D、A、E三点共线；②△CDE为等边三角形；③DC平分∠BDA；④DC＝DB+DA，其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二．解答题（共4小题）2．（2021秋•莆田期末）如图，点P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分线OC上，AP⊥BP，点A在x 轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．（1）求点P的坐标．（2）当∠APB绕点P旋转时，①OA+OB的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出这个定值．②请求出OA2+OB2的最小值．3．（2020春•通山县期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．理解：（1）在你所学过四边形中，满足等补四边形定义的四边形是；画图：（2）如图1，在正方形网格中，线段AB的端点在格点上（小正方形的顶点），请你画出1个以格点为顶点，AB为边的等补四边形ABCD；探究：（3）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．4．（2021春•莘县校级期末）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”．（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是（请填序号）；（2）在“完美”四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，连接AC．①如图1，求证：AC平分∠BCD；小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分∠BCD：想法一：通过∠B+∠D＝180°，可延长CB到E，使BE＝CD，通过证明△AEB≌△ACD，从而可证AC 平分∠BCD；想法二：通过AB＝AD，可将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到△AEB，可证C，B，E 三点在一条直线上，从而可证AC平分∠BCD．请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分∠BCD；②如图2，当∠BAD＝90°，用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．5．（2021秋•丹阳市期末）四边形ABCD若满足∠A+∠C＝180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”．（1）四边形ABCD为对角互补四边形，且∠B：∠C：∠D＝2：3：4，则∠A的度数为；（2）如图1，四边形ABCD为对角互补四边形，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD．求证：AC平分∠BCD．小云同学是这么做的：延长CD至M，使得DM＝BC，连AM，可证明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此证明出AC平分∠BCD，还可以知道CB、CD、CA三者关系为：；（3）如图2，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠BAD＝60°，AB＝AD，试证明：①AC平分∠BCD；②CA＝CB+CD；（4）如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足∠ABC＝60°，AD＝CD，则BA、BC、BD三者关系为：．五、与正方形有关三垂线一、单选题1．（2021春·全国·八年级专题练习）如图，在正方形ABCD 中，点E 在AB 边上，AF D E ^于点G ，交BC 于点F.若15AE =，5BE =，则AEG △的面积与四边形BFGE 的面积之比是（）A ．13B ．23C ．34D ．9162．（2023春·八年级课时练习）如图，在正方形ABCD 中，点G 为CD 边上一点，以CG 为边向右作正方形CEFG ，连接AF ，BD 交于点P ，连接BG ，过点F 作//FH BG 交BC 于点H ，连接AH ，交BD 于点K ，下列结论中错误的是（）A ．HE CD=B ．AHF △是等腰直角三角形C ．点P 为AF 中点D ．PK BK DP=+二、填空题3．（2021春·全国·八年级专题练习）如图，正方形ABCD 的边长为3，点E 在AB 上，点F 在BC 的延长线上，且AE CF =，则四边形EBFD 的面积为：______．4．（2023春·八年级课时练习）如图，在ABC D 中，90ACB Ð=o ，AC=8，BC=7，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE，连接CE，则CE的长为______．三、解答题5．（2023春·八年级课时练习）已知，如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)．以AD为边作正方形ADEF，连接CF，当点D在线段BC的反向延长线上，且点A，F分别在直线BC的两侧时．(1)求证：△ABD≌△ACF；(2)若正方形ADEF的边长为，对角线AE，DF相交于点O，连接OC，求OC的长度．6．（2021春·全国·八年级专题练习）探究证明：（1）如图1，正方形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上，AM⊥BN．求证：BN=AM；（2）如图2，矩形ABCD中，点M在BC上，EF⊥AM，EF分别交AB、CD于点E、F．求证：EF BCAM AB=；（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=AD=10，BC=CD=5，AM⊥DN，点M、N分别在边BC、AB上，求DNAM的值．7．（2021春·全国·八年级专题练习）如图1，已知正方形ABCD和正方形CEGF，点,,F C B在同一直线上，连接BE ，DF ，DF 与EG 相交于点M ．（1）求证：BE FD =．（2）如图2，N 是BC 边上的一点，连接AN 交BE 于点H ，且BN GM BC GE=．①求证：BN EC =；②若2CE DE =，直接写出BN AB 的值．8．（2023春·八年级课时练习）（1）如图1，正方形ABCD 中，E 为边CD 上一点，连接AE ，过点A 作AF ⊥AE 交CB 的延长线于F ，猜想AE 与AF 的数量关系，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，连接AC ，过点A 作AM ⊥AC 交CB 的延长线于M ，观察并猜想CE 与MF 的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：王师傅有一块如图所示的板材余料，其中∠A=∠C=90°，AB=AD ．王师傅想切一刀后把它拼成正方形．请你帮王师傅在图3中画出剪拼的示意图．9．（2023春·八年级课时练习）如图，四边形ABCD 是正方形，点P 是线段AB 的延长线上一点，点M 是线段AB 上一点，连接DM ，以点M 为直角顶点作MN DM ^交CBP Ð的角平分线于N ，过点C 作//CE MN交AD于E，连接EM，CN，DN．=．（1）求证：DM MN（2）求证：//EM CN．（3）若1AE=，BN=DN的长．10．（2023春·八年级课时练习）平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C在坐标系上，点B （6，6），P是射线OB上一点，将△AOP绕点A顺时针旋转90°，得△ABQ，Q是点P旋转后的对应点．(1)如图1，当OP=Q的坐标；(2)如图2，设点P（x，y）（0＜x＜6），△APQ的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出当S取最小值时，点P的坐标；(3)当BP+BQ=Q的坐标．11．（2022秋·河南郑州·九年级校考阶段练习）（1）如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于点M，交线段CD于点N，证明：AP＝MN；（2）如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB，AP，BD，DC于点M，E，F，N．求证：EF＝ME+FN；（3）若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．六、正方形与45°角的基本图一、单选题1．（2023春·八年级课时练习）如图，有一正方形的纸片ABCD，边长为6，点E是DC边上一点且DC＝3DE，把V ADE沿AE折叠使V ADE落在V AFE的位置，延长EF交BC边于点G，连接BF有以下四个结论：①∠GAE ＝45°；②BG +DE ＝GE ；③点G 是BC 的中点；④连接FC ，则BF ⊥FC ；其中正确的结论序号是（）A ．①②③④B ．①②③C ．①②D ．②③2．（2023春·八年级课时练习）如图，在正方形ABCD 中，AB =6，点E 在边CD 上，且CD =3DE ，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交BC 于点G ，连结AG ，CF ，下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG=CG ；③S △AGE =18；④∠GAE =45°，其中正确的是（）A ．①②③B ．②③④C ．③④①D ．①②④3．（2023春·八年级课时练习）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在线段BC 、CD 上运动，且满足∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别与BD 相交于点M 、N ，下列说法中：①BE +DF ＝EF ；②点A 到线段EF 的距离一定等于正方形的边长；③BE ＝2，DF ＝3，则S △AEF ＝15；④若AB ＝BM ＝3，则MN ＝5．其中结论正确的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题4．（2023春·八年级课时练习）如图，正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上运动（不与点A ，B 重合），45DAM Ð=︒，点F 在射线AM 上，且AF =，CF 与AD 相交于点G ，连接EC 、EF 、EG ．则下列结论：①45ECF Ð=︒；②FE 平分AFG Ð；③BE DG EG +=；④EAF △的面积的最大值是16；其中正确的结论是______．5．（2023春·八年级课时练习）如图，在正方形ABCD 中，E 上一点，连接AE ，将V ADE 沿AE翻折至V AEF ，连接BF 并延长BF 交AE 延长线于点P ，当PF BF 时，DE CD ＝_____．三、解答题6．（2023春·八年级课时练习）如图，点M ，N 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，45MAN Ð=︒，点E 在CB 的延长线上，连接AE ，BE DN =．（1）求证：AE AN =；（2）若3CM =，4CN =，求EM 的长．7．（2023春·八年级课时练习）已知正方形ABCD 中，∠MAN ＝45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC （或它们的延长线）于点M ，N ，AH ⊥MN 于点H ．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H，且MH＝2，AH＝6，求NH的长．（可利用（2）得到的结论）8．（2023春·八年级课时练习）如图．在正方形ABCD中，点E在BC边上，点F在CD延长线上，=，连接EF交BD于点H，连接AH．BE DF（1）求证HE HF =；（2）求AH EF的值；（3）探究AB 、BE 、BH 三条线段之间的数量关系，并证明．9．（2023春·八年级课时练习）将正方形ABCD 放置在平面直角坐标系中，B 与原点重合，点A 的坐标为()0,a ，点E 的坐标为(),0b ，并且实数a ，b 使式子3b =成立，(1)直接写出点D 、E 的坐标：D ______，E ______．(2)∠AEF ＝90°，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ，①如图①，求证AE ＝EF ；②如图②，连接AF 交DC 于点G ，作GM AD P 交AE 于点M ，作EN AB P 交AF 于点N ，连接MN ，求四边形MNGE 的面积；(3)如图③，连接正方形ABCD 的对角线AC ，若点P 在AC 上，点Q 在CD 上，且AP ＝CQ ，求()2BP BQ +的最小值．10．（2022春·河南南阳·八年级校联考期末）已知正方形ABCD ，点E ，F 分别是边AB ，BC 上的动点．（1）如图1，点E ，F 分别是边AB ，CD 上的中点，证明DE ＝DF ；（2）如图2，若正方形ABCD 的边长为1，△BEF 的周长为2．①试证明∠EDF ＝45°；②请你进一步探究图形的其它重要性质，并将如下A ，B ，C ，D 四个结论中，正确的代号直接填写在横线上（不必写出推理过程）：_________．A ．△DEF 一定是等腰三角形．B ．EF ＝AE +CF ．C ．△DEF 中，EF 边上的高为定值．D ．△DEF 的面积存在最小值．11．（2021春·陕西安康·八年级统考期末）如图，在ABCD Y 中，BAD Ð的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，以EC 、CF 为邻边作ECFG Y ，如图①所示．（1）求证：ECFG Y 是菱形；（2）若120ABC Ð=︒，连接BG 、CG 、DG ，如图②所示，求证：DGC BGE D @D ；（3）若90ABC Ð=︒，8AB =，14AD =，M 是EF 的中点，如图③所示，求DM 的长．12．（2023春·八年级课时练习）在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且∠EAF =45°．EA 交BD 于M ，AF 交BD 于N ．(1)作△APB≌△AND（如图①），求证：△APM≌△ANM；(2)求证：222=+；MN BM DN(3)矩形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，∠MAN=∠CMN=45°，（如图②），请你直接写出线段MN，BM，DN之间的数量关系．13．（2022春·辽宁葫芦岛·八年级校考期中）如图，正方形ABCO的边长为4cm，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿从点A向终点O运动，点Q从点O同时出发，以相同的速度沿射线AO方向运动，规定点P 到达点O时，点Q也停止运动，连接BP，过点P作BP的垂线，与过点Q平行于OC的直线l相交于点D ，BD 与y 轴交于点E ，连接PE ，设点P 运动的时间为t （秒）（1）PBD Ð的度数为（2）点D 的运动总路径长为______cm ：（3）探索线段PE 、AP 、CE 的数量关系，并说明理由；（4）当PBE △为等腰三角形时，求t 的值．14．（2022春·湖南长沙·八年级校考阶段练习）将正方形ABCD 放置在平面直角坐标系中，B 与原点重合，点A 的坐标为()0,a ，点E 的坐标为(),0b ，并且实数a ，b ()230b -=成立．(1)直接写出点D 、E 的坐标：D______，E______．(2)90AEF Ð=︒，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．①如图①，求证AE EF =；②如图②，连接AF 交DC 于点G ，作GM AD ∥交AE 于点M ，作EN AB ∥交AF 于点N ，连接MN ，求四边形MNGE 的面积．(3)如图③，连接正方形ABCD 的对角线AC ，若点P 在AC 上，点Q 在CD 上，且AP CQ =，求()2BP BQ +的最小值．。