自动控制原理参考答案-第4章

第四章

题4-1：试绘制如下负反馈控制系统开环传递函数以K(g K )为参变量的闭环根

轨迹。

(1) K(0.5s 1)

G(s)H(s)s(0.1s 1)(0.2s 1)

+=++

(2) g 2

K (s 3)G(s)H(s)s(s 2s 2)+=++

(3) g 2K (s 2)

G(s)H(s)(s 2s 2)

+=++

(4) g K (s 4)G(s)H(s)s(s 1)(s 2)(s 3)

+=+++ (5) g 2

K (s 2)

G(s)H(s)(s 1)(s 4s 16)

+=

-++

(1) 根轨迹方程：

21

(10)(5)g

s s s s K +=-

++ K K g 25= a) 零点与极点：21-=z ，101-=p ，52-=p ，03=p

b) 根轨迹趋向：2n m -≥，则极点-5，-10之间的根轨迹向右渐进．

c) 渐近线：180(12)902

6.5k k n ϕσ±+⎧

=

=±⎪⎨⎪-=-⎩ d) 分离点与会合点：令

0g

K s

∂=∂

即：010*******

3

=+++s s s 17.34s ⇒=-；2,3 1.5794 2.0776j s =-±(舍去)

根轨迹如下图：

(2) 根轨迹方程：

31

(1)(1)g

s s s j s j K +=-+++-

a) 零点与极点：31-=z ，j p +-=11，j p --=12，03=p

b) 根轨迹趋向：2n m -≥，见图

c) 渐近线：180(12)902

0.5

k k n ϕσ±+⎧

=

=±⎪⎨⎪-=⎩ d) 与虚轴交点：

特征方程：322(2)30g g s s K s K ++++=

3210

122320.53g g

g

g

s K s K s K s K +-

当4g K =时，01222=+s 2.45s j ⇒=± e) 出射角：180(12)sc n ββα=±+-+∑∑

1809013526.618.43=±--+=

根轨迹如下图：

(3) 根轨迹方程：

21

(1)(1)g

s s j s j K +=-

+++- a) 零点与极点：21-=z ，j p +-=11，j p --=12

b) 分离点与会合点：

在实轴上只有一个零点，在其右侧无根．则两个极点一个趋向负无穷，

一个趋向2-，令0g

K s

∂=∂ 即：0242=++s s 1 3.41s ⇒=-；20.5858s =-(舍去) c) 渐近线：180k ϕ=±

d) 出射角：135sc β=

根轨迹如下图(以(-2，0)为圆心的圆弧)：

(4) 根轨迹方程：

41

(1)(2)(3)g

s s s s s K +=-

+++ a) 零点与极点：41-=z ，11-=p ，22-=p ，33-=p ，04=p

b) 根轨迹趋向：2n m -≥，见图

c) 渐近线：60,180

0.67

k k ϕσ⎧=±±⎪⎨-=-⎪⎩

d) 分离点与会合点：令0g

K s

∂=∂ 即：0248883283234=++++s s s s

10.4108s ⇒=-(分离点)；2 2.686s =-(分离点)；3 4.6911s =-(会合点)；4 1.5455s =-(舍去) e) 与虚轴的交点：

特征方程：432611(6)40g g s s s K s K +++++=

4322

10

11146

611046

36090604g

g g

g

g g

g g

s K s K s K K K K s K s K +----

令2

360900g g K K --=，解得1 3.84g K =，293.84g K =-(舍去)

当 3.84g K =时，29.3615.360s += 1.28s j ⇒=± 根轨迹如下图：

(5)

1

g

K =- a) 零点与极点：21-=z ，11=p ，j p 3222+-=，j p 3223--=

b) 根轨迹趋向：2n m -≥，见图

c) 渐近线：90

0.5k k

ϕσ⎧=±⎪⎨-=-⎪⎩

d) 出射角：49.1sc β=± 根轨迹如下图：

题4-2：试绘制如下负反馈控制系统开环传递函数以a 为参变量的根轨迹，并讨论a 的改变对系统性能产生的影响，指出系统稳定的a 值范围。

2

0.25(s a)G(s)H(s)s (s 1)

+=

+

由特征方程321()()0.250.250G s H s s s s a +=+++=

得到广义根轨迹方程：2111

(1)0.250.25g s s s a K =-=-

++ a) 零点与极点：01=p ；5.03,2-=p

b) 根轨迹趋向：2n m -≥，见图

c) 渐近线：60,1800.33

k k ϕσ⎧=±±⎪

⎨-=-⎪⎩

d) 分离点与会合点：令0g K

s

∂=∂

即2320.250s s ++=10.17s ⇒=-(分离点)，20.5s =-(舍去) e) 与虚轴交点：

025.025.023=+++a s s s

由劳斯判据可以得出，当1=a ，j s 5.02,1±=系统临界稳定，所以当

)1,0(∈a 系统稳定．

a 的改变会影响闭环主导极点的ξ、n ω；a 越大[在)1,0(之间]，ξ越小，

超调量越大，系统震荡越剧烈；同时n ω越大，闭环主导极点距离虚轴越近，调节时间越长。 根轨迹如下图：

题4-3：试绘制题3-3所示系统以τ为参变量的根轨迹，并讨论τ逐渐增大时的效应。

系统特征方程：2(82)80s s τ+++=

⇒根轨迹方程：2

11

288g

s s s K τ=-=-++ 零点与极点：01=z ，1,21 2.65p j =-±