1.3 条件概率与全概率公式

6 5 （2）P ( AB ) P( A) P( B A) 0.33 10 9 4 6 （3）P ( AB ) P ( A) P ( B A) 0.27 10 9
三、全概率公式
例
一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回 地每次任取１只，连取２次，求第二次取到白球 的概率 A={第一次取到白球} B={第二次取到白球} ，且ＡＢ与 AB
3
可列可加性 : 设 A1 , A2 ,是两两互斥事件 ,则有
P Ai B P Ai B i 1 i 1
所以在第二节中证明的 性质对条件概率都成立.
例如：
(1) P( | A) 0
(2) P(B | A) 1 - P(B| A)
Ｐ(Ａ)≥0 Ｐ(Ω)=1
可列可加性：
两两互不相容 时 Ｐ（Ａ1 ∪Ａ2 ∪…）=Ｐ（Ａ1）+Ｐ（Ａ2）+…
A1 , A2 ,
P() 0
P( Ai ) P( Ai), 各Ai，A j互不相容
i 1 i 1 n n
P( A B) P( A) P( B) P( AB)
引例.一箱中混装有3个厂生产的同类产品,知: 1厂占有1/2,次品率为2%, 2厂占有1/4,次品率为2%, 3厂占有1/4,次品率为4%,
Ω
A1
A
任取1件,求取到次品的概率.
A3
A2
定理 设S是样本空间，事件组B1，B2， „，Bn为S
的一个划分，且P(Bi ) >0，A为一事件，则有
P(A) = P(A|B1) P(B1) +P(A|B2) P(B2) + „ +P(A|Bn) P(Bn) ，并且称此式为全概率公式. 证明：由 A = A S = A (B1∪B2 ∪ „ ∪Bn ) = AB1∪AB2 ∪ „ ∪ABn ，B 由假设进而得到
A( B C ) ( AB) ( AC )
A (BC) (A B)(A C)
摩根律
AB A B
A B A B
Venn图演示集合的关系与运算
古典概型的概率计算
确定试验的基本事件总数
设试验结果共有n个基本事件ω1，ω2，...，ωn ， 而且这些事件的发生具有相同的可能性
第二节
随机事件的概率
概率论
集合论
样本空间（必然事件） Ω
不可能事件 Φ
全集
空集Φ
子事件 A⊂B
和事件 A∪B
子集A⊂B
并集A∪B
积事件 A∩B
差事件 A-B
交集A∩B
差集A-B
对立事件
A
补集
A
事件之间的运算律

交换律
A B B A AB BA
结合律
分配律
( A B) C A ( B C )
若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是 奇数的概率
即事件 B 已发生，求事 件 A 的概率 Ｐ（Ａ｜Ｂ） A B 都发生，但样本空间 缩小到只包含Ｂ的样本点 AB 2 P( A | B) B 3
A ( A )
AB (AB )
B ( B )

(n)
条件概率 Conditional Probability
解: 样本空间 S =｛(1,1),(1,2),„,(1,6), (2,1 )„,(2,6)， „，(6,6)｝, B =｛(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)｝, A =｛(1,3)，(2,2)，(3,1)｝, A B =｛(2,2)｝. 于是 P(A|B)= P(AB)/ P(B)=(1/36)/(6/36)=1/6 .
另解：减缩样本空间 S′= B = ｛(1,1)，(2,2)，(3,3)， (4,4)，(5,5)，(6,6)｝， 而 B 中只有一个样本点(2,2)属于A， 所以 P(A|B)= 1/6 .
例2
设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品， 规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得 一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等 品的概率．
(3) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC| A)
计算条件概率P(A|B)的方法
1)用定义：P(A|B)= P(AB)/ P(B)； 2)减缩样本空间：将 S减缩为S′= B，在B中 计算A的概率.
例 1 掷两颗骰子，记 B = “两颗骰子点数相等”， A = “两颗骰子点数之和为4”，求 P(A|B).
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P ( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 （2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：
P( AB) 70 100 P( A B) 0.7368 P( B) 95 100
解 设“两颗骰子的点数之和在4和10”为事件A 总的基本事件数为
6 36
2
A
所包含的样本点为
1,1 , 1,2 , 2,1 , 5,6 , 6,5, 6,6
1 5 所以 P( A) 1 P( A) 1 6 6
已知P（A）=0.3,P(B)=0.6,试在下列两种
P ( AB) P ( B) 0.4 P ( B | A) 0.5 P ( A) P ( A) 0.8
条件概率的性质(自行验证)
条件概率 P | B 具备概率定义的三个性质 :
1 2
非负性 : 对于任意的事件 A ,P A | B 0 ; 规范性 : P | B 1 ;
P( A B) P( AB)
例 设某种动物由出生算起活到20年以上的概 率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁 的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？ 解 设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
所求为 P(B|A) . 依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
1 6 34803 6 6 6 5 3 4 3 3 0.7459 6 46656
1.3 条件概率与全概率公式
一、条件概率 Conditional Probability
抛掷一颗骰子,观察出现的点数 A={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝ B={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝
解
因为 Ｂ＝ＡＢ∪ AB
互不相容，所以
P( B) P( AB) P( AB)
P( A) P( B A) P( A) P( B A)
6 5 4 6 ＝ 0.6 10 9 10 9
全概率公式
AB AB
A
B
A
P( B) P( AB AB) P( AB) P( AB)
二、乘法法则
P ( AB ) P ( A) P ( B A) P( B) P( A B)
推广
P( AB) P( B A) P( A) P( AB) P( A B) P( B)
P( ABC) P( A)P(B A) P(C | AB)
P( A1 A2 An ) P( A1 ) P( A2 A1 ) P( A3 ( A1 A2 )) P( An ( A1 A2 An 1 ))
A B
P( A B) P() 0
P( B A) P( B) P( A) 0.3
考察甲，乙两个城市6月逐日降雨情况。已 知甲城出现雨天的概率是0.3, 乙城出现雨天
的概率是0.4,
现雨天的概率.
甲乙两城至少有一个出现雨
天的概率为0.52, 试计算甲乙两城同一天出 解 设A表示“甲城下雨”，B表示“乙城下雨” 则
1
A
S Bn
B2 P(A) = P(AB1)+P(AB2)+„ +P(ABn )=
P(A|B1) P(B1) +P(A|B2) P(B2) + „ +P(A|Bn) P(Bn) .
注：
全概率公式用于求复杂事件的概率；
乘法公式的应用： 乘法公式主要用于求几个事件同时发生的概率. 例 一批零件100个，其中10个不合格品，从中一个一 个不返回取出，求第三次才取出不合格品的概率. 解：记 Ai=“第i次取出的是不合格品”， Bi=“第i次取出的是合格品”，依题意： P(B1B2A3) = P(B1)P(B2|B1)P(A3|B1B2) = (90/100)(89/99)(10/98)=0.0825 .
情形下分别求出P(A-B)与P(B-A) (1) 事件A,B互不相容
解
(2) 事件A,B有包含关系
(1) 由于 AB , 因此 A B A, B A B
P( A B) P( A) 0.3 P( B A) P( B) 0.6
(2) 由已知条件和性质,推得必定有
若 A B，则 P (B － A) = P(B) － P(A)
P( A ) 1 P( A)
P( A B C ) P( A) P( B) P(C ) P( AB) P( BC ) P( AC ) P( ABC )
投掷两颗骰子,试计算两颗骰子的点数之
和在4和10之间的概率（含4和10）.
P( A) 0.3, P( B) 0.4, P( A B) 0.52
所以 P( AB) P( A) P( B) P( A B) 0.18
把6个小球随机地投入6个盒内(球,盒
可识别),求前三个盒当中有空盒的概率. 解 设 Ai 表示第 i 个盒空着 则所求概率为
P( A1 A2 A3 ) P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A1 A2 ) P( A1 A3 ) P( A2 A3 ) P( A1 A2 A3 )
定义 设Ａ，Ｂ为同一个随机试验中的两个随机事件 , 且Ｐ（Ｂ）＞０， 则称
P ( AB ) P( A B) P( B)
为在事件Ｂ发生的条件下，事件Ａ发生的条件概率．
条件概率 P(A|B)的样本空间

B
A
B
A
Sample space
Reduced sample space given event B
P( AB)
P( A | B)
概率 P(A|B)与P(AB)的区别与联系
联系：事件A，B都发生了
区别： （1）在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，
B先A后；在P（AB）中，事件A，B同时发生。
（2）样本空间不ห้องสมุดไป่ตู้，在P(A|B)中，事件B成为样本
空间；在P（AB）中，样本空间仍为
因而有
。
P( A) P( B | A) P( A) P( B | A)
定义完备事件组：
设 是试验E的样本空间，事件A1,A2,….,An是 样本空间的一个划分，满足： (1)A1∪A2 ∪…. ∪An= (2) A1,A2 ,…. ,An两两互不相容，则称事件 A1,A2 ,…. ,An组成样本空间 的一个完备事件组。
一个盒子中有６只白球、４只黑球，从中不放回地 每次任取１只，连取２次，求 (1) 第一次取得白球的概 率； (2) 第一、第二次都取得白球的概率； (3) 第一次取 得黑球而第二次取得白球的概率．
解
设Ａ表示第一次取得白球, Ｂ表示第二次取得白球, 则 6 （1） P ( A) 0.6 10
A 的几何度量 L( A) P( A) S的几何度量 L( S )
几何度量--------指长度、面积或体积
概率的公理 化定义
给定一个随机试验，Ω是它的样本空间，对于 任意一个事件Ａ，赋予一个实数
P ( A) ，如果
那么，称
非负性： 规范性：
P()满足下列三条公理， P ( A) 为事件Ａ的概率．
确定事件A包含的基本事件数
事件Ａ由其中的m个基本事件组成
事件A包含的基本事件数 m P( A) 试验的基本事件总数 n
几何概型 Geometric Probability
将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可
能性，就得到几何概型。
特点 有一个可度量的几何图形S 试验E看成在S中随机地投掷一点 事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中