立体几何动点问题

一、动点轨迹问题 这类问题往往是先利用题中条件把立几问题转化为平面几何问题，再判断动点轨迹。
例 1 定点 A 和 B 都在平面 内，定点 P ， PB ，
C 是 内异于 A 和 B 的动点，且 PC AC。那么，动点 C 在平面 内的轨迹是（ ）
A. 一条线段，但要去掉两个点
B. 一个圆，但要去掉两个点
【解析】将 △ABE 沿着直线 BE 翻转成 ABE1的过程中，
AB1 的长度始终是保持不变的，这样，点 A1 在以 B 为球
心，以 AB 为半径的球面上，所以点 A1 的形成轨迹为圆弧，选择 B. A B
总结:在空间，到定点的距离为定长的点的轨迹为球，球的概念生成的两个必要条件为定点与定长，解
题时注意把控.
在对角面
BB1D1D
上找一动点
M，使
AM+ME
最小.
3 2
a
．
四、常见的轨迹问题
D1
C1
A1
B1
E
M D
C
A
O
B
例 4 题图
（1）轨迹类型识别
此类问题最为常见，求解时，关注几何体的特征，灵活选择几何法与代数法.
例 5、（北京）平面 的斜线 AB 交 于点 B，过定点 A 的动直线 l 与 AB 垂直，且交
PDB1 MDB1 ，则点P的轨迹是：（
（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线
） （D）抛物线
6．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, 点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界 上运动, 并总是保持 AP BD1 , 则动点 P 的轨迹( 7.如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,，点 M 是棱 CD 的中点，点
立直角坐标系 x D y
，设 P x y , ，则有 y2
1x
D Q A
化简可得：x2 —y2 =1，即动点 P 的轨迹所在的曲线为双曲线，选择 B. 总结：从几何角度不好入手时，可以尝试从代数的角度，利用解析法求解出相应轨迹
D N A x
（2）与轨迹相关的度量
MP
C B
C y
B
与轨迹相关的度量，具体涉及到轨迹长度，轨迹面的面积，轨迹体的体积，以及与轨迹相关的角
五、练习 1．如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E，F，且 EF=2， 则下列结论中错 误的个数是( )
(1) AC⊥BE. (2) 若 P 为 AA1 上的一点,则 P 到平面 BEF 的距离为 2. (3) 三棱锥 A-BEF 的体积为定值. (4) 在空间与 DD1,AC,B1C1 都相交的直线有无数条. (5) 过 CC1 的中点与直线 AC1 所成角为 40 并且与平面 BEF 所成角为 50 的直线有 2 条.
且由条件 PT=PR=PQ·sinθ，∴
为小于 1 的常数，故轨迹图形应选（D）。
二、几何体的截痕
例 3：球在平面上的斜射影为椭园：已知一巨型广告汽球直径 6 米，太阳光线与地面所成角为 60°，
求此广告汽球在地面上投影椭圆的离心率和面积（椭圆面积公式为 S=πab，其中 a,b 为长、短半轴长）。
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解：由于太阳光线可认定为平行光线，故广告球的投影 椭园等价于以广告球直径为直径的圆柱截面椭园：此时
b=R，a=
=2R，∴离心率
，
投影面积 S=πab=π·k·2R=2πR2=18π。
三、动点与某点（面）的距离问题
例 4．正方体 ABCD A1B1C1D1中，棱长为 a，E 是 AA1 的中点，
0 是侧面 AA1DlD 的中心，若点 P 在侧面 BBlC1C 及其边界上运动，并且 保持 OP⊥AM，则动点 P 的轨迹是( )
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【解析】点 A 在 l 上移动，点 B 在平面 上移动过程中，AB 的中点 M 到 O 点的距离始终保持不变，即 AB
的中点始终在以 O 为球心，1 为半径的球面上.由此可以采用几何法处理，如图，连接
OD 、 MO 、MD，易知 OM +MD
OD ，所以 OD 的最大值为 C
本题亦可采用代数法求解，如图所示建立坐标系，
2．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1 上有两个动点 E, F ，且 EF
2 2 ,则
下列结论中错误的是（ ）
A． AC BE
B． EF ∥平面 ABCD
C．三棱锥 A BEF 的体积为定值 D．△AEF 与△BEF 的面积相等
3.关于图中的正方体 ABCD A1B1C1D1 ，下列说法正确的有： ① P 点在线段 BD上运动，棱锥 P AB1D1 体积不变； ② P 点在线段 BD上运动，二面角 P B1D1 A 不变； ③一个平面 截此正方体，如果截面是三角形，则必为锐角三角形； ④一个平面 截此正方体，如果截面是四边形，则必为平行四边形； ⑤平面 截正方体得到一个六边形（如图所示），则截面 在平面 AB1D1 与平面 BDC1 间平行移动时此六边形周长先增大，后减小。
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总结：利用几何法解决问题，关键抓住几何要素，本题中线段的中点在球面上是几何法解决问题的突 破口.利用代数法解决问题时，选择合适的建系方案，尽可能的简化运算.
例 13（2015 上海 13 校联考）直线 m ⊥平面 ，垂足为 O ，正四面体 ABCD 的棱长是 4. 点 C 在平 面 上运动，点 B 在直线 m 上运动，则点 O 到直线 AD 的距离的取值范围是（2 +1 ）
例 6、如图，在正方体 ABCD A1 B1C1D1 中，若四边形 A1BCD1 内一动点 P 到 AB1和 BC
的距离相等，则点 P 的轨迹为（ ）
A．椭圆的一部分
B．圆的一部分
C．一条线段
D．抛物线的一部分
P DO
C B
C B
【解析】由于 AB1 平面 ABCD11，连接 OP ，此即为点 P 到 AB1 的距离，由此，动点 P 到 AB1 和 BC 的
总结：“动中寻静”，充分挖掘不变量，是解决此类问题的关键，另外需注意圆柱面的生成过程.
例 8、如图，在矩形 ABCD 中，E 为边 AD 上的动点，将 △ABE 沿着直线 BE 翻转成△ABE1 ，
使平面 ABE1 ⊥平面 ABCD ，则点 A1 的轨迹是（ ）
A.线段
B.圆弧
C.椭圆的一部分 D.以上都不是
例 9、已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，点 P 是平面 ABCD 内的动点，若点 P 到直
线 A1D 1 的距离等于点 P 到直线 CD 的距离，则动点 P 的轨迹所在的曲线是（ ）
A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线
【解析】本题从几何的角度很难找到突破口，可以尝试从代数的角度处理：如图，建
于点 C ，则动点 C 的轨迹是( )
A．一条直线 B.一个圆 C.一个椭圆 D.双曲线的一支
【解析】直线 l 运动后形成的轨迹刚好为线段 AB 的垂面，由公理二易知点 C 刚好落在平面 与线段
AB 的垂面的交线上，所以动点 C 的轨迹是一条直线.选择 A.
总结：空间的轨迹最简单的一直存在形式就是两个平面的交线，处理问题中注意识别即可.
各个面上交线的长度计算，正方体的各个面根据与球心位置关系分成二类：ABCD，
AA1DD1，AA1BB1 为过球心的截面，截痕为大圆弧，各弧圆心角为 ，A1B1C1D1， B1BCC1，D1DCC1 为与球心距离为 1 的截面，截痕为小圆弧，由于截面圆半径为
，故各段弧圆心角为 ，∴这条曲线长度为
。
例 12、已知直线 l⊥ 平面 ，垂足为 O ，在矩形中 ABCD ，AD =1，AB = 2，若点 A 在 l 上移动，点 B 在平面 上移动，则 O 、D 两点间距离的最大值为（ +1
为定值，则动点 P 的轨迹是（ ）A．圆 B．椭圆 C．一条直线 D．两条平行直线
【解析】考虑到三角形的面积为定值，结合线段 AB 固定，易知动点 P 到线段 AB 的距离为定值，结合
前文定义，在空间到定直线距离为定值的点的轨迹为以定直线为轴的圆柱面，可以得到 P 点在此圆柱
面上，又点 P 在平面 内运动，所以点 P 在平面 与圆柱面的截线上，由于 AB 是平面 的斜线段．．．， 所以平面 与圆柱面斜交，由命题 1，可以得到动点 P 的轨迹是椭圆
度、距离、周长等.
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例 10、在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，M N 分别为 AC1、A1B 1 的中点，点 P 在正方体的表面上
运动，则总能使 MP 与 BN 垂直的点 P 所构成的轨迹的周长为________.
【解析】依照题意，只需过点 M 作直线 BN 的垂面即可，
0 CQ 1
①当
2 时,S 为四边形;
CQ 1
②当
2 时,S 不为等腰梯形;
③当
CQ
3 4
时,S
与
C1D1
的交点
R
满足
C1R
1 3
;
3 CQ 1
④当 4
时,S 为六边形;
6 ⑤当 CQ 1时,S 的面积为 2 .
①⑤
5. 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,M是 CC1 的中点，若点P在 ABB1A1 所在的平面上，满足
垂面与正方体表面的交线即为动点 P 的轨迹. D1 分别取 CC1 、DD1 中点 G 、
H ，易知 BN 平面 AGHD ，过 M 作平面 AGHD 的平行平面 EFG H
，点 P 所构成的轨迹即为四边形 EFG H
，其周长与四边形
AGHD 的周长相等，所以点 P 所构成的轨迹的周长为 2 5 .
总结：本题中面面的交线（截痕）即为动点 P 的轨迹，处理问题的关键抓住线面垂直，进行合理
ห้องสมุดไป่ตู้转化.
例 11.已知边长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1，在正方体表面上距 A 为 正方体表面上的一条曲线，求这条曲线的长度。
（在空间）的点的轨迹是
解：此问题的实质是以 A 为球心、
为半径的球在正方体 ABCD—A1B1C1D1，
C. 一个椭圆，但要去掉两个点
D. 半圆，但要去掉两个点
例 2 若三棱锥 A—BCD 的侧面 ABC 内一动点 P 到平面 BCD 距离与到棱 AB 距离相等，则动点 P 的轨迹与
△ABC 组成的图形可能是（ ）
解：设二面角 A—BC—D 大小为 θ，作 PR⊥面 BCD，R 为垂足，PQ⊥BC 于 Q，PT⊥AB 于 T，则∠PQR=θ，
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立体几何与平面解析几何的交汇问题
在教材中，立体几何与解析几何是互相独立的两章，彼此分离不相联系，实际上，从空间维数看，平 面几何是二维的，立体几何是三维的，因此，立体几何是由平面几何升维而产生；另一方面，从立体几何
与解析几何的联系看，解析几何中的直线是空间二个平面的交线，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）是 平面截圆锥面所产生的截线；从轨迹的观点看，空间中的曲面（曲线）是空间中动点运动的轨迹，正因为 平面几何与立体几何有这么许多千丝万缕的联系，因此，在平面几何与立体几何的交汇点，新知识生长的 土壤特别肥沃，创新型题型的生长空间也相当宽广，这一点，在高考卷中已有充分展示，应引起我们在复 习中的足够重视。
D1 A1
G
D
H
A
I
F
C1
E
B1
J C
B
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4、如图,正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面
截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是___________(写出所有 正确命题的编号).
距离相等转化为在平面内到定点（定直线外）的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹问 题，符合抛
物线的定义，所以本题选 D.
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总结：立体几何中的距离问题，往往需要借助线面垂直转化；涉及到动点的轨迹问题，优先考虑定义
法.
例 7、（浙江）如图，AB 是平面 的斜线段．．．，A 为斜足，若点 P 在平面 内运动，使得△ABP 的面积