微观粒子的波动性和状态描述习题解答

第二十二章 微观粒子的波动性和状态描述

一 选择题

1．如果两种不同质量的粒子，其德布罗意波长相同，则这两种粒子的( A ) A. 动量相同 B. 能量相同 C. 速度相同 D. 动能相同 2．关于不确定关系D x D p x ³

2

有以下几种理解，其中正确的是：( C ) （1） 粒子的动量不可能确定 （2） 粒子的坐标不可能确定

（3） 粒子的动量和坐标不可能同时确定

（4） 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子

A. （1），（2）

B. （2），（4）

C. （3），（4）

D. （4），（1） 3. 将波函数在空间各点的振幅同时增大2 倍，则粒子在空间的分布概率密度将( D )

A. 增大2 倍

B. 增大2 倍

C. 增大4倍

D. 不变 二 填空题

1．运动速率等于在300K 时方均根速率的氢原子的德布罗意波长是0.145nm 。质量为M =1g ，以速度v =1cm·s -1运动的小球的德布罗意波长是6.63´10-20nm 。（氢原子质量

m H =1.67×10-27 kg ）

2．当电子受到1.0MV 的加速电压作用后，其德布罗意波长为8.7×10-13 m 。 （提示：须考虑相对论效应）

3．如果电子被限制在边界x 与x +D x 之间，D x =0.05nm,，则电子动量x 分量的不确定量近似为__ 1.3×10-23 _kg·m/s。

4. 如果系统的激发态能级宽度为1.1eV ，此态的寿命是

5.99×10

16

s 。

5．设描述微观粒子运动的波函数为Y (r , t )，则YY*表示粒子在t 时刻在（x , y , z ）处出现的概率密度；Y (r , t )须满足的条件是单值、有限、连续 ；其归一化条件是

1=d d d 2

z y x Ψ。

三 计算题

1．若不考虑相对论效应，则波长为550nm 的电子的动能是多少e V ？

解：非相对论动能2

k 2

1v m E ，而p = mv ，所以m p E 22k 。又根据德布罗意关系有

p = h /l 代入上式，则

62

2

k 1098.42 ×

m h E eV 2．假如电子运动速度与光速可以比拟，则当电子的动能等于它静止能量的2倍时，

其德布罗意波长为多少？

解：若电子的动量是它的静止能量的两倍，则：

m c 2 - m e c 2 = 2 m e c 2

故： m = 3 m e

由相对论公式 22e 1c m m v 有 22e e 13 c m m v

解得 38 c v

德布罗意波长为 13

e

10

58.8 8 ×c m h m h v m

3. 同时确定能量为1KeV 的电子的位置与动量时，若位置的不确定值在0.1nm 以内，

则动量不确定值的相对比值

p / p 至少为多少 ？

解：1KeV 的电子的动量（按非相对论计算）为

12321k s m kg 1071.12 ×mE p

根据不确定关系式 p x ，得到

124s m kg 1006.1 ×x p

故062.0/ p p 。

（若按2/ ≥p x 估计，031.0/ p p ） 4．如果原子某激发态的平均寿命为108s ，该激发态的能级宽度约是多少？

解：根据关系式 t E ，激发态的能级宽度

26

8

3410

05.1101005.1 t E J 5. 如果一个质量为m 的粒子被限制在x =0到x =L 的直线段上作自由运动，试计算系统处于最低能态时的能量。

（提示：粒子的德布罗意波满足驻波条件）

解：依题意，粒子德布罗意波的定态波函数不为零的区域为0x L ，x =0和x =L 处相当于固定反射端，因此德布罗意波必满足驻波条件。粒子在0x L 区域形成稳

定的驻波，其波长满足

,3,2,1 2

n n L

粒子的动量

L

nh h

p 2

自由粒子的能量就是它的动能，因此

2

2

2282mL h n m p E n

当n =1时，系统处于最低能态，其能量为2

2

18mL h E 。

6. 一个粒子沿x 方向运动，其波函数为

)( 11

)( x ix

c

x 试求：（1）归一化常数c ；（2）发现粒子概率密度最大的位置；（3）在x =0到x =1之间

粒子出现的概率。

解：（1）由波函数的归一化条件

1d )(2

V x

运动为一维粒子时，有

1π2

π2d 12

222

c c x x c

π

1 c （2）概率密度

π)1(1

11π1)(2

2

2

x ix

x w 而

2

)1(2π1d d x x x w

令上式为零，得到x =0。因此发现粒子概率密度最大的位置是在x =0处。

（3）在x =0到x =1之间粒子出现的概率为

%254

1)0arctan 1(arctan π1d )1(π1d 1

021

x x x w P

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