北师大版-数学-九年级上册-正方形性质及判定口诀
新北师大版九年级正方形的性质与判定-第二课时
1、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上， 且CE=AC，AE交CD于F，则求∠AFC的度数。
A
D
F
B
C
E
2、 直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，
DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB ∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90° 而∠ACB=90° ∴ 四边形ABCD为矩形( 有三个角是直角的四边形是矩形) ∵ CD平分∠ACB DE⊥AC， DF⊥BC ∴ DE=DF(
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
5种识 别方法
一个角是直角且一组邻边相等
例2.已知：在矩形ABCD中，BE平分∠ABC， CE平分∠DCB，BF∥CE,CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形.
A E D
B
C
F
议一议
• 1、以四边形各边的中点为顶点可以组成 一个什么图形？ • 2、以菱形各边的中点为顶点可以组成一 个什么图形？ • 3、以矩形各边的中点为顶点可以组成一 个什么图形？ • 4、以正方形各边的中点为顶点可以组成 一个什么图形？请你证明.
新北师大版九年级数学上册
正方形的判定
贺兰县如意湖中学
陈国林
菱形
平行四边形
正方 形
矩形
一组邻边相等 平行四边形 一内角是直角
正方形
定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边 形叫做正方形
• 满足什么条件的矩形是正方形？ • 满足什么条件的菱形是正方形？ 请证明你的结论.
正方形的判定方法探究：
求证：(1) △ACF≌△DCB
(2)
BH⊥AF
4
以平行四边形、矩形、菱形为基础
1.3正方形的性质与判定-2024-2025学年九年级数学上册同步(教案)(北师大版)河北专版
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与正方形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如制作正方形模型，演示正方形性质的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
难点解析：通过多种类型的练习题，让学生熟悉各种判定方法的使用场景，提高解题能力。
（3）证明过程的严谨性：在证明正方形性质和判定方法时，要求学生具有严谨的逻辑推理能力，避免在论证过程中出现漏洞。
难点解析：教师可引导学生学习证明方法，强调证明过程的严谨性，通过示范和练习，提高学生的逻辑推理能力。
（4）实际应用：将正方形的性质和判定方法应用于解决实际问题，培养学生的数学建模能力。
2.正方形的判定：根据正方形的定义及性质，判定一个四边形是否为正方形。具体包括：①四条边相等；②四个角为直角；③对角线互相垂直平分；④一组邻边相等且垂直的矩形；⑤对角线相等且互相垂直平分的四边形。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.空间观念：通过正方形性质的学习，使学生能够理解并运用空间几何图形的性质，提高空间想象力和直觉思维能力。
1.3正方形的性质与判定-2024-2025学年九年级数学上册同步（教案）（北师大版）河北专版
一、教学内容
本节课选自2024-2025学年九年级数学上册同步课程，北师大版，河北专版，第三章“四边形”的1.3节“正方形的性质与判定”。教学内容相等；对角线互相垂直平分；四边形四个角为直角；一组邻边相等且垂直的矩形是正方形；对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形。
新北师大版初中数学九年级上册第1章 特殊平行四边形《第3课 正方形的性质与判定》
请证明你的结论，并与同伴交流．
正方形的判定（ 随堂练习1）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD，DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什 么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边 的中点为顶点呢？
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD
中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF．BE
M
与 DF 之间有怎样的关系？请说明
理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF． 理由如下：
（2）延长 BE 交 DF 于点 M． ∵ △BCE ≌ △DCF，∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°，∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°．∴ BE⊥DF．
北师大版九年级数学(上)
第一章 特殊平行四边形
专题1-4 正方形的性质与判定-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.4 正方形的性质与判定-重难点题型【北师大版】【题型1 正方形的性质（求角的度数）】【例1】（2021春•海珠区校级期中）如图，以正方形ABCD的一边AD为边向外作等边△ADE，则∠ABE 的度数是．【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质可得AB＝AD＝AE，∠BAE＝150°，进而可求得∠ABE＝15°．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵△ADE是等边三角形，∴AD＝AE，∠DAE＝60°，∴∠BAE＝∠BAD+DAE＝150°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∴∠ABE=12（180°﹣∠BAE）＝15°，故答案为：15°．【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．【变式1-1】（2021春•黄浦区期末）如图，E为正方形ABCD外一点，AE＝AD，BE交AD于点F，∠ADE ＝75°，则∠AFB＝°．【分析】根据等腰三角形的性质得∠AED＝∠ADE＝75°，由三角形内角和求出顶角∠DAE的度数，根据正方形的性质得△ABE为等腰三角形，再由直角三角形的两锐角互余得答案．【解答】解：∵AE＝AD，∴∠AED＝∠ADE＝75°，∴∠DAE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠BAE＝90°+30°＝120°，∴∠ABE=180°−120°2=30°，∴∠AFB＝90°﹣30°＝60°．故答案为：60．【点评】此题考查了正方形的性质，正方形的四个角都是直角，且各边都相等；在几何证明中常运用等边对等角和等角对等边来证明边相等或角相等；在三角形中，要熟练掌握三角形的内角和定理和直角三角形的两个锐角互余．【变式1-2】（2021春•海淀区校级月考）如图，在正方形ABCD内，以AB为边作等边△ABE，则∠BEG ＝°．【分析】本题通过正方形的性质得到AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，在由等边三角形的性质得到AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°．进而得到∠ADE＝∠AED＝75°，从而得到答案即可．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．又∵三角形ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°．∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠BEG＝180°﹣∠DAE﹣∠AEB＝180°﹣75°﹣60°＝45°．故答案为：45．【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握基础知识是解题的关键．【变式1-3】（2021春•大兴区期中）在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．连接AE，若∠P AB＝20°，求∠ADF的度数．【分析】由对称的性质可得AE＝AB，∠EAB＝40°，即可求得∠EAD的度数，根据正方形的性质可得∠ADF＝∠AED，进而可求解．【解答】解：∵点B关于直线AP的对称点为E，∴AP是对称轴，∴∠P AB＝∠P AE＝20°，∴∠EAB＝2∠BAP＝40°，AE＝AB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠EAD＝130°，∴AE＝AD，∴∠ADF＝∠AED，∴∠ADF=180°−130°2=25°．【点评】本题主要考查正方形的性质，对称的性质，等腰三角形的性质，证得AE＝AD是解题的关键．【题型2 正方形的性质（求线段的长度）】【例2】（2021春•崇川区校级月考）如图，正方形ABCD的边长为1，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，则BE的长为．【分析】先由勾股定理求出BD，再求出AD＝ED，根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：过E作EF⊥AB于F，设EF＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∠ABD＝∠ADB＝45°，∴BD=√2AB=√2，EF＝BF＝x，∴BE=√2x，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠AED＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠AED＝∠DAE，∴AD＝ED，∴BD＝BE+ED=√2x+1=√2，∴x＝1−√2 2，∴BE=√2−1，故答案为：√2−1．【点评】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定；证明三角形是等腰三角形，列出方程是解决问题的关键．【变式2-1】（2021春•余杭区月考）边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是AB、BC的中点，连结EC、FD，点G，H分别是EC、DF的中点，连结GH，则GH的长为．【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到/A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝2√2，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝BC ＝4，∵E ，F 分别是边AB ，BC 的中点，∴AE ＝CF =12×4=2，∵AD ∥BC ，∴∠DPH ＝∠FCH ，在△PDH 和△CFH 中，{∠DPH =∠FCH ∠DHP =∠FHC DH =FH，∴△PDH ≌△CFH （AAS ），∴PD ＝CF ＝2，∴AP ＝AD ﹣PD ＝2，∴PE =√AP 2+AE 2=√22+22=2√2，∵点G ，H 分别是EC ，FD 的中点，∴GH =12EP =√2．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质．【变式2-2】（2021春•南开区期中）如图，正方形ABCD 和正方形CEFG ，点G 在CD 上，AB ＝5，CE ＝2，T 为AF 的中点，求CT 的长．【分析】连接AC ，CF ，如图，根据正方形的性质得到AC =√2，AB ＝5√2，CF =√2CE ＝2√2，∠ACD ＝45°，∠GCF ＝45°，则利用勾股定理得到AF =√58，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到CT 的长．【解答】解：连接AC 、CF ，如图，∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形，∴AC =√2AB ＝5√2，CF =√2CE ＝2√2，∠ACD ＝45°，∠GCF ＝45°，∴∠ACF ＝45°+45°＝90°，在Rt △ACF 中，AF =√(5√2)2+(2√2)2=√58，∵T 为AF 的中点，∴CT =12AF =√582，∴CT 的长为√582． 【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质，也考查了直角三角形斜边上的中线性质．【变式2-3】（2021春•綦江区校级月考）正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且∠EDF ＝45°．（1）求证：EF ＝AE +CF ；（2）当AE ＝1时，求EF 的长．【分析】（1）延长BC 至H ，使CH ＝AE ，连接DH ，可得△DAE ≌△DCH ，则DE ＝DH ，∠ADE ＝∠CDH ；由于∠ADE +∠FDC ＝45°，所以∠FDC +∠HCD ＝45°，可得∠EDF ＝∠HDF ，这样△EDF ≌△HDF ，可得EF ＝FH ，结论得证；（2）设EF ＝x ，由（1）的结论可知CF ＝x ﹣1，BF ＝4﹣x ，在Rt △BEF 中，由勾股定理列出方程，解方程即可求解．【解答】解：（1）证明：延长BC 至H ，使CH ＝AE ，连接DH ，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠A ＝∠DCE ＝90°．∴△DAE ≌△DCH （SAS ）．∴DE ＝DH ，∠ADE ＝∠CDH ．∵∠ADC ＝90°，∠EDF ＝45°，∴∠ADE +∠FDC ＝45°．∴∠FDC +∠CDH ＝45°．即∠FDH ＝45°．∴∠EDF ＝∠FDH ＝45°．在△EDF 和△HDF 中，{DE =DH ∠EDF =∠HDF DF =DF．∴△EDF ≌△HDF （SAS ）．∴EF ＝FH ．∵FH ＝FC +CH ＝FC +AE ，∴EF ＝AE +FC ．（2）设EF ＝x ，则FH ＝x ．∵正方形ABCD 的边长为3，∴AB ＝BC ＝3．∵AE ＝1，∴BE＝2，CH＝1．∴FC＝x﹣1．∴BF＝BC﹣CF＝3﹣（x﹣1）＝4﹣x．在Rt△BEF中，∵BE2+BF2＝EF2，∴22+（4﹣x）2＝x2．解得：x=5 2．∴EF=5 2．【点评】本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等的判定与性质，勾股定理．证明一条线段等于两条线段的和的题目一般采用补短法或截长法，通过构造三角形的全等来解决．【题型3 正方形的性质（求面积、周长）】【例3】（2020春•仪征市期末）正方形ABCD中，AB＝4，点E、F分别在BC、CD上，且BE＝CF，线段BF、AE相交于点O，若图中阴影部分的面积为14，则△ABO的周长为．【分析】由“SAS”可证△ABE≌△BCF，可得S△ABE＝S△BCF，∠BAE＝∠CBF，可求S△ABO=12×（4×4﹣14）＝1，可得2AO•BO＝4，由勾股定理可求AO+BO的值，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，又∵BE＝CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴S△ABE＝S△BCF，∠BAE＝∠CBF，∴S△ABO＝S四边形ECFO，∠BAE+∠AEB＝90°＝∠CBF+∠AEB＝∠AOB，∵图中阴影部分的面积为14，∴S△ABO=12×（4×4﹣14）＝1，∴12×AO ×BO ＝1， ∴2AO •BO ＝4，∵AB 2＝AO 2+BO 2＝16，∴（AO +BO ）2＝20，∴AO +BO ＝2√5，∴△ABO 的周长＝AB +AO +BO ＝2√5+4，故答案为：2√5+4．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，求出AO +BO 的值是本题的关键．【变式3-1】（2021春•仓山区期中）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，点E ，F 分别在CD ，AD 上，CE ＝DF ，BE ，CF 相交于点H ．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD 的面积之比为3：4，则△BCH 的周长为（ ）A ．2√5−4B ．2√5C ．2√5+4D ．2√6+4【分析】先计算出正方形的面积，再由比例求出空白部分的面积，通过证明△BCE ≌△CDF 可求解S △BCH ，∠BHC ＝90°，再由勾股定理及完全平方公式可求解BH +CH 的长，即可求出△BCG 的周长﹒【解答】解：∵四边形ABCD 为正方形，BC ＝CD ＝AB ＝4，∠BCE ＝∠CDF ＝90°，∴S 正方形ABCD ＝16，∵S 阴影：S 正方形ABCD ＝3：4，∴S 阴影=34×16=12， ∴S 空白＝16﹣12＝4，在△BCE 和△CDF 中，{BC =CD ∠BCE =∠D =90°CE =DF，∴△BCE ≌△CDF （SAS ），∴S△BCH＝S四边形EDFH＝2，∠HBC＝∠DCF，∵∠DCF+∠HCB＝90°，∴∠HBC+∠HCB＝90°，∴∠BHC＝90°，∴BH2+CH2＝BC2＝16，BH•CH＝4，∴（BH+CH）2＝BH2+CH2+2BH•CH＝16+2×4＝24，∴BH+CH=2√6，∴△BCH的周长为BH+CH+BC=2√6+4，故选：D．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质及面积的和差相关知识，关键是证明全等两个三角形面积全等，得到△BCH面积．【变式3-2】（2021春•海淀区校级期中）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝6，F为DE的中点．若OF的长为1，则△CEF的周长为（）A．14B．16C．18D．12【分析】由正方形的性质及三角形的中位线可求得BE＝2，由直角三角形斜边上的中线可求得△CEF的周长为ED+EC，利用勾股定理可求解ED的长，进而可求解．【解答】解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝CD，∠BCD＝90°，∵F为DE的中点，∴OF为△DBE的中位线，ED＝2CF＝2EF，∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC，∵OF＝1，∴BE＝2OF＝2，∵CE＝6，∴BC＝BE+CE＝2+6＝8，∴CD＝BC＝8，在Rt△CED中，∠ECD＝90°，CD＝8，CE＝6，∴ED=√CD2+CE2=√82+62=10，∴△CEF的周长为EF+EC+FC＝ED+EC＝10+6＝16，故选：B．【点评】本题主要考查勾股定理，正方形的性质，三角形的中位线，求解ED的长是解题的关键．【变式3-3】（2021春•河西区期中）将5个边长为2cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，A3，A4是正方形的中心，则这个正方形重叠部分的面积和为（）A．2cm2B．1cm2C．4cm2D．6cm2【分析】在正方形ABCD中，作A1E⊥AD，A1F⊥DC，即可证得：△A1EN≌△A1MF，则四边形A1MA2N的面积＝四边形EA1F A2的面积=14正方形ABCD的面积，据此即可求解．【解答】解：如图，在正方形ABCD中，作A1E⊥AD，A1F⊥DC，两边相交于M和N，∠A1EN＝∠A1MF＝90°，∠EA1N+∠ENA1＝90°，∠EA1N+∠F A1M＝90°，∴∠ENA1＝∠F A1M，A1E＝A1F，∴△A 1EN ≌△A 1MF （ASA ），∴四边形A 1MA 2N 的面积＝四边形EA 1F A 2的面积=14正方形ABCD 的面积，同理可证，另外三个阴影四边形的面积都等于14正方形ABCD 的面积， ∴图中重叠部分（阴影部分）的面积和＝正方形ABCD 的面积＝4cm 2，故选：C ．【点评】本题主要考查了正方形的性质，正确作出辅助线，证得：四边形A 1MA 2N 的面积＝四边形EA 1F A 2的面积=14正方形ABCD 的面积是解题的关键．【题型4 正方形的性质（探究数量关系）】【例4】（2020秋•和平区期末）如图，若在正方形ABCD 中，点E 为CD 边上一点，点F 为AD 延长线上一点，且DE ＝DF ，则AE 与CF 之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．【分析】延长AE 交CF 于点G ，根据四边形ABCD 是正方形，证明△ADE ≌△CDF ，进而可得AE ＝CF ，AE ⊥CF ．【解答】解：AE ＝CF ，AE ⊥CF ，理由如下：如图，延长AE 交CF 于点G ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ，∠ADC ＝∠CDE ＝90°，在△ADE 和△CDF 中，{AD =CD ∠ADE =∠CDF DE =DF，∴△ADE ≌△CDF （SAS ），∴AE ＝CF ，∠DAE ＝∠DCF ，∵∠DCF +∠F ＝90°，∴∠DAE +∠F ＝90°，∴AG ⊥CF ，即AE ⊥CF ．∴AE ＝CF ，AE ⊥CF ．【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．【变式4-1】（2020春•西山区期末）如图（1），正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AC 上一点，连接DE ，过点A 作AM ⊥DE ，垂足为M ，AM 与BD 相交于点F ．（1）直接写出OE 与OF 的数量关系： ；（2）如图（2）若点E 在AC 的延长线上，AM ⊥DE 于点M ，AM 交BD 的延长线于点F ，其他条件不变．试探究OE 与OF 的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到OB ＝OA ，又因为AM ⊥BE ，所以∠MEA +∠MAE ＝90°＝∠AFO +∠MAE ，从而求证出△AOF ≌△BOE ，得到OE ＝OF ．（2）由“ASA ”可证△AOF ≌△BOE ，得到OE ＝OF ．【解答】解：（1）∵正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AM ⊥DE ，∴∠AOD ＝∠DOE ＝∠AME ＝90°，OA ＝OD ，∴∠MEA +∠MAE ＝90°＝∠AFO +∠MAE ，∴∠AFO ＝∠MEA ，在△AOF 和△DOE 中，{∠AFO =∠MEA AO =DO ∠AOF =∠DOE =90°，∴△AOF ≌△BOE （ASA ），∴OE ＝OF ，故答案为：OE ＝OF ；（2）OE ＝OF ，理由如下：∵正方形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，AM ⊥DE ，∴∠AOD ＝∠DOE ＝∠AME ＝90°，OA ＝OD ，∴∠MEA +∠MAE ＝90°＝∠AFO +∠MAE ，∴∠AFO ＝∠MEA ，在△AOF 和△DOE 中，{∠AFO =∠MEA AO =DO ∠AOF =∠DOE =90°，∴△AOF ≌△BOE （ASA ），∴OE ＝OF ．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．【变式4-2】（2020春•安阳县期末）四边形ABCD 是正方形，G 是直线BC 上任意一点，BE ⊥AG 于点E ，DF ⊥AG 于点F ，当点G 在BC 边上时（如图1），易证DF ﹣BE ＝EF ．（1）当点G 在BC 延长线上时，在图2中补全图形，写出DF 、BE 、EF 的数量关系，并证明．（2）当点G 在CB 延长线上时，在图3中补全图形，写出DF 、BE 、EF 的数量关系，不用证明．【分析】由ABCD 是正方形，得到AB ＝DA 、AB ⊥AD ，由BE ⊥AG 、DF ⊥AG ，结合题干得到∠ABE ＝∠DAF ，于是得出△ABE ≌△DAF ，即可AF ＝BE ．（1）同理证明△ABE ≌△DAF ，得AF ＝BE ，DF ＝AE ，根据图2可得结论；（2）同理证明△ABE ≌△DAF ，得AF ＝BE ，DF ＝AE ，根据图3可得结论．【解答】证明：如图1，∵ABCD 是正方形，∴AB ＝DA 、AB ⊥AD ．∵BE ⊥AG 、DF ⊥AG ，∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°，又∵∠BAE +∠DAF ＝90°，∠BAE +∠ABE ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAF ，在△ABE 和△DAF 中，{∠AEB =∠AFD ∠ABE =∠DAF AB =AD，∴△ABE ≌△DAF （AAS ），∴AF ＝BE ，DF ＝AE ，∴DF ﹣BE ＝AE ﹣AF ＝EF ．（1）如图2，DF 、BE 、EF 的数量关系是：BE ＝DF +EF ，理由是：∵ABCD 是正方形，∴AB ＝DA 、AB ⊥AD ．∵BE ⊥AG 、DF ⊥AG ，∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°，又∵∠BAE +∠DAF ＝90°，∠BAE +∠ABE ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAF ，在△ABE 和△DAF 中，{∠AEB =∠AFD ∠ABE =∠DAF AB =AD，∴△ABE ≌△DAF （AAS ），∴AF ＝BE ，DF ＝AE ，∴BE ＝AF ＝AE +EF ＝DF +EF ；（2）如图3，DF 、BE 、EF 的数量关系是：EF ＝DF +BE ；理由是：∵ABCD 是正方形，∴AB ＝DA ，AB ⊥AD ．∵BE ⊥AG ，DF ⊥AG ，∴∠AEB ＝∠AFD ＝90°，又∵∠BAE +∠DAF ＝90°，∠BAE +∠ABE ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAF ，在△ABE 和△DAF 中，{∠AEB =∠AFD ∠ABE =∠DAF AB =AD，∴△ABE ≌△DAF （AAS ），∴AF ＝BE ，DF ＝AE ，∴EF ＝AE +AF ＝DF +BE ．【点评】本题主要考查正方形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质定理，此题难度适中．【变式4-3】（2021春•天河区校级期中）如图，已知四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于O ．（1）如图1，设E 、F 分别是AD 、AB 上的点，且∠EOF ＝90°，线段AF 、BF 和EF 之间存在一定的数量关系．请你用等式直接写出这个数量关系；（2）如图2，设E 、F 分别是AB 上不同的两个点，且∠EOF ＝45°，请你用等式表示线段AE 、BF 和EF 之间的数量关系，并证明．【分析】（1）首先证明△EOA ≌△FOB ，推出AE ＝BF ，从而得出结论；（2）在BC 上取一点H ，使得BH ＝AE ．由△OAE ≌△OBH ，推出AE ＝BH ，∠AOE ＝∠BOH ，OE ＝OH ，由△FOE ≌△FOH ，推出EF ＝FH ，由∠FBH ＝90°，推出FH 2＝BF 2+BH 2，由此即可解答．【解答】解：（1）EF 2＝AF 2+BF 2．理由：如图1，∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，∠OAE ＝∠OBF ＝45°，AC ⊥BD ，∴∠EOF ＝∠AOB ＝90°，∴∠EOA ＝∠FOB ，在△EOA 和△FOB 中，{∠EOA =∠FOB OA =OB ∠OAE =∠OBF，∴△EOA ≌△FOB （ASA ），∴AE ＝BF ，在Rt △EAF 中，EF 2＝AE 2+AF 2＝AF 2+BF 2；（2）在BC 上取一点H ，使得BH ＝AE ．∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，∠OAE ＝∠OBH ，∠AOB ＝90°，在△OAE 和△OBH 中，{OA =OB ∠OAE =∠OBH AE =BH∴△OAE ≌△OBH （SAS ），∴AE ＝BH ，∠AOE ＝∠BOH ，OE ＝OH ，∵∠EOF ＝45°，∴∠AOE +∠BOF ＝45°，∴∠BOF +∠BOH ＝45°，∴∠FOE ＝∠FOH ＝45°，在△FOE 和△FOH 中•，{OF =OF ∠FOE =∠FOH OE =OH，∴△FOE ≌△FOH （SAS ），∴EF ＝FH ，∵∠FBH ＝90°，∴FH 2＝BF 2+BH 2，∴EF 2＝BF 2+AE 2，【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【题型5 正方形的性质综合应用】【例5】（2020秋•周村区期末）（1）如图1的正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF ＝45°，延长CD 到点G ，使DG ＝BE ，连接EF ，AG ．求证：EF ＝FG ；（2）如图2，等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点M ，N 在边BC 上，且∠MAN ＝45°．若BM ＝1，CN ＝3，求MN 的长．【分析】（1）证△ADG ≌△ABE ，△F AE ≌△F AG ，根据全等三角形的性质求出即可；（2）过点C 作CE ⊥BC ，垂足为点C ，截取CE ，使CE ＝BM ．连接AE 、EN ．通过证明△ABM ≌△ACE （SAS ）推知全等三角形的对应边AM ＝AE 、对应角∠BAM ＝∠CAE ；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN ＝45°得到∠MAN ＝∠EAN ＝45°，所以△MAN ≌△EAN （SAS ），故全等三角形的对应边MN ＝EN ；最后由勾股定理得到EN 2＝EC 2+NC 2即MN 2＝BM 2+NC 2．【解答】（1）证明：在正方形ABCD 中，∠ABE ＝∠ADG ，AD ＝AB ，在△ABE 和△ADG 中，{AD =AB ∠ABE =∠ADG DG =BE，∴△ABE ≌△ADG （SAS ），∴∠BAE ＝∠DAG ，AE ＝AG ，∴∠EAG ＝90°，在△F AE 和△GAF 中，{AE =AG∠EAF =∠FAG =45°AF =AF，∴△F AE ≌△GAF （SAS ），∴EF ＝FG ；（2）解：如图，过点C 作CE ⊥BC ，垂足为点C ，截取CE ，使CE ＝BM ．连接AE 、EN ．∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠ACB ＝45°．∵CE ⊥BC ，∴∠ACE ＝∠B ＝45°．在△ABM 和△ACE 中，{AB =AC ∠B =∠ACE BM =CE ，∴△ABM ≌△ACE （SAS ）．∴AM ＝AE ，∠BAM ＝∠CAE ．∵∠BAC ＝90°，∠MAN ＝45°，∴∠BAM +∠CAN ＝45°．于是，由∠BAM ＝∠CAE ，得∠MAN ＝∠EAN ＝45°．在△MAN 和△EAN 中，{AM =AE ∠MAN =∠EAN AN =AN，∴△MAN ≌△EAN （SAS ）．∴MN ＝EN ．在Rt △ENC 中，由勾股定理，得EN 2＝EC 2+NC 2．∴MN 2＝BM 2+NC 2．∵BM ＝1，CN ＝3，∴MN 2＝12+32，∴MN =√10．【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题；【变式5-1】（2021春•余杭区月考）已知正方形ABCD 如图所示，连接其对角线AC ，∠BCA 的平分线CF 交AB 于点F ，过点B 作BM ⊥CF 于点N ，交AC 于点M ，过点C 作CP ⊥CF ，交AD 延长线于点P ．（1）求证：BF ＝DP ；（2）若正方形ABCD 的边长为4，求△ACP 的面积；（3）求证：CP ＝BM +2FN ．【分析】（1）由“ASA ”可证△CDP ≌△CBF ，可得BF ＝DP ；（2）根据等角对等边易证AP ＝AC ，根据勾股定理求得AC 的长，然后根据三角形的面积公式即可求解；（3）由全等三角形的性质可得CP ＝CF ，在CN 上截取NH ＝FN ，连接BH ，则可以证明△AMB ≌BHC ，得到CH＝BM，即可证得．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠CAD＝∠ACD＝45°，∵CP⊥CF，∴∠FCP＝90°＝∠BCD，∴∠BCF＝∠DCP，∵CD＝CB，∠CBF＝∠CDP＝90°，∴△CDP≌△CBF（ASA）∴BF＝DP；（2）∵CF平分∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF＝22.5°，∴∠BFC＝67.5°，∵△CDP≌△CBF，∴∠P＝∠BFC＝67.5°，且∠CAP＝45°，∴∠ACP＝∠P＝67.5°，∴AC＝AP，∵AC=√2AB＝4√2，∴S△ACP=12AP×CD＝8√2；（3）在CN上截取NH＝FN，连接BH，∵△CDP≌△CBF，∴CP＝CF，∵FN＝NH，且BN⊥FH，∴BH＝BF，∴∠BFH＝∠BHF＝67.5°，∴∠FBN＝∠HBN＝∠BCH＝22.5°，∴∠HBC＝∠BAM＝45°，∵AB＝BC，∠ABM＝∠BCH，∴△AMB≌△BHC（ASA），∴CH＝BM，∴CF＝BM+2FN，∴CP＝BM+2FN．【点评】本题是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，正确作出辅助线是关键．【变式5-2】（2021春•莆田期末）如图1，在正方形ABCD中，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）若点E是BC边上的中点，求证：AE＝EF；（2）如图2，若点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE＝EF”是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点E是BC边上的任意点一，在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEF是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）取AB的中点H，连接EH，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE＝EF；（2）成立，延长BA到M，使AM＝CE，根据已知及正方形的性质利用ASA判定△AHE≌△ECF，从而得到AE＝EF；（3）存在，作DM⊥AE于AB交于点M，则有：DM∥EF，连接ME、DF，证明△ADM≌△BAE（ASA），得到DM＝AE，由（1）AE＝EF，所以DM＝EF，所以四边形DMEF为平行四边形．【解答】（1）证明：取AB的中点H，连接EH；如图1所示∵四边形ABCD 是正方形，AE ⊥EF ；∴∠1+∠AEB ＝90°，∠2+∠AEB ＝90°∴∠1＝∠2，∵BH ＝BE ，∠BHE ＝45°，且∠FCG ＝45°，∴∠AHE ＝∠ECF ＝135°，AH ＝CE ，在△AHE 和△ECF 中，{∠1=∠2AH =CE ∠AHE =∠ECF ，∴△AHE ≌△ECF （ASA ），∴AE ＝EF ；（2）解：AE ＝EF 成立，理由如下：如图2，延长BA 到M ，使AM ＝CE ，∵∠AEF ＝90°，∴∠FEG +∠AEB ＝90°．∵∠BAE +∠AEB ＝90°，∴∠BAE ＝∠FEG ，∴∠MAE ＝∠CEF ．∵AB ＝BC ，∴AB +AM ＝BC +CE ，即BM ＝BE ．∴∠M ＝45°，∴∠M ＝∠FCE ．在△AME 与△ECF 中，{∠MAE =∠CEF AM =CE ∠M =∠FCE，∴△AME ≌△ECF （ASA ），∴AE ＝EF ．（3）存在，理由如下：点E 是BC 边上的中点，如图3，作DM ⊥AE 于AB 交于点M ，则有：DM ∥EF ，连接ME 、DF ，在△ADM 与△BAE 中，{∠ADM =∠BAE AD =AB ∠DAM =∠ABE ，∴△ADM ≌△BAE （ASA ），∴DM ＝AE ，由（1）AE ＝EF ，∴DM ＝EF ，∴四边形DMEF 为平行四边形．【点评】此题考查学生对正方形的性质及全等三角形判定的理解及运用，解决本题的关键是作出辅助线．【变式5-3】（2021春•江津区期中）在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在线段OC 上，点F 在线段AB 上，连接BE ，连接EF 交BD 于点M ，已知∠AEB ＝∠OME ．（1）如图1，求证：EB ＝EF ；（2）如图2，点N 在线段EF 上，AN ＝EN ，AN 延长线交DB 于H ，连接DF ，求证：DF =√2AH ．【分析】（1）依据四边形ABCD是正方形，即可得出AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，进而得到∠5＝∠FBE，即可得到EF＝EB；（2）连接DE，先判定△AOH≌△BOE，即可得出AH＝BE，再判定△DCE≌△BCE，即可得到DE＝BE ＝AH＝EF，再根据△DEF是等腰直角三角形，即可得出结论．【解答】证明：（1）如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠1＝∠2＝45°，∴在Rt△OME和Rt△OEB中，∠3+∠OME＝∠4+∠OEB＝90°，∵∠OME＝∠OEB，∴∠3＝∠4，∴∠5＝∠1+∠3＝∠2+∠4＝∠FBE，∴EF＝EB；（2）连接DE，∵AN ＝EN ，∴∠3＝∠5，∵∠3＝∠4，∴∠4＝∠5，∵四边形ABCD 是正方形，∴OA ＝OB ，AC ⊥BD ，∴∠7＝∠8＝90°，在△AOH 和△BOE 中，{∠5=∠4OA =OB ∠7=∠8，∴△AOH ≌△BOE （ASA ），AH ＝BE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴DC ＝BC ，∠1＝∠2＝45°，在△DCE 和△BCE 中，{DC =BC ∠1=∠2CE =CE，∴△DCE ≌△BCE （SAS ），∴DE ＝BE ＝AH ＝EF ，∵AC ⊥BD ，∴∠6＝∠AEB ，∵∠3＝∠4，∠4+∠AEB ＝90°，∴∠3+∠6＝90°，即∠DEF ＝90°，∴△DEF 是等腰直角三角形，∴DF =√DE 2+EF 2=√2EF =√2AH ．【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是对全等三角形的判断．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．【题型6 判定正方形成立的条件】【例6】（2020春•上蔡县期末）下列说法正确的个数是（）①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据正方形的判定、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质和矩形的性质即可求解．【解答】解：①对角线互相垂直或有一组邻边相等的矩形是正方形，故①正确；②对角线相等或有一个角是直角的菱形是正方形，故②正确；③对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故③正确；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故④正确；综上所述，正确的个数为4个，故选：D．【点评】本题考查了正方形的判定、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质和矩形的性质，解题关键是逐个判断即可得出答案．【变式6-1】（2020春•建湖县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC＝AC B．BD＝DF C．AC＝BF D．CF⊥BF【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC进而得出四边形BECF是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．【解答】解：∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°，∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°，∴菱形BECF是正方形．故选项A正确，但不符合题意；当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项C错误，符合题意；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项D正确，但不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了菱形的判定和性质及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌握正方形的相关定理是解题关键．【变式6-2】（2020春•开原市校级月考）已知四边形ABCD是平行四边形，再从四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）①AB＝BC，②∠ABC＝90˚，③AC＝BD，④AC⊥BDA．选①②B．选①③C．选②③D．选②④【分析】根据要判定四边形是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形进而分别分析得出即可．【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意．D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．【变式6-3】（2020秋•陕西期中）如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH 是正方形，BD、AC应满足的条件是．【分析】依据条件先判定四边形EFGH为菱形，再根据∠FEH＝90°，即可得到菱形EFGH是正方形．【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD且AC⊥BD．理由：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，∴HG∥AC且HG=12AC；同理EF∥AC且EF=12AC，同理可得EH=12BD，则HG∥EF且HG＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形，∵AC⊥BD，EF∥AC，∴EF⊥BD，∵EH∥BD，∴EF⊥EH，∴∠FEH＝90°，∴菱形EFGH是正方形．故答案为：AC＝BD且AC⊥BD．【点评】此题考查了中点四边形的性质、三角形中位线定理以及正方形的判定．解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．【题型7 正方形判定的证明】【例7】（2020秋•富平县期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．求证：四边形ABCD是正方形．【分析】作EM⊥BC于点M，可证EM∥AB，可得∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，由角的数量关系可得∠CEM＝45°＝∠BAC，可证AB＝BC，可得结论．【解答】证明：如图，作EM⊥BC于点M，∵四边形ABCD是矩形，∴AB⊥BC，∴EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，∵∠ABE+∠CEF＝45°，∴∠BEM+∠CEF＝45°，∵BE⊥EF，∴∠CEM＝45°＝∠BAC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴AB＝BC，∴矩形ABCD是正方形．【点评】本题考查了正方形的判定，矩形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．【变式7-1】（2021春•娄星区校级期中）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E是两锐角平分线的交点，ED⊥BC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，求证：四边形CDEF是正方形．【分析】过E作EM⊥AB，根据角平分线的性质可得EF＝ED＝EM．再证明四边形EFDC是矩形，可根据邻边相等的矩形是正方形得到四边形CDEF是正方形．【解答】证明：过E作EM⊥AB，∵AE平分∠CAB，∴EF＝EM，∵EB平分∠CBA，∴EM＝ED，∴EF＝ED，∵ED⊥BC，EF⊥AC，△ABC是直角三角形，∴∠CFE＝∠CDE＝∠C＝90°，∴四边形EFDC是矩形，∵EF＝ED，∴四边形CDEF是正方形．【点评】此题主要考查了正方形的判定，关键是掌握邻边相等的矩形是正方形．【变式7-2】（2020春•新乡期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P 作PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别为M 、N ．（1）求证：∠ADB ＝∠CDB ；（2）若∠ADC ＝ °时，四边形MPND 是正方形，并说明理由．【分析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD ≌△CBD ，由全等三角形的性质即可得到：∠ADB ＝∠CDB ；（2）由三个角是直角的四边形是矩形，可证四边形MPND 是矩形，再根据邻边相等的矩形是正方形即可证明四边形MPND 是正方形．【解答】证明：（1）∵对角线BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ，在△ABD 和△CBD 中，{AB =BC ∠ABD =∠CBD BD =BD，∴△ABD ≌△CBD （SAS ），∴∠ADB ＝∠CDB ；（2）当∠ADC ＝90°时，四边形MPND 是正方形，理由如下：∵PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，∴∠PMD ＝∠PND ＝90°，∵∠ADC ＝90°，∴四边形MPND 是矩形，∵∠ADB ＝∠CDB ，∴∠ADB ＝45°，∵∠PMD ＝90°，∴∠MPD ＝∠PDM ＝45°，∴PM＝MD，∴矩形MPND是正方形，故答案为：90．【点评】本题考查了正方形的判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，矩形的判定和性质，解题的关键是熟记各种几何图形的性质和判定．【变式7-3】（2020秋•渠县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点、F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC的平分线，延长DF交AN于点E，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）若AB＝BC＝4，则四边形ADCE的面积为多少？（3）直接回答：当△ABC满足时，四边形ADCE是正方形．【分析】（1）根据AN是△ABC外角∠CAM的平分线，推得∠MAE=12（∠B+∠ACB），再由∠B＝∠ACB，得∠MAE＝∠B，则AN∥BC，根据三角形中位线的性质得FD∥AB，可得四边形ABDE为平行四边形，则AE＝BD＝CD，得出四边形ADCE为平行四边形，再证出AD⊥AE即可得出四边形ADCE为矩形．（2）由（1）知四边形ADCE是矩形，由条件可证明△ABC为等边三角形，求出CD和AD长，则四边形ADCE的面积可求出；（3）由（1）知四边形ADCE是矩形，增加条件能使AD＝DC即可【解答】（1）证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=12∠MAC，∵∠MAC＝∠B+∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，。
新北师大版初三上册数学(九年级) 第一章：3、《正方形的判定》课件
∴ 四边形AEDF是平行四边形
（2）当满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？
解： ∵ 一个角为直角的平行四边形为矩形∴ ∠BAC90°时，四边形AEDF是矩形
[趁热打铁]
（3）当满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？ 解：∵ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
∴ 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形
质 对角线
每条对角线平分一组对角
[实践出真知]
做一做：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形 展开后是个正方形？
（1）
（2）
剪口与折痕成 45°角
（3）
（4）
[实践出真知]
问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等 或对角线互相垂直
正方形
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
亲爱的读者： 2、千世里上之没行有，绝始望于的足处下境。，只20有20对年处7月境1绝2日望星的期人日。二〇二〇年七月十二日2020年7月12日星期日 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、少成年功易都学永老远难不成会，言一弃寸，光放阴弃不者可永轻远。不。会成09功:01。7.12.202009:017.12.202009:0109:01:457.12.202009:017.12.2020
1.3.2 正方形的判定
[温故而知新]
1.在平行四边形的基础上对矩形、菱形的判定 矩形
平行四边形
菱形
[温故而知新]
2.正方形的定义及性质
正方形 有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做
平行四边形
一个角是直角 且一组邻边相等
正方形
边
正方形的对边平行且相等
1.3 第2课时 正方形的判定课件-2024-2025学年北师大版数学九年级上册
第 一
特殊平行四边形
章
3 第2课时 正方形的判定
-
第2课时 正方形的判定
探究与应用
课堂小结与检测
探
探究 正方形的判定定理
究 [操作发现]
与
应 (1)如图1-3-10,将一张长方形纸对折两次,然后
用 剪下一个角,打开.怎样才能剪出一个正方形?
(2)满足什么条件的矩形是正方形?满足什么
∵OF=OB,∴OE=OF=OB=OD,
∴EF=BD,∴四边形BFDE是矩形.
又∵BD⊥EF,
图1-3-16
∴四边形BFDE是正方形(对角线互相垂直的矩形是正方形).
探
应用二 中点四边形的形状的判定
究 与
例3 (教材典题改编)任意画一个四边形,以四边的中点为顶
应 点可以组成一个平行四边形.
用
(1)任意画一个正方形,以四边的中点为顶点可以组成一个
条件的菱形是正方形?
图1-3-10
解:(1)只要确保剪口线与折痕成45°角即可剪出一个正方形.
(2)有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形;有一个
角是直角或对角线相等的菱形是正方形.
探 究
[推理证明]
与 (1)如图1-3-11,四边形ABCD是矩形,AB=BC.
应
用 求证:四边形ABCD是正方形;
堂
小 点,AE⊥BF,且AE=BF.
结
与 求证:矩形ABCD是正方形.
检 测
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠ADE=90°,
∴∠ABF+∠AFB=90°.
∵AE⊥BF,∴∠DAE+∠AFB=90°,
∴∠ABF=∠DAE.
北师大版九年级数学上册正方形的性质与判定第2课时课件
第2课时 正方形的判定
知识梳理 课时学业质量评价
2. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 相交于点 O ，添加下列条
件，能使菱形 ABCD 成为正方形的是( A )
A. AC ＝ BD
B. AC ⊥ BD
C. AD ＝ AB
D. AC 平分∠ DAB
第2题图
1234性质与判定（第2课时）
回顾复习
正方形的判定定理： 1. 对角线相等的菱形是正方形. 2. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 3. 有一个角是直角的菱形是正方形. 4. 有一组邻边相等的矩形是正方形.
典例精讲
例1 已知：如图1，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC， CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形BECF是正方形.
E
F
A
图2 C
探究新知
2. 如图3，E，F分别为AB，AC的中点，在AC的下方找一点D， 作CD和AD的中点G，H，问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？B
EF∥HG EH∥FG
3. 四边形EFGH的形状有什么特征？
四边形EFGH是平行四边形.
E
F
C
AH G
D 图3
探究新知
如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会 有怎样的变化呢？
C. ②③
D. ②④
第3题图
123456
第2课时 正方形的判定
知识梳理 课时学业质量评价
4. 如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ，若 AC ＝ BD ，请你添加一个条件 AC ⊥ BD (答案不唯一) ，使四边形 ABCD 是正方形.(填一个即可)
九年级北师大版数学上册
九年级北师大版数学上册一、教材章节内容概括。
1. 特殊平行四边形。
- 矩形：- 定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
- 性质：四个角都是直角；对角线相等；具有平行四边形的一切性质。
- 判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形。
- 菱形：- 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
- 性质：四条边都相等；对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；具有平行四边形的一切性质。
- 判定：四条边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
- 正方形：- 定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
- 性质：既是矩形又是菱形，所以它具有矩形和菱形的所有性质，如四个角都是直角、四条边都相等、对角线相等且互相垂直平分等。
- 判定：既是矩形又是菱形的四边形是正方形。
2. 一元二次方程。
- 定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式为ax^2+bx + c=0(a≠0)。
- 解法：- 直接开平方法：对于形如x^2=k(k≥0)的方程，x=±√(k)。
- 配方法：将方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)通过配方转化为(x+(b)/(2a))^2=frac{b^2-4ac}{4a^2}的形式，然后求解。
- 公式法：对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其解为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，其中Δ=b^2-4ac（Δ叫做判别式）。
当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。
- 因式分解法：将方程化为(mx + n)(px+q)=0的形式，则mx + n = 0或px+q = 0，进而求解。
- 实际应用：增长率问题、面积问题等。
3. 概率的进一步认识。
- 用列举法求概率：- 列表法：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两枚骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。
北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结
北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结第一章特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。
（对边）（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分。
（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。
（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。
（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。
（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。
（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
1.3第1课时正方形的性质-北师大版九年级数学上册习题课件
(2)如图 2，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM.理由：在图 2 中，延长 EM 交 DA
2．正方的形是延轴对长称图线形，于它的对H称.轴∵有(四边) 形 ABCD 是正方形，四边形 EFGC 是正方形，∴∠ADE＝∠
10．【易错题】已知正方形ABCD中，点E为直线BC上一点，若AE＝2BE，则∠DAE＝__________度．
1．正方形具有而矩形不具有的性质是( )
11．如图，正方形OABC的边OA和OC都在坐标轴上，将正方形OABC绕点O旋转到OA′B′C′，这时点A′的坐标为(2,3)，则点B′的坐标为__________.
∴∠FAE＋∠AED＝90°， 注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即有一组邻边相等的矩形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形．
知识点1 正方形的定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． 注意：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，即有一组邻边相等的矩形是 正方形或有一个角是直角的菱形是正方形．
第一章 特殊平行四边形
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数学·九年级（上）·配北师
知识点2 正方形的性质 (1)定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等． (2) 定 理 2 ： 正 方 形 的 对 角 线 相 等 且 互 相 垂 直 平 分 ， 每 一 条 对 角 线 平 分 一 组 对 角． (3)对称性：正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．正方形是 轴对称图形，两条对角线所在的直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称 轴．
90°，∴∠DAF＋∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°，∴EF＝ AE2＋AF2＝ 2AE＝5 2.
第一章 特殊平行四边形
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北师大版九年级上册数学《正方形的性质与判定》特殊平行四边形说课教学复习课件
(x
+
b )2 2a
b2 4ac 4a 2
0
.
移项，得
( x + b )2 b2 4ac . 能直接开方吗？
2a
4a 2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)， 请用配方法解此方程.
(x+
b )2 2a
=
1 2
.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
议一议
(1) 你能解一元二次方程 x2 -2x + 3 = 0 吗？
分析：∵a = 1，b = -2，c = 3， ∴ b2 - 4ac = (-2)2 - 4×1×3= -8 < 0.
你是怎么想 的呢？
根据求根公式的条件知：无法使用求根公式.
正方形判定的两条途径：
(1)
+ 一个直角 对角线相等
先判定菱形
矩形条件
(2)
+ 一组邻边相等 对角线垂直
先判定矩形
菱形条件
正方形 正方形
知识讲解
例1：如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB ,
BF∥CE , CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.
解析：先由两组平行线得出四边形BECF平行四边形； 再由一组邻边相等得出是菱形；最后由一个直角可得 正方形.
随堂练习 2.用公式法解下列方程： (1) 2x2 - 9x + 8 = 0； (3) 16x2 + 8x = 3；
(2) 9x2 + 6x + 1 = 0 ； (4) x(x-3) + 5 = 0 .
九年级北师大版上册数学正方形的性质与判定知识点
九年级北师大版上册数学正方形的性质与判定
知识点
正方形的两组对边分别平行，四条边都相等;四个角都是90°;对角线互相垂直、平分且相等，正方形的性质与判定知识点大家是否学会了呢？预祝大家新学期学习愉快！知识点 1.定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.2.性质：(1)正方形四个角都是直角，四条边都相
等;(2)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角;(3)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形;(4)正方形的对角线与边的夹角是45。
;(5)正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.3.判定：(1)先判定一个四边形是矩形，再判定出有一组邻边相等;(2)先判定一个四边形是菱形，再判定出有一个角是直角.4.对称性：正方形是轴对称图形也是中心对称图形.课后练习正方形的性质与判定知识点的全部内容就是这些，不知道大家是否学会了呢？
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正方形的判定(4种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(北师大版)(解析版)
正方形的判定（4种题型）【知识梳理】一．正方形的判定正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．二．正方形的判定与性质（1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质．（2）正方形的判定正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定．【考点剖析】题型一：正方形判定定理的理解例1．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）满足下列条件的四边形是正方形的是（）A．对角线互相垂直且相等的平行四边形B．对角线互相垂直的菱形C．对角线相等的矩形D．对角线互相垂直平分的四边形【答案】A【分析】根据正方形的判定方法即可求解．【详解】解：A选项，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故A选项正确，符合题意；B选项，对角线互相垂直的长方形是正方形，故B选项错误，不符合题意；C选项，对角线相等的菱形是正方形，故C选项错误，不符合题意；D选项，对角线互相垂直平分的长方形是正方形，故D选项错误，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题主要考查正方形的判定，掌握“对角线相互垂直的矩形是正方形”，“对角线相等的菱形是正方形”，“对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形”的知识是解题的关键． 【变式】（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考三模）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交O ，添加下列条件不能判定矩形ABCD 是正方形的是（ ）A ．AB BC =B ．AC BD = C ．AC BD ⊥ D ．12∠=∠【答案】B 【分析】根据正方形的判定方法即可一一判断．【详解】解：A 、正确．邻边相等的矩形是正方形，不符合题意；B 、错误．矩形的对角线相等，但对角线相等的矩形不一定是正方形，故符合题意；C 、正确．∵四边形ABCD 是矩形，∴OD OB =，OC OA =，∵AC BD ⊥，∴AD AB =，∴矩形ABCD 为正方形，故不符合题意；D 、正确，∵12∠=∠，AB CD ，∴2ACD ∠=∠，∴1ACD ∠=∠，∴AD CD =，∴矩形ABCD 是正方形，故不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的判定定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法．题型二：添加一个条件使四边形是正方形 例2．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，D 是ABC 内一点，AD BC ⊥，E 、F 、G 、H 分别是AB BD CD AC 、、、的中点，添加下列哪个条件，能使得四边形EFGH 成为正方形（）A ．BD CD =B ．BD CD ⊥C ．AD BC = D ．AB AC =【答案】C 【分析】根据三角形中位线的性质可证EF GH =，EH FG =，推出四边形EFGH 是平行四边形，再根据AD BC ⊥证明EF FG ⊥，可得四边形EFGH 是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形可得选项C 为正确答案．【详解】解： E 、F 、G 、H 分别是AB BD CD AC 、、、的中点，∴ EF 是ABD △的中位线，CH 是ADC △的中位线，FG 是DBC △的中位线，EH 是ABC 的中位线， ∴12EF AD =，EF AD ∥，12GH AD =，GH AD ∥，12FG BC =，FG BC ∥，12EH BC =，EH BC ∥， ∴EF GH =，EH FG =，∴四边形EFGH 是平行四边形，EF AD ∥，FG BC ∥，AD BC ⊥，∴EF FG ⊥，∴四边形EFGH 是矩形，当AD BC =时，1122EF AD BC FG ===，可得四边形EFGH 是正方形．故选C ．【点睛】本题考查三角形中位线的性质，正方形的判定，解题的关键是掌握正方形的判定方法，以及中位线的性质，即平行于三角形的第三条边，且等于第三边长度的一半．【变式】．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）数学活动课上，何老师布置了一道题目：如图，你能用一张锐角三角形纸片ABC 折出一个以A ∠为内角的菱形吗？石雨的折法如下：第一步，折出A ∠的平分线，交BC 于点D ，第二步，折出AD 的垂直平分线，分别交AB 、AC 于点E 、F ，把纸片展平，第三步，折出DE 、DF ，得到四边形AEDF ，(1)请根据石雨的折法在图中画出对应的图形，并证明四边形AEDF 是菱形；(2)ABC 满足什么条件时，四边形AEDF 是正方形？请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)ABC 为直角三角形且90BAC ∠=︒，理由见解析．【分析】（1）根据要求画出图形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；（2）根据正方形与菱形的关系即可得知ABC 为直角三角形且90BAC ∠=︒，有一个角为直角的菱形为正方形．【详解】（1）解：图形如图所示：理由：∵AD 是BAC ∠ 的平分线，∴BAD CAD ∠=∠，∵EF 是AD 的垂直平分线，∴EA ED =，∴EAD EDA ∠=∠，∴EDA CAD ∠=∠，∴ED AF ∥．同理AE FD ∥，∴四边形 AEDF 是平行四边形，又EA ED =，∴四边形 AEDF 是菱形．（2）ABC 为直角三角形且90BAC ∠=︒，理由如下：∵四边形 AEDF 是菱形，90BAC ∠=︒，∴四边形AEDF 是正方形．【点睛】本题考查作图——复杂作图，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的判定等知识解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．题型三：证明四边形是正方形例3.如图，等边△AEF 的顶点E ，F 在矩形ABCD 的边BC ，CD 上，且∠CEF ＝45°．求证：矩形ABCD 是正方形．【分析】先判断出AE ＝AF ，∠AEF ＝∠AFE ＝60°，进而求出∠AFD ＝∠AEB ＝75°，进而判断出△AEB ≌△AFD ，即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠D ＝∠C ＝90°，∵△AEF 是等边三角形，∴AE ＝AF ，∠AEF ＝∠AFE ＝60°，∵∠CEF ＝45°，∴∠CFE ＝∠CEF ＝45°，∴∠AFD ＝∠AEB ＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴△AEB≌△AFD（AAS），∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形．【点评】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，判断出∠AFD＝∠AEB是解本题的关键．【变式1】如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分△ACB，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：四边形CEDF是正方形．【分析】根据有三个角是直角的四边形是矩形判定四边形CEDF是矩形，再根据正方形的判定方法即可得出结论．【解答】证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF，∠DFC＝∠DEC＝90°，又∵∠ACB＝90°，∴四边形CEDF是矩形，∵DE＝DF，∴矩形CEDF是正方形．【点评】本题考查正方形的判定、角平分线的性质和矩形的判定．要注意判定一个四边形是正方形，必须先证明这个四边形为矩形或菱形．【变式2】如图，已知点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形EFGH是正方形．【分析】可通过证明△AEH，△DHG，△CGF，△BFE全等，先得出四边形EFGH是菱形，再证明四边形EFGH 中一个内角为90°，从而得出四边形EFGH是正方形的结论【解答】解：四边形EFGH是正方形．证明：∵AE＝BF＝CG＝GH，∴AH＝DG＝CF＝BE．∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，∴EF＝EH＝HG＝GF，∠EHA＝∠HGD．∴四边形EFGH是菱形．∵∠EHA＝∠HGD，∠HGD+∠GHD＝90°，∴∠EHA+∠GHD＝90°．∴∠EHG＝90°．∴四边形EFGH是正方形．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、菱形的判定和性质、正方形的性质和判定，熟练掌握应用全等三角形的性质是解题的关键．题型四：根据正方形的判定与性质求线段长例4.如图所示△ABC中，∠C＝90A，∠B的平分线交于D点，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：四边形CEDF为正方形；（2）若AC＝6，BC＝8，求CE的长．【分析】（1）直接利用矩形的判定方法以及角平分线的性质得出四边形CEDF为正方形；（2）利用三角形面积求法得出EC的长．【解答】（1）证明：过点D作DN⊥AB于点N，∵∠C＝90°，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，∴四边形FCED是矩形，又∵∠A，∠B的平分线交于D点，∴DF＝DE＝DN，∴矩形FCED是正方形；（2）解：∵AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∴AB＝10，∵四边形CEDF为正方形，∴DF＝DE＝DN，∴DF×AC+DE×BC+DN×AB＝AC×BC，则EC（AC+BC+AB）＝AC×BC，故EC＝＝2．【点评】此题主要考查了正方形的判定以及三角形面积求法和角平分线的性质等知识，得出DF＝DE是解题关键．【变式】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝BC，∠D＝45°，CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，交BC的延长线于G，若AD＝a．（1）求证：四边形ABCF是正方形；（2）求BG的长．【分析】（1）先根据∠B＝∠A＝∠AFC＝90°，判定四边形ABCF是矩形，再根据AB＝BC，即可得到四边形ABCF是正方形；（2）先判定△CEG≌△DEF（AAS），得出CG＝FD，再根据正方形ABCF中，BC＝AF，即可得到AF+FD＝BC+CG，即AD＝BG＝a．【解答】解：（1）∵CD的垂直平分线交CD于E，交AD于F，∴FC＝FD，∴∠D＝∠FCD＝45°，∴∠CFD＝90°，即∠AFC＝90°，又∵AD∥BC，∠A＝90°，∴∠B＝90°，∴四边形ABCF是矩形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCF是正方形；（2）∵FG垂直平分CD，∴CE＝DE，∠CEG＝∠DEF＝90°，∵BG∥AD，∴∠G＝∠EFD，在△CEG和△DEF中，，∴△CEG≌△DEF（AAS），∴CG＝FD，又∵正方形ABCF中，BC＝AF，∴AF+FD＝BC+CG，∴AD＝BG＝a．【点评】本题主要考查了正方形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是掌握：有一组邻边相等的矩形是正方形；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．题型五：中点四边形 例5（2023·陕西西安·校考二模）已知四边形ABCD 为菱形，点E 、F 、G 、H 分别AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，依次连接E 、F 、G 、H 得到四边形EFGH ，则四边形EFGH 为（ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形【答案】C【分析】连接AC BD 、，根据三角形中位线定理得到1122HG EF BD FG EH AC ====，，根据菱形的性质得到AC BD ⊥，即可判断四边形EFGH 为矩形．【详解】连接AC BD 、交于O ，∵点E 、F 、G 、H 分别AD 、AB 、BC 、CD 边的中点，∴1122HG EF BD FG EH AC ====，，FG AC ∥，EF BD ∥，∴四边形EFGH 为平行四边形，∵四边形ABCD 为菱形，∴90AOB ∠=︒，∴90AOB BPF GFE ∠=∠=∠=︒，∴四边形EFGH 为矩形，故选：C ．【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定、菱形的性质是解题的关键．【变式】（2023·山东临沂·统考一模）四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交点O ，点M ，N ，P ，Q 分别为边AB ， BC ，CD ，DA 的中点．有下列四个推断，①对于任意四边形ABCD ，四边形MNPQ 可能不是平行四边形；②若AC BD =，则四边形MNPQ 一定是菱形；③若AC BD ⊥，则四边形MNPQ 一定是矩形；④若四边形ABCD 是菱形，则四边形MNPQ 也是菱形． 所有正确推断的序号是_____________．【答案】②③【分析】根据四边形的性质及中位线的性质推导即可．【详解】解：点M ，N ，P ，Q 分别为边AB ， BC ，CD ，DA 的中点，MN AC ∴∥且12MN AC =，PQ AC ∥且12PQ AC =，MN PQ ∴∥且MN PQ =，MNPQ ∴是平行四边形，故①错误； 点M ，N ，P ，Q 分别为边AB ， BC ，CD ，DA 的中点，∴12MN AC =，12PN BD =，AC BD =，MN PN ∴=，MNPQ 是平行四边形，∴四边形MNPQ 是菱形，故②正确；点M ，N ，P ，Q 分别为边AB ， BC ，CD ，DA 的中点，MN AC ∴∥，MQ BD ∥，AC BD ⊥，MN MQ ∴⊥，90QMN ∴∠=︒，MNPQ 是平行四边形，∴MNPQ 是矩形，故③正确；若要四边形MNPQ 是菱形，需满足AC BD =,当四边形ABCD 是菱形，AC 不一定等于BD ，故④错误；综上，正确的有：②③，故答案为：②③．【点睛】本题考查了中位线定理，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．【过关检测】一、单选题 A ．AC BD =B ．【答案】B 【分析】已知四边形ABCD 是矩形，要使它成为正方形只有两种方法：（1）一组邻边相等；（2）对角线互相垂直，据此求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴当AC BD ⊥或当AD AB =或AB BC =或BC CD =或AD CD =时，四边形ABCD 是正方形；故选：B.【点睛】本题主要考查了正方形的判定，熟练地掌握正方形的判定方法是解题的关键．（1）一组邻边相等的矩形是正方形；（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．2．（2023春·广东深圳·九年级深圳市福田区石厦学校校考开学考试）下列命题正确的是（）A．对角线垂直的四边形是菱形B．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形C．顺次连结一个四边形各边中点得到的是一个正方形，那么原四边形一定是正方形D．对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半【答案】D【分析】利用平行四边形、菱形及正方形的判定方法及菱形的面积计算方法等知识分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、对角线垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意；B、一组对边平行，一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故原命题错误，不符合题意；C、顺次连结一个四边形各边中点得到的是一个正方形，那么原四边形一定是对角线相等且互相垂直的四边形，故原命题错误，不符合题意；D、对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、菱形及正方形的判定方法及菱形的面积计算方法等知识．【答案】B【分析】根据正方形的判定方法，逐一进行判断即可．【详解】解：A、四边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；B、一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，符合题意；C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，原命题是假命题，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查判断命题的真假．熟练掌握正方形的判定方法，是解题的关键．A ．①③B ．①②【答案】C 【分析】①根据正方形的性质和中位线定理可以解决问题；②利用①中结论可以证明OM MP ≠，可以解决问题；③利用①③中的结论，确定四边形EFNB 的面积与OMP 的面积比，正方形ABCD 面积与OMP 的面积比，可以解决问题．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，BD 为对角线∴45ABO ADB CBD BDC ∠=∠=∠=∠=︒，90BAD BCD ∠=∠=︒∴ABD △、BCD △是等腰直角三角形∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴EF BD ∥，12EF BD =，CE CF =∵90ECF ∠=︒,CE CF =∴CEF △是等腰直角三角形∵AP EF ⊥，EF BD ∥∴90AOD AOB ∠=∠=︒又∴45ABO ADB ∠=∠=︒∴ABO 、ADO △是等腰直角三角形∴AO BO =，AO DO =∴BO DO =∴AOB AOD △≌△∴AO BD ⊥又∵OP BD ⊥∴A 、O 、P 三点共线 ∴12PE PF EF ==又∵M ，N 分别为BO ，DO 的中点∴F O P M MB ON P ND E =====连接PC ，如图，∵FD CF =，ON ND =∴NF 是CDO 的中位线，∴NF AC ∥∵90DNF ∠=︒，45FDB ∠=︒∴DNF △是等腰直角三角形∴NF ND ON ==∵90ONF NOP OPF ∠=∠=∠=︒∴四边形FNOP 是矩形∵NF ON =∴四边形FNOP 是正方形∴OM OP =∴OMP 是等腰直角三角形∴图中的三角形都是等腰直角三角形故①正确；∵OMP 是等腰直角三角形∵45FDB ∠=︒∴MP BC ∥∴四边形MPEB 是平行四边形，在Rt OMP △中，MP OM ＞即BE BM ＞∵BE BM ≠∴四边形MPEB 不是菱形故②错误；∵OM BM ON ==，SBEPM BM OP =⨯，1S 2OMP OM OP =⨯⨯，S ONFP ON OP =⨯ ∴S S 2S BEPM ONFP OMP == ∴S S S S 5S BEPM OMP OMP ONFP EFNB =++=正方形四边形 ∵11S 2222AOB OB OA OM OP =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ 即1S 44S 2AOB OMP OM OP =⨯⨯⨯= 又∵S 4S AOB ABCD =正方形 ∴S 16S OMP ABCD =正方形5S S 16ABCD EFNB =正方形四边形故③错误；故选：C ．【点睛】此题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理、三角形全等的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，正确的识别图形是解题的关键．二、填空题【答案】【分析】四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，AB=，如图所示，过点E作EH AD⊥于H，交BC于Q，AE与BC交于点P，可证(SAS)BCG QEC△≌△，(SAS)EQP ABP△≌△，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形，且G是AB的中点，AB=∴1122BG AG AB===，∴在Rt BCG中，52CG===，如图所示，过点E作EH AD⊥于H，交BC于Q，AE与BC交于点P，∵四边形CEFG为正方形，∴CE CG=，∵12902390∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴13∠=∠，在,BCG QEC△△中，1390EQC B CE CG ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴(SAS)BCG QEC △≌△，∴EQ BC ==CQ GB ==，即Q 为BC 中点， 同理，可证(SAS)EQP ABP △≌△，∴1122QP BP BQ ====，12EP AP AE ==∴在Rt ABP 中，AP ====，∴22AE AP ===，故答案为：．【点睛】本题主要考查正方形与直角三角形勾股定理的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 6．（2023·湖南娄底·统考一模）如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，M 是边AD 上一点，连接OM ，过点O 作ON OM ⊥，交CD 于点N ．若四边形MOND 的面积是5，则AB 的长为______．【答案】【分析】如图，过O 作OE AD ⊥于E ，OF CD ⊥于F ，则四边形OEDF 是正方形，证明()ASA EOM FON ≌，则EOM FON S S =，5OEDF MOND S S ==四边形，即25OE =，解得OE =，根据2AB OE =，计算求解即可．【详解】解：如图，过O 作OE AD ⊥于E ，OF CD ⊥于F ，则四边形OEDF 是正方形，∴OE OF =，90EOF EOM MOF ∠=︒=∠+∠，∵90MON FON MOF ∠=︒=∠+∠，∴EOM FON ∠=∠，∵EOM FON ∠=∠，OE OF =，90OEM OFM ∠=∠=︒，∴()ASA EOM FON ≌， ∴EOM FON SS =，∴5OEDF MOND S S ==四边形，即25OE =，解得OE =OE =，∴2AB OE ==故答案为：【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 7．（2023·四川凉山·统考一模）如图，正方形ABCD 的边长为2，,E F 分别是,AD AB 边上一点，且AE BF =，连接,BE CF 交于点P ，则线段DP 的最小值为___________1【分析】如图所示，线段DP 中，点P 运动的路径是以BC 中点为圆心，12BC 为半径的半圆，分类讨论，①当E F 、在线段AD AB 、上时；②当E F 、在线段AD AB 、延长线上时；图形结合，根据勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，线段DP 中，点P 运动的路径是以BC 中点为圆心，12BC 为半径的半圆，①当E F 、在线段AD AB 、上时，如图所示，∴当BE CF ⊥时，DP 的值最小，∵正方形ABCD 的边长为2，∴如图所示，由此，对角线的长为AC BD ===∴1122DP AB ===②当E F 、在线段AD AB 、延长线上时，如图所示，∴当BE CF ⊥时，即点,,O P D 在一条直线，DP 的值最小，如图所示，连接OP ，∵BE CF ⊥，∴90BPC ∠=︒， ∵112122OB OP OC BC ====⨯=，2CD AB ==，∴在Rt OCD △中，OD =∴1DP OD OP =−=；综上所示，DP 1，1． 8．（2023·安徽安庆·校考一模）如图，在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，E 为AB 边上一点，将BEC 沿CE 翻折，点B 落在点F 处．当AEF △为直角三角形时，AE =___________．【答案】2或5/5或2【分析】分90,90,90AEF AFE FAE ∠=︒∠=︒∠=︒三种情形计算．【详解】解：当90AFE ∠=︒时，连接AC ，∵四边形ABCD 是矩形，8AB =，6AD =，∴90ABC CFE ∠=∠=︒，10AC ==，6AD BC ==，∵90AFE ∠=︒，∴180AFE CFE ∠+∠=︒，∴,,A F C 三点共线，根据折叠的性质，得6,CF BC EF EB ===，∴4AF AC CF =−=，设AE x =，则8EF EB x ==−，根据勾股定理，得()22284x x =−+，解得5x =，故5AE =；当90AEF ∠=︒时，∵四边形ABCD 是矩形，8AB =，6AD =，∴90ABC CFE ∠=∠=︒，6AD BC ==，∵90AFE ∠=︒，∴四边形BCFE 是矩形，根据折叠的性质，得6,CF BC EF EB ===，∴四边形BCFE 是正方形，∴6CF BC EF EB ====，∴862AE AB BE =−=−=，故2AE =；当90=︒∠FAE 时，∵CD CF ＞，∴F 点不可能落到AD 上，故90=︒∠FAE 不成立，故2AE =或5AE =，故答案为：2或5．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，分类思想，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．9．（2023·福建·模拟预测）如图，在正八边形ABCDEFGH 中，AC 、AE 是两条对角线，则∠CAE 的度数为_________°．【答案】45【分析】连接AG 、GE 、EC ，易知四边形ACEG 为正方形，根据正方形的性质即可求解．【详解】解：连接AG 、GE 、EC ，如图所示：∵八边形ABCDEFGH 是正八边形∴AB BC CD DE EF FG GH HA=======，(82)1801358ABC BCD CDE DEF EFG FGH GHA HAB −︒∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠=∠==︒∴ABC CDE EFG GHA ∆≅∆≅∆≅∆∴AC CE EG GA ===∴四边形ACEG 是菱形又1(180135)22.52BAC BCA ∠=∠=︒−︒=︒，1(180135)22.52HAG HGA ∠=∠=︒−︒=︒∴13522.522.590CAG BAH BAC HAG ∠=∠−∠−∠=︒−︒−︒=︒∴四边形ACEG 为正方形，∵AE 是正方形的对角线，∴∠CAE=119022CAG ∠=⨯︒=45°．故答案为：45．【点睛】本题考查了正多边形的性质、正方形的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．二、解答题 10．（2023·陕西渭南·统考二模）如图，在ABC 中，90ACB ∠=，CD 为角平分线，DE AC ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．求证：四边形DECF 是正方形．【答案】见解析 【分析】先证明四边形DECF 是矩形，再由角平分线的性质得出DE DF =，即可得出结论．【详解】CD 是角平分线，DE AC ⊥，DF BC ⊥，DE DF ∴=，90CED CFD ∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，∴四边形DECF 是矩形，又DE DF =，∴四边形DECF 是正方形．【点睛】本题考查了正方形的判定方法、矩形的判定方法、角平分线的性质；熟练掌握正方形的判定方法，11．（2023·山西太原·太原市实验中学校考一模）已知，如图，矩形ABCD 中，6AD =，7DC =，菱形EFGH 的三个顶点E ，G ，H 分别在矩形ABCD 的边AB ，CD ，DA 上，2AH =，连接CF ．(1)如图1，若2DG =，求证四边形EFGH 为正方形；(2)如图2，若4DG =，求△FCG 的面积；(3)当DG 为何值时，△FCG 的面积最小．【答案】(1)见解析(2)3(3)当DG =△FCG 的面积最小为7【分析】（1）由于四边形ABCD 为矩形，四边形HEFG 为菱形，那么90D A ∠=∠=︒，HG HE =，而2AH DG ==，易证AHE DGH ≌，从而有DHG HEA ∠=∠，等量代换可得90AHE DHG ∠+∠=︒，易证四边形HEFG 为正方形；（2）过F 作FM DC ⊥，交DC 延长线于M ，连接GE ，由于AB CD ，可得AEG MGE ∠=∠，同理有HEG FGE ∠=∠，利用等式性质有AEH MGF ∠=∠，再结合90A M ∠=∠=︒，HE FG =，可证AHE MFG △△≌，从而有2FM HA ==（即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值2)，进而可求三角形面积；（3）先设DG x =，由第（2）小题得，7FCG S x ∆=−，在AHE 中，7AE AB ≤=，利用勾股定理可得253HE ≤，在Rt DHG 中，再利用勾股定理可得21653x +≤，进而可求x ≤，从而可得当x GCF ∆的面积最小．【详解】（1）四边形ABCD 为矩形，四边形HEFG 为菱形，90D A ∴∠=∠=︒，HG HE =，又2AH DG ==，()Rt Rt HL AHE DGH ∴≌，DHG HEA ∴∠=∠， 90AHE HEA ∠+∠=︒，90AHE DHG ∴∠+∠=︒，90EHG ∴∠=︒，∴四边形HEFG 为正方形；（2）过F 作FM DC ⊥，交DC 延长线于M ，连接GE ， ∥AB CD ，AEG MGE ∴∠=∠，HE GF ∥，HEG FGE ∴∠=∠，∴∠=∠AEH MGF ，在AHE 和MFG 中，90A M ∠=∠=︒，HE FG =，AHE MFG ∴≌，2∴==FM HA ，即无论菱形EFGH 如何变化，点F 到直线CD 的距离始终为定值2， 因此()11274322FCG S FM GC =⨯⨯=⨯⨯−=；（3）设DG x =，则由第（2）小题得，7FCG S x ∆=−，在AHE ∆中，7AE AB ≤=，253HE ∴≤，21653x ∴+≤，x ∴FCG S ∆∴的最小值为7DG∴当DG =FCG ∆的面积最小为(7．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．（2023·山东青岛·山东省青岛第二十六中学校考二模）如图，在平行四边形ABCD 中，AC BD ，相交于点O ，点E ，F 在AC 上，且AE CF =，连接BE DF ，．(1)求证：BOE DOF ≌；(2)连接BF DE ，，若AB AD =，线段OE 满足什么条件时，四边形BEDF 为正方形．【答案】(1)证明见解析(2)当OE OD =时，四边形BEDF 为正方形，理由见解析【分析】（1）由平行四边形的性质得到OD OB OA OC ==，，再证明OE OF =即可利用SAS 证明BOE DOF ≌；（2）根据对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ，相交于点O ，∴OD OB OA OC ==，，∵AE CF =，∴OA AE OC CF −=−，即OE OF =，又∵DOF BOE ∠=∠，∴()SAS BOE DOF ≌△△；（2）解：当OE OD =时，四边形BEDF 为正方形，理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形，∴AC BD OD OB OA OC ==⊥，，，∵AE CF =，∴OA AE OC CF −=−，即OE OF =，又∵OE OD =，∴OE OD OF OB ===，∴EF 与BD 互相垂直平分且相等，∴四边形BEDF 为正方形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定，灵活运用所学知识是解题的关键． (1)求证：①EFB EBF ∠=∠②矩形DEFG 是正方形；(2)求AG AE +的值．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)【分析】（1）①过E 作EM AD ⊥于M ，EN AB ⊥于N 利用正方形的性质和角平分线的性质得到()SAS ADE ABE ≌，EM EN =进而得到DE BE =，再证明四边形ANEM 是矩形，又四边形DEFG 是矩形和全等三角形的判定证明()ASA EMD ENF ≌，得到EF BE =，利用等腰三角形的性质可证得结论；②根据正方形的判定可得结论；（2）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明()SAS ADG CDE ≌△△得到AG CE =，进而得到AG AE AC +=即可求解．【详解】（1）证明：过E 作EM AD ⊥于M ，EN AB ⊥于N ，则90EMA EMD ENF ENB ∠=∠=∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴45EAD EAB ∠=∠=︒，AD AB =，又AE AE =，∴()SAS ADE ABE ≌，EM EN =，∴DE BE =，∵90EMA ENA DAB ∠=∠=∠=︒，∴四边形ANEM 是矩形，又四边形DEFG 是矩形，∴90MEN DEF ∠=∠=︒，∴90DEM FEN MEF ∠=∠=︒−∠，又90EMD ENF ∠=∠=︒，EM EN =，∴()ASA EMD ENF ≌，则DE EF =，∴EF BE =，则EFB EBF ∠=∠；②∵四边形DEFG 是矩形，DE EF =，∴四边形DEFG 是正方形；（2）解 ：∵四边形DEFG 是正方形，四边形ABCD 是正方形，∴DG DE =，DC DA =，90GDE ADC ∠=∠=︒，∴ADG CDE ∠=∠，∴()SAS ADG CDE ≌△△，∴AG CE =，∴AG AE CE AE AC +=+===【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解答的关键．14．（2023·山东聊城·统考三模）如图，已知四边形ABCD 为正方形，E 为对角线AC 上一点，连接DE ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 延长线于点F ，以DE ，EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．(1)求证：矩形DEFG 是正方形；(2)求证：CG 平分DCF ∠．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）过点E 分别作EM BC ⊥于点M ，EN CD ⊥于点N ，先证出四边形EMCN 为正方形，根据正方形的性质可得EM EN =，90MEN ∠=︒，再根据矩形的性质可得90DEF ∠=︒，从而可得DEN FEM ∠=∠，然后根据ASA 定理证出DEN FEM ≅，根据全等三角形的性质可得ED EF =，最后根据正方形的判定即可得证；（2）先根据正方形的性质可得,DE DG AD CD ==，ADE CDG ∠=∠，再根据SAS 定理可得ADE CDG ≅，根据全等三角形的性质可得45DCG DAE ∠=∠=︒，由此即可得证．【详解】（1）证明：如图，过点E 分别作EM BC ⊥于点M ，EN CD ⊥于点N ，∵四边形ABCD 是正方形，∴90BCD ∠=︒，45ECN ∠=︒，∴90EMC ENC BCD ∠=∠=∠=︒，∴NE NC =，∴四边形EMCN 为正方形，∴EM EN =，90MEN ∠=︒，∵四边形DEFG 是矩形，∴90DEF ∠=︒，∴90DEN NEF FEM NEF ∠+∠=∠+∠=︒，DEN FEM ∴∠=∠，在DEN 和FEM △中，90DNE FME EN EM DEN FEM ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()ASA DEN FEM ≅，∴ED EF =，∴矩形DEFG 为正方形．（2）证明：∵矩形DEFG 为正方形，DE DG ∴=，90EDC CDG EDG ∠+∠=∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，AD CD ∴=，90ADE EDC ADC ∠+∠=∠=︒，45DAE =︒∠，∴ADE CDG ∠=∠，在ADE V 和CDG 中，AD CD ADE CDG DE DG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()SAS ADE CDG ≅，∴45DCG DAE ∠=∠=︒，∵90DCF ∠=︒，∴CG 平分DCF ∠．【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握正方形的判定与性质是解题关键．(2)应用（1）中的结论解决问题：如图2，中山公园有一块菱形场地，其面积为19200m地上修建一个正方形花圃，并且要使正方形花圃的四个顶点分别落在菱形场地的四条边上，则该正方形花圃的边长为________m．+【答案】(1)a b(2)48【分析】（1）连接CE ，利用等积法解答即可；（2）如解析图，设菱形CDEF 的两条对角线分别为2,2CE a DF b ==，根据菱形的性质可求出2009600a b ab +=⎧⎨=⎩，然后判定OPGQ 为正方形，且这个正方形为直角三角形COF 的“所容正方形”，再根据（1）的结论求解．【详解】（1）解：连接CE ，如图，设正方形DEFC 的边长为x ，则DE EF x ==，∵在ACB △中，90C ∠=︒，AC b BC a ==，， ∴()111111222222ABC S AC DE BC EF bx ax x a b ab =⋅+⋅=+=+=， ∴abx a b =+； 故答案为：aba b +；（2）如图，设菱形CDEF 的两条对角线交于点O ，且其长度分别为2,2CE a DF b ==，则,,CE DF CO EO a FO DO b ⊥====， 根据题意可得：22400122192002a b a b +=⎧⎪⎨⨯⨯=⎪⎩，整理得：2009600a b ab +=⎧⎨=⎩，若正方形MNGH 为在这个菱形场地上修建的正方形花圃，则根据菱形和正方形的对称性可得,GN DF GH CE ⊥⊥，则四边形OPGQ 也为正方形，且这个正方形为直角三角形COF 的“所容正方形”， 则由（1）的结论可得：这个正方形的边长960048200ab a b ===+m ；故答案为：48．【点睛】本题考查了勾股定理的拓展、菱形的性质以及正方形的判定和性质等知识，正确理解题意、熟练掌握相关图形的性质、合理利用所求的相关结论作答是解题的关键． (1)求证：ABF ECF ≌；(2)若AE AD =，连接BE ，当线段OF 与【答案】(1)证明见解析(2)当BD =时，四边形ABEC 为正方形，证明见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质得出ABF ECF ∠=∠，BAF CEF ∠=∠，进而利用全等三角形的判定得出即可；（2）首先判定四边形ABEC 是平行四边形，进而利用矩形的判定定理可得四边形ABEC 是矩形，结合BD =，证明BE CE =，从而可得结论．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ∥，AB CD =，OA OC =，。
1.3正方形的性质与判定(第一课时)课件北师大版九年级数学上册
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∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）. ∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF . ∴ EH ＝ BC . ∴ BE ＝ CH . ∴ CH ＝ FH . ∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°. ∴∠ ECF ＝135°.
答图
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（2022·恩施）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 G 为线段 AD 上任意一点， CE ⊥ BG 于点 E ， DF ⊥ CE 于点 F . 求证： DF ＝ BE ＋ EF .
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【思路导航】先证出△ BCE ≌△ CDF ，即可求得 BE ＝ CF ， CE ＝ DF ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证.
（1）求证： EF ＝ BE ＋ DF ； （1）证明：如答图，将△ ADF 绕点 A 按顺时针方 向旋转90°，得到△ ABF '， 则∠1＝∠2，∠ ABF '＝∠ D ， AF '＝ AF ， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 为正方形，
答图
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答图
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证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝90°. ∵ CE ⊥ BG ， DF ⊥ CE ， ∴∠ BEC ＝∠ CFD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°. ∴∠ CBE ＝∠ DCF .
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北师大版九年级数学上册知识点
北师大版九年级数学（上）册知识点1、菱形的性质与判定①菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
②菱形的性质：•具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
••菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
•••③菱形的判别方法：•一组邻边相等的平行四边形是菱形。
••对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
••四条边都相等的四边形是菱形。
•2、矩形的性质与判定①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
②矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）③矩形的判定：•有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
••对角线相等的平行四边形是矩形。
••四个角都相等的四边形是矩形。
•④推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3、正方形的性质与判定①正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
②正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）③正方形常用的判定：•有一个内角是直角的菱形是正方形；••邻边相等的矩形是正方形；••对角线相等的菱形是正方形；••对角线互相垂直的矩形是正方形。
•④正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系⑤梯形定义：•一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
••两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
••一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
•⑥等腰梯形的性质：•等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
••同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
••三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
••夹在两条平行线间的平行线段相等。
••在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半•第二章一元二次方程1、认识一元二次方程•只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax2+bx+c=0•（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。
北师大九年级数学上册《正方形的性质》课件
13．(2014·哈尔滨)如图，在正方形 ABCD 中，AC 为对角线，点 E 在 AB 边上，EF⊥AC 于点 F，连接 EC，AF＝3，△EFC 的周长为 12，
3．正方形是轴对称图形，它有____4____条对称轴．
1．(3分)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( C ) A．四条边都相等 B．对角线互相垂直平分 C．对角线相等 D．对角线平分一组对角 2．(3分)如图，将正方形ABCD折叠，使边AB，CB均落 在对角线BD上，折痕为BE，BF，则∠EBF的大小为( C ) A．15° B．30° C．45° D．60°
(2)解：∵AB＝2，∴AC＝ 2AB＝2 2.∵CE＝CD，∴AE＝2 2 －2.过点 E 作 EH⊥AB 于 H，则△AEH 是等腰直角三角形，∴EH ＝AH＝ 22AE＝2－ 2，∴BH＝2－(2－ 2)＝ 2.在 Rt△BEH 中， BE2＝BH2＋EH2＝( 2)2＋(2－ 2)2＝8－4 2.
(2)解：∵CD＝CE，BC＝CD，∴CE＝BC.又∵∠BCE＝30°， ∴∠EBC＝75°.而AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBE＝75°.
一、选择题(每小题 5 分，共 10 分)
9．如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，则图中
的等腰直角三角形有( C )
A．4 个
B．5 个
3.正方形的性质与判定
第1课时 正方形的性质
1．有一组邻边__相__等____，并且有一个角是____直____角的平行 四边形叫做正方形．
2．正方形既是特殊矩形，又是特殊菱形， 它的四个角都是____直____角，四条边都___相__等___， 对角线_相__等__且__互__相__垂__直__平__分_， 并且每一条对角线___平__分___一组对角．
北师大版数学九上知识点(全面总结)
九年级数学上册知识点归纳（最新北师大版）（八下前情回顾）※平行四边的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线.※平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分，是中心对称图形(对称中心是对角线的交点)，对角线分成的四个三角形面积相等(且有两全等)，面积=底×高(S=ah).补充：(中心对称图形)过对称中心的任意一条直线都可将其面积平分.※平行四边形的判别方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.两组对边分别相等的四边形是平行四边形.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等.这个距离称为平行线之间的距离.第一章特殊平行四边形1.菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形是特殊的平行四边形.※菱形的性质：(1)具有一般平行四边形的一切性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.※菱形的判别方法：(1)四条边都相等的四边形是菱形.(2)一组邻边相等的平行四边形是菱形.(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2.矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形.矩形是特殊的平行四边形.※矩形的性质：具有一般平行四边形的一切性质，且对角线相等，四个角都是直角(矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形，有两条对称轴，是分别过对边中点的两条直线)；面积=长×宽(S=ab). ※矩形的判定：(1)有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义).(2)对角线相等的平行四边形是矩形.(3)四个角都相等的四边形是矩形.※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.※推论的逆命题：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边. 3.正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形.※正方形的性质：正方形具有一般平行四边形、矩形、菱形的一切性质（正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有四条对称轴)；对角线分成的四个等腰直角三角形全等；面积=边长的平方=21对角线的平方(S=a ²=21b ²) ※正方形常用的判定：(1)有一个内角是直角的菱形是正方形； (2)邻边相等的矩形是正方形； (3)对角线相等的菱形是正方形； (4)对角线互相垂直的矩形是正方形.正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：【补充一】 梯形1.梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形.2.梯形的分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等腰梯形直角梯形特殊梯形一般梯形)2()1(⑴直角梯形：有一个角是直角的梯形；⑵等腰梯形：两腰相等的梯形； ①等腰梯形的性质：a.等腰梯形两腰相等，两底平行；b.等腰梯形同一底边上的两个角相等；c.等腰梯形的两条对角线相等.d.等腰梯形是轴对称图形，它只有1条对称轴，过两底中点的直线是它的对称轴. ②等腰梯形的判定：a.两腰相等的梯形是等腰梯形；b.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；c.对角线相等的梯形是等腰梯形。