一阶电路的全响应与三要素
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§5.4 一阶电路的全响应与三要素
在上两节中分别研究了一阶电路的零输入响应和零状态响应，电路要么只有外激励源的作用，要么只存在非零的初始状态，分析过程相对简单。本节将讨论既有非零初始状态，又有外激励源共同作用的一阶电路的响应，称为一阶电路的全响应。
5.4.1 RC 电路的全响应
电路如图5-9所示，将开关S 闭合前，电容已经充电且电容电压0)0(U u c =-，在t=0时将开关S 闭合，直流电压源S U 作用于一阶RC 电路。根据KVL ，此时电路方程可表示为：
C u
图 5-19 一阶RC 电路的全响应
S C C
U u t
u RC
=+d d （5-19） 根据换路原则，可知方程（5-19）的初始条件为 0)0()0(U u u C C ==-+
令方程（5-9）的通解为 C C
C u u u ''+'= 与一阶RC 电路的零状态响应类似，取换路后的稳定状态为方程的特解，则
S C
U u =' 同样令方程（5-9）对应的齐次微分方程的通解为τt
C
Ae u -
=''。其中RC =τ为电路的时间常数，所以有
τ
t
S C Ae
U u -+=
将初始条件与通解代入原方程，得到积分常数为 S U U A +=0
所以电容电压最终可表示为
τ
t
S S c e U U U u -
-+=)(0 （5-20）
电容充电电流为
e
t
S C R U U t u C i τ--==0d d
这就是一阶RC 电路的全响应。图5-20分别描述了s U ，0U 均大于零时，在0U U s >、
0=s U 、0U U s <三种情况下c u 与i 的波形。
(a) (b)
图5-20
C u ，i 的波形图
将式（5-20）重新调整后，得
)1(0ττ
t
S t
C e U e
U u -
--+=
从上式可以看出，右端第一项正是电路的零输入响应，第二项则是电路的零状态响应。显然，RC 电路的全响应是零输入响应与零状态响应的叠加，即 全响应 = 零输入响应 + 零状态响应
研究表明，线性电路的叠加定理不仅适用于RC 电路，在RC 电路的分析过程中同样适用，同时，对于n 阶电路也可应用叠加定理进行分析。
进一步分析式（5-20）可以看出右端第一项是电路微分方程的特解，其变化规律与电路外加激励源相同，因此被称之为为强制分量；式（5-20）右端第二项对应于微分方程的通解，其变化规律与外加激励源无关，仅由电路参数决定，称之为自由分量。所以，全响应又可表示为强制分量与自由分量的叠加，即
全响应 = 强制分量 + 自由分量
从另一个角度来看，式（5-20）中有一部分随时间推移呈指数衰减，而另一部分不衰减。显然，衰减分量在∞→t 时趋于零，最后只剩下不衰减的部分，所以将衰减分量称为暂态分量，不衰减的部分称为稳态分量，即
全响应 = 稳态分量 + 暂态分量
5.4.2 三要素法
一阶电路都只会有一个电容（或电感元件），尽管其它支路可能由许多的电阻、电源、控制源等构成。但是将动态元件独立开来，其它部分可以看成是一个端口的电阻电路，根据戴维南定理或诺顿定理可将复杂的网络都可以化成图5-21所示的简单电路。下面介绍的三要素法对于分析类复杂一阶电路相当简便。
C u +-
C u
+
-
C u
(a) (b)
i L
i
(c) (d)
图5-21复杂一阶电路的全响应
从图5-21（b）可以看出，如前所述，
C
u的表达式可以写为
τ
t
oc
C
oc
C
e
u
u
u
t
u-
+
-
+
=]
)
0(
[
)(
其中C
R
eq
=
τ，
oc
u是一端口网络N的开路电-压，由于)
(
)(
lim∞
=
=
c
c
oc
u
t
u
u，所以上式可以改写成为
τ
t
C
C
C
C
e
u
u
u
t
u-
+
∞
-
+
∞
=)]
(
)
0(
[
)
(
)(（5-21）同理，根据图5-21（d）可以直接写出电感电流的表达式为
[]τt
L
L
L
L
e
i
i
i
t
i-
+
∞
+
+
∞
=)
(
)
0(
)
(
)(（5-22）
其中
eq
R
L
=
τ，
eq
oc
L R
u
i=
∞)
(为i L的稳态分量。
综合上述两种情况后发现，全响应总是由初始条件、特解和时间常数三个要素来决定。
在直流电源激励下，若初始条件为)
0(
+
f，特解为稳态解)
(∞
f,时间常数为τ，则全响应)(t
f可表示为
τ
t
e
f
f
f
t
f-
+
∞
-
+
∞
=)]
(
)
0(
[
)
(
)(（5-23）如果已经确定一阶电路的)
0(
+
f、)
(∞
f和τ这三个要素，就可以根据式（5-23）直接写出电流激励下一阶电路的全响应，称之为三要素法。
一阶电路在正弦激励源的作用下，由于电路的特解)
('t
f是时间的正弦函数，则（6-23）
式可以写为
e t
f
f
t
f
t
fτ-
+
+
-
+
=)]
0('
)
0(
[
)('
)(
其中)
('t
f是特解，为稳态响应，)
0('
+
f是
+
=0
t时稳态响应的初始值。