【教育专用】2018北师大版高中数学必修三学案：第三章 1.2 生活中的概率

合集下载

高中数学北师大版必修三3.1.2【教学设计】《生活中的概率》

《生活中的概率》让学生了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；让学生澄清生活中的一些对概率的错误认识，进一步体会频率的稳定性和随机思想；让学生感受到概率就在身边，从而深化对概率定义的认识。

就知识的应用价值上来看:概率是反映自然规律的基本模型。

概率已经成为一个常用词汇,为人们做决策提供依据。

就内容的人文价值上来看：研究概率涉及了必然与偶然的辨证关系，是培养学生应用意识和思维能力的良好载体。

【知识与能力目标】理解概率的意义，利用概率知识正确理解现实生活中的实际概率问题。

【过程与方法目标】通过对现实生活中的“掷币”，“游戏的公平性”，“彩票中奖”等问题的探究，感知应用数学知识解决数学问题的方法，理解逻辑推理的数学方法。

【情感态度价值观目标】培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识。

【教学重点】利用概率的意义解决现实生活中的概率问题。

【教学难点】用概率的知识解释现实生活中的具体问题。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分1.概率的大小与我们日常所说的“可能”“估计”之间有什么关系？2.概率在现实生活中有哪些应用？3.在我们身边有很多概率的例子，你能举出概率的实例吗？活动：让学生分组讨论交流，比一比哪一组的例子最多、最贴切。

教师总结：在我们生活中有很多概率的例子，比如: 天气预报，带来出行方便财产保险，福利彩票，造福与民可以说，概率来源于生活，应用于生活.只要你有一双善于观察的眼睛，便会发现生活中到处都有概率。

[设计意图]：使学生更深刻理解概率的概念，体会概率与现实生活的联系，培养学生的数学应用意识。

二、研探新知，建构概念1.概率在生活中的作用：概率和日常生活有着密切的联系，对于生活中的随机事件，我们可以利用概率知识做出合理的判断与决策。

2.概率的意义：（1）概率的客观性。

高中数学 3.1.2 生活中的概率导学案北师大版必修3

例1．（1）某厂产品的次品率为0.02，问“从该厂产品中任意地抽取100件，其中一定Leabharlann 2件次品”这一说法对不对？为什么？
（2）一次抽奖活动中，中奖的概率为0.3，解释该概率的含义；
（3）某种病治愈的概率是0.3，那么，现有10人得这种病，在治疗中前7人没有治愈，后3人一定能治愈吗？
例2．抛一枚硬币（质地均匀），连续出现5次正面向上，有人认为下次出现反面向上的概率大于1/2，这种理解正确吗？
作业
布置
1．习题3-1 A3，B组
2.教辅资料
学习小结/教学
反思
探索新知：
1．阅读课本p127“思考交流”，讨论其结果：
2．问题1：抛掷10次硬币，是否一定是5次“正面朝上”和5次“5次反面朝上”?
3.问题2：有四个阉，其中两个分别代表两件奖品，四个人按排序依次抓阉来决定这两件奖品的归属.先抓的人中奖率一定大吗？
4.阅读课本p127-130，你发现了什么问题？
精讲互动
§3.1.2生活中的概率
授课
时间
第周星期第节
课型
新授课
主备课人
学习
目标
1.理解概率的意义；
2.能正确利用概率知识解决现实中的生活问题.
重点难点
利用概率知识解决现实中的生活问题
学习
过程
与方
法
自主学习
概率在生活中的应用：
概率和日常生活有着密切的联系，对于生活中随机事件，我们可以利用概率知识作出合理的和.
例3．为了增强学生对世园会的了解和认识，某校决定在全校3000名学生中随机抽取10名学生举行一次有关西安世园会的知识问卷，小明认为被选取的可能性为，不可能抽到他，所以他就不想去查阅、咨询有关世园会的知识，你认为他的做法对吗？请说明理由.

高中北师大版数学同步教学参考课件必修三第3章-1.1 频率与概率1.2 生活中的概率

得 60 分以上的人数 17 29 得 60 分以上的频率
当堂双基达标
(1)计算两地区参加测试的儿童得 60 分以上的频率，完成表格； (2)估计两个地区参加测试的儿童得 60 分以上的概率．
课时作业
课堂互动探究
教师备课资源
菜
单
BS ·数学
教学教法分析教学方案设计课前自主导学
频率与概率之间的联系
【问题导思】
做一个简单的实验：把一枚骰子掷多次，观察出现的结果，并记录各结果出现的频数．
1．在本实验中出现了几种结果？【提示】一共出现了1点、2点、3点、4点、5点、6点六种结果． 2．一次试验中的试验结果试验前能确定吗？【提示】不能． 3．若做大量地重复试验，你认为出现每种结果的次数有何关系？【提示】大致相等．
菜课资源
BS ·数学
教学教法分析教学方案设计课前自主导学
必修3
易错易误辨析当堂双基达标
2．过程与方法 (1)发现法教学：经历抛硬币试验获取数据的过程，归纳总结试验结果，发现规律，真正做到在探索中学习，在探索中提高； (2)通过三种事件的区分及用统计算法计算随机事件的概率，提高学生分析问题、解决问题的能力； (3)通过概念的提炼和小结的归纳提高学生的语言表达和
课时作业
课堂互动探究
菜单
教师备课资源
BS ·数学
教学教法分析教学方案设计课前自主导学
必修3
易错易误辨析当堂双基达标
频率与概率的关系

2017-2018学年高一数学北师大版必修3教学案：第三章 §1 1.1 1.2 频率与概率生活中的概率

随机事件的概率1．1 & 1.2频率与概率生活中的概率预习课本P119～126，思考并完成以下问题(1)随机事件、必然事件、不可能事件是如何定义的？(2)概率的定义是什么？(3)频率与概率有什么区别和联系？[新知初探]1．概率在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记为P(A)．我们有0≤P(A)≤1.2．概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的频率作为它的概率的估计值．[点睛](1)频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．(2)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．[小试身手]1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机事件没有结果．()(2)随机事件的频率与概率一定不相等．()(3)在条件不变的情况下，随机事件的概率不变．()(4)在一次试验结束后，随机事件的频率是变化的．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2．下列关于随机事件的频率与概率的关系的说法中，正确的是()A．频率就是概率B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增多，频率越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定解析：选C频率不是概率，所以A不正确；概率是客观存在的，与试验次数无关，所以B不正确；概率不是随机的，所以D不正确；很明显，随着试验次数的增多，频率越来越接近概率，故选C.3．已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是() A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%D．以上说法都不对解析：选C治愈某种疾病的概率为90%，说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病，只能说治愈的可能性较大．[典例]①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；②“当x为某一实数时可使x2＜0”是不可能事件；③“一个三角形的大边对的角小、小边对的角大”是必然事件；④“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件．其中正确的个数是()A．4B．3C．2 D．1[解析]①正确，因为无论怎么放，其中一个盒子的球的个数都不小于2；②正确，因为无论x为何实数，x2＜0均不可能发生；③错误，三角形中大边对大角，所以③是不可能事件；④正确，因为“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”这件事有可能发生，也有可能不发生，确实是随机事件．[答案] B判断一个事件是必然事件、不可能事件还是随机事件，关键看它在一定的条件下是否一定发生．若可能发生也可能不发生，则是随机事件；若一定会发生，则是必然事件；若一定不会发生，则是不可能事件．要注意的是：这里的条件对事件发生与否的判断很关键．[活学活用]指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：(1)从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的签； (2)函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)为增函数； (3)平行于同一条直线的两条直线平行； (4)随机选取一个实数x ，得2x ＜0.解：(1)是随机事件，5张标签都可能被取到．(2)是随机事件，当a ＞1时，函数y ＝log a x 为增函数，当0＜a ＜1时，函数y ＝log a x 为减函数．(3)是必然事件，实质是平行公理．(4)为不可能事件，根据指数函数y ＝2x 的图像可得，对任意实数x,2x ＞0.频率与概率的关系[典例] 况：表一抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率mn抽取球数n 70 130 310 700 1 500 2 000 优等品数m601162826371 3391 806优等品频率mn(1))； (2)若从两个厂家生产的这批篮球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率分别是多少？(3)若该两厂的篮球价格相同，你打算从哪一厂家购货？[解] (1)依据频率公式计算表一中“篮球是优等品”的各个频率为0.90,0.92,0.97,0.94,0.95,0.95；表二中“篮球是优等品”的各个频率为0.86,0.89,0.91,0.91，0.89，0.90.(2)由(1)可知，抽取的篮球数不同，随机事件“篮球是优等品”的频率也不同．表一中的频率都在常数0.95的附近摆动，则在甲厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.95；表二中的频率都在常数0.90的附近摆动，则在乙厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.90.(3)根据概率的定义可知：概率是从数量上反映一个随机事件发生可能性的大小．因为P甲>P 乙，表示甲厂生产出来的篮球是优等品的概率更大．因此应该选择甲厂生产的篮球．(1)虽然随机事件在一次试验中是否发生不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，用事件发生的频率去“测量”，通过计算事件发生的频率去估计概率．(2)此类题目的解题方法是：先利用频率的定义依次计算出各个频率值，然后确定概率(即频率的稳定值)．[活学活用]某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：分组 [500，900) [900，1 100) [1 100，1 300) [1 300，1 500) [1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．解：(1)频率依次是：0．048,0.121,0.208,0.223,0.193,0.165,0.042.(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中灯管使用寿命不足1 500小时的频率是600＝0.6，1 000所以灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.概率的应用[典例]3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3?[解]如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是30%，指随着试验次数的增加，即治疗的病人数的增加，大约有30%的人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，既有可能治愈，也可能没有治愈．治愈的概率是0.3是指如果有1 000人患病，那么我们根据治愈的频率应在治愈概率附近摆动这一前提，就可以认为这1 000人中，大约有300人能治愈，这个事先估计对于医药卫生部门是很有参考价值的．这也进一步说明了随机事件的概率只是反映了在大量重复试验的条件下，随机试验发生的频率的稳定性．由于概率体现了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生．从而对某些事情作出决策．当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率．[活学活用]为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中带记号的鱼，设有40尾，试根据上述数据，估计水库中鱼的尾数．解：设水库中鱼的尾数是n(n∈N＋)，现在要估计n的值，假定每尾鱼被捕到的可能性是相等的，从水库中任捕一尾鱼，设事件A＝{捕到带记号的鱼}，则P(A)＝2 000n.第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带记号的有40尾，即事件A 发生的频数为40，由概率的统计定义知P (A )≈40500，即2 000n ≈40500，解得n ≈25 000. 所以估计水库中的鱼有25 000尾．[层级一学业水平达标]1．下列事件：①物体在重力作用下会自由下落；②方程x 2－2x ＋3＝0有两个不相等的实数根； ③下周日会下雨；④某网站某一时间段内被点击次数多于10次．其中随机事件的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B 结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义作出判断．由定义可知，①是必然事件；②是不可能事件；③④是随机事件．2．某人将一枚硬币连掷了10次，6次正面朝上，若用A 表示“正面朝上”这一事件，则A 的( )A ．概率为35B ．频率为35C ．频率为6D ．概率接近35解析：选B 本题主要考查频率的定义以及频率与概率的区别，事件A 的频率为610＝35，概率为12，故选B.3．在天气预报中，有“降水概率预报”，例如，预报“明天降水概率为78%”，这是指( )A ．明天该地区有78%的地区降水，其他地区不降水B ．明天该地区降水的可能性为78%C ．气象台的专家中，有78%的专家认为会降水，另外22%的专家认为不降水D ．明天该地区约有78%的时间降水，其他时间不降水解析：选B “明天降水概率为78%”是指明天该地区降水的可能性为78%，故选B. 4．下列说法：①频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性大小； ②做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率mn 就是事件A 发生的概率； ③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离具体的n 次试验的试验值，而概率是确定性的、不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法是________．解析：由概率与频率的关系，可知①④⑤正确．答案：①④⑤[层级二应试能力达标]1．下列说法正确的是( )A ．一个人打靶，打了10发子弹，有7发子弹中靶，因此这个人中靶的概率为710B ．一个同学做掷硬币试验，掷了6次，一定有3次“正面朝上”C ．某地发行福利彩票，其回报率为47%.有个人花了100元钱买彩票，一定会有47元的回报D ．大量试验后，可以用频率近似估计概率解析：选D A 中710是频率；B 错的原因是误解了“概率是12”的含义；C 错的原因是忽略了整体与部分的区别．2．某次数学考试中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是14，某家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其一个选项，则一定有3题答对．”这句话( )A ．正确B ．错误C ．不一定D ．无法解释解析：选B 把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是14，说明做对的可能性大小是14.做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3题的可能性较大，但是并不一定答对3道．也可能都选错，或仅有2题、3题、4题……甚至12个题都选择正确．3．“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明( ) A ．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防B ．小概率事件很少发生，不用怕C ．小概率事件就是不可能事件，不会发生D ．大概率事件就是必然事件，一定发生解析：选A 因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件．故选A. 4．随机事件A 的频率mn 满足( ) A.mn ＝0 B.mn ＝1 C ．0＜mn＜1D ．0≤mn≤1解析：选D ∵0≤m ≤n ，∴0≤mn≤1.5．在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为________．解析：由100×0.49＝49，知有49次“正面朝上”，故有100－49＝51(次)“正面朝下”．答案：516．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黑球(只是颜色不同)，从中任取一球，取了10次有9个白球，估计袋中数量最多的是________．解析：取了10次有9个白球，则取出白球的频率是0.9，估计从该袋中任取一球，是白球的概率约是0.9，是黑球的概率约是0.1，因为取出白球的概率大于取出黑球的概率，所以估计袋中数量最多的是白球．答案：白球7．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件： ①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品； ②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品； ③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10；其中________是必然条件；________是不可能事件；________是随机事件．解析：200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于10.答案：③④ ② ①8．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率) 解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45，故x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)在这100位顾客中，一次购物的结算时间不超过2分钟的共有15＋30＋25＝70(人)，根据频率与概率的关系，估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为70100＝0.7.9．如图所示，盒中装有3个完全相同的球，分别标着“A ”“B ”“C ”，从盒中随意摸出一球，并自由转动转盘(转盘被分成相等的3个扇形)，小刚和小明用它们做游戏，并约定：如果所摸出的球上的字母与转盘停止时指针对准的字母相同，则小明获得1分，如果不同，则小刚获得1分．(1)你认为这个游戏公平吗？为什么？(2)如果不公平，该如何修改约定才能使游戏对双方公平？(3)如果他们认为这个约定不公平，但又不想修改约定，于是便商定只用转盘转动两次做这个游戏，你认为这样公平吗？解：游戏是否公平，关键要看试验很多次后，两人平均每次试验的得分是否相等，相等，则公平；不相等，则不公平．(1)不公平．因为每进行一次游戏，小明获1分的机会是13，而小刚获得1分的机会是23.(2)可这样修改约定：如果所摸出的球上的字母与转盘停止时指针对准的字母相同，则小明获2分；如果不同，则小刚获1分．(3)也不公平．因为每转动两次转盘，小明获得1分的机会仍是13，而小刚获得1分的机会仍是23.。

高中数学第三章概率教案北师大版必修3-北师大版高中必修3数学教案

高中数学第三章概率教案北师大版必修3整体设计教学分析本节是对第三章知识和方法的归纳与总结，从总体上把握本章，使学生的基本知识系统化和网络化，基本方法条理化，本章共有三部分内容，是相互独立的，随机事件的概率是基础，在此基础上学习了古典概型和几何概型，要注意它们的区别和联系，了解人类认识随机现象的过程是逐步深入的，了解概率这门学科在实际中有着广泛的应用．三维目标通过总结和归纳本章的知识，使学生进一步了解随机事件，了解概率的意义，掌握各种概率的计算公式，能够用所学知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，让概率更好地为人类服务．重点难点概率的意义及求法，频率与概率的关系，概率的主要性质，古典概型的特征及概率公式的应用，几何概型意义的理解及会求简单的几何概型问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.同样一张书桌有的整洁、有的凌乱，同样一支球队，在不同的教练带领下战斗力会有很大的不同，例如达拉斯小牛队在“小将军”约翰逊的带领下攻防俱佳所向披靡，为什么呢？因为书桌需要不断整理，球队需要系统的训练、清晰的战术、完整的攻防体系．我们学习也是一样需要不断归纳整理、系统总结、升华提高，现在我们就概率这一章进行归纳复习，引出课题．思路2.为了系统掌握本章的知识，我们复习本章内容，教师直接点出课题．推进新课新知探究提出问题1．随机事件的概率包括几部分？2．古典概型包括几部分？3．几何概型包括几部分？4．本章涉及的主要数学思想是什么？5．画出本章的知识结构图．讨论结果：1．随机事件的概率随机事件是本章的主要研究对象，基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件．(1)概率的概念在大量重复进行的同一试验中，事件A 发生的频率m n总是接近于某一常数，且在它的附近摆动，这个常数就是事件A 的概率P (A )，概率是从数量上反映一个事件．求某一随机事件的概率的基本方法是：进行大量重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率．(2)概率的意义与性质①概率是描述随机事件发生的可能性大小的度量，事件A 的概率越大，其发生的可能性就越大；概率越小，事件A 发生的可能性就越小．②由于事件的频数总是小于或等于试验的次数，所以频率在[0,1]之间，从而任何事件的概率在[0,1]之间，即0≤P (A )≤1.概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )．(3)频率与概率的关系与区别频率是概率的近似值．随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率，频率本身也是随机的，两次同样的试验，会得到不同的结果；而概率是一个确定的数，与每次试验无关．2．古典概型(1)古典概型的概念①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(有限性)②每个基本事件出现的可能性相等．(等可能性)我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型(classical models of probability)，简称古典概型．(2)古典概型的概率计算公式为P (A )＝事件A 包含的可能结果数试验的所有可能结果数. 在使用古典概型的概率公式时，应该注意：①要判断该概率模型是不是古典概型；②要找出随机事件A 包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．学习古典概型要通过实例理解古典概型的特点：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性．要学会把一些实际问题化为古典概型，不要把重点放在“如何计数”上．3．几何概型(1)对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型(geometric models of probability)，简称几何概型．(2)几何概型的基本特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等．(3)几何概型的概率公式：P (A )＝构成事件A 的区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积. 几何概型研究的是随机事件的结果有无限多个，且事件的发生只与区域的长度(面积或体积)成比例的概率问题．(4)随机数是在一定范围内随机产生的数，可以利用计算器或计算机产生随机数来做模拟试验，估计概率，学习时应尽可能利用计算器、计算机来处理数据，进行模拟活动，从而更好地体会概率的意义．4．本章涉及的主要思想是化归与转化思想(1)古典概型要求我们从不同的背景材料中抽象出两个问题：一是所有基本事件的个数即总结果数n ，二是事件A 所包含的结果数m ，最后化归为公式P (A )＝m n .(2)几何概型中，要首先求出试验的全部结果所构成的区域长度和构成事件的区域长度，最后化归为几何概型的概率公式求解．5．如图1.图1应用示例思路1例1 每次抛掷一枚骰子(六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6)．(1)连续抛掷2次，求向上的数不同的概率；(2)连续抛掷2次，求向上的数之和为6的概率．活动：本小题主要考查概率的基本知识，运用数学知识解决实际问题的能力．解：(1)设A 表示事件“抛掷2次，向上的数不同”，则P (A )＝6×56×6＝56. 抛掷2次，向上的数不同的概率为56.(2)设B 表示事件“抛掷2次，向上的数之和为6”．∵向上的数之和为6的结果有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)5种，∴P (B )＝56×6＝536.抛掷2次，向上的数之和为6的概率为536. 例2 甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒子中有黄、黑、白三种颜色的球各2个，从两个盒子中各取1个球．(1)求取出的两个球是不同颜色的概率；(2)请设计一种随机模拟的方法，来近似计算(1)中取出的两个球是不同颜色的概率(写出模拟的步骤)．活动：学生思考交流，教师引导，各种颜色的球被取到的可能性相同，属于古典概型，可以利用古典概型的知识解决．解：(1)设A 为“取出的两球是相同颜色”，B 为“取出的两球是不同颜色”，则事件A的概率为P (A )＝3×2＋3×29×6＝29.由于事件A 与事件B 是对立事件，所以事件B 的概率为P (B )＝1－P (A )＝1－29＝79. (2)随机模拟的步骤：第1步：利用抓阄法或计算机(计算器)产生1～3和2～4两组取整数值的随机数，每组各有N 个随机数．用“1”表示取到红球，用“2”表示取到黑球，用“3”表示取到白球，用“4”表示取到黄球．第2步：统计两组对应的N 对随机数中，每对中的两个数字不同的对数n .第3步：计算n N 的值，则n N就是取出的两个球是不同颜色的概率的近似值．思路2例1 已知单位正方形ABCD ，在正方形内(包括边界)任取一点M ，求：(1)△AMB 面积大于等于14的概率； (2)AM 的长度不小于1的概率．解：(1)如图2，取BC ，AD 的中点E ，F ，连接EF ，当M 在矩形CEFD 内运动时，△ABM的面积大于等于14，由几何概型知，P ＝S 矩形CDFE S 正方形＝12. (2)如图3，以AB 为半径作圆弧，M 在阴影部分时，AM 的长度大于等于1, 由几何概型知，P ＝S 阴影S 正方形ABCD ＝1－14×π×12＝1－π4. 图2 图3例2 如图4，在墙上挂着一块边长为16 cm 的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2 cm,4 cm,6 cm ，某人站在3 m 之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算(可重投)，问：图4(1)投中大圆内的概率是多少？(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？(3)投中大圆之外的概率是多少？解：整个正方形木板的面积，即基本事件所占的区域总面积为μΩ＝16×16＝256(cm 2)．记“投中大圆内”为事件A ，“投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B ，“投中大圆之外”为事件C ，则事件A 所占区域面积为μA ＝π×62＝36π(cm 2)；事件B 所占区域面积为μB ＝π×42－π×22＝12π(cm 2)；事件C 所占区域面积为μC ＝(256－36π) cm 2.由几何概型的概率公式，得(1)P (A )＝μA μΩ＝9π64；(2)P (B )＝μB μΩ＝3π64；(3)P (C )＝μC μΩ＝1－9π64. 点评：对于(3)的求解，也可以直接应用对立事件的性质P (A )＝1－P (A )求解．知能训练1．下列说法正确的是( )．A ．任何事件的概率总是在(0,1)之间B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定答案：C2．掷一枚骰子，则掷得奇数点的概率是( )．A.16B.12C.13D.14答案：B3．从一批产品中取出三件产品，设A 为“三件产品全不是次品”，B 为“三件产品全是次品”，C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是( )．A ．A 与C 互斥B ．B 与C 互斥C ．任何两个均互斥D ．任何两个均不互斥答案：B4．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在[4.8 g,4.85 g]范围内的概率是( )．A ．0.62B ．0.38C ．0.02D ．0.68答案：C5．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是( )．A.12B.14C.13D.18答案：B6．甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是( )． A.13 B.14 C.12D ．无法确定答案：C7．如图5所示，随机在图中撒一把豆子，则它落到阴影部分的概率是( )．图5A.12B.34C.38D.18答案：C8．任意投掷3枚硬币，(1)写出所有可能出现的试验结果；(2)写出恰有一枚硬币正面朝上的可能的结果；(3)求出现一正二反的概率．解：(1)可能的结果有(上，上，上)，(上，上，下)，(上，下，上)，(下，上，上)，(上，下，下)，(下，上，下)，(下，下，上)，(下，下，下)8种可能．(2)其中恰有一枚硬币正面朝上有(上，下，下)，(下，上，下)，(下，下，上)3种不同的结果．(3)概率为38. 9．有两组相同的牌，每组三张，它们的牌面数字分别是1,2,3，现从每组牌中各摸出一张牌，问：(1)两张牌的牌面数字和为几的概率最大？(2)两张牌的牌面数字和等于4的概率是多少？(3)两张牌的牌面数字和是奇数的概率是多少？解：(1)和为4的概率最大；(2)两张牌的牌面数字和为4的概率为13；(3)两张牌的牌面数字和是奇数的概率是49. 拓展提升1．设有关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.(1)若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．(2)若a 是从区间[0,3]上任取的一个数，b 是从区间[0,2]上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．解：设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根的充要条件为a ≥b .(1)基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34. (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}，构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }，所以所求的概率为＝3×2－12×223×2＝23. 2．如图6，在边长为25 cm 的正方形中挖去边长为23 cm 的两个等腰直角三角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的概率是多少？图6活动：学生读题，教师引导提示，因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．解：设A 为“粒子落在中间带形区域”，则依题意得正方形面积为25×25＝625(cm 2)，两个等腰直角三角形的面积的和为2×12×23×23＝529(cm 2)，带形区域的面积为625－529＝96(cm 2)，∴P (A )＝96625. 课堂小结同统计一样，概率也是一门实践性很强的数学分支，与日常生活联系紧密．现实生活中存在大量的随机事件，在一次试验中它的发生是随机的，可是借助大量的重复试验就会发现它的发生又具有某种规律，体现了“随机性中蕴涵规律性，偶然性中蕴涵着必然性”的唯物辩证法观点，概率的意义及求法，频率与概率的关系，概率的主要性质，古典概型的特征及概率公式的应用，几何概型意义的理解及会求简单的几何概型问题等都是要掌握的重点内容，内容涉及了今年的高考题，要切实注意，同时由于这部分内容与其他内容联系较少，要多加练习，达到熟练的目的．作业复习题三任选3题．设计感想这章内容与其他数学知识联系较少，其解题方法独特，对同学们的思维能力、分析及解决问题能力要求较高．钻研课本，理解概念，弄清公式的“来龙去脉”，尤其是公式中字母的内涵．在此基础上，适当地做一些练习，并及时归纳解题方法，不断反思及加深自己对数学知识(概念、公式等)的理解．备课资料备选习题1．从五件正品一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品、一件次品的概率是( )．A ．1 B.12 C.13 D.23答案：C2．一个袋中装有2个红球和2个白球，现从袋中取出1球，然后放回袋中再取出一球，则取出的两个球同色的概率是( )．A.12B.13C.14D.253．现有5个球分别记为A ，C ，J ，K ，S ，随机放进3个盒子，每个盒子只能放一个球，则K 或S 在盒中的概率是( )．A.110B.35C.310D.910答案：D4．对某种产品的5件不同正品和4件不同次品一一进行检测，直到区分出所有次品为止．若所有次品恰好经过五次检测被全部发现，则这样的检测方法有( )．A ．20种B ．96种C ．480种D ．600种答案：C5．若连掷两次骰子，分别得到的点数是m ，n ，将m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在区域|x －2|＋|y －2|≤2内的概率是( )．A.1136B.16C.14D.736答案：A6．要从10名男生和5名女生中选出6人组成啦啦队，若按性别依比例分层抽样且某男生担任队长，则不同的抽样方法数是( )．A ．C 39C 25B ．C 310C 25 C ．A 310A 25D ．C 410C 25答案：A7．两个事件互斥是两个事件对立的________条件．( )．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要答案：B8．下列事件中，随机事件的个数是( )．①如果a ，b 是实数，那么b ＋a ＝a ＋b ②某地1月1日刮西北风 ③当x 是实数时，x 2≥0 ④一个电影院某天的上座率超过50%A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B9．从甲、乙、丙、丁4人中选3人当代表，则甲被选中的概率是( )．A.14B.12C.13D.34答案：D10．一箱内有10张标有0到9的卡片，从中任选一张，则取到卡片上的数字不小于6的概率是( )．A.13B.35C.25D.14答案：C11．盒中有10个大小、形状完全相同的小球，其中8个白球、2个红球，则从中任取2球，至少有1个白球的概率是( )．A.4445B.15C.145D.8990答案：A12．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是30%，两人下成和棋的概率为50%，则甲不输的概率是( )．A ．30%B ．20%C ．80%D ．以上都不对答案：C13．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积大于S 4的概率是( )． A.12 B.34 C.14 D.1314．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的坐标，则点P 落在圆x 2＋y2＝25外的概率是( )．A.536B.712C.512D.13答案：B15．从1,2,3,4,5,6这6个数字中，不放回地任取两数，两数都是偶数的概率是( )． A.12 B.13 C.14 D.15答案：D16．同时掷3枚硬币，那么互为对立事件的是( )．A ．至少有1枚正面和最多有1枚正面B ．最多1枚正面和恰有2枚正面C ．至多1枚正面和至少有2枚正面D ．至少有2枚正面和恰有1枚正面答案：C17．某人向图7的靶子上射箭，假设能中靶，且箭头落在任何位置都是等可能的，最容易射中阴影区的是( )．图7答案：B18．袋子中有红、黄、白3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地抽取3次．求：(1)3个全是红球的概率；(2)3个颜色全相同的概率；(3)3个颜色不全相同的概率；(4)3个颜色全不相同的概率．解：(1)3个全是红球的概率为127；(2)3个颜色全相同的概率为327＝19； (3)“3个颜色不全相同”的概率为1－19＝89；(4)“3个颜色全不相同”的概率为29. 19．小张去南京出差，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，求：(1)他乘火车或乘飞机去的概率；(2)他不乘轮船去的概率；(3)如果他去的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具去？答案：(1)0.7；(2)0.8；(3)可能乘火车或轮船去，也可能乘汽车或飞机去．。

北师大版高中数学必修3《三章概率 1 随机事件的概率 1.2生活中的概率》优质课教案_4

《随机事件的概率》教学设计教学目标：1、知识与技能（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解频率的意义及频率与概率的区别；（2）在正确理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性的基础上，能辨析生活中的随机现象，澄清生活中对概率的一些错误认识，并通过做大量重复试验，用频率对某些随机事件的概率进行估计。

通过对现实生活中“掷硬币”“游戏公平性”“彩票中奖”等问题的探究，体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，理解概率的统计定义在实际生活中的作用，初步掌握利用数学知识思考和解决实际问题的方法。

3、情感、态度与价值观通过本节的教学，引导学生用随机的观点认识世界，使学生了解偶然性与必然性的辩证统一，培养辩证唯物主义思想。

教学重点：通过实验活动丰富对频率与概率关系的认识，知道当试验次数较大时，频率稳定于理论概率。

教学难点：收集数据、分析折线图、辩证的理解频率与概率的关系。

教学方法：本节课采用交流合作法，辅之以其它教学法，在探索新知的过程中，通过抛硬币活动来组织学生进行有效的学习，调动学生的积极性，在实验的过程中实现对数据的收集、整理、观察、分析、讨论，最后通过合作交流等方式，归纳出当试验次数大很大时，事件发生的频率稳定一个常数附近。

教学手段：采用多媒体辅助教学,促进学生自主学习，丰富完善学生的认知过程，使有限的时间成为无限的空间。

事先教师准备图表、电脑、硬币等。

教学流程：一、情境导入买彩票中奖问题[设计意图]：这样从实际问题抽象出数学问题，充分体现了数学来源于生活，又服务于生活的数学应用意识，激发学生的好奇心和求知欲，为顺利实施本节课的教学目标打下了良好的基础.二、探索研究1、做数学试验，观察频率是否体现出规律性做如下试验：从一定高度按相同方式让一枚质地均匀的硬币自由下落，可能正面朝上，也可能反面朝上，观察正面朝上的频率。

试验要求：学生四人一组进行试验，每组试验20次，注意试验条件要求：从一定高度按相同方式下落。

2018版高中数学北师大版必修三学案：第三章概率 1.1 频率与概率

1．1　频率与概率[学习目标]　1.了解随机事件发生的不确定性和概率的稳定性.2.正确理解概率的含义，理解频率与概率的区别与联系.3.会初步列举出重复试验的结果．知识点一　必然事件、不可能事件与随机事件事件类型定义必然事件在条件S下，一定会发生的事件，叫作相对于条件S的必然事件，简称必然事件不可能事件在条件S下，一定不会发生的事件，叫作相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件确定事件必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件随机事件在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫作相对于条件S的随机事件，简称随机事件事件确定事件与随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C……表示知识点二　随机事件的频率1．随机试验(1)试验可以在相同的条件下重复进行；(2)试验的结果都明确可知，但不止一种；(3)每次试验总是出现这些结果中的一种，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一种结果．称这样的试验是一种随机试验，简称试验．2．随机事件的频率在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A)＝为事件A 出现的频率．n An 思考　两位同学在相同的条件下，都抛掷一枚硬币100次，得到正面向上的频率一定相同吗？答　不一定相同．知识点三　随机事件的概率对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A)随着试验次数的增加稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，则P (A )称为事件A 的概率，简称为A 的概率．思考　频率和概率可以相等吗？答　可以相等．但因为每次试验的频率是多少是不固定的，而概率是固定的，故一般是不相等的，但有可能是相等的．题型一　必然事件、不可能事件与随机事件的判断例1　指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：(1)中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军；(2)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯；(3)若x ∈R ，则x 2＋1≥1；(4)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意拿出一本，是漫画书．解　(1)(2)中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件．(3)中的事件一定会发生，所以是必然事件．(4)小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件．反思与感悟　要判断事件是何种事件，首先要看清条件，因为事件都是相对于一定条件而言的，然后看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生．一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．跟踪训练1　下列事件中的随机事件为( )A ．若a ，b ，c 都是实数，则a (bc )＝(ab )c B ．没有水和空气，人也可以生存下去C ．抛掷一枚硬币，反面向上D ．在标准大气压下，温度达到60℃时水沸腾答案　C解析　A 中的等式是实数乘法的结合律，对任意实数a ，b ，c 是恒成立的，故A 是必然事件．在没有空气和水的条件下，人是绝对不能生存下去的，故B 是不可能事件．抛掷一枚硬币时，在没得到结果之前，并不知道会是正面向上还是反面向上，故C 是随机事件．在标准大气压的条件下，只有温度达到100℃，水才会沸腾，当温度是60℃时，水是绝对不会沸腾的，故D是不可能事件．题型二　试验与重复试验的结果分析例2　下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果．(1)抛掷两枚质地均匀的硬币多次；(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集．解　(1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)．(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}．反思与感悟　1.准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是求概率的基础．2．在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏．跟踪训练2　袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果．(1)从中任取1球；(2)从中任取2球．解　(1)条件为：从袋中任取1球．结果为：红、白、黄、黑4种．(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种．题型三　频率与概率的关系及求法例3　某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图所示)，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据.转动转盘的次数n1001502005008001000落在“铅笔”区域的次数68111136345564701m落在“铅笔”区域的频率mn (1)计算并完成表格；(2)请估计，当n 很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近多少？(3)假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？解　(1)转动转盘的次数n 1001502005008001000落在“铅笔”区域的次数m68111136345564701落在“铅笔”区域的频率mn0.680.740.680.690.7050.701(2)当n 很大时，落在“铅笔”区域的频率将会接近0.7.(3)获得铅笔的概率约是0.7.反思与感悟　1.频率是事件A 发生的次数m 与试验总次数n 的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n 很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．2．解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．跟踪训练3　一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数n 554496071352017190男婴数m2883497069948892(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)；(2)这一地区男婴出生的概率约是多少？解　(1)计算即得男婴出生的频率依次约是0.5200,0.5173, 0.5173,0.5173.mn (2)由于这些频率非常接近0.5173，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.5173.设计程序框图例4　一个袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球．从中先后取出2个球，共有多少种不同的结果？分析　利用列举法将所有可能结果一一列举出来．解　方法一　从袋中先后取出2个球，如记(红，白)表示从袋中先取出红球，再取出白球，则所有的结果为：红白黄黑红(红，白)(红，黄)(红，黑)白(白，红)(白，黄)(白，黑)黄(黄，红)(黄，白)(黄，黑)黑(黑，红)(黑，白)(黑，黄)共有12种不同的结果．方法二　如图．共有12种不同的结果．解后反思　(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件，比如题目中强调了“先后取出”，故与顺序有关．(2)为将随机试验的所有可能结果一一列举出来，可利用画树状图、列表等方法解决．1．下列事件：①明天下雨；②3＞2；③某国发射航天飞机成功；④x∈R，x2＋2＜0；⑤某商船航行中遭遇海盗；⑥任给x∈R，x＋2＝0.其中随机事件的个数为( )A．1B．2C．3D．4答案　D解析　①③⑤⑥是随机事件，②是必然事件，④是不可能事件．2．从6名男生、2名女生中任选3人，则下列事件中，必然事件是( )A．3人都是男生B．至少有1名男生C．3人都是女生D．至少有1名女生答案　B解析　由于女生只有2人，而现在选择3人，故至少要有1名男生．3．某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A表示“正面朝上”这一事件，则A的( )A ．概率为B ．频率为4545C ．频率为8D ．概率接近于8答案　B解析　做n 次随机试验，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的频率为.如果多次进行试验，mn 事件A 发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A 的概率．故＝为事81045件A 的频率．4．一个家庭中先后有两个小孩，则他(她)们的性别情况可能为( )A ．男女、男男、女女B ．男女、女男C ．男男、男女、女男、女女D ．男男、女女答案　C解析　用列举法知C 正确．5．从100个同类产品(其中有2个次品)中任取3个．①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________．答案　⑥　④　①②③⑤解析　从100个产品(其中2个次品)中任取3个可能结果是：“三个全是正品”，“两个正品一个次品”，“一个正品两个次品”．　1.辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件，在给定的条件下判断是一定发生(必然事件)，还是不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件)．2．随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率．3．写试验结果时，要按顺序写，特别要注意题目中的有关字眼，如“先后”“依次”“顺序”“放回”“不放回”等．。

北师大版数学高一-必修三 3.1 随机事件的概率(2) (2)

学案必修三第三章第1节随机事件的概率（3）——生活中的概率一、学习目标1.概率的正确理解2.概率思想的实际应用二、重点、难点重点：：概率的正确理解难点：用概率知识解决现实生活中的具体问题三、课前预习1、在实际生活中，可以用来估计概率，因为随机事件的可以看作是概率的。

2、投掷两颗骰子，点数之和为8的事件所含的基本事件有。

3、必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率取值范围是。

4、在大量重复做抛硬币的试验中，硬币出现“正面朝上”的概率是。

四、堂中互动教师点拔1：买1000张彩票，相当于1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1000张彩票有可能没有一张中奖。

1，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释。

例1、如果某种彩票中奖的概率为1000点评：概率是描述随机事件发生的可能性大小的量，概率大，只能说明这个随机事件发生的可能性大，而不是必然发生或必然不发生。

教师点拔2：每个运动员取得先发球权是等可能的，即每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。

例2、在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性。

点评：利用概率的意义可以制定游戏规则，在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说，游戏是否公平只要看每人获胜的概率是否相等。

例如，体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方发球的概率相等，这样才公平。

40教师点拔3：先求出500尾中有记号的鱼的概率为，然后用2000去除它就估算出了水库果所有的鱼的500尾数。

例3、为了估计水库中的鱼的尾数，先从水库中捕出2 000尾鱼，给每尾鱼作上记号（不影响其存活），然后放回水库．经过适当的时间，让其和水库中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出500尾鱼，其中有记号的鱼有40尾，试根据上述数据，估计这个水库里鱼的尾数．点评：由于每次捕鱼时，捕到的结果是未知的，因而每次捕到有记号的鱼的概率是等可能的。

高中数学北师大版必修三学案：第三章概率 1.2 生活中的概率

1．2生活中的概率[学习目标]1.通过实例，进一步理解概率的意义.2.会用概率的意义解释生活中的实例．知识点一对概率的正确理解1．随机事件的发生都有随机性．例如，尽管每次抛掷硬币的结果出现正、反的概率都为0.5，但连续两次抛掷硬币的结果不一定恰好是正面朝上、反面朝上各一次，可以有三种可能的结果：“两次正面朝上”“两次反面朝上”“一次正面朝上，一次反面朝上”．2．随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性．认识了这种随机性中的规律性，就能使我们比较准确地预测随机事件发生的可能性．例如，做连续抛掷两枚硬币的试验1000次，可以预测：“两枚正面朝上”大约出现250次；“两枚反面朝上”大约出现250次；“正面朝上、反面朝上各一枚”大约出现500次．3．概率值表示每次试验中随机事件发生的可能性的大小，它反映的是一种规律，而不是试验总次数中某事件一定发生的比例．思考(1)随机事件A的概率P(A)能反映事件A发生的确切情况吗？答不能，只能反映事件A发生的可能性的大小．(2)随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系？答随机事件的概率表明了随机事件发生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定发生，概率小的事件一定不发生．知识点二生活中的概率游戏的公平性(1)裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的．(2)在设计某种游戏规则时，一定要考虑“这种规则对每个人都是公平的”这一重要原则．题型一概率含义的正确理解例1经统计，某篮球运动员的投篮命中率为90%，对此有人解释为其投篮100次一定有90次命中，10次不中，你认为这种解释正确吗？说说你的理由．解这种解释不正确．理由如下：因为“投篮命中”是一个随机事件，90%是指“投篮命中”这个事件发生的概率．概率为90%的事件也可能不发生，所以这种解释不正确．反思与感悟1.概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A 的本质属性，随机事件A 发生的概率是大量重复试验中事件A 发生的频率的近似值．2．由概率的定义我们可以知道随机事件A 在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．3．正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．跟踪训练1某种疾病治愈的概率是30%，有10个人来就诊，如果前7个人没有治愈，那么后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是30%?解不一定．如果把治疗一个病人当作一次试验，治愈的概率是30%，是指随着试验次数的增加，大约有30%的病人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的．因此，前7个病人没有治愈是有可能的，而对后3个病人而言，其结果仍是随机的，即有可能治愈，也有可能不能治愈．题型二概率的应用例2山东某家具厂为游泳比赛场馆生产观众座椅，质检人员对该厂所生产的2500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有5套次品，估计该厂所生产的2500套座椅中大约有多少套次品？解设有n 套次品，由概率的统计定义可知n 2500≈5100，解得n ≈125. 所以该厂所生产的2500套座椅中大约有125套次品．反思与感悟1.由于概率反映了随机事件发生的可能性的大小，概率是频率的近似值与稳定值，所以可以用样本出现的频率近似地估计总体中该结果出现的概率．2．实际生活与生产中常常用随机事件发生的概率来估计某个生物种群中个别生物种类的数量、某批次的产品中不合格产品的数量等．跟踪训练2某中学为了了解初中部学生的某项行为规范的养成情况，在校门口按系统抽样的方法：每2分钟随机抽取一名学生，登记佩带胸卡的学生的名字．结果在150名学生中有60名佩带胸卡．第二次检查，调查了初中部的所有学生，有500名学生佩带胸卡．据此估计该中学初中部共有多少名学生．解设初中部有n 名学生，依题意得60150＝500n，解得n ＝1250.∴该中学初中部共有学生大约1250名．游戏公平性的判断例3下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，A ．游戏1B ．游戏1和游戏3C ．游戏2D ．游戏3错解游戏1中取2个球的所有可能情况有：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)，所以甲胜的概率为25，所以游戏1是不公平的．游戏2中，显然甲胜的可能性是0.5，游戏是公平的．游戏3中取2个球的所有可能情况有(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白1)，(黑2，白2)，(白1，白2)，所以甲胜的可能性为13，所以游戏3是不公平的．错解分析分析解题过程，错误的根本原因是对试验发生的所有可能情况列举不全，从而导致结果错误．自我矫正D1．下列说法正确的是()A ．某事件发生的概率为P (A )＝1.1B ．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C ．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件D ．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的答案B解析∵事件发生的概率0≤P (A )≤1，∴A 错；小概率事件是指这个事件发生的可能性很小，几乎不发生，大概率事件发生的可能性较大，但并不是一定发生，∴C 错；某事件发生的概率为一个常数，不随试验的次数变化而变化，∴D 错；B 正确．2．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8000件产品中合格品的件数可能为()A ．160B ．7840C ．7998D ．7800答案B解析次品率为2%，故次品约8000×2%＝160(件)，故合格品的件数可能为7840.3．某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是()A．明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水B．明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水C．明天本地降水的可能性是80%D．以上说法均不正确答案C解析选项A，B显然不正确，因为明天本地降水的概率为80%不是说有80%的区域降水，也不是说有80%的时间降水，而是指降水的可能性是80%.故选C.4．给出下列四个命题：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是51100；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是950.其中正确命题有________．答案④解析①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的．②③混淆了频率与概率的区别．④正确．5．公元1053年，大元帅狄青奉旨率兵征讨侬智高，出征前狄青拿出100枚“宋元天宝”铜币，向众将士许愿：“如果钱币扔在地上，有字的一面会全部向上，那么这次出兵一定可以打败敌人！”在千军万马的注目之下，狄青用力将铜币向空中抛去，奇迹发生了：100枚铜币，枚枚有字的一面向上．顿时，全军欢呼雀跃，将士个个认为是神灵保佑，战争必胜无疑．事实上铜币有可能是________(填序号)．①铜币两面均有字；②铜币质量不均匀；③神灵保佑；④铜币质量均匀．答案①②1.概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个度量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性大．2．概率与频率的关系：对于一个事件而言，概率是一个常数，频率则随试验次数的变化而变化，次数越多频率越接近其概率.。

2017_2018版高中数学第三章概率1_2生活中的概率学案北师大版必修3

1.2 生活中的概率学习目标 1.深刻明白得概率的意义，会用概率知识说明现实生活中的实际问题.2.通过概率对实际问题的说明，体会数学与现实世界的联系．知识点一正确明白得概率的含义试探抛掷一枚质地均匀的硬币，显现正面的概率为0.5，是不是意味着持续抛2次，必然是一次正面朝上，一次是反面朝上？梳理随机性与规律性随机事件在一次实验中发生与否是________的，但随机性中含有规律性，熟悉了这种随机性中的规律性，就能够比较准确地预测随机事件发生的________．知识点二概率与公平性试探一副围棋子共181枚黑子，180枚白子．若是裁判闭目从中任取一枚，指定竞赛两边的一方猜黑白，猜对先行，不然让对方先行．这种规那么是不是公平？梳理游戏的公平性一样地，规那么公平的标准是参与各方机遇均等，即胜出的概率相等．知识点三概率与决策试探一个班主任听说自己班里有一个学生迟到了，但不知是谁，他第一猜是那位常常迟到的．他的这种猜想原理是什么？可不可能猜错？梳理概率和日常生活有着紧密的联系．关于生活中的随机事件，咱们能够利用概率知识作出合理的判定和决策．类型一概率的正确明白得例1 以下说法正确的选项是( )A．由生物学明白生男生女的概率约为0.5，一对夫妇前后生两个小孩，那么必然为一男一女B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，那么摸5张票，必然有一张中奖C．10张票中有1 张奖票，10人去摸，谁先摸那么谁摸到奖票的可能性大D．10张票中有1 张奖票，10人去摸，不管谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1反思与感悟(1)概率是随机事件发生可能性大小的气宇，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复实验中事件A发生的频率的近似值．(2)随机事件A在一次实验中发生与否是随机的，并非是概率大就必然会发生，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次实验或某一个具体的事件．跟踪训练1 某射手击中靶心的概率是0.9，是不是说明他射击10次就必然能击中9次？类型二概率思想的实际应用例2 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球1个黑球，乙箱中有1个白球99个黑球．先随机地抽取一箱，再从掏出的一箱中抽取一球，结果取得白球．问这球是从哪个箱子中掏出的？反思与感悟在一次实验中，概率大的事件比概率小的事件显现的可能性更大．跟踪训练2 若是掷一枚质地均匀的硬币，持续5次正面向上，有人以为下次显现反面向上的概率大于1 2，这种明白得正确吗？类型三游戏规那么的公平性例3 有四张卡片，别离写有2,3,7,8.规定任意不放回地抽取两张，积是2的倍数那么甲获胜，积是3的倍数那么乙获胜，若是积是6的倍数那么重来．那个游戏规那么公平吗？反思与感悟在各类游戏中，若是各方获胜概率相等，那么规那么确实是公平的．跟踪训练3 街头有人摆一种游戏，方式是抛掷两枚骰子，若是两枚骰子投一次点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情形，红方胜，而当两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9时，白方胜，这种游戏对两边公平吗？假设不公平，请说明哪方占廉价？1．“某彩票的中奖概率为11 000”意味着( ) A．买1 000张彩票就必然能中奖B．买1 000张彩票中一次奖C．买1 000张彩票一次奖也不中D．购买彩票中奖的可能性是11 0002．某学校有教职工400名，从当选出40名教职工组成教工代表大会，每位教职工被选的概率是110，其中正确的选项是( )A．10个教职工中，必有1人被选B．每位教职工被选的可能性是110C．数学教研组共有50人，该组被选教职工代表的人数必然是5D．以上说法都不正确3．以下说法正确的选项是( )A．设有一批产品，第二品率为0.05，那么从中任取200件，必有10件是次品；B．做100次抛硬币的实验，结果51次显现正面朝上，因此，显现正面朝上的概率是51100；C．随机事件发生的频率确实是那个随机事件发生的概率；D．抛掷骰子100次，得点数是1的结果18次，那么显现1点的频率是950.4．某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区效劳活动，有人提议用如下方式选班：掷两枚硬币，正面向上记作2点，反面向上记作1点，两枚硬币的点数和是几，就选几班．依照那个规那么，被选概率最大的是( )A．二班B．三班C．四班D．三个班机遇均等5．同时向上抛掷100枚质量均匀的铜板，落地时这100枚铜板全都正面向上，那么这100枚铜板更可能是下面哪一种情形( )A．这100枚铜板两面是一样的B．这100枚铜板两面是不一样的C．这100枚铜板中有50枚两面是一样的，另外50枚两面是不一样的D．这100枚铜板中有20枚两面是一样的，另外80枚两面是不一样的1．概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即便是可能率事件，也不能确信事件必然会发生，只是以为事件发生的可能性大．2．利用概率思想正确处置和说明实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.答案精析问题导学知识点一试探抛掷一枚硬币显现正面的概率为0.5，它是大量实验得出的一种规律性结果，对具体的几回实验来讲不必然能表现出这种规律性，在持续抛掷一枚硬币两次的实验中，可能两次均正面朝上，也可能两次均反面朝上，也可能一次正面朝上，一次反面朝上．梳理随机可能性知识点二试探从361枚棋子中任取一枚，取到黑子的概率大，指定一方猜黑，猜对先行的概率大，因此那个规那么不公平．知识点三试探该班主任是把以往迟到的频率当概率，选择迟到概率最大的那位同窗．如此猜可能犯错，但猜对的可能性更大．题型探讨例1 D [一对夫妇生两个小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，因此A 不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张或都不中奖，因此B 不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即不管谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，因此C 不正确，D 正确．]跟踪训练1 解从概率的统计概念动身，击中靶心的概率是0.9并非意味着射击10次就必然能击中9次，只有进行大量射击实验时，击中靶心的次数约为910n ，其中n 为射击次数，而且当n 越大时，击中的次数就越接近910n .例2 解甲箱中有99个白球1个黑球，故随机地掏出一球，取得白球的可能性是99100.乙箱中有1个白球99个黑球，从中任取一球，取得白球的可能性是1100.由此可见，这一白球从甲箱中抽出的概率比从乙箱中抽出的概率大得多．既然在一次抽样中抽到白球，固然能够以为是从概率大的箱子中掏出的．因此咱们作出统计推断：该白球是从甲箱中掏出的．跟踪训练2 解这种明白得是不正确的．掷一枚质地均匀的硬币作为一次实验，其结果是随机的，但通过大量的实验，其结果呈现出必然的规律，即“正面向上”，“反面向上”的可能性都为12，持续5次正面向上这种结果是可能的，但对下一次实验来讲，仍然是随机的，其显现“正面向上”和“反面向上”的可能性仍是12，而可不能大于12.例3 解任意抽取2张，可能的结果有6,14,16,21,24,56，且各结果显现的机遇均等．因此在一局中甲获胜的概率是36＝12，乙获胜的概率是16，不公平．跟踪训练3 解两枚骰子点数之和如下表：其中点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情形的共12种，概率是1236＝13，两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9的情形共2436＝23.因此这种游戏不公平，白方比较占廉价．当堂训练1．D 2.B 3.D 4.B 5.A。

数学北师大版必修3教案：第三章概率1.1 含解析精品

第三章概率本章教材分析随机现象在日常生活中随处可见，概率论就是研究客观世界中随机现象规律的科学，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础.通过对生活中随机事件发生的可能性的刻画，概率的知识可以帮助人们作出合理的决策.概率的基础知识，有利于培养学生应付变化和不确定事件的能力，有利于培养学生以随机的观点来认识世界的意识，是每一个未来公民生活和工作的必备常识，也是其进一步学习所不可缺少的内容.因此，概率成为高中必修课，是适应社会发展的需要的.教科书首先通过学生掷图钉的活动以及阅读材料，让学生了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性；然后,通过活动让学生澄清生活中的一些对概率的错误认识，进一步体会频率的稳定性和随机的思想,随机思想贯穿始终.其次，通过具体实例让学生理解古典概型的两个基本特征及其概率计算公式，初步学会把一些实际问题转化为古典概型，了解可以建立不同的模型来解决实际问题；通过实例，让学生了解两个互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率计算公式，以及它们在古典概率计算中的应用.最后通过实例，让学生了解模拟方法估计概率的实际应用，初步体会几何概型的意义，能够运用模拟方法估计概率.值得注意的是：数学教学是师生交流、互动和互相促进的过程，在教学中，应注意发挥教师的主导作用和学生的主体作用.1.注意联系实际，通过学生喜闻乐见的具体实例让学生了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，从而建立随机观念.在日常生活中有很多随机现象，教师可以通过大量的随机现象的例子，让学生了解学习概率知识的必要性及概率知识在日常生活中的作用，体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，建立随机观念，让学生认识到随机事件的概率确实是存在的，概率就在我们身边.2.设置丰富的问题情境，让学生经历探索、解决问题的过程.在教学过程中，要注意充分利用教科书中“思考交流”“动手实践”等栏目提供的问题情境，调动起学生学习的积极性和主动性，组织学生开展研究性学习，培养学生的思维能力和分析解决实际问题的能力.对于“思考交流”“动手实践”等栏目，教师一定要给学生留有充足的时间进行思考和实践，并适时给予引导.教学时不能急于求成，更不能让学生活动形同虚设，而应在学生积极参与的前提下注重知识的落实和能力的提高.3.通过一些简单的例子关注建立概率模型的思想及模拟方法的应用，注意控制难度.古典概率计算的教学，应让学生在理解古典概型的两个基本特征的基础上，初步学会把一些实际问题转化为古典概型，并会用列举法计算出随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.教学的重点不要放在“如何计数”上，这也是把排列组合安排为选修内容的原因之一.古典概率的计算可提倡一题多解，但对于一个实际问题，建立不同的概率模型来解决，一般来说有一定难度，因此教师应通过一些简单的例子让学生体会建立概率模型来解决实际问题的思想.教科书在练习和习题中配有一些可建立不同的模型来解决的题目，教师应结合这些题的讲解，突出建模的思想.此外，教学时应重点强调对古典概型基本特征的理解及用画树状图和列表的方法列举出所有可能结果，同时应让学生注意两个互斥事件的概率加法公式及对立事件的概率计算公式的运用.用模拟方法估计概率的教学，主要是让学生初步体会几何概型的意义，并能够运用模拟方法解决简单的实际问题.教学时难度控制在例题和习题的水平即可，不要补充太多太难的题.由于我国很多地方还没有普及计算机(甚至还没有普及计算器)，教科书在用随机数进行模拟时仅要求用随机数表产生随机数，而用计算机(计算器)产生随机数则作为了解.但随着信息技术的发展，信息技术与课程内容结合是必然的趋势，因此，有条件的话，应鼓励学生尽可能运用计算机(计算器)来进行模拟活动，以便更好地体会概率的意义.4.尊重学生在数学学习上的差异，激发学生学习的兴趣.在教学中，教师应充分尊重学生的个性差异及其在数学学习上的差异，采用适当的教学方式.通过介绍一些与概率相关的有趣的背景知识(比如对概率的研究起源于“两人赌博，赌金如何分配”的问题等)，或者生活中与概率有关的一些例子(比如彩票的中奖率等)，激发学生学习的兴趣，帮助他们掌握概率的知识，确立随机的观念.对学习有困难的学生，教师要及时给予关照与帮助，要鼓励他们积极参与“思考交流”和“动手实践”等活动，尝试独立解决问题并发表自己的看法(比如对生活中的一些有关概率的错误认识的理解).教师要及时地肯定他们的点滴进步，对他们出现的错误要耐心引导，鼓励他们自己分析原因并加以改正，从而增强他们学习的兴趣和信心.对学有余力的学生，教师要根据他们的情况适当拓宽加深知识，为他们提供资料，指导他们阅读，发展他们的数学才能.教学时还可提倡解决问题策略的多样化，尊重学生在解决问题的过程中所表现出的不同水平.问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能让所有学生都主动参与并提出各自的解决策略.教师引导学生在与他人的交流中选择合适的策略，以此提高学生的思维水平，带动不同水平的学生共同进步.1.1 频率与概率整体设计教学分析概率是描述随机事件发生可能性大小的量度,它已渗透到人们的日常生活中,例如：彩票的中奖率,产品的合格率,天气预报、台风预报等都离不开概率.概率的准确含义是什么呢？我们用什么样的方法获取随机事件的概率，从而激发学生学习概率的兴趣？本节课通过学生亲自动手试验,让学生体会随机事件发生的随机性和随机性中的规律性,通过试验,观察随机事件发生的频率,可以发现随着试验次数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后再给出概率的定义.在这个过程中,体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法,是新课标理念的具体实施.三维目标1.通过获取数据,归纳总结试验结果,发现规律,正确理解事件A出现的频率的意义；真正做到在探索中学习,在探索中提高.2.通过数学活动,即自己动手、动脑和亲身试验来理解概率的概念,明确事件A发生的频率f n(A)与事件A发生的概率P(A)的区别与联系,体会数学知识与现实世界的联系.重点难点教学重点：1.理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.2.正确理解概率的意义.教学难点：1.对概率含义的正确理解.2.理解频率与概率的关系.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.日常生活中,有些问题是很难给予准确无误的回答的.例如,你明天什么时间起床？7：20在某公共汽车站候车的人有多少？你购买本期福利彩票是否能中奖？等等.尽管没有确切的答案,但大体上围绕一个数值在变化,这个数值就是概率.教师板书课题：随机事件的概率.思路2.1名数学家=10个师在第二次世界大战中,美国曾经宣布：一名优秀数学家的作用超过10个师的兵力.这句话有一个非同寻常的来历.1943年以前,在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击,当时,英美两国限于实力,无力增派更多的护航舰,一时间,德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额.为此,有位美国海军将领专门去请教了几位数学家,数学家们运用概率论分析后发现,舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件,从数学角度来看这一问题,它具有一定的规律性.一定数量的船(为100艘)编队规模越小,编次就越多(为每次20艘,就要有5个编次),编次越多,与敌人相遇的概率就越大.美国海军接受了数学家的建议,命令舰队在指定海域集合,再集体通过危险海域,然后各自驶向预定港口.结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降为1%,大大减少了损失,保证了物资的及时供应.在自然界和实际生活中,我们会遇到各种各样的现象.如果从结果能否预知的角度来看,可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的,即在一定的条件下,它所出现的结果是可以预知的,这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的,即在一定的条件下,出现哪种结果是无法预先确定的,这类现象称为随机现象.随机现象是我们研究概率的基础,为此我们学习随机事件的概率.推进新课新知探究提出问题(1)什么是必然事件？请举例说明.(2)什么是不可能事件？请举例说明.(3)什么是确定事件？请举例说明.(4)什么是随机事件？请举例说明.(5)什么是事件A的频数与频率？什么是事件A的概率？(6)频率与概率的区别与联系有哪些?活动：学生积极思考,教师引导学生考虑问题的思路,结合实际的情形分析研究.(1)导体通电时,发热；抛一块石头,下落；“如果a＞b,那么a-b＞0”;这三个事件是一定要发生的.但注意到有一定的条件.(2)在常温下,焊锡熔化；在标准大气压下且温度低于0 ℃时,冰融化；“没有水,种子能发芽”；这三个事件是一定不发生的.但注意到有一定的条件.(3)抛一块石头,下落；“如果a＞b,那么a-b＞0”;在标准大气压下且温度低于0 ℃时,冰融化；“没有水,种子能发芽”；这四个事件在一定的条件下是一定要发生的或一定不发生的，是确定的,不是模棱两可的.(4)掷一枚硬币,出现正面；某人射击一次,中靶；从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签；“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；这四个事件在一定的条件下是或者发生或不一定发生的,是模棱两可的.(5)做抛掷一枚硬币的试验,观察它落地时哪一个面朝上.通过学生亲自动手试验,突破学生理解的难点：“随机事件发生的随机性和随机性中的规律性”.通过试验,观察随机事件发生的频率,可以发现随着试验次数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后再给出概率的定义.在这个过程中,重视了掌握知识的过程,体现了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法,也体现了新课标的理念.具体如下：思考试验结果与其他同学比较,你的结果和他们一致吗？为什么？第二步由组长把本小组同学的试验结果统计一下,填入下表.思考与其他小组试验结果比较,正面朝上的比例一致吗？为什么？通过学生的试验,比较他们试验结果,让他们发现每个人试验的结果、组与组之间试验的结果不完全相同,从而说明试验结果的随机性,但组与组之间的差别会比学生与学生之间的差别小,小组的结果一般会比学生的结果更接近0.5.第三步用横轴为试验结果,仅取两个值：1(正面)和0(反面),纵轴为试验结果出现的频率,画出你个人和所在小组的条形图,并进行比较,发现什么？第四步把全班试验结果收集起来,也用条形图表示.思考这个条形图有什么特点？引导学生在每组试验结果的基础上统计全班的试验结果,一般情况下,班级的结果应比多数小组的结果更接近0.5,从而让学生体会随着试验次数的增加,频率会稳定在0.5附近.并把试验结果用条形图表示,这样既直观易懂,又可以与前面《统计》的内容相呼应,达到温故而知新的目的.第五步请同学们找出掷硬币时“正面朝上”这个事件发生的规律性.思考如果同学们重复一次上面的试验,全班汇总结果与这一次汇总结果一致吗？为什么？引导学生寻找掷硬币出现正面朝上的规律,并让学生叙述出现正面朝上的规律性：随着试验次数的增加,正面朝上的频率稳定在0.5附近.由特殊事件转到一般事件,得出下面一般化的结论：随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着次数的增加,事件A发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上.从而得出频率、概率的定义,以及它们的关系.一般情况下重复一次上面的试验,全班汇总结果与这一次汇总结果是不一致的,这更说明随机事件的随机性.进一步总结事件的频数与频率,概括出概率的概念.(6)通过(5)的概括和总结写出频率与概率的区别与联系.讨论结果：(1)必然事件：在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件(certain event),简称必然事件.(2)不可能事件：在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件(impossibleevent),简称不可能事件.(3)确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件. (4)随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S 的随机事件(random event),简称随机事件；确定事件和随机事件统称为事件,用A,B,C,…表示. (5)频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验,观察某一事件A 是否出现,称n 次试验中事件A 出现的次数n a 为事件A 出现的频数(frequency)；称事件A 出现的比例f n (A)=nn A为事件A 出现的频率(relative frequency);对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A 的概率(probability). (6)频率与概率的区别与联系：随机事件的频率,指此事件发生的次数n a 与试验总次数n 的比值nn A,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这种摆动幅度越来越小.我们把这个常数叫做随机事件的概率,概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率.频率是概率的近似值,随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率.在实际问题中,通常事件的概率未知,常用频率作为它的估计值.频率本身是随机的,在试验前不能确定.做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同. 概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关.比如,一个硬币是质地均匀的,则掷硬币出现正面朝上的概率就是0.5,与做多少次试验无关. 应用示例思路1例1 判断下列事件哪些是必然事件,哪些是不可能事件,哪些是随机事件. (1)“抛一石块,下落”;(2)“在标准大气压下且温度低于0 ℃时,冰融化”； (3)“某人射击一次,中靶”； (4)“如果a ＞b,那么a-b ＞0”; (5)“掷一枚硬币,出现正面”； (6)“导体通电后,发热”；(7)“从分别标有号数1,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签”； (8)“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”； (9)“没有水分,种子能发芽”； (10)“在常温下,焊锡熔化”. 分析：学生针对有关概念,思考讨论,教师及时指点,为后续学习打下基础.根据自然界的规律和日常生活的经验积累,根据定义,可判断事件(1)(4)(6)是必然事件；事件(2)(9)(10)是不可能事件；事件(3)(5)(7)(8)是随机事件.答案：事件(1)(4)(6)是必然事件；事件(2)(9)(10)是不可能事件；事件(3)(5)(7)(8)是随机事件. 点评：紧扣各类事件的定义,结合实际来判断.(1)填写表中击中靶心的频率；(2)这个射手射击一次,击中靶心的概率约是多少？分析：学生回顾所学概念,教师引导学生思考问题的思路,指出事件A 出现的频数n a 与试验次数n 的比值即为事件A 的频率,当事件A 发生的频率f n (A)稳定在某个常数上时,这个常数即为事件A 的概率.解：(1)表中依次填入的数据为：0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.(2)由于频率稳定在常数0.89,所以这个射手射击一次,击中靶心的概率约是0.89.点评：概率实际上是频率的科学抽象,求某事件的概率可以通过求该事件的频率而得之. 变式训练(1)填写表中男婴出生的频率(结果保留到小数点后第3位). (2)这一地区男婴出生的概率约是多少？答案：(1)0.520 0.517 0.517 0.517 (2)由表中的已知数据及公式f n (A)=nn A即可求出相应的频率,而各个频率均稳定在常数0.518上,所以这一地区男婴出生的概率约是0.518.思路2例1 做掷一枚骰子的试验,观察试验结果.(1)试验可能出现的结果有几种？分别把它们写出.(2)做60次试验,每种结果出现的频数、频率各是多少？分析：学生先思考或讨论,教师提示学生注意结果的可能情况,因为每一枚骰子有六个面,每个面上的点数分别是1,2,3,4,5,6,所以应出现六种结果,试验结果可列表求之.解：(1)试验可能出现的结果有六种,分别是出现1点、2点、3点、4点、5点、6点. (2)根据试验结果列表后求出频数、频率,表略.例2 某人进行打靶练习,共射击10次,其中有2次中10环,有3次中9环,有4次中8环,有1次未中靶,试计算此人中靶的概率,假设此人射击1次,试问中靶的概率约为多少？中10环的概率约为多少？分析：学生先思考或讨论,教师提示学生注意结果的可能情况,中靶的频数为9,试验次数为10,所以中靶的频率为109=0.9.所以中靶的概率约为0.9. 解：此人中靶的概率约为0.9；此人射击1次,中靶的概率为0.9；中10环的概率约为0.2. 知能训练1.指出下列事件是必然事件、不可能事件,还是随机事件. (1)某地1月1日刮西北风； (2)当x 是实数时,x 2≥0；(3)手电筒的电池没电,灯泡发亮；(4)一个电影院某天的上座率超过50%.答案：(1)随机事件；(2)必然事件；(3)不可能事件；(4)随机事件. 2.大量重复做掷两枚硬币的试验,汇总试验结果,你会发现什么规律？解答：随机事件在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着次数的增加,事件发生的频率会逐渐稳定在区间［0,1］中的某个常数上,从而获取随机事件的概率.点评：让学生再一次体会了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法.拓展提升1.将一枚硬币向上抛掷10次,其中正面向上恰有5次是( )A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.无法确定答案：B提示：正面向上恰有5次的事件可能发生,也可能不发生,即该事件为随机事件.2.下列说法正确的是( )A.任一事件的概率总在(0,1)内B.不可能事件的概率不一定为0C.必然事件的概率一定为1D.以上均不对答案：C提示：任一事件的概率总在［0,1］内,不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1.(1)完成上面表格;(2)该油菜子发芽的概率约是多少？解：(1)填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903,0.905.(2)该油菜子发芽的概率约为0.897.(1)计算表中进球的频率；(2)这位运动员投篮一次,进球的概率约为多少？解：(1)填入表中的数据依次为0.75,0.8,0.8,0.83,0.8,0.8,0.76.(2)由于上述频率接近0.80,因此,进球的概率约为0.80.课堂小结本节研究的是那些在相同条件下,可以进行大量重复试验的随机事件,它们都具有频率稳定性,即随机事件A在每次试验中是否发生是不能预知的,但是在大量重复试验后,随着试验次数的增加,事件A发生的频率逐渐稳定在区间［0,1］内的某个常数上(即事件A的概率),这个常数越接近于1,事件A发生的概率就越大,也就是事件A发生的可能性就越大.反之,概率越接近于0,事件A发生的可能性就越小.因此说,概率就是用来度量某事件发生的可能性大小的量.作业完成课本本节练习.设计感想本节课通过学生自己所举的例子加深对随机事件、不可能事件、必然事件这三个概念的正确理解；通过学生亲自动手试验,突破学生理解“随机事件发生的随机性和随机性中的规律性”的难点.同时发现随着试验次数的增加,频率稳定在某个常数附近,然后得出概率的定义,总结出频率与概率的关系.在这个过程中,加深对知识的理解,使学生养成良好的思考习惯和科学的研究方法,培养学生发现问题和解决问题的能力,运用了试验、观察、探究、归纳和总结的思想方法,符合新课标理念,应大力提倡.。

2017-2018学年高中数学北师大版必修三教学案：第三章§3 模拟方法——概率的应用

[核心必知]1．模拟方法在大量重复试验的前提下，可以用随机事件发生的频率来估计其发生的概率，但确定随机事件发生的频率常常需要人工做大量的重复试验，既费时又费力，并且有时很难实现．因此，我们可以借助于模拟方法来估计某些随机事件发生的概率．2．几何概型(1)定义：向平面上有限区域(集合)G 内随机地投掷点M ，若点M 落在子区域G 1G 的概率与G 1的面积成正比，而与G 的形状、位置无关，即P (点M 落在G 1)＝G 1的面积G 的面积，则称这种模型为几何概型．(2)说明：几何概型中的G 也可以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积之比或长度之比．[问题思考]1．几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关吗？提示：几何概型的概率只与它的长度(面积或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关． 2．在几何概型中，如果A 为随机事件，若P (A )＝0，则A 一定为不可能事件；若P (A )＝1，则A 一定为必然事件，这种说法正确吗？提示：这种说法不正确．如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件；如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件．讲一讲1.取一根长为3 m 的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1 m 的概率有多大？[尝试解答] 如图所示，记事件A ＝{剪得两段绳子长都不小于1 m}，把绳子三等分，于是当剪断位置处在中间一段上时，事件A 发生．全部试验结果构成的区域长度是绳子的长度3 m ，事件A 包含的结果构成的区域长度是中间一段的长度为3×13＝1(m)，故事件A 发生的概率P (A )＝13.在求解与长度有关的几何概型时，首先找到几何区域D ，这时区域D 可能是一条线段或几条线段或曲线段，然后找到事件A 发生对应的区域d ，在找d 的过程中，确定边界点是问题的关键，但边界点是否取到却不影响事件A 的概率．练一练1．在区间[－1,2]上随机取一个数x ，则|x |≤1的概率为________．解析：由|x |≤1得，－1≤x ≤1，故易知所求概率为1－－2－－＝23. 答案：23讲一讲2.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30～7：30把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00，问你父亲在离开家前能拿到报纸(称为事件A )的概率是多少？[尝试解答] 如图，送报人到达的时间是6：30～7：30的任一时刻，父亲离开家去工作的时间是7：00～8：00的任一时刻，如果在直角坐标系内以x 轴表示报纸送到的时间，y 轴表示父亲离开家的时间，因为报纸送到的时间和父亲离开家的时间都是随机的，所以随机试验的所有结果(x ，y )是图中所示正方形中等可能的任意一点．事件A (父亲离开家前能拿到报纸)发生须x ≤y ，即正方形内阴影部分，事件A 发生的概率只与阴影部分的面积大小有关，这符合几何概型的条件．μA ＝12－12×12×12＝78，μΩ＝1，所以P (A )＝μA μΩ＝78.在研究射击、射箭、投中、射门等实际问题时，常借助于区域的面积来计算概率的值．此时，只需分清各自区域特征，分别计算其面积，以公式P (A )＝构成事件A 的区域面积试验的全部结果构成的区域面积计算事件的概率即可．练一练2．在平面直角坐标系xOy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率为________．解析：如图所示，区域D 表示边长为4的正方形的内部(含边界)，区域E 表示单位圆及其内部，因此P ＝π×124×4＝π16.答案：π16讲一讲3.有一杯2升的水，其中含有一个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有这个细菌的概率．[尝试解答] 把判断这个细菌所在的位置看成一次试验，设所取的0.1升水中含有这个细菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是0.1升，全部试验结果构成的区域体积是2升，所以P (A )＝0.12＝0.05.如果试验的结果所成的区域可用体积来度量，我们要结合问题的背景，选择好观察角度，准确找出基本事件所占的总体积及事件A 所分布的体积．其概率的计算P (A )＝构成事件A 的区域体积试验的全部结果构成的区域体积.练一练3．在棱长为3的正方体内任意取一个点，求这个点到各面的距离均大于1的概率．解：记事件A 为“点到各面的距离均大于1”，则满足题意的点构成的区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体的内部．由几何概型的计算公式，可得满足题意的概率为P (A )＝1333＝127.讲一讲4.设A 为圆周上一定点，在圆周上等可能的任取一点与A 连接，求弦长超过半径的2倍的概率．[尝试解答] 如图所示，在⊙O 上有一定点A ，任取一点B 与A 连结，则弦长超过半径的2倍，即为∠AOB 的度数大于90°，而小于270°.记“弦长超过半径的2倍”为事件C ，则C 表示的范围是∠AOB ∈(π2，3π2)．则由几何概型概率的公式，得P (C )＝270°－90°360°＝12.如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度来表示，则其概率的计算公式为P (A )＝事件A 构成的区域角度试验的全部结果构成的区域角度.练一练4．在转盘游戏中，假设转盘有三种颜色：红、绿、蓝．当转盘停止时，如果指针指向红色为赢，绿色为平，蓝色为输．若每种颜色被平均分成四块，不同颜色相间排列，要使赢的概率为15，输的概率为13，求每个绿色扇形的圆心角为多少度(假设转盘停止位置都是等可能的)．解：由于转盘停止旋转时，指针指向每个位置都是等可能的，并且位置是无限多的，所以符合几何概型的特点，问题转化为求圆盘角度或周期问题．因为赢的概率为15，故红色所占角度为周角的15，即P 1＝360°5＝72°.同理，蓝色占周角的13，即P 2＝360°3＝120°，所以绿色的角度P 3＝360°－120°－72°＝168°.再将P 3分成四等份，得P 3÷4＝168°÷4＝42°，即每个绿色扇形的圆心角为42°. 【解题高手】【易错题】如图，在等腰直角三角形ABC 中，过直角顶点C 在∠ACB 内部作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，求AM <AC 的概率．[错解] 在AB 上截取线段AC ′，使AC ′＝AC .则P (AM <AC )＝P (AM <AC ′)＝AC ′AB ＝22. [错因] 因为该题所涉及的基本事件是与角度有关的，而不是在线段AB 上取点，即该题是与角度有关的几何概型，而不是与长度有关的几何概型．[正解] 在AB 上取AC ′＝AC ，则∠ACC ′＝180°－45°2＝67.5°.∴P (AM <AC )＝67.5°90°＝34.1．在500 mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率为( )A ．0B ．0.002C ．0.004D ．1 解析：选C 由几何概型公式得：P ＝2500＝0.004.2．(辽宁高考)在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概率为( )A.16B.13C.23D.45解析：选C 设|AC |＝x cm,0<x <12，则|CB |＝(12－x ) cm ，要使矩形面积大于20 cm 2，只要x (12－x )>20，则x 2－12x ＋20<0,2<x <10，所以所求概率为P ＝10－212＝23. 3．(湖南高考)已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB＝( )A.12B.14C.32D.74解析：选D 由已知，点P 的分界点恰好是边CD 的四等分点，由勾股定理可得AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34AB 2＋AD 2，解得⎝ ⎛⎭⎪⎫AD AB2＝716，即AD AB ＝74.4．如图所示，在平面直角坐标系内，射线OT 落在60°的终边上，任作一条射线OA ，射线OA 落在∠xOT 内的概率为________．解析：记B ＝{射线OA 落在∠xOT 内}， ∵∠xOT ＝60°， ∴P (B )＝60°360°＝16.答案：165．两根相距6 m 的木杆系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2 m 的概率是________．解析：由题意P ＝26＝13.答案：136．国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话，发现30 min 长的磁带上，从开始30 s 处起，有10 s 长的一段内容包含两间谍犯罪的信息．后来发现，这段谈话的一部分被某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了．那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大？解：记A ＝{按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉}，A 的发生就是在0到23 min 时间段内按错键．P (A )＝2330＝145.一、选择题1．在区间[0,3]上任取一点，则此点落在区间[2,3]上的概率是( ) A.13 B.12 C.23 D.34解析：选A 区间[2,3]长度为1，总区间[0,3]的长度为3，∴P ＝13.2．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为( )A.43B.83C.23D ．无法计算解析：选B 由几何概型的公式知：S 阴影S 正方形＝23，又：S 正方形＝4，∴S 阴影＝83. 3．有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为( )解析：选 A A 游戏盘的中奖概率为38，B 游戏盘的中奖概率为13，C 游戏盘的中奖概率为r2－πr22r2＝4－π4，D 游戏盘的中奖概率为r 2πr 2＝1π，A 游戏盘的中奖概率最大．4．A 是圆上的一定点，在圆上其他位置任取一点B ，连接A 、B 两点，它是一条弦，则它的长度大于等于半径长度的概率为( )A.12B.23C.32D.14解析：选B 如图，当取点落在B 、C两点时，弦长等于半径；当取点落在劣弧上时，弦长小于半径；当取点落在优弧上时，弦长大于半径．所以弦长超过半径的概率P ＝360°－120°360°＝23.5．在区间[0,1]内任取两个数，则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是( ) A.π4 B.π10 C.π20 D.π40解析：选A 设在[0,1]内取出的数为a ，b ，若a 2＋b 2也在[0,1]内，则有0≤a 2＋b 2≤1.如图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满足a 2＋b 2在[0,1]内的点在14单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为14π1＝π4.二、填空题6．函数f (x )＝x －2，x ∈[－5,5]，那么任取一点x 0∈[－5,5]，使f (x 0)≤0的概率是________．解析：由f (x 0)≤0得x 0－2≤0，x 0≤2，又x 0∈[－5,5]，∴x 0∈[－5,2]．设使f (x 0)≤0为事件A ，则事件A 构成的区域长度是2－(－5)＝7，全部结果构成的区域长度是5－(－5)＝10，则P (A )＝710.答案：7107．圆上的任意两点间的距离大于圆的内接正三角形边长的概率是________．解析：如图所示，从点A 出发的弦中，当弦的另一个端点落在劣弧B C 上的时候，满足已知条件，当弦的另一个端点在劣弧A B 或劣弧A C 上的时候不能满足已知条件．又因为△ABC 是正三角形，所以弦长大于正三角形边长的概率是13.答案：138．已知点P 是边长为4的正方形内任一点，则P 到四个顶点的距离均大于2的概率是________．解析：如图所示，边长为4的正方形ABCD ，分别以A 、B 、C 、D 为圆心，并以2为半径画圆截正方形ABCD 后剩余部分是阴影部分．则阴影部分的面积是42－4×14×π×22＝16－4π，所以所求概率是16－4π16＝1－π4.答案：1－π4三、解答题9．在△ABC 内任取一点P ，求△ABP 与△ABC 的面积之比大于23的概率．解：设P 点、C 点到AB 的距离分别为d P 、d C ，则S △ABP ＝12AB ·d P ，S △ABC ＝12AB ·d C ，所以S △ABP S △ABC ＝d P d C ，要使d P d C >23，只需使P 点落在某条与AB 平行的直线的上方，当然P 点应在△ABC 之内，而这条与AB 平行的直线EF 与AB 的距离要大于d C 的23. 由几何概率公式，得P ＝S △CEF S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－232＝19. 10．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待．求甲、乙两人能见面的概率．解：用x 轴、y 轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间．若甲早到，当y －x ≤30时，两人仍可见面；若乙早到，则两人不可能见面，因此，必须有x ≤y . 如图，事件A “两人可以见面”的可能结果是阴影部分的区域．故P (A )＝12×602－12×302602＝38.。

高中数学第三章概率随机事件的概率教案北师大必修3

随机事件的概率教学方针：通过试验，体会随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，由此给出概率的统计定义。

教学重点：了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性。

教学难点：理解频率与概率的关系。

教学过程：[设置情景]1名数学家＝10个师在第二次世界大战中，美国曾经颁布颁布：一名优秀数学家的感化超过10个师的军力。

这句话有一个非同寻常的来历。

1943年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的“潜艇战”搞得盟军焦头烂额。

为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后得出，舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，从数学角度来看这一问题，它具有必然的规律性。

必然数量的船（为100艘）编队规模越小，编次就越多（为每次20艘，就要有5个编次），编次越多，与敌人相遇的概率就越大。

美国海军接受了数学家的建议，命令舰队在指定海域集合，再团队通过危险海域，然后各自驶向预定港口。

结果奇迹泛起了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由本来的25％降为1％，大大减少了损失，包管了物资的及时供应。

在自然界和实际生活中，我们会遇到各种各样的现象。

如果从结果能否预知的角度来看，可以分为两大类：一类现象的结果总是确定的，即在必然的条件下，它所泛起的结果是可以预知的，这类现象称为确定性现象；另一类现象的结果是无法预知的，即在必然的条件下，泛起那种结果是无法预先确定的，这类现象称为随机现象。

确定性现象，一般有着较明显得内在规律，因此比力容易掌握它。

而随机现象，由于它具有不确定性，因此它成为人们研究的重点。

随机现象在必然条件下具有多种可能发生的结果，我们把随机现象的结果称为随机事件。

[探索研究] 1．随机事件下列哪些是随机事件？（1）导体通电时发热；（2）或人射击一次，中靶；（3）抛一石块，下落；（4）在常温下，铁熔化；（5）抛一枚硬币，正面朝上；（6）在标准大气压下且温度低于c 0时，冰融化。

高中数学第三章概率习题课学案北师大版必修3-北师大版高一必修3数学学案

第三章概率学习目标 1.进一步了解频率与概率的关系.2.加深对互斥事件、对立事件的理解，并会应用这些概念分割较为复杂的事件.3.理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法求概率．知识点一频率与概率的关系随机事件A在________条件下进行n次试验，事件A发生了m次，则事件A发生的频率＝______，随着试验次数的增加，频率呈现________性，即频率总是________于某个常数P(A)，称P(A)为事件A的概率．知识点二互斥事件、对立事件1．若事件A，B互斥，则A，B在一次试验下不能同时发生，P(A＋B)____1(判别大小关系)．2．若事件A，B对立，则A，B在一次试验下不能同时发生，P(A＋B)____1(判别大小关系)．3．若事件A，B互斥，则________(填“一定”“不一定”)对立；若事件A，B对立，则________(填“一定”“不一定”) 互斥．4．若事件A，B互斥，则P(A＋B)＝____________，若事件A，B对立，则P(A)＝________. 知识点三古典概型及其概率计算公式1．解决古典概型问题首先要搞清所求问题是不是古典概型，其判断依据是：(1)试验中所有可能出现的基本事件是否只有________个；(2)每个基本事件出现的可能性是否________．2．利用古典概型求事件A的概率的步骤是：(1)用________把古典概型试验的基本事件一一列出来；(2)从中找出事件A包含的________________；(3)P(A)＝________________________________.类型一随机事件的频率与概率例1 某企业生产的乒乓球被指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检测结果如表所示：抽取球数n 50100200500 1 000 2 000 优等品数m 4592194470954 1 902(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)反思与感悟随机事件在相同条件下进行大量试验时，呈现规律性，且频率mn总是接近于常数P (A )，称P (A )为事件A 的概率．跟踪训练1 下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答问题．(1)完成上面表格；(2)该油菜子发芽的概率约是多少？类型二互斥事件的概率例2 某射击运动员射击一次射中10环，9环，8环，7环的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16.计算这名运动员射击一次：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率；(3)射中环数不超过7环的概率．反思与感悟把较为复杂的事件分割为彼此互斥(或对立)的简单事件，再求概率，是处理概率问题的常用办法．跟踪训练2 下表为某班英语及数学成绩，设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．全班共有学生50人，成绩分为1～5五个档次．例如表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的学生共5人．(1)x＝4的概率是多少？x＝4且y＝3的概率是多少？x≥3的概率是多少？在x≥3的基础上y＝3同时成立的概率是多少？(2)x＝2的概率是多少？a＋b的值是多少？类型三古典概型的概率例3 甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．反思与感悟处理古典概型时注意：(1)审清题意；(2)确认是不是古典概型；(3)选择简捷方式表达基本事件；(4)罗列时注意有无顺序要求．跟踪训练3 盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品．(1)从中取出1只，然后放回，再取1只，求：①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件总数；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件总数；(2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率．类型四古典概型概率的综合应用例4 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：(1)估计该校男生的人数；(2)估计该校学生身高在170～185 cm之间的概率；(3)从样本中身高在180～190 cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185～190 cm 之间的概率．反思与感悟古典概型概率在实际问题的应用中，一般要经历获得数据，分析数据，应用数据，进行预报和决策等过程．跟踪训练4 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：x 1234 5f a 0.20.45 b c(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a，b，c的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x1，x2，x3，等级系数为5的2件日用品记为y1，y2，现从x1，x2，x3，y1，y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．1．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为( )A．0.5 B．0.3C．0.6 D．0.92．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5)，2；[15.5,19.5)，4；[19.5,23.5)，9；[23.5,27.5)，18；[27.5,31.5)，11；[31.5,35.5)，12；[35.5,39.5)，7； [39.5,43.5)，3.根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是( ) A.16 B.13 C.12D.233．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是( ) A.34 B.13 C.12D.234．抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“出现2点”，已知P (A )＝12，P (B )＝16，则出现奇数点或2点的概率为( )A.34 B.13 C.12D.235．一个口袋中装有大小相同的1个白球和已经编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，则摸出1个黑球、1个白球的概率是( ) A.34 B.13 C.12D.231．用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A 中的基本事件，利用公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数求出事件A 的概率．这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．2．计算事件A 的概率，关键要分清基本事件总数n 与事件A 包含的基本事件数m .因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件数有多少个；第三，事件A 是什么，它包含的基本事件数有多少个．回答好这三个方面的问题，解题才不会出错．答案精析知识梳理知识点一相同 mn规律接近知识点二 1．≤ 2．＝3．不一定一定 4．P (A )＋P (B ) 1－P (B ) 知识点三1．(1)有限 (2)相等2．(1)列举法 (2)基本事件及个数 (3)A 包含的基本事件的个数基本事件的总数题型探究例1 解 (1)表中乒乓球优等品的频率依次是0.900，0.920，0.970，0.940,0.954,0.951. (2)由(1)知，抽取的球数n 不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.跟踪训练1 解 (1)填入表中的数据依次为1,0.8,0.9,0.857，0.892，0.910,0.913,0.893,0.903,0.905. (2)该油菜子发芽的概率约为0.900.例2 解记“射中10环”为事件A ，“射中9环”为事件B ，“射中8环”为事件C ，“射中7环”为事件D .则事件A 、B 、C 、D 两两互斥，且P (A )＝0.24，P (B )＝0.28，P (C )＝0.19，P (D )＝0.16. (1)∵射中10环或9环为事件A ∪B ， ∴由概率加法公式得P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝0.24＋0.28＝0.52.(2)∵至少射中7环的事件为A ＋B ＋C ＋D ， ∴P (A ＋B ＋C ＋D )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87. (3)记“射中环数不超过7环”为事件E ，则事件E 的对立事件为A ＋B ＋C . ∵P (A ＋B ＋C )＝P (A )＋P (B )＋P (C ) ＝0.24＋0.28＋0.19＝0.71，∴P (E )＝1－P (A ＋B ＋C )＝1－0.71＝0.29.跟踪训练2 解 (1)P (x ＝4)＝1＋0＋7＋5＋150＝725.P (x ＝4，y ＝3)＝750.P (x ≥3)＝P (x ＝3)＋P (x ＝4)＋P (x ＝5)＝2＋1＋0＋9＋350＋725＋1＋3＋1＋0＋150＝710.当x ≥3时，有710×50＝35(人)，∴在x ≥3的基础上，y ＝3有8人． ∴在x ≥3的基础上P (y ＝3)＝835.(2)P (x ＝2)＝1－P (x ＝1)－P (x ≥3) ＝1－110－710＝15.又∵P (x ＝2)＝1＋b ＋6＋0＋a 50＝15，∴a ＋b ＝3.例3 解 (1)甲校2名男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，2名女教师分别用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．选出的2名教师性别相同的结果为(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种．所以选出的2名教师性别相同的概率为49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．从中选出的2名教师来自同一学校的结果为(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种．所以选出的2名教师来自同一学校的概率为615＝25. 跟踪训练3 解 (1)将灯泡中2只正品记为a 1，a 2,1只次品记为b 1，则第一次取1只，放回后第二次取1只，基本事件为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 1，b 1)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，(b 1，b 1)，共9个．①连续2次取出的都是正品所包含的基本事件为(a 1，a 1)，(a 1，a 2)，(a 2，a 1)，(a 2，a 2)，共4个；②两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件为(a 1，b 1)，(a 2，b 1)，(b 1，a 1)，(b 1，a 2)，共4个．(2)从中一次任取2只得到的基本事件总数是3，即a 1a 2，a 1b 1，a 2b 1,2只都是正品的基本事件数是1，所以其概率为P ＝13. 例4 解 (1)样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400.(2)由统计图知，样本中身高在170～185 cm 之间的学生有14＋13＋4＋3＋1＝35(人)，样本容量为70，所以样本中学生身高在170～185 cm 之间的频率f ＝3570＝0.5.故由f 估计该校学生身高在170～185 cm 之间的概率P ＝0.5.(3)样本中身高在180～185 cm 之间的男生有4人，设其编号为①②③④，样本中身高在185～190 cm 之间的男生有2人，设其编号为⑤⑥.从上述6人中任选2人的树状图为故从样本中身高在180～190 cm 之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185～190 cm 之间的可能结果数为9，因此，所求概率P ′＝915＝35. 跟踪训练4 解 (1)由频率分布表得a ＋0.2＋0.45＋b ＋c ＝1，即a ＋b ＋c ＝0.35.因为抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b ＝320＝0.15. 等级系数为5的恰有2件，所以c ＝220＝0.1. 从而a ＝0.35－b －c ＝0.1，所以a ＝0.1，b ＝0.15，c ＝0.1.(2)从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，所有可能的结果为{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 1，y 1}，{x 1，y 2}，{x 2，x 3}，{x 2，y 1}，{x 2，y 2}，{x 3，y 1}，{x 3，y 2}，{y 1，y 2}，即基本事件的总数为10.设事件A 表示“从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件，其等级系数相等”，则A 包含的基本事件为{x 1，x 2}，{x 1，x 3}，{x 2，x 3}，{y 1，y 2}，共4个．故所求的概率P (A )＝410＝0.4. 当堂训练1．A [依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5.]2．B [由条件可知，落在[31.5,43.5)的数据有12＋7＋3＝22(个)，故所求概率约为2266＝13.] 3．A [从长度为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条共有4种不同的取法，其中可以构成三角形的有(2,3,4)、(2,4,5)、(3,4,5)三种，故所求概率为P ＝34.] 4．D [因为事件A 与事件B 是互斥事件，所以P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.] 5．C [摸出2个球，基本事件的总数是6.其中“1个黑球，1个白球”所含事件的个数是3，故所求事件的概率是P ＝36＝12.]。

【教育专用】2018北师大版高中数学必修三学案：第三章 1.2 生活中的概率

高中数学北师大版必修三3.1.2【教学设计】《生活中的概率》

高中数学 3.1.2 生活中的概率导学案 北师大版必修3

高中北师大版数学同步教学参考课件必修三 第3章-1.1 频率与概率1.2 生活中的概率

2017-2018学年高一数学北师大版必修3教学案：第三章 §1 1.1 1.2 频率与概率 生活中的概率

高中数学 第三章 概率教案 北师大版必修3-北师大版高中必修3数学教案

北师大版高中数学必修3《三章 概率 1 随机事件的概率 1.2生活中的概率》优质课教案_4

2018版高中数学北师大版必修三学案：第三章 概率 1.1 频率与概率