第5章-频域图像增强(4)

– 滤波在频域更为直观，它可以解释空域滤波的某些 性质；
-11 -21 -11 116£ -21 84 -21
-11 -21 -11
– 利用频率成分与图像内容之间的对应关系，在频域 中设计滤波器，通过傅里叶逆变换获得冲激响应函 数，指导空域模板，在空域中执行图像增强。
20
低通滤波器
低通滤波器
– 允许图像的低频成分通过，限制高频成分通过。 – 限制或减弱频谱中的高频成分可以起到图像平滑
–图像中的边、噪声、变化陡峻的部分，以放射方
向离开频率平面的圆心，这个区域为高频区域。
v
边、噪声、变化陡峭部分
变化平缓部分
u
10
频域图像增强
为什么要在频率域研究图像增强？
– 可以利用频率成分和图像表观之间的对应关系。 一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中 变得非常简单。
– 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波 的某些性质。
三维网格图
以图像方式显示
径向剖面图
二阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数
34
巴特沃斯低通滤波器
滤波器的阶数越高，从通带到阻带振幅衰减速度越快。
若阶数 充分大，则当
Hale Waihona Puke Baidu
，
；
当
，
，此时趋于理想低通
滤波器。
阶为1、2、5、8、10和20的巴特沃斯低通滤波器传递函数的径向剖面图
35
巴特沃斯低通滤波器
一阶巴特沃斯低通滤波器没有振铃现象。
径向剖面图
43
指数低通滤波器
滤波器的阶数越高，从通带到阻带振幅衰减速度越快。
若阶数 充分大，则当
时，
；
当
时，
，此时趋于理想
低通滤波器。
阶为1、2、5、8、10和20的指数低通滤波器传递函数的径向剖面图
44
指数低通滤波器
一阶指数低通滤波器没有振铃效应。
阶为1的指数低通滤波器的频域形式和空域形式
8
频域增强的理论基础
卷积定理
g(x,y) = h(x,y) * f(x,y)
卷积定理是空间域滤波和 频率域滤波之间的纽带。
G(u,v) = H(u,v)F(u,v)
g(x,y) = F-1[H(u,v)F(u,v)]
9
频域增强的理论基础
频率平面与图像空域特性的关系
–图像变化平缓的部分靠近频率平面的圆心，这个 区域为低频区域。
高频成分携带能量虽少，但包 含有丰富的边界、细节信息， 所以截止频率D0变小时，虽然 亮度足够（能量损失不大）， 但图像变模糊了。
28
理想低通滤波器截止频率
一幅256256图像的实例 D0 = 5、15、30、50、80、120 β = 95.78% 、 98.22% 、 99.13% 、 99.54% 、
第五章 频域图像增强 Chapter 5 Image Enhancement in the Frequency Domain
知识回顾(1)
第3章 空域图像增强
图像平滑：模糊和降噪；
均值平滑模板
高斯平滑模板
知识回顾(1)
第3章 空域图像增强
图像锐化：增强图像中的边缘和细节，减弱或清除灰度变 化缓慢的区域。
24
理想低通滤波器
二维离散傅里叶变换频率矩形
的中心位
于
，从点 到频谱中心
的
距离为
25
理想低通滤波器截止频率
理想低通滤波器的截止频率的设计 – 首先计算总的信号能量PT ：
– 其中， P(u,v) = |F(u,v)|2 = R2(u,v) + I2(u,v)
是能量模。
26
理想低通滤波器截止频率
– 如果将变换作中心平 移，则一个以频域中 心为原点，r为半径的 圆就包含了百分之β 的能量。
27
理想低通滤波器截止频率
由于傅里叶变换的实部R(u,v) 及虚部I(u,v)随着频率u,v的升 高而迅速下降，能量随着频率 的升高而迅速减小。
在频域平面上能量集中于频率 很小的圆域内, 当D0增大时能 量衰减很快。
47 二阶巴特沃斯低通滤波器Vs二阶指数低通滤波器
与二阶巴特沃斯低通滤波器相比，二阶指数低通滤波
C = real(ifft2(fft2(bw) .* fft2(rot90(a,2),256,256)));
figure, imshow(C,[]) max(C(:))
Convolution is equivalent to correlation if you rotate the convolution kernel by 180o
理想低通滤波器完全截断频谱中的高频成分， 其传 递函数定义为
式中， 是点 到频谱中心
为截止频率。
的距离，
23
理想低通滤波器传递函数
理想低通滤波器三维网格图
以图像方式显示
径向剖面图
理想低通滤波器传递函数
理想低通滤波器的锐截止频率不能用电子器件实现，且会产生 振铃效应，表现为在图像灰度剧烈变化的邻域产生灰度振荡。
32
巴特沃斯低通滤波器
巴特沃斯低通滤波器是一种物理可实现的低通滤波 器， n阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数定义为
式中，
是点 到频谱中心
为截止频率。
当 下降到它的
时， 。
的距离， ，即从最大值1
33
巴特沃斯低通滤波器
特点：通带与阻带之间并非锐截止而是逐渐下降为零， 通带到阻带之间平滑过渡，因而滤波图像的振铃效应不 明显。
加入均值为0、方差为0.01高斯噪声的灰度图像，采用 二阶巴特沃斯低通滤波器。
图像尺寸
，截止频率分别为5、15、30、50、90
40
巴特沃斯低通滤波器滤波效果
截止频率对频域滤波的影响
– 随着截止频率的增加，滤除的高频成分减少，模糊 的程度减弱，降噪能力也随之减弱。
截止半径为5、15、30、50、90的巴特沃斯低通滤波器的滤波效果图
傅里叶逆变换
频域滤波的方框图
增强图像
g (x;y)
13
对频域滤波结果 域中：
频域滤波基本步骤
进行傅里叶逆变换，转换回空
式中，
为滤波图像， 表示傅里叶逆变换。
输入图像
f (x;y)
F (u;v)
H (u;v)F (u;v)
傅里叶变换
滤波函数
H (x;y)
傅里叶逆变换
频域滤波的方框图
增强图像
g (x;y)
阶为5、截止频率为15的巴特沃斯低通滤波器的频域形式和空域形式
38
巴特沃斯低通滤波器
随着阶数增加，振铃效应越明显。实际使用中，需要折中 考虑平滑效果和振铃效应来确定巴特沃斯低通滤波器的阶 数。
二阶巴特沃斯低通滤波器在图像平滑与可接受的振铃效应 之间做出了比较好的折中。
39
巴特沃斯低通滤波器滤波效果
41
指数低通滤波器
指数低通滤波器也是一种物理可实现的低通滤波器， n阶指数低通滤波器的传递函数定义为
式中，
是点 到频谱中心
为截止频率。
当
时，
下降到它的
。
的距离， ，即从最大值1
42
指数低通滤波器
通带到阻带之间平滑过渡，因而其滤波图像的振铃 效应不明显。
三维网格图
以图像方式显示
二阶指数低通滤波器的传递函数
的作用。
频域中的低通滤波器和空域中的平滑模板具有等 效的作用。
121 116£ 2 4 2
121
21
低通滤波器的可实现性
理想低通滤波器 巴特沃斯低通滤波器 指数低通滤波器
物理不可实现 物理可实现
振铃效应：在图像灰度剧烈变化的邻域产生灰度振荡 的图像失真现象。
22
理想低通滤波器
随着截止频率的减小，振铃特性增强。
半径为5
理想低通滤波器传递函数及其冲激响应函数
31
理想低通滤波器
半径为5
半径为15
半径为30
随着半径的增大，保留的低频成分越多，滤除的高频成分 越少，使得模糊程度减弱，图像保留的边缘、细节越多。
在图像处理中，理想低通滤波器是非常不实用的，但是原 理简单，通过它我们可以深入理解滤波器的滤波原理。
傅里叶变换
滤波函数
H (x;y)
傅里叶逆变换
增强图像
g (x;y)
16
频域滤波的具体步骤
频域滤波的具体步骤：
– 计算
的二维离散傅里叶变换
。
输入图像
乘以
使图像的低频成分移
到频谱的中央部分。
直流成分
3
4
图像
2D DFT 2D IDFT
12 43
中心移位
2
1
低频成分
高频成分 低频成分
高频成分
二维离散傅里叶谱的频率成分分布图
– 可以在频率域指定滤波器，做逆变换，然后在空 间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导。
11
频域滤波的意义
在频域中滤波的意义直观
– 低通滤波指允许频谱中的低频成分通过，限制高 频成分通过，滤除噪声和不必要的细节和纹理， 与空域图像平滑具有等效的作用；
– 高通滤波指允许频谱中的高频成分通过，限制低 频成分通过，突出边缘和细节，与空域图像锐化 具有等效的作用。
99.80% 99.97% 半径为5的小圆周包含整个能量的96%。
29
理想低通滤波器
理想低通滤波器会产生振铃效应。振铃效应表现为 灰度振荡。
随着截止频率的减小，振铃特性增强。
半径为15
理想低通滤波器传递函数及其冲激响应函数
30
理想低通滤波器
理想低通滤波器会产生振铃效应。振铃效应表现为 灰度振荡。
12
频域滤波基本步骤
频域滤波的核心是设计滤波器的传递函数
。
根据卷积定理，频域滤波表示为频域滤波器的传递函 数与输入图像频谱乘积的形式：
式中，
为滤波器的传递函数，
为
的离散傅里叶变换，
和
的乘积是逐元素相乘。
输入图像
f (x;y)
F (u;v)
H (u;v)F (u;v)
傅里叶变换
滤波函数
H (x;y)
阶为1、截止频率为15的巴特沃斯低通滤波器的频域形式和空域形式
36
巴特沃斯低通滤波器
二阶巴特沃斯低通滤波器的冲激响应函数从原点向 外下降到零值以下很小就返回零值。
阶为2、截止频率为15的巴特沃斯低通滤波器的频域形式和空域形式
37
巴特沃斯低通滤波器
随着阶数的增加，接近理想低通滤波器，振铃现象 越明显。
17
频域滤波的具体步骤
频域滤波的具体步骤（续）：
– 设计频域滤波器的传递函数
，与输入图像
的频谱
相乘，获得频域滤波结果
。
– 计算
的二维离散傅里叶逆变换
，截
取它的实部
，并乘以
以抵消第1
步的移位。
18
MATLAB 频域滤波
bw = imread('text.png'); a = bw(32:45,88:98); figure, imshow(bw); figure, imshow(a);
thresh = 60; % Use a threshold that's a little less than max.
figure, imshow(C > thresh) % Display pixels over
threshold.
19
在频域中研究图像增强的作用
在频域中研究图像增强的作用：
频谱特性：图像的平坦区域对应频谱中的低频成分，而图 像的细节内容对应频谱中的高频成分。
频域图像增强正是利用图像在频域中特有的频率特征进行 滤波处理。
Contents
滤波基础 低通滤波器 高通滤波器 拉普拉斯频域滤波器 带通、带阻与陷波滤波器 空域滤波与频域滤波的关系 同态滤波
45
指数低通滤波器
二阶指数低通滤波器具有高斯函数形式，也称为高 斯低通滤波器。由于高斯函数的傅里叶逆变换也是 高斯函数，二阶指数低通滤波器也没有振铃效应。
阶为2的指数低通滤波器的频域形式和空域形式
46
指数低通滤波器
随着阶数的增加，接近理想低通滤波器，振铃现象越 明显。
阶为5的指数低通滤波器的频域形式和空域形式
7
频域图像增强
频域指图像的傅里叶变换域，频域一词首次出现 在1953年。
离散傅里叶变换将图像从空域转换到频域，利用 频域滤波器对图像的不同频率成分进行处理。
– 频域图像增强利用图像在频域中特有的频率特征 进行滤波处理，频域滤波原理是允许特定频率成 分通过，而限制或减弱其他频率成分通过。
– 通过频域图像增强的学习，可以从频域直观地理 解空域图像增强的原理和方法。
14
频域滤波基本步骤
传递函数
为实数的滤波器称为零相位滤波器，
不会改变输出图像频谱的相位。
式中，
和
分别为
滤波器的传递函数
的实部和虚部。
输出图像
输入图像
15
频域滤波的基本流程
频域滤波的基本流程
– 空域 频域 – 频域滤波 – 频域 空域
输入图像
f (x;y)
F (u;v)
H (u;v)F (u;v)
4邻域拉普拉斯
8邻域拉普拉斯
知识回顾(1)
第3章 空域图像增强
图像平滑：模糊和降噪； 图像锐化：增强图像中的边缘和细节，减弱或清除灰度变
化缓慢的区域。
空域图像增强和频域图像增强结合起来是图像增强 技术的完整内容。
知识回顾(2)
第4章 频域变换
傅里叶变换：频谱是一种在频域中描述图像特征的方法， 反映了图像的幅度和相位随频率的分布情况。