三角函数关系

一、目的要求

1．能根据三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式。

2．正确运用基本关系式进行三角函数式的求值运算。

二、内容分析

1．与三角函数的定义域、符号的确定一样，同角三角函数的基本关系式的推导，紧扣了定义，按照一切从定义出发的原则进行的。通过对基本关系式的推导，应注意学生重视对基本概念学习的良好行为习惯的形成，学会通过对基本概念的学习，善于钻研，从中不断发掘出更深层的内涵。

2．本小节的重点是课本的三个公式的推导及应用。我们可以通过一些练习，引导学生对基本关系式进行观察，在感性认识的基础上，运用三角函数的定义加以证明。

3．同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接的联系起来，在使用时一要注意“同角”，至于角的表达

形式是无关重要的，如等，二要注意这些关系式都

是对于使它们有意义的那些角而言的，如。

通过练习，让学生了解到基本关系式具有等式的一切运算性质（正用、逆用、变形用），对公式不仅能牢固掌握，还能灵活应用；不仅掌握公式的标准形式，还应掌握它们的等价形式：

，

,

。熟练掌握这些等价形式，在应用时可更为方便。但在变形中要注意定义域从左到右的变化，如

，这时定义域由α∈R 变为，而

，这时定义域由变为α∈R。

4．已知任意角的正弦、余弦、正切和余切中的一个值，便可运用基本关系式求出另外三个，这是同角三角函数关系式的最基本功能。在求值时，根据已知的三角函数的值，确定角的终边的位置是关键和必要的。有时由于角的终边位置不确定，因此解的情况不止一种。解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置；二是利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。

5．例3是已知角的正切，用正切来表示其他三角函数的例题，学生接受时有一定的困难。它不象例1、例2思路明确，学生易于掌握。实际上，例3的解题思想方法是方程的思想方法。依题意可将关于sinα、cosα的二元二次方程组，将(1)代入（2），整理

后可得。（以下同课本）

这样处理例3，学生更容易理解和操作。

在例3中，由于角α的终边在四个象限都可能出现，因而本例有四组结果。教材中是先求出cosα后再求tanα，这时可将四个象限的三角函数值分成形式上的两组。

若先求出，得出，虽然题设条件可以确定角α的终边不在坐标轴上，但仍需对角α的终边可能所在的四个象限逐一讨论。这时的分类讨论不如教科书上的简便，且容易出错，教学时可让学生通过练习自己进行比较。

6．在教科书中，出现了，即就是，对这些结论可以让学有余力的学生了解，但不要给全体学生补充教材要求掌握的三个公式以外的其它基本关系式。

7．在讲练习题时要注意引导学生对问题进行归纳、小结。

根据一个角的某一个三角函数值求这个角的其他三角函数值时关键注意两点：一是已知的三角函数值是给定的数还是字母；二是这个角的终边所在位置是否确定。如果角的某一个三角函数值是一个给定的数值，则给定终边位置时有一解，未给定终边位置时一般有两组解，如果角的某一个三角函数值是以字母的形式给出，而且没有给出角的终边位置，则角的终边可能在四个象限或坐标轴上，

这时可将具有共性的两个象限的角的三角函数值放在一起讨论求

解或确定其不存在等。这类问题的解题步骤一般为：先确定角的终边位置，然后再求值。

三、教学过程

1.复习任意角的三角函数定义。

2.课堂练习(也可在上节课后布置作业)。

计算下列各式的值：

；

。

3.引导学生观察上述各题的结果，进行猜想，并用定义给予证明。

可问：在三个等式中角α是否都可以是任意角？若不能，角α应受什么限制？

4.让学生用文字语言叙述同角三角函数的基本关系式，强调“同一个角”及使等式分别有意义的角的取值范围。

5.问：对于同一个角的正弦、余弦、正切、余切，至少应知道其中的几个值，才能利用基本关系式求出其他三角函数的值？

引导学生从方程的角度进行分析，得出结论“知一求三”。

6．讲例1

例1 已知，并且α是第二象限角，求 cosα、tanα、cotα的值。

可启发学生，与题设条件最接近的关系式是，故cosα的值最容易求得。在求cosα时需要进行开平方运算，因此应根据角α所在象限确定cosα的符号。

应向学生讲清楚中的负号来自α是第二象限角，这也是根据商数关系直接运算后的结果，它不同于在选用平方关系式时的三角函数符号的确定。

7．讲例2

例2 已知，求sinα、tanα的值。

让学生比较例1、例2题设条件的相异处，根据题设条件得出角α的终边只能在第二或第三象限。

应提醒学生注意，仅有的cosα<0是不能确定角α的终边所在的象限，它可能在x轴的负半轴上。（这时cosα=-1）

8．课堂练习

做教科书本小节练习第1、2题，可补充练习：已知sinα=-1，求cosα、cotα的值。

9．讲例3

例3 已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα、cosα。

提问：（l）角α的终边在什么位置？（2）能否直接利用基本关系式求出sinα或cosα的值？

分析：由tanα≠0，只能确定α的终边不在坐标轴上。关于sinα、

cosα、tanα的关系式只有，在这个式子中，必需知道其中的两个三角函数值，才能求出第三个。因此象例3这类问题的求解，不能一步到位，需要公式的综合应用。

10．课堂练习

做教科书本小节练习第3、4题。

11．归纳小结

（l）同角三角函数的基本关系式及成立的条件。

（2）根据一个任意角的正弦、余弦、正切、余切中的一个值求出其余三个值（可简称“知一求三”）时，要注意这个角的终边所在位置，从而出现一组或二组或四组（以两组的形式给出）。

（3）“知一求三”的解题步骤一般为：先确定角的终边位置，再根据基本关系式求值。若已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其他关系求值；若已知正切或余切，则可构造方程组求值。

12．布置作业

教科书习题4.4第1、2、3、4题。

补充题已知cotα=m（m≠0），求cosα。

提示：本题先求出sinα，再由得到答案：当α

为第一、二象限角时，；当α为第三、四象限用时，

。