传热学2-3
传热学讲义——第三章
第三章 非稳态导热(unsteady state conduction)物体的温度随时间而变化的导热过程称非稳态导热。
0≠τ∂∂t，任何非稳态导热过程必然伴随着加热或冷却过程。
根据物体内温度随时间而变化的特征不同，非稳态导热过程可分为两类：（1）周期性导热（periodic unsteady conduction ）：物体的温度按照一定的周期发生变化； 如建筑物的外墙和屋顶温度的变化。
（2）瞬态导热(transient conduction)：物体的温度随时间不断升高或降低，在经历相当长时间后，物体的温度逐渐趋于周围介质的温度，最终达到热平衡。
分析非稳态导热的任务：找出温度分布和热流密度随时间和空间的变化规律。
第一节 非稳态导热的基本概念一、瞬态导热过程采暖房屋外墙墙内温度变化过程。
采暖设备开始供热前：墙内温度场是稳态、不变的。
采暖设备开始供热：室内空气温度很快升高并稳定；墙壁内温度逐渐升高；越靠近内墙升温越快；经历一段时间后墙内温度趋于稳定、新的温度分布形成。
墙外表面与墙内表面热流密度变化过程 采暖设备开始供热前：二者相等、稳定不变。
采暖设备开始供热：刚开始供热时，由于室内空气温度很快升高并稳定，内墙温度的升高相对慢些，内墙表面热流密度最大；随着内墙温度的升高，内墙表面热流密度逐渐减小；随着外墙表面的缓慢升高，外墙表面热流密度逐渐增大；最终二者相等。
上述非稳态导热过程，存在着右侧面参与换热与不参与换热的两个不同阶段。
（1）第一阶段（右侧面不参与换热）是过程开始的一段时间，特点是：物体中的一部分温度已经发生变化，而另一部分仍维持初始状态时的温度分布（未受到界面温度变化的影响），温度分布显现出部分为非稳态导热规律控制区和部分为初始温度区的混合分布，物体内各处温度随时间的变化率是不一样的，即：在此阶段物体温度分布受t分布的影响较大，此阶段称非正规状况阶段或初始阶段（initialregime）。
（2）第二阶段（右侧面参与换热）当右侧面参与换热以后，物体中的温度分布不受t影响，主要取决于边界条件及物性。
高等传热学课件对流换热-第2章-3
2-3 管槽内层流对流换热特征工程上存在大量的管槽内对流换热问题。
本节对管槽内层流强制对流换热的流动与换热特征进行分析。
一、流动特征当流体以截面均匀的流速0u 进入管道后，由于粘性，会在管壁上形成边界层。
边界层内相同r 处的轴向流速随δ的增加而降低，导致对管中心势流区的排挤作用，使势流区流速增加。
当边界层厚度δ达到管内半径时，势流区消失，边界层汇合于管轴线处，同时截面内速度分布不再变化。
u o将管入口截面至边界层汇合截面间的流动区域称为入口段，或称为未充分发展流、正在发展流。
该区域内，速度分布不断变化，(,)u u x r =，同时存在径向速度(,)v x r 。
边界层汇合截面以后的流动速度不再变化，()u u r =，而径向速度0v =，这段流动区域称为充发展段或充分发展流。
所以，管内流动存在特征不同的两个区域：入口段，充分发展段。
充分发展流动又分为：简单充分发展流、复杂充分发展流两种。
1). 简单充分发展流是指只存在轴向速度分量，而其它方向速度分量为零的充分发展流动。
对圆管： ()u u r =，0v w ==； 对矩形管道：(,)u u x y =，0v w ==。
简单充分发展流任意横截面上压力均匀，沿轴向线性变化，即dpconst dx=证明：对简单充分发展流，径向速度0v =，根据径向动量方程：222211()v v p v v v u v x r r r r x rνρ∂∂∂∂∂∂+=−+++∂∂∂∂∂∂ ⇒ 0p r ∂=∂，即任意横截面上压力均匀，压力仅沿轴向变化。
于是，轴向动量方程为：222211(u u dp u u uu v x r dx r r x rνρ∂∂∂∂∂+=−+++∂∂∂∂∂又发展流0ux∂=∂（速度分布不变，或由连续方程得出）⇒220ux∂=∂、()u u r =。
动量方程变为：221()dp u u dx r r rρν∂∂=+∂∂ 由于上式右端与与x 无关，所以必然有：dpdx=常数，而与x 无关，或说压力沿轴向线性分布。
§2-3 通过肋壁的导热及接触导热概述
δ
qv0
Φx
Φx+dx
x
h t t f Udx
dx H
因此该微元段的内热源强度为：
h t t f Udx qv AL dx AL dx
Heat Transfer
建筑工程系
Construction Engineering Department
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二、通过等截面直肋的导热
x t2 Δt
t1
t
热量是通过充满空隙的流体的导热、对流和辐射的方式 传递的，因而存在传热阻力，称为接触热阻(Thermal contact resistance） 。
Heat Transfer
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七、通过接触面的导热 接触热阻是普遍存在的， 而目前对其研究又不充分， 往往采用一些实际测定的经 验数据。
Heat Transfer
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四、肋片的工程计算
m
hU AL
ml
h2 L l L
U 2L
2h
l
2h 3 l2 f
L
l f
肋片的纵剖面积
Heat Transfer
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五、通过环肋及三角形截面直肋的导热
工程上采用的肋片几何形状是十分复杂的。
y
r
0
传热学第一二三类边界条件
传热学第一二三类边界条件
本文主要介绍传热学中的第一、二、三类边界条件。
传热学是研究热量传递过程的一门学科，其中边界条件是热传递方程求解的关键之一。
在传热学中，边界条件分为三类。
第一类边界条件是指在热传递过程中，边界上的温度是已知的。
这种情况通常出现在热源/冷源表面或是固体表面。
为了简化计算，
我们通常将边界上的温度视为常数。
第二类边界条件是指在热传递过程中，边界上的热流密度是已知的。
这种情况通常出现在流体内部或是气体内部，因为在这种情况下，温度是不均匀的，而热流密度是更为基本的量。
第三类边界条件是指在热传递过程中，边界上的热通量是已知的。
这种情况通常出现在较为复杂的热传递问题中，如辐射传热问题等。
在这种情况下，我们需要利用热传递方程和能量守恒定律来求解未知的温度分布。
总之，在传热学中，不同类型的边界条件可以帮助我们更好地分析和理解热传递过程，从而得出更为准确的结果。
- 1 -。
传热学第三版课程设计
传热学第三版课程设计
一、课程设计目的
热传导、热对流和热辐射是传热学中的三种基本传热方式，广泛用于热工业、材料科学、环境保护等领域。
本课程设计旨在让学生深刻理解传热学各个方面的基本原理和数学模型，掌握用数学方法解决传热学问题的能力，并在实践中体验传热学的基本原理和现代应用。
二、教学内容
2.1 传热学基础理论
让学生掌握传热学基本概念、基本方程、基本原理和数学形式化模型，包括：•热传导定律
•热对流定律
•热辐射定律
•热传导方程
•热力学第二定律
2.2 典型传热学问题
讲解典型传热学问题，并要求学生利用传热学基础理论和数学方法进行求解。
包括：
•热传导问题
•对流传热问题
•热辐射问题
•复杂传热问题
1。
传热学课后标记题目答案1-9
第一章1-8 热水瓶胆剖面的示意图如附图所示。
瓶胆的两层玻璃之间抽成真空，内胆外壁及外胆内壁涂了反射率很低的银。
试分析热水瓶具有保温作用的原因。
如果不小心破坏了瓶胆上抽气口处的密闭性，这会影响保温效果吗？解：保温作用的原因：内胆外壁外胆内壁涂了反射率很低的银，则通过内外胆向外辐射的热量很少，抽真空是为了减少内外胆之间的气体介质，以减少其对流换热的作用。
如果密闭性破坏，空气进入两层夹缝中形成了内外胆之间的对流传热，从而保温瓶的保温效果降低。
1-10 一炉子的炉墙厚13cm ，总面积为202m ，平均导热系数为1.04w/m.k ，内外壁温分别是520℃及50℃。
试计算通过炉墙的热损失。
如果所燃用的煤的发热量是2.09×104kJ/kg ，问每天因热损失要用掉多少千克煤？ 解：根据傅利叶公式KW t A Q 2.7513.0)50520(2004.1=-⨯⨯=∆=δλ每天用煤d Kg /9.3101009.22.753600244=⨯⨯⨯1-16为了说明冬天空气的温度以及风速对人体冷暖感觉的影响，欧美国家的天气预报中普遍采用风冷温度的概念（wind-chill temperature ）。
风冷温度是一个当量的环境温度，当人处于静止空气的风冷温度下时其散热量与人处于实际气温、实际风速下的散热量相同。
从散热计算的角度可以将人体简化为直径为25cm 、高175cm 、表面温度为30℃的圆柱体，试计算当表面传热系数为()K m W 2/15时人体在温度为20℃的静止空气中的散热量。
如果在一个有风的日子，表面传热系数增加到()K m W 2/50，人体的散热量又是多少？此时风冷温度是多少？1-19 在1-14题目中，如果把芯片及底板置于一个封闭的机壳内，机壳的平均温度为20℃，芯片的表面黑度为0.9，其余条件不变，试确定芯片的最大允许功率。
解：()00014.0])27320()27385[(1067.59.04484241⨯+-+⨯⨯-=Φ-＝辐射T T A σε P 辐射对流＋ΦΦ＝1.657W1-21 有一台气体冷却器，气侧表面传热系数1h ＝95W/(m2.K)，壁面厚δ＝2.5mm ，)./(5.46K m W =λ水侧表面传热系数58002=h W/(m 2.K)。
传热学第二章-导热理论基础-3[精]
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假定：
宽度 l >> 且沿
肋片长度方向温度均匀
1
Qs
大、 << H，认为
温度沿厚度方向均匀。
δ
0
Qx
Qx+dx
x
dx H
因此， / << 1/h，温度仅沿x变化，于是可以把通
过肋片的导热问题视为沿肋片方向上的一维导热问题 。
c1em xc2emx
1
s
应用边界条件可得：
l P 2 l
1
记 AL=H 为肋片纵剖面积。
Qs
1
mH 2h H H32 2h AL2H2 3
δ 0 Qx
Qx+dx
x
可见，mH与参量
1
h
2
H
3 2
AL
dx H
有关，其关系曲
线如图所示。这样，矩形直肋的散热量可以不用公
式计算，而直接用图查出，然后，散热量
传热系数h不是均匀一致的 ——数值计算
2-4-2 通过环肋及三角形截面直肋的导热
为了减轻肋片重量、节省材料，并保持散热量基本不 变，需要采用变截面肋片，环肋及三角形截面直肋是 其中的两种。
y
r 0
0 x
矩形环肋片
三角形肋片
对于三角形和抛物线形肋
对于环肋：
f
Q Q0
Q Qmax
其中 : Qmax hUH cb ,
增加了多少？
解题思路：
1、假设：
（1）略去上、下底面的散热量；
（2）一维稳态导热，肋片按等截面直肋看待，肋片顶端按 绝热考虑，采用增加半个肋片厚度的方法来计算导热量；
（3）不计辐射换热。
传热学-学习课件-2-3-2通过圆筒壁的导热
传热学 Heat Transfer
通过圆筒壁的热流密度
通过圆筒壁的热流量
q 通过圆筒壁导热的热阻：
传热学 Heat Transfer
2.通过多层圆筒壁的导热
采用热阻的概念进行分析。在稳态、 无内热源的情况下，通过各层的热流 量相等。
传热学 Heat Transfer
Thanks
1.通过单层圆筒壁的导热 ①条件： 1D,稳态，无内热源，λ为常数，两侧均 为第一类边界
②物理问题及数学描述:
传热学 Heat Transfer
③解微分方程 积分上面的微分方程两次得到其通解为
t c1 ln r c2
利用两个边界条件
传热学 Heat Transfer
将两个积分常数代入原通解，可得圆筒壁内的温度分布如 下
传热学 Heat Transfer 2.3.2 通过圆筒壁的导热
圆筒壁就是圆管的壁面。当管子的壁面相对于管长而言 非常小，且管子的内外壁面又保持均匀的壁温通过管壁的导 热当作圆柱坐标系上的一维导热问题 时，通过管壁的导热 就是圆柱坐标系下的一维导热问题。
r1
r2
r
r
r
传热学 Heat Transfer
主讲老师：王舫 适用专业：能源与动力工程专业
传热学 Heat Transfer
2-3 典型一维稳态导热问题的分析解
稳态导热
t
0
温度不随时间而变化。
通过平壁的导热,直角坐标系中的一维问题。
通过圆筒壁的导热,圆柱坐标系中的一维问题。
通过球壳的导热,球坐标系中的一维问题。
传热学(第三版)(张靖周,常海萍,谭晓茗编著)PPT模板
0 1 4.1对流换热概述
0 2 4.2对流换热过程的数学描写
03
4.3对流换热的边界层微分方程 组
0 4 4.4湍流对流换热边界层微分方程组
0 5 4.5边界层类比 0 6 4.6管内层流充分发展对流换热理论
解
第4章对流换热的 理论分析
思考题 练习题 参考文献
05
第5章单相流体对流 换热的准则关联式
7.2黑体辐 射基本定 02 律
7.3实际
05
03
固体和液
思考题
04
体的辐射
7.4气体辐
特性
射特性
第7章热辐射的理 论基础
参考文献
08
第8章辐射换热的 计算
第8章辐射换热的计算
8.1被透明介质隔开的两
1
表面间辐射换热
8.2被透明介质隔开的封
闭系统表面间辐射换热
2
8.3遮热板
3
8.4气体与包壳间的辐射
附录5空气在不 同压力和温度下
的热物理性质
附录6干饱和水 蒸气的热物理性
质
A
B
C
D
E
F
附录8大气压力下过热水 蒸气的热物理性质
附录10几种饱和液体的热 物理性质
附录12材料发射率
附录
1 2 3 4 5 6
附录7大气压力下标准烟 气的热物理性质
附录9饱和水的热物理性 质
附录11液态金属的热物理 性质
单击此处添加文本具体内 容，简明扼要的阐述您的 观点。根据需要可酌情增 减文字，以便观者准确的 理解您传达的思想。
第9章几个专题
练习题 参考文献
10
附录
附录
附录1常用单位 换算表
传热学第三章稳态导热
传热学第三章稳态导热
11
根据热阻串联的叠加原则，通过三 层壁的热流密度计算式为：
q
tw1 tw4
1 2 3
1 2 3
W/m2
、
qA
1
tw1 tw4
2 3
W
1A 2A 3A
2021/2/12
传热学第三章稳态导热
12
由
q
t
可得各层接触面上的温度分别为 ：
tw2
、tw1
q1 1
℃
tw3
பைடு நூலகம்
tw4
W/m2
可见，通过平壁稳态导热的热流密度 取决于导热系数、壁厚及两侧面的温差。
稳态下平壁内与热流相垂直的各截面 上的热流密度为常量。
2021/2/12
传热学第三章稳态导热
6
通过整个平壁的热流量为：
AqAt
W
当λ=λ0(1+bt) 时，在温差(t1-t2 ) 下的导热量仍可用常物性导热计算式来 计算，只需用平均温度t=(t1+t2)/2 下的平 均导热系数计算即可。
rλ
rh2
传热学第三章稳态导热
返回 15
第二节 通过圆筒壁的导热
一、第一类边界条件下的圆筒壁导热 二、第三类边界条件下的圆筒壁导热 三、临界热绝缘直径
2021/2/12
传热学第三章稳态导热
16
一、第一类边界条件下的圆筒壁导热
1.单层圆筒壁
已知：长圆筒壁 r1、r2、 l ；
λ=const
r=r1 ,t=tw1; r=r2 ,t=tw2 求： (1) Φ=？
第三章 稳态导热
§3-1 通过平壁的导热 §3-2 通过圆筒壁的导热 §3-3 通过球壁的导热 §3-4 接触热阻 §3-5 通过肋片的导热
传热学实验三-对流传热实验2
传热学实验三-对流传热实验2实验三对流传热实验一、实验目的⒈通过对空气—水蒸气光滑套管换热器的实验研究，掌握对流传热系数α1的测定方法，加深对其概念和影响因素的理解。
并应用线性回归分析方法，确定关联式Nu=ARemPr0.4中常数A、m的值。
⒉通过对管程内部插有螺纹管的空气—水蒸气强化套管换热器的实验研究，测定其准数关联式Nu=BRem中常数B、m的值和强化比Nu/Nu0，了解强化传热的基本理论和基本方式。
二、实验装置本实验设备由两组黄铜管（其中一组为光滑管，另一组为波纹管）组成平行的两组套管换热器，内管为紫铜材质，外管为不锈钢管，两端用不锈钢法兰固定。
空气由旋涡气泵吹出，由旁路调节阀调节，经孔板流量计，由支路控制阀选择不同的支路进入换热器。
管程蒸汽由加热釜发生后自然上升，经支路控制阀选择逆流进入换热器壳程，其冷凝放出热量通过黄铜管壁被传递到管内流动的空气，达到逆流换热的效果。
饱和蒸汽由配套的电加热蒸汽发生器产生。
该实验流程图如图1所示，其主要参数见表1。
表1实验装置结构参数实验内管内径di（mm）16.00实验内管外径do（mm）17.92实验外管内径Di（mm）50实验外管外径Do（mm）52.5总管长（紫铜内管）L（m）1.30测量段长度l（m）1.10蒸汽温度空气出口温度空气入口温度蒸汽压力空气压力孔板流量计测量空气流量图1空气-水蒸气传热综合实验装置流程图1—光滑套管换热器；2—螺纹管的强化套管换热器；3—蒸汽发生器；4—旋涡气泵；5—旁路调节阀；6—孔板流量计；7、8、9—空气支路控制阀；10、11—蒸汽支路控制阀；12、13—蒸汽放空口；15—放水口；14—液位计；16—加水口；三、实验内容1、光滑管①测定6～8个不同流速下光滑管换热器的对流传热系数α1。
②对α1的实验数据进行线性回归，求关联式Nu=ARem中常数A、m的值。
2、波纹管①测定6～8个不同流速下波纹管换热器的对流传热系数α1。
中国石油大学热工基础典型问题第三章 理想气体的性质与热力过程
工程热力学与传热学第三章 理想气体的性质与热力过程 典型问题分析一. 基本概念分析1 c p ，c v ，c p -c v ，c p /c v 与物质的种类是否有关，与状态是否有关。
2 分析此式各步的适用条件:3将满足下列要求的理想气体多变过程表示在p-v 图和T-s 图上。
（1） 工质又膨胀，又升温，又吸热的过程。
（2） 工质又膨胀，又降温，又放热的过程。
4 试分析多变指数在 1<n<k 范围内的膨胀过程特点。
二. 计算题分析理想气体状态方程式的应用 1某蒸汽锅炉燃煤需要的标准状况下，空气量为 q V =66000m 3/h ，若鼓风炉送入的热空气温度为t 1=250°C ，表压力 p g1=20.0kPa 。
当时当地的大气压力 p b =101.325kPa 。
求实际的送风量为多少？理想气体的比热容 2在燃气轮机动力装置的回热器中，将空气从150ºC 定压加热到350ºC ，试按下列比热容值计算对每公斤空气所加入的热量。
01 按真实比热容计算；02 按平均比热容表计算（附表2，3）； 03 按定值比热容计算；04 按空气的热力性质表计算（附表4）； 3已知某理想气体的比定容热容c v =a+bt ， 其中a ，b 为常数，试导出其热力学能，焓和熵变的计算式。
理想气体的热力过程 4一容积为 0.15m 3 的储气罐，内装氧气，其初始压力 p 1=0.55MPa ，温度 t 1=38ºC 。
若对氧气加热，其温度，压力都升高。
储气罐上装有压力控制阀，当压力超过 0.7MPa 时，阀门便自动打开，dTm c dHpV U d pV d dU pdV dU WdU Q P ==+=+=+=+=)()(δδ典 型 问 题放走部分氧气，即储气罐中维持的最大压力为 0.7MPa 。
问当罐中氧气温度为 285ºC 时，对罐中氧气共加入了多少热量？设氧气的比热容为定值。
清华大学传热学课件-传热学-3-2
1、无限长直角柱体中的瞬态导热
直角柱体的截面：2x 2y 可以看成是厚度为 2x 和厚度 为 2y 的两块无限大平壁垂直 相交形成的 可以证明：无限长直角柱体 的温度场是这两块无限大平 壁温度场的乘积
可以证明：无限长直角柱体的 温度场是这两块无限大平壁温 度场的乘积（试证明之） （要求初始、边界条件一致）
qw
t f t0 1 1.13 a h
W m2
qw
t w ( ) t0
1.13 a
qw h(t f ( ) t w ( ))
第一类边界条件下，半无限大物体的温度分布：
第三类边界条件下，半无限大物体的温度分布:（略） 例：地下某建筑物，墙厚48cm，F=10m2，=0.815， 加热5个小时后，使墙壁温度升高了18度，问：Q=?
( ) Ae
a 2
X ( x) Be
x
Ce
x
a 2 x x Be Ce ( x, ) X ( x) ( ) Ae 2 1 d 1 d X 若假设： 2 a d X dx2 2 d d X 2 2 a 0 X 0 2 d
3、六面体中的瞬态导热
六面体截面：2L1 2L2 2L3
可以看成是厚度分别为 2L1 、 2L2和 2L3的三块无限大平壁 垂直相交形成的
( x, y, z, ) ( x, ) ( y, ) ( z, ) 0 0 0 0
二维或三维瞬态导热过程中放热量或吸热量计算方法:
实测综 合温度 简谐波
实测数据表明：综合温度的周期性波动规律可以视为 一个简单的简谐波曲线 工程中把环境温度或表面温度的波动概括为简谐振动
二、半无限大物体在周期性变化边界条件下的温度波 1、第一类边界条件下的温度场 半无限大物体：以无限大的 y-z平面为界面，在正 x 方向延伸至无穷远的物体。 Aw Aw 均质半无限大物体导热方程： 0 2
传热学课后题答案
第一章1-3 宇宙飞船的外遮光罩是凸出于飞船船体之外的一个光学窗口，其表面的温度状态直接影响到飞船的光学遥感器。
船体表面各部分的表明温度与遮光罩的表面温度不同。
试分析，飞船在太空中飞行时与遮光罩表面发生热交换的对象可能有哪些？换热方式是什么？ 解：遮光罩与船体的导热遮光罩与宇宙空间的辐射换热1-4 热电偶常用来测量气流温度。
用热电偶来测量管道中高温气流的温度，管壁温度小于气流温度，分析热电偶节点的换热方式。
解：结点与气流间进行对流换热 与管壁辐射换热 与电偶臂导热1-6 一砖墙表面积为12m 2，厚度为260mm ，平均导热系数为 1.5 W/(m ·K)。
设面向室内的表面温度为25℃，而外表面温度为－5℃，确定此砖墙向外散失的热量。
1-9 在一次测量空气横向流过单根圆管对的对流换热试验中，得到下列数据：管壁平均温度69℃，空气温度20℃，管子外径14mm ，加热段长80mm ，输入加热段的功率为8.5W 。
如果全部热量通过对流换热传给空气，此时的对流换热表面积传热系数为？1-17 有一台气体冷却器，气侧表面传热系数95 W/(m 2·K)，壁面厚2.5mm ，导热系数46.5 W/(m ·K)，水侧表面传热系数5800 W/(m 2·K)。
设传热壁可看作平壁，计算各个环节单位面积的热阻及从气到水的总传热系数。
为了强化这一传热过程，应从哪个环节着手。
1-24 对于穿过平壁的传热过程，分析下列情形下温度曲线的变化趋向：(1)0→λδ；(2)∞→1h ；(3) ∞→2h第二章2-1 用平底锅烧水，与水相接触的锅底温度为111℃，热流密度为42400W/m 2。
使用一段时间后，锅底结了一层平均厚度为3mm 的水垢。
假设此时与水相接触的水垢的表面温度及热流密度分别等于原来的值，计算水垢与金属锅底接触面的温度。
水垢的导热系数取为 1 W/(m ·K)。
解： δλtq ∆= 2.238110342400111312=⨯⨯+=⋅+=-λδq t t ℃2-2 一冷藏室的墙由钢皮、矿渣棉及石棉板三层叠合构成，各层的厚度依次为0.794mm 、152mm 及9.5mm ，导热系数分别为45 W/(m ·K)、0.07 W/(m ·K)及0.1 W/(m ·K)。
传热学2-3
传热学 Heat Transfer
h(2 + 2δ ) hP mH = H= H λAc λδ ×1
AL
3 2h 2h 3 2 2 H= H = H = λδ λδH λAL
Ac x
2h
0
φ
纵截面:与热量传递方向平行的面 横截面:与热量传递方向垂直的面
2h 3 2 H 建立关于 η f ~ λAL
& 1 d dt Φ r + = 0; r dr dr λ dt r = 0, = 0; dr r = rw , t = t w
tw r rw
②解
& Φ 2 t= r + c1lnr + c2 4λ
传热学 Heat Transfer
利用两个边界得出圆柱体内的温度分为:
& Φ 2 2 t = tw + rw r 4λ
(
)
t1 r rw
由傅里叶定律可得出壁面处的热流 量:
& Φ = πr lΦ
2 w
由能量守恒法则,可直接得到上式.
传热学 Heat Transfer
二,多维稳态导热问题
实际导热物体中某一个方向的温度变化率远远 大于其它两个方向的变化率时,采用一维模 型. 两个方向或三个方向温度变化率相当时,多维 导热问题. 理论上,同样可以采用数学分析的解法.复杂 的多维导热问题需采用数值解法.对于某些问 题,如果仅计算两个等温面之间的导热量,此 时还可采用形状因子法.
R2 H λ Ac
T0 R3 T∞
(a)从物理角度分析(使tH-> tf 或tH尽量远离t∞) 强化气体与顶端的换热, h 增加 R2以及R3, H ,λ , Ac 管外壁包绝热材料以增加R3
《传热学》第三章 非稳态热传导
第3章 非稳态导热
3-1 非稳态导热基本概念 3-2 零维问题的分析法-集中参数法 3-3 典型一维物体非稳态导热问题的分析解 3-4 半无限大物体的非稳态导热 3-5 简单几何形状物体多维非稳态导热的分析解
3.1 非稳态导热的基本概念
3.1.1 非稳态导热过程及其特点
物体的温度随时间而变化的导热过程为非稳态导 热。 自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t= f(τ) 例：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却； 锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环 境温度；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度。
∂t & ρcp = λ div( grad t ) + φ （3-1a） ∂τ
温度的拉普拉斯算子
∇ 2t
& ∂t φ = a∇ 2t + ∂τ ρcp
（3-1b）
初始条件的一般形式
t ( x, y, z , 0) = f ( x, y, z )
简单特例
f(x,y,z)=t0
边界条件：着重讨论第三类边界条件
∂t −λ ( ) w = h(tw − t f ) ∂n
解的唯一性定理 数学上可以证明，如果某一函数t(x,y,z,τ)满足 方程（3-1a）（3-1b）以及一定的初始和边界条 件，则此函数就是这一特定导热问题的唯一解。 本章所介绍的各种分析法都被认为是满足特定问题 的唯一解。
3.1.3 第三类边界条件下Bi数对平板中 温度分布的影响
第3章 非稳态导热
许多工程实际问题需要确定物体内部的温度场随时间的变化， 或确定其内部温度到达某一限值所需的时间。——非稳态导热 问题 本章讨论非稳态导热问题。首先简述非稳态导热的基本概念， 然后由简单到复杂依次介绍零维问题、一维问题、半无限大物 体以及多维问题的导热微分方程的分析解法。最后总结求解非 稳态导热问题的一般策略以及应用实例。 与稳态导热类似，非稳态导热主要掌握基本概念、确定物体瞬 时温度场的方法和在一段时间间隔内物体所传到热量的计算方 法。
3-传热学-第2章_3月9日
§2-2 导热微分方程式及定解条件（续）
c 内热源的生成热 d 热力学能的增量
E g = Φ d V = Φ d xd yd z
∂t E st = ΔΦ = ρc dxdydz ∂τ
？
把Ein、Eout、Eg、Est 带入前面的能量守恒定律得：
∂t ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ρc (λ ) + (λ ) + (λ ) + Φ = ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
λ a= — 热扩散率（导温系数） [m 2 s] ρc
(2) 无内热源、常物性： (3) 稳态、常物性：
∂t = a∇ 2t ∂τ
=0
物理 意义 ？
λ ∇ 2t + Φ = 0
(4) 稳态、常物性、无内热源：∇ 2t
友情提示：非直角坐标系下的导热微分方程式自己看
In-Class Problems
1 几个基本概念: 温度场、等温面、等温线、温度梯度、热流密度矢量
(1) 温度场： t = f ( x, y, z ,τ ) 三维非稳态温度场： t = f ( x, y, z ,τ )
三维稳态温度场：
二维稳态温度场： 一维稳态温度场：
t = f ( x, y , z ) t = f ( x, y ) t = f (x)
§2-1 导热基本定律（续）
(2) 等温面 (3) 等温线 (4) 等温面和等温线的特点
图2-1 温度场的图示
2 导热基本定律——Fourier Law
对于一维情况， Φ = −λA
dt dx
对于三维直角坐标系情况，有
q x = −λ ∂t ∂x
q y = −λ ∂t ∂y
q z = −λ ∂t ∂z
材料科学工程课程2-3 对流换热
热边界层：靠近壁面温度急剧变化的薄层 。
传热学
对流换热分析 （1）流体流经固体壁面时形成流体边界层，边界层内存 在速度梯度； （2）当形成湍流边界层，在此薄层内流体呈层流流动。 因此在层流内层中，沿壁面的法线方向上没有热对流，该 方向上热的传递仅为流体的热传导。 （3）在湍流主体中，流体质点剧烈混合并 充满了漩涡，湍流主体中的温度差(温度梯度) 极小，各处的温度基本上相同。
传热学
其它推导准数
Ga（Galilei伽利略）准数
2 2 3 2
gl u l gl Ga Fr. Re 2 . 2 2 u Gr（Grashot格拉晓夫）准数 ——浮力与粘性力之比
0 gl gwl Gr Ga. 2 t 2
平均换热系数
h
L
0
1 u 1 hx dx 0.332 Pr 3 L
L
0
dx 1 0.664 Pr 3 Re L 0.5 0.5 x L
Pr 普朗特数， Pr
传热学
3） 相似原理及量纲分析
通过实验求取对流换热的实用关联式，仍然
是传热研究中的一个重要而可靠的手段。然而， 对于存在着许多影响因素的复杂物理现象，要找 出众多变量间的函数关系，实验的次数十分庞大。 为了大大减少实验次数，而且又可得出具有一定 通用性的结果，必须在相似原理指导下进行实验。
3
3
传热学
(4)准数方程 以对流换热过程为例 准数方程的简化
f（Eu、Re、Ho、Fr、Pe、Fo、Nu）=0 Nu =f（Eu、Re、Ho、Fr、Pe、Fo） K 流体运动方程：Eu =f（Re、Ho、Fr） K Pe =Re.Pr K 稳定速度场、稳定温度场： Ho、 Fo K 准数方程的一般形式：Nu =f（Re、Fr、Pr） 自由流动主要是由温差引起 Nu =f（Re、Gr、Pr） K 自然对流：Nu =f（Gr、Pr） 相同流体： Nu =f（Gr） K 强制对流：Nu =f（Re、Pr） 相同流体： Nu =f（Re）
传热学专业英语词汇
Chapter 1 Thermodynamics and Heat Transfer 主要内容1.Concepts:heat (thermal energy)、heat transfer、thermodynamics、total amount of heat transfer、heat transfer rate、heat flux、conduction、convection、radiation2.Equations:1) The first law of thermodynamics (conservation of energy principle)2) Heat balance equation: a) closed system; b) open system (steady-flow)3) Fourier’s law of heat conduction4) Newton’s law of cooling5) Stefan-Boltzmann law主要专业词汇heat transfer 传热、热传递、传热学thermodynamics热力学caloric 热素specific heat 比热mass flow rate 质量流率latent heat 潜热sensible heat 显热heat flux热流密度heat transfer rate热流量total amount of heat transfer总热量conduction导热convection对流radiation辐射thermal conductivity 热导率thermal diffusivity 热扩散率convection/combined heat transfer coefficient 对流/综合换热系数emissivity 发射率absorptivity 吸收率simultaneous heat transfer 复合换热Chapter 2 Heat Conduction Equation主要内容1.Concepts:temperature field、temperature gradient、heat generation、initial condition、boundary condition、steady\transient heat transfer、uniform\nonuniform temperature distribution2.Equations:1) Fourier’s law of heat conduction (§2-1)2) Heat conduction equation (inrectangular\cylindrical\spherical coordinates) (§2-2、§2-3)3) Boundary conditions: (§2-4)a)Specified temperature B. C.b) Specified heat flux B. C. [special case(dt/dx=0):insulation、thermal symmetry];c) Convection B.C.d) Radiation B.C.e) Interface B.C.4) Average thermal conductivity k ave(§2-7)5) Solution of one-dimensional, steady heat conduction inplane walls、cylinders and spheres (k =const)：a) no heat generation, specified B.C.: T(x) or T(r) (§2-5)Q(x) or Q(r), Q=constb) with heat generation, Specified B.C. or Convection B.C. : (§2-6)∆T max=T o-T s= gs2/2nk ; q(x)=gx/n; T s=T + gs/nh characteristic length S, shape factor n:plane walls —s = L (half thickness), n = 1cylinders ——s =r o, n = 2spheres ——s =r o, n =33.Methods: Solve a heat transfer problem1) Mathematical formulation (differential equation & B.C.)2) General solution of equation3) Application of B.C.s4) Unique solution of the problem主要专业词汇temperature field\distribution温度场\分布temperature gradient温度梯度heat generation热生成(热源)initial\boundary condition初始\边界条件transient heat transfer瞬态(非稳态)传热isothermal surface 等温面Heat conduction differential equation 导热微分方程trial and error method试算法iterate迭代convergence 收敛Chapter 3 Steady Heat Conduction主要内容1.Concepts:multilayer\composite wall overall heat transfer coefficient Uthermal resistance R t thermal contact resistance R c critical radius of insulation R crfin efficiency fin effectiveness2.Equations:✓Multiplayer plane wall、cylinders and spheres:✓Fin: fin equation——refer to the attachment.1) Uniform cross-section: refer to the attachment.2) Varying cross-section: refer to the attachment.主要专业词汇thermal resistance热阻parallel 并联in series串联thermal contact resistance 接触热阻composite wall 复合壁面thermal grease 热脂cross-section 横截面temperature execess 过余温度hyperbolic 双曲线的exponent 指数fin 肋(翅)片fin base 肋基fin tip 肋端fin efficiency 肋效率fin effectiveness 肋片有效度Chapter 4 Transient Heat Conduction主要内容1.Concepts:lumped system analysis characteristic length (L c=V/A)Biot number (Bi=hL c /k) Fourier number ( τ = at/L)2.Equations:●Bi≤0, lumped system analysis (§4-1)●Bi>0, Heisler/Grober charts OR analytical expressions1-D：a) infinite large plane walls, long cylinders and spheres (§4-2)b) semi-infinite solids (§4-3)multidimensional: product solution (§4-4)主要专业词汇lumped system analysis 集总参数法characteristic length 特征长度（尺寸）dimension 量纲nondimensionalize 无量纲化dimensionless quantity 无量纲量semi-infinite solid 半无限大固体complementary error function 误差余函数series 级数production solution 乘积解Chapter 5 Numerical Methods in Heat Conduction主要内容1.Concepts:control volume (energy balance) method、finite difference method、discretization、node、space step、time step、mesh Biot number、mesh Fourier number、mirror image concept、explicit/implicit method、stability criterion (primary coefficients ≥0)Numerical error: 1) discretization/truncation error; 2) round-off error2.Methods:Numerical solution:1) Discretization in space and time (∆x, ∆t);2) Build all nodes’finite difference formulations (including interior and boundary nodes);i.Finite difference methodii.Energy balance method (i.e.Control Volume method)3) Solution of nodal difference eqs. of heat conduction;i.Direct method: Gaussian Eliminationii.Iterative method: Gauss-Seidel iteration主要专业词汇control volume 控制容积finite difference有限差分Taylor series expression泰勒级数展开式mirror image concept 镜像法Elimination method 消元法direct/iterative method 直接/迭代方法explicit/implicit method 显式/隐式格式stability criterion 稳定性条件primary coefficients 主系数unconditionally 无条件地algebraic eq. 代数方程discretization/truncation error 离散/截断误差round-off error 舍入误差Chapter 6、7 Forced Convection and NaturalConvection主要内容1.Concepts:Nu、Re、Gr、PrForce/natural convection、external/internal flow、velocity/thermal boundary layerflow regimes、laminar/turbulent flowhydrodynamic/thermal entry region、fully developed regionCritical Reynolds Number (Re c)、hydraulic diameter (D h)、film temperature (T f)、bulk mean fluid temperature (T b)logarithmic mean temperature difference ( T ln)volume expansion coefficient (β= 1/T)effective thermal conductivity (K eff = K Nu)2.Equations:Drag force ：F D = C f AρV2/2Heat transfer rate：Q = hA(T s-T )3．Typical Convection Phenomena:1) Forced convection：external flow——flow over flat plates (§6-4)——flow across cylinders and spheres (§6-5)internal flow——flow in tubes (§6-6)2) Natural convection：flow over surfaces (§7-2)flow inside enclosures (§7-3)主要专业词汇Force/natural convection 自然/强制对流laminar/turbulent flow 层/湍流boundary layer 边界层laminar sublayer 层流底层buffer layer 缓冲层transition region 过渡区flow regimes 流态inertia/viscous force 惯性/粘性力shear stress 剪切应力friction/drag coefficient 摩擦/阻力系数friction factor 摩擦因子dynamic/kinematic viscous 动力/运动粘度wake 尾流stagnation point 滞止点flow separation 流体分离vortex 漩涡rotational motion 环流velocity fluctuation 速度脉动hydrodynamic 水动力学的hydraulic diameter 水力直径fully developed region 充分发展段volume flow rate 体积流量arithmetic/logarithmic mean temperature difference 算术/对数平均温差volume expansion coefficient 体积膨胀系数interferometer 干涉仪asymptotic渐近线的effective thermal conductivity 有效热导率analogical method 类比法integral approach 积分近似法order of magnitude analysis 数量级分析法similarity principle 相似原理Chapter 9 Radiation Heat Transfer主要内容1.Concepts:black body、gray body、diffuse surface、emissive power (E)emissivity (ε)、absorptivity (α)、reflectivity (ρ)、transmissivity (τ) irradiation(G)、radiosity(J)、reradiating(adiabatic) surfaceview factor (F ij)、radiation network、space resistance、surface resistance radiation shieldgas radiation、transparent medium to radiation、absorbing and transmitting mediumws:Blackbody：(1) Plank’s law(2) Stefan-Boltzmann’s law(3) Wien’s displacement lawGraybody：(4) Kirchhoff’s lawActual body：E (T) = εE b(T) = εσT4W/m2Gas：(5) Beer’s law3．Calculation:1) View factor：reciprocity/summation/superposition/symmetry Rulecrossed-strings method2) Radiation heat transfer：Radiation networkOpen system：between two surface (e.g. two large parallel plates) Enclosure：2-surface enclosure；3-surface enclosureRadiation shield主要专业词汇thermal radiation热辐射、quantum theory量子理论、index of refraction 折射系数electromagnetic wave/spectrum 电磁波/波谱、ultraviolet (UV) rays紫外线、infrared (IR) rays 红外线absorptivity 吸收率、reflectivity 反射率、transmissivity 透射率、emissivity (ε) 发射率(黑度)、specular/diffuse reflection 镜反射/漫反射irradiation (incident radiation) 投入辐射、radiosity 有效辐射spectral/directional/total emissive power单色/定向/总辐射力fraction of radiation energy 辐射能量份额(辐射比)、blackbody radiation function 黑体辐射函数view factor 辐射角系数、crossed-strings method交叉线法、reciprocity/summation/superposition/symmetry Rule相互/完整/和分/对称性net radiation heat transfer 净辐射热流量radiation network 辐射网络图、space/surface radiation resistance 空间/表面辐射热阻、reradiating surface重辐射面、adiabatic 绝热的radiation shield遮热板transparent medium to radiation辐射透热体、absorbing and transmitting medium吸收-透过性介质Chapter 10 Heat Exchangers主要内容1.Concepts:heat exchanger type---- double-pipe、compact、shell-and-tube、plate-and-frame、regenerative heat exchangerparallel/counter/cross/multipass flowoverall heat transfer coefficient (U) fouling factor (R f)heat capacity rate capacity rationlog mean temperature difference (ΔT lm)heat transfer effectiveness (ε)number of transfer units (NTU)2.Equations:1) heat balance eq.: Q = C h (T h,in - T h,out)=C c(T c,out - T c,in)2) heat transfer eq.: Q = UAΔT lm( LMTD method)or Q = εQ max = εC min (T h,in ？C T c,in) ( ε-NTU method) 3．Methods:1) LMTD Method：select a heat exchangerKnown: C h、C c、3‘T’Predict: 1‘T’、Q、A2) ε-NTU Method：evaluate the performance of a specified heat exchangerKnown: C h、C c、UA、T h,in、T c,inPredict: Q、T h,out、T c,out主要专业词汇double-pipe/compact/shell-and-tube/plate-and-frame/regenerative heat exchanger套管式/紧凑式/壳管式/板式/蓄热（再生）式换热器parallel/counter/cross/multipass flow 顺流/逆流/叉流/多程流area density 面积密度tube/shell pass 管程/壳程static/dynamic type 静/动态型baffle 挡板header 封头nozzle管嘴guide bar 导向杆porthole 孔口gasket 垫圈lateral 侧面的/横向的fouling factor 污垢因子heat capacity rate 水当量heat transfer effectiveness (ε) 传热有效度number of transfer units (NTU) 传热单元数。
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传热学 Heat Transfer
(2)导热过程分析： (a)温度计感温泡与套管顶端直接接触，因而所 测之值即为x = H处顶端温度 (b)套管四周换热条件一致，因而不同高度x处的 截面上温度均匀(充油以加强这一假设?)。套管 中的导热可以看成是截面积为πdδ的等截面直肋 中的导热
23/51
Φ d
H
0
hPdx t t
H
hP
0
ch[m( H x)] 0 dx ch(mH )
hP 0 th mH m
20/51
传热学 Heat Transfer
21/51
传热学 Heat Transfer
7.应用举例
①温度计套管 (1)问题提出：采用什么样的材 料(铜/钢)作为温度计套管，以 提高测温的准确性？
24/51
传热学 Heat Transfer
H tH t f
t0 t f ch(mH )
tH ch(mH ) t0 tf ch(mH ) 1
(3)算例(2-6，P61)
25/51
传热学 Heat Transfer
(4)如何降低测量误差？ 外界环境温度
R1
R2
TH
H Ac
传热学 Heat Transfer
2.4 通过肋片的导热
1/51
传热学 Heat Transfer 第三类边界条件下通过平壁的一维稳态导热：
Φ
1 1 h1 A A h2 A
tf1 tf 2
W
为了增加传热量，可以采取哪些措施?
（1）增加温差（tf1 - tf2），但受工艺条件限制 （2）减小热阻： a) 金属壁一般很薄( 很小)、热导率很大，故导热热阻一般可忽略 b) 增大h1、h2，但提高h1、h2并非任意的 c) 增大换热面积 A 也能增加传热量
x
求解：这个问题可以从两个方面入手：
a b 导热微分方程，例如教材第59页 能量守恒＋Fourier law
8/51 q
传热学 Heat Transfer
3.数学描写(a方法)
G. Eq : d 2t Φ 0 2 dx λ
h，t∞ δ
dx
BC :
dt x 0, t t0 ; x H , 0 dx
0
H
L x
②宽度L >> and H 肋片
长度方向温度均匀 L = 1 3D -> 2D
y z x qx
③ 大、 << H，认为温度沿 厚度方向均匀 2D -> 1D
7/51
传热学 Heat Transfer h，t∞
④肋片顶端可以认为是绝热
dt dx
xH
δ
dx
0
t0
0
H
y z x qx
Tf
1 h
T0
R3
T
(a)从物理角度分析(使tH-> tf 或tH尽量远离t∞)
强化气体与顶端的换热， h 增加 R2以及R3， H ,λ ， Ac 管外壁包绝热材料以增加R3
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传热学 Heat Transfer
(b)从数学角度分析
H tH t f
t0 t f ch(mH )
11/51
传热学 Heat Transfer
b方法
能量守恒：
Φx Φxdx Φd
dt Fourier 定律：Φx Ac dx
Φxdx
dΦx d 2t Φx dx Φx Ac dx 2 dx dx
Newton冷却公式： Φd h( Pdx )(t t )
hP h d h mH H H H Ac d
增加 mH， H ,λ , δ , h θ0 ，保温
27/51
传热学 Heat Transfer
五、肋效率与肋面总效率
1.为什么引入肋效率概念？
对于不同形状的肋片，如何快速计算每一个肋片 的热量非常重要，而利用前述公式复杂。为了工 程计算，引入肋效率的概念，表示肋片散热的有 效程度
x 0
x 0
sh mH Ac 0 m ch(mH )
th mH
2
Ac 0 mth mH
Ac 0
hP m Ac
hP 0 th mH m
19/可得
2.定义
实际散热量 Φ f 设肋片处于肋根温度t0时的散热量 Φ0
28/51
传热学 Heat Transfer
3.等截面直肋
hP 0 th mH m f
0
0 h t0 t Pdx hP 0 H
0
H
th mH f mH
29/51
传热学 Heat Transfer
o
A1 f A2 A1 A2
肋面总效率 34/51
传热学 Heat Transfer
六、接触热阻(contact resistance) 两固体互相接触时， 由于表面粗糙度的影响，不 可能是理想的组合，会成为 如图所示的情况。 此时的导热机制如下： 1. 接触处的热阻 Rs 2. 间隙中流体的导热热阻 R f 3. 间隙中的辐射传热 Rr 故接触热阻为上述几个热阻之并联,有:
33/51
传热学 Heat Transfer
8.肋面总效率 肋侧总面积
Ao A1 A2
hi Ai (t f 1 twi )
Ai t wi t wo
ho A1 (two t fo )
ho f A2 (two t fo ) hoo Ao (two t fo )
d x 0, 0 ; x H , 0 dx
13/51
传热学 Heat Transfer
6.二阶齐次常微分方程的解
①温度分布
C1e C2e
mx
mx
利用两个边界条件，可得到两个未知常数 C1和 C2, 最后，肋片中的温度分布为
t t ch[m( H x)] 0 t0 t ch(mH )
4/51
传热学 Heat Transfer
二、肋片的分类
5/51
传热学 Heat Transfer
三、主要研究问题
1.通过肋片散热的热流量 2.肋片上的温度分布
四、通过等截面直肋导热的分析和计算
6/51
传热学 Heat Transfer
1.物理问题
2.假设简化
h，t∞ δ
dx
①肋片的λ，h均为常数， t0 厚度均匀，等截面直肋
1.1D, steady,uniform internal heat source，λ=const， I BC
①数学描写
dt Φ / 0 2 dx x 0, t t1
2
t1
Φ
0
δ
t2
x , t t2
x
②解：对微分方程积分两次，得微分方程的通解
2 Φ t x C1 x C2 2
tc
x
36/51
传热学 Heat Transfer
例题2－8
37/51
传热学 Heat Transfer
2.5 稳态导热的其它情形
一、具有内热源的导热问题 1.应用背景
2 I R ①导线通电发热 Φ 2 W m3 r L
②化学反应 ③核反应堆燃料元件发热
38/51
传热学 Heat Transfer
H x
4.源项处理
0
①通过上下两个表面不断向周围散热。可以把它们 看成是一个负的内热源。
9/51
传热学 Heat Transfer
②内热源强度的确定： 对肋高方向 dx 的微元段进行分 析。设横截面积为Ac ，肋片参与 换热的截面周长为P。
P
δ
dx
y z x qx
Ac
q y+dy
通过上下表面散失的热量
传热学 Heat Transfer
4.可以证明对环肋、三角形肋及其它形状的 肋片的肋效率均为 2h H 3 2 的函数
AL
5.为了考虑肋端散热对φ的影响，采用等效肋高H′ 代替H查图
等截面直肋： H ' H 2 环肋： H ' H 2
三角形肋： H ' H
针肋： H ' H D 4
1 1 1 1 R Rs Rf Rr
流体
35/51
传热学 Heat Transfer
说明: 1.这里没有考虑对流传热,这是因为空间很小, 对流难以展开。 2.接触(面)处的温度分布是三维的,热流密度 是三维的。 接触热阻的定义:
tc R q
t
<1> 确定方法: 靠实验(理 论上 确定很困难) <2> 减少措施-----加一层铜片或热的良导体,或涂 料。
传热学 Heat Transfer
(c)套管顶端与周围环境发生以下三种热量交换方式
从顶端向根部(或相反)的导热
从套管外表面向筒身的辐射换热
从气体向套管外表面的对流换热
设tf温度比外界环境温度高，则套管顶端从流体吸收 热量，一部分向根部导热传递，一部分向筒身辐射 传递，因此 tH < tf , 即存在测温误差，该偏差即是 顶端的过余温度
39/51
传热学 Heat Transfer
利用两个边界条件
x 0, t t1 x , t t2
c2 t1
t1
t2
Φ
0 δ x
Φ c1 (t 2 t1 ) / 2