00年考研数学一真题及答案
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,
故 。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用
(16)（本题满分12分）
设数列 满足 .
( )证明 存在，并求该极限；
( )计算 .
【解析】
本题数列是由递推关系给出的，通常用单调有界准则证明极限存在，并求出极限，第二问转化为函数的极限来求解。
(I)用归纳法证明 单调减且有下界：
【方法一】
因为 线性相关，故存在不全为零的数 使得
从而有
即 由于 不全为0而是上式成立，说明 线性相关。
【方法二】
利用秩来求解，利用分块矩阵有
那么
因为 线性相关，有
从而 故 线性相关。
综上所述，本题正确答案是A
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩
(12)设 为三阶矩阵，将 的第2行加到第1行的 ，再将 的第1列的 倍加到第2列得 ，记 ，则
【答案】 。
【解析】
点到平面的距离公式：
其中 为点的坐标， 为平面方程
所以
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】高等数学—向量代数和空间解析几何—点到平面和点到直线的距离
(5)设矩阵 ， 为二阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 ___________。
【答案】2。
【解析】
因为 ，所以 。
综上所述，本题正确答案是 。
原式等价于
（两边积分）
即 ， 为任意常数
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程
(3)设 是锥面 的下侧，则 。
【答案】 。
【解析】
设 ，取上侧，则
而
0
所以
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算
(4)点(2,1,0)到平面 的距离 。
由于
则由 知， 设 则
所以 单调减且有下界，故极限
存在。
记 由 知 所以， 即 。
(II)由于 所以，考虑函数极限
又
则 故
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算、单调有界准则
(17)（本题满分12分）
将函数 展成 的幂级数
【解析】
则
即
而
故
【考点】高等数学—无穷级数—初等函数的幂级数展开式
【考点】高等数学—无穷级数—收敛级数的和的概念
(10)设 与 均为可微函数，且 。已知 是 在约束条件 下的一个极值点，下列选项正确的是
(A)若 ，则
(B)若 ，则
(C)若 ，则
(D)若 ，则
【答案】D。
【解析】
本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法。
作拉格朗日函数 并记对应 的参数 的值为 则 即
2006年考研数学一真题
一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。）
(1) 。
【答案】2。
【解析】
等价无穷小代换：
当 时，
所以
综上所述，本题正确答案是2。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较
(2)微分方程 的通解为_Biblioteka Baidu________。
【答案】 ， 为任意常数。
【解析】
(14)设随机变量 服从正态分布 服从正态分布 且 则必有
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A。
【解析】
由于 与 的分布不同，不能直接判断 和 的大小与参数的关系，将其标准化，就可以方便比较。
随机变量 且其概率密度函数为偶函数，故
同理 。
因为 是单调增函数，当 时，
即 所以 即 。
综上所述，本题正确答案是A
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—正态分布及应用
三、解答题（15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
(15)（本题满分10分）
设区域 ，计算二重积分 .
【解析】
本题需要用到二重积分的对称性，又因为积分区域为圆域的一部分，所以化为极坐标下的累次积分来求解。
积分区域 如图所示，因为区域 关于 轴对称，函数 是变量 的偶函数，函数 是变量 的奇函数，则
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B。
【解析】
按已知条件，用初等矩阵描述有
所以 。
综上所述，本题正确答案是B
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
(13)设 为随机事件，且 ,则必有
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C。
【解析】
由 ，得到 ，又已知
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—条件概率，概率的基本公式
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质
线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
(6)设随机变量 与 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布，则 ___________。
【答案】 。
【解析】
本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。
事件 又根据 相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出
(C) (D)
【答案】A。
【解析】
【方法一】
由函数 单调上升且凹，根据 和 的几何意义，得如下所示的图
由图可得
【方法二】
由凹曲线的性质，得 ，于是 ，即
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义
(8)设 为连续函数，则 等于
(A) (B)
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布
二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(7)设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在点 处的增量， 与 分别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C。
【解析】
如图所示，显然是 型域，则原式
综上所述，本题正确答案是C
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算
(9)若级数 收敛，则级数
(A) 收敛(B) 收敛
(C) 收敛(D) 收敛
【答案】D。
【解析】
由 收敛知 收敛，所以级数 收敛。
综上所述，本题正确答案是D。
(18)（本题满分12分）
设函数 在 内具有二阶导数，且 满足等式
( )验证 ；
( )若 ，求函数 的表达式。
【解析】本题主要考查复合函数偏导数的求解。
(I)设 则
,
,
,将 代入 得 。
(II)令 则 两边积分得：
消去 得
整理得：
,
若 则
综上所述，本题正确答案是D
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二元函数的极限
(11)设 均为 维列向量， 是 矩阵，下列选项正确的是
(A)若 线性相关，则 线性相关
(B)若 线性相关，则 线性无关
(C)若 线性无关，则 线性相关
(D)若 线性无关，则 线性无关
【答案】A。
【解析】
故 。
【考点】高等数学—多元函数积分学—二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用
(16)（本题满分12分）
设数列 满足 .
( )证明 存在，并求该极限；
( )计算 .
【解析】
本题数列是由递推关系给出的，通常用单调有界准则证明极限存在，并求出极限，第二问转化为函数的极限来求解。
(I)用归纳法证明 单调减且有下界：
【方法一】
因为 线性相关，故存在不全为零的数 使得
从而有
即 由于 不全为0而是上式成立，说明 线性相关。
【方法二】
利用秩来求解，利用分块矩阵有
那么
因为 线性相关，有
从而 故 线性相关。
综上所述，本题正确答案是A
【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关，向量组的秩
(12)设 为三阶矩阵，将 的第2行加到第1行的 ，再将 的第1列的 倍加到第2列得 ，记 ，则
【答案】 。
【解析】
点到平面的距离公式：
其中 为点的坐标， 为平面方程
所以
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】高等数学—向量代数和空间解析几何—点到平面和点到直线的距离
(5)设矩阵 ， 为二阶单位矩阵，矩阵 满足 ，则 ___________。
【答案】2。
【解析】
因为 ，所以 。
综上所述，本题正确答案是 。
原式等价于
（两边积分）
即 ， 为任意常数
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程
(3)设 是锥面 的下侧，则 。
【答案】 。
【解析】
设 ，取上侧，则
而
0
所以
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算
(4)点(2,1,0)到平面 的距离 。
由于
则由 知， 设 则
所以 单调减且有下界，故极限
存在。
记 由 知 所以， 即 。
(II)由于 所以，考虑函数极限
又
则 故
【考点】高等数学—函数、极限、连续—极限的四则运算、单调有界准则
(17)（本题满分12分）
将函数 展成 的幂级数
【解析】
则
即
而
故
【考点】高等数学—无穷级数—初等函数的幂级数展开式
【考点】高等数学—无穷级数—收敛级数的和的概念
(10)设 与 均为可微函数，且 。已知 是 在约束条件 下的一个极值点，下列选项正确的是
(A)若 ，则
(B)若 ，则
(C)若 ，则
(D)若 ，则
【答案】D。
【解析】
本题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法。
作拉格朗日函数 并记对应 的参数 的值为 则 即
2006年考研数学一真题
一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。）
(1) 。
【答案】2。
【解析】
等价无穷小代换：
当 时，
所以
综上所述，本题正确答案是2。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较
(2)微分方程 的通解为_Biblioteka Baidu________。
【答案】 ， 为任意常数。
【解析】
(14)设随机变量 服从正态分布 服从正态分布 且 则必有
(A) (B)
(C) (D)
【答案】A。
【解析】
由于 与 的分布不同，不能直接判断 和 的大小与参数的关系，将其标准化，就可以方便比较。
随机变量 且其概率密度函数为偶函数，故
同理 。
因为 是单调增函数，当 时，
即 所以 即 。
综上所述，本题正确答案是A
【考点】概率论与数理统计—随机变量及其分布—正态分布及应用
三、解答题（15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
(15)（本题满分10分）
设区域 ，计算二重积分 .
【解析】
本题需要用到二重积分的对称性，又因为积分区域为圆域的一部分，所以化为极坐标下的累次积分来求解。
积分区域 如图所示，因为区域 关于 轴对称，函数 是变量 的偶函数，函数 是变量 的奇函数，则
(A) (B)
(C) (D)
【答案】B。
【解析】
按已知条件，用初等矩阵描述有
所以 。
综上所述，本题正确答案是B
【考点】线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
(13)设 为随机事件，且 ,则必有
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C。
【解析】
由 ，得到 ，又已知
综上所述，本题正确答案是C。
【考点】概率论与数理统计—随机事件和概率—条件概率，概率的基本公式
【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质
线性代数—矩阵—矩阵的线性运算
(6)设随机变量 与 相互独立，且均服从区间 上的均匀分布，则 ___________。
【答案】 。
【解析】
本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。
事件 又根据 相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出
(C) (D)
【答案】A。
【解析】
【方法一】
由函数 单调上升且凹，根据 和 的几何意义，得如下所示的图
由图可得
【方法二】
由凹曲线的性质，得 ，于是 ，即
综上所述，本题正确答案是A。
【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义
(8)设 为连续函数，则 等于
(A) (B)
综上所述，本题正确答案是 。
【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布
二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。）
(7)设函数 具有二阶导数，且 ， 为自变量 在点 处的增量， 与 分别为 在点 处对应的增量与微分，若 ，则
(A) (B)
(C) (D)
【答案】C。
【解析】
如图所示，显然是 型域，则原式
综上所述，本题正确答案是C
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计算
(9)若级数 收敛，则级数
(A) 收敛(B) 收敛
(C) 收敛(D) 收敛
【答案】D。
【解析】
由 收敛知 收敛，所以级数 收敛。
综上所述，本题正确答案是D。
(18)（本题满分12分）
设函数 在 内具有二阶导数，且 满足等式
( )验证 ；
( )若 ，求函数 的表达式。
【解析】本题主要考查复合函数偏导数的求解。
(I)设 则
,
,
,将 代入 得 。
(II)令 则 两边积分得：
消去 得
整理得：
,
若 则
综上所述，本题正确答案是D
【考点】高等数学—多元函数微积分学—二元函数的极限
(11)设 均为 维列向量， 是 矩阵，下列选项正确的是
(A)若 线性相关，则 线性相关
(B)若 线性相关，则 线性无关
(C)若 线性无关，则 线性相关
(D)若 线性无关，则 线性无关
【答案】A。
【解析】