00年考研数学一真题及答案

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考研数学一解答题专项强化真题试卷40(题后含答案及解析)

考研数学一解答题专项强化真题试卷40(题后含答案及解析)题型有：1.1．(2013年)已知y1=e3x—xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=____________．正确答案：C1ex+C2e3x—xe2x．解析：由题设知y1一y3=e3x，y2一y3=ex为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为y=C1ex+C2e3x—xe2x．知识模块：常微分方程2．(2014年)设数列{an}，{bn}满足cosan一an=cosbn且级数收敛。

(I)证明(Ⅱ)证明级数收敛。

正确答案：(I)由cosan一an=cosbn及可得，0n=cosan一cosbn因为在上，cosx 为减函数，所以由于级数收敛，所以级数也收敛，由级数收敛的必要条件可得(Ⅱ)由于所以由于级数收敛，由正项级数的比较判别法可知级数收敛。

涉及知识点：级数3．(91年)求(x2+y2+z)dv，其中Ω是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围成的立体．正确答案：利用柱坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，z=z，dv=rdrdθdz，则涉及知识点：高等数学4．(00年)计算曲线积分其中L是以点(1，0)为中心、R为半径的圆周(R＞1)取逆时针方向．正确答案：作椭圆C：4x2+y2=δ2 (C取逆时针方向，δ是足够小的正数，使4x2+y2=δ2全含在L内)．由格林公式知其中S为椭圆域4x2+y2≤δ2的面积涉及知识点：高等数学5．(01年)计算I=(y2一z2)dx+(2z2一x2)dy+(3x2一y2)dz，其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向．正确答案：记S为平面x+y+z=2上L所围成部分的上侧，D为S在xOy坐标面上的投影，由斯托克斯公式得涉及知识点：高等数学6．(12年)设(I)计算行列式|A|；(Ⅱ)当实数a为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解．正确答案：(I)按第1列展开，得|A|=1+a(-1)4+1a3=1-a4．(Ⅱ)若方程组Ax=β有无穷多解，则|A|=0．由(I)得a=1或a=一1．当a=1时，对增广矩阵作初等行变换：可见r(A)≠r(A|β)，故方程组Ax=β无解；当a=一1时，对增广矩阵作初等行变换：可见r(A)=r(A|β)=3＜4，故方程组Ax=β有无穷多解，其通为涉及知识点：线性代数7．计算，其中f(x)=。

(1987-2016)历年考研数学一真题及答案

ˆπ 2
ˆ 2(1+cosθ)
x dxdy = dθ
r cosθ · r dr
D
ˆ−
π 2
2
π(
)
= 16 2 cos2θ + cos3θ + 1 cos4θ dθ
(0
3 )
1π 2 131π
= 16 · + + · · ·
22 3 3422
32 = + 5π.
3
16.（本题满分 10 分）
设函数 y(x) 满足方程 y′′ + 2y′ + ky = 0, 其中 0 < k < 1.
2
设矩阵 A = 2 a 1 , B = 1
2 a ,
−1 1 a
−a − 1 −2
当 a 为何值时, 方程 AX = B 无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时, 求此方程.
1 −1 −1 2 2
1 −1 −1 2
2
解 (A | B) = 2 a 1
1
a → 0 a + 2 3 −3 a − 4
(3)
由 (1) 式知, 当 n → ∞ 时, xn+1 − xn → 0, 即 F (xn) → 0. 结合 (2) (3) 式知 xn → ξ. 即 lim xn ∈ (1, 2) ⊂ (0, 2).
n→∞
数学（一）试题及解答 · 第 4 页（共 7 页）
20.（本题满分 11 分）
1 −1 −1
[A]
1 (A) −2 .
1 (B) −3 .
1 (C) .
3
1 (D) −2 .
二、填空题：9 ∼ 14 小题, 每小题 4 分, 共 24 分.

2006年考研数学一真题与答案

2006年考研数学一真题一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。

）(1)。

【答案】2。

【解析】等价无穷小代换：当时，所以综上所述，本题正确答案是2。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)微分方程的通解为__________。

【答案】，为任意常数。

【解析】原式等价于（两边积分）即，为任意常数综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—常微分方程—一阶线性微分方程(3)设是锥面的下侧，则。

【答案】。

【解析】设，取上侧，则而所以综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲面积分的概念、性质及计算(4)点(2,1,0)到平面的距离。

【答案】。

【解析】点到平面的距离公式：其中为点的坐标，为平面方程所以综上所述，本题正确答案是。

【考点】高等数学—向量代数和空间解析几何—点到平面和点到直线的距离(5)设矩阵，为二阶单位矩阵，矩阵满足，则___________。

【答案】2。

【解析】因为，所以。

综上所述，本题正确答案是。

【考点】线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质线性代数—矩阵—矩阵的线性运算(6)设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则___________。

【答案】。

【解析】本题考查均匀分布，两个随机变量的独立性和他们的简单函数的分布。

事件又根据相互独立，均服从均匀分布，可以直接写出综上所述，本题正确答案是。

【考点】概率论—多维随机变量的分布—二维随机变量的分布二、选择题（7~14小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(7)设函数具有二阶导数，且，为自变量在点处的增量，与分别为在点处对应的增量与微分，若，则(A) (B)(C) (D)【答案】A。

【解析】【方法一】由函数单调上升且凹，根据和的几何意义，得如下所示的图由图可得【方法二】由凹曲线的性质，得，于是，即综上所述，本题正确答案是A。

2000年考研数学一真题及答案解析

2000年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)⎰=_____________.(2)曲面2222321x y z ++=在点(1,2,2)--的法线方程为_____________. (3)微分方程30xy y '''+=的通解为_____________.(4)已知方程组12312112323120x a x a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦无解,则a = _____________. (5)设两个相互独立的事件A 和B 都不发生的概率为19,A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相等,则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 、()g x 是恒大于零的可导函数,且()()()()0f x g x f x g x ''-<,则当a x b <<时,有(A)()()()()f x g b f b g x > (B)()()()()f x g a f a g x >(C)()()()()f x g x f b g b >(D)()()()()f x g x f a g a >(2)设22221:(0),S x y z a z S ++=≥为S 在第一卦限中的部分,则有 (A)14SS xdS xdS =⎰⎰⎰⎰(B)14SS ydS xdS =⎰⎰⎰⎰(C)14SS zdS xdS =⎰⎰⎰⎰(D)14SS xyzdS xyzdS =⎰⎰⎰⎰(3)设级数1nn u∞=∑收敛,则必收敛的级数为(A)1(1)nn n un ∞=-∑(B)21nn u∞=∑(C)2121()n n n uu ∞-=-∑(D)11()nn n uu ∞+=+∑(4)设n 维列向量组1,,()m m n <ααL 线性无关,则n 维列向量组1,,m ββL 线性无关的充分必要条件为(A)向量组1,,m ααL 可由向量组1,,m ββL 线性表示 (B)向量组1,,m ββL 可由向量组1,,m ααL 线性表示(C)向量组1,,m ααL 与向量组1,,m ββL 等价 (D)矩阵1(,,)m =A ααL 与矩阵1(,,)m =B ββL 等价(5)设二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,则随机变量X Y ξ=+与 X Y η=-不相关的充分必要条件为(A)()()E X E Y =(B)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y -=-(C)22()()E X E Y =(D)2222()[()]()[()]E X E X E Y E Y +=+三、(本题满分6分)求142e sin lim().1exx xxx→∞+++四、(本题满分5分)设(,)()x x z f xy g y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数,求2.zx y∂∂∂五、(本题满分6分)计算曲线积分224L xdy ydx I x y -=+⎰Ñ,其中L 是以点(1,0)为中心,R 为半径的圆周(1),R >取逆时针方向.六、(本题满分7分)设对于半空间0x >内任意的光滑有向封闭曲面,S 都有2()()e 0,xSxf x dydz xyf x dzdx zdxdy --=⎰⎰Ò其中函数()f x 在(0,)+∞内具有连续的一阶导数,且0lim ()1,x f x +→=求()f x .七、(本题满分6分) 求幂级数113(2)nn nn x n ∞=+-∑的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.八、(本题满分7分)设有一半径为R 的球体0,P 是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到0P 距离的平方成正比(比例常数0k >),求球体的重心位置.九、(本题满分6分)设函数()f x 在[0,]π上连续,且()0,()cos 0.f x dx f x xdx ππ==⎰⎰试证:在(0,)π内至少存在两个不同的点12,,ξξ使12()()0.f f ξξ==十、(本题满分6分)设矩阵A 的伴随矩阵*10000100,10100308⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A 且113--=+ABA BA E ,其中E 为4阶单位矩阵,求矩阵B .十一、(本题满分8分)某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n 年1月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为n x 和,n y 记成向量.n n x y ⎛⎫⎪⎝⎭(1)求11n n x y ++⎛⎫⎪⎝⎭与n n x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的关系式并写成矩阵形式:11.n n n n x x y y ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A(2)验证1241,11-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ηη是A 的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值. (3)当111212x y ⎛⎫⎪⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭时,求11.n n x y ++⎛⎫⎪⎝⎭十二、(本题满分8分)某流水线上每个产品不合格的概率为(01)p p <<,各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时即停机检修.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X ,求X 的数学期望()E X 和方差()D X .十三、(本题满分6分)设某种元件的使用寿命X 的概率密度为2()2e (;)0x x f x x θθθθ-->⎧=⎨≤⎩,其中0θ>为未知参数.又设12,,,n x x x L 是X 的一组样本观测值,求参数θ的最大似然估计值.。

2001年考研数学一试题答案与解析

（C）曲线
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩z
= y
f (x,
=0
y)
在点
(0,
0,
f
(0,
0))
的切向量为
{1,
0,
3}
。
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（
D
）
曲
线
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩z
= y
f (x,
=0
y)
在
点
(0, 0,
可判定正确选项。详解由 y = f (x) 的图形可知，当 x < 0 时， f (x) 单调增加，
从而 f ' (x)> 0 ，所以选项(A)、(C)可以排除，此外由 y = f (x) 的图形可知，在
x > 0 部分 f ' (x)有两个零点，在较小的零点左侧， y = f (x) 单调增加，因此
令 ε = 2, DX = 2 ，则 P{ X − E ( X ) ≥ 2} ≤ D( X )/ 22 = 1 。
2 由于多年以来一直未靠过切比雪夫不等式或极限定理中有关的内容，可能有不少考生在复习时未予重视，从而对此看来十分简单的填空，一片茫然。束手无策。本题难度值为0.60，区分度为0.44，属于第Ⅴ类试题。
二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分)
（1）设函数 f (x) 在定义域内可导， y = f (x) 的图形如下图所示，则导函数
y = f ' (x)的图形为
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2001考研数学一试题及答案解析

fpg 2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题( 本题共 5 小题,每小题 3 分,满分15 分.把答案填在题中横线上.)( 1) 设xy e (C sin x C cosx) ( C1,C2 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程の通1 2解,则该方程为_____________.( 2) 设 2 y z2 2r ,则div ( grad r) (1, 2,2 ) =_____________.x( 3) 交换二次积分の积分次序: 0 1 ydy f (x, y)dx＝_____________.1 2( 4) 设矩阵A满足 2 4 0A A E ,其中E 为单位矩阵,则1( A E) =_____________.( 5) 设随机变量Xの方差是2 ,则根据切比雪夫不等式有估计P{ X E(X)2}y_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)O ( 1) 设函数 f (x) 在定义域内可导, y f (x) の图形如右图所示,x 则y f (x)の图形为( 2) 设f (x, y) 在点(0,0) 附近有定义,且f x (0,0) 3, f ( 0,0) 1,则y( A ) d| 3dx dy.z (0,0)( B ) 曲面z f (x, y) 在(0,0, f (0,0)) 处の法向量为{3,1,1}.fpgfpg( C) 曲线z fy(x,y)在(0,0, f (0,0)) 处の切向量为{1,0,3}.( D)曲线z fy(x,y)在(0,0, f (0,0)) 处の切向量为{3,0,1}.( 3) 设f (0) 0,则f (x) 在x=0 处可导の充要条件为( A )1lim f (1 cosh)2h 0h存在. ( B)1hlim f (1 e )h 0h存在.( C)1lim f (h sinh)2h 0h存在. ( D)1lim [ f (2 h) f (h)]h0 h存在.1 1 1 1 4 0 0 0( 4) 设1 1 1 1 0 0 0 0A ,B,则A 与B1 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 0( A ) 合同且相似. ( B) 合同但不相似.( C) 不合同但相似. ( D) 不合同且不相似.( 5) 将一枚硬币重复掷n 次,以X 和Y 分别表示正面向上和反面向上の次数, 则X 和Y の相关系数等于( A ) -1. ( B ) 0. ( C) 12. ( D) 1.三、( 本题满分 6 分 )xarctan e求dx2xe. 四、( 本题满分 6 分 )设函数z f (x, y) 在点(1,1)处可微,且 f (1,1) 1, fx| 2(1,1)f,| 3y, (x) f (x,df (x, x)) .求x 13( )xdx.五、( 本题满分8 分 ) fpgfpg设f (x) =2x1 x arctan x, x 0,1, x 0,将f (x) 展开成xの幂级数,并求级数n 1(1n1)24nの和.六、( 本题满分7 分 )2 2 2 2 2 2计算I y z dx z x dy x y dz( ) (2 ) (3 )L,其中L 是平面x y z 2 与柱面x y 1の交线,从Z轴正向看去, L 为逆时针方向.七、( 本题满分7 分 )设 f (x) 在( 1,1)内具有二阶连续导数且 f (x) 0,试证:(1) 对于( 1,1)内の任一x 0,存在惟一の(x) ( 0,1) ,使 f ( x) = f (0) + xf ( (x)x) 成立;(2)1 lim (x) . x 02八、( 本题满分8 分 )设有一高度为h(t ) ( t 为时间) の雪堆在融化过程,其侧面满足方程2 22(x y )z h(t ) ( 设h(t)长度单位为厘米,时间单位为小时) ,已知体积减少の速率与侧面积成正比( 比例系数为0.9) ,问高度为130 ( 厘米) の雪堆全部融化需多少小时?九、( 本题满分 6 分 )设 1 , 2 , , s 为线性方程组Ax 0の一个基础解系, 1t1 1 t2 2 , 2 t1 2 t2 3, ,s t s t ,其中t1,t2 为实常数.试问t1,t2 满足什么条件时, 1, 2, , s 也为Ax 0 の一个1 2 1基础解系.十、( 本题满分8 分 )已知 3 阶矩阵 A 与三维向量x,使得向量组 2 23 3 2 .x, Ax, A x线性无关,且满足 A x Ax A x2( 1) 记P =（x, Ax, A x）,求3 阶矩阵B ,使1 A PBP ;( 2) 计算行列式 A E .fpgfpg 十一、( 本题满分7 分)设某班车起点站上客人数X 服从参数为( 0 ) の泊松分布,每位乘客在中途下车の概率为p( 0 p 1) ,且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车の人数,求:( 1) 在发车时有n个乘客の条件下,中途有m 人下车の概率;( 2) 二维随机变量(X,Y)の概率分布.十二、( 本题满分7 分)设总体X 服从正态分布N( , 2 ) ( 0 ) , 从该总体中抽取简单随机样本X1 ,X2 , , X2n ( n 2 ), 其样本均值为X12n2ni 1X Y,求统计量iin12( X i X 2X)のn i数学期望E(Y ) .2001 年考研数学一试题答案与解析一、填空题( 1) 【分析】由通解の形式可知特征方程の两个根是r1,r2 1 i ,从而得知特征方程为2 2(r r )(r r ) r (r r )r rr r 2r 2 0 .1 2 1 2 1 2由此,所求微分方程为'' 2 ' 2 0y y y .( 2) 【分析】先求grad r .grad r= r , r , r x , y , zx y z r r r .x y z再求div grad r= ( ) ( ) ( )x r y r z r=2 2 2 2 2 21 x 1 y 1 z 3 x y z2 ( ) ( ) ( )3 3 3 3r r r r r r r r r.fpgfpg于是div grad r|2 2 (1, 2,2) = |(1, 2,2)r 3.( 3) 【分析】这个二次积分不是二重积分の累次积分,因为 1 y 0 时1 y2 .由此看出二次积分0 2dy f (x, y) dx是二重积分の一个累次1 1 y积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为0 2dy f ( x, y )dx f (x, y) dxdy .1 1 yD由累次积分の内外层积分限可确定积分区域 D :1 y 0,1 y x2 .见图.现可交换积分次序原式= 0 2 2 0 2 1 xdy f (x, y) dx dx f ( x, y)dy dx f (x, y)dy.1 1 y 1 1 x 1 0( 4) 【分析】矩阵A の元素没有给出,因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆の路均堵塞.应当考虑用定义法.因为 2( A E)( A 2E) 2E A A 4E 0 ,故( A E)( A 2E) 2E ,即A 2E( A E) E .2按定义知 1 1( A E) (A2E) .2( 5) 【分析】根据切比雪夫不等式D(x)P{ X E( X ) } ,2于是D(x) 1 P{ X E(X)2} .22 2二、选择题( 1) 【分析】当x 0 时, f (x) 单调增 f ' (x) 0,( A ) ,( C) 不对;当x 0 时, f ( x) :增——减——增f x :正——负——正,( B) 不对,( D)对.'( )'( )应选( D).fpgfpg( 2) 【分析】我们逐一分析 .关于 ( A ) ,涉及可微与可偏导の关系 .由 f (x, y) 在(0,0)存在两个偏导数f (x, y) 在(0,0)处可微.因此 ( A) 不一定成立 .关于 ( B) 只能假设f (x, y) 在(0,0)存在偏导数f (0,0)f (0,0),xy,不保证曲面 z f ( x, y) 在(0,0, f (0,0)) 存在切平面 .若存在时 ,法向量 n=f (0,0)f (0,0)，，1 {3,1,-1}与{3,1,1}不x y共线,因而( B) 不成立 .x t ,y 0,它在点(0,0, f (0,0)) 处の切向量为关于 ( C) ,该曲线の参数方程为zf ( t ,0),d'{t ',0,f (t ,0)}| t{ 1,0, f x (0,0)}{1,0,3}dt.因此,( C) 成立 .( 3) 【分析】当f (0) 0时,'f(0) limx 0f (x)f (x) f (x) limlimx 0 x 0 xxx.关于 ( A) :1f (1 cos h ) 1 cos h 1 f (t) limf (1 cos h ) lim t 1 cos h lim22h 0h 0th1 cos hh2 t, 由此可知1limf (1 cos h)2h 0hf .' (0) ' (0)若f (x) 在 x 0可导( A ) 成立 ,反之若 ( A) 成立f' (0)f .如 f (x)| x |满 '(0) ' (0)足( A ) ,但f 不 . ' (0) ' (0)关于 ( D ) :若 f (x) 在 x 0可导,1f (2 h) f (h)''lim [ f (2 h) f ( h)] lim[2] 2 f (0)f (0)hhhh h 2.( D) 成立 .反之( D) 成立l im( f (2h ) f (h )) 0 f (x) 在 x 0 连续 ,f (x) 在 x 0 可h导.如f (x) 2x 1, x 00, x 0满足( D),但f (x) 在x0 处不连续,因而 f 也不.'(0)'(0)再看( C) : fpgfpg1 h sin h f (h sin h) h sin h f (t)lim f (h sin h) lim lim2 2 2h h h0 0 sin 0h h h h h t( 当它们都时) .注意,易求得h sin hlim 02h 0h.因而,若 f ( C) 成立.反之若( C) 成立' (0)' (0)l imt 0f (t)t( 即f ) .因为只要'(0)' (0) f (t)t有界,任有( C) 成立,如 f (x) | x|满足( C) ,但f ' (0) 不.因此,只能选( B) .( 4) 【分析】由 4 3| E A| 4 0,知矩阵Aの特征值是4,0 ,0, 0.又因A 是实对称矩阵, A 必能相似对角化,所以A与对角矩阵 B 相似.作为实对称矩阵,当A B 时,知A与B有相同の特征值,从而二次型Tx Ax 与Tx Bx 有相同の正负惯性指数,因此A与B 合同.所以本题应当选( A) .注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如1 0A 与0 21 0B ,0 3它们の特征值不同,故A 与B 不相似,但它们の正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以 A 与B 合同.( 5) 【分析】解本题の关键是明确X 和Yの关系:X Y n ,即Y n X ,在此基础上利用性质:相关系数XY の绝对值等于 1 の充要条件是随机变量X 与Y 之间存在线性关系,即Y aX b ( 其中a,b是常数) ,且当a 0 时, XY 1 ;当a0 时, XY 1,由此便知XY 1,应选( A) .事实上, Cov( X ,Y) Cov( X ,n X ) DX , DY D(n X ) DX ,由此由相关系数の定义式有XY Cov( X ,Y) DXDX DY DX DY1.三、【解】原式=x1 1 dex 2 x 2 x xarctane d(e ) [e arctane ]2x 2x2 2 e (1 e )=x x1 de de2 x x(e arctan e )2x 2 x 2 e 1 efpgfpg= 122 x x x x(e arctan e e arctan e) C .四、【解】先求(1) f (1, f (1,1)) f (1,1) 1 .求ddx 3 2 ' '(x) |x 3 (1) (1) 3 (1),归结为求1' (1).由复合函数求导法d' ' '(x) f (x, f ( x, x)) f (x, f ( x, x)) f ( x, x)1 2dx,' ' ' ' '(1) f (1,1) f (1,1)[ f (1,1) f (1,1)] .1 2 1 2注意' f1f (1,1)(1,1) 2x,f (1,1)'f (1,1) 32y.因此d' (1) 2 3(2 3) 17 , 3(x) |x 3 17 51.1dx五、【分析与求解】关键是将arctan x展成幂级数,然后约去因子x,再乘上 21 x 并化简即可.直接将arctan x 展开办不到,但'(arctanx) 易展开,即1' n 2n(arctan x) ( 1) x , | x| 121 xn 0, ①积分得n( 1)x x' n 2n 2n 1arctanx (arctant ) dt ( 1) t dt x , x [ 1,1]. ②0 02n 1n 0 n 0因为右端积分在x 1 时均收敛,又a rctan x 在x 1 连续,所以展开式在收敛区间端点x 1成立.现将②式两边同乘以21 xx得2 n n n 2n 21 x ( 1) ( 1) ( 1) x2 2n 2narctanx (1 x ) x xx 2n 1 2n 1 2n 1n 0 n 0 n 0=n n 1 ( 1) ( 1)2n2nx x n 0 n 02n 1 2n 1fpgfpg=1 1n 2n1 ( 1) ( )x2n 1 2n 1n 11n 1n( 1) 221 4n2nx , x [ 1,1], x 0上式右端当x 0时取值为1,于是n( 1) 22nf (x) 1 x , x [ 1,1].21 4n n 1上式中令x 1n 1n( 1) 1 1 1[ f (1) 1] (2 1)21 4n2 2 4 4 2.六、【解】用斯托克斯公式来计算.记S为平面x y z 2上L 所为围部分.由L の定向,按右手法则S取上侧, Sの单位法向量1n (cos ,cos ,cos ) (1,1,1).3于是由斯托克斯公式得cos cos cosI dSx y z S2 2 2 2 2 2y z 2z x 3x y=S1 1 1 [( 2y 4z) ( 2z 6x) ( 2x 2y) ]dS3 3 3= 2 2(4x 2y 3z)dS(利用x y z 2) (6 x y)dS.3 S 3 S于是'2 '21 Z x Z y 1 1 1 3 .按第一类曲面积分化为二重积分得2I (6 x y) 3dxdy 2 (6 x y)dxdy ,3 D D其中 D 围S在xy 平面上の投影区域| x | | y | 1( 图）.由D 关于x, y 轴の对称性及被积函数の奇fpgfpg偶性得(x y)dxdy 0D2I 12dxdy 12( 2) 24.D七、【证明】 ( 1) 由拉格朗日中值定理 ,x (1, 1) , x 0 , (0,1) ,使'f (x) f (0) xf ( x)(与x 有关 ) ;又由 f '' (x) 连续而 f '' (x) 0, f ''(x) 在 (1, 1) 不变号 , f ' (x) 在 (1, 1) 严格单调, 唯一.( 2) 对f x 使用 ' ( ) ' ( ) f の定义 .由题 ( 1) 中の式子先解出 '' (0)'' (0) f x ,则有' ( ) ' ( )'f (x) f (0) f ( x)x. 再改写成'''f (x) f (0) xf (0) f ( x) f (0)x.'''f ( x) f (0)f (x) f (0) xf (0) 2xx,解出 ,令 x0 取极限得1''f (0)'''f (x) f (0) xf (0)f ( x) f (0) 21limlim/ lim2''x 0x 0x 0(0)2xxf.八、【解】 ( 1) 设t 时刻雪堆の体积为 V (t) ,侧面积为 S(t ) .t 时刻雪堆形状如图所示先求S(t ) 与V (t) .侧面方程是2222(x y )h (t) 22z h(t )(( x, y) D : xy)xyh(t )2.z 4x z 4y ,xh(t )yh(t ).fpgfpg2 2 2z 2 z 2 h (t) 16( x y )S(t) 1 ( ) ( ) dxdy dxdyx y h(t )D Dxy xy.作极坐标变换: x r cos , y r sin ,则1D :0 2 ,0 r h(t ) .xy2112 h(t)2 22S(t) d h (t) 16r rdrh(t )0 03 12 1 h(t ) 132 2 2 2 2[h (t) 16r ] | h (t ).h(t ) 48 12用先二后一の积分顺序求三重积分h(t )V (t) dz dxdy ,D (x)其中2 22(x y )D( z): h(t ) z(t)h(t ),即2 2 1 2x y [h (t) h(t) z] .2h t( ) 12 3 3 3V (t) [ h (t) h(t )z]dz [h (t) h(t ) ] h (t) .2 2 2 4( 2) 按题意列出微分方程与初始条件.体积减少の速度是d VdtdV,它与侧面积成正比( 比例系数0.9) ,即0.9 Sdt将V (t) 与S(t) の表达式代入得 3 2 ( ) 0.9 13 2( )dhh t h t4 dt 12,即dh dt 1310. ①h (0) 130 . ②( 3) 解①得13h(t ) t C . 由②得C 130 ,即1013h(t ) t 130 .10令h(t) 0 ,得t100.因此,高度为130 厘米の雪堆全部融化所需时间为100 小时.九、【解】由于i (i 1,2 s) 是1, 2, s 线性组合,又 1 , 2, s 是Ax 0の解,所以根据齐次线性方程组解の性质知( 1,2 )i i s 均为Ax 0の解.从1, 2 , s 是A x 0の基础解系,知s n r ( A) .fpgfpg下面来分析1, 2 , s 线性无关の条件.设k1 1 k2 2 k s s 0,即(t k t k s ) (t k t k ) (t k t k ) (t k s t k s ) s 0 .1 12 1 2 1 1 2 2 2 2 13 3 2 1 1由于1, 2, s 线性无关,因此有t k t k0,1 12 s0,t k t k2 1 1 2t k t k0, (*)2 2 1 3t k t k0.2 s 1 1 s因为系数行列式t 0 0 0 t1 20 0 0t t2 1s s 1 s0 t t 0 0 t ( 1) t, 2 1 120 0 0 t t2 1k1 k2 k s 0.所以当s s 1 st1 ( 1) t2 0 时,方程组(*) 只有零解从而1, 2, s 线性无关.十、【解】( 1) 由于AP PB ,即2 23 2 2 A( x, Ax, Ax) (Ax, A x, A x) ( Ax, A x,3 Ax 2A x)0 0 02(x, Ax, A x) 1 0 3 ,0 1 20 0 0B 1 0 3 . 所以0 1 2( 2) 由( 1) 知A B ,那么A E B E ,从而fpgfpg1 0 0| A E | | B E | 1 1 3 4.0 1 1m m n m十一、【解】( 1) P{Y m| X n} C p (1 p) ,0 m n,n 0,1,2, .n( 2) P{ X n,Y m} = P{ X n} P{Y m | X n}nm m n m= (1 ) ,0 , 0,1,2, .e C p p m n nnn!十二、【解】易见随机变量(X1 X n 1) ,( X2 X n 2 ) , ,( X n X2n) 相互独立都服从正态分布2N(2 ,2 ) .因此可以将它们看作是取自总体2N(2 ,2 ) の一个容量为nの简单随机样本.其样本均值为n 2n1 1( X X ) X 2Xi n i in ni 1 i 1,样本方差为n1 12(X X 2X ) Yi n in 1 n 1i 1.因样本方差是总体方差の无偏估计,故1E( Y) 2n 12,即 2E(Y ) 2(n 1) .fpg。

2006年考研数学一真题及解析

2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(1)【答案】2.【详解】由等价无穷小替换，0x →时，21ln(1),1cos 2x x x x +-，2002ln(1)limlim 11cos 2x x x x x x x →→+=-=2(2)【答案】xCxe-.【详解】分离变量，(1)dy y x dx x -=⇒(1)dy x dx y x -=⇒1(1)dy dx y x =-⇒1dy dx dxy x =-⎰⎰⎰⇒ln ln y x x c =-+⇒ln ln yx x cee-+=⇒xy Cxe-=(3)【答案】2π【详解】补一个曲面221:1x y z ⎧+≤∑⎨=⎩1,取上侧，则1∑+∑组成的封闭立体Ω满足高斯公式，1()P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy I x y z Ω∑+∑∂∂∂++=++=∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 设,2,3(1)P x Q y R z ===-，则1236P Q Rx y z∂∂∂++=++=∂∂∂∴I =6dxdydz Ω⎰⎰⎰(Ω为锥面∑和平面1∑所围区域)6V =(V 为上述圆锥体体积)注：以下几种解法针对于不同的方法求圆锥体体积V 方法1：I 623ππ=⨯=(高中方法，圆锥的体积公式，这种方法最简便)而123(1)0xdydz ydzdx z dxdy ∑++-=⎰⎰( 在1∑上：1,0z dz ==)方法2：先二重积分，后定积分.因为1V Sdz =⎰，r =222r x y =+，22r z =，22S r z ππ==，所以1122001133V z dz z πππ===⎰.从而6623I V ππ==⨯=方法3：利用球面坐标.1z =在球坐标下为：1cos ρθ=，1224cos 0006sin I d d d ππϕθϕρϕρ=⎰⎰⎰243002sin cos d d ππϕθϕϕ=⎰⎰2430cos (2)cos d d ππϕθϕ=-⎰⎰422001(2)()cos 2d ππθϕ-=--⎰202d πθπ==⎰方法4：利用柱面坐标.21106rI d dr rdz πθ=⎰⎰⎰216(1)d r rdrπθ=-⎰⎰122300116()23d r r πθ=-⎰202d πθπ==⎰(4)【详解】代入点000(,,)P x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离公式d ===(5)【答案】2【详解】由已知条件2BA B E =+变形得，2BA E B -=⇒()2B A E E -=,两边取行列式,得()244B A E E E -===其中，2110112120111A E ⎡⎤⎡⎤-=-==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，222E 4E ==因此，2422E B A E===-.(6)【答案】19【详解】根据独立性原理：若事件1,,n A A 独立，则{}{}{}{}1212n n P A A A P A P A P A =事件{}{}{}{}max{,}11,111X Y X Y X Y ≤=≤≤=≤≤ ，而随机变量X 与Y 均服从区间[0,3]上的均匀分布，有{}1011133P X dx ≤==⎰和{}1011133P Y dy ≤==⎰.又随机变量X 与Y 相互独立，所以，{}{}{}{}max(,)11,111P x y P x Y P x P Y ≤=≤≤=≤⋅≤1133=⨯19=二、选择题.(7)【答案】A 【详解】方法1：图示法.因为()0,f x '>则()f x 严格单调增加；因为()0,f x ''>则()f x 是凹函数，又0x > ，画2()f x x =的图形结合图形分析，就可以明显得出结论：0dy y << .方法2：用两次拉格朗日中值定理000()()()y dy f x x f x f x x '-=+-- (前两项用拉氏定理)0()()f x f x xξ''=- (再用一次拉氏定理)0()()f x x ηξ=-'' ,其中000,x x x x ξηξ<<+<< 由于()0f x ''>，从而0y dy -> .又由于0()0dy f x x '=> ，故选[]A 方法3：用拉格朗日余项一阶泰勒公式.泰勒公式：000()()()()f x f x f x x x '=+-()20000()()()()2!!n n n f x f x x x x x R n ''+-++-+ ，其中(1)00()()(1)!n nn fx R x x n +=-+.此时n 取1代入，可得20001()()()()()02y dy f x x f x f x x f x ξ'''∆-=+∆--∆=∆>又由0()0dy f x x '=∆>，选()A .O x 0x 0+Δx xyy=f (x )Δydy(8)【答案】()C 【详解】记140(cos ,sin )(,)Dd f r r rdr f x y dxdy πθθθ=⎰⎰⎰⎰，则区域D 的极坐标表示是：01r ≤≤，04πθ≤≤.题目考察极坐标和直角坐标的互化问题，画出积分区间，结合图形可以看出，直角坐标的积分范围(注意y x =与221x y +=在第一象限的交点是2222，）)，于是2:02D y y x ≤≤≤≤所以，原式0(,)ydy f x y dx =.因此选()C (9)【答案】D 【详解】方法1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛因为1nn a ∞=∑收敛，所以11n n a ∞+=∑也收敛，所以11()n n n a a ∞+=+∑收敛，从而112n n n a a ∞+=+∑也收敛.选D.方法2：记n n a =，则1n n a ∞=∑收敛.但11n n n a ∞∞===∑(p 级数，12p =级数发散)；111n n n n a a ∞∞+===∑∑p 级数，1p =级数发散)均发散。

考研数学一(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)

考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(16年)设随机变量X～N(μ，σ2)(σ＞0)，记p=P{X≤μ+σ2}，则A．p随着μ的增加而增加．B．p随着σ的增加而增加．C．p随着μ的增加而减少．D．p随着σ的增加而减少．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计2．(97年)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X一2Y的方差是A．8B．16C．28D．44正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计3．(00年)设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y 与η=X—Y不相关的充分必要条件为A．E(X)=E(Y)B．E(X2)一[E(X)]2=E(Y2)一[E(Y)]2C．E(X2)=E(Y2)D．E(X2)+[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计4．(01年)将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．一1B．0C．D．1正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计5．(04年)设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且其方差σ2＞0，令Y=，则A．B．C．D．正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计6．(07年)设随机变N(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X,Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fX Y(x|y)为A．fX(x)．B．fY(y)．C．fX(x)fY(y)．D．正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计7．(08年)设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则A．P{Y=一2X—1}=1B．P{Y=2X一1}=1C．P{Y=一2X+1}=1D．P{Y=2X+1}=1正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计8．(09年)设随机变量X的分布函数为F(x)=0．3φ(x)+其中φ(x)为标准正态分布的分布函数，则EX=A．0．B．0．3．C．0．7．D．1．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计9．(11年)设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记U=max{X，Y)，V=min{X，Y)，则E(UV)=A．EU.EV．B．EX.EY．C．EU.EY．D．EX.EV．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计填空题10．(87年)已知连续型随机变量X的概率密度为则EX=______，DX=________．正确答案：1；涉及知识点：概率论与数理统计11．(90年)已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，且随机变量Z=3X 一2，则EZ=______．正确答案：4．涉及知识点：概率论与数理统计12．(91年)设随机变量X服从均值为2、方差为σ2的正态分布，且P{2＜X＜4}=0．3，则P{X＜0}=_______．正确答案：0．2．涉及知识点：概率论与数理统计13．(92年)设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E(X+e-2X)=__________．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计14．(95年)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0．4，则E(X2)=_______正确答案：18．4．涉及知识点：概率论与数理统计15．(96年)设ξ和η是两个相互独立且均服从正态分布N(0，)的随机变量，则E(|ξ-η|)=________正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计16．(04年)设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则=_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计17．(08年)设随机变量服从参数为1的泊松分布，则P{X=EX2}=_____．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计18．(10年)设随机变量X的概率分布为P{X=k}=k=0，1，2，…，则EX2=_________．正确答案：2 涉及知识点：概率论与数理统计19．(11年)设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)=______．正确答案：μ3+μσ2．涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2003考研数一真题及答案解析

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷答案解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）)1ln(12)(cos lim x x x +→=e1.【分析】∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】)1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而212cos sin lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ，故原式=.121ee =-【详解2】因为2121lim )1ln(1)1(cos lim 22020-=-=+⋅-→→xxx x x x ，所以原式=.121ee=-【评注】本题属常规题型（2）曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程,而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】令22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='，1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为}1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ，可解得2,100==y x ，相应地有.520200=+=y x z 故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即542=-+z y x .【评注】本题属基本题型。

（3）设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a =1.【分析】将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】根据余弦级数的定义，有xd x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx =⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd =1.【评注】本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.（4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132.【分析】n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足[n βββ,,,21 ]=[n ααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-【评注】本题属基本题型。

考研数学(一)历年真题(1990-2021)无水印

1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2x t =-+(1)过点(1,21)M -且与直线34y t =-垂直的平面方程是_____________.1z t =-(2)设a 为非零常数,则lim(xx x a x a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x =1011x x ≤>,则[()]f f x =_____________.(4)积分222e y xdx dy -⎰⎰的值等于_____________.(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,且e ()(),xxF x f t dt -=⎰则()F x '等于(A)e (e )()xx f f x ----(B)e (e )()xx f f x ---+(C)e(e )()x x f f x ---(D)e(e )()xx f f x --+(2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n f x 是(A)1![()]n n f x +(B)1[()]n n f x +(C)2[()]nf x (D)2![()]nn f x (3)设a 为常数,则级数21sin()[n na n ∞=∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a 的取值有关(4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1cos x f x f x→==-则在点0x =处()f x(A)不可导(B)可导,且(0)0f '≠(C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A)1211212()2k k -+++ββααα(B)1211212()2k k ++-+ββααα(C)1211212()2k k -+++ββαββ(D)1211212()2k k ++-+ββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求120ln(1).(2)x dx x +-⎰(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂(3)求微分方程244e xy y y -'''++=的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分)求曲面积分2SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'>七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A 八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 作用(见图).F的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2π求变力F 对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞则X 的概率分布函数()F x =____________.(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -=== 则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设21cos x t y t=+=,则22d y dx =_____________.(2)由方程xyz +=所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.(4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A 的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221e 1e x xy --+=-(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于(A)e ln 2x(B)2e ln 2x(C)e ln 2x +(D)2e ln 2x +(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于(A)12cos sin D x ydxdy⎰⎰(B)12D xydxdy⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy+⎰⎰(D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有(A)=ACB E (B)=CBA E (C)=BAC E(D)=BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求2lim .x π+→(2)设n是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =在点P 处沿方向n 的方向导数.(3)22(),x y z dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线220y zx ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、（本题满分7分）设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β(1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________.(2)随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设函数()y y x =由方程e cos()0x yxy ++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu=_____________.(3)设()f x =211x-+00x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于_____________.(4)微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =_____________.(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i ia b i n ≠≠= 则矩阵A 的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x →时,函数1211e 1x x x ---的极限(A)等于2(B)等于0(C)为∞(D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos nn a n ∞=--∑常数0)a >(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a 有关(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在(4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为(A)0(B)1(C)2(D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A)[]212-(B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求0x x →(2)设22(e sin ,),x z f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.z x y∂∂∂(3)设()f x =21ex x -+00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰四、(本题满分6分)求微分方程323e xy y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =的上侧.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分）在变力F yzi zxj xyk =++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问:(1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论.(2)(2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出.(2)求(nn A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }XE X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e)t xx dt --∞Φ=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)函数1()(2(0)xF x dt x =->⎰的单调减少区间为_____________.(2)由曲线223212x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________.(4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰(B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为(A)6π(B)4π(C)3π(D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos x Lf t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于(A)e e 2x x --(B)e e 2x x --(C)e e 12x x -+-(D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则(A)6t =时P 的秩必为1(B)6t =时P 的秩必为2(C)6t ≠时P 的秩必为1(D)6t ≠时P 的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sincos ).x x x x →∞+(2)求.x dx (3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰ 其中∑是由曲面z =与z =所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.baa b >七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞(1)求X 的数学期望EX 和方差.DX (2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关?(3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)011lim cot ()sin x x xπ→-=_____________.(2)曲面e 23xz xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3)设e sin ,xxu y-=则2u x y ∂∂∂在点1(2,π处的值为_____________.(4)设区域D 为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________.(5)已知11[1,2,3],[1,,23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则n A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M<<(B)M P N <<(C)N M P <<(D)P M N<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,λ>且级数21nn a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与λ有关(4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e-→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d =(B)4b d =-(C)4a c=(D)4a c=-(5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组(A)12233441,,,++++αααααααα线性无关(B)12233441,,,----αααααααα线性无关(C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关(D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设2221cos()cos()t x t y t t udu ==-⎰,求dy dx 、22d y dx在t =的值.(2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数.(3)求.sin(2)2sin dxx x +⎰四、(本题满分6分)计算曲面积分2222S xdydz z dxdyx y z +++⎰⎰其中S 是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且0()lim0,x f x x→=证明级数11()n f n∞=∑绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=A A 时,证明0.≠A 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为X 01P1212则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32X YZ =+(1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差.(2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ(3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)202cos x d x t dt dx⎰=_____________.(3)设()2,⨯=a b c 则[()()]()+⨯++a b b c c a =_____________.(4)幂级数2112(3)n n nn n ∞-=+-∑的收敛半径R =_____________.(5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线:L 321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L(A)平行于π(B)在π上(C)垂直于π(D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-(B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的(A)充分必要条件(B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件(4)设(1)ln(1nn u =-+则级数(A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛(B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散(D)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有(A)12AP P =B (B)21AP P =B (C)12P P A =B(D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,yu f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.zϕ∂≠∂求.du dx (2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1(),f x dx A =⎰求11()().xdx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分,zdS ∑⎰⎰其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y 七、（本题满分8分）假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f fg g ξξξξ''=''八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A 九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=则{max(,)0}P X Y ≥=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度为()X f x =e 0x -00x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Y f y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设2lim()8,xx x a x a→∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程22e xy y y '''-+=的通解为_____________.(4)函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)设()f x 具有二阶连续导数,且0()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则(A)(0)f 是()f x 的极大值(B)(0)f 是()f x 的极小值(C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3)设0(1,2,),n a n >= 且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,2πλ∈则级数21(1)(tan nnn n a n λ∞=-∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与λ有关(4)设有()f x 连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),xf f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与kx 是同阶无穷小,则k 等于(A)1(B)2(C)3(D)4(5)四阶行列式112233440000000a b a b a b b a 的值等于(A)12341234a a a ab b b b -(B)12341234a a a ab b b b +(C)12123434()()a ab b a a b b --(D)23231414()()a ab b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数.(2)设1110,1,2,),n x x n +=== 试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z xy x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换2u x y v x ay =-=+可把方程2222260z z z x x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,zu v∂=∂∂求常数.a 五、(本题满分7分)求级数211(1)2n n n ∞=-∑的和.六、(本题满分7分)设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01(),xf t dt x⎰求()f x 的一般表达式.七、（本题满分8分）设()f x 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件(),(),f x a f x b ''≤≤其中,a b 都是非负常数,c 是(0,1)内任意一点.证明()2.2bf c a '≤+八、（本题满分6分）设,TA =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明(1)2=A A 的充分条件是 1.T=ξξ(2)当1T=ξξ时,A 是不可逆矩阵.九、（本题满分8分）已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2,(1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是____________.(2)设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布2)N 的随机变量,则随机变量ξη-的数学期望()E ξη-=____________.十一、（本题满分6分）设,ξη是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布率为1(),1,2,3.3P i i ξ===又设max(,),min(,).X Y ξηξη==(1)写出二维随机变量的分布率:XY123123(2)求随机变量X 的数学期望().E X1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++=_____________.(2)设幂级数1nnn a x∞=∑的收敛半径为3,则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为_____________.(3)对数螺线e θρ=在点2(,)(e ,)2ππρθ=处切线的直角坐标方程为_____________.(4)设12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵,且,=AB O 则t =_____________.(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)二元函数(,)f x y =22(,)(0,0)0(,)(0,0)xyx y x y x y ≠+=,在点(0,0)处(A)连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在(C)不连续,偏导数存在(D)连续,偏导数不存在(2)设在区间[,]a b 上()0,()0,()0.f x f x f x '''><>令1231(),()(),[()()](),2ba S f x dx S fb b a S f a f b b a ==-=+-⎰则(A)123S S S <<(B)213S S S <<(C)312S S S <<(D)231S S S <<(3)设2sin ()e sin ,x t xF x tdt π+=⎰则()F x (A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数(4)设111122232333,,,a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ααα则三条直线1112223330,0,0a x b y c a x b y c a x b y c ++=++=++=(其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是:(A)123,,ααα线性相关(B)123,,ααα线性无关(C)秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα(D)123,,ααα线性相关12,,αα线性无关(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量32X Y -的方差是(A)8(B)16(C)28(D)44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)计算22(),I xy dv Ω=+⎰⎰⎰其中Ω为平面曲线220y zx ==绕z 轴旋转一周所成的曲面与平面8z =所围成的区域.(2)计算曲线积分()()(),cz y dx x z dy x y dz -+-+-⎰ 其中c 是曲线2212x y x y z +=-+=从z轴正向往z 轴负向看c 的方向是顺时针的.(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为,N 在0t =时刻已掌握新技术的人数为0,x 在任意时刻t 已掌握新技术的人数为()(x t 将()x t 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k >求().x t 四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)(1)设直线:l 030x y b x ay z ++=+--=在平面π上,而平面π与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5),-求,a b 之值.(2)设函数()f u 具有二阶连续导数,而(e sin )xz f y =满足方程22222e ,xz z z x y∂∂+=∂∂求().f u五、(本题满分6分)设()f x 连续1,()(),x f xt dt ϕ=⎰且0()lim(x f x A A x→=为常数),求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性.六、(本题满分8分)设11110,(1,2,),2n n na a a n a +==+= 证明(1)lim n x a →∞存在.(2)级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)(1)设B 是秩为2的54⨯矩阵123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]TTT==--=--ααα是齐次线性方程组x =B 0的解向量,求x =B 0的解空间的一个标准正交基.(2)已知111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ξ是矩阵2125312a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 的一个特征向量.1)试确定,a b 参数及特征向量ξ所对应的特征值.2)问A 能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设A 是n 阶可逆方阵,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为.B (1)证明B 可逆.(2)求1.-AB 九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2.5设X 为途中遇到红灯的次数,求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.十、（本题满分5分）设总体X 的概率密度为()f x =(1)0x θθ+01x <<其它其中1θ>-是未知参数12,,,,n X X X 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2112limx x→-=_____________.(2)设1()(),,z f xy y x y f x ϕϕ=++具有二阶连续导数,则2z x y ∂∂∂=_____________.(3)设l 为椭圆221,43x y +=其周长记为,a 则22(234)Lxy x y ds ++⎰ =_____________.(4)设A 为n 阶矩阵*,0,≠A A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则*2()+A E 必有特征值_____________.(5)设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,e y x x ===所围成,二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布,则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 连续,则220()x d tf x t dt dx-⎰=(A)2()xf x (B)2()xf x -(C)22()xf x (D)22()xf x -(2)函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数是(A)3(B)2(C)1(D)0(3)已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy x α∆∆=++且当0x ∆→时,α是x ∆的高阶无穷小,(0)y π=,则(1)y 等于(A)2π(B)π(C)4eπ(D)4eππ(4)设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---(A)相交于一点(B)重合(C)平行但不重合(D)异面(5)设,A B 是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P A P B P B A P B A <<>=则必有(A)(|)(|)P A B P A B =(B)(|)(|)P A B P A B ≠(C)()()()P AB P A P B =(D)()()()P AB P A P B ≠三、(本题满分5分)求直线11:111x y z l --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 的方程,并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数,λ使在右半平面0x >上的向量42242(,)2()()x y xy x y x x y λλ=+-+A i j 为某二元函数(,)u x y 的梯度,并求(,).u x y 五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(y 从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m 体积为,B 海水密度为,ρ仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0).k k >试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式().y y v =六、(本题满分7分)计算222212(),()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰其中∑为下半平面z =,a 为大于零的常数.七、(本题满分6分)求2sin sin sin lim .1112x n n n n n n πππ→∞⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦ 八、（本题满分5分）设正向数列{}n a 单调减少,且1(1)nn n a ∞=-∑发散,试问级数11(1nn n a ∞=+∑是否收敛?并说明理由.九、（本题满分6分）设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在0(0,1),x ∈使得在区间0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面积,等于在区间0[,1]x 上以()y f x =为曲边的曲边梯形面积.(2)又设()f x 在区间(0,1)内可导,且2()(),f x f x x'>-证明(1)中的0x 是唯一的.十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 化为椭圆柱面方程2244,ηξ+=求,a b 的值和正交矩阵.P 十一、（本题满分4分）设A 是n 阶矩阵,若存在正整数,k 使线性方程组kx =A 0有解向量,α且1.k -≠A α0证明:向量组1,,,k -αAαAα 是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知方程组(Ⅰ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).TTTn n n n n n b b b b b b b b b 试写出线性方程组(Ⅱ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n nb y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=+++=+++=的通解,并说明理由.十三、（本题满分6分）设两个随机变量,X Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量X Y -的方差.十四、（本题满分4分）从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n 至少应取多大?附:标准正态分布表22()t zx dt -Φ=⎰z1.28 1.645 1.962.33()x Φ0.9000.9500.9750.990十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.附:t 分布表{()()}p P t n t n p≤=0.950.97535 1.6896 2.0301361.68832.02811999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2011lim(tan x x x x→-=_____________.(2)20sin()x d x t dt dx-⎰=_____________.(3)24e xy y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是_____________.(5)设两两相互独立的三事件,A B和C满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==<且已知9(),16P A B C =则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则(A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数(B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数(D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数(2)设20()() 0x f x x g x x >=≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑其中102()cos n a f x n xdx π=⎰(0,1,2,)n = ,则5()2S -等于(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB (B)当m n >时,必有行列式||0=AB (C)当n m >时,必有行列式||0≠AB (D)当n m >时,必有行列式||0=AB (5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤=(B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =到点(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点。

考研数学一解答题专项强化真题试卷25(题后含答案及解析)

考研数学一解答题专项强化真题试卷25(题后含答案及解析)题型有：1.1．(2000年)求幂级数的收敛区间，并讨论该区间端点处的收敛性．正确答案：解1 由于则R=3，收敛区间为(一3，3)．当x=3时，且发散，则原级数在x=3处发散．当x=一3时，且与都收敛，所以原级数在x=一3处收敛．△解2 由于而则以下同解1．涉及知识点：无穷级数2．(2004年)设e＜a＜b＜e2，证明正确答案：证1 设则所以当x＞e时，φ”(x)＜0，故φ’(x)单调减少，从而当e＜x＜e2时，即当e＜x＜e2时，φ(x)单调增加．因此当e＜a＜b＜e2时，φ(b)＞φ(a)，即故证2 对函数ln2x在[a，b]上应用拉格朗日中值定理，得设则当t＞e时，φ’(t)＜0，所以φ(t)单调减少，从而φ(ξ)＞φ(e2)，即涉及知识点：一元函数微分学3．设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置。

证明：(Ⅰ)秩r(A)≤2；(Ⅱ)若α，β线性相关，则r(A)＜2。

正确答案：(Ⅰ) r(A)=r(ααT+ββT)≤r(ααT)+r(ββT)≤r(α)+r(β)≤2。

(Ⅱ)若α，β线性相关，则存在不全为零的k1，k2使k1α+k2β=0，不妨设k2≠0，则β=kα，那么r(A)=r[ααT+(kα)(kα)T]=r[(1+k2)ααT]=r(ααT)≤1＜2。

4．设λ1，λ2分别为n阶实对称矩阵A的最小和最大特征值，X1、X2分别为对应于λ1和λn的特征向量，记f(X)=，X∈Rn，X≠0求三元函数f(x1，x2，x3)=3x12+2x22+3x32+2x2x3在x12+x22+x32=1条件下的最大及最小值，并求出最大值点及最小值点．正确答案：f的最小值=f()=f(0，1，0)=2，f的最大值=f()=4．涉及知识点：二次型5．(2003年试题，九)设矩阵B=P-1A*P，求B+2E的特征值与特征向量，其中A*为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵．正确答案：由题设，不难算出从而A可逆，由初等行变换可求出则由公式A*=｜A｜A-1，可求得又由已知则易求得综上又由特征方程可求出λ1=9，λ2=9，λ3=3．当λ1=λ2=9时，由(B+2E一9E)x=0，可求得相应特征向量为ξ1=(一l，1，0)T，ξ2=(一2，0，1)T即对应于特征值9的所有特征向量为k1ξ1+k2ξ2=k1(一1，1，0)T+k2(一2，0，1)T当λ3=3时，由(B+2E一3E)x=0，可求得相应特征向量为ξ3=(0，1，1)T故对应于特征值3的所有特征向量为k3ξ3=k3(0，1，1)T以上k1，k2，k3皆为不为零的任意常数．解析二令则得A的特征值为λ1=λ2=1，λ3=7．当λ1=λ2=1时，对应的线性无关的特征向量可取为当λ3=7时，对应的特征向量为记λ，η分别为矩阵A的特征值和特征向量，则A*η=于是(B+2E)(P-1η)=P-1A*P(P-1η)+2P-1η，=|P-1A*η+2P-1η因而可知，和P-1η分别为B+2E的特征值和特征向量．又｜A｜=λ1λ2λ3=7，则B+2层的特征值分别为9，9，3．又则即有B+2E对应于特征值9的全部特征向量为：k1P-1η1+k2P-1η2=其中k1，k2是不全为零的任意常数；其对应于特征值3的全部特征向量为：k2P-1η3=其中k3是不为零的任意常数．涉及知识点：特征值与特征向量6．(00年)计算曲线积分其中L是以点(1，0)为中心、R为半径的圆周(R＞1)取逆时针方向．正确答案：作椭圆C：4x2+y2=δ2 (C取逆时针方向，δ是足够小的正数，使4x2+y2=δ2全含在L内)．由格林公式知其中S为椭圆域4x2+y2≤δ2的面积涉及知识点：高等数学7．(94年)将函数f(x)=展开成x的幂级数．正确答案：且f(0)=0,故f(x)=f(x)一f(0)=∫0xf’(t)dt 涉及知识点：高等数学8．[2010年] 求函数f(x)=∫1x2(x2一t)e-t2dt的单调区间与极值．正确答案：(1) f(x)=∫1x2(x2一t)e-t2dt=x2∫1x2e-t2dt—∫1x2te-t2dt，f’(x)=2xe∫1x2e-t2dt+2x3e-x4—2x3e-x4=2x∫1x2e-t2dt. ①令f(x)=0，由式①得到驻点x=0，x=±1．下面分别考察f(x)在区间(一∞，一1)，[一1，0)，[0，1)，[1，+∞)上的单调性．进一步，易求得因此f(x)的单调减少区间是(一∞，一1]∪[0，1]，单调增加区间是[一1，0]∪[1，+∞)．(2)求出驻点x=0，x=±1后，再求驻点处的二阶导数．又因f’’(x)=2∫1x2e-t2dt+4x2e-x4，故f’’(0)=2∫01e-t2dt ＜0，f’’(±1)=4e-1＞0．于是f(0)=∫01(0一t)e-t2dt=为极大值，f(±1)=0为极小值．涉及知识点：一元函数积分学[2007年] 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为9．求P(X＞2y)；正确答案：涉及知识点：二维随机变量及其分布10．求Z=X+Y的概率密度fZ(z)．正确答案：直接用卷积公式求之．将f(x，y)改写成在xOz平面上给出f(x，y)取正值的区域为0＜x＜1，z-x=1，z-x=0所围成的区域记为D(见图中阴影部分)fZ(z)=∫-∞+∞f(x，z—x)dx．下面只需在f(x，y)取正值的区域D对x积分．为此，将区域D分成两部分D1与D2，即当0≤z＜1时，fZ(z)=∫-∞+∞f(x，z —x)dx=∫0z(2一x)dx=z(2一z)；当1≤z＜2时，fZ(z)=∫-∞+∞f(x，z—x)dx=∫z-11(2一z)dx=(2—z)2．当z取其他值时，由于不同时满足0＜x＜1，0＜z-x ＜1，f(x，x—x)=0，则fZ(z)=0．综上所述，涉及知识点：二维随机变量及其分布。

[考研类试卷]考研数学一(高等数学)历年真题试卷汇编20.doc

[考研类试卷]考研数学一（高等数学）历年真题试卷汇编20一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (00年)设S：x2+y2+z2=a2(z≥0)，S1为S在第一卦限中的部分，则有二、填空题2 (93年)设数量场则div(gradu)=________．3 (94年)设区域D为x2+y2≤R2，则4 (98年)设l是椭圆其周长记为a，则(2xy+3x2+4y2)ds=_______．5 (01年)设则div(gradr)|(1,-2,2)=________．6 (01年)交换二次积分的积分次序：∫-10dy∫21-y f(x，y)dx=______．7 (04年)设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分∫L xdy一2ydx 的值为______三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

8 (91年)在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asinx(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从O到A的积分∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy 的值最小．9 (92年)计算曲面积分其中∑为上半球面的上侧．10 (92年)在变力F=yzi+xzj+xyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面=1上第一卦限点M(ξ，η，ζ)，问当ξ，η，ζ取何值时，力F所作的功W最大?并求出W的最大值．11 (93年)计算2xzdydz+yzdzdx-z2dxdy。

其中∑是由曲面z=所围立体表面的外侧．12 (94年)计算曲面积分，其中S是由曲面x2+y2=R2及两平面z=R，z=-R(R＞0)所围成立体表面的外侧．13 (95年)设函数f(x)在区间[0，1]上连续，并设∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy．14 (95年)计算曲面积分其中∑为锥面在柱体x2+y2≤2x内的部分．15 (95年)设函数Q(x，y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并且对任意t恒有∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x，y)dy 求Q(x，y)．16 (96年)计算曲面积分(2x+z)dydz+zdxdy，其中S为有向曲面z=x2+y2(0≤z≤1)，其法向量与z轴正向的夹角为锐角．17 (97年)计算I=(x2+y2)dv，其中Ω为平面曲线绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域．18 (97年)计算曲线积分(z一y)dx+(x—z)dy+(x—y)dz，其中c是曲线从z轴正向往z轴负向看c的方向是顺时针方向．19 (98年)确定常数λ，使在右半平面x＞0上的向量A(x，y)=2xy(x4+y2)λi—x2(x4+y2)λj为某二元函数u(x，y)的梯度，求u(x，y)．20 (98年)计算其中∑为下半球面的上侧，a为大于零的常数．21 (99年)求I=∫L(e x siny一b(x+y))dx+(e x cosy—ax)dy，其中a，b为正的常数,L为从点A(2a，0)沿曲线y=到点O(0，0)的弧．22 (99年)设S为椭球面的上半部分，点P(x，y，z)∈S，π为S在点P处的切平面，ρ(x，y，z)为点O(0，0，0)到平面π的距离，求23 (00年)计算曲线积分其中L是以点(1，0)为中心、R为半径的圆周(R＞1)取逆时针方向．24 (00年)设有一半径为R的球体，P0是此球表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k＞0)，求球体的重心位置．25 (01年)设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程z=h(t)一(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0．9)，问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时?26 (01年)计算I=(y2一z2)dx+(2z2一x2)dy+(3x2一y2)dz，其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向．27 (02年)计算二重积分，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．28 (02年)设函数f(x)在(一∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线，其起点为(a，b)，终点为(c，d)．记(1)证明曲线积分I与路径L无关；(2)当ab=cd时，求I的值．29 (03年)已知平面区域D=((x，y)|0≤x≤π，0≤y≤π}，L为D的正向边界．试证：30 (03年)设函数f(x)连续且恒大于零，其中Ω(t)={(x，y，z)|x2+y2+z2≤t2}，D(t)={(x，y)|x2+y2≤t2}，(1)讨论F(t)在区间(0，+∞)内的单调性．(2)证明当t＞0时，F(t)＞。

高等数学历年考研真题十二套含答案

考研真题一
1. 求 lim
x ® 0
10. 设 f ( x ) = lim
n ® ¥
( n - 1 ) x , 则 f ( x ) 的间断点为 x = _________ . 04数二考研题 2 nx + 1 cos x 是等价无
05数二考研题
[
2 + e 1/ x sin x + . x 1 + e 4/ x
5. 设 f ( 0 ) = 0 , 则 f ( x ) 在点 x = 0 可导的充要条件为 : (A) lim
0 h ®
15. 设函数 y = y ( x ) 由方程 y = 1 - xe y 确定 , 则 dy dx
1
h 2
1
1 f ( - cos h ) 存在 ;
x ) g ( x ) - f ( x ) g ¢( x ) < 0 , 3. 设 f ( x ) , g ( x ) 是恒大于零的可导函数 , 且 f ¢(
则当 a < x < b 时有 ( ).
00数二考研题
a , b 的值 .
2 ln b - ln a 1 a < < 11. 设 0 < a < b , 证明不等式 2 . a + b 2 b - a ab
01数二考研题
(A) x = 0 , x = 1 都是 f ( x ) 的第一类间断点 ; (B) x = 0 , x = 1 都是 f ( x ) 的第二类间断点 ; (C) x = 0 是 f ( x ) 的第一类间断点 , x = 1 是 f ( x ) 的第二类间断点 ; (D) x = 0 是 f ( x ) 的第二类间断点 , x = 1 是 f ( x ) 的第一类间断点 . 13. lim

考研数学一选择题专项强化真题试卷12(题后含答案及解析)

考研数学一选择题专项强化真题试卷12(题后含答案及解析)题型有：1.1．(2013年)设L1：x2+y2=1，L2：x2+y2=2，L3：x2+2y2=2．L4：2x2+y2=2为四条逆时针方向的平面曲线．记则max{I1，I2，I3，I4}=A．I1．B．I2．C．I3．D．I4．正确答案：D解析：由格林公式得其中Di为Li围成的平面域(i=1，2，3，4) 显然，在D1和D4上则0＜I1＜I4又I2＜I4，I3＜I4，则max{I1，I2，I3，I4)=I4 知识模块：多元函数积分学2．(2017年)函数f(x，y，z)=x2y+z2在点(1，2，0)处沿向量n=(1，2，2)的方向导数为A．12．B．6．C．4．D．2．正确答案：D解析：fx(1，2，0)=2xy|(1，2，0)=4 fy(1，2，0)=x2|(1，2，0)=1 fz(1，2，0)=3z2|(1，2，0)=0 向量n={1，2，2}的方向余弦为则知识模块：多元函数微分学3．设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(0．1)的简单随机样本，X为样本均值，S2为样本方差，则A．n～N(0，1)B．nS2～χ2(n)C．～t(n－1)D．～F(1，n－1)正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计4．(2012年)设函数_f(x)=(ex一1)(e2x一2)…(enx一n)，其中n为正整数，则f’(0)=A．(一1)n-1一(n一1)!B．(一1)n(n一1)!C．(一1)n-1n!D．(一1)nn!正确答案：A解析：解1 记g(x)=(e2x一2)(e3x一3)…(enx一n)，则f(x)=(ex一1)g(x) f’(x)=exg(x)+(ex一1)g’(x)则f’(0)=g(0)=(一1)(一2)…(一(n一1))=(一1)n-1(n一1)! 故应选(A)．△解2 由导数定义得△解3 排除法：当n=2时，f(x)=(ex一1)(e2x一2) f’(x)=ex(e2x一2)+2e2x(ex一1)，f’(0)=一1 显然，(B)(C)(D)都不正确，故应选(A)．知识模块：一元函数微分学5．设α是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( )A．E－ααT不可逆B．E+ααT不可逆C．E+2ααT不可逆D．E－2ααT不可逆正确答案：A解析：由α是n维单位列向量可知(ααT)α=α(αTα)=α，且1≤r(ααT)≤r(α)=1，即1是矩阵ααT的特征值，且r(ααT)=1，所以ααT的特征值为0(n－1重)和1。

历年考研数学一真题及答案

历年考研数学一真题及答案一、单项选择题1、教育学作为一门独立学科，开始诞生于（）A.资本主义社会B.封建社会C.古代社会D.原始社会答案：A.资本主义社会。

2、“不愤不启，不悱不发”这句话出自（）A.《论语》B.《学记》C.《礼记》D.《中庸》答案：A.《论语》。

3、“寓德育于教学之中，寓德育于活动之中”是德育（）原则。

A.导向性B.疏导性C.一致性D.因材施教性答案：C.一致性。

二、多项选择题1、教育学发展阶段包括（）A.独立形态阶段B.前教育学阶段C.教育学萌芽阶段D.教育学形成阶段答案：ABC。

2、教育学的任务在于（）A.阐述教育基本原理，解决教育的基本问题B.研究和揭示教育规律，增强教育的科学性和预见性，提高教育的有C.揭示教育的内部规律，深化人们对教育的认识和理解D.研究和解决教育的具体问题，增强教育的针对性和实效性答案：ABC。

3、教育与社会的发展具有密切的关系，表现为（）A.教育是社会赖以存在和发展的基础B.教育是培养人的社会活动，是实现人的社会化最为基本的途径和手段之一C.教育通过传递生产经验和社会生活经验，促进生产力的发展和经济的繁荣D.教育通过培养人才参与和推动政治、经济、文化的发展和进步答案：ABCD。

4、下列属于全面发展教育组成部分的是（）A.德育B.智育C.体育D.美育答案：ABCD。

一、单项选择题1、下列哪一项不属于我国宪法规定的公民基本权利？A.受教育权B.言论自由D.选举权答案：D.选举权。

2、根据我国《宪法》规定，下列哪一项不属于全国人民代表大会的职权？A.制定和修改宪法B.监督宪法的实施C.制定和修改刑事、民事、国家机构的和其他的基本法律D.选举中华人民共和国主席、副主席答案：D.选举中华人民共和国主席、副主席。

3、根据我国《宪法》规定，下列哪一项不属于公民的基本义务？A.依法纳税B.劳动C.受教育D.爱护公共财物答案：D.爱护公共财物。

二、多项选择题1、下列哪些选项属于我国宪法规定的公民基本权利？A.受教育权B.劳动权C.言论自由D.选举权和被选举权答案：A，B，C，D。

2001考研数一真题答案及详细解析

一、填空题(1)【答案】220y y y '''-+=.【详解】因为二阶常系数线性齐次微分方程0y py qy '''++=的通解为12(sin cos )x y e c x c x αββ=+时，则特征方程20r pr q ++=对应的两个根为一对共轭复根：1,2i λαβ=±，所以根据题设12(sin cos )xy e c x c x =+(12,c c 为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，知：1,1αβ==，特征根为1,2λi αβ=±1,i =±从而对应的特征方程为：()()2(1)(1)220,i i λλλλ-+--=-+=于是所求二阶常系数线性齐次微分方程为220y y y '''-+=.(2)【答案】2.3【分析】若(),,r x y z 具有连续的一阶偏导数，梯度gr adr 在直角坐标中的计算公式为：r r r gradr i j k x y z∂∂∂=++∂∂∂设()()()(),,,,,,,,A x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++，其中,,P Q R 具有一阶连续偏导数，散度d ivA 在直角坐标中的计算公式为：P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂若(),,r x y z 具有二阶连续偏导数，则在直角坐标中有计算公式：222222()r r rdiv gradr x y z∂∂∂=++∂∂∂【详解】本题实际上是计算222222r r rx y z∂∂∂++∂∂∂r x ∂∂222x y z x ∂++=∂22222xx y z=++222x x y z =++xr=2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析22r x ∂∂x x r ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭2rr xx r∂-∂=2x r x r x r x r r -∂ = ∂223r x r -=类似可得r y y r ∂=∂，22r y ∂∂223r y r -=；r z z r ∂=∂，22r z ∂∂223r z r -=根据定义有()div gradr 222222r r r x y z ∂∂∂=++∂∂∂222222333r x r y r z r r r ---=++222233r x y z r ---=2233r r r-=232r r =2r =2222x y z =++于是(1,2,2)()|div gradr -()2221,2,22x y z -=++2222231(2)2==+-+(3)【答案】211(,).xdx f x y dy -⎰⎰【详解】由题设二次积分的限，画出对应的积分区域，如图阴影部分.但在10y -≤≤内，21y ≥-，题设的二次积分并不是(,)f x y 在某区域上的二重积分，因此，应先将题设给的二次积分变形为：1021211(,)(,),yydy f x y dx dy f x y dx ----=-⎰⎰⎰⎰其中{}(,)10,12,D x y y y x =-≤≤-≤≤再由图所示，又可将D 改写为{}(,)12,10,D x y x x y =≤≤-≤≤于是112(,)ydy f x y dx --⎰⎰211(,)ydy f x y dx --=-⎰⎰2011(,)xdx f x y dy-=-⎰⎰211(,).xdx f x y dy -=⎰⎰(4)【答案】1(2).2A E +【详解】要求()A E -的逆，应努力把题中所给条件化成()A EB E -=的形式.由题设240A A E +-=⇒222A A E E +-=⇒()()22A E A E E-+=Oxyx+y=1x=21即()()12,2A E A E E -⋅+=故()()1122A E A E --=+.(5)【答案】12【分析】切比雪夫不等式：{}2()()D X P X E X εε-≥≤【详解】根据切比雪夫不等式有{}22()21()2222D X P XE X -≥≤==二、选择题(1)【答案】(D)【详解】从题设图形可见，在y 轴的左侧，曲线()y f x =是严格单调增加的，因此当0x <时，一定有'()0f x >，对应()y f x '=图形必在x 轴的上方，由此可排除(A)，(C)；又()y f x =的图形在y 轴右侧靠近y 轴部分是单调增，所以在这一段内一定有'()0f x >，对应()y f x '=图形必在x 轴的上方，进一步可排除(B)，故正确答案为(D).(2)【答案】(C)【详解】题目仅设函数(,)f x y 在点(0,0)附近有定义及''(0,0)3,(0,0)1,x y f f ==未设(,)f x y 在点(0,0)可微，也没设(,)z f x y =，所以谈不上dz ，因此可立即排除(A)；令(,,)(,)F x y z z f x y =-，则有''''',,1x x y y z F f F f F =-=-=.因此过点(0,0,(0,0))f 的法向量为{}''',,x y z F F F ±={}'',,1x y f f ±--=±{−3,−1,1}，可排除(B)；曲线(,)z f x y y =⎧⎨=⎩可表示为参数形式：0,(,0)x x y z f x =⎧⎪=⎨⎪=⎩点(0,0,(0,0))f 的切向量为{}{}'1,0,(0,0)1,0,3x f ±=±.故正确选项为(C).(3)【答案】(B)【详解】方法1：因为001()()lim (1)1lim lim ln(1)ln(1)h h h x x f x f x xf e e x h x x x →→→--==⋅--0()ln(1)limx f x x x x x x → -- ⋅- ()()00()0()lim 0limx x f x f f x f x x →→-=- =0 -()0f '=可见，若()f x 在点0x =可导，则极限01lim(1)h h f e h→-一定存在；反过来也成立.方法2：排除法：举反例说明(A)，(C)，(D)说明不成立.比如，()f x x =,在0x =处不可导，但2220001cos 11cos lim (1cos )lim lim h h h h h f h h h h →→→---==22012sin 2lim h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭=2201112sin lim 22h h h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12=，故排除(A)2200sin 1lim (sin )lim h h h h f h h h h→→--=30sin lim h h h h h →-=⋅其中，30sin limh h h h →-30sin lim h h h h →-=201cos lim 3h h h →- 洛22012sin 2lim 3h h h →⎛⎫ ⎪⎝⎭=22012lim 3h hh → 等16=根据有界量与无穷小的乘积为无穷小，所以3sinhlim0h h h h→-⋅=.故排除(C).又如1,0()0,0x f x x ≠⎧=⎨=⎩在0x =处不可导，但[]00111lim (2)()lim0h h f h f h h h →→--==存在，进一步可排除(D).(4)【答案】(A)【详解】方法1：因为A 是实对称矩阵，必相似于对角阵Λ.1111111111111111E A λλλλλ---------=--------44442,3,41111111111111λλλλλλλ----------------行分别加到行111111111(4)111141111λλλλλ--------------行提出公因子()11111000(4)000000λλλλ-行分别加到2,3,4行34λλ=-()=0得A 的特征值为：12344,0,λλλλ====故必存在正交矩阵Q ,使得14000000000000000T Q AQ Q AQ -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦因此，A B 与相似.由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵A B 与合同的充要条件是A B 与相似.因此，A B 与也合同.即A B 与既合同且相似.应选(A).方法2：因为A 是实对称矩阵，故A 必相似于一对角阵Λ.又由相似矩阵有相同的特征值,相同的秩,知A 与Λ有相同的秩，故()()1,r r A Λ==即Λ对角线上有3个元素为零.因此,1230λλλ===是A 的特征值.求另一个特征值，由特征值的和等于矩阵主对角线元素之和，知444114.iii i i a λλ=====∑∑故，44λ=.即A 有特征值40λλ==和(三重根)，和对角阵B 的特征值完全一致，故A ,B 相似.又由两矩阵合同的充要条件：实对称矩阵A B 与合同的充要条件是A B 与相似.知A ,B 合同.(5)【答案】A【详解】掷硬币结果不是正面向上就是反面向上，所以X Y n +=，从而Y n X =-，故()DY D n X DX=-=由方差的定义：22()DX EX EX =-,所以[]22()()()DY D n X E n X E n X =-=---222(2)()E n nX X n EX =-+--222222()n nEX EX n nEX EX =-+-+-22()EX EX DX =-=)由协方差的性质：c ov(,)0X c =(c 为常数)；c ov(,)cov(,)aX bY ab X Y =1212cov(,)cov(,)cov(,)X X Y X Y X Y +=+)所以c ov(,)cov(,)cov(,)cov(,)0X Y X n X X n X X DX DX=-=-=-=-由相关系数的定义，得c ov(,)(,)1X Y DX X Y DX DYDX DXρ-===-三【详解】2a rctan x x e dx e⎰2a rctan x x e e dx -=⎰()21arctan 22x xe e d x -=--⎰()21arctan 2x x e d e -=-⎰()221arctan arctan 2x x x xe e e d e ----⎰分部2221arctan 2(1)x x xx x de e e e e -⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭⎰222111arctan 21x x x x x e e de ee -⎛⎫⎛⎫=---⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎰22211arctan 21x x x x x x e e e de de e --⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭⎰⎰()21arctan arctan 2xx x x e e e e C --=-+++四【详解】由题设，()d x dx ϕ[](,(,))df x f x x dx=()12(,(,))(,(,))(,)f x f x x f x f x x f x x '''=+1212(,(,))(,(,))(,)(,)f x f x x f x f x x f x x f x x ⎡⎤''''=++⎣⎦这里1f f x ∂'=∂，2ff y∂'=∂，所以1()x d x dx ϕ={}12121(,(,))(,(,))(,)(,)x f x f x x f x f x x f x x f x x =⎡⎤''''=++⎣⎦1212(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)f f f f ⎡⎤''''=++⎣⎦[]2323=+⋅+17=又(1,1)1,f =()(,(,))x f x f x x ϕ=，所以(1)(1,(1,1))f f ϕ=(1,1)1(1,1)f f = 1,=所以3211()()3()x x d d x x x dxdx ϕϕϕ==⎡⎤=⎢⎥⎣⎦21()3(1)x d x dx ϕϕ==1()(1)1,173117x d x dx ϕϕ= == ⋅⋅51=五【详解】首先将a rctan x 展开.因为()a rctan 'x =2211(1),(1,1)1n n n x x x ∞==-∈-+∑故()0arctan arctan 0arctan 'xx x dx =+⎰2000(1)xn n n x dx ∞=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∑⎰22100(1)(1)21n xnnn n n x dx x n ∞∞+==-=-=+∑∑⎰，()1,1x ∈-于是21()arctan x f x x x +=22101(1)21n n n x x x n ∞+=+-=+∑220(1)(1)21n n n x x n ∞=-=++∑22200(1)(1)2121n n n n n n x x n n ∞∞+==--=+++∑∑()()011210210(1)(1)(1)20121211n n n n n n x x x n n +-∞∞+==---=++⋅+++-∑∑12211(1)(1)12121n n n n n n x x n n -∞∞==--=+++-∑∑2211(1)(1)12121n n n nn n x xn n ∞∞==--=+-+-∑∑21111(1)2121nn n x n n ∞=⎛⎫=+-- ⎪+-⎝⎭∑221(1)2114n n n x n ∞=-=+-∑，()1,1,0x x ∈-≠又0lim ()x f x →2201(1)2lim 114n n x n x n ∞→=⎛⎫-=+ ⎪-⎝⎭∑1=，且(0)1f =，所以()f x 在0x =处连续，从而0x =时，()f x 221(1)2114n n n x n ∞=-=+-∑也成立.进而()f x 221(1)2114n nn x n∞=-=+-∑，(1,1)x ∈-，又在1x =±处级数22211(1)2(1)21414n n n n n x n n ∞∞==--=--∑∑收敛，2111lim ()lim arctan x x x f x x x --→→+=2111lim lim arctanx x xx x --→→+=⋅242ππ=⋅=()1f =，2111lim ()lim arctan x x x f x x x ++→-→-+=2111lim lim arctan x x xx x ++→-→-+=⋅()2142f ππ⎛⎫=-⋅-==- ⎪⎝⎭，所以()f x 在1x =处左连续，在1x =-处右连续，所以等式可扩大到1x =±，从而221(1)2()114n n n f x x n ∞=-=+-∑，[]1,1x ∈-，变形得221(1)()1142n n n f x x n∞=--=-∑因此21(1)14n n n ∞=--∑221(1)114n n n n ∞=-=⋅-∑[]1(1)12f =-1122π⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦1.42π=-六【详解】方法1：用斯托克斯公式之后化成第一型曲面积分计算.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)D 为S 在x oy 坐标面上的投影，{(,)| 1 }D x y x y =+={}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y x yz z z zαβγ''=--''++在2x y z ++=中，左右两边关于x 求偏导，得10x z '+=，得1x z '=-.在2x y z ++=中，左右两边关于y 求偏导，得10y z '+=，得1y z '=-.代入上式得{}111cos ,cos ,cos ,,333αβγ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为S 指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz=-+-+-⎰Sdy dz dzdx dxdy x y z P Q R∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223Sdydzdzdx dxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰将题中的空间曲线积分化为第二类曲面积分，而对于第二类曲面积分，一般的解答方法是将它先化为第一类曲面积分，进而化为二重积分进行计算.把111,,cos cos cos dS dydz dS dzdx dS dxdy αβλ===代入上式，I [](24)cos (26)cos (22)cos Sy z z x x y dSαβγ=--+--+--⎰⎰[]1(24)(26)(22)3Sy z z x x y dS =--+--+--⎰⎰[]18463S x y z dS =---⎰⎰2(423)3Sx y z dS =-++⎰⎰按第一型曲面积分的算法，将S 投影到x oy ，记为σ.d S 与它在x oy 平面上的投影d σ的关系是2211cos x y dS d z z d σσγ''==++故3dS d σ=，将2x y z ++=代入2(423)3S I x y z dS =-++⎰⎰2[423(2)](3)3Sx y x y d σ=-++--⎰⎰2(6)Dx y d σ=--+⎰⎰由于D 关于y 轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于y 轴对称，被积函数是关于x 的奇函数，所以0Dxd σ=⎰⎰.D 关于x 轴对称，利用区域的对称性，因为区域关于x 轴对称，被积函数是关于y 的奇函数，故0Dyd σ=⎰⎰，所以2(6)DI x y d σ=--+⎰⎰2212DDDxd yd d σσσ=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Ddxdy=-⎰⎰12D =-⋅的面积(由二重积分的几何意义知，Ddxdy ⎰⎰即D 的面积)其中，D 为1x y +≤，D 的面积141122=⋅⋅⋅=，所以12224.I =-⋅=-方法2：转换投影法.用斯托克斯公式，取平面2x y z ++=被L 所围成的部分为S ，按斯托克斯公式的规定，它的方向向上(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)，S 在x oy 平面上的投影域记为{(,)| 1 }D x y x y =+=.由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz=-+-+-⎰ Sdy dz dzdx dxdy x y z P Q R ∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223Sdydzdzdxdxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰由111,,cos cos cos dS dydz dS dzdx dS dxdy αβλ===，及{}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y x yz z z zαβγ''=--''++知11cos cos dS dydz dxdy αλ==，11cos cos dS dzdx dxdy βλ==，故22221cos 1cos 1xx yx x yz z z dydz dxdy dxdy z dxdy z z αλ'-''++'===-''++22221cos 1cos 1yx yy x yz z z dzdx dxdy dxdy z dxdy z z βλ'-''++'===-''++因为S 为2z x y =--，式子左右两端分别关于,x y 求偏导，1,1,z zx y∂∂=-=-∂∂于是(24)(26)(26)SI y z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰{}24,26,26,,1S z z y z z x x y dxdyx y ⎧⎫∂∂=------⋅--⎨⎬∂∂⎩⎭⎰⎰2(423)2(6)SDx y z dxdy x y dxdy=-++=--+⎰⎰⎰⎰因为区域D 关于y 轴对称，被积函数是关于x 的奇函数，所以0Dxd σ=⎰⎰.类似的，因为区域D 关于x 轴对称，被积函数是关于y 的奇函数，故0Dyd σ=⎰⎰，所以2(6)DI x y d σ=--+⎰⎰2212DDDxd yd d σσσ=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰12Ddxdy=-⎰⎰12D =-⋅的面积(由二重积分的几何意义知，Ddxdy ⎰⎰即D 的面积)D 为1x y +≤，D 的面积141122=⋅⋅⋅=，所以12224.I =-⋅=-方法3：降维法.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则)，D 为S 在x oy 坐标面上的投影，{(,)| 1 }D x y x y =+=把2x y z ++=代入I 中，1L 为L 在x oy 平面上投影，逆时针.1222222((2))(2(2))(3)()L I y x y dx x y x dy x y dx dy =---+---+---⎰ 12222(42444)(324888)L y x xy x y dx y x xy x y dy =--++-+-+--+⎰ 12222(324888)(42444)[]L y x xy x y y x xy x y dxdy x y ∂-+--+∂--++--∂∂⎰ 格林公式2(6)24Dx y dxdy =--+=-⎰⎰方法4：用斯托克斯公式后用第二型曲面积分逐个投影法.记S 为平面2x y z ++=上由L 所围成的有界部分的上侧，(曲线的正向与曲面的侧的方向符合右手法则){}221cos ,cos ,cos {,,1}1x y x yz z z zαβγ''=--''++在2x y z ++=中，左右两边关于x 求偏导，得10x z '+=，得1x z '=-.在2x y z ++=中，左右两边关于y 求偏导，得10y z '+=，得1y z '=-.代入上式得{}111cos ,cos ,cos ,,333αβγ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭为S 指定侧方向的单位法向量，由斯托克斯公式得I 222222()(2)(3)Ly z dx z x dy x y dz=-+-+-⎰ Sdy dz dzdx dxdy x y z P Q R∂∂∂=∂∂∂⎰⎰22222223Sdydzdzdx dxdy x y z y z z x x y ∂∂∂=∂∂∂---⎰⎰(24)(26)(22)Sy z dydz z x dzdx x y dxdy=--+--+--⎰⎰用逐个投影法，先计算1(24),SI y z dydz =--⎰⎰其中{}(,)|21yz D y z y z y =--+≤为S 在y oz 平面上的投影，分别令0,0,20,20y y y z y z ≥≤--≥--≤,可得到y z D 的4条边界线的方程：右：23y z +=；上：3z =；左：21y z +=；下：1z =.于是13(3)2111(1)22(2)16z z I dz y z dy --=-+=-⎰⎰再计算2(26)SI z x dzdx =--⎰⎰，其中{}(,)|21xzD x z x x z =+--≤为S 在xoz 平面上的投影，分别令0,0,20,20x x x z x z ≥≤--≥--≤,可得到x z D 的4条边界线的方程：右：23y z +=；上：3z =；左：21y z +=；下：1z =.于是13(3)321211(1)22(3)(6)8z z I dz z x dx z dz --=-+=-=-⎰⎰⎰再计算3(22)D I x y dxdy =--⎰⎰，其中{}(,)|1xyDx y x y =+≤为S 在xoy 平面上的投影，因为区域关于y 轴和x 轴均对称，被积函数是关于x 和y 都是奇函数，于是32()0SI x y dxdy =-+=⎰⎰故12324.I I I I =++=-方法5：参数式法.L 是平面2x y z ++=与柱面1x y +=的交线，是由4条直线段构成的封闭折线，将题中要求的空间曲线积分分成四部分来求.当0,0x y ≥≥时，1:1,2L y x z x y =-=--,则,dy dx dz dx =-=-，x 从1到0.以x 为参数，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz-+-+-222222[(1)(2)][2(2)]()[3(1)]()x x y dx x y x dx x x dx =----+----+---22[(1)1(2)(1)]x x dx=--+--则1222222()(2)(3)L y z dx z x dy x y dz-+-+-⎰221(1)1(2)(1)x x dx ⎡⎤=--+--⎣⎦⎰7.3=当0,0x y ≤≥,2:1,12L y x z x =+=-,则,2dy dx dz dx ==-，x 从0到1-于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz-+-+-222222[(1)(12)][2(12)][3(1)](2)x x dx x x dx x x dx =+--+--+-+-(24)x dx=+所以212222220()(2)(3)(24)3L y z dx z x dy x y dz x dx --+-+-=+=-⎰⎰ 当0,0x y ≤≤,3:1,3L y x z =-=,则,0dy dx dz =-=，x 从1-到0，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz-+-+-222222[(1)3][23]()[3(1)]0x dx x dx x x =--+⋅--+--⋅2(2226)x x dx=+-所以32222222179()(2)(3)(2226)3L y z dx z x dy x y dz x x dx --+-+-=+-=-⎰⎰ 当0,0x y ≥≤,4:1,32L y x z x =-=-，则,2dy dx dz dx ==-，x 从0到1，于是222222()(2)(3)y z dx z x dy x y dz-+-+-222222[(1)(32)][2(32)][3(1)](2)x x dx x x dx x x dx =---+--+---(1812)x dx=-+所以412222220()(2)(3)(1812) 3.L y z dx z x dy x y dz x dx -+-+-=-+=⎰⎰ 所以123424.LL L L L I ==+++=-⎰⎰⎰⎰⎰ 七【分析】拉格朗日中值定理：如果()f x 满足在闭区间[],a b 上连续，在开区间(),a b 内可导，则至少存在一点(),a b ξ∈，使等式()()()()f b f a f b a ξ'-=-成立【详解】(1)因为()y f x =在(1,1)-内具有二阶连续导数，所以一阶导数存在，由拉格朗日中值定理得，任给非零(1,1)x ∈-，存在()x θ∈(0,1)，()(1,1)x x θ⋅∈-，使[]()(0)'()f x f xf x x θ=+⋅，(0()1)x θ<<成立.因为()f x ''在(1,1)-内连续且"()0,f x ≠所以()f x ''在(1,1)-内不变号，不妨设"()0,f x >则()f x '在(1,1)-内严格单调且增加，故()x θ唯一.(2)方法1：由(1)知[]()(0)'()f x f xf x x θ=+⋅，(0()1)x θ<<于是有[]'()()(0)xf x x f x f θ=-，即[]()(0)'()f x f f x x xθ-=所以[]2'()'(0)()(0)'(0)f x x f f x f f xxx θ---=上式两边取极限，再根据导数定义，得左端＝[]0'()'(0)limx f x x f x θ→-[]0'()'(0)lim ()()x f x x f x x x θθθ→-=[]0'()'(0)limlim ()()x x f x x f x x xθθθ→→-=0"(0)lim ()x f x θ→=右端＝20()(0)'(0)limx f x f f x x →--0'()'(0)lim2x f x f x →- 洛01'()'(0)lim 20x f x f x →-=-1"(0)2f 导数定义左边=右边，即01"(0)lim ()"(0)2x f x f θ→=，故01lim ().2x x θ→=方法2：由泰勒公式得()21()(0)'(0)"(),02f x f f x f x x ξξ=++ ∈，再与(1)中的[]()(0)'()(0()1)f x f xf x x x θθ=+<<比较，所以[]21'()()(0)'(0)"(),2xf x x f x f f x f x θξ=-=+约去x ，有[]1'()'(0)"(),2f x x f f x θξ=+凑成[]'()'(0)1()"(),()2f x x f x f x xθθξθ-=由于[]0'()'(0)lim "(0)()x f x x f f x xθθ→-=，00lim "()lim "()"(0)x f x f f ξξ→→==所以01"(0)lim ()"(0)2x f x f θ→=故01lim ().2x x θ→=八【详解】222222()1()0()()2x y z h t x y h t h t +=-≥⇒+≤，所以侧面在x oy 面上的投影为：()2221,:()2D x y x y h t ⎧⎫=+≤⎨⎬⎩⎭记V 为雪堆体积，S 为雪堆的侧面积，则由体积公式V (),Df x y dxdy =⎰⎰Dzdxdy =⎰⎰222()()()D x y h t dxdy h t ⎡⎤+=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰化为极坐标，令c os ,sin x r y r θθ= =，()0,022h t r πθ≤≤≤≤V ()22202()()h t r d h t rdr h t πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰()22022()()h tr h t rdr h t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰()()22222()()h t h t r h t rdr rdr h t π⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰()()24222()22()h t h t r r h t h t π⎛⎫ ⎪=-⎪⎪⎝⎭33()()248h t h t π⎛⎫=- ⎪⎝⎭3()4h t π=再由侧面积公式：()()22''1x y DS f f dxdy =++⎰⎰()()221xy Dz z dxdy''=++⎰⎰22441()()Dx y dxdy h t h t ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰22216()1()D x y dxdy h t +=+⎰⎰化为极坐标，令c os ,sin x r y r θθ= =，()0,022h t r πθ≤≤≤≤S =()()22220161h t r d rdr h t πθ+⎰⎰()()22201621h t r rdr h t π=+⎰()()22220161h t r dr h t π=+⎰()()()()22222201616116h t h t r r d h t h t π=+⎰()()()32222202161163h t h t r h t π⎛⎫=⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭()()()32232228211163h t h t h t π⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⋅⋅+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()22271163h t π=⋅⋅-213()12h t π=由题意知0.9(),dVS t dt =-将上述()V t 和()S t 代入，得32()13()40.912dh t h t dt ππ=-⋅223()13()()0.9412dh t h t h t dt ππ⇒=-⋅() 1.3dh t dt ⇒=-积分解得13()10h t t C =-+由()0130h =,得130C =.所以13()130.10h t t =-+令()0h t →，即13130010t -+→100t ⇒→因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需要时间为100小时.九【详解】由题设知，12,,,s βββ 均为12,,,s ααα 的线性组合，齐次方程组当有非零解时，解向量的任意组合仍是该齐次方程组的解向量，所以12,,,s βββ 均为0Ax =的解.下面证明12,,,s βββ 线性无关.设11220s s k k k βββ+++= ()*把11122,t t βαα=+21223,t t βαα=+121,,s s t t βαα=+ 代入整理得，()()()1121211222110s s s s t k t k t k t k t k t k ααα-++++++= 由12,,,s ααα 为线性方程组0Ax =的一个基础解系，知12,,,s ααα 线性无关，由线性无关的定义，知()*中其系数全为零，即112211221100 0s s s t k t k t k t k t k t k -+=⎧⎪+=⎪⎨⎪⎪+=⎩ 其系数行列式122121210000000000t t t t t t t t122211321211211100000000000(1)ss s t t t t t t t t t t t +--*+-（）1121111(1)ss s s t tt t -+-⎛⎫=+- ⎪⎝⎭112(1)s s s t t +=+-(*（）变换：把原行列式第i 行乘以21t t -加到第1i +行，其中1,, 1.i s =- )由齐次线性方程组只有零解得充要条件，可见，当12(1)0,sst t +-≠，即12(),sst t ≠-即当s 为偶数，12;t t ≠±当s 为奇数，12t t ≠时，上述方程组只有零解120,s k k k ==== 因此向量组12,,,s βββ 线性无关，故当12122,21,s n t t s n t t =≠±⎧⎨=+≠⎩时，12,,,s βββ 也是方程组0A x =的基础解系.十【详解】(1)方法1：求B ，使1A PBP -=成立，等式两边右乘P ，即AP PB =成立.由题设知，AP ()2,,A x Ax A x =()23,,Ax A x A x =，又3232A x Ax A x =-，故有AP ()22,,32Ax A x Ax A x =-()2000,,103012x Ax A x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭000103012P ⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭即如果取000103012B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，此时的B 满足1A PBP -=，即为所求.方法2：由题设条件()2,,P x Ax A x =是可逆矩阵，由可逆的定义，知有1P -使11PP P P --=()()121112,,,,P x Ax A x P x P Ax P A x ----==E =100010001⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭即有11121000,1,0001P x P Ax P A x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由题设条件，3232A x Ax A x =-，有()131232P A x P Ax A x --=-11232P Ax P A x --=-00312001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭032⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭由1A PBP -=，得1B P AP -=()12,,P A x Ax A x -=()123,,P Ax A x A x -=()11213,,P Ax P A x P A x ---=000103012⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭(2)由(1)及矩阵相似的定义知，A 与B 相似.由矩阵相似的性质：若A B ，则()()f A f B ，则A E +与A E -也相似.又由相似矩阵的行列式相等，得100113011A E B E ⎡⎤⎢⎥+=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦1001(1)0132011⎡⎤⨯-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行加到行1113(1)11+=--4=-十一【分析】首先需要清楚二项分布的产生背景.它的背景是：做n 次独立重复试验，每次试验的结果只有两个(要么成功，要么失败)，每次试验成功的概率都为p ，随机变量X 表示n 次试验成功的次数，则~(,)X B n p .在此题中，每位乘客在中途下车看成是一次实验，每个人下车是独立的，有n 个人相当于做了n 次独立重复实验，把乘客下车看成实验成功，不下车看成实验失败，而且每次实验成功的概率都为p ，则问题(1)成为n 重伯努利实验中有m 次成功.【详解】(1)求在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率，相当于求条件概率{}|P Y m X n ==，由题设知，此条件概率服从二项分布，因此根据二项分布的分布律有:{}|(1),0,0,1,2m mn m n P Y m X n C P P m n n -===-≤≤=(2)求二维随机变量(,)X Y 的概率分布，其实就是求{},P X n Y m ==，利用乘法公式，有{}{}{},|P X n Y m P Y m X n P X n ======又X 服从参数(0)λλ>的泊松分布，由泊松分布的分布律有{}!nP X n en λλ-==故{}{}{},|(1)!m mn mn neP X n Y m P Y m X n P X n C P P n λλ--=======-⋅，其中0,0,1,2m n n ≤≤=十二【详解】记121111,n n i n i i i X X X X n n +====∑∑，则()1212X X X =+，即122X X X =+且1111nin i i i E Xnu E X E X u n nn ==⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑，211n n i i E X E X u n +=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑因此()()()221211()2nn i n i i n i i i E Y E X X XE X X X X ++==⎡⎤⎧⎫⎡⎤=+-=-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭∑∑()()()()22112212n i i n i n i i E X X X X XX X X ++=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭∑()()()()2211221112n n ni i n i n i i i i E X X E X X X X E X X ++===⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦∑∑∑因为样本方差()221111n i i S X X n =⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦∑是总体方差的无偏估计，则22ES σ=，即()2221111ni i ES E X X n σ=⎡⎤=-=⎢⎥-⎣⎦∑所以()2211(1)ni i E X X n σ=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑，同理()2221(1)nn i i E X X n σ+=⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦∑而()()()()12121122n n i n i i n ii i E X X X X E X X XX ++==⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤--=--⎨⎬⎨⎬⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎩⎭∑∑()()1212ni n ii E X X XX +=⎡⎤=--⎣⎦∑()21121ni n i i n i i E X X X X X X X X ++==--+∑()21121ni n i i n i i EX X EX X E X X E X X ++==--+∑由于122,,,(2)n X X X n ≥ 相互独立同分布，则2i X X 与，1n i X X +与，12X X 与也独立(1,2i n = ).而由独立随机变量期望的性质(若随机变量,X Y 独立，且,E X EY 都存在，则E XY EXEY =)，所以2i n i i n i EX X EX EX u ++==，222i i EX X EX E X u ==211n i n i E X X E X EX u ++==，21212E X X E X E X u ==故有()()121n i n i i E X X XX +=⎧⎫⎡⎤--⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑()21121ni n i i n i i EX X EX X E X X E X X ++==--+∑()22221ni u u u u ==--+=∑即()()()()221122111()2n n n i i n i n i i i i E Y E X X E X X X X E X X ++===⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭⎣⎦∑∑∑()()()2221121n n n σσσ=-+-=-。

(完整word版)考研数学一试题及答案解析,推荐文档

2007年数学一一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 当0x +→等价的无穷小量是(A) 1- (B)(C) 1. (D) 1- [ B ]【分析】利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】当0x +→时，有1(1)~-=--1~；2111~.22x -= 利用排除法知应选(B). (2) 曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]【分析】先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。

【详解】因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim[ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim []lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11xx x e e→+∞=+， 1lim[1]lim[ln(1)]x x x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]x x e x →+∞+-=lim[ln (1)]lim ln(1)0xxxx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是(A) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F . [ C ]【分析】本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。

2003年考研数学一真题及答案详解

n n n

(A) an bn 对任意 n 成立 (C)极限 lim a n c n 不存在
n
(B) bn cn 对任意 n 成立 (D)极限 lim bn cn 不存在
n
第 1 页共 26 页
(3)已知函数 f ( x, y) 在点 (0, 0) 的某个邻域内连续,且 lim
x 0
1 lim ln( 1 x 2 ) x 0

1 2 x 1 2 ， 2 2 x
所以
原式= e

1 e
.
【评注】本题属常规题型（ 2 ）曲面 z x 2 y 2 与平面 2x 4 y z 0 平行的切平面的方程是
2x 4 y z 5 .

L
x esin y dy y e sin x dx

L
x e sin y dy y esin x dx .
L
x esin y dy y e sin x dx 2 2 .
六、(本题满分 10 分) 某建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层 .汽锤每次击打,都将克服土层对桩的阻力而作功.设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比 (比例系数为 k .k 0 ).汽锤第一次击打将桩打进地下 a m.根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数 r (0 r 1) .问 (1)汽锤击打桩 3 次后,可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深? (注:m 表示长度单位米.) 七、(本题满分 12 分) 设函数 y y ( x) 在 (,) 内具有二阶导数 , 且 y 0, x x( y ) 是 y y ( x) 的反函数.

00年考研数学真题

00年考研数学真题2000年考研数学真题解析一、问题描述及分析数学是考研的必考科目之一，往年的数学真题对考生的数学能力和解题思路有一定的考察。

在本文中，我们将对2000年的考研数学真题进行详细解析，帮助考生加深对数学知识的理解和应用。

二、选择题解析1. 题目描述：已知函数f(x) = x^2 + ax + b，若对于任意实数x，都有f(x) = f(1 - x)，则a+b的值为（）。

2. 解析：根据题目要求可以得出f(x) = x^2 + ax + b = f(1 - x) = (1 - x)^2 + a(1 - x) + b。

将这两个式子相等化简得到x^2 + ax + b = 1 - 2x + x^2 + a - ax + b，化简可得a = 1。

由于a = 1，代入任意一个式子中，可得b = -1。

因此，a + b = 1 - 1 = 0。

3. 题目描述：设f(x) = |x + 1| + ax，若对于任意实数x，f(f(x)) =f(|x|)，则a的值为（）。

4. 解析：首先，我们将f(f(x))展开，得到f(f(x)) = f(|x|) = ||x + 1| + a|x + 1|| + a|x + 1| = ||x| + 1 + a||x + 1| + a|x + 1||。

根据绝对值的性质，|a| = a或者|a| = -a。

若|a| = a，则||x| + 1 + a||x + 1| + a|x + 1|| = (|x| + 1 + a)(|x + 1| + a(x + 1)) = (x + 1 + a)(x + 1 + ax + a) = (x + 1 + a)(x(1 + a) + 2(1 + a)) = (x + 1 + a)(x + 2)(1 + a)。

若|a| = -a，则||x| + 1 + a||x + 1| + a|x + 1|| = (|x| + 1 + a)(|x + 1| - a(x + 1)) = (x + 1 + a)(x + 1 - ax - a) = (x + 1 + a)(x - 2ax + 1 - a) = (x + 1 + a)(1 - 2ax - a)。

考研数学一解答题专项强化真题试卷36(题后含答案及解析)

考研数学一解答题专项强化真题试卷36(题后含答案及解析)题型有：1.1．(2002年)计算二重积分其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}。

正确答案：应先将emax{x2,y2}写成分块表达式。

记D1={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x}，D2={(x，y)|0≤x≤1，x≤y≤1}，于是从而涉及知识点：多元函数积分学2．已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1－a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩为2。

(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求正交变换x=Qy，把f(x1，x2，x3)化成标准形；(Ⅲ)求方程f(x1，x2，x3)=0的解。

正确答案：(Ⅰ)二次型对应矩阵为由二次型的秩为2，知得a=0。

(Ⅱ)二次型矩阵其特征值为λ1=λ2=2，λ3=0。

解(2E－A)x=0，得特征向量α1=(1，1，0)T，α2=(0，0，1)T。

解(0E－A)x=0，得特征向量α3=1，一1，0)T。

由于α1，α2，α3已经两两正交，直接将α1，α2，α3单位化，得令Q=(η1 ，η2 ，η3)，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形f(x1，x2，x3)=2y12+2y22。

(Ⅲ)由f(x1，x2，x3)=2y12+2y22=0，得y1=y2=0，Y3k(k为任意常数)。

从而所求解为：x=Qy=(η1 ，η2 ，η3)其中c为任意常数。

3．已知二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2。

(Ⅰ)求实数a的值；(Ⅱ)求正交变换x=Qy，将f化为标准形。

正确答案：(Ⅰ)ATA=由r(ATA)=2，可得=(a+1) 2 (a2+3)=0可知a=－1。

(Ⅱ)二次型f的矩阵B=ATA=则｜λE－B｜==λ(λ－2)(λ－6)=0，解得B矩阵的特征值为λ1=0；λ2=2；λ3=6。

对于λ1=0，解(λ1E—B)x=0得对应的特征向量为η1=(1，1，一1)T；对于λ2=2，解(λ2E—B)x=0得对应的特征向量为η2=(1，一1，0)T；对于λ3=6，解(λ3E—B)x=0得对应的特征向量为η3=(1，l，2)T。