第22讲 随机事件与概率课程讲义例题练习含答案

随机事件与概率--知识讲解
【学习目标】
1、感受生活中的随机现象，并体会不确定事件发生的可能性大小；
2、通过试验感受不确定事件发生的频率的稳定性，理解概率的意义.
【要点梳理】
要点一、确定事件与不确定事件
1.确定事件
在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定发生，这些事情称为必然事件．有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件．必然事件与不可能事件统称为确定事件.
2.不确定事件
也有许多事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件，也称为随机事件.
要点诠释：
要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.
要点二、频率与概率
1.频率与概率的定义
频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则比值m
n
称为事件A发生的频
率.
无论是掷质地均匀的硬币还是掷图钉，在试验次数很大时正面朝上（钉尖朝上）的频率都会在一个常数附近摆动，这就是频率的稳定性.
概率：我们把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率，记作P （A）.事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即.
2.频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点诠释：
①事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.
②概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
【典型例题】
类型一、确定事件与不确定事件
1.指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是不确定事件？
①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c；
②没有空气，动物也能生存下去；
③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾；
④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)；
⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；
⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则
为白球.
【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是不确定事件.
【总结升华】准确掌握定义，依据定义进行判别.
举一反三
【变式1】（•凉山州模拟）下列事件中不是随机事件的是（）
A．打开电视机正好在播放广告
B．从有黑球和白球的盒子里任意拿出一个正好是白球
C．从课本中任意拿一本书正好拿到数学书
D．明天太阳会从西方升起
【答案】D．
解：A、打开电视机正好在播放广告是随机事件，选项错误；
B、从有黑球和白球的盒子里任意拿出一个正好是白球，是随机事件，选项错误；
C、从课本中任意拿一本书正好拿到数学书，是随机事件，选项错误；
D、明天太阳会从西方升起是不可能事件，不是随机事件，选项正确．
故选D．
【变式2】下列说法中，正确的是( )．
A．生活中，如果一个事件不是不可能事件，那么它就必然发生；
B．生活中，如果一个事件可能发生，那么它就是必然事件；
C．生活中，如果一个事件发生的可能性很大，那么它也可能不发生；
D．生活中，如果一个事件不是必然事件，那么它就不可能发生.
【答案】C.
2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？
(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；
(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；
(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球.
【答案与解析】(1)可能发生，因为袋中有红球；
(2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；
(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球.
【总结升华】要掌握三种事件的区别与联系.
举一反三
【变式】甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则
甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方
都公平的游戏.
【答案】不公平，小于3的点数有1、2，大于3的点数有4、5、6，因此，它们的可能性
是不同的，所以不公平.可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜.
类型二、频率与概率
3.（•阜新）为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频率约为0.2，那么可以估计暗箱里白球的数量大约为个．
【思路点拨】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【答案】20．
【解析】解：设暗箱里白球的数量是n，则根据题意得：=0.2，
解得：n=20，
故答案为：20．
【总结升华】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
4. 如图所示，转盘停止后，指针落在哪个颜色区域的可能性大？为什么？
【答案与解析】落在黄色区域的可能性大.
理由如下：
由图可知：黄色占整个转盘面积的；
红色占整个转盘面积的；
蓝色占整个转盘面积的.
由于黄色所占比例最大，所以，指针落在黄色区域的可能性较大.
【总结升华】计算随机事件的可能性的大小，根据不同题目的不同条件确定解法，如面积法、数值法等.
投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6 8 9 7 12 7 进球频率
n
m
(1)计算表中各场次比赛进球的频率；
(2)这位运动员每次投篮，进球的概率约为多少?
【思路点拨】计算出每次的频率值，看频率稳定在哪个值附近，这个值就约等于概率. 【答案与解析】 （1）
投篮次数n 8 10 12 9 16 10 进球次数m 6
8
9
7
12
7
进球频率
n
m
0.75 0.8 0.75 0.78 0.75 0.7 (2)P(进球)≈0.75.
【总结升华】频率和概率的关系：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近. 举一反三
【变式】某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
射击次数(ｎ) 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数(ｍ) 9 19 44 91 178 451 击中靶心频率(
)
(1)计算表中击中靶心的各个频率(精确到0.01)；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少(精确到0.1)？
【答案】 (1)击中靶心的各个频率依次是：0.90，0.95，0.88，0.91，0.89，0.90. (2)这个射手击中靶心的概率约为0.9.
【巩固练习】
一、选择题
1. 下列说法正确的是( )．
A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次．其中，抛掷出5点的次数最多，则第2001次一定抛掷出5点.
B．某种彩票中奖的概率是1％，因此买100张该种彩票一定会中奖
C．天气预报说：明天下雨的概率是50％，所以明天将有一半时间在下雨
D．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等
2.（•徐州）一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，
从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（）
A．至少有1个球是黑球B．至少有1个球是白球
C．至少有2个球是黑球D．至少有2个球是白球
3.下列说法正确的是( )
A.可能性很小的事件在一次试验中一定不会发生
B.可能性很小的事件在一次试验中一定发生
C.可能性很小的事件在一次试验中有可能发生
D.不可能事件在一次试验中也可能发生
4. 在不透明的袋中装有除颜色外，其余均相同的红球和黑球各一个，从中摸出一个
球恰为红球的概率与一枚均匀硬币抛起后落地时正面朝上的概率的大小关系是( )
A．摸出红球的概率大于硬币正面朝上的概率
B．摸出红球的概率小于硬币正面朝上的概率
C．相等
D．不能确定
5.下列说法正确的是( )
A.抛掷一枚硬币5次，5次都出现正面，所以投掷一枚硬币出现正面的概率为1
B.“从我们班上查找一名未完成作业的学生的概率为0”表示我们班上所有的学生
都完成了作业
C.一个口袋里装有99个白球和一个红球，从中任取一个球，得到红球的概率为1%，
所以从袋中
取至少100次后必定可以取到红球(每次取后放回，并搅匀)
D.抛一枚硬币，出现正面向上的概率为50%，所以投掷硬币两次，那么一次出现正
面，一次出现反面.
6. 下图的转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上1，2，3，4，5，6这六个
数字，指针停在每个扇形的可能性相等.四位同学各自发表了下述见解：
甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次就一定不会停在3号扇形；
乙：只要指针连续转六次，一定会有一次停在 6号扇形；
丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等；
丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在 6号扇形，指针停在6号扇形的可能性就会加大.其中，你认为正确的见解有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二. 填空题
7. 夏雪同学每次数学测试成绩都是优秀，则在这次中考中他的数学成绩 ____________
（填“可能”，“不可能”，“必然”）是优秀．
8. 判断下列事件的类型：(必然事件，随机事件，不可能事件)
(1)掷骰子试验，出现的点数不大于6．_____________
(2)抽签试验中，抽到的序号大于0．_____________
(3)抽签试验中，抽到的序号是0．____________
(4)掷骰子试验，出现的点数是7．_____________
(5)任意抛掷一枚硬币，“正面向上”．_____________
(6)在上午八点拨打查号台114，“线路能接通”．__________
(7)度量五边形外角和，结果是720度．________________
9. （•潍坊模拟）在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其
他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有个．
10．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：
根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为（精确到0.1）．
11. 掷一枚均匀的骰子，2点向上的概率是_______，7点向上的概率是_______．
12. 下面4个说法中，正确的个数为_______．
(1)“从袋中取出一只红球的概率是99%”，这句话的意思是肯定会取出一只红球，
因为概率已经很大．
(2)袋中有红、黄、白三种颜色的小球，这些小球除颜色外没有其他差别，因为小张对取出一只红没有把握，所以小张说：“从袋中取出一只红球的概率是50%”．
(3)小李说“这次考试我得90分以上的概率是200%”．
(4)“从盒中取出一只红球的概率是0”，这句话是说取出一只红球的可能性很小．
三.综合题
13. 下表是一个机器人做9999次“抛硬币”游戏时记录下的出现正面的频数和频率
出现正面的频率20% 62% 45% 51% 49.4% 49.7% 50.1%
(1)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完5次时，得到一次正面，正面出现的频
率是20%，那么，也就是说机器人抛掷完5次后，得到______次反面，反面出现的
频率是______.
(2)由这张频数和频率表可知，机器人抛掷完9999次时，得到_____次正面，正面出
现的频率是_____；那么，也就是说机器人抛掷完9999次时，得到_____次反面，
反面出现的频率是______
(3)请你估计一下，抛这枚硬币，正面出现的概率是_______.
14. （春•雅安期末）如图是小明和小颖共同设计的自由转动的十等分转盘，上面写有10
个有理数．
（1）求转得正数的概率．
（2）求转得偶数的概率．
（3）求转得绝对值小于6的数的概率．
15. 一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余
都相同．
(1)求摸出1个球是白球的概率；
(2)现在再将n个白球放入布袋，搅匀后，使摸出1个球是白球的概率为，求n
的值．
【答案与解析】
一、选择题
1．【答案】D.
2.【答案】A.
【解析】一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从
中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球
是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件．故选A．
3．【答案】C.
4．【答案】C.
【解析】两种情况的概率均为50%.
5．【答案】B.
6．【答案】A.
【解析】只有丙是正确的，指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率都是50%.
二、填空题
7. 【答案】可能.
【解析】夏雪同学每次数学测试成绩都是优秀，则在这次中考中他的数学成绩不能确定，是随机事件．
8．【答案】必然事件；必然事件；不可能事件；不可能事件；随机事件；随机事件；
不可能事件.
9.【答案】12.
【解析】设白球个数为：x个，∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%，∴=，解得：x=12，故白球的个数为12个．故答案为：12．
10.【答案】0.8；
【解析】随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在概率附近.
11.【答案】1
6
；0.
12.【答案】0.
【解析】(1)中即使概率是99%，很大了，但是仍然有不是红球的可能，所以错误；
(2) 因为有三个球，机会相等，所以概率应该是1
3
；
(3) 概率的取值范围是．
(4) 应该是取出一只红球的可能性不存在．
三、解答题
13.【解析】① 4；80%；
② 5006；50.1%；4993；49.9%；
③1
2
.
14. 【解析】
解：（1）P（转得正数）==；
（2）P（转得偶数）==；
（3）P（转得绝对值小于6的数）==．
15.【解析】(1)；
(2)由题意得，∴
经检验，n＝4是方程的根，且符合题意．。