江苏省常熟中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题(扫描版)
江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
（1）用单调性定义证明：函数 f x 在 0,1 上是减函数，在 1, 是增函数；
（2）若关于1 2
,
2
上有解，求实数
k
的取值范围；
（3）当关于 x 的方程 f x m 有两个不相等的正根时，求实数 m 的取值范围．
-3-/4
21.已知函数
f
x
3x m 3x 1
B. 2,
C. 2, 2
1
D.
8
D. 0, 2
4.化简 2 lg 5 lg 4 5log5 2 的结果为（ ）
A. 0
B. 2
C. 4
D. 6
5.若 a2 a2 （ a 0 且 a 1），则函数 f (x) loga(x 1) 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.已知全集U R ， M x x 1 ， N x x x 2 0 ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
2019-2020 学年第一学期期中试卷高一数学
1.集合 A＝｛1，2｝的真子集的个数是（ ）．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2.计算 4 163 的结果为（ ）
A. 8
B. 4
C. 2
3.若集合 A y y x2 2 ， B x log2 x 1 ，则 A B （ ）
A. , 2
．
（1）当 m 0 时，判断函数 f x 的奇偶性，并给出理由；
（2）若函数 f x 为奇函数，求实数 m 的值，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若关于 x 的不等式 f f x f a 0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
22.已知函数 f x x x m m2 ． （1）若函数 f x 在 1, 2 上单调递增，求实数 m 的取值范围； （2）若函数 f x 在 1, 2 上的最小值为 7 ，求实数 m 的值．
2019-2020学年江苏省苏州市常熟市高一(下)期中数学试卷
由一个样本 ， ， ， ， 的平均数为 ，
所以 ；
又不等式 的解集为 ，
所以 ，
解得 ＝ ，
所以 ＝ ；
所以该样本的方差为： ＝ ；
标准差为 ．
8.已知直线 ： ＝ 和圆 ＝ ，给出下列说法：
①直线 和圆 不可能相切；
②当 ＝ 时，直线 平分圆 的面积；
③若直线 截圆 所得的弦长最短，则 ；
∵ 圆心到直线 ＝ 的距离 ，
则直线 ＝ 被圆 ＝ 截得的弦长为 ．
但当直线 截圆 所得的弦长为 时，只有一个 的取值，使直线 截圆 所得的弦长为 ，故④错误．
∴ 其中正确的说法个数是 个．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添徐在答题卡相应位置上）
对于 ，一条直线的倾斜角为 时，它的斜率为 或不存在， 错误．
一个人连续射击 次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A.事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B.事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件
C.事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件
D.事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
【解答】
∵ ＝ ， ＝ ， ，
∴ 可得： ＝ ，
∵ ＝ ＝ ＝ ，可得： ＝ ，
∴ ．
7.样本 ， ， ， ， 的平均数为 ，且不等式 的解集为 ，则这个样本的标准差是（ ）
A. B. C. D.
【答案】
A
【考点】
极差、方差与标准差
【解析】
由平均数定义和根与系数的关系求出 和 ，再计算该样本的方差和标准差．
【解析】江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
2019-2020学年第一学期期中试卷高一数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将你认为正确的选项填涂在答题卡相应的位置． 1.集合A ＝｛1，2｝的真子集的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【详解】试题分析：集合{}1,2A =的真子集有{}{}21∅，，，共3个，故选C. 考点：集合的子集2. ） A. 8 B. 4 C. 2D.18【答案】A 【分析】将根式化为分数指数幂，结合指数幂的运算法则可得出结果.()33434416228====.故选：A.【点睛】本题考查根式的运算，考查分数指数幂的应用与指数幂的运算法则，考查计算能力，属于基础题.3.若集合{}22A y y x ==-，{}2log 1B x x =<，则A B =I （ ） A. (),2-∞ B. [)2,-+∞ C. [)2,2- D. ()0,2【答案】D 【分析】求出集合A 、B ，然后利用交集的定义可求出集合A B I .【详解】20x ≥Q ，222y x ∴=-≥-，则{}[)222,A y y x ==-=-+∞.解不等式22log 1log 2x <=，得02x <<，则()0,2B =. 因此，()0,2A B =I . 故选：D.【点睛】本题考查了交集的运算，同时也考查了函数值域与对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 4.化简5log 22lg5lg 45+-的结果为（ ） A. 0 B. 2C. 4D. 6【答案】A 【分析】由对数的运算性质即可得解. 【详解】5log 22lg5lg45+-=5log 2lg25lg45lg1002+-=-=2-2=0.故选A.【点睛】本题考查对数的运算性质，熟记公式是关键，属于基础题.5.若22a a ->（0a >且1a ≠），则函数()log (1)a f x x =-的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【分析】求出a 的取值范围，可得知函数log ay x =的增减性，然后在此函数的基础上向右平移一个单位长度得出函数()()log 1a f x x =-的图象，从而可得出正确选项.【详解】22a a ->Q （0a >且1a ≠），且22-<，则指数函数xy a =为减函数，01a ∴<<， 所以，对数函数log ay x =在()0,∞+上为减函数，在该函数图象的基础上向右平移一个单位长度得出函数()()log 1a f x x =-的图象， 因此，C 选项中的图象为函数()()log 1a f x x =-的图象. 故选：C.【点睛】本题考查对数型函数图象的识别，解题的关键就是结合条件求出底数的取值范围，考查推理能力，属于基础题.6.已知全集U =R ，{}1M x x =<-，(){}20N x x x =+<，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A. ()1,0-B. [)1,0-C. ()2,1--D.(],2-∞-【答案】B 【分析】求出集合N ，并求出集合M N ⋂，根据韦恩图表示的集合可得出结果.【详解】(){}()202,0N x x x =+<=-Q ，且(),1M =-∞-，则()2,1M N =--I . 图中阴影部分所表示的集合为{x x N ∈且}x M N ∉⋂. 因此，图中阴影部分所表示的集合为[)1,0-. 故选：B.【点睛】本题考查韦恩图所表示集合的求解，解题时要弄清楚韦恩图所表示集合的含义，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.7.已知函数()2f x ax bx c =++，若关于x 的不等式()0f x >的解集为()1,3-，则A. ()()()401f f f >>B. ()()()104f f f >>C. ()()()014f f f >>D. ()()()140f f f >>【答案】B【分析】由题意可得0a <，且1-，3为方程20ax bx c ++=的两根，运用韦达定理可得a ，b ，c 的关系，可得()f x 的解+析式，计算(0)f ，f （1），f （4），比较可得所求大小关系． 【详解】关于x 的不等式()0f x >的解集为(1,3)-， 可得0a <，且1-，3为方程20ax bx c ++=的两根， 可得13ba -+=-，13c a-⨯=，即2b a =-，3c a =-， 2()23f x ax ax a =--，0a <，可得(0)3f a =-，f （1）4a =-，f （4）5a =， 可得f （4）(0)f f <<（1），故选B ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用。
江苏省苏州市2019-2020年度高一上学期数学期中考试试卷C卷
江苏省苏州市2019-2020年度高一上学期数学期中考试试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·武邑模拟) 已知集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={x丨y=lg（x2+x）}，设U=R，则A∩（∁UB）等于（）A . [3，+∞）B . （﹣1，0]C . （3，+∞）D . [﹣1，0]2. （2分） (2019高一上·蕉岭月考) 函数的最大值是（）A . 3B . 4C . 5D . 63. （2分） (2019高一上·长春期中) 已知幂函数的图象过点，则此幂函数（）A . 过点B . 是奇函数C . 过点D . 在上单调递增4. （2分） (2018高一上·浙江期中) 下列函数为同一函数的是A . 与B . 与C . 与D . 与5. （2分） (2018高二下·鸡泽期末) 已知函数，则不等式的解集是（）A .B .C .D .6. （2分）函数对任意自然数x，满足则（）A . 11B . 12C . 13D . 147. （2分） (2018高二下·磁县期末) 函数的部分图象大致为A .B .C .D .8. （2分）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≤0时，f（x）=x2﹣2x，那么不等式f（x+1）＞3的解集是（）A . （﹣∞，2）∪（2，+∞）B . （﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）C . （﹣∞，0）∪（2，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）9. （2分）令a=60.7 ， b=0.76 ， c=log0.76，则三个数a、b、c的大小顺序是（）A . b＜c＜aB . b＜a＜cC . c＜a＜bD . c＜b＜a10. （2分） (2019高一上·杭州期中) 函数的单调递增区间是（）A .B .C .D .11. （2分）已知为R上的可导函数，当时，，则函数的零点个数为（）A . 1B . 2C . 0D . 0或212. （2分） (2019高二下·大庆月考) 当直线与曲线有3个公共点时，实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·普宁月考) 设则不等式的解集为________．14. （1分） (2019高一上·镇原期中) 设 ,则 =________.15. （1分） (2016高一上·和平期中) 计算 =________．16. （1分） (2019高二下·大庆月考) 设函数，则使得成立的的取值范围是________.三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2019高一上·青冈期中) 计算：（1）；（2） .18. （10分）已知A={x|﹣1＜x≤3}，B={x|m≤x＜1+3m}（1）当m=1时，求A∪B；（2）若B⊆∁RA，求实数m的取值范围．19. （10分） (2017高一上·南通开学考) 已知函数f（x）=（ + ）x3（a＞0且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）讨论函数f（x）的奇偶性；（3）求a的取值范围，使f（x）＞0在定义域上恒成立．20. （10分） (2019高一上·会宁期中) 已知函数f（x）＝x2﹣2（a﹣1）x+4．（1）若f（x）为偶函数，求f（x）在[﹣1，2]上的值域；（2）若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，求f（x）在[-1，a]上的最大值．21. （10分） (2016高一上·淮北期中) 经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t（天）的函数，且销售量近似满足g（t）=80﹣2t（件），价格近似满足于（元）．（Ⅰ）试写出该种商品的日销售额y与时间t（0≤t≤20）的函数表达式；（Ⅱ）求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．22. （15分） (2019高一上·郑州期中) （Ⅰ）对于任意的，都有，求数的解析式；（Ⅱ）已知是奇函数，，若，求和的值.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、第11 页共11 页。
江苏省苏州市2019-2020年度高一上学期期中数学试卷C卷
江苏省苏州市2019-2020年度高一上学期期中数学试卷C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）如果，那么..（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二下·雅安期末) 已知，则等于（）A . -4B . -2C . 1D . 23. （2分）(2018·肇庆模拟) 已知全集，集合 ,则（）A . {0,1,3,4,5}B . {1,3,4,5}C . {1,2,3,4,5}D . {0,1,2,3,4,5}4. （2分）设集合，则（）A .B .C .D .5. （2分）如图所示，可表示函数图象的是（）A . ①B . ②③④C . ①③④D . ②6. （2分）(2020·丹东模拟) 函数是（）A . 奇函数，且在上是增函数B . 奇函数，且在上是减函数C . 偶函数，且在上是增函数D . 偶函数，且在上是减函数7. （2分）判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）（1），，(t≠3)；（2），；（3），；（4），．A . （1），（4）B . （2），（3）C . （1）D . （3）8. （2分） (2018高一上·林芝月考) 已知函数的定义域为 ,则的定义域是（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一上·张家口月考) 函数、由下列表格给出，则（）123424314321A . 4B . 3C . 2D . 110. （2分）下列计算正确的是（）A .B . log23×log25=log215C . 210﹣29=29D .11. （2分）下列选项中，可以求对数的是（）A . 0B . ﹣5C . πD . ﹣x212. （2分）log2sin10°+log250°+log2sin70°的值为（）A . 4B . ﹣4C . ﹣2D . ﹣3二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2019高一上·嘉兴期中) 若函数f（x）=（2a-1）x-3-2，则y=f（x）的图象恒过定点________，又f（x）在R上是减函数，则实数a的取值范围是________．14. （1分）函数f（x）=lg（2x﹣3x）的定义域为________15. （1分）若幂函数的图象过点（27，9）则它的解析式为f（x）=________．16. （1分） (2016高一上·扬州期末) 已知函数f（x）为偶函数，且f（x+2）=﹣f（x），当x∈（0，1）时，f（x）=（）x ，则f（）=________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2018高二上·武汉期末) 已知函数，a为常数（1）判断f（x）在定义域内的单调性（2）若f（x）在上的最小值为，求a的值18. （10分） (2016高一上·宁波期中) 解答题（1）计算；（2）已知，求的值．19. （5分） (2017高一上·厦门期末) 已知函数f（x）= ，（x＞0且a≠1）的图象经过点（﹣2，3）．（Ⅰ）求a的值，并在给出的直角坐标系中画出y=f（x）的图象；（Ⅱ）若f（x）在区间（m，m+1）上是单调函数，求m的取值范围．20. （5分）已知函数．（1）若函数的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）若函数的值域为（﹣∞，﹣1]，求实数a的取值范围；（3）若函数在区间上为增函数，求实数a的取值范围．21. （10分） (2016高一上·锡山期中) 已知集合A={x|2≤x≤11}，B={x|4≤x≤20}，C={x|x≤a}．（1）求A∪B与（∁RA）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．22. （10分）已知角α=45°；（1）在区间[﹣720°，0°]内找出所有与角α有相同终边的角β；（2）集合，，那么两集合的关系是什么？参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。
江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高三上学期期中数学试题(教师版)
2019—2020学年第一学期高三期中调研试卷数学（正题）注意事项：1．本试卷共4页．满分160分，考试时间120分钟．2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效．3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸相应的位置）1.已知集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>，则AB =__________.【答案】{1,2}【解析】【分析】根据交集的运算可直接得出结果． 【详解】解：集合{2,1,0,1,2}A =--，{|0}B x x =>， {1,2}A B ∴=，故答案为：{1,2}．【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题．2.已知复数z 满足2z i i =+（i 为虚数单位），则复数z 的实部为___________. 【答案】1-【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由2z i i=+，得(2)12z i i i =+=-+， ∴复数z 的实部为−1，故答案为：−1．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.已知向量(,2)a x =，(2,1)b =-，且a b ⊥，则实数x 的值是___________.【答案】1【解析】【分析】由题意两个向量垂直，利用向量垂直的坐标运算，列方程求出x 的值．【详解】解：∵向量(,2)a x =，(2,1)b =-，且a b ⊥，∴220x -=，解得1x =，故答案为：1．【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．4.函数y =___________. 【答案】(1,2)【解析】【分析】根据对数的真数大于零，分母不为零，被开方数不小于零，列不等式求解即可．【详解】解：由已知得1020x x ->⎧⎨->⎩，解得12x <<， 函数的定义域为(1,2)，故答案为：(1,2)．【点睛】本题考查函数定义域的求法，是基础题．5.等比数列{}n a 中，11a =，48a =，n S 是{}n a 的前n 项和，则5S =_________.【答案】31【解析】【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，11a =，48a =，3418a q a ∴==，解得2q =，则前5项和55213121S -==-， 故答案为：31．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了学生的计算能力，属于基础题．6.已知tan 2α=，则sin cos 2sin ααα+的值为_________. 【答案】25【解析】【分析】分子分母同时除以cos α，可将目标式转化为用tan α来表示，再代入tan α的值即可求得结果． 【详解】解：sin sin cos cos 2si ta n cos 2sin 12o n t s an c αααααααααα==+++， 代入tan 2α=得， 原式22145==+， 故答案为：25． 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，当目标式是分式且分子分母均为sin α，cos α的齐次式时，可分子分母同时除以cos α，达到变形的目的，本题是基础题．7.“2x >”是“1x >”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的某一个）【答案】充分不必要【解析】试题分析：因为211,1x x x >>⇒>>时2x >不一定成立，所以“2x >”是“1x >”的充分不必要条件．考点：充要关系8.已知函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则ϕ的值为_______. 【答案】12π【解析】【分析】将函数sin 2y x =平移后的解析式和函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭比较，列方程求解． 【详解】解：把函数sin 2y x =的图象上每个点向左平移(0)2πϕϕ<<个单位长度， 得到函数sin 2sin(22)6y x x πϕ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象， 26πϕ∴=， 则12πϕ=， 故答案为：12π．【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于基础题．9.设函数,0()21,0x e x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，则不等式()2(2)f x f x +>的解集为_______. 【答案】(1,2)-【解析】【分析】对2x +分20x +<和20x +≥讨论，分别求出解集，再取并集，即得所求．【详解】解：当20x +<时，由()2(2)f x f x +>得：22(2)1x x e ++>，20x +<，2(2)11x ∴++<，又201x e e ≥=， 22(2)1x x e ∴++>无解；当20x +≥时，由()2(2)f x f x +>得：22x x e e +>， 22x x ∴+≥，解得：12x -<<，∴不等式()2(2)f x f x +>的解集为(1,2)-，故答案为：(1,2)-．【点睛】本题考查分段函数的应用，指数不等式的解法，是基础题．10.已知函数()ln m f x x x =-的极小值大于0，则实数m 的取值范围为_________. 【答案】1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】【分析】对()f x 求导，求出极小值点，然后判断()f x 的单调性求出极小值，再由()f x 的极小值大于0，建立关于m 的不等式，求出m 的范围． 【详解】解：由()ln m f x x x =-，得2()(0)x m f x x x '+=>， 令()0f x '=，则x m =-， 因为()ln m f x x x=-的极小值大于0， 必有极小值点0m ->，故0m <，所以当x m >-时，()0f x '>，当0x m <<-时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)m -上单调递减，在(,)m -+∞上单调递增，所以()f x 极小值()ln()10f m m =-=-+>， 所以1m e<-， 综上，m 的取值范围为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭， 故答案为：1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了运算能力，属中档题．11.已知各项都为正数的等差数列{}n a 中，53a =，则37a a 的最大值为_________.【答案】9【解析】【分析】 因为等差数列{}n a 各项都为正数，利用237372a a a a +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭可求其最大值．【详解】解：依题意，等差数列{}n a 各项都为正数，所以370,0a a >>， 所以()223737592a a a a a +⎛⎫≤== ⎪⎝⎭． 当且仅当373a a ==时等号成立．故答案为：9．【点睛】本题考查了等差中项的性质，考查了基本不等式，属于基础题．12.已知菱形ABCD 的棱长为3，E 为棱CD 上一点且满足2CE ED =，若6AE EB ⋅=-，则cos C =_________. 【答案】13【解析】【分析】利用E 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为,CD CB 之间的关系即可解决．【详解】解：如图，2CE ED =，CE 2ED ∴=，由6AE EB ⋅=-得()()6DE DA CB CE -⋅-=-，得6DE CB DE CE DA CB DA CE ⋅-⋅-⋅+⋅=-，得296ED CB CB CE -⋅+-+⋅=-，得(1CE ED CB -⋅=），即1ED CB ⋅=，即113CD CB ⋅= 133cos 13C ∴⨯⨯=，1cos 3C ∴=， 故答案为13． 【点睛】此题考查了向量数量积的定义，向量加减法法则，难度不大．13.若方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ，2x ，则()12cos x x -=___________. 【答案】35-【解析】【分析】 由已知可得1276x x π+=，得到1276x x π=-，则()1227cos cos 26x x x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合已知得答案． 【详解】解：由方程3cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭在(0,)π的解为1x ，2x ， 得123cos 2cos 2665x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， (0,),x π∈112,666x πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭， 1222662x x πππ-+-∴=，1276x x π∴=-， ()1227cos cos 26x x x π⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭， 又23cos 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴()122273cos cos 2cos 2665x x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：35-．【点睛】本题考查Acos()y x ωϕ=+型函数的图象与性质，特别是对称性的应用是关键，是中档题．14.已知函数23()3f x x x =-，1()ln x g x e a x -=--，若对于任意1(0,3)x ∈，总是存在两个不同的2x ，3(0,3)x ∈，使得()()()123f x g x g x ==，则实数a 的取值范围为_____________.【答案】)21,ln34e ⎡--⎣ 【解析】【分析】利用导数求出23()3f x x x =-在(0,3)x ∈上的值域A ，利用导数求出1()ln x g x e a x -=--在(0,3)x ∈上不同的x 对应相同y 的y 的范围B ，根据题意可得A B ⊆，列不等式即可求得实数a 的取值范围．【详解】解：23()3f x x x =-，(0,3)x ∈， 2()633(2)f x x x x x '=-=-，可得：函数()f x 在(0,2]上单调递增，在(2,3)上单调递减．而(0)(3)0,(2)4f f f ===．()(0,4]f x A ∴∈=．1()ln ,(0,3)x g x e a x x -=--∈，11()x g x e x'-=-在(0,3)x ∈上单调递增， 又(1)0g '=，∴函数()g x 在(0,1]上单调递减，在(1,3)上单调递增．0x +→时，2();(1)1,(3)ln 3g x g a g e a →+∞=-=--．令)21,ln3B a e a ⎡=---⎣． 对于任意1(0,3)x ∈，总是存在两个不同的23,(0,3)x x ∈，使得()()()123f x g x g x A B ==⇔⊆．10a ∴-≤，且24ln 3e a <--．解得214ln3a e ≤<--．∴实数a 的取值范围为)21,ln34e ⎡--⎣， 故答案为：)21,ln34e ⎡--⎣．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、解答题（本大题共6个小题，共90分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明证明过程或演算步骤）15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120C ︒=，7c =，2a b -=.（1）求a ，b 的值；（2）求sin()A C +的值.【答案】（1）5a =，3b =（2）14【解析】【分析】（1）由已知利用余弦定理可得2249a b ab ++=，结合2a b -=，即可解得a ，b 的值．（2）由（1）及余弦定理可求cos B ，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用两角和的正弦函数公式，诱导公式可求sin()A C +的值．【详解】解：（1）由余弦定理得 22222222cos 2cos 49120c a b ab C a b ab a b ab ︒=+-=+-=++=，2a b -=，22(2)(2)49b b b b ∴++++=整理得：22150b b +-=，因为0b >，解得：3b =，5a =，综上：5a =，3b =.（2）由（1）知5a =，3b =，7c =，所以22213cos 214a cb B ac +-==，因为B 为ABC ∆内角，所以sin B ==，因为sin()sin()sin A C B B π+=-==所以sin()A C +的值为14． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16.已知向量a =（cos x x ），b =（cos x ，sin x ）．（1）若a ∥b ，02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求x 的值； （2）若f （x ）a =•b ，02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求f （x ）的最大值及相应x 的值．【答案】（1）2x π=或3x π=（2）()f x 的最大值为32，此时6x π= 【解析】【分析】（1）利用向量共线得到三角方程，转化为三角函数求值问题，易解；（2）把数量积转化为三角函数，利用角的范围结合单调性即可得到最大值．【详解】解：（1）∵()a cosx =，()b cosx sinx =，， a b ，∴2cosxsinx x =，∴()0cosx sinx =，∴cos x ＝0或0sinx =，即cos x ＝0；或tan x = ∵02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， ∴2x π=或3x π=；（2）()f x a b =⋅2cos x =+12222cos x sin x +=+ 1262sin x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ∵02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， ∴72666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，， ∴12162sin x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，， ∴()302f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，故f （x ）的最大值为32，此时6x π=． 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查了向量共线与数量积的坐标运算，考查转化能力与计算能力.17.已知等比数列{}n a 满足22a =，且2a ，31a +，4a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21n n b a n =-+，求数列{}n b 的前n 项和为n T .【答案】（1）12n n a -=. （2）20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩ 【解析】【分析】（1）由已知列式求得等比数列的公比，进一步求得首项，则数列{}n a 的通项公式可求；（2）设121221n n n c a n n -=-+=-+，作差可得当4n ≥时，0n c >，即4n ≥时，1221n n n b c n -==-+，再求出数列{}n b 的前3项，然后分类利用数列的分组求和求数列{}n b 的前n 项和为n T ．【详解】解：（1）设等比数列{}n a 的公比为q （不为0），2a Q ，31a +，4a 成等差数列，()32421a a a ∴+=+，22a =，所以22(21)22q q +=+，解得2q =或0q =（舍），211a a q∴==， ∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=；（2）设121221n n n c a n n -=-+=-+，()11122(1)122122n n n n n c c n n --+∴-=-++--+=-，∴当3n ≥，1n n c c +>，又410c =>，所以4n ≥时，0n c >，即4n ≥时，1221n n n b c n -==-+，因为10c =，21c =-，31c =-，所以10b =，21b =，31b =，所以10T =，21T =，32T =，当4n ≥时，123445(011)n n n T b b b b b b b b =+++++=++++++()3412222(7921)n n -=++++-+++-()3322127212(3)23122n n n n n --+-=+-⋅-=-+-， 综上20,11,22,323,4n n n n T n n n =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪-+≥⎩． 【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和，考查数列的函数特性，是中档题．18.如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧CD ，下部是一个矩形ABCD ，圆弧CD 所在圆的圆心为O ，经测量4AB =米，BC =COD 120︒∠=，现根据需要把此窑洞窗口形状改造为矩形EFGH ，其中E ，F 在边AB 上，G ，H 在圆弧CD 上.设OGF θ∠=，矩形EFGH 的面积为S.（1）求矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式；（2）求cos θ为何值时，矩形EFGH 的面积S 最大？【答案】（1）8(4cos 1)sin 3S θθ=-，πθ0,3骣琪Î琪桫（2）1cos 16θ= 【解析】【分析】（1）结合几何图形计算的直角三角形勾股定理，找出矩形EFGH 的面积S 关于变量θ的函数关系式；（2）对S 关于变量θ的函数关系式进行求导分析，算出0S '=时的cos θ的值，三角计算即可得出结果．【详解】解：（1）如图，作OP CD ⊥分别交AB ，GH 于M ，N ，由四边形ABCD ，EFGH 是矩形，O 为圆心，120COD ︒∠=，所以OM AB ⊥，ON GH ⊥，P ，M ，N 分别为CD ，AB ，GH 中点，60CON ︒∠=，在Rt COP ∆中，2CP =，60COP ︒∠=，所以OC =OP =所以3OM OP PM OP BC =-=-=，在Rt ONG ∆中，GON OGF θ∠=∠=，OG OC ==所以GN θ=，ON θ=，所以2GH GN θ==，3GF MN ON OM θ==-=-，所以8(4cos 1)sin 3S GF GH θθθθ=⋅==-⎭，πθ0,3骣琪Î琪桫， 所以S 关于θ的函数关系式为：8(4cos 1)sin 3S θθ=-，πθ0,3骣琪Î琪桫 （2）由（1）得：()()222884cos 4sin cos 8cos cos 433S θθθθθ'=--=-- 因为πθ0,3骣琪Î琪桫， 所以1cos ,12θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令0S '=，得1cos ,12θ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设00,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且01cos 16θ=， 所以0S '>，得00θθ<<，即S 在()00,θ单调递增，0S '<，得03πθθ<<，即S 在0,3πθ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 所以当0θθ=时，S 取得最大值，所以当cos θ=EFGH 的面积S 最大．【点睛】本题主要考查根据图形进行计算，掌握运用直角三角形勾股定理知识，三角函数的计算，函数的一阶导数分析能力，本题属难题．19.已知函数()f x=. （1）求()f x 的图像在1x =处的切线方程；（2）求函数()()F x f x x =-的极大值；（3）若()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1y x =-.（2）-1；（3）1a ≥【解析】【分析】（1）由函数()f x=，可得()f x '，求出(1)f '和切点坐标，利用点斜式即可得出切线方程．（2）由()()(0)F x f x x x x=-=->，求得()F x '，分析()F x '在(0,)+∞上单调性和零点，即可得出()F x 单调性与极值．（3）令()l n ()l n (0,1]g x x a f x x a=-=-∈，求出()g x '，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出实数a 的取值范围．【详解】解：（1）因为()f x= 所以()f x '=(1)1f '=， 因为()y f x =经过(1,0)，所以()f x 的图像在1x =处的切线方程为1y x =-；（2）因为()F x x=-，0x >， 所以()1F x '=，又()F x '在(0,)+∞递减，(1)0F '=，所以在(0,1)x ∈，()0F x '>，即()F x 在(0,1)递增；在(1,)x ∈+∞，()0F x '<，即()F x 在(1,)+∞递减，所以在1x =处，()F x 取极大值，(1)1F =-；（3）设()ln ()ln g x x af x x a=-=-，(0,1]x ∈，所以21()2a g x x '=-= ①0a ≤时，()0g x '>对(0,1]x ∈恒成立，所以()g x 在(0,1]递增，又(1)0g =，所以0(0,1)x ∃∈时，()00g x <，这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾，舍去；②1a ≥时，设2()x a a ϕ=-+，(0,1]x ∈，2440a ∆=-≤，所以()0x ϕ≤，(0,1]x ∈，所以()0g x '≤对(0,1]恒成立，所以()g x 在(0,1]递减，又(1)0g =，所以()(1)0g x g ≥=对(0,1]x ∈恒成立，所以1a ≥成立；③01a <<时，设2()x a a ϕ=-+，(0,1]x ∈，2440a ∆=->，解()0x ϕ=得两根为1x ，2x1=>(0,1)==， 所以101x <<，21>x ，所以()1,1x x ∈，()0x ϕ>，()0g x '>，所以()g x 在()1,1x 递增，又(1)0g =，所以()1()01x g g <=，这与()ln af x x ≤对(0,1]x ∈恒成立矛盾，舍去，综上：1a ≥.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、方程的实数根与判别式的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.已知数列{}n a 满足*11(1),n n n a na a n N +-=-∈.（1）证明：数列{}n a 为等差数列；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若211a a -=，且对任意的正整数n ，都有12311111433n S S S S <++++<，求整数1a 的值； （3）设数列{}n b 满足310n n b a =+，若2115a a -=，且存在正整数s ，t ，使得s t a b +是整数，求1a 的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）120【解析】【分析】 （1）令11(1)n n n a na a +-=-中的n 为1n -，又得一式，将两式做差变形，利用等差中项进行证明；（2）利用放缩法和裂项相消法在数列求和中的应用进行证明．（3）利用假设法的应用和存在性问题的应用求出最小值．【详解】解：（1）因为11(1),n n n a na a +-=-①所以2n ≥时，11(2)(1),n n n a n a a --=-- ②①-②得11(1)2(1)(1)0n n n n a n a n a +----+-=，所以1120,n n n a a a +--+=即112,n n n a a a +-+=所以数列{}n a 为等差数列；（2）因为211a a -=，所以{}n a 的公差为1，因为对任意的正整数n ，都有12311111433n S S S S <++++<， 所以111433S <<，所以1334S <<，即1334a <<， 所以11a =或2，当11a =时，22a =，11S =，23S =，所以121114133S S +=+=，这与题意矛盾，所以11a ≠， 当12a =时，1n a n =+， (3)02n n n S +=>， 111123S =>，123111113n S S S S ++++>恒成立， 因为121133n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 1231111211111111111134253621123n S S S S n n n n n n ⎛⎫∴++++=-+-+-++-+-+- ⎪-+-++⎝⎭211111114132312393n n n ⎛⎫=++---<< ⎪+++⎝⎭， 综上，1a 的值为2.（3）因为2115a a -=，所以{}n a 的公差为15， 所以11(1)5n a a n =+-，所以111510n b a n =++， 由题意，设存在正整数s ，t ，使得s t a b l +=，l Z ∈， 则111155510s t a a l +-+++=，即1202(5)1a l s t =--+， 因为5l s t Z --∈，所以2(5)l s t --是偶数， 所以1201a ≥， 所以1120a ≥， 当1120a =时，41920b =， 所以存在141a b Z +=∈， 综上，1a 的最小值为120. 【点睛】本题考查的知识要点：等差数列的证明和通项公式的应用，裂项相消法在数列求和中的应用和放缩法的应用，假设法在数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，难度较大．（附加）题21.已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程.【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）292y x x =- 【解析】【分析】（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程．【详解】解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩， 所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y '''， 则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x y y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2y x ''=，所以292x x y =+，所以曲线C 的方程为292y x x =-．【点睛】本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．22.已知曲线C 的极坐标方程为2cos ραα=+（α为参数），直线1的参数方程为1cos sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，02πβ<<），若曲线C 被直线1β的值. 【答案】3πβ=.【解析】【分析】首先利用转换关系式的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式和垂径定理求出结果．【详解】解：以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，则曲线C 的极坐标方程化为直角坐标系下的方程为22(1)(4x y -+=， 直线l 的参数方程1cos ,sin x t y t ββ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，02πβ<<）在直角坐标系下的方程为(1)(tan )y k x k β=-=，因为圆C 被直线12d ==，=k ∴= 因为02πβ<<，所以tan k β==所以3πβ=．【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.设正数a ，b ，c 满足1a b c ++=，求证32a b c b c c a a b ++≥+++． 【答案】证明见解析【解析】【分析】根据条件及要证的不等式左端结构，可先将分子化为1，再配凑柯西不等式．【详解】证明：由于a +b +c ＝1， 则()()()1111113b c c a a b a b c b c c a a b b c c a a b b c c a a b-+-+-+++=++=++-+++++++++， 对于正数a ，b ，c ，由柯西不等式()()()21119b c c a a bb c c a a b ⎛⎫⎡⎤+++++++≥= ⎪⎣⎦+++⎝⎭， 所以11192b c c a a b ++≥+++， 从而93322a b c b c c a a b ++≥-=+++， 当且仅当13a b c ===时取等号， 【点睛】本题主要考查柯西不等式，关键在于配凑出柯西不等式的代数结构，考查恒等变形能力．24.某射击小组有甲、乙、丙三名射手，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙二人都没有击中目标的概率是112，乙、丙二人都击中目标的概率是14.甲乙丙是否击中目标相互独立. （1）求乙、丙二人各自击中目标的概率；（2）设乙、丙二人中击中目标的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）38，23.（2）分布列见解析，数学期望2524. 【解析】【分析】（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件,,A B C ，则3()4P A =，且1()()121()()4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由此能求出乙、丙二人各自击中目标的概率．（2）由题意X 的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和E （X ）．【详解】解：（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件A 、B 、C ，则3()4P A =，且有 1()(),121()(),4P A P C P B P C ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即311[1()],4121()().4P C P B P C ⎧⎛⎫--= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩解得3()8P B =，2()3P C =， 所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为38，23； （2）由题意，X 的可能取值为0，1，2，1(2)4P X ==， 515(0)()()8324P X P B P C ===⨯=， 13(1)1(0)(2)24P X P X P X ==-=-==. 所以随机变量X 的分布列为513125()0122424424E X =⨯+⨯+⨯= 所以X 的数学期望为2524. 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ︒∠=，AB AC a ==，1AA b =，点E ，F 分别在1BB ，1CC ，且113BE BB =，1113C F CC =.设b aλ=.（1）当3λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；（2）当平面AEF ⊥平面1A EF 时，求λ的值.【答案】（1）60°（2）32λ=【解析】【分析】（1）推导出1AA ⊥平面ABC ，11,AB AA AA ⊥⊥AC ，建立分别以AB ，AC ，1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线AE 与1A F 所成角．（2）推导出平面AEF 的法向量和平面1A EF 的一个法向量，由平面AEF ⊥平面1A EF ，能求出λ的值．【详解】解：因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1AA ⊥平面ABC ，因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥，又因为90BAC ︒∠=，所以建立分别以AB ，AC ，1AA 为,,x y z 轴的空间直角坐标系A xyz -.（1）设1a =，则1AB AC ==，13AA =，各点的坐标为(0,0,0)A ，(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F .(1,0,1)AE =，1(0,1,1)A F =-. 因为1||||2AE A F ==11AE A F ⋅=-， 所以1111cos ,2||||2AE A F AE A F AE A F ⋅〈〉===-. 所以向量AE 和1A F 所成的角为120°，所以异面直线AE 与1A F 所成角为60°；（2）因为,0,3b E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,,3b F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ,0,3b AE a ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，20,,3b AF a ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面AEF的法向量为1(,,)n x y z =，则10 AEn⋅=，且10 AFn⋅=.即03bz ax+=，且203bz ay+=. 令1z=，则3b x a=-，23b y a=-. 所以122,,1,,13333b b a a nλλ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面AEF的一个法向量. 同理，222,,1,,13333b b n a aλλ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面1A EF的一个法向量. 因为平面AEF⊥平面1A EF，所以120n n⋅=，22221099λλ∴--+=，解得32λ=. 所以当平面AEF⊥平面1A EF时，32λ=. 【点睛】本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
【20套试卷合集】江苏省常熟市第一中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案时间：120分钟 分值：150分一、选择题(本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．图中阴影部分表示的集合是( ) A ．B C A UB ．B AC U C ．)(B A C UD ．)(B AC U 2．设集合{}=|>-1A x Q x ∈，则正确的是( ) A ．A ∅∉B．A ⊆CA DA3．设{}=|02A x x ≤≤，{}B=y|12y ≤≤，下列图形表示集合A 到集合B 的函数图形的是()4．由下表给出函数)(x f y =，则))1((f f 等于( )A ．1B ．2C ．4D ．55．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为( )(1)39-)(2+=x x x f ，-3)(t 3)(≠-=t t g ；(2)11)(-+=x x x f ，)1)(1()(-+=x x x g ；(3)x x f =)(，2)(x x g =；(4)x x f =)(，33)(x x g =． A ．(1)，(4)B．(2)，(3)C ．(1)D ．(3)6．若b ax x f+=)(有一个零点2，则ax bx x g -=2)( 的零点是( ) A ．0或2B ．0或12C ．0或1-2D ．2或17．已知函数(f x 的定义域是R ，则实数a 的取值范围( )A ．1>3a B ．-12<<0a C ．-12<0a ≤ D ．13a ≤8．函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤-+≤≤-=02,630,2)(22x x x x x x x f 的值域是( )A ．RB ．),1[+∞C ．]1,8[-D ．]1,9[-9．已知三个数7.08.07.08.0,7.0,6===c b a ，则三个数的大小关系是( )A ．b c a >>B ．a c b >>C ．a b c >>D ．c b a >>10．我县房价(均价)经过6年时间从1200元/2m 增加到了4800元/2m ，则这6年间平均每年的增长率是( )ABC ．50%D ．600元11．若(-1)f x 的定义域为[]1,2，则(+3)f x 的定义域为( )A ．[]0,1B ．[]-3,-2C ．[]-2,-1D ．[]2,312．已知a >0,且1a ≠, 2()=-,(-1,1)xf x x a x ∈时恒有1()<2f x ,则实数a 的取值范围是( ) A ．[)10,2,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭ B ．[]1,11,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)10,4,+4⎛⎤∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,11,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：(本题共4个小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中的横线上) 13．若函数1)1(2-=+x x f ，则)2(f ＝_________________． 14．函数1313)(2++-=x xx x f 的定义域是_____________．15．计算43的结果是___________． 16．给出下列4个判断：①若()22f x x ax =-在[1,)+∞上增函数，则1a =；②函数22)(x x f x -=只有两个零点； ③函数||2x y =的最小值是1；④在同一坐标系中函数2xy =与2xy -=的图像关于y 轴对称． 其中正确命题的序号是____________．三、解答题：(本题共6个小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)设集合或0|{},30|{≤=<-<=x x B a x x A }3≥x ，分别求满足下列条件的实数a 的取值范围： (1)φ=⋂B A ； (2)B B A =⋃．18．(本小题满分12分)已知函数()f x 定义域为R ，且对任意x y 、R ∈，()+(-)2()()f x y f x y f x f y +=，且(0)0f ≠，()=02f π(1)求(0)f ，()f π的值； (2)求证：=()y f x 是偶函数．19．(本小题满分12分)已知二次函数错误！未找到引用源。
江苏省苏州市常熟市2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
2019-2020学年第一学期期中试卷高一数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将你认为正确的选项填涂在答题卡相应的位置． 1.集合A ＝｛1，2｝的真子集的个数是（ ）． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】【详解】试题分析：集合{}1,2A =的真子集有{}{}21∅，，，共3个，故选C. 考点：集合的子集2. ） A. 8 B. 4 C. 2D.18【答案】A 【解析】 【分析】将根式化为分数指数幂，结合指数幂的运算法则可得出结果.()33434416228====.故选：A.【点睛】本题考查根式的运算，考查分数指数幂的应用与指数幂的运算法则，考查计算能力，属于基础题.3.若集合{}22A y y x ==-，{}2log 1B x x =<，则A B =（ ）A. (),2-∞B. [)2,-+∞C. [)2,2-D. ()0,2【答案】D 【解析】 【分析】求出集合A 、B ，然后利用交集的定义可求出集合AB .【详解】20x ≥，222y x ∴=-≥-，则{}[)222,A y y x ==-=-+∞.解不等式22log 1log 2x <=，得02x <<，则()0,2B =. 因此，()0,2A B =.故选：D.【点睛】本题考查了交集的运算，同时也考查了函数值域与对数不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 4.化简5log 22lg5lg 45+-的结果为（ ） A. 0 B. 2C. 4D. 6【答案】A 【解析】 【分析】由对数的运算性质即可得解. 【详解】5log 22lg5lg45+-=5log 2lg25lg45lg1002+-=-=2-2=0.故选A.【点睛】本题考查对数的运算性质，熟记公式是关键，属于基础题.5.若22a a ->（0a >且1a ≠），则函数()log (1)a f x x =-的图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】求出a 的取值范围，可得知函数log ay x =的增减性，然后在此函数的基础上向右平移一个单位长度得出函数()()log 1a f x x =-的图象，从而可得出正确选项.【详解】22a a ->（0a >且1a ≠），且22-<，则指数函数xy a =为减函数，01a ∴<<，所以，对数函数log ay x =在()0,∞+上为减函数，在该函数图象的基础上向右平移一个单位长度得出函数()()log 1a f x x =-的图象， 因此，C 选项中的图象为函数()()log 1a f x x =-的图象. 故选：C.【点睛】本题考查对数型函数图象的识别，解题的关键就是结合条件求出底数的取值范围，考查推理能力，属于基础题.6.已知全集U =R ，{}1M x x =<-，(){}20N x x x =+<，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A. ()1,0-B. [)1,0-C. ()2,1--D.(],2-∞-【答案】B 【解析】 【分析】求出集合N ，并求出集合M N ⋂，根据韦恩图表示的集合可得出结果. 【详解】(){}()202,0N x x x =+<=-，且(),1M =-∞-，则()2,1MN =--.图中阴影部分所表示的集合为{x x N ∈且}x M N ∉⋂. 因此，图中阴影部分所表示的集合为[)1,0-. 故选：B.【点睛】本题考查韦恩图所表示集合的求解，解题时要弄清楚韦恩图所表示集合的含义，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.7.已知函数()2f x ax bx c =++，若关于x 的不等式()0f x >的解集为()1,3-，则A. ()()()401f f f >>B. ()()()104f f f >>C. ()()()014f f f >>D. ()()()140f f f >>【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得0a <，且1-，3为方程20ax bx c ++=的两根，运用韦达定理可得a ，b ，c 的关系，可得()f x 的解析式，计算(0)f ，f （1），f （4），比较可得所求大小关系． 【详解】关于x 的不等式()0f x >的解集为(1,3)-， 可得0a <，且1-，3为方程20ax bx c ++=的两根， 可得13ba -+=-，13c a-⨯=，即2b a =-，3c a =-， 2()23f x ax ax a =--，0a <，可得(0)3f a =-，f （1）4a =-，f （4）5a =， 可得f （4）(0)f f <<（1），故选B ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质、函数与方程的思想，以及韦达定理的运用。
专题02 集合间的基本关系(解析版)
【答案】A
【解析】若 B＝∅，即2 − 1＜a﹣1，即 a＜0 时，满足 B⊆A，
≥0
若 B≠∅，即 − 1≤2a﹣1，即 a≥0 时，要使 B⊆A，则满足{
，解得0 ≤ ≤ 1
2 − 1 ≤ 1
综上： ⩽ 1，故选：A．
【题型强化】1.已知集合 = {|1 < < 2}， = {|−1 < < 1}，求满足 ⊆ 的实数的取值范围.
2
【解析】集合 A＝{－1，3，2m－1}，集合 B＝{3，m }.
若 B⊆A，则2 ∈ ，且2 ≠ 3，又∵2 ≥ 0,∴2 = −1无解，
若−1 < ≤ 0,要使 ⊆ ,则2 − 1 ≥ 1,即 ≥ 1,矛盾.
同理当0 < < 1时,也不存在 a 的值.而 ≥ 1时,要使 ⊆ ,则有2 ≤ 2 − 1,即( − 1)2 ≤ 0,∴ = 1.
故存在 a 1 ,使得 ⊆ .
【名师点睛】(1)弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
A． ∈
B． =
C． ⊆
）
D． ⊆
【答案】D
【解析】
∵合 A={0，1，2}，B={m|m=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2，3，4}，∴A⊆B．故选 D．
1
4
1
2.已知集合A={|x= 9 (2 + 1), ∈ }，B={|x= 9 ± 9 , ∈ }，则集合 A，B 之间的关系为________．
2
≥ −1,
解得 ≤ −2.综上所述，所求实数的取值范围为−∞, −2 ∪ {0} ∪ 2, +∞).
≤
1,
Hale Waihona Puke 2.已知集合 = {|1 < < 2}, = {||| < 1}，是否存在实数 a，使得 ⊆ .若存在，求出实数 a 的取值范