余弦函数的性质

余弦函数的图像和性质

一、教学目标

1.知识与技能

（1）能根据诱导公式απ

αcos )2

sin(=+，利用正弦函数的图像，

画出余弦函数的图像.

（2）会利用余弦函数的图像进一步理解和研究余弦函数的定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最大值和最小值等性质. 2.过程与方法

通过利用类比正弦函数性质研究余弦函数性质的学习过程，体会类比的思想方法. 3.情感、态度与价值观

通过类比、知识迁移的学习方法，提高探究新知的能力，并通过正弦函数和余弦函数的图像与性质的类比，了解正弦函数、余弦函数的区别与内在联系.

二、教材分析

1. 教材中通过类比正弦函数，展开了对余弦函数相关内容的学习.这样编写突出了正弦函数与余弦函数的联系，体现了研究问题的一般思路和方法.

2. 余弦函数图像既可以通过诱导公式由正弦函数图像得到，又可以通过描点法得出，教材中淡化了对后者的讲解.

三、重点和难点

本节的重点：余弦函数的图像和性质.

本节的难点：由正弦函数图像得到余弦函数的图像.

四、教学方法与手段

教学方法：启发、引导、发现、概括、归纳 教学手段：多媒体辅助教学.

五、教学过程

（一）创设情境，揭示课题

教师引出课题在上节课中，我们知道正弦函数y ＝sinx 的图像，是通过等

分单位圆、平移正弦线而得到的，在精确度要求不高时，可以采用五点作图法得到.那么，对于余弦函数y ＝cosx 的图像，是不是也是这样得到的呢？有没有更好的方法呢？这节课我们来学习余弦函数的图像与性质.

（二）探究新知

1．余弦函数y ＝cosx 的图像

由诱导公式有：y ＝cosx ＝cos(－x)＝sin[

2π－(－x)]＝sin(x ＋2π) 结论：（1）y ＝cosx,x ∈R 与函数y ＝sin(x ＋

2

π

) x ∈R 的图像相同

（2）将y ＝sinx 的图象向左平移

2

π

个单位，即得y ＝cosx 的图像 （3）也同样可用五点法作图：y ＝cosx ，x ∈[0,2π]的五个点关键是(0,1) (2

π,0) (π,-1) (

2

3π

,0) (2π,1)

（4）类似地，由于终边相同的三角函数性质y ＝cosx x ∈[2k π,2(k+1)π] k ∈Z,k ≠0的图像与 y ＝cosx x ∈[0,2π] 图像形状相同只是位置不同（向左右每次平移2π个单位长度）

2．余弦函数y ＝cosx 的性质

观察上图，师生共同讨论余弦函数y ＝cosx 的基本性质，得到以下结论： （1）定义域：y=cosx 的定义域为R

（2）值域： y=cosx 的值域为[－1,1]，即有 |cosx|≤1（有界性） (3)最值：1︒对于y ＝cosx 当且仅当x ＝2k π,k ∈Z 时y max ＝

1

y

x

1

－1

当且仅当时x ＝2k π＋π, k ∈Z 时y min ＝－1 2︒当2k π-2π

π

(k ∈Z)时 y=cosx>0 当2k π+

2π

3π

(k ∈Z)时 y=cosx<0 教师可引导、点拨学生先截取一段来看，选哪一段呢？通过学生充分讨论后确定，学生若选取区间[]ππ,-，教师应追问，为什么选区间[]ππ,-，而不是选区间

[]π2,0，引导学生思考.

(4)周期性：y ＝cosx 的最小正周期为2π (5)奇偶性

cos(－x)

(6)单调性

增区间为[（2k －1）π， 2k π]（k∈Z），其值从－1增至1； 减区间为[2k π，（2k ＋1）π]（k∈Z），其值从1减至－1.

（三）巩固深化，发展思维引导学生分析对比正弦函数、余弦函数的图像，

思考这两个函数图像的异同点，思考函数图像的平移对函数性质的影响.

例1．请画出函数y＝cosx －1的简图，并根据图像讨论函数的性质。解：按五个关键点列表，根据表中数据画出简图

观察图像得出y ＝cosx －1的性质

2．课堂练习

教材33页的练习1、2、3、4、5

（四）思考交流

根据余弦函数的图像，求满足2

1

cos ≥

x 的x 的集合. 分析：先在一个周期[]ππ,-内解21cos ≥

x ，得3

3π

π≤≤-

x . 再考虑周期性，可得满足21cos ≥

x 的x 的集合为.,32,32Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣

⎡+-ππππ

（五）归纳整理，整体认识

（1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及的主要数学思想方法有那些？

（2）在本节课的学习过程中，还有那些不明白的地方，请向老师提出. （3）你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？

（六）课后作业

作业：课本34页A组第2,3,4,5题

六、教学反思：

本节课，由正弦函数的图像通过平移得出余弦函数的图像，再根据余弦函数的图像得出其性质，使同学们对余弦函数的概念有更深的体会；会用联系的观点看问题，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神.