线性代数二次型的标准形和规范形
二次型标准型和规范型
二次型标准型和规范型二次型是数学中的一个重要概念，它在线性代数和微分几何中都有着广泛的应用。
在二次型的研究中，标准型和规范型是两个重要的概念，它们在二次型的研究和应用中起着至关重要的作用。
首先，我们来看一下二次型的标准型。
二次型的标准型是指通过合同变换将二次型化为一种特殊的形式，使得二次型的系数矩阵为对角矩阵。
对角矩阵的形式使得二次型的计算和分析变得更加简单和直观。
通过合同变换，我们可以将任意的二次型化为标准型，这为我们研究和应用二次型提供了方便。
接下来，我们来讨论二次型的规范型。
二次型的规范型是指通过正交变换将二次型化为一种特殊的形式，使得二次型的系数矩阵为对角矩阵，并且对角元素为1或-1。
规范型的形式使得二次型的计算和分析变得更加简单和规范化。
通过正交变换，我们可以将任意的二次型化为规范型，这为我们研究和应用二次型提供了便利。
二次型的标准型和规范型在实际问题中有着重要的应用。
例如，在物理学中，二次型常常用来描述物体的能量、惯性等性质。
通过将二次型化为标准型或规范型，我们可以更加直观地理解和分析物体的性质。
在工程学中，二次型常常用来描述材料的弹性、刚性等性质。
通过将二次型化为标准型或规范型，我们可以更加方便地计算和分析材料的性质。
总之，二次型的标准型和规范型是二次型研究中的重要概念，它们通过合同变换和正交变换将二次型化为特殊的形式，使得二次型的计算和分析变得更加简单和直观。
在实际问题中，标准型和规范型为我们理解和应用二次型提供了重要的工具。
希望本文能够帮助读者更加深入地理解二次型的标准型和规范型，以及它们在数学和应用中的重要作用。
二次型的规范形与标准形
二次型的规范形与标准形在线性代数中，二次型是由一组变量的二次多项式构成的一类函数。
它在数学和应用领域都有广泛的应用。
对于任意二次型，可以通过适当的线性变换将其化为规范形或标准形。
本文将介绍二次型的规范形和标准形，并探讨它们的性质和应用。
1. 二次型的定义和性质二次型是由变量x1，x2，...，xn 的二次多项式构成的函数。
通常表示为Q(x) = x^T A x，其中x = (x1, x2, ..., xn)^T 是变量向量，A 是实对称矩阵。
二次型具有以下性质：- 对称性：Q(x) = Q(x^T)- 齐次性：Q(kx) = k^2 Q(x)，对任意实数k- 加性：Q(x + y) = Q(x) + Q(y)，对任意向量x，y2. 二次型的规范形对于任意二次型Q(x)，可以通过合适的变量变换将其化为规范形。
规范形是一种特殊的形式，使得无法再通过线性变换进一步简化。
规范形的形式如下：Q(x) = λ1 y1^2 + λ2 y2^2 + ... + λn yn^2其中，λ1，λ2，...，λn 是实数，y1，y2，...，yn 是规范变量。
通过矩阵的特征值分解，可以得到二次型的规范形。
具体步骤如下：- 求出二次型Q(x)对应的对称矩阵A的特征值λ1，λ2，...，λn- 对应每个特征值λi，求出对应的特征向量yi- 将特征向量yi按列排列得到矩阵P = (y1, y2, ..., yn)- 规范形为Q(x) = P^T Δ P，其中，Δ = diag(λ1, λ2, ..., λn) 是特征值对角矩阵3. 二次型的标准形二次型的标准形是规范形的一种特殊情况，对应于所有特征值都是1或-1的情况。
标准形的形式如下：Q(x) = y1^2 + y2^2 + ... + yn^2对于特征值λi = 1，取对应的特征向量yi作为标准变量；对于特征值λi = -1，取对应的特征向量yi的相反数作为标准变量。
相比规范形，标准形更加简洁，且易于分析和计算。
二次型标准型和规范型
二次型标准型和规范型二次型是代数学中的一个重要概念，它在线性代数和矩阵理论中有着广泛应用。
二次型标准型和规范型是将一个任意的二次型通过线性变换化为一个简化的形式，使得我们可以更方便地研究和分析二次型的性质。
一个二次型可以表示为如下形式：$$Q(x_1, x_2, \dots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$$其中 $x_1, x_2, \dots, x_n$ 是变量，$a_{ij}$ 是常数。
二次型的标准型是指将二次型中的二次项化为平方和的形式。
对于一个二次型 $Q(x)$，假设其矩阵为 $A$，则存在一个非奇异矩阵 $P$，使得：$$P^TAP = D$$其中 $D$ 是对角阵，对角线上的元素称为二次型的标准型系数。
标准型的特点是二次型的二次项仅包含平方和，没有交叉项和混合项。
这样的形式更简单，更容易研究和分析。
为了得到二次型的标准型，需要进行正交变换。
正交变换可以通过选取一组特殊的基进行，其中基向量之间两两正交且模长为1。
设有一组基向量 $p_1, p_2, \dots, p_n$，构成正交矩阵$P = [p_1, p_2, \dots, p_n]$，则有 $P^TP = I$。
通过变换 $y = Px$，可以得到新的变量 $y$ 对应的二次型 $Q(y)$。
从而有：$$Q(y) = Q(Px) = x^TP^TAPx = x^TDx$$其中 $D = P^TAP$，$D$ 是一个对角阵，对角线上的元素就是二次型的标准型系数。
在二次型的标准型基础上，可以进一步进行规范化处理。
规范化处理是将标准型系数中的非零元素变为1或-1，以及调整它们的顺序。
具体步骤如下：1. 如果标准型系数中存在非零元素 $d_{ii}$，则可以将其除以本身的绝对值，将其变为1或-1。
2. 如果标准型系数中存在连续的非零元素 $d_{ii}$ 和 $d_{i+1, i+1}$，且它们同号，则可以将 $d_{i+1, i+1}$ 变为与$d_{ii}$ 同号，并将它直接相加；如果符号相反，则将它们的绝对值取为1。
二次型的标准形与规范形
二次型的标准形与规范形引言在线性代数中，二次型是一个重要的概念。
它在解决优化问题、矩阵分析以及其他数学领域中有广泛的应用。
二次型可以通过变换来改变其表达形式，其中标准形和规范形是常用的两种变换形式。
本文将重点介绍二次型的标准形和规范形，并探讨它们的性质和应用。
二次型的定义在矩阵和向量的帮助下，我们可以定义二次型。
给定一个实对称矩阵A和一个实列向量$\\mathbf{x}$，一个二次型可以表示为$\\mathbf{x}^TA\\mathbf{x}$。
其中，A是一个$n\\times n$的实对称矩阵，$\\mathbf{x}$是一个n维实列向量。
二次型可以看作是向量$\\mathbf{x}$和矩阵A的乘积的形式。
二次型的标准形二次型的标准形是一个最简化的表达形式，可以通过合适的变换将任意的二次型转化为标准形。
标准形的特点是只有对角线上有非零元素，其余位置上都是零。
为了找到这样的标准形，我们需要进行特征值分解。
特征值分解根据实对称矩阵特征值的性质，矩阵A可以通过特征值分解表示为A=PDP T，其中P是由A的特征向量组成的正交矩阵，D是由特征值组成的对角矩阵。
将特征值代入二次型$\\mathbf{x}^TA\\mathbf{x}$中，可以得到$\\mathbf{x}^T(PDP^T)\\mathbf{x}$。
根据矩阵乘法的结合律，上式可以变为$(P^T\\mathbf{x})^TD(P^T\\mathbf{x})$。
标准形的规定为了将矩阵A转化为标准形，需要定义一个新的变量$\\mathbf{y} =P^T\\mathbf{x}$，其中$\\mathbf{y}$和$\\mathbf{x}$的关系可以写为$\\mathbf{x} = P\\mathbf{y}$。
带入二次型的表达式中，可以得到$\\mathbf{x}^TA\\mathbf{x} = \\mathbf{y}^TD\\mathbf{y}$。
根据特征值分解的性质，可以进一步将$\\mathbf{y}^TD\\mathbf{y}$化简为$y_1^2 + y_2^2 +\\ldots + y_n^2$。
二次型标准型和规范型
二次型标准型和规范型二次型是矩阵形式的二次函数，通常用向量和矩阵的乘积来表示。
在线性代数中，二次型是一种将一个多元变量的向量映射到实数的函数，常用于描述抽象空间中的二次曲面。
对于一个n维实向量空间V上的二次型，可以通过一个对称矩阵A来定义，即二次型的矩阵表达式为Q(x) = x^T Ax，其中x是一个列向量。
二次型的标准型是指将二次型通过合适的线性变换转化为一个特定的形式，这个形式更便于研究和计算。
在实数域上，任何一个n维非退化二次型都可以通过合适的正交变换（即特征变换）化为标准型，即形如Q(x) = λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... +λnyn^2，其中λi为非零实数，yi为变换后的新变量。
标准型中的每一项都是对应新变量的平方项，没有交叉项。
二次型的规范型是指将二次型通过一个线性变换转化为一个更简洁的形式，通常是对标准型进行变换。
规范型的形式为Q(x) = y1^2 + y2^2 + ... + yn^2，其中yi为变换后的新变量。
规范型相对于标准型来说，更加精简，变量之间没有相关性，也没有尺度差异。
这样的形式能够更好地研究和理解二次型的性质。
转化为二次型的标准型和规范型在研究和计算中起着重要的作用。
它们可以帮助我们更好地理解二次型的本质和性质，更清晰地描述和分析问题。
同时，标准型和规范型之间的转化可以通过线性变换来实现，这种变换能够保持二次型的性质不变，因此在问题求解中也可以通过变换将二次型转化为更容易处理的形式，简化计算过程。
总之，二次型的标准型和规范型是对其矩阵表达形式进行变换，将其转化为更方便研究和计算的形式。
标准型通过正交变换将二次型转化为形如λ1y1^2 + λ2y2^2 + ... + λnyn^2的形式，其中λi为非零实数，yi为变换后的新变量。
规范型是对标准型进行变换，将其转化为更简洁、更方便理解和分析的形式Q(x) = y1^2 + y2^2 + ... + yn^2，其中yi为变换后的新变量。
线性代数知识点总结(第6章)
线性代数知识点总结（第6章）（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。
其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。
（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。
5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型x T Ax正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件：（1）a ii＞0（2）|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定（大题）（1）A为数字：顺序主子式均大于0（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定。
4.2 二次型的标准型与规范型
4.2 二次型的标准型与规范型二次型是一个重要的数学概念，常常出现在线性代数和数学分析中。
在研究二次型的性质时，我们可以通过对其进行特征值分解来得到其标准型和规范型。
本文将对二次型的标准型与规范型进行详细阐述。
1. 二次型二次型是指形如 $f(x)=x^TAx$ 的二次齐次多项式，其中 $x$ 是 $n$ 维实向量，$A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵。
其中 $n$ 称为二次型的阶数。
二次型具有以下性质：（1）对称性：$f(x)=x^TAx=x^T(A^T)x=f(x)$；（2）齐次性：$f(kx)=k^2f(x)$，其中 $k$ 是常数；（3）线性性：$f(x+y)=f(x)+f(y)$；（4）正定性：如果对于任意非零 $x$，有 $f(x)>0$，则称这个二次型是正定的；（8）无定性：如果既不是正定的，也不是负定的，则称这个二次型是无定性的。
2. 标准型标准型是指经过矩阵相似变换得到的对角矩阵。
标准型对于研究二次型的性质非常方便，因为对角矩阵的特殊性质使得二次型的性质易于判断。
我们可以通过以下步骤获得一个二次型的标准型：（1）求出二次型的矩阵 $A$ 的特征值和特征向量；（2）将特征向量按对应的特征值大小排列，组成矩阵 $P=[p_1, p_2, \cdots, p_n]$；（3）令 $D=\begin{bmatrix}\lambda_1 & & \\& \ddots & \\& & \lambda_n\end{bmatrix}$，其中 $\lambda_i$ 是矩阵 $A$ 的第 $i$ 个特征值；（4）则可得到一个相似变换矩阵 $T=P^{-1}$，使得 $T^{-1}AT=D$。
此时，$D$ 即为该二次型的标准型。
标准型的优点在于可以直接通过特征值的正负性判断二次型是否正定、负定或者无定。
例如，如果所有的特征值都为正，则该二次型是正定的；如果所有的特征值都为负，则该二次型是负定的；如果特征值有正有负，则该二次型是无定性的。
第五章二节二次型的标准形和规范形
将 a3单位化： 1 1 1 1 T g3 = a 3 = ( ,, ) a3 3 3 3
令矩阵
轾1 犏 犏2 犏 犏1 Q = (g1, g2 , g3 ) = 犏 犏 2 犏 犏 犏0 犏 臌
1 6 1 6 2 6
1 3 1 3 1 3
Q为正交矩阵，且所作正交变换为 X = QY.
2 2 2 = 2(x1 + x1x2 - x1x3 ) + 2x2 + 2x3 + 2x2 x3 1 1 2 3 2 3 2 = 2(x1 + x2 - x3 ) + x2 + x3 + 3x2 x3 2 2 2 2 1 1 2 3 = 2(x1 + x2 - x3 ) + (x2 + x3 )2 2 2 2
2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = y1 + y2 + y3
但是，上面线性变换的矩阵 轾 1 0 1 犏 C= 犏 1 1 0 犏 犏 0 -1 1 臌 而det C = 0，即此线性变换是退化的，上述解法也是错误的。 正确的解法应利用可逆线性变换化二次型为标准形。 解 由已知条件，二次型可用配方法标准化 2 2 2 f (x1, x2 , x3 ) = 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x1x2 + 2x2 x3 - 2x1x3
1 类似可得对应于特征值l 2 = l 3 = - 的线性无关的特征向量 2 a 2 = (- 1,1,0)T , a3 = (- 1,0,1)T .
利用施密特正交化方法，将 a 2 , a3 正交化：令
T a3 b2 1 1 b2 = a 2 = (- 1,1,0)T , b3 = a3 - T b2 = (- ,- ,1)T b2 b2 2 2 将a1, b2 , b3单位化，有
线性代数二次形及其标准型
f = x T Ax = (Qy )T A(Qy ) = y T (Q T AQ ) y = y T Λy
2 = λ1 y12 + λ 2 y22 + L + λn yn
线性代数
第五章
11 11
例4
通过正交变换 化二次型
2 2 2 f = 5 x1 + 5 x 2 + 2 x 3 − 8 x1 x 2 − 4 x1 x 3 + 4 x 2 x 3
a11 x1 + a12 x2 + L+ a1n xn a x a x L a x = ( x1 , x2 ,L, xn ) 21 1 + 22 2 + + 2n n LLLL a x + a x + L+ a x nn n n1 1 n2 2
线性代数
写成矩阵形式
解
.
½ 0 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x 1 , x 2 , x 3 ) ½ 2 −3 2 ½
x1 −3 x 2 2 0 x 3
½
注
a ij = a ji ( i ≠ j )为交叉项 x i x j的系数的一半， 的系数的一半， a ii 为平方项 x i2的系数 ,
令正交变换X=QY，则 ， 令正交变换
2 2 f = y12 + y 2 + 10 y 3
（注）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 ）：正交变换化二次形为标准形具有保持几何图形不变 的特点，使其易于识别。 ， 。 线性代数 的特点 使其易于识别 第五章
14 14
（二）用满秩线性变换化二次型为标准形——配方法 用满秩线性变换化二次型为标准形 配方法 例2 化二次型
线性代数—二次型的标准形和规范形课件
已知二次型$f(x_1, x_2, x_3) = x_1^2 + 4x_2^2 + 4x_3^2 + 4x_1x_2 - 4x_1x_3$，求其标准形。
解答部分
答案3：略
答案2：略
答案1：略
01
03 02
THANKS
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详细描述
二次型可以用矩阵表示，通过将二次型中的系数排列成一个矩阵，可以方便地 研究二次型的性质和变化。这种矩阵称为二次型的矩阵表示。通过矩阵运算， 可以方便地计算二次型的值、求导数、求解方程等。
二次型的性质
总结词
二次型具有一些重要的性质，如对称性、正定性、负定性等，这些性质决定了二次型在数学和工程领域的应用价 值。
二次型用于描述物理系统的能量关系，如弹簧振荡器、谐振腔等系统的能 量形式。
二次型在物理学中用于建立数学模型，如线性方程组、微分方程等，以解 决实际问题。
二次型在经济学中的应用
01
二次型在经济学中常用于描述成本、收益和利润等 经济量之间的关系。
02
二次型用于描述经济系统的最优化问题，如生产、 消费和投资的最优配置问题。
特征值与特征向量
总结词
特征值和特征向量是二次型的重要属性 ，它们可以通过线性变换来获得。
VS
详细描述
特征值是二次型在某个特定变换下的不变 值，而特征向量则是与该特征值对应的向 量。通过特征值和特征向量，可以进一步 了解二次型的性质和结构。例如，特征值 可以用于判断二次型的正定性、负定性或 零定性，而特征向量可以用于构建二次型 的标准形。
详细描述
二次型具有对称性，即对于任意实数$x, y$，都有$f(x, y) = f(y, x)$。此外，二次型还具有正定性、负定性等性 质，这些性质决定了二次型在数学和工程领域的应用价值。例如，在物理学中，二次型用于描述物体的运动状态 和受力情况；在经济学中，二次型用于描述成本和收益的关系等。
线性代数卢刚版4.2二次型的标准形与规范型
1 , 2 , … , n ;
Step2
Step3
求出正交矩阵 P，使
P TAP = diag(1 , 2 , … , n) ; 作正交线性替换 x = Py ，
其中 y= (y1 , y2 , … , yn )T Rn ， 则二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) 化为标准形
(1) f ( x1,x2 ,x3 ) 2x1x2 2x1x3 2x2 x3 ;
(2) f ( x1,x2,x3 ) x 4x2 x3 4x1x2 8x1x3 4x2 x3 .
2 1
2
2
用正交线性替换将二次型
f ( x1 , x2 ,…, xn)
= xTAx (其中 AT = A) 化为标准形的步骤: Step1 求出二次型矩阵 A 的全部特征值
1、用正交变换法 化二次型为标准形
由于二次型的矩阵为实对称矩阵，由于实对称 矩阵必可对角化，由此可得 定理4.2对于二次型 f ( x1 , x2 , … , xn ) = xTAx（AT=A） 存在n阶正交矩阵P，使得经过正交线性替换 x=Py
二次型 xTAx 化为标准形.
例 1 . 用正交线性替换化下列二次型为标准形, 并求出所作的正交线性替换:
化为标准形，并求所用的线性替换及变换矩阵.
解 先按 x12 及含有 x1 的混合项配成完全平方
2 f ( x1, x2 , x3 ) 2( x1 2x1 ( x2 x3 ) ( x2 x3 )2 )
2( x2 x3 )
2
2 3x2
2 x3
8x2 x3
2 2 2( x1 x2 x3 )2 x2 x3 4x2 x3
二次型的标准型与规范型
二次型的标准型与规范型二次型在数学中是一种重要的形式，它在线性代数、数值分析、优化理论等领域有着广泛的应用。
在二次型的研究中，标准型和规范型是两个关键概念。
本文将分别介绍二次型的标准型和规范型，探讨它们的性质以及应用。
二次型的标准型对于一个二次型，我们希望通过适当的变换将其化为最简单的形式，这就是标准型。
二次型的标准型是一个对角矩阵，其对角线上的元素就是二次型各项的系数。
通过适当的正交变换，我们可以将任意的二次型化为标准型。
标准型的计算方法要将一个二次型化为标准型，可以利用矩阵的对角化方法。
首先，我们要找到一个合适的正交矩阵，使得通过正交相似变换，原二次型矩阵可以化为对角矩阵。
这个对角矩阵就是标准型。
标准型的性质标准型的主要性质是简单明了，可以清晰地展现二次型的特征。
通过标准型，我们可以方便地进行计算和分析，从而更好地理解二次型的结构和性质。
二次型的规范型除了标准型外，二次型还有一个重要的化简形式，即规范型。
规范型是将二次型中的常数项约化为零后的形式，它也是一个重要的化简形式。
规范型的计算方法要将一个二次型化为规范型，首先要消去二次型中的常数项，这可以通过适当的平移变换实现。
消去常数项后，我们就可以得到二次型的规范型。
规范型的性质规范型和标准型一样，也具有简洁明了的性质。
它帮助我们更好地理解二次型的特征和结构，为进一步的计算和分析提供了便利。
二次型的应用二次型的标准型和规范型在数学和工程领域都有着广泛的应用。
在数值计算中，标准型和规范型可以帮助我们简化计算，提高计算效率；在优化理论中，二次型的标准型和规范型可以帮助我们分析和解决优化问题。
总之，二次型的标准型和规范型是研究二次型的重要内容，它们为我们提供了一种简洁清晰的形式，帮助我们更好地理解和应用二次型的相关知识。
通过对标准型和规范型的研究，我们可以深入探讨二次型的性质和应用，为数学和工程领域的发展贡献力量。
以上就是关于二次型的标准型和规范型的介绍，希望对读者有所帮助。
(完整版)线性代数第六章实二次型(自考经管类原创)
正定 半正定 负定 半负定 不定
二、正定矩阵
n元实二次型f xT Ax,及对称矩阵A一一对 应，能够判定A为正定矩阵，则f 必为正定二 次型.正定矩阵有哪些性质，怎样判定？
正定矩阵的性质 定理 对角矩阵为正定矩阵当且仅当中所 有对角元全大于零. 例 E为正定矩阵.
定理(必要条件) 对称矩阵A为正定矩阵，则A 中所有对角元必全部大于零. 反之，若存着对角元aii 0, 则A必然不正定. 例2 f 4x12 6x22 +15x32 x1x2 2x2 x3是否正定？ 定理 正定矩阵的合同矩阵必为正定矩阵. 定理 同阶正定矩阵之和必为正定矩阵.
2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ···+ 2an-1,nxn-1xn
为二次型.
取 aij = aji , 则
2aijxixj = aijxixj + ajixjxi ,
nn
于是 二次型可写成 f (x1, x2,..., xn )
aij xi x j .
i1 j1
a11 a12 a1n
令
y1 y2
x1 x2
2x2 x3
y3 x3
即作可逆变换
x1 x2
y1+2 y2 y2 +y3
+2y3
x3 = y3
x1 1 2 2 y1
即经可逆变换
x2
=
0
1
1
y2
x3 0 0 1 y3
将二次型化为标准形y12 6 y22 4 y32
O
定义 规范形中k称为二次型的正惯性指数，k r称 为负惯性指数，正负惯性指数的差2k r称为二次 型的符号差.
定理 对称矩阵A与B合同当且仅当它们有相同的 秩和相同的正惯性指数.
【指导】线性代数学习指导第六章二次型
【关键字】指导第八章二次型一．内容提要：1. 二次型及其标准形的概念定义1 包含个变量的二次齐次函数称为一个元二次型，简称二次型.若记，则二次型的矩阵形式为，其中A为n阶实对称矩阵，称为二次型的矩阵，A的秩称为二次型的秩.2. 二次型的标准形和规范形定义2 经可逆线性变换所得的只含平方项的二次型称为原二次型的标准形定义3系数为1或0的标准形称为复二次型的规范形；系数为1、-1或0的标准形称为实二次型的规范形.3. 矩阵的合同定义4 设A ，B为n阶矩阵，若存在可逆矩阵C ，使得则称A与B合同矩阵合同具有以下性质：①反身性：n阶矩阵A与A合同；②对称性：若A与B合同，则B与A合同；③传递性：若A与B合同，B与C合同，则A与C合同4. 化二次型为标准形或规范形（1）经可逆线性变换，原二次型矩阵和新二次型的矩阵合同.（2）任意一个实二次型经可逆线性变换可化为标准形.即：任意一个实对角矩阵都与一个对角阵合同.（3）任意一个实二次型都可经过正交变换化为标准形.定理（惯性定理）任意一实二次型都可经过可逆线性变换化为规范形，且规范形唯一.5. 正定二次型和正定矩阵5.1正定二次型定义5 设为一个实二次型，若对任意一组不全为零的实数实二次型的值（8.19）则称为正定二次型，并称正定二次型的矩阵为正定矩阵.5.2二次型正定的充要条件设n元实二次型，则下列几个条件等价：（1）f为正定二次型；（2）A的特征值全为正；（3）f的正惯性指数为n ；（4）A合同于单位阵E ；（5）存在n阶非奇异矩阵C ，使得A =二． 重点难点1. 二次型及其矩阵表示2. 合同变换与合同矩阵3. 二次型的秩 惯性定理4. 二次型的标准形和规范形5. 用正交变换和配方法化二次型为标准形6. 二次型及其矩阵的正定性 三．学习要求1. 了解二次型的概念，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换和合同矩阵的概念.2. 了解二次型的秩的概念，了解二次型的标准形、规范形等概念，了解惯性定理，掌握正 交变换和配方法化二次型为标准形的方法.3. 理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法. 四．典型题分析例1 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: ．解 二次型矩阵为 ，故的特征值为当时，可得单位特征向量， 当时，可得单位特征向量，当341λλ==时，可得单位特征向量300P⎪=⎪⎝⎭，400P ⎛⎫⎪= ⎪⎪．于是正交变换为且有222212343f y y y y =-+++．例2．判别下列二次型的正定性：(1)2221231213-2-6-422f x x x x x x x =++;(2)22221234121314243919-242-6f x x x x x x x x x x x x =+++++分析 可用顺序主子式方法判断 解(1) f 的矩阵为-2111-6010-4A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,11-20a =<，-211101-6=>，-2111-60-3801-4=<， 故f 为负定．(2) 1-121-130-3209-61-3-619A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1110a =>，1-140-13=>, 1-12-1306029=>,240A =>． 故f 为正定．例3 二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .分析二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换或配方法均可得到答案.解 因为2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=于是二次型的矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211121112A ,由初等变换得 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→000330211330330211A ,从而 2)(=A r , 即二次型的秩为2. 例4 设,A B 为n 阶正定阵，下列命题正确的是： （A ）若A 合同于B ，则A 相似于B（B ）若A 相似于B ，则A 合同于B (C ）若A 合同于B ，则A 与 B 等价 (D ）若A 与 B 等价，则A 合同于B解 由等价、相似、与合同的定义可知：若A 合同于B ，由于一般矩阵1T C C -≠，故不能推出A 相似于B.反之由A 相似于B ，也不能推出A 合同于B.但A 合同于B 时，则A 与 B 必等价，所以选(C).例5 设矩阵200030001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则A 合同于矩阵解：答案（C ）和矩阵200030001A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值有相同正负个数，即由相同的惯性指数所以选(C)例6 对于二次型(),Tf X X AX =其中A 为n 阶实对称矩阵，下述结论中正确的是 （A ）化()f X 为标准形的可逆线性变换是唯一的 (B ）化()f X 为规范形的可逆线性变换是唯一的 (C ）()f X 的标准形是唯一的 (D ）()f X 的规范形是唯一的解 二次型()Tf X X AX =化为标准形或规范形有不同的方法，对应的可逆线性变换也不相同，但正、负惯性指数及非零平方项个数一定是唯一确定的，所以选(D ）例8 设矩阵010010000010012A y ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭（1） 已知A 的一个特征值为3，试求y . （2） 求矩阵P ，使()()TAP AP 为对角阵.分析 （1）可将A 的一个特征值3代入方程即可求解y(2) 注意到A 是对称阵，所以2()()TTAP AP P A P =，求出2A 的标准形即可.解 （1）将特征值3代入矩阵A 的特征多项式1001000001012A E y λλλλλ---==--解得2y =(2) 由（1）结果可知因为TA A =，所以2()()TTAP AP P A P =对应于2A 的二次型为 作线性变换：11223344445y x y x y x x y x =⎧⎪=⎪⎪⎨=+⎪⎪=⎪⎩ 即：1122334410000100400150001x y x y X PY x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭将X PY =代入二次型2T X A X ，得 即 矩阵P ，使得例9设n 阶矩阵A 为正定矩阵，试证1A -也是正定矩阵 证明 因A 为正定矩阵，故存在可逆矩阵C ，使得 且1A -依然为对称矩阵，所以1A -也是正定矩阵.五．习题解析习题8.11．写出下列二次型的矩阵.（1）222123123121323(,,)f x x x x x x x x x x x x =+++++（2）12341223(,,,)f x x x x x x x x =-（3）1234135(,,,)246785T f x x x x X X ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解1．（1） 111221112211122⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（2） 10002110022100020000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；（3） 51625472675⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭解答略2．将二次型表成矩阵形式，并求该二次型的秩.解所以该矩阵的秩为3，也即二次型的秩为3 3．设A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321000000a a a ， B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛13200000a a a 证明A 与B 合同，并求可逆矩阵C ，使得 B = T C A C ． 证明4．如果n 阶实对称矩阵A 与B 合同，C 与D 合同，证明A O B O O C O D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与合同. 证明 n 阶实对称矩阵A 与B 合同，所以存在可逆矩阵P ，使T P AP B = C 与D 合同，所以存在可逆矩阵Q ，使TQ CQ D = 故：A O B O O C O D ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与合同 习题8.21．用正交变换法化下列实二次型为标准形，并求出所用的正交变换.（1）22212312323(,,)2334f x x x x x x x x =+++解（1）200032023A ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭解得对应于11λ=的特征向量：1011p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭当22λ=，代入：解得对应的特征向量：2100p ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭当35λ=解得对应的特征向量：3011p ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭再分别单位化，得正交阵：令,X QY =得标准形为22212325,f y y y =++（2）12341234(,,,)22f x x x x x x x x =- 解得特征值12341,1λλλλ====- 当1λ=解得特征向量：121010,0101p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当1λ=-解得特征向量：341010,0101p p -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将34,p p 分别正交化、单位化得正交变换矩阵：0000000Q ⎫⎪⎪⎪⎪⎪= ⎝经正交变换X QY =后得 标准形：22221234f y y y y =+--（3）222123123121323(,,)44448f x x x x x x x x x x x x =++-+-解得特征值1230,9λλλ===当0λ=解得对应的特征向量：12221,001p p -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭将12,p p正交化、单位化得12,0ηη⎛⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入39λ=解得对应的特征向量：3122p ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭单位化得：3132323η⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭将特征向量分别正交化单位化得正交变换矩阵：经正交变换X QY =得标准形：239f y =2．已知二次型2221231231223(,,)222f x x x x x x cx x x x =++++的秩为2.(1) 求c;(2) 求一正交变换化二次型为标准形. 解 （1） 代入A满足()2R A =， 解 （2）得特征值 1232,0λλλ=== 当2λ=解得对应的特征向量：12100,101p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0λ=解得对应的特征向量：311p ⎪=- ⎪⎪⎝⎭将3p单位化得0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，最后得 正交变换矩阵：3．已知二次型2212323121323(,,)43248f x x x x x ax x x x x x =-+-+经正交变换化为标准形解由题意：A 与B 正交相似，有trA trB = 即：解得：12102,3a a ==-当0222,244243a A -⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪--⎝⎭代入11λ=解得对应的特征向量：1201p -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭代入26λ=解得对应的特征向量：212521p ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭代入36λ=-解得对应的特征向量：32121p ⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭将特征向量分别正交化单位化得正交变换矩阵：代入103a =-1不是A 的特征值，故103a =-舍去 注 本题也可利用A 与B 的特征多项式相等，从而同次项系数相等来确定参数.22224. 222444,,.x x ay z bxy xy yz y Q z a b Q ξηζηζ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=2已知二次曲面方程可经正交变换化为椭圆柱面方程求的值与正交矩阵解由题意：A 与B 正交相似，有trA trB = 即：解得：3,1a b == 当10λ=解得对应的特征向量：1101p -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭当21λ=解得对应的特征向量：2111p ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪⎝⎭当34λ=解得对应的特征向量：3121p ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭将特征向量分别单位化得正交变换矩阵：5．用配方法化下列二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换.（1）222123123121323(,,)25228f x x x x x x x x x x x x =+++++解最后得标准形：2221235f y y y =+-可逆变换：（2）123121323(,,)5f x x x x x x x x x =-+ 解 令11221233x y y x y y x y =+=-= 代回二次型 得标准形2221235f z z z =-+可逆变换112233*********x z x z x z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）222123123121323(,,)55428f x x x x x x x x x x x x =+++-+解 2212123,,012001f y y X CY C --⎛⎫ ⎪=+== ⎪ ⎪⎝⎭其中解答同（1），略6．在二次型 f （ x 1 ，x 2 ，x 3 ）= 213232221)()()(x x x x x x -+-+- 中，令得 f = 232221y y y ++可否由此认定上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3 ？为什么？若结论是否定的，请你将f 化为标准形并确定 f 的秩. 解11011=011---变换矩阵行列式，变换不可逆，所以不能认为上式为原二次型f 的标准形且原二次型的秩为3因为二次型222123122313222222f x x x x x x x x x =++---，用配方法：令：11232231()2y x x x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 得 本题的另一种解法如下：因为二次型222123122313222222f x x x x x x x x x =++---，其矩阵得特征值1233,0λλλ∴=== 代入123λλ==解得对应的特征向量：12110,110p p --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭正交化得：121120,1112ζζ⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭代入0λ=解得对应的特征向量：1111p ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭将特征向量分别正交化单位化得正交变换矩阵：标准形：221233f y y =+注意：这两种解法看似答案不一样，但有相同的规范形，所以都正确.7．判断矩阵01111213A B ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与是否合同.解 矩阵01111213A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与所对应的二次型具有相同的规范形，合同.习题8.31．判定下列实二次型的正定性.（1）2221231231223(,,)23442f x x x x x x x x x x =++-- （2）222123123121323(,,)23222f x x x x x x x x x x x x =---+-+（3）123121323(,,)5f x x x x x x x x x =+- （4）∑∑≤<≤=+nj i jini ixx x112解 （1）231014A ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭各阶顺序主子式为：该实二次型正定（2）解答同理，略 （3） 解答同理 解 （4） 二次型矩阵故A 的特征值全为正，所以A 正定2． a 为何值时， 实二次型222123123121323(,,)(2)22f x x x x a x ax x x x x x x =++++--是正定的.解 运用顺序主子式法判定 解（1）2101020123(2)101A E c +c +c λλλλλλ--=---- 解得特征值：12302λλλ∴===， （2） 可求得B 的特征值：22,(2)k k +由于当B 的特征值都大于0时正定，所以02k k ≠≠-且时，B 正定.习题八 (A)一、填空题1．二次型222123123121323(,,)23246f x x x x x x x x x x x x =+-+-+的矩阵为 .解 易得：A =212113233-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭2．2123123(,,)()f x x x ax bx cx =++二次型的矩阵为 .解 易得：A=22ab bbc ac bc c ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3．已知二次型的矩阵为124214447-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭，则该二次型为 . 解 该二次型为：122212321231213233124(,,)2147488447x x x x x x x x x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-=+++-- ⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭4．二次型2132********)()()(),,(x x x x x x x x x f ++-++=的秩为 .解因线性变换112223313y x x y x x y x x=+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩ 不可逆，故222222123122331123121323(,,)()()()222222f x x x x x x x x x x x x x x x x x x =++-++=++++-得二次型的矩阵为：A =211121121011()2112000R A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→-∴= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭5．化二次型222123123(,,)43f x x x x x x =+-为规范形 ，所用的可逆线性变换矩阵为 .解 令1122332y x y x y ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 得二次型222123123(,,)43f x x x x x x =+-的规范形222123y y y +-，所用的可逆线性变换矩阵为112⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝6．二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =++的规范形为 . 解 二次型123121323(,,)f x x x x x x x x x =++的矩阵为：A =022*********2⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭求其特征值得：所以规范形为：222123y y y --7．已知实对称矩阵A 与矩阵100012022T X AX ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同，则二次型的规范形为 .解 由于实对称矩阵A 与矩阵100012022⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭合同，则对应的二次型有相同的规范形先求实对称矩阵A 与矩阵100012022⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的特征值：故：12313,2λλλ===-， 所以规范形为：222123y y y +-8．已知2221231231223(,,)22f x x x x x x x x ax x =++++正定，则a = .解9．当t 满足 , 2221231231213(,,)4242f x x x x x x tx x x x =---++是负定的.解10．已知二次型222123123121323(,,)222f x x x x ax x x x ax x x x =+++--的正、负惯性指数均为1，则a = . 解由于二次型的正负惯性指数均为1，故f 的秩为2，于是A 的秩也为2，所以0A = 解得：1221a a =-=， 代入 当12a ∴=- 求其特征值得：所以规范形为：2213y y -符合题意，故12a =-2不合题意，故舍去21a =二、单项选择题1. 已知二次型22212312312(,,)(1)(1)22(1)f x x x a x a x x a x x =-+-+++的秩为2,则a =( ).(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3解 11022211011011000100200200a a A a a a a a a a -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+-→+-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴=选(A)2. 设100020005A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭, 则下列矩阵中与A 合同的矩阵是( ).(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010001 (B)100020001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ (C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--500010002 (D)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300010002 解 A 的特征值两正一负，只有(A)符合题意(A) A 与B 合同 (B) A 与B 等价 (C) A 与B 相似 (D) A 与B 的秩相等 解 根据合同的定义及性质，可知(A),(B),(D)正确，由相似的定义知(C)不正确. 4. 设A, B 都是正定阵, 则( ).(A) AB, A + B 一定都是正定阵 (B) AB 是正定阵, A + B 不是正定阵 (C) AB 不一定是正定阵, A + B 是正定阵 (D) AB, A + B 都不是正定阵 解 选（C ），因为AB 不一定是对称阵5. 下列条件不能保证n 阶实对称矩阵A 为正定的是( ). (A) 1A -正定(B) 二次型f=X T AX 的负惯性指数为零 (C) 二次型f=X T AX 的正惯性指数为n(D) A 合同于单位矩阵解 选(B)，负惯性指数为零也可能是半正定.解 由22212312323123(,,)(2)(23)(3)f x x x x ax x x x x x ax =+-+++++二次型知： 线性变换矩阵的秩为3 选（C ）7. 已知实对称矩阵A 满足A 2-5A+6E=O ,则A ( ).(A) 正定 (B) 半正定 (C) 负定 (D) 不定 解 由实对称矩阵A 满足A 2-5A+6E=O 两边同乘以特征向量X,得A 的特征值为2或3 ，故选(A)8. 已知二次型222123123121323(,,)22248f x x x x x x ax x x x x x =--+++经正交变换化为 222123227f y y y =+-,则a =( ).(A)1 (B) -1 (C) 2 (D) -2 解 由题意可知： 故选(D)9. 下列矩阵合同于单位矩阵的是( ).(A) 121242363⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ (B)101040101-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛811172121 (D)212134244--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭解 通过计算可知选（C ）10. 设矩阵211112111120A B A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭与矩阵，则与( ).(A) 合同且相似 (B) 合同但不相似(C) 不合同但相似 (D) 既不合同也不相似 解 根据合同与相似的定义可知选(B)(B)1．已知22082006B a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭相似于对角阵.（1）求a 的值；（2）求正交变换使二次型X T BX 为标准形.解 先求22082006B a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的特征值：代入二重特征值6λ=解得 0a = 220820006B ⎛⎫⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭代入12λ=-解得对应的特征向量：1120p -⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭代入236λλ==解得对应的特征向量：12102,001p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭已 正交，将特征向量分别正交化单位化得正交变换矩阵：标准形： 222123266y y y -++解 （1）先写出222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-二次型的矩阵：513153153~0126330129()2,3A c c R A c ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭=∴= 代入A 解得：1230,4,9λλλ===（2）标准形： 22491y z +=表示椭圆柱面.3. 已知实二次型f=X T AX 中矩阵A 的特征值为1，2，5，A 属于特征值1与2的特征向量分别为12(0,1,1),(1,0,0),TTαα=-=求该二次型.解法1 设A 属于特征值5的特征向量为1323x x x α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，因A 为实对称阵，故13230,0T Tαααα==，即2310x x x -=⎧⎨=⎩，取 3301,11x α⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，构成可逆矩阵()123010,,101101P ααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭计算得：10111200.2011P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因1125P AP -⎛⎫ ⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭，故 解法2 设111213122223132333a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭由题意：AX X λ= 得 ：1112131213222323332,0011a a a a a a a a a ===-=-=-=- 令 33a a = 可得200101~2015A a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭由 相似矩阵迹相同得：2283a a +=⇒= 4．设二次型123(,,)f x x x 经正交变换 解 由题意412TA Q Q ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭=220212020-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭5．设A 是n 阶对称矩阵，如果对任一n 维向量X ，都有f=X T AX=0,证明A=O .证明 设()111212122212n n ij n n nn a a a a a a A a a a a ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭，由于A 对称，故ij ji a a = 取()0,1,0,0,(1,2,,)i X i n ε===则0,(1,2,)Ti i ii A a i n εε===再取(0,,0,1,0,,0,1,0,,0)jii j X εε=+=则20Tii ij ji jj ij ji ij X AX a a a a a a a =+++=+== 推出 0ij a =，于是A =O6．设f = T X A X 为n 元实二次型 ，λ与μ 分别为其矩阵A 的最大特征值与最小特征值，证明对任一实n 维向量X ，总有 μT X X ≤T X A X ≤ λT X X ．证明 f = T X A X μT X X =TX EX μ要证对任一实n 维向量X ，总有 μT X X ≤TX A X只需证明对任一实n 维向量X ，()0TX A E X μ-≥ 即 A E μ-半正定 由于存在正交相似变换矩阵Q ，使1111()T T T T n n Q AQ Q A E Q Q AQ Q EQ λλμμμμμμμμμ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪ ⎪=⇒-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭显然：11n λμμμμμ--⎛⎫⎪-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭半正定，所以A 与半正定阵合同，故 ()0T X A E X μ-≥ 即对任一实n 维向量X ，总有 μT X X ≤T X A X对任一实n 维向量X ，TX A X ≤λT X X 的情形同理可证7．试证：若A 是n 阶方阵，则 TA A 是半正定矩阵． 证明()0T T T X A AX AX AX =≥TA A ∴是半正定矩阵8．设A 为n 阶实对称矩阵且满足 A A A ++23 = 3 E ，证明A 是正定矩阵．证明 3230A A A E ++-=两边同乘A 的特征向量X, 32(3)0A A A E X ++-=文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.21文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 由于特征向量非零，所以：3230λλλ++-= 即因为A 为n 阶实对称矩阵，所以其特征值只有实数，故只有1是其特征值，因此A 的特征值都为正，所以A 是正定矩阵.9．设实对称矩阵A 与B 合同，若A 是正定矩阵，证明B 是正定矩阵.证明 因为实对称矩阵A 与B 合同，A 是正定矩阵，所以A 与E 合同,由合同的传递性知，E 与B 合同，所以B 是正定矩阵10．设A 是实对称矩阵．证明：当实数t 充分大时，t E ＋ A 是正定矩阵.证法1 显然 A 是对称矩阵.故存在正交阵Q ，有T Q AQ =Λ 对任意的列向量Y ,有：显然当t 充分大时，()T Y tE Y +Λ为正，即t E ＋ A 与正定矩阵合同，t E ＋ A 是正定矩阵.证法2 设A 的特征值为12,,,n λλλ.因A 是实对称阵，故i λ为实数(1,2,)i n = 取 max{}i i t λ>，则tE A +的特征值(1,2,,)i t i n λ+=全大于0，于是t E ＋ A 是正定矩阵.11．设B 为可逆矩阵，A =B T B , 证明f = T X A X 为正定二次型.证明 f = T X A X =T X B T B X =()TBX BX 又B 为可逆矩阵，,X BX θθ∴∀≠≠有，故f = T X A X ＞0，故f = T X A X 为正定二次型.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
线性代数 复数域上二次型的规范形
y2 =
1 d2
z2
yr
=
1 dr
zr
yr +1 = zr +1
yn = zn
复数域上二次型的规范形
化为如下标准形 f = z12 + z22 + + zr2 (11)
称式(11)为复二次型 f(x1, …, xn) 的规范形. 显然它完全由二次型的秩 r 唯一确定.
复数域上二次型的规范形
次
型 f = d1 y12 + + dn yn2
f
f = z12 + z22 + + zr2
复数域
f
=
z12
++
z
2 p
−
z2 p+1
−− zr2 .
实数域
r r及p
复数域上
任 何
Cn , C 0,
对 使C T AC =
1
A∽
1 0
称 阵
A
d1
实数域上
1
1
0
dn
A∽
−1
−1
于是有以下定理.
复数域上二次型的规范形
定理4 任意一个复数域上的n元 二次型 f (x1, x2, …, xn) 必可经过可逆线性 变换化为规范形(11)，且规范形由 f 的秩r 唯一确定.
复数域上二次型的规范形
由定理4立即得到如下推论.
复数域上二次型的规范形
推论 任一个复数域上对称矩阵A必合同
于一个形如 1
1
0
0
的对角形矩阵，且主对角线上 1 的个数就是
A的秩.
复数域上二次型的规范形
推论：两个复对称矩阵合同的充分必要 条件是它们的秩相等.
二次型的规范形
二次型的规范形二次型是数学中的一个重要概念，广泛应用于线性代数、数学物理等领域。
在讲述二次型规范形之前，我们先来了解什么是二次型。
一、二次型的定义在线性代数中，给定一个n维向量空间V上的对称矩阵A，我们称函数Q(x)=x^TAx，x∈V，为矩阵A的二次型。
其中x^T代表x的转置。
二、二次型的性质1. 对于任意的n维列向量x，有Q(x)=Q(\lambda x)，其中\lambda为任意实数。
这是因为Q(\lambda x)=(\lambda x)^TA(\lambdax)=\lambda^2x^TAx=\lambda^2Q(x)。
2. 对于任意的n维列向量x、y，有Q(x+y)=Q(x)+Q(y)+2x^TAy。
这是因为Q(x+y)=(x+y)^TA(x+y)=x^TAx+x^TAy+y^TAx+y^TAy=x^TAx +y^TAx+x^TAy+y^TAy=(x^TA+y^TA)x+(x^TA+y^TA)^Ty=x^ TAx+y^TAy+x^TAy+y^TAx=Q(x)+Q(y)+2x^TAy。
3. 对于任意的n维列向量x，有Q(-x)=Q(x)。
这是因为Q(-x)=(-x)^TA(-x)=(-1)^2(x^TAx)=x^TAx=Q(x)。
因此，二次型具有以上三个性质。
三、二次型的规范形对于一个二次型Q(x)，我们可以通过线性变换将其化为规范形。
二次型的规范形包括两种情况：标准型和标准配方法。
1. 标准型标准型是指没有交叉项的二次型。
即对角线以外的元素全部为0。
一个n维向量空间上的二次型Q(x)的标准型为Q(x)=c_1x_1^2+c_2x_2^2+...+c_nx_n^2，其中c_1,c_2,...,c_n为非负实数。
2. 标准配方法对于一个n维向量空间上的二次型Q(x)，我们可以通过正交变换将其化为标准配方法。
具体的步骤如下：①将二次型Q(x)的矩阵A对角化得到对角矩阵D。
②用正交变换y=P^Tx将二次型的矩阵A变换为对角矩阵D。
线性代数4.4 二次型
例
解
求下列平面图形所围图形的面积：
3x 2 xy 3 y 1 f ( x, y) 3x2 2xy 3 y 2
2 2
3 1 A I 2 6 8 ( 2)( 4) 1 3
A 的特征值为
3 1 A 1 3
可顺次求得单位特征向量
0.6 0.6 0.8 e1 令 P 0.8 e2 0.6 0.8 则经正交变换 x Py，可得标准形
0.8 0.6
f 10 y 15 y
2 1
2 2
例、试用正交变换化二次型
解:
3 2 x1 求二次型 f ( x1 , x2 ) x1 x2 x 经过线性变换 2 6 2 x1 2 y1 y2 之后的表达式。 x2 y1 2 y2 2 1 T T 令 x x1 x2 , y y1 y2 , 有 x y, 则 1 2 3 2 x1 f x1 x2 x 2 6 2 2 1 3 2 2 1 y1 y1 y2 y 1 2 2 6 1 2 2 10 0 y1 y1 y2 10 y12 35 y22 0 35 y2
换x=Hy变成y的二次型
2 2 f (Hy) d1 y12 d2 y2 dn yn
就称此二次型为原来二次型的标准形。
如例4.17
f ( x1 , x2 ) x1
3 2 x1 x2 2 6 x2
x1 2 y1 y2 2 f 10 y12 35 y2 经线性变换 化得标准形 x2 y1 2 y2
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含有平方项
含有x1的项配方
解 f x 1 2 2 x 2 2 5 x 3 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
x1 22x1x22x1x32x2 25x3 26x2x3
(x1x2x3)2x22x322x2x3 2x225x326x2x3 (x 1 x 2 x 3 )2 x 2 2 4 x 3 2 4 去x 2 掉x 3配方后多出来的项
x3 0 0 1 y3
标准形为 f y12y22.
所用变换矩阵为
1 C 0
1 1
0 0
1 2 , 1
(C 10)
例2 用配方法化二次型
f 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
为标准形，并写出对应的可逆线性变换。
解 所给二次型中无平方项，所以先作线性变换
x1 3 y 3
即
x1 x2
1 1
1 1
0 y1 0 y2
x2 0 0 1 y3
原二次型化为
f 2 y 1 2 2 y 2 2 4 y 1 y 3 8 y 2 y 3.
f 2 y 1 2 2 y 2 2 4 y 1 y 3 8 y 2 y 3.
再配方，得
f 2 (y 1 y 3 ) 2 2 (y 2 2 y 3 ) 2 6 y 3 2 ,
第二节
本节讨论的主要问题是：如何通过可逆线性变换XCY，
把二次型f(x1,x2,,xn)XTAX化为y1, y2,, yn 的平方和 d1y12 d2y22 dnyn2 ，称之为二次型的标准形。从前面分
析可以看出， 要把一个二次型化为标准形， 只要找一个可逆阵C， 使CTAC成为对角阵，即A与一个对角阵合同。
z3
.
x3
z3
2、用正交变换法化二次型为标准形 由 上 节 定 理 可 知 ， 对 实 对 称 阵 A ， 总 可 找 到 正 交
阵 P ， 使 P 1A为 P 对 角 阵 ， 而由正交阵性质可知，
P 1 P T ， 故 P 1 A P T A。 P 因此这样的正交
阵 P 正 好 用 来 作 为 变 换 X C 中 的 Y 矩 阵 C 。
(x 1 x 2 x 3 )2 (x 2 2 x 3 )2,
f (x 1 x 2 x 3 )2 (x 2 2 x 3 )2,
令
y1 y2
x1 x2 x2 2x3
x3
x1 x2
y1 y2 y2 2 y3
y3
y3 x3
x3 y3
x1 1 1 1 y1 x20 1 2y2
4.将 特征 1,2, 向 ,n正 量交 ,单化 位 ,得化 1,2,,n,记 C(1,2,,n);
5. 作正交 X 变 C换 Y ,则得 f的标准形
f 1y12nyn 2.
例3 用正交变换将二次型
f 1 x 1 2 7 1 x 2 2 4 1 x 3 2 4 4 x 1 x 2 4 x 1 x 3 8 x 2 x 3
一、二次型的标准形
定义 如果二次型
f (x1, x2, , xn) XTAX 通过可逆线性变换X CY，化为二次型
YTBY d1y12 d2 y22 dn yn2 ，
则称之为原二次型的标准形。
实 际 上 ， 二 次 型 f(x 1,x 2, ,x n )X T A化 X 为 标 准 形 的 问 题 ， 等 价 于 该 二 次 型 的 矩 阵 A 合 同 于 一 个 对 角 矩 阵 的 问
2 4 5 0 0 0
2
1 2 2 1 2 2
2,3 18, 18E A 2 4 4 0 0 0 ,
2
2 2 4 4 0 0 0
2 1 , 3 0 ,
0
1
1
2
2
1 2 , 2 1 , 3 0 ,
2
x x
i j
yi yi
yj yj
xk yk
(k 1 ,2 , ,n 且 ki,j)
化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法
配方.
例1 用配方法化二次型
f x 1 2 2 x 2 2 5 x 3 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 6 x 2 x 3
为标准形，并写出对应的可逆线性变换。
化为标准形，并求所作的正交变换。
解 二次型的矩阵
17 2 2
A 2 14 4
2 4 14
17 2 2
EA 2 14 4 (1)82(9),
2 4 14
17 2 2
EA 2 14 4 (1)82(9),
2 4 14
8 2 2 2 5 4
1
1 9, 9EA 2 5 4 0 1 1 , 1 2 ,
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3
z3
即
y1 1 y2 0
0 1
1 z1 2 z2
y3 0 0 1z3
标准形为
f2z1 22z2 26z3 2.
x1 1 1 0 y1
x2 1 1 0 y2
x2 0
0
1
y3
y1 1 0 1 z1 y2 0 1 2 z2 y3 0 0 1 z3
所用变换矩阵为
1 1 01 0 1 1 1 3 C1 1 00 1 2 1 1 1 , (C20)
0 0 10 0 1 0 0 1
对应的线性变换为
x1 z1 z2 3z3
x2
z1
z2
当 C 是 正 交 阵 时 ， 我 们 称 X C 是 一 个 Y 正 交 变 换 。
定理 任何二次型都可以通过正交变换化为标准形。
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩 f 阵 XTA 形X,式 求出 A;
2. 求A 出 的所有1 特 ,2, 征 ,n值 ;
3. 求出对应于特 征征 向值 1量 ,2的 ,,特 n;
题 。
下面介绍二次型化为标准形的方法。
1、用拉格朗日配方法化二次型为标准形
拉格朗日配方法的基本步骤：
1. 若二次型含有 x i 的平方项，则先把含有 x i 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同
样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形;
2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0 (i j),则先作可逆线性变换