第六章 系统的状态变量分析 (1)

§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
3.由信号流图建立状态方程 n n -1 b s + b s + + bn-1 s + bn 1 3.1直接型结构 H s 0
s n + a1 s n-1 + + an-1 s + an
b0 b1 1 b2 bk-2 bk-1
e(t)
s-1
-a1 xk
§ 6-1 引 言
e(t)
R +
L
iL(t) + C
uc(t)
-
3.基本概念
-
串联谐振电路： 了解系统内部储能元件动态特性，可列出方程： ' iC t CuC t
RiL t + LiL ' t + uC t e t
R 1 1 ' iL t - iL t - uC t + e t L L L u ' t 1 i t C C C
§ 6-1 引 言
3.基本概念
X ' t AX t + Be t
通常把系统状态方程以下述矩阵-矢量形式书写
R 1 1 ' i t i t u t + e t L C L L L L u ' t 1 i t C C C
2 x1 t + x1' t + x3 t e1 t 1 ' x2 t + x2 t + e2 t x3 t 3 1 ' x3 t + x2 t x1 t 2 r t x2 t + e2 t
1
-a2
r t b0 xn t + bi xn +1-i t b0 e t + bi - b0 ai xn +1-i t
i 1
n
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
3.由信号流图建立状态方程 x t x t 3.1直接型结构 x t x t
C 0 1 , D 0
§ 6-1 引 言
4.状态变量分析方法的优点
便于研究系统内部物理量的动态变化特性。 与系统复杂程度无关，差别仅在于系统激励矢量和
状态矢量的维数不同，无论是SISO、SIMO、MISO或 MIMO都可用同一形式的状态方程描述。 适用于时变系统或非线性系统，此时状态方程及/ 或输出方程是时变的或非线性的。 状态方程的特性参数鲜明地表征了系统关键性能， 尤其是系统稳定性、系统可控性和系统可观测性。 为系统的CAA或CAD提供了有效途径。
§ 6-1 引 言
e(t)
R +
L
iL(t) + C
uc(t)
-
-
3.基本概念
串联谐振电路，若只关心于系统激励 et 和响应 u t 之间的关系，则有系统微分方程描述
C
R ' 1 1 uC t + uC t + uC t e t L LC LC
"
是一种输入-输出描述法，它只能得到系统输出如何 随系统输入变化，无法了解系统内部发生的变化及 由此引起的输出变化，更无法得知如何控制系统内 部变化来达到所需的系统输出。
s-1
xk-1 -a2 -ak-2 -ak-1 x3
s-1
x2
s-1
x1 bk
r(t)
-ak
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
3.由信号流图建立状态方程 3.1直接型结构 选取图中每个积分器 1 s e(t) x -a 的输出为状态变量
-1
b0 b1 b2 bk-2 bk-1
s-1
k
s-1
xk-1 x3 -ak-2 -ak-1 -ak x2
§ 6-1 引 言
1.经典系统分析方法的缺陷 经典系统分析方法包括时域法和变域法，它研 究LTI系统的冲激响应、阶跃响应、零输入响应 和零状态响应等时域特性及系统传递函数、幅 频特性、相频特性等频域特性（尤其是频率响 应特性）的概念。 经典的线性系统理论不能揭示系统内部特性， 不能有效地处理多输入-多输出系统，也不易推 广应用于分析时变系统或非线性系统。它仅适 合于分析单输入-单输出的线性时不变系统的外 部特性，具有相当大的局限性。
' 1 2 ' 2 3
' xn -1 t xn t n ' xn t e t - ai xn +1-i t i 1
n n ' i 1 i 1
r t b0 xn t + bi xn +1-i t b0 e t + bi - b0 ai xn +1-i t
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
3.由信号流图建立状态方程 由系统微分方程或系统函数可得其直接型、 串联型、并联型或并串型实现的信号流图。 3.1直接型结构
b0 s n + b1 s n-1 + + bn-1 s + bn H s n s + a1 s n-1 + + an-1 s + an
c11 c12 c c22 21 C cn1 cn 2
c1k d11 d c2 k , D 21 cnk d n1
d12 d1m d 22 d 2 m d n 2 d nm
X ' t AX t + Be t r t CX t + De t
a1k b11 b12 b b a2 k , B 21 22 akk bk 1 bk 2
b1m b2 m bkm
2.由电路图直接建立状态方程 对含有RLC的电路，选取电容电压和电感电 流为状态变量； 对于仅含LC的电路，选取电容电荷和电感磁 链为状态变量。注意，为确保矩阵 A 可逆， 每个状态变量必须是独立变量。
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
2.由电路图直接建立状态方程 通常，首先选取所有电容电压和电感电流为 自变量； 然后根据KCL和KVL列写电路方程； 最后，判断矩阵 A 是否非奇异，若非奇异， 则所选变量就是状态变量；否则消去多余自 变量，只留下状态变量和输入变量，经整理 后就得到所需的系统状态方程。
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
1.状态方程的一般形式 n 维输出的动态系统可一般地表示 一个有 m维输入、 为矢性一阶非线性时变微分方程： ' X 状态方程： t f X t , e t , t 输出方程： r t h X t , e t , t k 维状态矢量：X t x t x t x t
§ 6-1 引 言
2.状态变量分析理论的重要意义 卡尔曼（Kalman）提出的以状态变量分析为核心 的现代系统理论用描述系统内部特性的状态变量 取代了描述系统外部特性的系统函数 这种描述可方便地运用于分析多输入-多输出系统 进一步提出的可控性和可观测性概念完整地揭示 了系统内部特性 状态空间法也能成功地应用于分析时变系统或非 线性系统 能方便地使用计算机求解系统
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
2.由电路图直接建立状态方程 例6-1：给定电路图，列写状态方程和以 r t 为输出的输出方程。 1H — 1H 3 选择状态变量：
i1 t X t i2 t vC t
2Ω x1(t) 1F — 2 i1(t) ic + x3(t) i2(t) x2(t) 1Ω + e2(t) r(t) +
第六章 系统的状态变 量分析 复习
学习要点：
1. 2. 3. 4. 5. 6.
依据电路的独立储能器件选择状态变量，并列写相应的连续系统状 态方程； 依据系统最简的传递函数、信号流图、或实现框图，列写相应的连 续系统或离散系统的状态方程； 使用变域技术或凯莱-哈密顿定理，计算系统状态转移矩阵； 使用时域法或变域法，求解系统状态方程； 线性变换对状态方程的影响； 状态方程描述的系统稳定性判断方法。
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
1.状态方程的一般形式
X ' t AX t + Be t r t CX t + De t
D(t) X´ (t) X(t) r(t)
e(t)
B(t)
积分
A(t)
C(t)
§ 6-ห้องสมุดไป่ตู้ 连续时间系统状态方程的建立
T 1 2 k
m 维输入矢量： e t e t
1
e2 t em t
T
n 维输出矢量： r t r t
1
r2 t rn t
T
§ 6-2 连续时间系统状态方程的建立
1.状态方程的一般形式 k 维非线性时变函数矢量 f X t , e t , t f X t , e t , t f X t , e t , t
s-1
x1 bk
r(t)
x1 t x2 t ' x2 t x3 t ' xn -1 t xn t n ' xn t e t - ai xn +1-i t i 1