复变函数与积分变换结课感想
陈宗煊老师复变函数 后感
听陈宗煊老师的讲座小结学习复变函数已经是大二的事情了。
我想如果我还没有学习这门课的话也许得到的收获不是这样，或许根本就听不懂，或许仅仅是有个模糊的概念，或许就像浮云，听过了就算了。
虽然我是方向二的学生，学习复变函数的内容很浅也很少，但是听完讲座之后对复变函数多少还是有那么一点怀念的。
记忆又回想到大二的时候每周一上午的三节复变函数课，从最初的复数，复平面上的点集合，复球面与无穷远点开始学起，当时对复球面根本无法理解，到第二章的解析函数的概念，柯西黎曼条件，到第三章的复变函数的积分，第四章的解析函数的级数展开到学期末才学了一点点的留数。
当时学习的时候我只是纯粹的学习复变函数的内容，仅仅是知道复变函数中的函数是定义在复数集（复平面）上的，主要研究其中一类性质非常好的函数----解析函数，也就是能在各点处展开成Taylor 级数的函数。
解析函数在工程技术中应用很广，是有用的工具，而其他的一无所知。
那天听了讲座之后，知道其实复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。
比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。
比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。
复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。
它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。
还记得大二那学期快结束的时候，我们班有几个方向一的同学一起写了一篇关于复变函数论的课程论文，后来还发表到了一个学报上面。
听了讲座之后想想，其实这个与她们学习复变函数的方法有关吧。
大家都以为高中生活可以跟小学初中一样,稍稍努力下就可以拿到好成绩,其实不然,高中的所有学科都是高级学科,跟初中比起来等级差好多,2个阶段是不一样的,但是也不用灰心,有办法学好的.其实复变函数的知识最重要的是基础知识的稳固和有一套适合自己的学习方法和解题方法,基础是指路标,学习和解题方法是武器,建议要多做题,另外,不要只死背数学公式和物理公式,以前我也这样，后来我试着去理解每一条公式的由来和过程,试着自己去推理出来,发现其实一道公式可以变换出非常多公式出来，但是都离不开那些基础概念,所以不要小看那些概念和定义,去记好它们,可以帮助我们很好理解题目.这是第一.第二,要多做练习题,但是不要选难度较大的做,基础很重要,所以先从小题做起,多做小题,有了一定的积累后你会发现,以前一道想很久的大题现在解一下其实没什么.还有做题不要只满足做好,如果一道可以一看到题目就想出做法的题那就可以过了,但是需要思想斗争的话,建议做完后再思考看看,为什么要这样做。
复变函数与积分变换结课感想
复变函数与积分变换结课感想
复变函数是一种重要的数学函数，它主要用来描述在多元变量中多个变量之间的关系。
它可以用来求解多元方程组，计算多元曲面的交线，分析多元函数的最大值和最小值等。
积分变换是一种重要的数学方法，它可以将一个微分问题转化为另一个微分问题，从而帮助我们更快地求解复杂的微分方程。
积分变换也可以用来求解多元积分，并应用于物理学、数学、生物学等多个领域。
结课感想：本门课程对复变函数和积分变换的学习使我们更好地理解了复杂的数学模型，提升了解决各种数学问题的能力。
通过学习，我们不仅学会了如何使用这些工具，而且还增强了对复杂问题的分析思考能力。
复变函数学习心得体会（范本）
复变函数学习心得体会复变函数学习心得体会数学学科发展到现在,已成为了分支众多的学科之一，复变函数则是其中一个非常重要的分支，是19世纪，Cau chy, Rie mann,We ierstras s 等数学家分别从不同角度建立了复变函数的系统理论，使复变函数真正成为分析数学的一个重要分支。
复变函数是复数域上的微积分，是基于解决数学内部矛盾的间接需要而产生的，是由于在生产实际和科学研究中发现了应用原型而发展起来的!复变函数现在是大学理工科专业和数学院系数学类专业的一门重要的基础课,但是复变函数的学习要有高等数学的基础,如果没有这方面的知识,学习复变函数无疑会非常困难,因为这门课程在初学者看来非常抽象,理论性太强。
作为复变函数的教学工作者,如何使得这门课程的课堂变得生动有趣,而且使学生在学习过程中容易理解,是我们不得不思考的问题。
由于复变函数的导数与可导性、微分与可微性是利用类比的方法从一元实变函数相应概念推广到复数域后得到的，它们在形式上与一元实变函数的导数、可导性与微分一致，因此在教学中应当勤于和善于比较，既要重视共性，更要注意不同点，切实关注在推广到复数域后出现了什么新情况和新问题，探讨出现新问题的原因何在。
在这篇报告中,王锦森先生非常生动地介绍了复变函数课程的改革思路和分别讨论了复变函数教学中的难点和重点，并且这些难点和重点的教学方法。
难点和重点介绍方面：讨论了在复变函数可导性的充要条件中，为什么要求函数的实部和虚部必须满足Cauchy-R iemann方程? 内在含义，复变函数的导数的几何意义是否跟实变函数导数的几何意义相同?，一元实函数的微分中值定理能不能推广到复变函数中来?，复变初等函数与相应的实变初等函数之间的关系与差别，复变函数的积分与一元实变函数的第二型曲线积分的不同之处，即，它们积分和式的结构不同，积分的表达形式不同，物理意义不同等等，还讨论了学习Cauch y-Goursa t 基本定理应当注意的几个问题，复变函数积分中有没有与一元实变函数微积分中的微积分基本定理和Ne wton-Lei bniz公式相对应的结论等等。
复变学习心得范文
复变学习心得范文复变学是一门非常重要的数学学科，它研究复数及其函数的性质和运算规律。
在学习复变学的过程中，我获得了很多收获和经验。
下面是我对复变学学习的心得体会。
其次，复变函数的积分理论也是复变学中的关键内容。
在实变函数中，我们了解了定积分和不定积分的概念及其基本性质。
而在复变函数中，积分的概念变得更加复杂，包括曲线积分、路径积分和围道积分等。
复变函数的积分理论有许多独特的性质和计算方法。
例如，柯西定理和柯西公式使我们可以通过计算复变函数的积分来计算其导数和展开式。
这为复变函数的计算提供了更加便捷和高效的方法。
在学习复变学的过程中，我发现绘制复平面图是非常有帮助的。
复平面图将复数可视化，更加直观地反映复变函数的性质和运算规律。
通过绘制复平面图，我可以更清楚地看到复数和复变函数的几何表示。
这对于理解复数的加减乘除、共轭、求模、幂运算等操作非常有帮助。
此外，掌握一些基本的求解技巧和技巧也是复变学学习中的关键。
例如，利用柯西—黎曼方程解析所给的复变函数是否解析，利用柯西—黎曼方程将复变函数拆分成实部和虚部，通过解析实部和虚部来求解复变函数的导数和积分等。
这些技巧可以帮助我们更加高效地解决复变函数的计算问题。
最后，我认识到复变学作为一门重要的数学学科，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
例如，在电磁学中，复变函数可以用来描述电场和磁场的分布，求解电磁波的传播问题。
在量子力学中，复变函数可以用于描述粒子的波函数和概率幅。
在工程领域，复变函数可以用于信号处理、图像处理和通信系统等方面的建模和分析。
因此，学好复变学对于我的专业发展和学术研究都有着重要的意义。
总之，复变学是一门非常有趣和实用的数学学科。
通过学习复变学，我不仅对复数和复变函数有了更深入的理解，也掌握了一些重要的求解技巧和计算方法。
我相信在今后的学习和工作中，复变学的知识将为我提供更多的资源和思路。
学习复变心得
学习复变函数心得在这一学期，我学了复变函数这门课程，使我受益良多，也有挺多的学习心得感受。
所以，接下来，我想跟大家一起分享我的一些看法及心得。
我认为，在接触一门新的课程时，不妨先了解其发展历史，这样，对以后的深入学习也有一定的帮助，而且，在学了之后，也不至于连这一学科怎么来的，为何会产生都不清楚。
所以，在老师的讲解下及上网看的一些资料后，我也了解了一点点有关复变这门课程的发展历史。
复变函数，又称为复分析，是分析学的一个分支。
它产生于十八世纪，其中，欧拉、拉普拉斯等几位数学家对这门学科的产生做出了重大的贡献。
而到了十九世纪，这时，可以说是复变函数这门学科的黄金时期，在这段时期，它得到了全面的发展，是当时公认的最丰饶的一个数学分支，也是当时的一个数学享受。
其中，Riemann,Welerstrass及Cauchy这三位数学家为此作做了突出的贡献。
到了二十世纪，复变函数继续发展，其研究领域也更加广泛了。
而我国的老一辈的数学家也是在这一方面做出了一些重大贡献。
知道了复变函数这一学科简单的发展历程后，那么接下来，我给大家说说我在学习这门课程的一些感受吧。
复变函数课程从拓展数域至复数开始，在介绍复数与四则运算后，利用中学生已有知识引入概念，易于上手。
接着探讨复平面、复数模和辐角，并过渡至复变函数及其极限、连续性定义。
特别指出的是，复变函数既能为单值函数，也可能具有多值特性，这一区别对后续深入研究至关重要。
在学习接下来的第二章，主要讲的是解析函数及初等多值函数。
而在学习解析函数时，我觉得，最主要的就是掌握柯西—黎曼方程，它对于解析函数的微分及解析的判定都有着重要作用，就是到了第三章的复变函数的积分也是会用到的，所以掌握它还是挺重要的。
接下来就是初等多值函数，这一部分比较难，但也挺有意思的。
在老师讲解下及自己的研究后，对这一部分还是有点收获的。
学习这一部分的内容，首先要理解为什么要对平面进行切割，接着，就是要学会寻找支点及切割方法，还有就是那些辐角的变化也要搞清楚，只要将这几点掌握了，应该就没有大问题了。
复变函数课程总结反思800字
复变函数课程总结反思800字作为一名数学专业的学生,我学习了复变函数的课程,这门课程是非常重要的一部分。
通过这门课程,我深刻地体会到了复变函数在实际问题中的应用价值和重要性。
在这篇总结反思中,我将分享我在这门课程中的收获和不足之处。
一、收获在复变函数的课程中,我学到了很多重要的数学概念和方法,包括积分、微积分、级数、三角函数、复数等等。
以下是我在这门课程中学到的一些重要概念和方法:1. 复变函数:复变函数是指以实数表示的函数,它可以在复平面上积分,并且具有一些特殊的性质。
复变函数在实际问题中非常有用,比如在物理学、工程学、计算机科学等领域都有广泛的应用。
2. 复积分:复积分是指对复变函数在某复平面上的区域进行积分的方法。
复积分有很多重要的应用,比如在计算曲线的面积、体积等方面。
3. 级数:级数是复变函数的一种重要表示方法。
级数可以用于求解很多复杂的问题,比如求和、微分、积分等等。
4. 三角函数:三角函数是复变函数中的一种特殊函数。
三角函数在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
5. 复数的基本性质:复数具有很多重要的基本性质,比如模长、虚数单位、虚角、复数和、复数积等等。
这些性质在复变函数的理解和应用中非常重要。
总之,在这门课程中,我学到了很多有用的数学概念和方法,对于这些概念和方法的理解和应用,我感到非常愉悦和满足。
二、不足虽然复变函数的课程非常有趣和有用,但是我也发现自己的不足之处。
以下是我认为我的一些不足之处:1. 课堂参与度不够高:在复变函数的课程中,课堂参与度是非常重要的一部分。
虽然我在课堂上认真听讲,但是有时候我的参与度不够高,导致我在课程中的收获不如其他同学。
2. 没有深入理解课程内容:复变函数的课程涉及到很多复杂的概念和方法,如果没有深入理解,就难以理解和应用。
3. 缺乏实践应用:复变函数的课程虽然有很多重要的应用,但是缺乏实践应用,就难以将这些应用方法应用到实际问题中。
综上所述,复变函数的课程是非常有趣和有用的,通过这门课程,我学到了很多有用的数学概念和方法。
对工科复变函数与积分变换课程教学的几点心得
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对工 科复变 函数 与积 分变换课程教学 的几点心得
贺君燕 （ 上海 电力学院数理 学院， 上海 ２０ ９ ） ０ ００
摘 要： 主要对工科类《 变函数与积分变换》 复 课程 的教 学所存在 的一些问题进行 分析 ， 并就相应的解决方 案提 出了 自己的浅见。 关键词 ： 变函数 ； 复 积分 坛
塑料泡沫 吸附氢醌滴 定法测 定金
包 杰
（ 黑龙 江省有 色金属地质勘 查七 ０一队 ， 黑龙 江 哈 尔滨 １０ ２ ） ５ ０８
摘
要： 试样经焙烧 ， 王水分解 ， １％～２ ％（ ／ 王水介质 中用泡沫塑料富集金 ， 在 ５ ０ ｖ ｖ） 以氢醌滴定法测定金 。
一
级数直接写出离散数 字信 号的 Ｚ 换 ； 变 傅里叶变换可应用于控制 问 绍它们的性质和应 用 ， 阐明工程 中大部分信号都可以通过它们进 并 题、 频谱 分析 和信 号处理 ； 普拉斯变换可 应用于求解微积 分方程 行分解 ， 拉 并举 出具体 的例子 ， 这样不仅 降低 了从数学概念上 理解它 等。同时 ， 在教学 的过程 兰 ｆ．ｔ地渗透教学内容的应用价值 。如 ： 们的难度 ， ￣ ｆ 寸 而且解决 了学生不知道如何使 用 、 怎样理解它们 的问题 ： 在讲解 复数 的几何意义时 ，我们可 以介绍到复数并不是虚 构的 ， 三是对于傅里 叶变换 和拉普拉斯变换所涉及的一些性质 、 它 一些常用 有 其现实意义 ， 它可 以表示平面上 的点 或者 向量 ， 从而消除 大家对 函数的傅 里叶变换 和拉普拉斯变换以及逆变换 ， （ 下转 ２ ２页 ）
１概 述
复数 真实性 的疑虑 。在讲解复数的幅角时 ， 可以用 照像机 的例 子来
关于《复变函数与积分变换》课程的几点教学思考
47关于《复变函数与积分变换》课程的几点教学思考崔晓梅（吉林化工学院 吉林吉林 132022）摘要：针对复变函数与积分课程的重要性，提出几点教学思考。
通过培养学生兴趣、优化教学内容、增加实验提高动手能力和让学生参与教学等方面提高课程的教学效果。
ꢀ关键词：复变函数与积分变换；实验教学；兴趣ꢀ复变函数与积分变换是高校工科某些专业的一门基础必修课，很多课程如工程力学、电工技术、电磁学、无线电技术、信号系统与自动控制等等都以复变函数与积分变换为先修课，电工信号等课程更要大量用到积分变换的知识。
而传统的以教师讲课为主的教学中，学生普遍反应难度较高，每节课的授课量较大，教学效果受到极大的制约。
因此教师迫切的需要以现代教研理论为指导，积极尝试新型教学方法、模式，不断优化教学内容，才能激发学生的学习兴趣，建立学生学习的信心，提高学生分析问题、解决问题的能力。
一、培养学生对课程的兴趣无论是什么课程，无论多好的教学模式和老师，首先都应该让学生产生兴趣，因为兴趣是最好的老师。
首先我们应该在第一次课的时候，让学生对复变函数与积分变换有一个正确的认识，让他们觉得这门课有意思、有用，学不好会影响后面专业课程的学习，而不是对一门数学课程的畏惧。
应该给学生讲讲它的背景，发展史等，尤其书上涉及到的重要定理的历史及数学家的故事，如柯西、黎曼等，通过历史故事使学生对定理内容产生好奇心，同时激发了学生的学习兴趣，为后继内容的讲解奠定基础。
在教学过程中渗入课程的应用激发学生兴趣。
复变函数的魅力还在于它广泛的应用。
不仅在数学领域的许多分支用到复变函数的理论，在许多工程领域也大量用到复变函数知识。
在讲共形映射时，可以向学生介绍俄国的茹科夫斯基在设计飞机时，如何通过共形映射研究机翼外部的绕流问题，计算出飞机机翼剖面压力，从而解决了机翼的造型的例子。
如此知识的讲解更加生动有趣，同时培养了学生综合应用的能力。
二、针对不同专业需求优化教学内容以往复变函数与积分变换，我们采用统一教材，相同的授课计划，对不同专业对课程需求差异性没有做深入的思考。
独立学院复变函数与积分变换教学体会
Ｔ Ｉ Ａ 皿
Ｅ Ｄ Ｕ Ｃ Ａ Ｔ Ｉ Ｏ Ｎ
Ａ
独 立 学 院 复变 函数 与 积分 变换 教 学体 会
尚旭 东
摘要 ： 根 据复 变函数与积分 变换 的课 程特点 ， 主要 介绍 了复 变函数 与积 分变换课 堂教 学改革 方面的几点体会 ， 以便 为学生后 续课 程 的学 习及解决专业 中的数学 问题打好基础 。
４ 融入 数 学 建模 的 思 想 。 增 强 学 生 解 决 实 际 问题 的 能 力 在处理许多实际应用问题时 ， 往往需要对 现实世界中所 遇到 的实际应用 问题进行数学化 ， 也就是 通过抽象 、 简化 、 确定变量和
１ 做好与高等数学课程知识的类比 。 突出复变函数 内容的不同 数学概念是数学思维 的最基本单元 ， 是一切推理的基础 。在 教学过程 中， 学生们普遍认为数学概念是苦涩 的、 无趣 的 ， 那么如 何才能使学生很快地 、 准确地把握住复变 函数与积分变化这 门数 学课 程概念的本质 ？ 我们 在复变 函数教 学过程 中， 跟过去高等数 学 中的一些概念相 互 比较 ， 找 出二 者之间 的异 同 ， 使他 们更容易 理 解新的概念 ， 提 升数学思维 。如 在介绍复变量 函数 的概 念时 ， 首先 回忆 实变量 函数 的概 念 ， 然后让学生们 自己试着给 出复变量 函数的定义 ， 最后 总结 给 出复变量 函数 的概念 ， 找 出二者之 间的 不同， 我 们发现复 变函数可 以分 为单值 函数 和多值 函数 ， 同时找 出其和二元实 变量 函数 间的关系 。因此 ， 我们在 教学实践 中 ， 应 该 注意通过对 比、 联想概念之 间的异 同 ， 发现概念的本质 ， 便 于学 生的理解和记忆。 ２ 充分挖掘 实际背景 。 注重理论性与应用性相结合的原则 积分变换 理论 的思想 方法不仅在 数学其它分 支 中有着广 泛 的应用 ， 而且在 电工学 、 工程技术 、 自动控制理论 等科学 技术领域 中发 挥着重 要 的作 用 。在 教学 过程 中 ， 以实 际应用背 景为 出发 点， 讲解数学 理论 ， 这样使得学生 的理解 困难大大减轻 ， 进而提高 学生 的学 习效率 ， 激发学 生的学习兴趣 。例如 ， 在讲解解 析函数 时， 我们根据 大学物理 的知识 ， 首先用复变 函数来 描述平 面流速 场 的复势 、 静电场 的复势 及平面稳定 温度场 ， 再给 出解 析函数 的 概念 ， 最后总结到 ， 不论在怎样 的物理现象 中 ， 只要考虑 的物理量 是一个二元调 和函数 ， 我们就可 以用一个解析 函数来描述 。再 比 如， 讲解单位脉冲 函数时 ， 我们先 通过 一些 物理模 型分析总结 ， 最 后给 出其 数学 定义。教 师结合 现实的应用背景 来讲 解 ， 学生利用 熟知 的知识来 学习和记忆 ， 必会取得事半功倍 的效果 。
读《复变函数》与《积分变换》有感（最终定稿）
读《复变函数》与《积分变换》有感（最终定稿）第一篇：读《复变函数》与《积分变换》有感班级B10202姓名李建良学号36读《复变函数》与《积分变换》有感在学了《高等数学》之后，我们进一步学习《复变函数》和《积分变换》这两本书，这两本书是《高等数学》的微积分扩展和延伸，还有将复数将以深入学习和扩展，并引入函数的概念。
因此感觉有一定的深度和难度。
它们都利用数学的理论来解决实际问题。
复变函数中有很多概念，其中理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们有许多相似之处，但是复变函数与实变函数有不同之点。
就拿第一章来说，复数与复变函数，本课程研究对象就是自变量为复数的函数。
在中学阶段，我们已经学习过复数的概念和基本运算。
本章将原来的基础上作简要的复习和补充。
然后再介绍在复变平面上区域以及复变函数的极限和连续性等概念，为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础。
概括一下，以前学过方程x2=-1是无解的，因而设有一个实数的平方等于-1。
第一节是复习原来的内容，然后逐步引入函数的概念。
再引进对复变函数的表达式和复变函数重幂与方根以及加减法研究。
由于上学期，我们学习函数概念中，引入极限的概念，然而复变函数也有极限特性。
所以对复变函数极限分析有着相似之处，因此可以借鉴学函数极限方法来研究复变函数，然而复变函数又有其独特特性，研究时必然会给我们带来很多困难和意想不到的问题，所以就是它的不同之处。
后面将复变函数引入微积分的概念，刚开始觉得挺好学，按照以前学微积分的思想就能接纳复变函数的微积分，当我遇到了用函数微积分解决复变函数时，复变函数的转化和变形却是难题，但是经过一番努力，我逐渐领悟到复变函数在微积分在数学中的独特魅力。
在学习复变函数中，要勤于思考，善于比较分析其共同点，更要领越复变函数的独特魅力，如果这样才能抓住本质，融会贯通。
而《积分变换》研究的是将复杂的运算转化为较简单的运算。
本书讲解了积分在数学中的应用，常用的两种积分变换Fourier变换和Laplace变换。
学习复变心得
学习复变心得作为一名数学专业的研究生，学习复变函数是必不可少的一门课程。
在我学习的这一年中，我对复变函数的理解和认识不断加深，从最初的懵懂到现在的深刻体会，我认为复变函数是一门非常重要也非常美妙的数学分支。
下面我将从学习过程中的几个方面，分享一下我的心得体会。
一、前置知识复变函数是数学中一门较为高深的内容，需要一定的前置知识才能更好地理解和掌握。
在学习复变函数之前，需要具备以下数学基础：函数论、数学分析、线性代数、微积分以及常微分方程等知识。
对于初学者来说，这些基础知识是必需的。
二、双复变量和复函数复变函数与实变函数的最大区别在于自变量的范围。
实变函数自变量是实数，而复变函数的自变量是复数。
在复数域内，我们需要引入双复变量。
在双复变量的范畴内，我们可以定义复函数。
三、初等函数在学习复变函数时，我们会遇到许多初等函数，例如指数函数、三角函数、对数函数等。
这些函数也都有其在复变函数中的定义和性质。
这些函数的定义和性质是复变函数的基础，需要在学习过程中加以理解和掌握。
四、解析函数解析函数是指在其定义域内全都存在导数的函数。
复变函数的解析性是复变函数研究的核心内容。
解析函数具有很多重要的性质和定理，例如柯西-黎曼方程、柯西积分定理、柯西-黎曼定理等。
理解这些性质是理解复变函数的核心。
五、留数定理留数定理是复变函数中一个重要的计算方法。
对于残数为有限值的奇点，留数定理可以帮助我们计算复积分。
熟练运用留数定理可以大大简化复积分的计算。
六、洛朗级数洛朗级数是在解析函数上的泰勒展开。
与泰勒级数不同的是，洛朗级数包含一个负幂次项。
利用洛朗级数，我们可以将复函数在一个圆环内展开为洛朗级数，在一些求解问题中会有比较好的应用。
以上是我在学习复变函数过程中的一些点滴感悟。
复变函数是高深而美妙的，它也是珍贵的数学遗产。
在我看来，学习复变函数最重要的是理解其核心概念和定理，坚持做练习，在实际运用中加深对概念和定理的理解。
我相信，只要认真学习，坚持练习，一定能够掌握这门美妙的学问。
复变函数与积分变换课程教学经验的总结与探讨
复变函数与积分变换课程教学经验的总结与探讨摘要：本文研究了复变函数与积分变换课程内容与工科相关课程之间的联系，总结了复变函数与积分变换课程的教学现状，针对教学现状中存在的问题提出了几点教学改革上的想法。
关键词：复变函数与积分变换多媒体MatlabMathematic1 引言工科高校所有的数学公共基础课程中，复变函数与积分变换作为最后一门学习的课程，是与各学科专业基础课程紧密联系的一门课程，它是解决诸如流体力学、空气动力学、电磁学、热学及弹性力学中平面问题的有力工具，同时也是研究微分方程、积分方程、数学物理方程、积分变换等数学分支的必要工具，更是学习自动控制、电子工程、信息工程与机电工程等专业课的理论基础[1-2]。
当同学们已经学习了高等数学、线性代数及概率论与数理统计几门数学基础课程后，已经具备一定的数学基本理论基础及数学素养，具备了一定的运用数学理论分析问题、归纳问题、解决问题的基本能力。
复变函数理论一方面为学生向更深层次的数学理论的学习做好铺垫，另一方面也可以为其它数学理论提供一种重要的解析工具，工科学生将来的学习、科研、计算都离不开诸多的解析理论和变换理论，所以复变函数与积分变换课程对于工科学生来说是分量很重的一门课程，它决定着学生将来专业基础课程的学习效果。
然而，复变函数与积分变换课程的内容相对来讲比高等数学更加抽象，理解难度更大，所以传统的纯粹的板书教学方式已经远远不能适应学生的需要，不能反应时代特征，我们必须从教材、备课、授课、联系、复习等环节进行有效的改进以达到期望的教学效果，下面浅谈几点想法。
2 课程理论体系及教学现状复变函数与积分变换是以实变函数为基础发展起来的一门理论，基本理论与实变函数有着千丝万缕的联系，在相当一部分的定义、定理及性质都有相似的理论体系，所以因为实变函数课程只在数学本科专业的教学计划中有所体现，那么工科的同学在没有实变函数课程学习经历的情况下，如何学好复变函数与积分变换理论就是一个十分棘手的问题。
《复变函数与积分变换》的几点教学思考
《复变函数与积分变换》的几点教学思考复变函数与积分变换是微积分中极其重要的概念，因而有必要做到准确理解和把握，下面就来谈谈以《复变函数与积分变换》为标题的几点教学思考。
首先，在教学中应充分肯定复变函数及积分变换概念的重要性，使学生了解其深刻意义。
这一概念是微积分的重要组成部分，在后面的教学中会经常使用到。
如变分法、泛函分析、积分方程等理论都离不开复变函数及积分变换的应用，因而要让学生有深刻的认识，以便于后面的学习。
其次，要让学生能够熟练掌握复变函数及积分变换的基本概念。
复变函数实际上是一种复合函数，如果用一个比喻的话，可以把它想象成一个叠加的过程。
它通过把多个函数依次叠加在一起，来表达更加复杂的函数关系。
另外，积分变换是指在积分运算中，利用复变函数作为变换函数，来把初始积分变换成新的积分。
对此，学生应当明确其定义，并且能够实际操作。
此外，学生在学习复变函数及积分变换这一内容时，应当建立起良好的学习态度，尝试解决实际问题，从而深刻理解其中的内容。
在实践操作中，学生可以尝试去求解实际问题，熟悉复变函数和积分变换的技巧，从而掌握概念。
例如，可以利用复变函数和积分变换这两个概念，求解一些实际问题，比如求解抛物线的平行线长度或求解曲线的面积等。
最后，教师在授课时要做到把握好复变函数及积分变换的教学内
容，注重实际操作，让学生有足够的时间去练习、理解和掌握相关的知识，使授课能够更加顺利。
综上所述，复变函数及积分变换是微积分中重要的概念，在教学中应让学生充分理解并熟练掌握，由此可见，以《复变函数与积分变换》为标题的教学思考具有重要意义。
学习复变函数与积分变换的心得
学习复变函数与积分变换的心得我是一名自考生，通过网络学习这门课程，学习了不少以前书本上学不到的东西。
它的应用及延伸远比概率统计广，复杂得多。
我从中学到了很多，上课也感受到了这门课程的魅力及授课老师的精彩的讲课。
我深深地被复变函数与积分变换这门课程给吸引住了。
同时网络学习也带给我了一定的帮助。
关于这门课程，首先，它作为一门工科类各专业的重要基础理论课程，它与工程力学、电工技术、和自动控制等课程的联系十分密切，其理论方法应用广泛。
同时，作为一门工程数学的课程，它主要是以工程背景为依托来展开讨论和研究的，其前提就是为了服务于实际工程。
其次，复变函数与积分变换作为一门工程数学课程，概念晦涩难懂、计算繁琐和逻辑推理不易理解。
它既具有传统数学的一些特点，又具有与实际工程相结合才能理解的特点。
传统数学主要注重对于基本概念的理解和对理论的讲解，要求理论推导具有严密的逻辑性，而不太注重其实际应用。
而工程数学在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的推理，但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况。
复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的一个分支，复变函数与积分变换中的理论和方法不仅是数学的许多后续课程如数理方程泛函分析多复变函数调和分析等课程的基础，而且在其它自然科学和各种工程技术领域特别是信号处理以及流体力学电磁学热学等的研究方面有着广泛的应用，可以说复变函数与积分变换既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的有力工具各高校普遍将复变函数与积分变换课程作为工科各专业的一门重要的必修科来开设，尤其作为电子、机电自动化等电力专业的学生而言，该课程更是一门必不可少的专业基础类必修课，它为电路分析信号与系统以及自动控制原理等后续专业课程的学习提供了必要的数学工具因此，学好这门课程非常必要然而，该课程一直是学生较难学的课程之一。
第一、学生普遍感到复变函数的应用性不强，主要原因是对其真实性存在疑虑，并难以想象其在现实生活与实践中的应用价值；此外，在学习过程中，复变函数部分原理、规律多且抽象枯燥，理论性强，概念和定义繁杂，导致学生感觉重点不易把握。
这次培训“复变函数”让我受益匪浅,王先生把“复变函数”
这次培训“复变函数”让我受益匪浅，王先生把“复变函数”中需要阐述的问题总结起来，娓娓道来，澄清了我的许多困惑也给我的教学带来了很大的启发，以下是我的一点体会和感悟。
首先我非常赞成王先生的“注重思想，淡化解题”的思想。
我认为复变函数是数学的重要分支，重要的是讲清思想--知识点是如何提出的，需要解决什么，怎样解决，解决问题中需要借助什么手段。
把思路给学生阐述清楚，在这个过程中可以用多种教学方法，启发式，创设问题情境等等，教学过程环环相扣，水到渠成，教师讲的精彩，学生听的"过瘾"。
其次在教学过程中应该重视应用与知识点的联系。
比如讲复数的定义时，我就引用了一个寻宝的趣味故事，这个问题的解决就是建立复坐标系，把知识和故事联系起来，学生非常感兴趣。
我也常把信号处理与级数展开联系起来，讲述级数的重要性。
把科幻片，警匪片中高科技的应用与实际复变函数与积分变换联系起来，比如“指纹识别、虹膜识别”，复数是电学的诞生的基础，没有复数就没有现在高性能的电子产品等等。
学生觉得学有所用，才会产生兴趣，积极投入。
另外，“角色改变’可以丰富上课形式。
我上课时经常选取一些知识点让学生来讲，许多学生备课非常认真，给出了许多巧妙的证明方法，听课的同学可以自由提问，老师的作用就是在关键问题上引导和纠正学生错误的论点。
学生分析问题，解决问题能力得到了训练。
表达能力，沟通能力得到展现。
老师要相信学生的能力，我个人认为课堂上其实应该是“学生多说，教师多听”才是有助于教学目标的实现。
学生融入课堂而非置身于世外，这需要的其实是教师自身思想的转变。
在教学过程中还有一个迫切需要解决的问题是如何让数学基础不好的学生建立信心，学好这门课程。
有一部分同学学完高数和线代后，几乎对数学丧失信心。
复变函数设在大二上学期，刚好是高数、线代的延续，许多学生是带着恐惧不得不走进课堂的。
在这门课的第一堂课我需要用十五到二十分钟时间介绍这门课的内容、意义，特别强调对专业的影响。
复变函数与积分变换论文
学习《复变函数与积分变换》课程对我的影响摘要：《复变函数和积分变换》课程是一种将数学知识如何应用于工程的学科，是培养创新思维的非常重要的课程。
这门课程对于培养创新人才具有特殊作用，而创新能力的基础是创新思维。
复变函数和积分变换不仅要求我们掌握复变函数和积分变换课程的基础知识、基本方法，而且还注重培养我们的创新型的思维能力。
让学生强化应用、重视实践、淡化专业、消灭书呆子，重视创新能力和实践能力的培养。
正文：复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况。
在很长时间里，人们对这类数不能理解。
但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显现出来。
复变函数论产生于十八世纪。
它的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。
当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。
为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱。
复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。
比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。
复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论。
它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。
积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。
最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。
由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。
既然复变函数与积分变换这么有用，它对我们信息专业的来学习这门课程的学生有什么帮助的地方呢？复变函数与积分变换对信息工程专业的影响首先，先了解一下信息工程这个专业的专业特点。
复变函数与积分变换教学的体会
复变函数与积分变换教学的体会摘要】复变函数与积分变换是工科学生必修的一门非常重要的根底课程，本文主要讨论了这门课程教学中的问题，提出了提高这门课程的教学效果的一些方法.【关键词】复变函数；积分变换；高等数学复变函数是实变函数在复数域内的推广与开展，复变函数的理论与方法在数学、自然科学和工程手段，它的理论与方法不仅在数学的许多分支中，而且在其他自然科学中均有着广泛的应用，它已成为不可缺少方法的重要性，因此这门课程是许多工科专业如自控等专业必修的数学课程，学好这门课程可以为工科学生学习后续专业课程如“数学物理方程〞等打下良好的数学根底.但是学生对这门课程的了解不够，所以对它的认识存在一些误区：学生认为这门课程的实用性不强，很难想象它在现实生活与实践中的应用价值.同时由于学习过程中复变函数需要理解记忆的概念与定义很多，所以学生普遍感觉理论性偏强；积分变换接触一些抽象枯燥的变换公式，这更加让学生认为这是一门纯理论没有实用性的课程因而失去学习它的兴趣.在复变函数中很多概念是实变函数在复数域的推广，因此很多学生只看到了复变函数与实变函数的相同之处没有看到它们之间的区别，觉得这门课程是高等数学内容的重复学习，认为学习这门课程既浪费时间又没有什么意思.另外由于课程的学时设置与后续专业课设置等原因都对这门课的教学效果产生了影响，比方学时太少教学内容很难展开，后续相关课程与这门课学习时间间隔较长，学生已经遗忘所学内容对后续课程的学习没有起到很好的帮助作用.鉴于此，我们在教学过程中，如何帮助以下几个方面做：首先应该让学生了解学习这门课的重要性，特别是对后续课程学习的影响.因此针对不同的专业要首先了解该专业的课程，具体地指出学习这门课程对后续专业中的哪些课程的哪些内容会有帮助.比方“复变函数与积分变换〞的内容与“工程力学〞“电工技术〞等课程的联系十分密切，我们就可以在这些课程中找出相关的例子给学生，让他们知道学习这门课的必要性和重要性.如我们可以具体给学生指出Laurent级数可以应用于数字信号处理中，利用Laurent 级数直接写出离散数字信号的Z变换；又如Laplace变换可以帮助我们求电流，因为串联电路上电压、电阻、电流、电感、电容就满足一个微积分方程，要求串联电路的电流问题也就变成了求解微积分方程的问题，而拉斯变换正是求微积分方程的有力工具.所以在课时允许的条件下我们应该尽可能举出一些实际的例子，让学生体会学习这门课程的重要性，也增强学生学习这门课程的兴趣.其次，我们一定要让学生知道复变函数与高等数学之间的关系.复变函数与积分变换和高等数学的联系是很紧密的，复变函数中的许多理论、概念和方法是实变函数在复数域的推广，但也要明白它与实变函数的许多不同之处.在学习过程中一定要注意它的相同与不同，只有这样才能学好这门课程.在讲课过程中要强调不同之处，提醒学生要特别注意这些不同的地方，比方指数函数在复变函数里面具有了周期性、负数可以求对数、正弦函数与余弦函数不再有界等等，因为学生在学习完高数后再来学习复变函数很容易将原来已经学到的知识平移到复数域而犯一些不该犯的错误.当然在讲课中也应该指出相同的地方，如在复数域我们也有洛比塔法那么、一些初等解析函数的泰勒展开式与实函数的结果类似、求导法那么不变等，指出这些可以减轻学生的学习任务，因为在高等数学的根底上这些相同或类似结论的记忆变得十分简单，对提高学生的学习效率是有帮助的.然而最重要的是要让学生了解怎样用学过的高数的知识学习复变函数，又如何用复变函数的知识解决高数里面的问题.这样可以让学生在学习过程中做到既学习了新知识又稳固了旧知识.因此在学习过程中应该经常提醒学生注意复变函数与实变函数的关系.复变函数实际上相当于两个二元实函数，因此在复变函数学习中我们经常要用到与二元函数有关的知识与解题方法，比方当要证明复变函数不连续时，实际上就变成了证明两个二元函数不连续，因为复变函数连续当且仅当虚部与实部所对应的两个二元函数连续；又比方讨论复级数的敛散性其实就是讨论对应的两个实级数的敛散性，因为复级数收敛当且仅当虚部与实部所对应的两个实级数收敛，这样的例子在复变函数里面很多，从这些例子看出高数的知识对于解决复变函数的问题是很有用的.同时也应该看到不仅如此，复变函数里的知识也可以帮助解决高数的问题，如在高数里面一些不能求解的积分，可以将它们转化为复积分，再利用复变函数里面留数定理求出实积分，这也是复变函数里面留数这一章学习的重点即留数的应用.至于积分变换与高数的联系也是十分紧密的，在引入傅立叶变换时会讲到傅立叶积分，而傅立叶积分的推导是从傅立叶级数开始的，这是大家在高数里面学习过的重要内容.总之在学习“复变函数与积分变换〞的过程中一定要和学生强调这门课程与高数的关系，应该提醒学生注意相关概念之间的异同，只有这样才能让学生很好地将这它们联系起来，到达最正确的学习效果.以上就是我自己多年讲授“复变函数与积分变换〞这门课程中的一些体会和感受，希望能和大家分享，也希望“复变函数与积分变换〞这门十分重要的课程能够让学生喜欢它并学好它.【参考文献】【1】东南大学数学系.积分变换[M].北京：高等教育出版社，2021.。
复变函数积分方法的思考总结
【最新】复变函数积分方法的思考总结复变函数积分方法的思考总结复变函数积分方法的思考总结钱学森11陈海琪2110405004摘要:函数的积分问题是复变函数轮的主要内容,也是其根底局部,因此有必要总结归纳求积分的各种方法.其主要方法有:利用柯西积分定理,柯西积分公式和用留数定理求积分等方法,现将这些方法逐一介绍.关键词:积分,解析,函数,曲线1.利用定义求积分例1.计算积分_yi_2dz,积分路径C是连接由0到1i的直线段.c解:y_0_1为从点0到点1i的直线方程,于是_yi_dz2c_yi_d_iy_i__i_d_i___011ii_d_1i3.2.利用柯西积分定理求积分柯西积分定理:设fz在单连通区域D内解析,C为D内任一条周线,那么fzdzc0.柯西积分定理的等价形式:设C是一条周线,D为C之内部,fz在闭域DDC上解析,那么fzdz0.c例2.求coszzidz,其中C为圆周z3i1,c解:圆周C为z3z1,被积函数的奇点为i,在C的外部,于是,coszzi在以C为边界的闭圆z3i1上解析,coszzidz0.故由柯西积分定理的等价形式得c如果D为多连通区域,有如下定理:设D是由复周线CC0C1C2Cn所构成的有界多连通区域,fz在D内解析,在DDC 上连续,那么fzdz0.c3.利用柯西积分公式求积分设区域D的边界是周线或复周线C,函数fz在D内解析,在DDC上连续,那么有fz12icfzdzD,即fczd2ifz.例3.求积分c921d,其中C为圆周2.解:c921didc925另外,假设a为周线C内部一点,那么dzdz2iczazacn0〔n1,且n为整数〕.4.应用留数定理求复积分fz在复周线或周线C所围的区域D内,除a1,a2,an外解析,在闭域DDC上除a1,a2,an外连续,那么fzdz2iResfz.ck1zakn设a为fz的n阶极点,fzzzan,其中z在点a解析,a0,那么Resfzzaa.n1!5z2z2n1例4.计算积分zz12dz解:被积函数fz5z2zz12在圆周z2的内部只有一阶极点z0及z1,Resfzz05z2z22|z25z2Resfz|z12|z12z1zz因此,由留数定理可得5z2z2zz12dz2i220.5.用留数定理计算实积分某些实的定积分可应用留数定理进行计算,尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分,常是一个有效的方法,其要点是将它划归为复变函数的周线积分.5.1计算Rcos,sind型积分02令ze,那么cos2izz21,sinzz2i1,ddziz,此时有例5.20zz1zz1,Rcos,sindRz122idziz.dacos0a112解:令zei,那么cosI2izz,d1dziz,zzz1dz,其中aa21,aa21,1,1,1,应用留数定理得I2a12.假设Rcos,sin为的偶函数,那么Rcos,sind之值亦可用上述方法求之,0因为此时Rcos,sind012Rcos,sind,仍然令zei.例6.计算taniad〔a为实数且a0〕0分析:因为tania1eie2iai2iai11,直接令e2iaiz,那么dze2iai2id,于是tania解:I11z1iz1.iz12izcz11dz1dz2zz1cz1应用留数定理,当a0时,Ii当a0时,Ii.5.2计算P_Q_d_型积分例7.计算_d_423_24.424解:函数fzz23z在上半平面内只有z23i一个四阶极点,令23ia,zat那么fzz3444z4223z44zazata44443tt2a144a4at6at4att4322343223343t16a32a24at8att211tt4423t168a32aResfzza1332a43i5766即Resfzz23i133242i33故_d_423_242ii57662886.6.级数法计算积分+∞连续性逐项积分定理:设在曲线C上连续(n=1,2,3…),=1在C上一致收敛于fz,那么fz在曲线C上连续,并且沿C可逐项积分:+∞dz.将函数展成泰勒级数或洛朗级数就解决了该类复积=1=分的有关问题.例8.计算积分(∞,C:|z|=.=121解:在|z|扩展阅读:求复变函数的积分方法哈尔滨学院本科毕业论文(设计)题目:求复变函数的积分方法院〔系〕理学院专业年级姓名指导教师__年6月1日数学与应用数学__级闫岩徐亚兰学号09031123职称副教授哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕目录摘..................................................................... .....1Abstract....................................................... ..................................................................... .............2前言................................................................... ..................................................................... .....3第一章复积分的概念及其简单性质................................................................... ......................41.1复变函数积分的定义................................................................... ....................................41.2复变函数积分的根本性质................................................................... ............................5第二章复积分的计算................................................................... ..............................................72.1函数沿非闭曲线的积分的计算................................................................... ....................72.1.1定义法................................................................... .......................................................72.1.2参数方程法................................................................... ...............................................82.2函数沿闭曲线的积分的计算................................................................... ......................112.2.1积分定理................................................................... .................................................112.2.2挖奇点.................................................132.2.3柯西积分公式................................................................... .........................................152.2.4高阶导数公式................................................................... .........................................15第三章用留数定理计算复积分................................................................... ............................173.1留数定理及其应用................................................................... ......................................173.1.1留数的定义................................................................... .............................................173.1.2留数定理................................................................... .................................................173.2留数定理与其它解法的联系................................................................... ......................18参考文献................................................................... .. (2)0致谢................................................................... ..................................................................... (21)哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕摘要复积分即指复变函数积分.在复变函数的分析理论中,复变函数的积分是研究解析函数的重要工具.复变函数里的积分不仅仅是研究解析函数的重要工具,它也是学习后继课程积分变换的根底,因此就复积分的计算方法进行总结和探讨是十分必要的.柯西积分公式.高阶导数公式以及留数定理对复积分的计算起到很大的作用.本文介绍了计算复积分的几种方法,同时讨论了留数定理与复积分之间的内在联系,并且总结出利用柯西积分定理.柯西积分公式.高阶导数公式.留数定理等来计算复变函数积分的根本方法,通过实例说明每种方法使用的范围,从中揭示出他们的内在联系,本文对复积分的计算方法进行了比拟系统的归纳总结,从中概括出解题方法和技巧.关键词:复变函数的积分;柯西积分定理;高阶导数公式;留数定理哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕AbstractComple_integrationrefersComple_integration.Intheanalysisofcomple_func tiontheory,comple_functionofintegralanalyticfunctionsisanimportanttoolforresearc ple_functionsintheintegralstudyofanalyticfunctionsnotonlyanimpor tanttool,itisalsothesuccessorprogramtolearnthebasisofintegraltransfor mation,andthereforecomple_integralcalculationmethodaresummarizedanddi scussedisverynecessary.Cauchy〞sintegralformula,higherderivativeformulas,andtheresiduetheoremforcomp le_integralsplayabigrole.Thisarticledescribesseveralmethodsforcalcula tingcomple_integration,alsodiscussedtheresiduetheoremandtheintrinsicl inkbetweencomple_integration,andsummedupusingtheCauchyintegraltheorem ,Cauchy〞sintegralformula,higherderivativeformula,ple_int egrationcalculationofthebasicmethod,bye_amplesillustratethescopeofuse ofeachmethod,whichrevealstheirinternalrelations,thepapercomple_integr alcalculationmethodswerecomparedsystemsaresummarized,whichsummarizeth eproblem-solvingmethodsandtechniques.Keywords:comple_variablefunctionintegration;Cauchy〞sintegraltheorem;higherderivativeformula;residuetheorem哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕前言复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具.解析函数中许多重要的性质都要利用复积分来证明.比方,想要证明〝解析函数导函数连续性〞以及〝解析函数各阶导数存在性〞这些外表上看起来只跟微分学有关的命题,一般都要使用复积分.其中柯西积分公式和柯西积分定理显得尤其重要,他们是复变函数论的根本定理和根本公式.复变函数论是数学中的一个根本的分支学科,它的研究对象是复变数的函数.复变函数论的历史悠久,内容丰富,理论也十分完美.它在数学中的许多分支.力学以及工程技术科学中有着相对广泛的应用.复数起源于求代数方程的根.本文对不同类型的复变函数积分的计算方法进行了系统的归纳和总结,并且总结出了求解复积分的一些方法和技巧,这样在遇到求解复积分问题时,我们可以先分析积分的特点,再根据特点来选择适宜的方法,如果方法得当,便可以使一些复杂的复积分计算变得简单.快捷.哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕第一章复积分的概念及其简单性质1.1复变函数积分的定义bz()为终点,f(z)定义1设有向曲线C:zzt,(t),以az()为起点,沿着曲线C有定义.顺着C从a到b的方向在C上取分点:az0,z1,...,zn1,znb把曲线C分成了假设干个弧段.在从zk1到zk(k1,2,...,n)的每一弧段上任意取一点k,做成和数snf(k)zk,其中zkzkzk1.当分点无限增多,而这些弧段长度的最大值趋k1n于零时,假设和数sn的极限存在并且等于J,就称f(z)沿曲线C〔从a到b〕可积,而称J是f(z)沿C〔从a到b〕的积分,并且用记号f(z)dz表示:cJf(z)dz.cC叫做积分路径.f(z)dz表示沿曲线C正方向的积分,f(z)dz表示沿曲线C负方向的积cc分.定理1如果函数f(z)u(_,y)iv(_,y)并且沿着曲线C连续,那么f(z)沿C可积,并且f(z)dzud_vdyivd_udyccc例1如果C表示连接点a及b的任一曲线,试证:1〔1〕dzba〔2〕zdz(b2a2)2cc证明〔1〕因为f(z)1,sn(zkzk1)bak1n所以nma_zk0limsnba即哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕dzbac〔2〕因为f(z)z,令kzk1于是就有z1k1nk1(zkzk1),但我们又可以令kzk,那么可得到2zk(zkzk1),再由定理1可知积分zdz存在, k1nc1因此sn的极限存在,并且应该跟1和2的极限相等,从而应该跟(12)的极限2相等.令11n2122(12)(zkzk)(ba2)122k12所以122zdz(ba).2c1.2复变函数积分的根本性质设函数f(z),g(z)沿曲线C连续,那么有以下的性质〔1〕af(z)dzaf(z)dz,a 是复常数;cc〔2〕f(z)g(z)dzf(z)dzg(z)dz;ccc〔3〕f(z)dzf(z)dzf(z)dz,其中C由曲线C1和C2衔接而成;cc1c2〔4〕f(z)dzf(z)dzcc〔5〕f(z)dzccf(z)dzf(z)dsc在这里dz表示弧长的微分,也就是dz(d_)2(dy)2ds定理2〔积分估值〕如果沿着曲线C,函数f(z)连续,并且有正数M使得f(z)ML,L 是曲线C的长,那么f(z)MLc例2试计算Rezdz,其中C是从0到2+i的直线段.c解由题直线C可以由关系式y1_,0_22表达,于是所求积分得Rezdz_d_i_dy_d_cc02i2_d_2i02哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕第二章复积分的计算2.1函数沿非闭曲线的积分的计算2.1.1定义法为终点的光滑曲线〔yy_是有连续的导定义设l是复平面上以z0为起点,以z 把l分成n段,在每一小段zk1zk上任意取一数〕,在l上取一系列的分点z0,z1,,zn1,znz点k做和数Snfkzkzk1fkzk,zkzkzk1k1k1nn当n时,并且每一小段的长度趋于零时,如果limSn存在,我们就称fz 沿l是可积n的,limSn叫做fz沿l的路径积分.l是积分路径,记做fzdz【如果l是围线〔闭的nl曲线〕,那么记为f(z)dz】.fzdzmilllnmSilnnfzkkk1n〔fz在l上取值,也就是z在l上变化〕.例1计算积分1)dz;2)zdz,其中积分路径表示连接点a及点b的任一曲线.cc解对C进行分割,并且近似求和,以下符号与上述的复积分的定义一致.〔1〕当C是闭曲线的时候,dz0.由于f(z)1,Sn(zkzk1)ba,所以Ck1ma_|Sk|0nmlimSnba即dzba．c〔2〕当C是闭曲线的时候,dz0.f(z)z,沿曲线C连续,那么积分zdz存在, CC令kzk1,那么1zk1(zkzk1),k1n又可以令kzk,那么2zk(zkzk1),k1n由于Sn的极限是存在的,并且应该和1及2极限相等,所以11n1222Sn(12)zk(zkzk(ba2),1)22k12所以zdzC12(ba2)．22.1.2参数方程法在简单光滑的曲线上连续,想要计算积分的步骤如下:第一步:写出曲线的参数方程z_iy,dzd_idy,fzu_,yiv_,y(通常遇到的是圆弧或者直线段);第二步:求出fzdz,把u_,y,v_,y代入到其中;第三步:把积分化成关于的定积分,并且l计算该定积分.z_iy,dzd_idy,fzu_,yiv_,y,于是u_,yiv_,yd_idyfzdzllu_,yd_v_,ydyiv_,yd_u_,ydy,ll所以复变函数的积分可以归纳总结成为两个实变函数的线积分,并且它们分别是复变函数积分的实部和虚部.复变函数积分的参数表示设曲线l的参数方程是zzt_tiyt,或者表示成__t,yyt,z,t,z0z,z记u_t,ytut,v_t,ytvt,于是d__tdt,dyytdt,dzztdt,zt_tiyt那么fzdzcut_tvtytdtivt_tutytdt8哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕utivt_tiytdtfztztdt.yi1iyi1iy=_y=_y_2图〔2-1-2a〕图〔2-1-2b〕o1_o1_例2试计算fzdz,其中f(_)z,l是:l〔1〕从原点到点1i上的直线段;〔2〕抛物线y_2上从原点到点的弧段;〔3〕从原点沿_轴到点1再到1i上的折线;解〔1〕积分路径的参数方程是z(t)(1i)t,(0t1)那么dz(1i)dt,122=(1+i)tdtzdz(1i)iC021如图〔2-1-2a〕所示.〔2〕积分路径的参数方程是z(t)tit211(0t1),那么dz(12ti)dt,1t2143232tit〔tit〕(12it)dt(t-2t+3it)dtzdzi00C220如图〔2-1-2b〕所示.i y1iy=_y_2o1_哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕图〔2-1-2c〕图〔2-1-2d〕〔3〕如图〔2-1-2c〕所示.积分路径是由两段直线构成的,_轴上直线段的参数方程是z(t)t(0t1),那么dzdt,1到1+i直线段的参数方程是z(t)1it(0t1),那么dzidt,C1+it)idtzdztdt〔011011ii22例3试证2i(n1)dz,l是以za为圆心,以为半径的圆周.l(za)n0(n为n1的整数)如图〔2-1-2d〕所示.证明l的参数方程是zaei在l上,dzieid.当n1的时候,iieddzilzaeid2i当n1的时候,iieddzii(n1)dl(za)nneinn1e1in1en1n111n11n10.n1n1复变函数积分的简单性质〔以下性质i.ii.iii.iv都可以从积分的定义式中直接得出〕z0,z.z0分别是l的终.起点.dzL,dz是dz的长度,L是l的长度.i.dzzll.〔可推广〕a1f1za2f2zdza1f1zdza2f2zdz,a1.a2是复常数.lll.fzdzfzdzfzdz,其中l1.l2连接成l.〔可推广〕ll1l2.fzdzfzdz,l表示跟l方向相反的同一条曲线.ll不等式〔估值公式〕哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕a)证明fzdzfzdzllfzdzlimfzlnkk1nnnk1nk1nklimfkznk1nlimfkzklimfkzkfzdz.l〔此处运用了z1z2z1z2的推广,z1z2z3z1z2z3z1z2z3,z1z2znz1z2zn,多边形任意一边的长其他边长之和〕b)如果M是fz上沿曲线l 的最大值,L是l的长度,那么证明:nfzdzML.lfzkk1nkfkzkMzkk1k1nnn两边取极限limfkzkMlimzk,即nk1nk1fzdzMLl或者fzdzfzdzMdzML.lll2.2函数沿闭曲线的积分的计算2.2.1积分定理柯西定理如果fz在单连通区域D上解析,l是D内的任意一条围线,那么f(z)dz0l其实只要fz在l所围的单连通区域内解析,那么f(z)dz0.如图〔2-2-2〕所示.l哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕图(2-2-2)注单连通区域内的任意一条闭曲线可以连续收缩成一点,简言之区域内没洞. 复连通区域内至少有一条闭曲线不能连续收缩成为一点,简言之区域内有洞.证明因为fz在D上是解析的,也就是fz在D上的各点均存在.为了简化证明,我们进一步要求fz在D上连续,uvuv...在D上连续.__yyuvuvii,__yyfzu_,yiv_,y,dzd_idy,fzf(z)dz(ud_vdy)i(vd_udy)lll因为fz在D上是连续的,所以u.v有连续的偏导数,并且满足C－R条件 uv,而根据实的线积分的格林定理y_uv,_yvu(ud_vdy)l〞_yd_dy0,D是l所围单连通区域〔C－R条件〕Duv(vd_udy)l〞_yd_dy0,D是l所围单连通区域〔C－R条件〕D所以f(z)dz0l注意柯西定理中只要求fz在D上解析,对fz在D外是否解析并没有要求,证明中没有用fz在l以外的性质.因此只要fz在l所围的区域内解析.推论:如果fz在D上解析,l1.l2是D内有相同的端点的任意的两条曲线,那么 fzdzfzdzl1l2也就是在fz解析的单连通区域内,fz沿着任意一条曲线l的积分,只依赖于l的起点和终点,而和l的具体形状是没有关系的.证明由于l1.l2的端点是相同的,因此l1与l2组成一围线.根据柯西定理l1l2fzdz0fzdzfzdzfzdzl1l2l2哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕2.2.2挖奇点法〔1〕闭复通区域情形所谓复通区域,就是函数在其中的某些点处并不解析,这些点叫做奇点,为了把这些点排除在外,通常做一些适当的闭合曲线把这些奇点挖去,形成带〝孔〞的区域,也就是复通区域.当fz在D内处处解析,并且围线l全部在D内的时候,那么f(z)dz0.但当l所围区域l内有fz的奇点的时候,前面所说的柯西定理是针对单连通区域中的解析函数fz来说的,如果fz在l所围的区域里有奇点,可以做一围线把这个奇点围住,假设把所围的区域挖去,那么区域就变成复连通区域D.如图(2-2-3a)所示.图(2-2-3a)对于复连通区域D,做辅助线c1.c2.c3,使D分成两个单连通区域D1和D2.D1的边界是1,D2的边界是2,选取如此的方向当作路径的正方向,也就是当沿着路径行进的时候,区域始终保持在左边,所以D的边界是ll1l2.12ll1l2c1c2c3c1c2c3因为fz在D上,从而在D1.D2上解析,根据柯西定理:所以1f(z)dz0,f(z)dz02又12f(z)dzf(z)dzf(z)dz012哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕12f(z)dzlll1l2c1c2c1c2c3f(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzl1l2f(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzc1c2c3c1c2c3f(z)dzf(z)dzf(z)dzll1l2所以f(z)dzll1f(z)dzf(z)dz0l2从而f(z)dzll1f(z)dzf(z)dzl2很容易把上面的情形推广到内部有n个洞的复连通的区域,于是f(z)dzll1f(z)dzf(z)dzf(z)dzf(z)dzl2lnk1lkn上述积分都沿着逆时针的方向,所以在复连通的情形下,在复连通区域内解析的函数,他沿着外边界线逆时针方向的积分就等于他沿着所有内边界线逆时针方向的积分的和.例4试计算图(2-2-3b)dz,l是不通过za的点的围线.l(za)n解如图〔2-2-3b〕所示,za是fz1zan上的一个奇点,如果l没有包围点 dz0〔l不包围l(za)nza,那么fz1zan在l所包围的区域上是解析的.进而.如果l包围za【za 是za〕那么根据上面的公式就有:1zan上的奇点】,作以za为圆心的圆周l1包围a,哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕dzdzl(za)nl1(za)n据前面的例子可以得到:2i,n1dzl1(za)n0,n为n1的整数因此2i,当l包围za,且n1dzl1(za)n0,当n为n1的整数,或l不包围za2.2.3柯西积分公式柯西积分公式设区域D的边界是周线或者复周线C,函数f(z)在D内是解析的,在DDC上是连续的,那么有f(z)1f()d(zD),即2iC(z)f()d2if(z)C(z)2z2z1dz的值,其中C:|z|2.例5试计算积分Cz1解由于f(z)2z2z1在|z|2上是解析的,z1z:|z|2.根据柯西积分公式就有2z2z12z|2z1dz2i(2zz1)2.2.4高阶导数公式高阶导数公式设f(z)在D内是解析的,在D上是连续的,C是D的边界,z0D有 f(z)2i(n)dzf(z0),n1,2,〔1.11〕(zz0)n1n!例6试求coszdz,C是包含在圆周|z|1上的任何正向简单闭曲线,z2i.z10,Cz311取C1是|z|,C2是|zi|.33解f(z)cosz,z00在C的内部,由等式〔1.11〕cosz2idz(cosz)z0Cz32!哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕=i(2cosz)z03i高阶导数公式的作用不在于通过积分来进行求导,而在于通过求导来求解积分.例7试求积分1dz.其中C:(1)z32;(2)z1323(z2)zC解函数1有两个奇点,分别是z2和z0,(z2)2z3111z3dzdz(1)z32,仅包含奇点z2,取f(z)3,(z2)2zC(z2)2z3C2i11!z3z23i;8(2)z13的两个奇点z2和z0都包含在C 以内,作简单的闭曲线C1和C2分别包含0和2,其中C1和C2互不包含并且互不相交,由复合闭路定理和高阶导数公式,1123111(z2)zdzdzdzdzdz23232332(z2)z(z2)z(z2)zz(z2)CC1C2C1C22i12!(z2)2z02i131!zz23i3i0.88哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕第三章用留数定理计算复积分3.1留数定理及其应用3.1.1留数的定义设0是f(z)的孤立奇点,f(z)在0的去心邻域内有洛朗展式f(z)na(zz)n0n称 a1是f(z)在0点的留数,记作Resf(z0).即留数是(洛朗展式中)负一次幂的系数.3.1.2留数定理设f(z)在复周线或者周线C所围的区域D内,除a1,a2,an以外解析,在闭区域 DDC上除a1,a2,an以外连续,那么f(z)dz2iResf(z)〔1.14〕Ck1zakn设a是f(z)的n阶极点,f(z)Resf(z)za(z)(za)n,其中(z)在点a上解析,(a)0,那么(n1)(a)(n1)!.在这里符号(0)(a)代表(a),并且有(n1)(a)lim(n1)(z).za5z2dz.例1试计算积分|z|22z(z1)解被积函数f(z)5z2在圆周|z|2的内部只有一阶极点z0和二阶级点z(z1)2z1.Resf(z)z05z2(z1)2z022Resf(z)(z15z22)z12zzz1所以,根据留数定理可以得到5z2sf(z)Resf(z))2i(22)0|z|2z(z1)2dz2i(Rez1z0哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕例2试计算积分cosz|z|1z3dz.解f(z)cosz只以z0为三阶极点,3zResf(z)z011(cosz)z02!2所以根据留数定理就有cosz1dz2i()i|z|1z323.2留数定理与其它解法的联系1.参数方程法只适用于积分曲线式的特殊类型的曲线.但有一些题目可以用参数方法解题,但是计算要复杂得多,而用柯西定理会很简单.2.〔1〕柯西积分定理可以推广到复周线的情形,这也是计算复积分的一个比拟有利工具,即复函数沿区域的外边界曲线的积分等于沿着区域内边界积分的和.适用于积分曲线内部含被积函数奇点的情形.〔2〕如果积分与路径无关的条件下也可以直接按实积分中的牛顿莱布尼茨公式计算.〔3〕利用柯西积分定理也有一定的局限性,主要表达在被积函数上,只有某些特殊的函数或者能够拆成假设干个特殊的函数的函数计算起来较方便.3.〔1〕柯西积分公式解决的是形如f()f()d,(zD)的积分,形如d,(zD)的czc(z)n 积分就要利用解析函数的无穷可微性f(n)(z)此类问题.n!f()d,(zD)(n1,2,)可解决n1c2i(z)〔2〕柯西积分公式跟解析函数的无穷可微性在计算复积分时的主要区别在于被积函数分母的次数,二者在计算的时候都常常与柯西积分定理相结合.4.〔1〕柯西积分定理.柯西积分公式以及解析函数的高阶导数公式都是留数定理的特殊情况.〔2〕但凡能用柯西积分定理.柯西积分公式和解析函数的高阶导数公式计算的复积分都能够用留数定理来计算.哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕1)高阶导数公式可以计算某种特定形式的复积分.利用高阶导数公式计算积分的时候,如果被积函数的阶数太高,会太过于繁琐,这时要运用留数定理以及他的计算规那么来计算复积分,就简便的多.注意:通过柯西积分公式和高阶导数公式解决了一类复积分的计算的问题,但是在练习的过程中我们往往会发现应用这两种计算方法往往不能有效的解决复积分问题,而是把这两种方法综合起来.总之,在求解有关复积分的问题时,对方法的选择要因题而异.首先从积分路径和被积的函数入手,确定积分路径是封闭曲线还是不封闭曲线,然后再对被积函数在已给的区域C内的解析性加以分析判断,再决定采取什么样的方式方法来解决所面对的积分问题.按照这样的根本步骤来寻求复积分的计算方法,处理有关复积分的问题就得心应手了.哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕参考文献[1]钟玉泉,复变函数论〔第三版〕[M].北京:高等教育出版社,__,2.(书籍)[2]潘永亮,复变函数[M].北京:科学出版社,__.(书籍)[3]龚冬宝,复变函数典型题[M].西安:西安交通大学出版社,__.(书籍)[4]刚家泰,复变函数全程学习指导与解题能力训练[M].大连:大连理工大学出版社,__.(书籍)[5]余家荣,复变函数[M].北京人民大学出版社,1979.(书籍)[6]严镇军,数学物理方法[M].合肥:中国科技大学出版社,1999.(书籍)[7]钟玉泉,复变函数学习指导书[M].北京:高等教育出版社,1995.(书籍)[8]西安交通大学高等数学教研室.工程数学复变函数[M].北京:高教出版社,1996.(书籍)[9]严之山.关于复积分的计算[J].青海师专学报,__(5):34～36.(书籍)[10]王文鹏.复变函数积分的求解策略[J].重庆科技学院学报,__.9(12):145～147.(书籍)[11]上海交通大学出版社出版发行.复变函数与积分变换,__.(书籍)[12]谭欣欣.复变函数全程学习指导.西安交通大学,复变函数第四版,__.(书籍)[13]菲赫金,哥尔茨.微积分学教程[M].第二卷第二分册〔P225~290〕.(书籍)[14]Ur,P.TeachingListeningComprehension.Cambridge:CambridgeUniversity Press,1984〔期刊〕[15]Stern,H.H.FundamentalConceptsofLanguageTeaching.O_ford:O_fordUniv ersityPress,1983〔期刊〕哈尔滨学院本科毕业论文〔设计〕致谢大学四年来,各位老师不仅在学业上给我以精心指导,同时还在思想.生活上给我以无微不至的关心,在此谨向各位老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.老师们以其严谨求实的治学态度,高度的敬业精神,兢兢业业,孜孜以求的工作作风和大胆创新的进取精神对我产生了重要影响,渊博的知识,开阔的视野和敏锐的思维给了我深深的启迪.通过这段时间的努力我的毕业论文终于完成了,这也意味着我的大学生活即将束,大学阶段,我在学习上和思想上都受益匪浅,这与同学老师和亲人的鼓励与支持是分不开的,感谢数学与应用数学系的各位老师.同学们,与他们的交流让我学到了很多.感谢和我一起生活了4年的舍友们,严谨的解决问题的态度,灵活的思考问题的方式,扎实的专业知识,认真的学习态度都给了我很大的启发.写毕业论文是一次系统学习的过程,我要感谢在这一过程中给我建议,指导我写作论文的徐老师,从选题到开题,从提纲到正文,严格把关,循循善诱,耐心指导,是我以后工作学习的典范.。
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工程数学的科学魅力
------《复变函数与积分变换》结课论文《复变函数与积分变换》是继《高等数学》之后的一门工科电类专业的公共基础课程。
通过对它的学习使自己进一步认识了数学世界，认识了工程数学的无穷魅力，感叹于前人灵光一闪的发现，惊讶于人类智慧的浩瀚无尽，同时也学会了学习，学会了如何运用学到的数学工具解决一些简单问题。
数学之于其他自然科学的高度抽象性和基础性使之当之无愧地成为众学科之父，《复变函数与积分变换》作为数学的一个小的分支自然而然地对我们的学习产生了近乎革命性的影响。
为何学习以及学习心态。
如果抛弃“学以致用”、高投资回报率与实用主义的世俗信条而单纯以科学探索的长远眼光看待数学，那么数学史便是一部大师发现创造的历史，人类社会百年以至更长时间的文明积淀凝结成书，今天这份同样饱含了前人智慧思想的《复变函数与积分变换》便是往圣先贤无数次苦思冥想无数次灵光闪现后经历时代检验的文明成果。
学习它，就是回溯人类文明的足迹，与大师对话，重走发现之旅；与大师交流，以获得创造并改变世界的数学工具。
千百年，大师归去，然而优秀的数学思想却薪尽火传，我们得以承接人类文明的接力棒，不亦乐乎？尽管我们可能只是庞大社会机器上的一枚螺丝钉，但仍然有必要去了解整个机器的构造，以虔诚、敬重、学习的心态对待前人的发现创造，以便更好地掌握“一角冰山”，学好《复变函数与积分变换》这门课程。
如何学习以及学习方法。
将前人百年来的思想成果用有限的几十个学时全部接受甚至融会贯通似乎是不现实的。
学会查阅，以较短的时间找到所需的知识的能力是大学说要传授我们的“渔”。
正如老师所说，有些知识可能要等到工作实践
时才能恍然大悟，而有些知识甚至可能我们永远都理解不了。
查找知识的能力适用于其他任何学科。
一个人不可能掌握所有的知识，但他必须学会如何学习，正所谓学习能力比学习本身更重要。
查阅之后反复使用才能转化为自己的东西，而工程数学给我们实践所学更多的机会，使之更接近一门技术。
学习数学史有助于我们理解定理定律出现的前因后果，对数学世界充满兴趣的同时有可能获得启迪，“站在巨人的肩膀上”也给后人一副“肩膀”。
本课程中出现过的欧拉、柯西、Fourier、Dirichlet等数学泰斗多生于英法等欧洲国家，由此可见，大的学术环境往往成为科学家诞生的摇篮，而数学世家、数学家辈出的大学又说明了好的后天教育的重要性。
当今世界的数学中心移居美国，是否说明其学术环境的某种优势，这一点姑且不论。
工程数学有着更紧密的理论与实践的联系，因此近似、条件弱化等经验能让我们洞见理论实践转化升华的契机。
本课程的学习让我领会了为什么学、怎么学和学习方法心态上的诸多新思路，获益匪浅。
数学史使我对“枯燥的数学”有了不枯燥的兴趣。
工程数学魅力无穷，若没能接触她，岂能发现这又是一片"豁然开朗的崭新的世界"？
2011年11月。