深度理解阻尼振微分方程

深度理解阻尼振微分方程

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深度理解阻尼振动微分方程

牛顿第二定律：ma F =

物体受力为：

弹性力：kx F -=

阻力：Cv F r -=

022=++kx dt

dx C dt x d m 令20ω=m k ，δ2=m

C ，则有： 022022=++x dt

dx dt x d ωδ 该等式为二阶常系数齐次线性微分方程

特征方程02202=++ωδr r 解为2022022

442ωδδωδδ-±-=-±-=r

（1）小阻尼情况

0ωδ<，则有：

i r 220δωδ-±-=，一对共轭复根，令220δωω-=。

微分方程通解为：

)sin cos (21t c t c e x t ωωδ+=-

初始条件01x c =，ω

δ0

02x v c += 特解为t x v t x x ωω

δωsin cos 000++= ]sin cos [20020020020020020t x v x v t x v x x x v x x ωωδωωωδωδ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭

⎫ ⎝⎛++=

若令200200cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ωδϕx v x x ，200200

sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=ωδωϕx v x v ，2

0020⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ωδx v x A 则有

]sin sin cos [cos t t Ae x t ωϕωϕδ⋅-⋅=-

()ϕωδ+=-t Ae x t cos

（2）大阻尼情况

0ωδ>，则有：

202ωδδ-±-=r ，两个不相等的实根。

微分方程通解为：

t t e c e c x )(2)(1202202ωδδωδδ-+----+=

（3）临界阻尼情况

0ωδ=，则有：

δ-=r ，两个相等的实根。

微分方程通解为：

)(21t c c e x t +=-δ

可见，阻尼振动其实就是解一个二阶常系数齐次线性微分方程！！