深度理解阻尼振微分方程
§ 15-3 阻尼与受迫振动1运动方程及其解
d 2q dq q L 2 R E 0 cos t dt C dt
其稳态解为
L
E t
R
C
q Q0 cos t 0
电路中的电流为 dq i Q0 cos t 0 I 0 cos t 0 dt 2
1 R L C 1 当电路条件满足L 时，电路中的电流振幅有最大 C E0 值。此时的电流振幅为 ，电流与电动势的相位差 R 0 。这种状态称为电共振。电共振的条件为 0
T 2 LC
对电量的表达式求时间的导数，任意时刻的电流 dq i Q0 sin t 0 dt
令 I 0 Q0 为电流振幅，改写电流表达式为
i I 0 sin t 0 I 0 cos t 0 2
将上式与电量的表达式比较知， 电流的相位比电量的相 位超前 。 2
T t 2
3T t 4
C
I
Q
Q
A A
I
Q
Q
C
t T
2．电流随时间的变化规律 设 t 时刻电容器极板上的电量为 q ，电 路中的电流为 i，回路电流沿顺时针方向。 线圈两端的电势差等于电容器极板间的电 势差，有 di q U L UC 即 L dt C 由于电流的方向使电容器的电量减少，故有 d 2q 1 dq q i 2 LC dt dt 令
2. 共振（resonance) 理论计算得到稳定时受迫振动的振幅和初相为
A
m
2 0
F0
2 2 4Fra bibliotek 2 22 gb tan 0 2 , 0为受迫振动与强迫力的相位差。 2 0 稳态时物体的速度 v dx v cos t dt 2
阻尼振动
2
0
i t
2
2
通解：x
e
t
( c1 e
t
i t
c2e
)
i
1
可写成 x Ae
cos( t )
A 与 由初始条件确定。
A
5
x0
2Hale Waihona Puke (v0 x 0 )2
0
2
tg
(v0 x 0 )
0
2
x Ae
t
x
欠阻尼 过阻尼 临界阻尼
t
临界阻尼达到平衡位置的时 间最短，但仍不能超过平衡 o 位置。 临界阻尼情况是振动系统刚 刚不能作准周期振动，而很 快回到平衡位置的情况，应 三种阻尼振动比较 用在天平调衡中。
8
二、受迫振动 共振
1.受迫振动 在阻尼振动中，要维持振动，外界需加一个周期 的强迫力------策动力。这种在周期性处力作用下进行 的振动叫受迫振动。 1.受迫振动方程 以弹簧一维振动为例 阻尼力 F阻 v 弹簧受弹性力 F 弹 kx
2
2
时A最大。 当阻尼很小，策动力频 率等于固有频率时振幅 最大------共振。
H m
2
dx dt
0 x h cos p t
受迫振动方程---二阶常系数非齐次微分方程 通解 x A 0 e t cos( t ) A cos( p t )
受迫振动可以看成是两个振动合成的。
10
通解： x A 0 e
t
cos( t ) A cos( p t )
2
1.阻尼振动方程（低速） 以弹簧一维振动为例 振动系统受介质的粘滞阻力与速度大小成正比， v 与其方向相反。
阻尼对振动的影响
设特解为：y=Asinθt +Bcos θt代入上式得：
A F
2 2
, B F
2
m ( 2 2 )2 4 2 2 2
m ( 2 2 )2 4 2 2 2
齐次解加特解得到通解：
y {et C1cosrt C2 sinrt} +{Asin θt +Bcos θt }
2f 4.48 1s
(3)阻尼特性
1 ln 2 0.0355, 2 1.6
r
12
1
(0.999) 2
(4)6周后的振幅
y0 y1
e t0 e (t0 T )
eT
y0 y6
e t0 e (t0 6T )
e6T
•当θ<<ω时,α→0°体系振动得很慢，FI、FD较小，动荷主
要由FS平衡，FS与y反向，y与P基本上同步；荷载可作静荷 载处理。
•当θ>>ω时,α→180°体系振动得很快，FI很大，FS、FD相对
说来较小，动荷主要由FI 平衡， FI 与y同向，y与P反向；
y yP sin(t ), FS ky kyP sin(t ), FI my m 2 yP sin(t ), FD cy c yP cos(t )
ξ ＞1
大阻尼
ξ =1
临界阻尼
ξ＜1
小（弱）阻尼
1）低阻尼情形 ( <1 )
令 r 1 2
λi=-ωξ ± iωr
方程的一般解为：
y(t) et (C1 cosrt C2 sin rt)
由初始条件确定C1和C2；
设
弹簧阻尼系统微分方程知乎
弹簧阻尼系统微分方程知乎弹簧阻尼系统微分方程是描述弹簧和阻尼器相互作用下系统运动规律的数学方程。
在弹簧阻尼系统中，弹簧负责恢复系统的位移，阻尼器则负责消耗系统的动能，使系统停止运动。
弹簧阻尼系统微分方程的推导和解析是研究力学系统动力学的重要内容，也是工程领域中设计和优化系统的基础。
弹簧阻尼系统的微分方程一般可以写为：\[m\frac{d^2x}{dt^2}+c\frac{dx}{dt}+kx=F(t)\]其中，\(m\)是系统的质量，\(c\)是阻尼系数，\(k\)是弹簧的劲度系数，\(x\)是系统的位移，\(F(t)\)是外力函数。
上述微分方程描述了弹簧阻尼系统在外力作用下的运动规律。
当系统受到外力作用时，弹簧和阻尼器将产生相应的位移和速度响应，微分方程描述了系统的加速度与外力的关系。
通过求解这个微分方程，可以得到系统的位移随时间的变化规律，进而分析系统的稳定性、共振现象等重要性质。
对于弹簧阻尼系统微分方程的解析，一般可以分为两种情况：自由振动和受迫振动。
自由振动是指系统在没有外力作用下的振动，此时\(F(t)=0\)，系统只受弹簧和阻尼器的作用。
受迫振动是指系统在外力作用下的振动，此时\(F(t)\neq0\)，系统的振动受到外力的影响。
对于自由振动的弹簧阻尼系统，可以通过解微分方程得到系统的固有频率和阻尼比，从而分析系统的振动特性。
而对于受迫振动的系统，可以通过傅立叶变换等方法，分析系统的频率响应和稳定性，进一步优化系统的设计参数，提高系统的性能。
总的来说，弹簧阻尼系统微分方程是描述系统动力学的重要工具，通过对系统的运动规律进行建模和分析，可以帮助工程师和科研人员更好地理解系统的行为，优化系统的设计，提高系统的性能和稳定性。
深入研究弹簧阻尼系统微分方程的推导和解析，对于工程领域的发展具有重要的意义，也为工程实践提供了理论支持。
阻尼振动的探究
阻尼振动的探究摘要：以弹簧振子的阻尼振动及RLC电路的阻尼振荡为例，探究了阻尼振动。
同时，以这两个阻尼振动系统为例分析了阻尼振动衰减时的特点。
关键词：阻尼振动阻尼系数衰减Research on damped vibrationHuangyihangAbstract:This article researches into damped vibration by the example of spring oscillator’s damped vibration and the example of RLC’s damped vibration. At the same time, this article researches the points of damped vibration’s attenuation by the two examples.Keyword:damped vibration damping coefficient attenuation简谐运动又叫做无阻尼自由振动。
但实际上，任何的振动系统都是会受到阻力作用的，这种实际振动系统的振动叫做阻尼振动。
在阻尼系统中，振动系统要不断地克服阻力做功，所以它的能量将不断地减少。
一定时间后回到平衡位置。
弹簧振子在有阻力情况下的振动就是阻尼振动。
分析安置在一个水平光滑表面的弹簧振子。
取弹簧处于自然长度时的平衡位置为坐标原点。
忽略空气等阻力，则弹簧振子只受到弹簧的弹力作用。
即由牛顿第二定律，可得此微分方程的通解为给定初始值，弹簧在t=0时，x=，,则此微分方程的解为弹簧振子在初始时刻，被拉离坐标原点距离，即弹簧被拉长(。
而后，弹簧由于弹簧拉力作用而返回原点，很容易就可以想到弹簧将作往复运动。
如方程所描述弹簧作简谐振动。
如果考虑弹簧振子运动时的阻力，情况将如何呢？由实验，可知运动物体的速度不太大时，介质对物体的阻力与速度成正比。
又阻力总与速度方向相反，所以阻力与速度有如下关系：为正比例常数。
结构力学-阻尼对振动的影响
r
T
1.5
4.189 s 1
r 1 2 4.191s 1
P 9.8103 k 196104 N / m A0 0.005
4 2 0 . 0355 196 10 2k 33220 N s/m c 2 m 4.189
当ξ<0.2，则ωr/ω≈1，则
yk 1 r ln 2 n yk n
yk ln 2 n yk n 1
y (t ) et a sin(r t )
T 2
r
2
1 2
阻尼对自振频率的影响：ωr是低阻尼体系的自振频率
r 1 2
y(t ) Cet
(2) 考虑ξ=1的情况:
( 2 1)
λ= －ω
初始 条件
y=(C1+C2t)e-ωt y = [y0(1+ωt)+υ0t] e-ωt
y0
y tg0 θ0
v0
当阻尼增大到ξ=1时，曲线具有衰减，但不具波动，这时的阻 尼常数为临界阻尼常数，用Cr表示。 (Critical Damp)
在ξ<1的低阻尼情况下，ωr恒小于ω，而且随ξ值的增 大而减小。通常ξ是一个小数。如果ξ<0.2，则 0.96<ωr/ω<1，即ωr与ω的值很相近。因此，在ξ<0.2的 情况下，阻尼对自振频率的影响可以忽略。
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共计为m ，加一水平力9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一 个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。 yk 1 1 0.5 ln ln 0.0335 m 2 y k 1 2 0.4 EI=∞ 9.8kN 2 2
声学基础1.2质点的阻尼振动
所经过的时间.
A(t)
A0 e
A0e
e1 e 1 1 2m Rm
③ 品质因素Qm
也是描述振幅衰减快慢的物理量.其数值等于震 幅衰减到初始值的 1 e 倍时所经过的周期数.
A(t)
A0 e
A0e t
e et t t 2m Rm
e e ( ti1 ti )
(i 1)T
i (e T )i1
1-2-2 阻尼振动的能量
阻尼振动的能量等于动能与势能之和
E
Ek
Ep
1 2
mv2 (t)
1 2
Dx2 (t)
考虑到振动的位移及速度表达式
x(t) A (t) cos( t 0 )
上式表示一个振幅随时间衰减的振动.
讨论： x A(t) cos(t 0 )
其中
A(t ) A0e t
A0
a12 a22 ,
0
arctan
a2 a1
A(t)是只与时间有关的函数,相当于振幅.它随时间
的增加而衰减.当t=0时,振幅A(t)=A0,经过t时间后, 下降为A(t).
Qm
t T0
,T0
2 0
Qm
m0
Rm
可见,阻尼愈大,Qm愈小,衰减所用周期数愈少.
④ 阻尼振动衰减曲线
A(t) A0et
T0
2
T0
x(t) A(t) cos(t 0 )
⑤ 阻尼振动振幅衰减比i
有时我们用相隔一个（或若干个）周期振动的振 幅之比描述振动（振幅）衰减的快慢程度.
阻尼波动方程
阻尼波动方程
（原创版）
目录
1.阻尼波动方程的定义与概述
2.阻尼波动方程的求解方法
3.阻尼波动方程的应用领域
正文
阻尼波动方程是物理学中描述阻尼振动系统的偏微分方程。
阻尼振动系统通常由一个振动质点与一个弹性元件以及一个阻尼元件组成。
阻尼波动方程可以用来研究许多实际问题，如弹簧振动、声波传播等。
求解阻尼波动方程的方法有很多，其中最常见的方法是利用拉普拉斯变换和傅里叶变换。
拉普拉斯变换可以将时域上的阻尼波动方程转化为频域上的方程，从而更容易求解。
傅里叶变换则可以将阻尼波动方程从一般坐标变换到特定的坐标系，如傅里叶坐标系，以便于求解。
阻尼波动方程在许多领域都有广泛的应用。
例如，在机械工程中，阻尼波动方程可以用来研究弹簧振动系统的稳定性和振动幅度；在声学中，阻尼波动方程可以用来研究声波在空气中的传播特性；在地球物理学中，阻尼波动方程可以用来研究地震波在地球内部的传播规律。
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阻尼振动
阻尼振动吴劲秋 0804010421 土木四班不论是弹簧振子还是单摆由于外界的摩擦和介质阻力总是存在，，在振动过程中要不断克服外界阻力做功，消耗能量，振幅就会逐渐减小，经过一段时间，振动就会完全停下来。
这种振幅越来越小的振动叫做阻尼振动。
系统能量的消耗通常有以下两种途径：一是由于外界或系统内部的摩擦阻力使振动能量转换为热能；二是由于振动向外传播，以波的形式向外辐射能量，这两种情况分别称为摩擦阻尼和辐射阻尼。
一般机械振动中能量的损耗原因主要是摩擦阻尼。
按牛顿第二定律，物体的运动方程：dt dx kx dt xd m γ--=22。
进一步化简：022022=++x dt dx dt xd ωβ。
其中ω0是无阻尼振动时振子的固有频率，它由振动系统的性质决定，β称为阻尼系数（damping coefficient ）。
根据租你的大小的不同，可解出三种可能的运动情况：β<ω0，微分方程的解为：（1）在阻尼较小时，即)cos(00ϕωβ+=-t eA x t 其中 220βωω-=显然阻尼振动不是简谐振动，也不是严格的周期运动。
但在小阻尼的情况下，我们把t e A β-0看作随时间变化的振幅，这样阻尼振动就可以看做振幅按指数规律衰减的准周期振动，振动的周期T 为振动物体相继两次通过极大（或极小）位置所经过的时间：22022βωπωπ-==T上式表明了，阻尼振动的周期比系统的固有周期要长。
且阻尼系数β越大，振幅衰减得越快。
ω时物体不能完成一个周期运动，将缓慢回到平衡位置，（2）若阻尼过大，即β>0再就不运动了，这种情况称为过阻尼。
ω，对应的是振子刚好从准周期振动转变为非周期运动的临界（3）若阻尼系数β=0点。
这是阻尼称为临界阻尼，与前两种情况相比，在临界阻尼的情况下，物体从运动到静止在平衡位置所经历的时间最短。
通过对阻尼的研究和不断深入的了解，人们应用阻尼发明了很多有利于生产生活得装置。
阻尼器是安置在结构系统上的“特殊”构件可以提供运动的阻力，耗减运动能量的装置。
《理论力学 动力学》 第九讲 单自由度系统的有阻尼受迫振动
2、单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的受迫振动理论单自由度系统的受迫振动理论（1）振动微分方程kOx②恢复力F e , 方向指向平衡位置O ，大小与偏离平衡位置的距离成正比。
kxF -=e ③黏性阻尼力F d , 方向与速度方向相反，大小与速度大小成正比。
d dd x xF cv ct=-=-物块的运动微分方程为：22d d sin()d d x x m kx c H t t tw =--+方程两边同除以m ，并令：(ω0, 固有角频率) , (δ, 阻尼系数),得到：mk =20w 2c md =2202d d 2sin()d d x x x h t t td w w ++=——有阻尼受迫振动微分方程的标准形式①激振力F , 简谐激振力。
sin()F H t w =H h m =解可以写成：12xx x =+x 1 对应齐次方程的通解; x 2 对应的是特解。
欠阻尼的情况下( δ<ω0)，齐次方程的通解可写为：1e )t x A d q -=+特解可写为：)sin(2e w -=t b x ε表示受迫振动的相位角落后于激振力的相位角2、单自由度系统的有阻尼受迫振动单自由度系统的受迫振动理论将x 2 代入微分方程，得到:220sin()2cos()sin()sin()b t b t b t h t w w e d w w e w w e w --+-+-=将等式右边的h sin(ωt )做一个变换，得到:sin()sin[()]h t h t w w e e =-+cos sin()sin cos()h t h t e w e e w e =-+-代入微分方程，整理得到:)cos(]sin 2[)sin(]cos )([220=--+---e w e w d e w e w w t h b t h b 对任意瞬时t ，上式都必须是恒等式，所以有：cos )(220=--e w w h b 0sin 2=-e w d h b 2222204)(wd w w +-=hb 2202tan w w dwe -=于是，微分方程的通解为：e)sin()tx A b t d q w e -=++-式中，A 和θ为积分常数，由运动的初始条件确定。
阻尼方程式
阻尼方程式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：阻尼方程式是描述振动系统受到阻尼作用的动力学方程。
在物理学中，阻尼是指振动系统受到的外部力使振幅逐渐减小的现象。
阻尼方程式通过考虑阻尼的影响，可以更准确地描述振动系统的行为和特性。
阻尼可以分为几种不同的类型，包括线性阻尼、非线性阻尼等。
线性阻尼是最经常遇到的阻尼类型，其作用力与速度成正比。
非线性阻尼则随速度的平方或更高次幂增长。
而无论是哪种类型的阻尼，阻尼方程式都可以描述系统受到的阻尼作用。
在阻尼方程式中，通常采用二阶微分方程来描述振动系统。
一般形式的阻尼方程式可以写成如下形式：m\cdot \ddot{x} + c\cdot \dot{x} + k\cdot x = 0m是系统的质量，c是阻尼系数，k是系统的弹簧常数，x(t)是系统的位移函数，\dot{x}表示位移函数对时间的导数，\ddot{x}表示位移函数对时间的二阶导数。
阻尼方程式的解可以通过数值方法或者解析方法得到。
对于线性阻尼系统，当c^2 < 4mk时，系统为欠阻尼情况，振动的频率是固定的，振幅逐渐减小。
当c^2 = 4mk时，系统为临界阻尼情况，振幅的减小速度最快。
当c^2 > 4mk时，系统为过阻尼情况，振动的幅度会更快地减小。
阻尼方程式在工程学和物理学中都有重要的应用。
在机械振动系统中，阻尼方程式可以帮助工程师设计更加稳定和可靠的系统。
在建筑结构工程中，阻尼方程式可以帮助工程师分析和改善建筑物的抗震性能。
在声学领域和电子工程中，阻尼方程式也有着重要的应用。
通过控制阻尼系数和弹簧常数，工程师可以设计出所需的振动系统，使其具有特定的性能和特性。
阻尼方程式是描述振动系统受到阻尼作用的基本动力学方程。
通过研究和分析阻尼方程式，可以更深入地理解振动系统的行为和特性，为工程应用和科学研究提供重要的理论基础。
希望本文对读者对阻尼方程式有更深入的了解和认识。
第二篇示例：阻尼方程式是描述振动系统中阻尼效应的数学表达式。
大学物理阻尼振动受迫振动共振概论
2） 物 体 振 动 具有准周期性(来回振动一次所需时
间却是一定的。准周期：
T 2 2
2 0
2
x o
Ae t t
欠阻尼振动
过阻尼：
即
2
2 0
02 2
是一个虚数，没有物理意义。这表明物体不能完成一 个周期运动，将缓慢回到平衡位置
特点：物体不再作来回振动，而是逐渐靠近并停止 在平衡位置。
临界阻尼：
即
2
2 0
特点：对应振子刚好从准周期振动转变为非周期 运动的临界状态。物体从运动到静止在平衡位置 所经历的时间最短
x
a： <0
b
b： >0 c： =0
c
O
t
a
阻尼振动
2．受迫振动（Forced Oscillation)
2.1 受迫振动 振动系统在周期性驱动力的持续作用下产生的振动。
dx dt
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
0
(
2m
,
0
k) m
( 为阻尼系
数, 0为固有 频率.)
为二阶常系数齐次微分方程。
欠阻尼： 即 0 x A0et cos(t 0 )
特点：
其中
2 0
2
。
1）物 体 在 平 衡 位 置 附 近 来 回 振 动 ，振 幅 不 断 衰 减 ：
A(t) A0et
4－5 阻尼振动 受迫振动 共振
1．阻尼振动(Damped Oscillation)
1.1 阻尼振动：物体在振荡过程中因受阻力的作用 而使能量不断损失，振幅不断减小的振动。
1.2 阻尼振动的定量分析F F弹 FrFra bibliotekFrv
阻尼振动
大学物理振动学基础第9讲阻尼振动
阻尼振动的情况和什么因素有关?
阻尼振动
讨论振动系统如弹簧振子在阻力作用下发生的减幅振动,
即阻尼振动.设物体所受阻力为
v
γ−=r f γ阻力系数
一、阻尼振动及微分方程
kx
f −=v
γ−=r f
弹簧振子的微分方程为
t
x kx t x m d d d d 22
γ−−=即
0d d d d 22
=++x m
k t x m t x γm
k =2
0 ω令
m γ
β=2β为阻尼系数
ω0为固有频率
二、阻尼振动的三种情况
小阻尼过阻尼临界阻尼
(
)
ϕ
βωβ+−=−t A x t
2
20
cos e
结论: 阻尼较小时, 振动为减幅振动, 振幅随时间按指数规律迅速减少.
(1) 小阻尼情况: 阻力很小0
ωβ<
结论:阻尼较大时, 振动从最大位移缓慢回到平衡位置,
不作往复运动.
(2) 过阻尼情况: 阻力很大0
ωβ>t t A A x ⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−−−⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−+−+=202202e
e
21ωββωββ
(3) 临界阻尼情况:
ωβ=t
t A A y β−+=e
)(21 结论: “临界阻尼”是质点不作往复运动的一个极限. 为准周期性运动转变为非周期性运动的临界状态.
减振阻尼钢板
钢板
三、应用举例
阻尼钢板用于汽车的油底
壳(下曲轴箱 ，位于发动机的下部)等部分，能有效地衰减振动、有效地减少噪声，给予人们舒适的感觉。
多自由度(线性)阻尼系统振动讲义
第3章 多自由度线性系统的振动 3. 1 振动微分方程 3 多自由度线性系统的振动
例3.2 建立三自由度系统的振动微分方程
柔度系数：单位外力所引起的系统位移 ，定 义系统第j个坐标上作用的单位力在第i个广 义坐标上所引起的位移为柔度系数 h 。 ij
三自由度系统
在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， x =1/k ， 1 1 2 3 1 1 2 1 x =1/k ，即h = h = k = 1/k ； 3 1 11 21 31 1 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 2 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x = 1/k +1/k ，即柔度系数h = 1/k ， h = k = 1/k +1/k ，； 2 1 2 3 1 2 12 1 22 32 1 2 在质量m 上施加单位力，质量m 、 m 和m 的位移： x =1/k ， 3 1 2 3 1 1 x =1/k +1/k ， x =1/k +1/k +1/k 。即柔度系数x =1/k ， x =1/k +1/k ， x = 2 1 2 3 1 2 3 1 1 2 1 2 3 1/k +1/k +1/k 。 1 2 é1 3 ù 1 1 振动 ê k m x ü k k ú é 1 0 0 ùì &&1 ü ì x ü ì 0 1 1 1 1 ï ê ú ê 0 m 0 ú ï && ï +ï x ï =ï0 1 1 + 1 x ý í 2 ý í ý 微分 ê 1 k 1 k + k 2 ú í 2 úê k k 1 1 2 1 2 ï ï ï ï ï ï 1 + 1 1 +1 + 1 ú ê 0 0 m ú î&&3 þ îx þ î0 3 û x 3 ë þ 方程 ê 1 ê k k k k k k ú 1 2 1 2 3 û ë 1
阻尼对振动的影响
m EI=∞
9.8kN
2π 2π ωr = = = 4.189 s −1 T 1. 5
ωr = ω 1 − ξ 2 ⇒ ω = 4.191s −1
P 9.8×10 3 k= = =196×10 4 N / m A0 0.005
4 2 × 0 . 0355 × 196 × 10 ξk = = 33220 N ⋅ s / m c =2ξmω = 2 ω 4.189
2. 有阻尼的自由振动 桥梁结构的跳车试验： 在桥跨结构跨中桥面设置高度10cm的三角形垫木，使 30t汽车后轴置于其上，然后突然下落，测定桥梁结构在动 荷载作用下的强迫振动响应（阻尼比）。2. 有阻尼ຫໍສະໝຸດ 自由振动 (2) 考虑ξ=1的情况:
λ = －ω
初始 条件
y
tgθ 0 = v0
θ0
y (t ) = Ceλt
λ = ω (−ξ ± ξ 2 − 1)
y=(C1+C2t)e-ωt y = [y0(1+ωt)+υ0t] e-ωt
y0
当阻尼增大到ξ=1时，曲线具有衰减，但不具波动，这时的阻 尼常数为临界阻尼常数，用Cr表示。
t
cr = 2mω = 2 mk
c ξ= cr − − 阻尼比
k c ω= , ξ= m 2mω
(3) ξ>1，体系在自由反应中仍不引起振动。
3. 有阻尼的强迫振动
回顾： 无阻尼、一般荷载下的强迫振动：
FP(t)
τ
dτ
t
υ0 1 t y (t ) = y0 cos ωt + sin ωt + Fp (τ ) sin ω (t − τ )dτ ∫ mω 0 ω
回顾：有阻尼自由振动：
有阻尼强迫振动微分方程及其解
x2 b sin(t ) 为特解
b
n2
h
2
,
x2
2 n
h
2
s
in(t
)
全解为：
x
As
in(
n
t
)
2 n
h
2
sin(t
)
三、稳态强迫振动的主要特性： 稳态强迫振动
1、在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。
2、强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的
质量及刚度系数无关。
3、强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统
— 频率比
— 曲线 幅频响应曲线
1
（幅频特性曲线）
32
4、共振现象
n时 , b ，这种现象称为共振。
此时，x2 Bt cos(nt )
B
h
2
n
,
b
h
2n
t
x2
b
2n
t cos(nt
)
33
§18-5 单自由度系统的有阻尼强迫振动
一、有阻尼强迫振动微分方程及其解
Fx kx , Rx cx , Qx H sin t
n t + ——相位，决定振体在某瞬时 t 的位置
——初相位，决定振体运动的起始位置。
T
——周期，每振动一次所经历的时间。T
2 n
f —— 频率，每秒钟振动的次数， f = 1 / T 。
n —— 固有频率，振体在2秒内振动的次数。
反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有 参数有关。
10
无阻尼自由振动的特点是： (1) 振动规律为简谐振动；
(
2 n
mga /
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深度理解阻尼振微分方程
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深度理解阻尼振动微分方程
牛顿第二定律：ma F =
物体受力为：
弹性力：kx F -=
阻力：Cv F r -=
022=++kx dt
dx C dt x d m 令20ω=m k ，δ2=m
C ，则有： 022022=++x dt
dx dt x d ωδ 该等式为二阶常系数齐次线性微分方程
特征方程02202=++ωδr r 解为2022022
442ωδδωδδ-±-=-±-=r
（1）小阻尼情况
0ωδ<，则有：
i r 220δωδ-±-=，一对共轭复根，令220δωω-=。
微分方程通解为：
)sin cos (21t c t c e x t ωωδ+=-
初始条件01x c =，ω
δ0
02x v c += 特解为t x v t x x ωω
δωsin cos 000++= ]sin cos [20020020020020020t x v x v t x v x x x v x x ωωδωωωδωδ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭
⎫ ⎝⎛++=
若令200200cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ωδϕx v x x ，200200
sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=ωδωϕx v x v ，2
0020⎪⎭⎫ ⎝⎛++=ωδx v x A 则有
]sin sin cos [cos t t Ae x t ωϕωϕδ⋅-⋅=-
()ϕωδ+=-t Ae x t cos
（2）大阻尼情况
0ωδ>，则有：
202ωδδ-±-=r ，两个不相等的实根。
微分方程通解为：
t t e c e c x )(2)(1202202ωδδωδδ-+----+=
（3）临界阻尼情况
0ωδ=，则有：
δ-=r ，两个相等的实根。
微分方程通解为：
)(21t c c e x t +=-δ
可见，阻尼振动其实就是解一个二阶常系数齐次线性微分方程！！。